江苏专版2018高考数学大一轮复习第三章导数及其应用17曲线的切线课件文
2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义课件 第三章 导数及其应用 3.1 精品
即5x＋y＋2＝0.
4.(教材改编)若过曲线y＝ 1 上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标 x
1 1 (2，2)或(－2，－2) 为 .
答案 解析
－1
1 ∵y′＝(x )′＝－x2＝－4， 1 1 ∴x ＝4，x＝± . 2
2
1 1 ∴切点坐标为(2，2)或(－2，－2).
5.(教材改编)函数f(x)＝x3的斜率等于1的切＝3x2，设切点为(x0，y0)，
则 3 x2 0＝1，得 3 x0＝± 3 ，
3 3 3 3 即在点( 3 ， 9 )和点(－ 3 ，－ 9 )处有斜率为 1 的切线.
题型分类
深度剖析
题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数. (1)y＝x2sin x；
解答
y′＝(x2)′· sin x＋x2.(sin x)′
(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x.( × )
考点自测
1.(教材改编)若f(x)＝x· ex，则f′(1)＝ 2e .
思维升华
求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求 导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商 的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运
算量.
跟踪训练1 (1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0＝ 1 .
1 (－ )′＝( x x
1 2
1 1 3 2 )′ ＝ x ＝ ，所以③正确. 2x x 2
(江苏专版)高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算实用课件文
2．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若 Δx_无__限__趋__近__于___0_时，比值ΔΔxy＝_f_x_0_＋__ΔΔ_x_x_－__f_x_0_ 无限趋近于一 个_常__数___A_，则称 f(x)在 x＝x0 处 可导 ，并称常数 A 为函数 f(x) 在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0) ． 3．函数 f(x)的导函数 若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都 可导 ，则 f(x) 在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变 量 x 的 函数 ，该函数称为 f(x)的 导函数 ，记作 f′(x) ．
(3)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C 为常数)； f′xgx－fxg′x
(4)gfxx′＝_________[g__x__]2_______ (g(x)≠0)．
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考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
已知函数的解析式求导数 [例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝(1－ x)1＋ 1x； (2)y＝lnxx； (3)y＝tan x； (4)y＝3xex－2x＋e.
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考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求切线方程 [例 1] 已知函数 f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程． [解] (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5， ∴f′(2)＝1，又 f(2)＝－2， ∴曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－(－2)＝x－2， 即 x－y－4＝0.
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求切点坐标 [例 2] (1)设曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y＝1x(x＞0) 上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为________． (2)(2018·广州模拟)设函数 f(x)＝x3＋ax2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 x＋y＝0，则点 P 的坐标为________． [解析] (1)y＝ex 的导数为 y′＝ex，则曲线 y＝ex 在点(0,1) 处的切线斜率 k1＝e0＝1.y＝1x(x＞0)的导数为 y′＝－x12(x＞0)， 设 P(m，n)，则曲线 y＝1x(x＞0)在点 P 处的切线斜率 k2＝－m12(m ＞0)．因为两切线垂直，所以 k1k2＝－1，所以 m＝1，n＝1，则 点 P 的坐标为(1,1)．
江苏专用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3利用导数研究函数的最(极)值课件文
考点一 用导数研究函数的极值(多维探究) 命题角度一 根据函数图象判断极值 【例1－1】 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y ＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论：
①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)； ②函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)； ③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)；
4 的取值范围是3，＋∞.
考点二 利用导数求函数的最值 【例2】 (2017·徐州模拟)已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
解 (1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex， 令f′(x)＝0，得x＝k－1.
规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设 自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用 求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结
合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开
区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就 是最值点．
【训练 3】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 a y(单位： 千克)与销售价格 x(单位： 元/千克)满足关系式 y＝ ＋ x－3 10(x－6)2，其中 3＜x＜6，a 为常数，已知销售价格为 5 元/千克 时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元千克，试确定销售价格 x 的值，使商 场每日销售该商品所获得的利润最大．
的体积最大．
解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh＝200πrh 元，底面的总 成本为 160πr2 元． 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 又根据题意得 200πrh＋160πr2＝12 000π， 1 所以 h＝5r(300－4r2)， π 从而 V(r)＝πr h＝5(300r－4r3)．
2018高考数学(理)大一轮复习课件：第三章 导数及其应用 第二节 导数与函数的单调性
1 由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x， 3 5 知f′(1)＝－4－a＝－2，解得a＝4.
x2－4x－5 x 5 3 所以f(x)＝4＋4x－ln x－2，则f′(x)＝ ， 4x2 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5， 因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数； 当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增 函数． 所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区 间为(0,5)．
值对不等式解集的影响进行分类讨论．
求函数的单调区间
[例2] x a 3 已知函数f(x)＝ 4 ＋ x －ln x－ 2 ，其中a∈R，且曲
1 线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x，求函数f(x) 的单调区间．
[解]
1 a 1 对f(x)求导得f′(x)＝4－x2－x，
第二节 导数与 函数的 单调性
本节主要包括2个知识点： 1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间； 2．利用导数解决函数单调性的应用问题.
突破点(一)
基础联通
利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间
抓主干知识的“源”与“流”
1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
证明或讨论函数的单调性
判断函数单调性的三种方法
【数学课件】2018版高考数学(文)一轮复习：第3章-导数及其应用(人教A版4份)
考点突破
课堂总结
4.(2017· 豫北名校期末联考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2) 处的切线方程为________. 解析 ∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝
－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x
＋y＋2＝0. 答案 5x＋y＋2＝0
基础诊断
考点突破
课堂总结
5.(2015· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知函数 f(x) ＝ ax3 ＋x ＋1 的图象在点 (1 ， f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________. 解析 由题意可得f′(x)＝3ax2＋1，则f′(1)＝3a＋1，
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1). ∵切线过点(2，7)， ∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 答案 1
f′（x）g（x）－f（x）g′（x） f （x ） 2 [ g （ x ） ] (3) ′＝______________________________ (g(x)≠0).
g（x）
基础诊断 考点突破 课堂总结
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( )
(2)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(2)错.
(4)f(x)＝a3＋2ax＋x2＝x2＋2ax＋a3，∴f′(x)＝2x＋2a，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
基础诊断 考点突破 课堂总结
3 2.(选修 1－1P75 例 1 改编)有一机器人的运动方程为 s(t)＝t ＋ t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t＝2 时的瞬时速度为 ( ) 19 17 15 13 A. 4 B. 4 C. 4 D. 4 3 解析 由题意知，机器人的速度方程为 v(t)＝s′(t)＝2t－ 2， t 3 13 故当 t＝2 时，机器人的瞬时速度为 v(2)＝2×2－ 2＝ . 2 4 答案 D
2018高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习课件第三章导数及其应用18
2.判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； f′(x)>0 f′(x)<0 (3)在函数f(x)的定义域内解不等式 _________或_________； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．
课堂导学
求函数的单调区间
例1
求下列函数的单调区间．
b ④当2>1，即 b>2 时，列表如下： b b 1， ，＋∞ (0，1) x 2 2
1 x∈1，a－1时，f(x)单调递增．
含参函数单调性的讨论
已知函数f(x)＝x2－(2＋b)x＋bln x(x>0，b为实常数)，讨论函数f(x)的单调性． 【思维引导】先确定函数的定义域为(0，＋ ∞)，然后求解函数f(x)的导数，最后利用导数 的符号判断函数的单调性．
例2
变 式
1－a 已知函数 f(x)＝lnx－ax＋ x －1，a∈R.当
1 0<a<2时，讨论函数 f(x)的单调性． 1－a 【解答】因为 f(x)＝lnx－ax＋ x －1，x∈(0，＋∞)，
a－1 ax2－x＋1－a 1 所以 f′(x)＝x－a＋ x2 ＝－ . x2 1 令 f′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝a－1. 1 1 因为 0<a<2，所以a－1>1>0，
x f′(x) f ( x)
b 0， 2
b ，1 2
(1， ＋∞) ＋
＋
－
所以函数
b f(x)的单调增区间为0，2，(1，＋∞)，单调减
b 区间为2，1；
b ③当2＝1，即 b＝2 时，函数 f(x)的单调增区间为(0，＋ ∞)；
江苏专版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算教案文含解析苏教版
江苏专版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算教案文含解析苏教版第一节 导数的概念及导数的运算1．导数的概念 (1)平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 ①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，此值ΔyΔx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x α f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[Cf (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数)；(3)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x (g (x )≠0)．[小题体验]1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________． 解析：由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案：e2．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝03．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝_____.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，所以f ′(3)＝－13，因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：01．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α－1与指数函数的求导公式(a x)′＝a xln a 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .答案：－x sin x2．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e 0x＝－1，所以ex ＝a ，又－1a·e 0x＝－x 0＋1，所以x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 23．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a ＝________.解析：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.答案：－1或－2564考点一 导数的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]求下列函数的导数． (1)f (x )＝x 3＋x ； (2)f (x )＝sin x ＋x ； (3)f (x )＝e x cos x ； (4)f (x )＝x －1x－ln x . 解：(1)f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. (2)f ′(x )＝cos x ＋1.(3)f ′(x )＝e xcos x －e xsin x ＝e x(cos x －sin x )． (4)f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx2.[谨记通法]求函数导数的3种原则考点二 导数的几何意义题点多变型考点——多角探明[锁定考向]导数的几何意义是把函数的导数与曲线的切线联系在一起，一般不单独考查，在填空题中会出现，有时也体现在解答题中，难度偏小．常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围)．[题点全练]角度一：求切线方程1．(2019·泰州检测)若函数f (x )＝2x 在点(a ，f (a ))处的切线与直线2x ＋y －4＝0垂直，则该切线方程为________．解析：∵切线与直线2x ＋y －4＝0垂直， ∴切线的斜率是12.∵f (x )＝2x ，∴f ′(x )＝x12-，∴f ′(a )＝a12-＝12. 解得a ＝4，则f (4)＝4，故函数f (x )在点(4,4)处的切线方程为x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝02．已知曲线y ＝x 与y ＝8x的交点为C ，两曲线在点C 处的切线分别为l 1，l 2，则切线l 1，l 2与y 轴所围成的三角形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝8x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即C (4,2)，由y ＝x ，得y ′＝(x )′＝12x ，则直线l 1的斜率k 1＝14，∴l 1：y ＝14x ＋1.同理可得l 2：y ＝－12x ＋4，如图，易知S △ABC ＝12×3×4＝6，即所求的面积为6.答案：6角度二：求切点坐标3．(2019·扬州模拟)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为________．解析：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，符合题意．答案：(1,3)和(－1,3) 角度三：求参数的值(范围)4．(2018·常州高三期末)已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．解析：设切点为(x 0，bx 0＋ln x 0)，f ′(x )＝b ＋1x ，则k ＝b ＋1x 0，故切线方程为y －(bx 0＋ln x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1x(x －x 0)，将(0,0)代入，可得x 0＝e ，则k ＝b ＋1e ，∴k －b ＝1e .答案：1e[通法在握]与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.[演练冲关]1．曲线f (x )＝2x －e x与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________． 解析：曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x，所以f ′(0)＝1. 所以所求切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝02．(2018·南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x＝1处的切线为l ，则点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为________．解析：把x ＝1代入y ＝m x ＋1，得y ＝m2， 则切线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m 2.∵y ′＝－m x ＋12，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－m4.∴切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，即mx ＋4y －3m ＝0.∴点(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2m －4－3m |m 2＋42＝|－4－m |m 2＋16＝m ＋4m 2＋16＝m ＋42m 2＋16＝m 2＋8m ＋16m 2＋16＝1＋8mm 2＋16＝ 1＋8m ＋16m≤ 1＋82m ·16m＝2，当且仅当m ＝16m，即m ＝4时取“＝”，故所求最大值为 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0，f ′0＝－aa ＋2＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·常州调研)函数f (x )＝e x ＋x 2＋sin x 的导函数f ′(x )＝________. 答案：e x＋2x ＋cos x2．(2018·镇江调研)函数f (x )＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于________． 解析：由f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，得f ′(x )＝3x 2＋2x －1， 所以f ′(1)＝3＋2－1＝4. 答案：43．(2018·苏州暑假测试)曲线y ＝e x在x ＝0处的切线方程为____________． 解析：因为y ′＝e x，所以y ＝e x在x ＝0处的切线斜率k ＝e 0＝1， 因此切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝04．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x(－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π5．(2019·苏州调研)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23，当x ＝a 3时，f ′(x )取到最大值a 23.∴a 23＜1，解得－3＜a ＜ 3. 答案：(－3，3)6．(2018·苏北四市调研)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，所以f ′(－1)＝8， 故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，所以所求面积S ＝12×54×10＝254.答案：254二保高考，全练题型做到高考达标1．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(2)＝________. 解析：因为f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2，则f ′(x )＝2x －4，所以f ′(2)＝2×2－4＝0.答案：02．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________. 解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：83．(2019·淮安调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 解析：因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， 所以y ′＝x ＋2－x x ＋22＝2x ＋22，y ′| x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， 所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：y ＝2x ＋14．(2018·无锡期末)在曲线y ＝x －1x(x ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝________.解析：因为y ′＝1＋1x2，切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－1x 0，x 0＞0，所以切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝1＋1x 20，所以切线方程是y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝2x 0x 20＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0x 20＋1，0； 令x ＝0，得y ＝－2x 0，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2x 0.所以S △OAB ＝12·2x 0x 20＋1·2x 0＝2x 20＋1＝13，解得x 0＝ 5.答案： 55．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________.解析：因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，解得m ＝－2. 答案：－26．(2018·淮安高三期中)已知函数f (x )＝x 3.设曲线y ＝f (x )在点P (x 1，f (x 1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x 2，f (x 2))，记f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′x 1f ′x 2的值为________．解析：由f ′(x )＝3x 2，得f ′(x 1)＝3x 21，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 1，x 31)处的切线方程为y ＝3x 21x －2x 31，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 21x －2x 31，y ＝x 3，解得Q(－2x 1，－8x 31)，所以x 2＝－2x 1，所以f ′x 1f ′x 2＝3x 213x 22＝14.答案：147．(2019·南通一调)已知两曲线f (x )＝2sin x ，g (x )＝a cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．解析：f ′(x )＝2cos x ，g ′(x )＝－a sin x ．设点P 的横坐标为x 0，则f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)·g ′(x 0)＝－1，即2sin x 0＝a cos x 0，(2cos x 0)·(－a sin x 0)＝－1，所以4sin 2x 0＝1.即 sin x 0＝±12，因为x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x 0＝12，cos x 0＝32，所以a ＝233.答案：2338．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1(x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．解析：设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 2＋1)＝2x 0(x －x 0)，所以y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝－2x 20＋6x 0＋2，所以S 普通梯形＝g 1＋g 22×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1349．(2019·盐城中学月考)求下列函数的导数： (1)y ＝x 2(ln x ＋sin x )； (2)y ＝cos x －x x2； (3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝2x (ln x ＋sin x )＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋cos x ＝2x ln x ＋2x sin x ＋x ＋x 2cos x .(2)y ′＝－sin x －1x 2－cos x －x ·2xx 4＝x －2cos x －x sin xx 3.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x .10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14得， f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax . 设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)， g ′(x )＝－1x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34， 所以x 0＝e 34，所以a ＝－1e34＝－e 34-. 答案：－e34-2．(2018·启东中学高三测试)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线l：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线l既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，解得a＝－2.(2)存在，理由如下：由已知得，直线l恒过定点(0,9)，若直线l是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f′(x)＝－6x2＋6x＋12，①由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第2课时导数与函数的极值最值课件文
④函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2).
答案 解析
命题点2 求函数的极值 例2 设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a. (1)求f(x)的极值； 解答 令f′(x)＝－3x2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1. 又因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0； 当x∈(－1，1)时，f′(x)>0；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 2 1 9.(2016· 徐州模拟)已知函数 f(x)＝3x案 2 则实数 m 的值为________. 解析
1 3 2 由 f(x)＝3x －x －x＋m，可得f′(x)＝x2－2x－1，
10 11 12 13
2 2.(2016· 四川改编)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝_____.
答案 解析
∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12， 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；
答案 解析
由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为－1.
1 1 1 令 f′(x)＝x －a＝0，得 x＝a，当 0<x<a时，f′(x)>0； 1 1 当 x>a时，f′(x)<0. ∴f(x)max＝f(a)＝－ln a－1＝－1，解得a＝1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调性
f′(x)<0
一般地，当函数f(x)在点fx′0处(x连)<续0 时， f′(x)>0
①如果在x0附近的左侧
，右侧
极大值；
，那么f(x0)是
(2)求可导函数极值的步骤：
①求f′(x)；f′(x)＝0
②求方程
的f′根(x；)＝0
③考察f′(x)在方程
的根极附大近值的左右两侧导数值的符号.如果左
极小值
含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以 下几种可能： (1)方程f′(x)＝0是否有根； (2)若f′(x)＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内； (3)若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.
课时作业
1.(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1) ＝(－0∞，，当－x>10)∪时(，0，xf1′) (x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 __答__案____解__析_________.
解答 几何画板展示
思想与方法系列5 用分类讨论思想研究函数的单调性 典例 (16分)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中函数g(x)的图象 在点(1，g(1))处的切线平行于x轴. (1)确定a与b的关系； (2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性. 思想方法指导 规范解答
2.本题(2)中，若h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求a的取值范围.
解答
h(x)在[1，4]上存在单调递减区间， 则h′(x)<0在[1，4]上有解， 即当 x∈[1，4]时，a>x12－2x有解， 又当 x∈[1，4]时，(x12－2x)min＝－1， ∴a>－1，即a的取值范围是(－1，＋∞).
高考数学大一轮复习第三章导数及其应用17曲线的切线课件文
导数几何意义的综合应用
例2
已知函数 f(x)＝ax－bx，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))
处的切线方程为 7x－4y－12＝0.
(1) 求函数 f(x)的解析式；
(2) 求证：曲线 y＝f(x)上任意一点处的切线与直线 x＝0
和直线 y＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．
【解答】(1) 方程 7x－4y－12＝0 可化为 y＝74x－3，当 x
(2) 已知函数 f(x)＝xln x，过点 A－e12，0作函数 y＝f(x) 图象的切线，那么切线的方程为__x＋__y_＋__e_12_＝__0_________．
【思维引导】(1) 本题考查导数的几何意义和导数的运
算，这类题比较常见．本题要注意点与曲线的位置关系．(2) 点
A 不在曲线 y＝f(x)上，故先设切点，利用切线过点 A，建立
2. (2016·苏州暑假测试)已知函数 f(x)＝x－1＋e1x，若直线 l：y＝kx－1 与曲线 y＝f(x)相切，则实数 k＝__1_－__e___.
【解析】设切点为(x0，y0)．因为 f′(x)＝1－e1x，则 f′(x0) ＝k，即 1－e1x0＝k，且 kx0－1＝x0－1＋e1x0，所以 x0＝－1，所 以 k＝1－e1－1＝1－e.
＝2 时，y＝12，又 f′(x)＝a＋xb2，
于是2aa＋－b4b2＝＝7412，， 所以 f(x)＝x－3x.
解得ab＝ ＝13， ，
(2) 设点 P(x0，y0)为曲线上任意一点，由 f′(x)＝1＋x32知，
曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝1＋x302(x－x0)， 即 y－x0－x30＝1＋x302(x－x0)． 令 x＝0，得 y＝－x60，从而得切线与直线 x＝0 的交点坐
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y＝f(x)
1 x＋y＋e2＝0 图象的切线，那么切线的方程为____________________ ．
【思维引导】(1) 本题考查导数的几何意义和导数的运 算， 这类题比较常见． 本题要注意点与曲线的位置关系． (2) 点 A 不在曲线 y＝f(x)上，故先设切点，利用切线过点 A，建立 方程确定切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程．
处的切线，一般要先设出切线坐标，然后通过解方程的方法解
出该切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程．
2 3 2 (1) 已知曲线 S：y＝－3x ＋x ＋4x 及点 P(0， 变 式 35 y＝4x 或 y＝ 8 x ． 0), 那么过点 P 的曲线 S 的切线方程为_______________ (2) 已知函数 f(x)＝xln x，过点
第17课
曲线的切线
课前热身
激活思维
1 π 1. (选修 22P26 习题 5 改编)曲线 y＝2x－cos x 在 x＝6处 π 3 x－y－12－ 2 ＝0 ． 的切线方程为__________________
π 1 1 π 【解析】设 f(x)＝2x－cos x，则 f′ 6 ＝2＋sin 6＝1，故
1 3 4 (2) 设曲线 f(x)＝3x ＋3与过点 P(2，4)的切线相切于点
1 3 4 Ax0，3x0＋3，则切线的斜率
k＝f′(x0)＝x2 0，所以切线方程
1 3 4 2 为 y－3x0－3＝x0(x－x0)， 2 3 4 2 即 y＝x0x－3x0＋3.
因为点 P(2，4)在切线上，
0 0
y－y0＝f′(x0)(x－x0) ；第四步，将问 第三步，写出切线方程 ___________________ 题转化为函数与方程问题求解．
课堂导学
导数与曲线的切线方程
例1
1 3 4 已知曲线 f(x)＝3x ＋3.
(1) 求曲线在点 P(2，4)处的切线方程； (2) 求曲线过点 P(2，4)的切线方程．
2x ＋ 1 ，所以 g′(1) ＝ 2. 又 f′(x) ＝ g′(x) ＋ 2x ，所以 f′(1) ＝ g′(1) ＋ 2 ＝ 4，故切线的斜率为4.
知识梳理
1.导数的几何意义
导数 f′(x0) 的几何意义就是曲线 y ＝ f(x) 在点 P(x0 ，f(x0)) 处的
f′(x0) 切线的斜率，即 k ＝ _______________ ，相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) ． ______________________ 2. 解与曲线的切线有关的问题的一般步骤：第一步，设出 k＝f′(x0) ； 切点坐标(x ，y )；第二步，计算切线的斜率为____________
【解析】(1) 设过点 P 的切线与曲线 S 切于点 Q(x0，y0)， 则过点 Q 的曲线 S 的切线斜率为 k＝y′|x＝x0＝－2x2 0＋2x0＋4，
y0 又当 x0≠0 时，kPQ＝x ， 0 y0 2 所以－2x0＋2x0＋4＝x . ① 0
因为点 Q 在曲线 S 上，
2 3 2 所以 y0＝－3x0＋x0＋4x0. ②
－1 的值为________ ．
π 【解析】f′(x)＝sin x＋xcos x，当 x＝2时， f′(x)＝1， 所以 a＝－1.
1 3. (选修 22P20 练习 7 改编)若直线 y＝2x＋b 是曲线 y＝ln
ln 2－1 ． x(x>0)的一条切线，则实数 b 的值为________
1 1 【解析】设切点为(x0，ln x0)，则切线斜率 k＝x ＝2，所 0 1 以 x0＝2.又因为切点(2，ln 2)在切线 y＝2x＋b 上，所以 b＝ln 2－1.
x0ln x0 (2) 设切点为 T(x0， y0)， 则 kAT＝f′(x0)， 所以 1 ＝ln x0 x0＋e2 ＋1，即 e2x0＋ln x0＋1＝0.设 h(x)＝e2x＋ln x＋1，则 h′(x)＝ 1 e ＋x ，当 x>0 时，h′(x)>0，所以 h(x)在(0，＋∞)上是单调
2 3 2 －3x0＋x0＋4x0 将②代入①得－2x2 ， 0＋2x0＋4＝ x0
4 3 2 3 化简，得3x0－x0＝0，所以 x0＝4， 35 35 则 k＝ 8 ，过点 P 的切线方程为 y＝ 8 x. 当 x0＝0 时，则 k＝4，过点 P 的切线方程为 y＝4x， 35 所以过点 P 的曲线 S 的切线方程为 y＝4x 或 y＝ 8 x.
所以
2 3 4 2 4＝2x0－ x0＋ ， 3 3
2 即 x3 0－3x0＋4＝0，
所以(x0＋1)(x0－2)2＝0， 解得 x0＝2 或－1， 故所求的切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0.
【精要点评】解决此类问题，一定要分清楚是 “在某点 ” 还是“过某点”处的切线．在某点处的切线比较好求，过某点
4.
( 选修 22P16 习题 3 改编 ) 若函数 f(x) ＝ g(x) ＋ x2 ，曲线 y ＝
g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点
4 (1，f(1))处的切线斜率为________ ． 【解析】因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝
【思维引导】曲线 y＝f(x)“过点 P”与“在点 P 处”的 切线是不相同的，在点 P 处的切线是以 P 为切点；过点 P 的 切线，点 P 不一定是切点，需要设出切点的坐标．
【ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ答】(1) 因为f′(x)＝x2，
所以在点P(2，4)处的切线的斜率k＝f′(2)＝4， 所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x －y－4＝0.
切线方程为
π y－ 12－
π π 3 3 ＝x－6， 化简可得 x－y－12－ 2 ＝0. 2
2. (选修 22P22 例 3 改编)已知曲线 f(x)＝xsin x＋1 在点
π π ，f 处的切线与直线 2 2
ax－y＋1＝0 互相垂直，那么实数 a