平面任意力系(有汇交力偶总结)
此时原力系为一平衡力系。
由上可知，平面任意力系简化的最后结果有三种 可能性，即：可能为一个力、可能为一个力偶、或者 可能平衡。
综上所述，求解平面任意力系合成的步骤可总结为： ① 任选一简化中心； ② 计算力系的主矢和对简化中心的主矩； ③ 对简化结果进行分析而得到最终的合成结果。
三、平面任意力系的平衡条件及平衡方程
3、主矢和主矩的解析表达式
F1x F2 x Fnx Fx FRx
F1 y F2 y Fny Fy FRy
所以，主矢的大小和方向可分别 由以下两式确定：
y
’ F F 34 F m m3 R F1 2 m1 O O F4’ m4 F1’ MO O F5 ’ m F 5 F3 5
Fi FR
mi mO Fi
M O mi mO Fi
结论：平面任意力系向已知点简化的结果为一力和一 力偶。将该力称为主矢；该力偶称为主矩。
F2 F1
O
F4 m2 F3 F5 m1 F1’
F2’
F3’ m3
F R
O
O
m5
F4’ m4 F5’
MO
1、主矢
该力等于汇交力系的矢量和，即：
FAy 固定支座所产生的约束 反力可用水平、铅垂两个方 向分力及一个约束反力偶共 三个约束反力构成。 MA A
FA FAx
4、简化结果分析
(1) 当主矢FR 0，主矩 M O 0时 FR’
O
由力的平移定理的逆过程 可知，原力系最后可以简化为 一个合力。
合力作用线到点O的距离d， 可由下式计算：
平面任意力系平衡的必要和充分条件是：其主矢和对简 化中心的主矩同时为零，即
0 FR M o 0
2 2 F F x y 0 M o ( F ) 0
而
所以
Fx 0 Fy 0 M o F 0
（2）力F沿x、y轴方向的分力的大小与力F在这两轴上的投
影的绝对值相等；
（3）用力多边形法则求合力时，可任意改变各力矢作图顺
序；
思3、图示支架，A、B、C处均为铰链连接。设杆的 自重不计，在AC杆上的D点作用一铅直力F。 （1）试用几何法求A、B处的反力；
（2）将力F沿作用线移至BC杆上的E点，再求A、B 处的反力； a a
Fy 0 M o ( F ) 0
y
二矩式：
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
O
x
其限制条件为： A、B矩心连线不与各力作用线平行。
二、平面力偶系的平衡条件
m 0
三、其它
为平面力偶系的平衡方程
1、力矩及其性质； 2、力偶、力偶矩及其性质； 3、合力矩定理
思1、试分析下列平面汇交力系的力多边形中各力矢之 关系。
F3 F3 F2
F1
F2
F1
F2 F3
F2 F3
F1 F4
F1 F4
思2、试判断下列说法是否正确：
（1）若两个力在同一轴上的投影相等，则这两个力相等；
两矩心A、B的连线不能垂直于投影轴x。 (2) 三矩式：
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M (F ) 0 C
C B
F
A
x
其限制条件为： A、B、C三个矩心的连线不共线。
四、平面平行力系的平衡方程
——各力的作用线均相互平行的力系.
平面平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即：
M O m1 m2 mn mi
m1 mO F1 m2 mO F2
……
mn mO Fn
F2 F1
O
F4 m2 F3 F5 m1 F1’
F2’
F3’ m3
F R
O
O
m5
F4’ m4 F5’
MO
M O mi mO Fi
将原力系中各力对简化中心的矩的代数和称为该力系对简 化中心O的主矩，即：
（3）比较二者结果，可得出何结论？
A F D C
E
30 B
思 4 ：图示一圆盘在一力偶和一力作用下处于静止， 这是否说明一个力与一个力偶可以平衡？
M
O
F
平面任意力系
——各力的作用线位于同一平面内且任意分布的力系.
工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面一般力系来 处理。
一、力的平移定理
F
O
内容回顾:
1、几何法：
平面汇交力系
一、平面汇交力系的合成
依据：力的平行四边形法则可合成为一过汇交点的合力。 各力矢的矢量和： FR F1 F2 Fn Fi 2、解析法： 依据：(1)力在轴上的投影； (2)合力投影定理；
2 2 FR FRx FRy
F F
F2 F2’
x
2 FRy 2 ( Fx )2 ( Fy )2 FR FRx
FRy Fy arctan arctan FRx Fx
在平面力系的情况下，力系对简化中心的主矩是代数量， 可直接由下式计算：
M O mO Fi
对固定支座的分析
M O mO Fi
注：一般情况下，主矩一般与简化中心的位置有关。所以， 说到主矩时一般必须指出是力系对哪一点的主矩。
综上所述：
平面任意力系向作用面内任意一点简化的 结果一般可以得到一个力和一个力偶； 该力作用于简化中心，它的矢量等于原力 系中各力的矢量和，即等于原力系的主矢； 该力偶的矩等于原力系中各力对简化中心 的矩的代数和，即等于原力系对简化中心的主 矩。
力线平移定理的应用实例
厂房柱子受偏心载荷F 的作用
F’ 力的平移定理的逆定理亦成 立,即:平面内一力和一力偶可 由一力等效代替。
O
F’
O A
F
M
二、平面任意力系向已知点的简化
F2 F4 F2’ F3’ m3
O
F1
O
m2
F3 F5 m1 F1’
F R
O
m5
Fi Fi
F4’ m4 F5’
MO
O
FR’ d
A
FR
MO
MO d FR
(2) 当主矢FR 0，主矩 M O =0时 此时原力系与一力等效。这个力就是原力系的合力。该 合力的大小和方向与原力系的主矢相同，作用线通过简化中 心O。 (3) 当主矢FR =0，主矩 M O 0时 此时原力系只与一个力偶等效。 只有在这种情况下，主矩才与简化中心的位置无关，因 为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关， 也就是说，原力系无论向哪一点简化都是一个力偶矩保持不 变的力偶。 (4) 当主矢FR =0，主矩 M O = 0时
为平面任意力系的平衡方程。
注：它有两个投影方程和一个力矩方程，且其相互独立， 我们称其为平面任意力系的投影式方程。
为应用方便，其平衡方程形式还有二矩式和三矩式。
(1) 二矩式：
Fx 0 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
B A
F
x
其限制条件为：
A
O
F' d F ''
F F
O
M
F F F
M M O F Fd
力的平移定理：作用于刚体上的力均可以从原来的作用位置平 行移至刚体内任一指定点。欲不改变该力对于刚体的作用效果， 则必须在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩 等于原力对于指定点之矩。
如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球 心（球的质心），则球将移动而不旋转；但若力的作 用线与球相切——“削球”，则球将产生移动和转动。
F1 F1
所以
F1 F2 Fn F FR
F2 F2
……
Fn Fn
FR F F
F2 F1
O
F4 m2 F3 F5 m1 F1’
F2’
F3’ m3
F R
O
O
m5
F4’ m4 F5’
MO
将平面任意力系中各力的矢量和称为该力 Nhomakorabea的主矢，即
2 x y
2
tan
FRy FRx
F F
y
x
二、平面汇交力系的平衡条件
1、几何条件：
力多边形自行封闭；
2、解析条件：
F F
x y
0 0
为平面汇交力系的平衡方程
平面力偶系
一、平面力偶系的合成
由若干个力偶组成的力偶系，可以合成为一个合力偶。 平面力偶系的合力偶之矩等于力偶系中各力偶之矩的代数和， 即 M=mi..
F FR
注：当简化中心不同时，主矢的大小、方位和指向并不改 变。因此力系的主矢与简化中心的位置无关。所以主矢是 自由矢量，并不涉及作用点 。
F2 F1
O
F4 m2 F3 F5 m1 F1’
F2’
F3’ m3
F R
O
O
m5
F4’ m4 F5’
MO
2、主矩
平面附加力偶系可合成为一力偶，其力偶矩等于各附加 力偶的力偶矩的代数和，即：
合集下载
平面汇交力系和平面力偶系的平衡
平衡方程
平面汇交力系
例 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB，BC受力.
1.1 平面汇交力系的平衡
解： AB、BC杆为二力杆，取滑轮B （或点B），画受力图.建图示 坐标系
1.2 平面力偶系的平衡
1.平面力偶系的合成和平衡条件 已知：
任选一段距离d
=
=
=Leabharlann 1.2 平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的充要条件 ，有如下平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零。
1.2 平面力偶系的平衡
例 已知： 求： 光滑螺柱 AB所受水平力.
解 由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
解得
1.1 平面汇交力系的平衡
1.平面汇交力系合成
合力 FR 在x轴，y轴投影分别为
合力等于各力矢量和
由合矢量投影定理，得合力投影定理
合力的大小为：
方向为：
cos(FR
,
i)
Fix FR
作用点为力的汇交点.
cos(FR
,
j)
Fiy FR
2.平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力为零。
1.1 平面汇交力系的平衡
平面力系：各力的作用线在同一平面内。 平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。 平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。 平面力偶系：在同一平面内有n个力偶作用，形成一个平面力偶系。 平面任意力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力系。
t2平面汇交力系与平面力偶系
应用场景
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的两个重要概念。
平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。
在平面汇交力系中，力的大小和方向可以通过力的矢量表示。
平面汇交力系的合成可以通过力的多边形法则来进行，即将各个力按照首尾相接的顺序连接起来，形成一个封闭的多边形，合力则为这个多边形的封闭矢量。
平面力偶系是指由若干个力偶组成的力系，其中力偶是由大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力矩对。
在平面力偶系中，力偶的作用效果是产生旋转，而不是平移。
平面力偶系的合成可以通过力偶矩的代数和来进行。
平面汇交力系和平面力偶系在工程和物理学中有广泛的应用。
在结构分析、机械设计和力学问题中，常常需要考虑和分析平面汇交力系和平面力偶系的作用效果。
总的来说，平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的重要概念，它们的合成和平衡条件对于理解和解决平面力学问题至关重要。
第二章平面任意力系
M1
= F O
M2
FO1
O1
34
B
30
A O
FAB 30
A
B
FBA
O M2 O1 M1
M1
= F O
M2
FO1
O1
解：分别取杆OA和O1B为研究对象。受力图如图所示。
OA： O1B：
M i FAB OAsin30 M1 0
M i M 2 FBA O1 B 0
箭头表示力偶的转向，M 表示力偶矩的大小。
A
F
F'
M
=
B
24
平面力偶系实例
25
2.4.2 力偶的性质
性质1 力偶既没有合力，也不能用一个力等效替换。
性质2 力偶对其作用面内任意一点的矩恒等于该力偶的力 偶矩，与矩心的位置无关。
o A x
F
C d B
F'
M 0 ( F , F , ) F , ( x d ) Fx M
力对刚体的转动效应----力对点的矩(简称力矩)来度量
如图所示为用扳手松紧螺母的示意图。
力F对于点O的矩用MO(F)表示,即
A F
M O (F ) F d
O
d
B
20
平面力对点之矩
21
点O 称为矩心；d 称为力臂。
正负号表示力矩在其作用面上的转向。一般规定力F
使刚体绕点O 逆时针转动为正，顺时针转动为负。 力F 对点 O 之矩，其值还可以用以力F 为底边，以矩
解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。由于CD杆为 二力构件，可以确定作用于C点的力的方向如图所示。 由于 FA 和 FC 两个力和力偶 (F1, F2 ) 相互平衡，可知 FA 和 FC 两个力应构成力偶。列构件AB平衡方程，有
静力学：第三章-平面任意力系(1)详解
合力
合力
3.3 平面任意力系的平衡
平面任意力系平衡的充要条件：力系的主矢和对任
意点的主矩都等于零。
平面任意力系的平衡方程：
一般式
二矩式
三矩式
Fx Fy
0 0
MO 0
F x
0
M A 0
M B 0
M A 0 M B 0 M C 0
两个取矩点连线， 不得与投影轴垂直
三个取矩点， 不得共线
解得: P3max=350kN
P3
P1
P2
75kN P3 350kN A
B
FA
FB
当 P3=180kN 时（平面平行力系）：
M A 0 4 P3 2 P1 14 P2 4 FB 0 P3
P1
P2
Fy 0 FA FB P1 P2 P3 0
解得： FA=210kN FB=870kN
平面任意力系的平衡方程只有三个，只能求三 个未知数。
三个特例：
平面汇交力系： Fx 0, Fy 0 平面力偶系： M o 0
平面平行力系： Fy 0, M o 0 或者 M A 0, M B 0
3.4 物体系统的平衡
静定问题：系统未知量数目等于独立的平衡方程数目。 超静定问题（静不定问题）：系统未知量数目超过独
其中：M B M B (F ) Fd
3.2 平面任意力系向作用面内一点简化
主矢：矢量和 FR Fi 主矩: 代数和 M O M O (Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
主矩简化什么情况下与简化位置无关？
平面任意力系应用：平面固定端约束
=
=
平面任意力系的简化结果
(1) FR 0, M O 0
第二章1平面汇交力系与平面力偶系
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F 至少多大？ F 3.力 F 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 多大？
解:取碾子画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
R h θ arccos 30 R
F B sin θ F F A F B cosθ P
F 1 1 .4 k N A
由合力投影定理可得：
F F 2 0 0 0 4 3 3 0 0 N 6 3 3 0 N x x
F F 0 2500 3000 N 550 N y y
则合力的大小为：
2 x 2 y 2 2
FF F 6 3 3 0 5 5 0 0 N 8 3 8 6 N
F , X 0 F , Y 0 8 0 4 5 4 R R 0 D A 4 5 PR A
各力的汇交点
(4) 解得
R A 5 P 22 . 4 kN 2
R R D A
1 10 kN 5
力的值为负值,表示假设的指向与实际指向相反.
例4. 简易压榨机如图所示。已知P试求当连杆AB、AC与铅垂线成角时，托板给被压物 体的力。
O
tg
F Ry F Rx
F F
RY
RX
平面汇交力系平衡的必要和充分条 y 件是该力系的合力为零: F R 0
F F 0 Rx X
O
F F 0 Ry X
例2.如图所示吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N， F2=5000N，F3=3000N。试求合力。
FR F23 F1 F12 F2
F4
FR
F4
F2 F4
FR
F3
平面汇交及平面任意力系力系与平面力偶理论
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分析平面汇交力系时，通常采用合成法或解析法，通过力 的合成或分解，将复杂力系简化为单一的等效力或等效力 矩，以便于求解。
实例：一个固定在墙上的挂钩受到三个拉力作用，这三个 拉力作用线在同一平面上且相互汇交。通过力的合成法， 可以求出该挂钩受到的总拉力。
平面任意力系实例分析
平面任意力系是指各力作用线在同一平 面内的任意方向的力系。在实际生活中， 这种力系也比较常见，比如固定在地面 上的汽车所受到的重力和地面支持力的
通过三个矩心和三个矩，建立平面任意力系的平衡方程。
03 平面力偶理论
力偶的概念和性质
力偶
由两个大小相等、方向相反且不 在同一直线上的力组成的力系。
力偶的性质
力偶不能改变力的作用点，只能改 变力的方向，且力偶对刚体的转动 效应与力的大小和力臂的乘积成正 比。
力偶矩
描述力偶对刚体转动效应的物理量， 等于力的大小与力臂的乘积。
合成的步骤
首先确定各力的方向和大小，然后根据力的 平行四边形法则，通过作出的两个力和合力 的关系的平行四边形，求出合力的大小和方 向。
合成平面汇交力系时，应遵循力的平行四 边形法则，即以两个力为邻边作出的平行 四边形，其对角线代表这两个力的合力。
平面汇交力系的平衡条件
平衡状态的概念
在平面汇交力系中，物体处于平 衡状态是指物体保持静止或匀速
力偶的合成与平衡
力偶合成
两个或多个力偶可以合成 一个合力偶，合力偶的矩 等于各分力偶矩的代数和。
力偶平衡
当一个刚体受到的各力偶 矩的代数和为零时，该刚 体处于平衡状态。
平衡条件
对于平面任意力系，若存 在一个合力为零且合力矩 也为零的平衡状态，则该 平面任意力系平衡。
分析平面汇交力系时，通常采用合成法或解析法，通过力 的合成或分解，将复杂力系简化为单一的等效力或等效力 矩，以便于求解。
实例：一个固定在墙上的挂钩受到三个拉力作用，这三个 拉力作用线在同一平面上且相互汇交。通过力的合成法， 可以求出该挂钩受到的总拉力。
平面任意力系实例分析
平面任意力系是指各力作用线在同一平 面内的任意方向的力系。在实际生活中， 这种力系也比较常见，比如固定在地面 上的汽车所受到的重力和地面支持力的
通过三个矩心和三个矩，建立平面任意力系的平衡方程。
03 平面力偶理论
力偶的概念和性质
力偶
由两个大小相等、方向相反且不 在同一直线上的力组成的力系。
力偶的性质
力偶不能改变力的作用点，只能改 变力的方向，且力偶对刚体的转动 效应与力的大小和力臂的乘积成正 比。
力偶矩
描述力偶对刚体转动效应的物理量， 等于力的大小与力臂的乘积。
合成的步骤
首先确定各力的方向和大小，然后根据力的 平行四边形法则，通过作出的两个力和合力 的关系的平行四边形，求出合力的大小和方 向。
合成平面汇交力系时，应遵循力的平行四 边形法则，即以两个力为邻边作出的平行 四边形，其对角线代表这两个力的合力。
平面汇交力系的平衡条件
平衡状态的概念
在平面汇交力系中，物体处于平 衡状态是指物体保持静止或匀速
力偶的合成与平衡
力偶合成
两个或多个力偶可以合成 一个合力偶，合力偶的矩 等于各分力偶矩的代数和。
力偶平衡
当一个刚体受到的各力偶 矩的代数和为零时，该刚 体处于平衡状态。
平衡条件
对于平面任意力系，若存 在一个合力为零且合力矩 也为零的平衡状态，则该 平面任意力系平衡。
第二三章 平面汇交及平面任意力系力系与平面力偶理论
=
=
=
33
结论:
M m1 m2 mn mi
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩 的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和 等于零。
即
mi 0
i 1
n
34
[例]
在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为
20
例3 求图3－6所示各分布荷载对A点的矩。
21
解：沿直线平行分布的线荷载可以合成为一个合力。合力的方 向与分布荷载的方向相同，合力作用线通过荷载图的重心，其合 力的大小等于荷载图的面积。 根据合力矩定理可知，分布荷载对某点之矩就等于其合力对该 点之矩 （1）计算图3－6（a）三角形分布荷载对A点的力矩
40N 0.4m 0.4m 60N 0.6m
推论
M=24N.m
60N
a)力偶可以在刚体内任意移转。即力偶矩矢M的作 用点可以在平面上任意移动，力偶矩矢是自由矢。 b)在保持力偶矩不变的情况下，可以任意改变力和 力臂的大小。 由此即可方便地进行力偶的合成。
28
c）平面力偶系的合成
h1 h2
h1
F1 F2
FR'
FR
力？
O
h=M0/FR
M0
A
42
y
FR h
O
FR'
x
讨论1 平面一般力系简化的最终结果
情况 向O点简化的结果 分类 主矢FR' 主矩MO
1 2 3 4 FR’=0 FR'=0 FR0 FR‘0 MO=0 MO0 MO=0 MO0
MO
力系简化的最终结果 （与简化中心无关）
静力学第二章平面汇交力系与力偶系
请思考：力矩和力偶矩的异同？
力偶矩:度量力偶对物体转动效应 的量。记作：M（F, F′）或M
A
F C d F′
M Fd
力偶矩正负号规定:
逆时针转动为正，反之为负
B
力偶矩正负号意义：表示力偶转向
请思考：平面（内）力偶等效的条件？
力偶矩大小相等、转动方向相同
平面力偶的性质
性质1 : 力偶无合力,即FR=0
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
本章重点：
1、平面汇交力系(几何法、解析法）
2、力偶的概念
3、平面力偶系
§2-1 平面汇交力系
汇交力系：所有力的作用线
汇交于一点的力系。
共点力系：所有力的作用点为同一点的力系。
平面汇交力系合成—几何法
力多边形
平面汇交力系平衡—几何法
平衡几何条件：汇交力系的力多边形自行封闭。
平面力偶系的简化结果： Mo
平面力偶系的平衡条件：Mo = 0
平衡方程：
M
0
例5 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
求:C 处的约束力。
解：取 BDC 为研究对象
作出受力图 由力偶理论，知 FB = FC M 0
2 2 FB r FB 2r M 0 2 2 注意：计算(FB，FC )的力偶矩
性质2 : 力偶作用效应只与力偶矩有关 性质3 : 力偶只能与力偶矩相等的另一力偶等效 性质4 : 力偶对其作用面上任一点的矩等于力偶矩
F
F´
F
F´
F
F´ F/2
（d）
F´/ 2
只要保持力偶矩不变，力偶必等效
F
F´
M
M
M
建筑力学 平面力系
1.力在直角坐标轴上的投影方法
投影公式
Fx＝ F cos Fy＝ F sin
投影的正负号规定如下：从投影的起点a到终点b的指
向与坐标轴的正向一致时，该投影取正号；与坐标轴
的正向相反时取负号。 如下图 (a)中，F在x，y轴上的投
影均为正， (b)中，F在x，y轴上的投影均为负。
y
y
Fy Fy
b'
B
F
β
α
b'
B
F
β
α
a' A
a' A
x
x
O
a Fx
b
O
a Fx
b
(a)
(b)
结论：
（1）当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零； （2）当力与坐标轴平行时，其投影的绝对值与该力的大小相等； （3）当力平行移动后，在坐标轴上的投影不变。
2.力的投影计算
例：试求图中各力在 x、y轴上的投影。已知 F1= 100 N，F2= 150 N， F3= F4= 200 N。 解：Fx1= F1cos 45°= 100 ×0.707 = 70.7 N Fy1= F1sin 45°= 100 ×0.707 = 70.7 N Fx2= -F2cos 30°= -150 ×0.866 = -129.9 N
Fy2= F2sin 30°= 150 ×0.5 = 75 N Fx3= F3cos 60°= 200 ×0.5 = 100 N Fy3= -F3sin 60°= -200 ×0.866
= -173.2 N Fx4= F4cos 90°=0 Fy4= -F4sin 90°= -200 ×1= -200 N
概述
平面力系是指力的作用在全在同一平面内的力系。平面力系 可分为：平面汇交力系、平面平行力系、平面力偶系和平面 任意力系。 平面汇交力系：力的作用线全在同一平面内，且全汇交于 一点的力系。（如下图所示）