静力学(汇交系、力偶系)
平 面 简 单 力 系
—
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0 F FBA FBC 2 sin
F
x
0
F
y
0
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
取压块 C 为研究对象并受力分析 如图。建立坐标，由平面汇交力 系的平衡方程有：
已 知 : F , l1, l2 , . 求: MO(F) 静 力 学 平 面 简 单 力 系 — 解: MO (F) = F d d=?
MO (F) = MO (F cos) +MO(F sin )
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
例5：三角形分布载荷作用在水平梁上，如图示。 最大载荷强度为 q ，梁长l。试求该力系的合力。 解：先求合力大小。
平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力， 其大小和方向等于各分力的矢量和。
FR F1 F2 Fn Fi
i1
n
2．平面汇交力系平衡的几何条件
静 力 学 平 面 简 单 力 系 — 力系平衡的几何条件是:力系的力多边形自行封闭. 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 力系的合力等于零。
力偶矩。
3．平面力偶系的合成与平衡条件
静 （1）平面力偶系的合成 M Mi 力 学 同平面内的任意个力偶可合成为一个力偶， 平 面 （2）平面力偶系的平衡充分与必要条件 简 单 M Mi 0 力 系 平面内各力偶矩的代数和等于零 —
合力偶矩等于各力偶矩的代数和。
一个独立的平衡方程，可解一个未知量。
FB D 6 10 67.8 10 N 67.8kN 4
—
A
B FBA C FBC B
FB
C
FCB
FC
F
例2：如图所示的压榨机中杆AB和BC的长度相等，自重 忽略不计。已知：F=3kN，h =200mm，l =1500mm。试 静 求压榨机对工件与地面的压力，以及AB杆所受的力。 力 解： 取活塞BD为研究对象并受力 学 分析如图。建立坐标，由平面 汇交力系的平衡方程有：
2．同平面内力偶的等效条件
静 力 (1)力偶可在自己的作用平面内任意移动, 学 对刚体的作用不变。 —
在同平面内的两个力偶,如力偶矩相等,则两力偶等效。
(2)力偶可以改变F、d的大小，只要力偶矩 平 大小不变，对刚体的作用不变。
面 简 (3)力偶可以从一个平面平行移至另一个平面, 单 只要力偶矩不变，对刚体的作用不变。 力 系 (4)平面力偶对平面内任一点之矩均等于
FRx cos(FR ,i) FR FRy cos(FR ,j) FR
合力在某一轴上的投影等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
例 如图作用于吊环螺钉上的四个力构成平面汇交力系。 已知各力的大小和方向.试用解析法求合力大小和方向。
静 力 学
F1 360N
F2 550N
F3 380N
2.合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各 静 力 分力对该点之矩的代数和。 学
FR F1 F2 Fn 平 面 r FR r ( F1 F2 Fn )
简 M (F ) M (F ) M (F ) M (F ) O R O 1 O 2 O n 单 力 M O (F ) 系 —
F4 300N
2 2 解：FR FRx FRy
FRx Fx1 Fx 2 Fx 3 Fx 4 平 F1 cos 1 F2 cos 2 F3 cos 3 F4 cos 4
面 1162N 简 FRy Fy1 Fy 2 Fy 3 Fy 4 单 F1 sin 1 F2 sin 2 F3 sin 3 F4 sin 4 160 N 力 2 2 系 FR FRx FRy (1162) 2 (160) 2 1173N tg FRy FRx 160 1162 0.133 754
理论力学
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
静力学
主讲教师：梁小燕
2013年5月21日星期二
第三章 平面简单力系
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
§3-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2-3§٭平面汇交力系合成与平衡的解析法 §3-3 平面力对点的矩 §3-4 平面力偶系
§3-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的解析表达式：
Fx Xi
Fy Yj
F Xi Yj
F X 2 Y 2
Y tg X
2. 平面汇交力系合成的解析法
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
FR
FR FRxi FRy j
2 2 FR FRx FRy
( X i )2 ( Yi ) 2
FRx ( Fx1 Fx 2 Fxn ) Fxi FRy ( Fy1 Fy 2 Fyn ) Fyi
例6:工件上作用有三个力偶如图所示。已知：其力偶 矩分别为M1=M2=10N· m，M3=20N· m，固定螺柱的距 静 离l=200mm。求两光滑螺柱所受的水平力。 力 学 解：取工件为研究对象。 平 面 简 单 力 系
FAl M1 M 2 M 3 0
M1 M 2 M 3 FA l
—
3.平面汇交力系的平衡
静 力 学 平 面 简 单 力 系 — 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 该力系的合力等于零
F F
FR ( Fxi )2 ( Fyi )2 0
x y
0 0
两个方程，求两个未知数
各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零。
例1：图为弯管机夹紧机构的示意图，已知：压力缸 直径D=120mm ，压强p= 6MPa。设不计各杆自重和 静 摩擦，试求在 30位置时所能产生的夹紧力F。 力 解：取B点为研究对象 学 1 2 6 3 平 Fx 0 FBA cos30 FBC cos30 0 面 FBA FBC 简 Fy 0 FB 2FBC sin 30 单 FBC FB 67.8kN 力 系 取滑块C为研究对象 Fx 0 F FCB cos30 F 58.8kN
当平面汇交力系处于平衡状态时合力为零,则各力对 任意点之矩的代数和也为零.
例4：如图圆柱直齿轮受啮合力的作用。设F=1400N, 。 =20 ，压力角齿轮的节圆（啮合圆）半径r=60mm， 静 试计算力对轴心O的力矩。 力 学 解：解法1 按力矩定义求解。 M O (F ) F h Fr cos 平 1400 60 cos 20 78.93 N m 面 解法2 用合力矩定理求解。 简 单 M O (F ) M O (Ft ) M O (Fr ) 力 Ft 系 M O (Ft ) F cos r Fr F 78.93 N . m —
FC 2 2a M 0
M FA FC 2 2a
FC
FA
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
例：已知力偶矩 M1 10 N m ,求系统在图示位置平衡时 的力偶矩 M 2 的大小，不计构件自重及摩擦。 45
(a) M 2 M1 ,
(b)M 2 2M1
本 章 小 结
M 2 4M1 8kNm
例8：如图所示，已知图中M、r均为已知，且l=2r。 静 试画出AB和BDC杆的受力图；求A、C二处的约束力。 力 学 平 面 简 单 力 系 —
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
例9：在图示结构中，各构件的自重不计。在构件 AB上作用一矩为M的力偶，求支座A和C的约束力。
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
平面汇交力系是指作用在物体上各力的作用线 在同一平面内且汇交于一点。
1.平面汇交力系合成的几何法 静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
F1 A F2 F4 F3 FR
E A
F1
B
F2
C
F3
D
F4
力的多边形法则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段。加上 一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
FR Fi 0
§3-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
解析法是以力在坐标轴上的投影分析力系的合成及平衡。 静 力 1．力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式 学 X F cos
平 面 简 单 力 系
Y F cos F sin 力在x、y方向的分力：
—
对销钉A
例3 已知四连杆机构ABCD 受力P、Q 作用。 求 机构平衡时P、Q 的关系。
Q T2 cos45 0
T2 2Q
3 T2 P T2 P cos30 0 2 P 2 2 3 1.633 2Q P T2 T2 Q 3 2
解法二 考虑整体DABC的平衡：
F
x
0
F
y
0
FCx FCB cos 0
FCB sin FCy 0 F cos F Fl FCx cot 11.25kN 2 sin 2 2h F FCy FCB sin 1.5kN 2
静 力 解：（1）分别考虑A、B销钉的平衡： 学 平 Fx 0 面 简 对销钉B 单 力 Fx 0 系 —
静 1．平面汇交力系合成为通过汇交点的一个合力 力 FR F 学 2. 平面汇交力系平衡的必要和充分条件 平 Fx 0 FR 0 合力等于零 面 Fy 0 简 单 3．力矩是度量力对物体转动效应的物理量。 力 平面问题中，力对点之矩是代数量。 系 M (F ) F h r F
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工程力学(静力学与材料力学)第三章力偶系详解
FB
r M2 0 ∑ M = 0 ， FA sin
M 2 2r FA
M2 = 4M1 = 8kNm
2M 1 FO FB FA 8kN r
• 作业3-1,3-4,3-8
考虑CB部分为二力构件，得：
FC FA FB FC
例3-4
图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在 摇杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置OA⊥OB，α = 30°，且系统平衡。 求作用于摇杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的反 力。 解：受力分析
M1
R
F1
M
F2
2
M1 + M2 = rBA×F1 + rBA×F2 = rBA×( F1 + F2 ) = rBA×R = M
如有n个力偶，按上法依次合成, 最后得一力偶,合力偶矩矢为 M = M1 +M2 + … +Mn = ∑M I
B
rBA
A
F2
F1
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。 M = M 1+ M 2+ … + M n = ∑M i
性质三
证：
力偶没有合力
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可 找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线 共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与 性质二矛盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等 效而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡 力偶只能与力偶相平衡
§3-4 力偶系的合成
设有两个力偶，由性质一,将 力偶中两力分别移到两力偶作用面 交线上的两点 A 和 B,可得到两个 汇交力系，其合力分别为R 、 R ’ 。
2工程力学静力学第二章 基本力系
6
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 线通过各力的汇交点。 线通过各力的汇交点。 二、平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形自行封闭） 平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形自行封闭） 平面汇交力系平衡的充要条件是
R = ∑F = 0
在上面几何法求力系的合力中，合力 为零意味着力多边形自行封闭。所以平 平 面汇交力系平衡的必要与充分的几何条 件是： 件是： 力多边形自行封闭 或 力系中各力的矢量和等于零
30
§2 - 3
问题的提出： 问题的提出： 平面一般力系的简化
与力偶不同，力是滑移 矢量而不是自由矢量， 其作用线如果作平行移 动，会改变它对刚体的 作用效果。
力线平移
31
力线平移定理 F` O
∥ F`=F``= F
F`
. .
A
F
O
.
F``
结论: 力的作用线可以平行移动,移动后必须附加一个力偶 必须附加一个力偶,附加力偶 必须附加一个力偶 的力偶矩等于原来的力对所移动点的力矩。 M=mo（F） 平移结果： 平移结果：一力平移后即引出一个附加力偶以维持力在原作用点时的 作用效应，附加力偶之矩等于原力对新作用点之矩，转动方向取决于 原力绕新作用点的转动方向。
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
即：
Rx = X1 + X2 + X4 = ∑X
Ry = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = ∑Y
Rx = ∑ X
R y = ∑Y
合力投影定理：合力在某一轴上的投影， 合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。 轴上投影的代数和。
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 线通过各力的汇交点。 线通过各力的汇交点。 二、平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形自行封闭） 平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形自行封闭） 平面汇交力系平衡的充要条件是
R = ∑F = 0
在上面几何法求力系的合力中，合力 为零意味着力多边形自行封闭。所以平 平 面汇交力系平衡的必要与充分的几何条 件是： 件是： 力多边形自行封闭 或 力系中各力的矢量和等于零
30
§2 - 3
问题的提出： 问题的提出： 平面一般力系的简化
与力偶不同，力是滑移 矢量而不是自由矢量， 其作用线如果作平行移 动，会改变它对刚体的 作用效果。
力线平移
31
力线平移定理 F` O
∥ F`=F``= F
F`
. .
A
F
O
.
F``
结论: 力的作用线可以平行移动,移动后必须附加一个力偶 必须附加一个力偶,附加力偶 必须附加一个力偶 的力偶矩等于原来的力对所移动点的力矩。 M=mo（F） 平移结果： 平移结果：一力平移后即引出一个附加力偶以维持力在原作用点时的 作用效应，附加力偶之矩等于原力对新作用点之矩，转动方向取决于 原力绕新作用点的转动方向。
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
即：
Rx = X1 + X2 + X4 = ∑X
Ry = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = ∑Y
Rx = ∑ X
R y = ∑Y
合力投影定理：合力在某一轴上的投影， 合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。 轴上投影的代数和。
第二章平面汇交力系及平面力偶系
一、几何法合成（作图法）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
大学静力学02.第二章 汇交力系
§ 2-2 汇交力系的平衡条件
三、汇交力系平衡的解析条件
合力计算公式
FR
Fx 2 F y 2 Fz 2 Fx 2 F y 2 Fz 2
F 0 x Fy 0 Fz 0
0
由 得
FR
刚体在汇交力系作用下处于平衡的解析条件是: 力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于 零
F1
y
合力投影定理
数和
合力在某一轴上的投影，等于各力在同一轴上投影的代
§ 2-1 汇交力系的合成
合力的大小为
FR FRx FRy FRz
2 2 2
Fx 2 Fy 2 Fz 2
cos( FR FR Fy cos( FR , j ) FR Fz cos( FR , k ) FR
Fx , i)
合力方向余弦为
平面汇交力系的合力和方向余弦为
FR
Fx 2 Fy 2
cos( FR
Fx , i)
FR
§ 2-2 汇交力系的平衡条件
一、 三力平衡定理
设作用在物体上的三个力F1 、F2 、F3 共面且互不平 行, 使物体处于平衡状态 F2 F2 FR1 B B F1 A C C O A F1
Fz Fx
F
Fy y′ y
O
x′ x
§ 2-1 汇交力系的合成
3. 力在直角坐标轴上的投影
z
Fxy=F cos Fx = Fxy cos = F cos cos Fy = Fxy sin = F cos sin Fz = F sin
理论力学-静力学部分
静力学部分总结姓名：孟庆宇班级：15工9 学号：20150190218静力学是研究物体的受力分析与力系简化及平衡。
平面力系：1、平面汇交力系；2、平面力偶系；3、平面任意力系。
空间力系：1、空间汇交力系；2、空间力偶系；3、空间任意力系。
一、基本概念1、静力学；2、刚体；3、变形体；4、力；5、力系；6、等效力系；7平衡；8、平衡力系；9、平衡条件；10、平衡方程； 11、力系简化；12、合力；13分力；14、二力构件；15、自由体；16非自由体；17、约束；18、约束力；19主动力；20、被动力；21、施力体；22、受力体。
物体在受到力的作用后，产生的效应可以分为两种：(1)外效应也称为运动效应——使物体的运动状态发生改变；(2)内效应也称为变形效应——使物体的形状发生变化。
静力学研究物体的外效应。
材料力学主要研究力对物体的内效应。
23、平面力系；24、平面汇交力系；25、平面力对点的矩；26、平面力偶矩；27、平面任意力系；28、主矢；29、主矩；30、平面力系平衡条件；31、平面力系平衡方程；32、平面物体系统；33、平面物体系统的平衡；34、静定问题；35、超静定问题；36、平面桁架。
37、空间力系；38、空间汇交力系；39、空间力对点、对轴的矩；40、空间力偶矩；41、空间任意力系；42、主矢；43、主矩；43、空间力系平衡条件；44、空间力系平衡方程。
二、基本理论1、五大公理、两个推论及其应用。
2、工程中常见的八大约束类型及约束反力。
(1)光滑约束；(2)柔索约束；(3)圆柱销光滑铰链约束；(4)固定铰支座约束；(5)滚动支座约束；(6)球铰链约束；(7)止推轴承约束；(8)固定端约束。
3、力的投影定理及性质(平面、空间)；4、力矩、力偶矩的定义及性质(平面、空间)；5、合力投影定理及合力矩定理(平面、空间)；6、力的平移定理；7、任意力系的四种简化结果 (平面、空间)；(1) 0='RF 0≠O M ；(2) 0≠'R F 0=O M ；(3) 0≠'R F 0≠O M ； (4) 0='RF 0=O M 。
静力学基本概念
F1 证明： A1 A A3 F3 F3 A2 F2
F
=
A A3
公理四：作用力与反作用力公理
对应于任一作用力，必同时有一反作用力，作用力与反作 用力大小相等，方向相反、作用线相同，分别作用于互相作用 的两个物体上。
[例] 吊灯
齿轮啮合力
FR
FR'
公理五：刚化公理 ——刚体平衡条件与变形体平衡条件关系
BC梁：
5、已知：一简易支架如图所示，承受载荷P作用。求： 试画出整体的受力图及OB杆带轮O、OB杆、AD杆、轮 O、小轮及销O的受力图。
例6：构架（刚架）。画整体、杆AB、BC 、DE受力图。
注意几点：
(1) 在分离体简图上画，一般勿在原图上画； (2) 先判断二力杆，受力图上有二力杆时其约束力必 须按二力杆画； (3) 先画主动力，再画约束力； (4) 约束力的画法要按典型约束(力)的性质去画，特 别是其方向(方位、指向)，勿由主动力去判断； (5) 一个问题中要画几个受力图时，各受力图之间的 约束力必须满足作用、反作用定律。
§1-3 约束与约束反力
一、概念
自由体——在空间的位移不受任何限制的物体。 非自由体——在空间不能自由位移或位移受到限制的物体。 约束——阻碍非自由体某些位移的周围物体。 1、约束指物体 2、约束限制了非自由体的运动（或位移）。
约束反力——约束对被约束物体的作用力。
约 束 反 力
D A
K C B Ⅰ
E
Ⅱ
G
解： 1. 杆BD（B处为没有销钉的孔）的受力图
D
A
FDB
D
K
C B Ⅰ B E
Ⅱ
3. 杆DE的受力图
静力学-2力系简化
i 1
10
例：工件如图所示，它
的四个面上同时钻五个 孔，每个孔所受的切削 力偶矩均为80 N· m。求 工件所受合力偶矩矢量
的大小和方向。 解： 将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢量表示，并平移到A点。
合力偶在坐标轴上的投影分别为 合力偶: M Rx M 3 M 4 cos45 M 5 cos45 193.1 N.m M R 193.1 i 80 j 193.1 k M Ry M 2 80 N.m M Rz M1 M 4 cos45 M5 cos45 193.1 N.m 11
8
二、力偶系的简化
回忆： 1、什么叫力偶 2、力偶的三要素 一个力偶等同于一个力偶矩矢量
3、力偶的性质 自由矢量
9
力偶系：作用在刚体上的一群力偶
力偶简化后仍为力偶
n
{M1, M2 ,, Mn } {M R }
n n i 1 i 1
M R M ix i M iy j M iz k
o’ o
FR
d o’
MO
MO 大小： d FR
O’的定位矢量d如何确定？
FR M O 方向（单位矢量）：n FR M O M F MO F M d O R R 2 O OO’(d矢量)： FR FR M O FR
18
(2) FR 0, MO 0, FR MO
平衡
合力偶
合力
FR 0 且 M O29 0
确 定 图 示 力 系 的 简 化 结 果
F3
F2
F1
平面椭圆A
30
例
胶带运输机传动滚筒的半径R=0.325 m，由驱动装置传来 的力偶矩M=4.65 kNm，紧边皮带张力F T 1＝19 kN，松皮带张 力F T 2＝4.7 kN，皮带包角为210°，坐标位置如图 (a)所示，试 将此力系向点O简化。
10
例：工件如图所示，它
的四个面上同时钻五个 孔，每个孔所受的切削 力偶矩均为80 N· m。求 工件所受合力偶矩矢量
的大小和方向。 解： 将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢量表示，并平移到A点。
合力偶在坐标轴上的投影分别为 合力偶: M Rx M 3 M 4 cos45 M 5 cos45 193.1 N.m M R 193.1 i 80 j 193.1 k M Ry M 2 80 N.m M Rz M1 M 4 cos45 M5 cos45 193.1 N.m 11
8
二、力偶系的简化
回忆： 1、什么叫力偶 2、力偶的三要素 一个力偶等同于一个力偶矩矢量
3、力偶的性质 自由矢量
9
力偶系：作用在刚体上的一群力偶
力偶简化后仍为力偶
n
{M1, M2 ,, Mn } {M R }
n n i 1 i 1
M R M ix i M iy j M iz k
o’ o
FR
d o’
MO
MO 大小： d FR
O’的定位矢量d如何确定？
FR M O 方向（单位矢量）：n FR M O M F MO F M d O R R 2 O OO’(d矢量)： FR FR M O FR
18
(2) FR 0, MO 0, FR MO
平衡
合力偶
合力
FR 0 且 M O29 0
确 定 图 示 力 系 的 简 化 结 果
F3
F2
F1
平面椭圆A
30
例
胶带运输机传动滚筒的半径R=0.325 m，由驱动装置传来 的力偶矩M=4.65 kNm，紧边皮带张力F T 1＝19 kN，松皮带张 力F T 2＝4.7 kN，皮带包角为210°，坐标位置如图 (a)所示，试 将此力系向点O简化。
第三章 力偶系
M M
M（+）
M M M
（-）
注意:力偶的转向与力偶矢方向的区别与关联! M
§3-5 力偶系的合成(简化)
设作用于刚体上的两个力偶M1, M2：
M1 F1, F1'
F1
M2 F2, F2'
Q F F1 F2
F2
F ' F1' F2'
MR F, F '
F
M F1' F ' 1
MR M1 M2 ... Mn M
M1Fn
F1 o
Fn’ F2
＝ M1
F1’
F2’
§3-5 力偶系的合成(简化)
合力偶矩矢：
z
MR M1 M2 ... Mn M
将上述矢量式对坐标轴投影得：
M Rx M1x M2x ... Mnx M x M Ry M1y M2 y ... Mny M y M Rz M1z M2z ... Mnz M z
二个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。
M1
M2
B rBA
F1'
A
M1 rBA F1
F1
M1 M2
D
rDC
F2
F2'
C
M 2 rDC F2
0.4m
60N
0.4m
60N
40N 0.6m
M=24N.m
§3-4 力偶的等效条件和性质 二、力偶的性质
性质一： 力偶不能与一个力等效(即力偶无合力)，因 此也不能与一个力平衡。
MO MO (F1) MO (F2 ) 力对点之矩矢服从矢量的合成法则 对空间力系(F1, F2, …, Fn)，有：
MO MO (F1) MO (F2 ) ... MO (Fn )
静力学 第03章 力偶系
M y (F = zF − xF ) x z Mz (F = ) zFy − yFx
§3-2 力对轴之矩
力对轴之矩的方向确定
力对轴之矩是代数量，表示力矩的大小和转向，并按右 手规则确定其正负号，如图所示，拇指指向与 轴一致为 正，反之为负。
§3-2 力对轴之矩
力对轴之矩与力对点之矩的关系
FA = M a 2 + b2
FB
作
业
3-1 3-2 3-5 3-8
§3-1 力对点的矩矢
[例] 曲拐OAB。已知 OA﹑AB﹑θ﹑P,求MO ( P )。 解法一 依定义解
M o P =P × OB ⇒ M o P =P × OB × sin θ
( )
( )
∴ |MO ( P )| =P× (OA2+AB2 )1／2 ×sin θ
∑
n i =1
mi
§3-5 力偶系的合成
合力矩
P2’
M = rBA × FR = rBA × P 1+P 2 = rBA × P 1 + rBA × P 2 = d1 × F1 + d 2 × F2 = M1 + M 2
(
)
S1 F1’
ΣMy
力偶系合成的结果: 仍然是一个力偶，其力 偶矩矢量等于原力偶系中 所有力偶矩矢量之和。即
ΣM x
M=Σ Mxi+ Σ Myj+ Σ Mzk
M
§3-6 力偶系的平衡条件
力偶系平衡的充要条件是：力偶系各力偶 矩矢的矢量和等于零，即M=Σ M i=0，或者 ΣMx= ΣMy= ΣMz=0（即力偶系各力偶矩矢分 别在三个坐标系投影的代数和等于零）。 例题3-1：三铰刚架由两直角刚架组成，AC 部分上作用一力偶，其力偶矩为 M， 自重 不计， 且 a : c = b : a，求A、B支座 的反力。
第二章 汇交力系
同理： FRy F1y F2 y F3y Fy
§1 汇交力系的合成
5、汇交力系合成的解析法
应用合力投影定理求出力系合力的投影后，可用下式 求出合力的大小和方向： 合力的大小：
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向余弦：
汇交力系的合成 几何法(矢量法) 解析法(投影法)
汇交力系的平衡条件 几何法(矢量法) 解析法(投影法)
§1 汇交力系的合成
一、力的可传性
F
公理三：加减平衡力系原理 在刚体上增加或减去
一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应
F’ F”
F A
B
F
A
B
若{P1, P2 ,L , Pm} {0} 则 {F1, F2, , Fn}
例2-3：圆柱重G=500N，搁在光滑墙面与夹板间， 板与墙面夹角为60°，用解析法求：圆柱给墙面和 夹板的压力。
解：1.以圆柱为研究对象，画受力图；
FA
O
G
FB
O
AG
60° B
例2-3：圆柱重G=500N，搁在光滑墙面与夹板间，
板与墙面夹角为60°，用解析法求：圆柱给墙面和
夹板的压力。
解：1.以圆柱为研究对象，画受力图：
Fx + Fy = F
| F | = (Fx)2 + (Fy)2 x
= (Fx)2 + (Fy)2
α = atan (Fy /Fx)
§1 汇交力系的合成
三、汇交力系合成的解析法(投影法)
可见： 力F在垂直坐标轴上的投影分量与沿轴分解的分 力大小相等；力F在相互不垂直的轴上的投影分 量与沿轴分解的分力大小是不相等的。 力在任一轴上的投影大小都不大于力的大小；而 分力的大小却不一定都小于合力大小。 力在任一轴上的投影可求，力沿一轴的分量不可 定。