汇交力系力偶系平衡全解
平面汇交力系和平面力偶系的平衡
平衡方程
平面汇交力系
例 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB，BC受力.
1.1 平面汇交力系的平衡
解： AB、BC杆为二力杆，取滑轮B （或点B），画受力图.建图示 坐标系
1.2 平面力偶系的平衡
1.平面力偶系的合成和平衡条件 已知：
任选一段距离d
=
=
=Leabharlann 1.2 平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的充要条件 ，有如下平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零。
1.2 平面力偶系的平衡
例 已知： 求： 光滑螺柱 AB所受水平力.
解 由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
解得
1.1 平面汇交力系的平衡
1.平面汇交力系合成
合力 FR 在x轴，y轴投影分别为
合力等于各力矢量和
由合矢量投影定理，得合力投影定理
合力的大小为：
方向为：
cos(FR
,
i)
Fix FR
作用点为力的汇交点.
cos(FR
,
j)
Fiy FR
2.平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力为零。
1.1 平面汇交力系的平衡
平面力系：各力的作用线在同一平面内。 平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。 平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。 平面力偶系：在同一平面内有n个力偶作用，形成一个平面力偶系。 平面任意力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力系。
第二章平面汇交力系及平面力偶系
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
工程力学3—力系的平衡条件和平衡方程
Fyi 0 M O ( Fi ) 0 Fxi 0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。
例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
2 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即 n
M
i 1
i
0
思考： 从力偶理论知道，一
M
O R
力不能与力偶平衡。图示轮 子上的力 P 为什么能与 M 平 衡呢？
P
[例3] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm ,求工件的 总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶矩为
M m1 m2 m3 m4 4( 15) 60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: N B 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N B
60 300N 0.2
N A N B 300 N
解： ①选碾子为研究对象
②取分离体画受力图 ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,
这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。
由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
F Ptg
NB P cos
r 2 (r h) 2 0.577 又由几何关系： tg r h
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
二章节平面汇交力系与平面力偶系
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只 有一个未知数。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负 值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先 设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
FAC
FA 450
FAB
FD
图示结构由直角弯杆ABCD与BEG及
直杆CG构成，各杆自重不计，F，a为已
知，求B处的约束力。 FE FA
F
E G
B
力偶实例 2.4 平面力偶
力 偶 实 例 F1
F2
一 力偶的定义：
作用在同一刚体上的大小相等、方向相反、作 用线又不重和的两个平行力所组成的力系称为力偶。 （F ，F′）
6、平面上一个力和一个力偶可以简化成一个 力。
7、如果某平面力系由多个力偶和一个力组成， 该力系一定不是平衡力系。
填空题：
1、同平面的两个力偶，只要 ________相同， 对刚体的外效应相同。
2、力偶________与一个力等效，也_______ 被一个力平衡。
3、平面力偶系合力偶之矩m＝ ________ 。 平面力偶系的平衡条件是________ 。
4、力矩是力使物体绕指定矩心产生________ 效应的度量，其单位是 ________ 。力F对 平面上一点O的力矩等于力的________ 与 力作用线到点的______的乘积，用_____表 示。力矩有正负之分，_____转向规定为正。
填空题：
5、力系合力对平面某点的力矩，等于该力系
平面汇交力系和平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。
若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。
设汇交力系1F ，2F ，3F汇交于O （图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F=如图和图所示，其中321F F F F ++=F2F 3F OFO1F 2F 3F12F讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。
3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：∑=i F F用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡1F 2F iF 2-n F 1-n F n F设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F，（∑-=-=111n i i N F F ）0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F等值，反向，共线，即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F，或0=∑i F结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是0=∑i F，力多边形自行封闭。
例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F，方向如图，求反力FA B C45F AF BACα 45FF BF α解：1。
大学静力学02.第二章 汇交力系
§ 2-2 汇交力系的平衡条件
三、汇交力系平衡的解析条件
合力计算公式
FR
Fx 2 F y 2 Fz 2 Fx 2 F y 2 Fz 2
F 0 x Fy 0 Fz 0
0
由 得
FR
刚体在汇交力系作用下处于平衡的解析条件是: 力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于 零
F1
y
合力投影定理
数和
合力在某一轴上的投影，等于各力在同一轴上投影的代
§ 2-1 汇交力系的合成
合力的大小为
FR FRx FRy FRz
2 2 2
Fx 2 Fy 2 Fz 2
cos( FR FR Fy cos( FR , j ) FR Fz cos( FR , k ) FR
Fx , i)
合力方向余弦为
平面汇交力系的合力和方向余弦为
FR
Fx 2 Fy 2
cos( FR
Fx , i)
FR
§ 2-2 汇交力系的平衡条件
一、 三力平衡定理
设作用在物体上的三个力F1 、F2 、F3 共面且互不平 行, 使物体处于平衡状态 F2 F2 FR1 B B F1 A C C O A F1
Fz Fx
F
Fy y′ y
O
x′ x
§ 2-1 汇交力系的合成
3. 力在直角坐标轴上的投影
z
Fxy=F cos Fx = Fxy cos = F cos cos Fy = Fxy sin = F cos sin Fz = F sin
《理论力学》基本力系
接触点处受到法向约束力的作用。
03
铰链约束
铰链约束是指两个构件通过销钉或铰链连接在一起，并能绕销钉或铰链
相对转动。这种约束只能限制物体沿垂直于销钉轴线的运动，而不能限
制物体绕销钉的转动。
平衡条件及求解方法
平面力系的平衡条件
平面任意力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和主矩都为零。即所有各力在x轴和y轴 上的投影的代数和分别等于零；所有各力对任意一点之矩的代数和也等于零。
汇交力系平衡条件应用
平衡条件
汇交力系平衡的充分必要条件是合力为零，即力多边形自行封闭。
应用
在静力学中，汇交力系平衡条件可应用于求解未知力、判断物体是否平衡等问题 ；在动力学中，可用于分析物体的运动状态及受力情况。
04 平面任意力系简化与平衡
平面任意力系简化方法
向一点简化
选择适当的一点，将力系中的各 力向该点平移，得到一个等效的 平面汇交力系和一个平面力偶系。
主矢和主矩
平面任意力系向作用面内任一点 简化时，一般可得到一个力和一 个力偶，这个力称为该力系的主 矢，这个力偶的矩称为该力系对
简化中心的主矩。
合力矩定理
平面任意力系的合力对作用面内 任一点之矩，等于力系中各分力
对于同一点之矩的代数和。
简化结果分析
当主矩为零时，主矢也为零
01
说明该力系本身是平衡的，或者可以合成为一个合力。
合力矩
主矩表示原力系对物体的 总体转动效应，其大小和 方向由主矩矢量确定。
平衡条件
当且仅当主矢和主矩都为 零时，空间任意力系才处 于平衡状态。
空间任意力系平衡条件应用
静力学问题
利用空间任意力系的平衡条件，可以解决各种静力学问题， 如物体的平衡、刚体的平衡等。
平面力系-平面汇交力系的简化与平衡方程(常用版)
平面力系-平面汇交力系的简化与平衡方程（常用版）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）第2章平面力系192.1 平面汇交力系的简化与平衡方程 (19)2.2 力对点之矩合力矩定理 (24)2.3 力偶及其性质 (27)2.4 平面力偶系的合成与平衡方程 (30)2.5 平面一般力系的简化与平衡方程 (32)2.6 物体系统的平衡 (40)*附录Ⅱ：机械应用实例 (49)第2章平面力系本章主要介绍平面力系的简化与平衡问题，平面状态下物系平衡问题的解法。
按照力系中各力的作用线是否在同一平面内，可将力系分为平面力系和空间力系。
若各力作用线都在同一平面内并汇交于一点，则此力系称为平面汇交力系。
按照由特殊到一般的认识规律，我们先研究平面汇交力系的简化与平衡规律。
2.1 平面汇交力系的简化与平衡方程2.1.1 概述设刚体上作用有一个平面汇交力系F1、F2、…、F n，各力汇交于A点（图2-1a）。
根据力的可传性，可将这些力沿其作用线移到A点，从而得到一个平面共点力系（图2-1b）。
故平面汇交力系可简化为平面共点力系。
a ）b ）图2-1连续应用力的平行四边形法则，可将平面共点力系合成为一个力。
在图2-1b 中，先合成力F 1与F 2（图中未画出力平行四边形），可得力F R1，即 F R1＝F 1+ F 2；再将F R1与F 3合成为力F R2，即F R2＝F R1+ F 3；依此类推，最后可得F R ＝F 1+ F 2+…+ F n ＝∑F i （2-1）式中 F R 即是该力系的合力。
故平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力的作用线通过汇交点，其大小和方向由力系中各力的矢量和确定。
因合力与力系等效，故平面汇交力系的平衡条件是该力系的合力为零。
2.1.2力在坐标轴上的投影过F 两端向坐标轴引垂线（图2-2）得垂足a 、b 、a'、b'。
线段ab 和a'b'分别为F 在x 轴和y轴上投影的大小，投影的正负号规定为：从a 到b （或从a'到b'）的指向与坐标轴正向相同为正，相反为负。
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物体的受力分析和受力图
受力分析——分析物体受到的全部力 （载荷和约束力）。
载荷：主动力； 约束力：被动力
分析方法——取分离体，画受力图。
q
A
q
F Ax
F Ay
B
取分离体 ；
分析约束与相应的
约束力 ；
画出荷载与可能的
约束力.
FB
力的作用效应
移动
转动
力矢
如何度量？
力矩 力偶
• 第二章 平面力系
–平面汇交力系 –平面力对点之矩/平面力偶 –平面任意力系的简化 –平面任意力系的平衡条件
公理1 公理3
平衡力系
合力/分力
课程回顾
力的平行四边形法则。 加减平衡力系原理。
物体受力分析
等效力系
（作用效果）
力系等效替换
公理1、3
建立平衡条件
公理2 二力平衡条件(二力杆)。
公理4
作用和反作用定律。
公理5 刚化原理。
约束和约束力：自由体和非自由体
方向：必与该约束所能阻碍的位移方向相反
大小+方向 正交力系
解得 FBA 0.366P 7.321kN （压力）
FBA
F2
60°
y FBC
B
Fy 0 FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
FBC 1.366P 27.32kN （压力）
30°
x
F1
例3-1 图示圆轴斜齿轮，
已知：啮合力Fn ， 螺旋角β，压力角α
求：力Fn在三个坐标轴上的投影。 解：
Fxy
力在空间直角坐(1标.3-轴5)上影定理
空间汇交力系的合力
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和
F= F1 + F2 +……+Fn=∑Fi 合力投影定理：合力在某轴上的投影
等于各分力在同一轴上投影的代数和。 Fx= Fx1 + Fx2 +……+Fxn=∑Fxi Fy= Fy1 + Fy2 +……+Fyn=∑Fyi Fz= Fz1 + Fz2 +……+Fzn=∑Fzi
F3
F4
合力F R F123 F4
合力 F R
F4
F3
注意：各分力矢首尾相接，合力矢与第一分力矢
同起点 并与最后分力同终点。
2. 汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡条件：合力
FR Fi 0
平面汇交力系平衡的几何条件——
力多边形自行封闭。
F5
F1
F2
F4
F3
F2 F1
F3
F5 F4
例题 已知：梁重P=10kN,α=45° 求：钢索AC和BC所受的拉力。
空间汇交力系的平衡方程：
∑Fx= 0 ∑Fy= 0 ∑Fz= 0
Fx 0 Fy 0
例2-3 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮
大小， P=20kN
求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解： AB、BC为二力杆，
取滑轮B，画受力图。F1=F2=P
用解析法，建图示坐标系
Fx 0 FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
解：取梁AB为研究对像，画受力图
用几何法，画封闭力三角形。
力多边形自行封闭，构成直角三角形 FA=FB= Wcos45°= 10 cos45°= 7.07kN
F
C
从已知力
开始
C
F 45° B
P
A α=45°
FA
α B Aα
FB
αB
F 45° A
P
P
例2-1 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计
4.汇交力系的平衡方程
汇交力系的平衡条件：合力等于零。
FR Fx2 Fy2 Fz2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 ( Fzi )2 0
Fx= Fx1 + Fx2 +……+Fxn=∑Fxi=0 Fy= Fy1 + Fy2 +……+Fyn=∑Fyi=0 Fz= Fz1 + Fz2 +……+Fzn=∑Fzi=0
Fz= Fco(s1γ.3-5)
Fxy=Fsinγ
力的投影与分力间的关系
力的投影
在直角坐标轴上 力的投影与分力大小相同 y
F 投影
投影
Fy Fy
y 分力
F1 F
Fx Fx
x
Fy
Fx
x
y
F 分力
Fy
Fx x
力的投影与分力间的关系
力的投影
z
Fz
F
γ
Fx
Fy
x
Fxy
力的分解
z
Fz
F
γ
y
Fx
Fy
y
x
a Fx>0 b x F
投影为正；
相反时为负。 注意：力的投影是标量
Fx<0
x
力在直角坐标轴上的投影
Fz
F
z
Fx a b
Fy
y
x
Fx=Fcosα
Fy=Fcosβ
Fz=Fcos
y'
y
F
Fy b a
Fx
x'
O Fx=Fcosα x x Fy=Fcosβ
二次投影法
z
Fz
F
γ
Fx
Fy
y
x
Fxy
Fx= Fsinγ cos Fy= Fsinγ sin
Fxy= Fncos α Fz= –Fnsin α
Fx= – Fncos α cos β
Fy= – Fncos α sin β Fz= –Fnsin α
β
例3-3 图示起重装置，BCED平面与水平面夹角30°
已知：物重P=10kN，CE=EB=DE， =30°
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图
∑Fx= 0 F1sin 45°–F2 sin 45°= 0 F1=F2
∑Fy= 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
∑Fz= 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0 解得： F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
求：DC杆及铰链A的受力。
解：DC为二力杆，取AB杆，画受力图。
F
用几何法，画封闭力三角形。 A
45° C
B
按比例量得
FA
A
45°
C
FC
D
E
FA
F
FC
B
F 45°
从已知力 开始
3.汇交力系合成的解析法
1）力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式
力在轴上的投影
Fx=Fcos
投影的正负号规则
A
FB
x'
从起点到终点 与轴的正向相同时，
各力汇交于D点------空间汇交力系
简化方法： 几何法 解析法
z D滑轮
F
E
FAD A
FBD W B O
x
FCD 60° C
y
§2-1 汇交力系——几何方法
1. 汇交力系合成的几何法 力多边形法则
合成原理：力的平行四边形法则 （力三角形） 合成方法：力多边形法则
F1
A
F2
F2
F2
F1
F12 F 3 F 1
和平衡方程 –物体系的平衡/静定和超静
定问题 –平面简单桁架的内力计算
• 第三章 空间力系
–空间汇交力系 –力对点的矩和力对轴的矩 –空间力偶 –空间任意力系向一点的简
化/主矢和主矩 –空间任意力系的平衡条件 –重心
汇交力系
力系 力偶系
平行力系
任意力系
工程实例
起重装置由三根脚杆 AD,BD,CD和绞盘及绳索 ED组成