定积分的应用

第十章 定积分的应用

应用一 平面图形的面积

1、积分()b

a f x dx ?的几何意义

我们讲过，若[,]f C a b ∈且()0f x ≥，则定积分()b

a

f x dx ?

表示由连线曲线y=f(x)，以及直线x=a,b 和

x 轴所围成的曲边梯形的面积。当()b

a

f x dx ?

<0时，定积分表示的是负面积，即()b a

f x dx ?表示的是f 在[a,b]

上的正负面积代数和。例如

552220

2sin (sin sin )sin 321xdx xdx xdx xdx ππππ

π

π

=++=-=?

???。若计算sinx 在

[0，5

2

π]上的面积，则变为55222002sin (sin sin )sin 325x dx xdx xdx xdx ππ

ππππ=+-=+=????。

2、f(x)，g(x)在[a,b]上所围的面积

由几何意义得()()[()()]b

b b

a

a

a

S f x dx g x dx f x g x dx =

-=-?

??，该式当f(x)和g(x)可判断大小的情况下

适合，但f(x)和g(x)无法判断大小时，要修改为|()()|b

a

S f x g x dx =-?

。如果f(x)和g(x)有在积分区域[a,b]

内交点，设为12,x x ，且12x x <，则|()()|b

a

S f x g x dx =

-=

?

2

1

|()()|x x f x g x dx -?

。所以此时求f(x)和g(x)

在[a,b]上的面积，即为f(x)和g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。

例1、求2y x =，2

x y =所围的面积S 。 例2、求sin y x =、cos y x =在[0,2]π上所围图形的面积。

例3、已知2y ax bx =+通过点(1,2)与22y x x =-+有个交点10x >，又a<0，求2y ax bx =+与

22y x x =-+所围的面积S ，又问a,b 为何值时，S 取最小值？

例4、求抛物线2

2y x =与直线4x y -=所围成的图形的面积。

例5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为l ，底面是长轴为a ，短轴为b 的椭圆，问油灌中油面高为h 时，油量是多少？（已知油的密度为ρ）

3、参数方程形式下的面积公式

若所给的曲线方程为参数形式：()

()

x x t y y t =??

=? （t αβ≤≤），其中y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函

数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由()

()x x t y y t =??=?

，x 轴及直线x ＝a ，x ＝b 所围图形的面积S 的公

式为||()S y dx t β

α=

?。

（αβ<） 例1、求旋轮线：(sin )

(1cos )x a t t y a t =-??

=-?

（a>0）一个拱与x 轴所围的图形的面积。

例2、求椭圆cos sin x a t

y b t

=??

=?（a>0，b>0）的面积S 。

4、极坐标下的面积公式

设曲线的极坐标方程是：()r r θ=，αθβ≤≤，()[,]r C θαβ∈，则由曲线()r r θ=，射线θα=及

θβ=所围的扇形面积S 等于2

1()2

S r d βαθθ=?。

例1、求双纽线22

2cos 2r a θ=所围图形面积S 。 例2、求由2

sin

3

r θ

=，03θπ≤≤，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S 。

例3、求三叶形成曲线sin 3r a θ=（a>0）所围图形面积。

应用二 曲线的弧长

1、先建立曲线的长度（弧长）的概念

一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。

设平面曲线C 由参数方程()()x x t y y t =??=?

（t αβ≤≤）给出，设01{,,,}n P t t t = 是[,αβ]的一个划分

[0,n t t αβ==]，即01n t t t αβ=<<<= ，它们在曲线C 上所对应的点为000((),())M x t y t =，

111((),())M x t y t =，…，((),())n n n M x t y t =。从端点0M 开始用线段一次连接这些分点0M ，1M ，…，n

M 得到曲线的一条内接折线，用1i i M M -来表示1i i M M -的长度，则内接折线总长度为

11

1

n n

n i i i i S M M -====∑曲线C 的弧长S 定义为内接折线的总长在max 0i p t =→ 时的极限：

10

1

1

lim lim n n

i i p p i i S M M -→→====∑如果S 存在且为有限，则称C 为可求长曲线。

2、弧长公式

设曲线C ：()

()

x x t y y t =??=? （t αβ≤≤），且()x t ，()y t 在[,αβ]上可微且导数()x t '，()y t '在[,αβ]上

可积，曲线C 在[,αβ]无自交点，则曲线C 的弧长S 为：

S β

β

α

α

==?

?

注：其它形式的弧长公式

（1）设()y y x =在[a,b]上可微且导数()y x '可积，则曲线()y y x =（a ≤x ≤b ）的弧长S 为：

a

S =?

（2）若曲线极坐标方程()r r θ=，αθβ≤≤，则当()r θ在[,αβ]上可微，且()r θ'可积时，

S β

α

θ=?

（3）空间曲线()()()x x t y y t z z t =??

=??=?

（t αβ≤≤），弧长S 为

S β

α

=?

其中x(t)，y(t)，z(t)在[,αβ]上可微，导数()x t '，()y t '，()z t '在[,αβ]上可积且曲线C 在 [,αβ]上无自交点。

例1、求圆周cos x R t =，sin y R t =，02t π≤≤的弧长S 。

例2、求抛物线212y x =，01x ≤≤的弧长S 。例3、求椭圆22

221x y a b

+=（b>a>0）的弧长S 。

3、弧长的微分

设C ：()()x x t y y t =??

=?

（t αβ≤≤）是光滑曲线（()x t '，()y t '在[,αβ]连续且2()x t '＋2

()0y t '≠）；且

无自交点。若把公式中的积分上限β改为t ，就得到曲线C ，由端点0M 到动点((),())M x t y t 的一段弧长。

t

S =?

由上限函数的可微性知()S t '

存在，()dS t dS dt ==4、平面曲线的曲率

曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度??的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长S ?有关，并且曲率与? 成正比，与S 成反比。即一般曲线的弯曲程度可用k S

?

?=

?，其中k ：曲线段

AB 的平均变化率；??：曲线段

AB 上切线方向的角度；S ?：曲线段 AB 的弧长。 例1、半径为R 的圆：1

k S S R R

?ααα???=

===????。 对于一般的曲线，如何刻画它在一点处的弯曲程度呢？

0lim

s k S ?→?=? ，称为曲线在A 点的曲率，即0lim

s d k dS

S ??→?==?

5、曲率的计算

记()y y x =二阶可微，则在点x 处的曲率为： 因为tg y ?'=，arctgy ?'=，所以

2211d y y d dx dx y y ??''''

=?=''++

，又因为dS =所以 ()

3/221d y k dS y ?''

=

='+ 例1、求2

12

y x =

在任一点的曲率。 6、曲率圆和曲率半径

过点（x ，y(x)）且与y ＝y （x ）在该点有相同的一阶及二阶导数的圆2

2

2

()()x a y b R -+-=称为曲率圆。曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。

如何求曲线上一点（x ，y(x)）处的曲率圆呢？

因为1R k =

，()3/221y k y ''='+，则（a,b ）在过（x ，y(x)）的法线上：1()()()Y y x X x y x -=--'。 例1、求2

12

y x =

在点（0,0）的曲率圆方程？ 应用三 旋转体的体积和侧面积

（一）一般体积公式：

设一几何体夹在x ＝a 和x ＝b （a

a

V S x dx =

?

。

例1、求底面积为S ，高为h 的斜柱体的体积V 。例2、求底面积为S ，高为h 的圆锥体的体积V 。

例3、求由椭球面222

2221x y z a b c

++=所围的几何体体积。(a,b,c>0)

（二）旋转体的体积

设y ＝y(x)于[a,b]（R ）可积，曲线y ＝y(x)，a ≤x ≤b ，绕x 轴产生旋转体的截面积为S(x)＝2

()y x π，则

V 旋体＝2()b b

a

a

S x dx y dx π=??

例4、求抛物线2

2y x =，0≤x ≤1分别绕x 轴和y 轴所产生的旋转体体积。

（三）旋转体的侧面积

设y ＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积：

2b

a

S π=?

例5、求半径为r 的球面面积S 。

应用四 物理方面

（一）质量

有一根不均匀的细棒，常b －a ，密度为ρ，求棒的质量M ，则M ＝

()b

a

x dx ρ?

（二）质心（重心）

重心在计算不少实际问题中遇到，例如造船时就要考虑怎样来设计才使船的重心低一些。从最简单的两个质点的系统说起。设质点1M ，2M 的质量分别为1m ，2m ，想像它们为一细杆所连接，这时若重心在点C ，则C 点用一物支起来，杆是平衡的。这不难理解。为计算重心，不妨把杆放在x 轴上，设1M ，2M 和C 点坐标依次为1x ，2x ，C x ，在C 点所用支起的力应等于作用在1M ，2M 处的重力1m g ，2m g 的和1m g ＋2m g 。因此它们为原点O 的力矩之和应为0，即1m g 1x ＋2m g 2x －12()C m g m g x +＝0，所以1122

12

C m x m x x m m +=

+

如果不是两个原点，而是有限多个1M ，2M ，…，n M ，质量分别为1m ，2m ，…，n m ，横坐标分别为1x ，2x ，…，n x 则重心112212n n

C n

m x m x m x x m m m +++=

+++ 。

如果原点不是放在X 轴上，而是在平面上，并设坐标为(,)i i i M x y ，原量分别为i m ，则该重心为（,C C x y ），有以下公式：

1

1

n

i i

i C n

i

i m x

x m

===

∑∑，11

n

i i

i C n

i

i m y

y m

===

∑∑

下面将此概念加以推广，来计算一般平面曲线（弧）的原心：

设曲线方程为()()

x x t y y t =??=?（t αβ≤≤），()x t '，()y t '存在且22

()()0x t y t ''+≠（设原心为均匀分布，即

密度为常数ρ，这时重心由圆形的形状完全决定，所以均匀物体的质心也叫形心）。

曲线l 的重心坐标（,C C x y ）有近似公式：1

1

n

i i

i C n

i

i s

x s

ξρρ==?=

?∑∑，11

n

i i

i C n

i

i s

y s

ηρρ==?=

?∑∑

记12max{,,,}n p s s s =??? ，则0p

→时，l

l

xds x ds =

??，l

l

yds y ds

=??。具体地，如果曲线方程段为()y f x =，（a x b ≤≤），()f x '在[a,b]连续，则此曲线段的质心坐标为

b

l

a

xds x S

S

=

=

?

?

，b

l

a

yds y S

S

=

=

?

?

其中a

S =

?

为曲线段的弧长。

如果密度不是常数，而是x 的连续函数()x ρρ=，（a x b ≤≤）那么完全类似地可得曲线段质心坐标为：

()()l

l

l

x x ds xdm x m x ds ρρ==???，()()l

l

l

y x ds ydm y m x ds

ρρ==

??? 其中()dm x ds ρ=，()b

a

m x ds ρ=

?

为曲线段的质量。

例：求以r 为半径的半圆弧的形心。

作业：1、计算3/3y x =在（1，1/3）处的曲率。 2、求椭圆cos sin x a t

y b t

=??

=?（a>b>0）在点（a,0）和点（0，b ）处的曲率。

3、曲线(sin )

(1cos )x a t t y a t =-??

=-?

（02t π≤≤）绕x 轴旋转体积。

4、求2

2

2

()x y b a +-=（0a b <≤）绕x 轴旋转的体积。 5、2

8y x =介于0x =与1/4x =之间的部分绕x 轴旋转的体积。

6、求椭圆22

221x y a b

+=在第一限象的重心坐标。