理论力学课后题答案

1.1 沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s 的时间为t 1，而通过下一等距离s 的时间为2t .试证明枪弹的减速度（假定是常数）为

由题可知示意图如题1.1.1图: {

{

S

S

2

t 1

t 题1.1.1图

设开始计时的时刻

速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a .则有

:()()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+-+=-=2

21210211021221t t a t t v s at t v s

由以上两式得 1102

1

at t s v +=

再由此式得 ()()

2121122t t t t t t s a +-=

1.26一弹性绳上端固定，下端悬有m 及m '两质点。设a 为绳的固有长度，b 为加m 后的

伸长，c 为加m '后的伸长。今将m '任其脱离而下坠，试证质点m 在任一

瞬时离上端O 的距离为

解 以绳顶端为坐标原点.建立如题1.26.1图所示坐标系.

题1.26.1图

设绳的弹性系数为k ,则有 kb mg = ① 当 m '脱离下坠前，

m 与m '系统平衡.当m '脱离下坠前，m 在拉力T 作用下上升，之后作简运.运动微分方程为 ()y

m a y k mg =-- ② 联立①② 得 b

b a g y b g y

+=+ ③ 0=+y b g y 齐次方程通解 t b g A t b g A Y sin cos 2

11+= 非齐次方程③的特解 b a Y +=0

所以③的通解b a t b

g A t b g A Y +++=sin cos 2

11

代入初始条件：0=t 时，,c b a y ++=得0,21==A c A ；

故有 b a t b g c y ++=cos 即为m 在任一时刻离上端O 的距离.

O

m

m '

T

1.39 一质点受一与距离2

3次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷远到

达a 时的速率和自a 静止出发到达

4a 时的速率相同。 证 质点受一与距离2

3次方

成反比的力的作用。 设此力为

()()

为一常数k kr

r F 2

3

-

=① 又因为

()dr

vdv md

dt

dr dr dv m dt

dv m r F =⋅== 即 ()m v d v dr r F = m v d v

dr kr =-23

②

当质点从无穷远处到达a 时，对②式两边分别积分：

⎰

⎰=∞

+-

v

a

v

d v

m dr kr

23

21

2

4--=a m k v

当质点从a 静止出发到达4a 时，对②式两边分别积分：

⎰

⎰

=-

v

a a dv m dr

kr 04

23得 21

24--=a m k v

所以质点自无穷远到达a 时的速率和自a 静止出发到达4

a

时的速率相同。

1.43如质点受有心力作用而作双纽线...证 由毕耐公式

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-u d u d u h m F θ2

22

质点所受有心力做双纽线θ2cos 22a r =运动 故 θ2cos 1

1a r u == ()2

3

2c o s 12s i n 1θθθ∙∙=a d du ()()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡∙∙+=-

θθθθθθ

2sin 22cos 2sin 232cos 2cos 212523

22a d u d ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--252

212cos 2sin 32cos 21θθθa 故⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=u d u d u mh F 2222θ ()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++-=--θθθθθ2cos 12cos 2sin 32cos 22cos 1252

2132a mh ()()

θθ2tan 12cos 32

2332+-=-a mh ()27322cos 3--=θa mh 2

7

22323⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=a r a mh 7243r h m a -=

1.44点所受的有心力如果为⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+-=322r r m F νμ

式中

μ及ν都是常数，并且ν＜2h ，则其轨道方程可写成

θk e a r cos 1+=2

22222222

,,μμνh Ak e h k a h h k ==-= 试证明之。式中（A 为积分常数）

证 由毕耐公式 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=-u d u d u h m F θ2

22

将力⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+-=322r r m F νμ带入此式

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=+u d u d u h r r 222

2322θν

μ 因为 r u 1

=

所以

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+u d u d u h u u 22

22322θνμ 即222221h u h d u d μνθ

=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+令 222h h k ν-= 上式化为222

22h u k d u d μθ=+

这是一个二阶常系数废气次方程。

解之得()222

c o s h k k A u μϕθ++=

A 微积分常数，取0=ϕ，故

222c o s h k k A u μθ+= 有1

cos cos 1122

22

2

2222+=+==θμ

μμθk h

k A h k h k k A u r 令22

2222,μμh Ak e h k a =

=

所以θk e a r cos 1+=