2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单
2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单 xiaoxiaotong.doc
西北工大附中
王小靖
重庆一中
刘伟顺
荃湾公立何传耀纪念中学
钟达智
伊利沙伯中学
戚善翔
上海复旦大学附中
路 亨
山西大学附中
杜金宝
鞍山一中
祝江威
北海中学
崔庸非
东北育才中学
康振宁
攀枝花三中
杨 丹
大连育明中学
张 乐
西北师大附中
曹 晖
东北师大附中
黄海珍
海南中学
魏崟泷
蚌埠二中
王海屹
大庆一中
张 帆
河南师大附中
苏李丹
王 晨
兰州一中
金哲晖
延边市一中
李春雷
东北师大附中
石 磊
河南师大附中
范 翔
江西师大附中
苟江涛
陕西西北工大附中
韩 斐
华罗庚中学
唐 培
重庆市育才中学
金 坚
诸暨中学
王加白
镇海中学
杜 杰
北大附中
蔡雄伟
仙游一中
杨 龙
长沙市一中
余学斌
圣公会白约翰会督中学
林运成
上海中学
萧子衡
顺德联谊总会梁銶琚中学
罗海丰
华南师大附中
2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单
一等奖（19名）
姓 名
学 校
姓 名
学 校
方家聪
华南师大附属中学
高 峰
南通启东中学
沈 欣
华南师大附属中学
王 伟
湖南师大附中
陈 晨
湖北黄冈中学
何忆捷
上海延安中学
黄 皓
华南师大附属中学
邢硕博
北京清华附中
向 振
历年奥赛获奖情形排名前22学校
历年奥赛获奖情形排名前22学校历年来在五大学科国际奥林匹克竞赛获得金牌最多的22所中学第1名：湖南师范大学附属中学（湖南师大附中）25枚金牌化学奥赛金牌数量居全国第一生物奥赛金牌数量居全国第一（与成都七中并列）数学7枚：刘炀，1993年，第34届国际数学奥林匹克竞赛金牌彭建波，1994年，第35届国际数学奥林匹克竞赛金牌余君，2001年，第42届国际数学奥林匹克竞赛金牌肖维，2002年，第43届国际数学奥林匹克竞赛金牌王伟，2003年，第44届国际数学奥林匹克竞赛金牌李先颖，2004年，第45届国际数学奥林匹克竞赛金牌龙子超，2011年，第52届国际数学奥林匹克竞赛金牌物理6枚：李翌，1992年，第23届国际物理奥林匹克竞赛金牌倪彬，1995年，第26届国际物理奥林匹克竞赛金牌杨桓，2002年，第33届国际物理奥林匹克竞赛金牌吴俊东，2010年，第41届国际物理奥林匹克竞赛金牌张涌良，2010年，第41届国际物理奥林匹克竞赛金牌易可欣，2011年，第42届国际物理奥林匹克竞赛金牌化学7枚（全国第一）：周彪，1993年，第25届国际化学奥林匹克竞赛金牌黄永亮，1994年，第26届国际化学奥林匹克竞赛金牌李帅格，1994年，第26届国际化学奥林匹克竞赛金牌骆宏鹏，1995年，第27届国际化学奥林匹克竞赛金牌吕华，2002年，第34届国际化学奥林匹克竞赛金牌胡蓉蓉，2003年，第35届国际化学奥林匹克竞赛金牌（女）刘吉，2009年，第41届国际化学奥林匹克竞赛金牌生物5枚（并列全国第一）：夏凡，1997年，第8届国际生物奥林匹克竞赛金牌郭婧，1998年，第9届国际生物奥林匹克竞赛金牌（女，金牌第一名）廖雅静，2001年，第12届国际生物奥林匹克竞赛金牌（女）朱军豪，2007年，第18届国际生物奥林匹克竞赛金牌谭索成，2010年，第21届国际生物奥林匹克竞赛金牌第2名：华东师范大学第二附属中学（华东师大二附中），22枚金牌。
2000之后全国奥数一等奖名单
2000年后，全国赛奥林匹克数学竞赛一等奖的名单如下：
一、2000年：李可欣、罗文卓、黄婷婷、王淑萍、张显辉。
二、2001年：何鹏程、杨敏伟、吴坤志、何晓文。
三、2002年：张鹏涛、李立新、陈辉煌。
四、2003年：张凡芸、金少锋、肖思佳。
五、2004年：李永杰、杨毅、冯欢、陈唯。
六、2005年：范云鹤、张玉玲、蒋昊羽。
七、2006年：吴宏盛、李佳思、沈允斌。
八、2007年：张志勇、朱运清、陈浩。
九、2008年：丁佳慧、肖建伟、罗昊华。
十、2009年：梁子凡、赵宇航、闫雨童。
十一、2010年：王冰荣、唐开俊、陈涛。
十二、2011年：刘伟彬、张英楠、周鹏。
十三、2012年：李钊熙、周安琪、李庆奇。
十四、2013年：谢峻昊、何思源、黄睿民。
十五、2014年：谢瑞琳、沈昌明、刘家麒。
十六、2015年：段江南、吴宇森、黄子正。
十七、2016年：李杰翔、杨弘文、秦坤文。
十八、2017年：谢咏雯、翁子仪、程宇豪。
十九、2018年：林玥君、王伟宇、周宇涵。
二十、2019年：马正航、郑新宇、余嫣然。
这些名字将被永远铭记，他们是中国奥林匹克数学竞赛的佼佼者，也是我们国家科技事业的未来光辉。
他们的成就激励着我们不断努力、拼搏，追求卓越，为建设美丽中国作出贡献。
2003年中国数学奥林匹克_CMO_在长沙举行
BK B2 和 CK C2 的面积相等. 二、求出同时满足如下条件的集合 S 的元素个 数
最大值: ( 1) S 中的每个元素都是不超过 100 的正整数; ( 2) 对于 S 中任 意两个 不同元 素 a, b , 都存在 S
中的元素 c, 使得 a 与 c 的最 大公 约数 等于 1, 并 且 b 与 c 的最大公约数也等于 1;
证明: 在该公司经理的方针之下, 有
( 1) A 1 > A 2 > > A 8 = A 9 = A 10 ; ( 2) 该公司 有超 过 70% 的 可能 性录 取到 能力 最
强的 3 个人之一, 而只有不超过 10% 的 可能录用 到能 力最弱的 3 个人之一.
三、设 a, b , c, d 为正 实数, 满足 ab + cd = 1; 点 Pi ( x i , yi ) ( i = 1, 2, 3, 4) 是以 原点为 圆心的 单位圆 周 上的四个点. 求证:
选手和获得银牌的前三名选手将入选 参加 2003IMO 的中国国家集训队 .
就有
n
tan 1 tan 2 tan n = 22 ,
不大于 .
cos 1 + cos 2+ + cos n
第二天试题
第一天试题
一、设点 I , H 分别为锐角 A BC 的内 心和垂心, 点 B 1 , C 1 分 别 为边 A C, A B 的中 点. 已 知射 线 B 1 I 交边 A B 于点 B2 ( B 2 B) , 射线 C 1 I 交 A C 的延长 线 于点 C2 , B2 C2 与 BC 相 交 于 K , A 1 为 BH C 的 外 心. 试 证: A , I, A 1 三 点 共 线 的 充 分 必 要 条 件 是
2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单
2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单一等奖（19名）姓名学校姓名学校方家聪华南师大附属中学高峰南通启东中学沈欣华南师大附属中学王伟湖南师大附中陈晨湖北黄冈中学何忆捷上海延安中学黄皓华南师大附属中学邢硕博北京清华附中向振长沙市第一中学王国桢甘肃兰州一中万昕成都彭州中学贾敬非东北师大附中刘一峰华东师大第二附中祁涵华中师大一附中林嵩华南师大附属中学孙洪宾耀华中学姜龙石家庄二中周清人大附中梁宏宇北师大实验中学二等奖：（43名）姓名学校姓名学校张凌人上海中学戴午阳东北育才中学周游武钢三中孙婷妮华东师大二附中李杜湖南师大附中张志强华中师大一附中朱庆三华南师大附中齐治雅礼中学刘熠华南师大附中吴昊哈尔滨三中李大州石家庄二中陈苏南洋模范中学沈旭凯杭州二中袁放上海中学陈超河南师大附中洪晓波东北育才中学李先颖湖南师大附中李晓东东北育才中学吴天同淮阴中学马力华东师大二附中张宇北大附中赵亮山东省实验中学王磊武钢三中孙嘉睿深圳高级中学周思慎长沙市一中邹鹏北京汇文中学王晨兰州一中金哲晖延边市一中李春雷东北师大附中石磊河南师大附中范翔江西师大附中苟江涛陕西西北工大附中韩斐华罗庚中学唐培重庆市育才中学金坚诸暨中学王加白镇海中学杜杰北大附中蔡雄伟仙游一中杨龙长沙市一中余学斌圣公会白约翰会督中学林运成上海中学萧子衡顺德联谊总会梁銶琚中学罗海丰华南师大附中三等奖：（69名）姓名学校姓名学校王蓉蓉实验中学张翼飞河南师大附中张伟安庆一中梁举潼南中学张晓光高安中学蔡煊挺诸暨中学郭城威南通启东中学吴博舟山中学曹志敏华罗庚中学陈淞黄冈中学资坤长沙市一中马俊达福州三中刘奇航哈尔滨三中杨启声喇沙书院吴乐秦中山市一中邓昭辉香港道教联合会邓显纪念中学欧觉钧中山市一中张荣华滁州中学黄宇浩桂林中学周云临川一中张鹏程西安交大附中龚伟松盐城中学王崇理镇海中学皇甫秉超河南师大附中袁景瑞唐山一中惠鑫西安交大附中巴蜀中学李君太原外国语学校王晶晶诸暨中学王奇凡南昌十中冯捷成都七中周泽吉武汉二中孔令凯南菁高级中学潘无穷大庆一中郭珩洛阳第一高中李欣鹏实验中学郝征西北工大附中王小靖重庆一中刘伟顺荃湾公立何传耀纪念中学钟达智伊利沙伯中学戚善翔上海复旦大学附中路亨山西大学附中杜金宝鞍山一中祝江威北海中学崔庸非东北育才中学康振宁攀枝花三中杨丹大连育明中学张乐西北师大附中曹晖东北师大附中黄海珍海南中学魏崟泷蚌埠二中王海屹大庆一中张帆河南师大附中苏李丹泉州五中李冬来西南附属中学吴天淋教业中学白雪宁乌鲁木齐一中杜昭南宁三中郭子超元朗商会中学陈虹宇秦皇岛一中刘喆南开中学张尧实验中学贺淳天津一中魏均侨濠江中学程稷人大附中高堃南开中学黄铂东北师大附中齐轶福建师大附中彭闽昱鹰潭市一中。
历年中国参加国际数学奥林匹克竞赛选手详细去向第26届IMO
历年中国参加国际数学奥林匹克竞赛选手详细去向第26届IMO（1985年，芬兰赫尔辛基）吴思皓（男）上海向明中学确规定铜牌上海交通大学王锋（男）北京大学（根据yongcheng先生提供的信息修订）目前作企业软件第27届IMO（1986年，波兰华沙）李平立（男）天津南开中学金牌北京大学方为民（男）河南实验中学金牌北京大学张浩（男）上海大同中学金牌复旦大学荆秦（女）陕西西安八十五中银牌北京大学，现在美国哈佛大学任教林强（男）湖北黄冈中学铜牌中国科技大学第28届IMO（1987年，古巴哈瓦那）刘雄（男）湖南湘阴中学金牌南开大学滕峻（女）北京大学附中金牌北京大学林强（男）湖北黄冈中学银牌中国科技大学潘于刚（男）上海向明中学银牌北京大学何建勋（男）广东华南师范大学附中铜牌中国科技大学高峡（男）北京大学附中铜牌北京大学，现在北大任教第29届IMO（1988年，澳大利亚堪培拉）团体总分第二陈晞（男）上海复旦大学附中金牌复旦大学，美国密苏里大学，美国哈佛大学，现在加拿大Alberta大学数学系任教授韦国恒（男）湖北武汉武钢三中银牌北京大学查宇涵（男）南京十中银牌北京大学，在中科院数学所任副研究员邹钢（男）江苏镇江中学银牌北京大学王健梅（女）天津南开中学银牌北京大学何宏宇（男）以满分成绩获第29届国际数学奥林匹金牌，1993年破格列入美国数学家协会会员，1994年获博士学位，现任亚特兰大乔治大学教授、博士生导师，从事现代数学研究前沿的《李群》《微分几何》等方向的研究，在《李群》的研究上已有重大突破。
第30届IMO（1989年，原德意志联邦共和国布伦瑞克）团体总分第一罗华章（男）重庆水川中学金牌北京大学俞扬（男）吉林东北师范大学附中金牌吉林大学霍晓明（男）江西景德镇景光中学金牌中国科技大学唐若曦（男）四川成都九中银牌中国科技大学颜华菲（女）北京中国人民大学附中银牌北京大学本科，1997年获美国麻省理工博士，现任Texax A&M Uneversity 数学系教授，美国数学会常务理事会成员，Mathematical Reviews评论员。
历届中国数学奥赛
历届中国数学奥赛
中国数学奥林匹克竞赛是一个全国性的数学竞赛，旨在发掘和培养数学人才，自1985年开始每年举办。
以下是历届中国数学奥赛的
简要回顾：
1985年：首届中国数学奥赛在上海举行，共有20个省市的88
名学生参加，比赛分为初赛和决赛两个阶段。
1992年：第八届中国数学奥赛在北京举办，吸引了来自全国24
个省市的200余名选手参加。
1999年：第十五届中国数学奥赛在重庆举行，共有来自全国31
个省市的340名学生参赛，同时也是历届中国数学奥赛中规模最大的一次。
2006年：第22届中国数学奥赛在广西南宁举行，共有来自全国29个省市和港澳台地区的近400名优秀学生参加。
2013年：第29届中国数学奥赛在广东梅州举行，共有来自全国31个省市的400多名学生参赛，比赛中涵盖了初中和高中两个阶段。
2019年：第35届中国数学奥赛在四川成都举行，共有来自全国31个省市的424名学生参赛，其中包括中国大陆、港澳台地区和海
外华人。
历届中国数学奥赛的题目难度逐年提高，内容也逐渐涵盖了数论、代数、几何、概率等多个数学领域，为数学爱好者们提供了一个锻炼自己的平台。
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第38届全国中学生数学奥林匹克竞赛决赛获奖名单
第38届全国中学生数学奥林匹克竞赛决赛获奖名单近日，第38届全国中学生数学奥林匹克竞赛决赛在北京正式结束，经评审团共挑选出16名优秀选手荣获冠军，获得了此次比赛的最高荣誉。
接下来，我们一起来看一下第38届全国中学生数学奥林匹克竞赛决赛的获奖名单。
最高荣誉冠军：1.张思桦，河北省石家庄市第六十中学2.袁月安，浙江省杭州市西湖区第十中学3.邓宇轩，湖北省武汉市第三中学4.韩宁，上海市实验中学5.张天欣，山东省济南市章丘市第一中学6.刘欢，山西省太原市第五十三中学7.朱俊杰，江苏省常州市武进区第六中学8.陈灵，安徽省安庆市第八中学9.邱晟，广西壮族自治区北海市第二中学10.陈春华，湖南省衡阳市第一中学11.杨振浩，江苏省苏州市吴中区第六中学12.萧晓峰，江西省南昌市第五十九中学13.郭彦，四川省成都市金牛区第七中学14.赵文靖，浙江省宁波市鄞州区第十三中学15.谢颖，福建省福州市翔安区第六中学16.周宇飞，陕西省西安市蓝田县第一中学近年来，数学奥林匹克竞赛不断推动了我国教育的发展，在促进学生科学素养和科技创新能力的同时，也为培养我国未来人才提供了强大动力。
本届数学奥林匹克竞赛中，各地中学生参赛者积极参与，为展示自己精湛的数学能力而不懈努力，他们的勇气和毅力，使这次比赛取得了圆满的成功。
获奖的优秀选手代表了全国的中学生精英，他们谱写了一曲勇敢挑战的乐章，让我们对于全国中学生在数学奥林匹克竞赛中挥洒智慧的辉煌技艺充满自豪。
他们也受到了各界的高度评价。
作为获奖者，他们将在今后继续保持勤奋学习的状态，专注于数学，精益求精，取得更大的成就。
此次获奖选手的胜利，也让我们得以看到可贵的智慧和勇气，他们在比赛期间表现出卓越的能力，取得了最高荣誉，他们为进一步推动中学生的奥林匹克数学能力的发展，给出了强烈的正面示范。
最后，希望所有参赛选手都能继续保持学习的热情，继续努力，追求卓越，收获更多的成功。
只要努力，梦想就会成真！。
2003年中国数学奥林匹克
●竞赛之窗●2003年中国数学奥林匹克第一天(2003201215)一、设点I、H分别为锐角△ABC的内心和垂心,点B1、C1分别为边AC、AB的中点.已知射线B1I交边AB于点B2(B2≠B),射线C1I交AC的延长线于点C2,B2C2与BC相交于K,A1为△BHC的外心.试证:A、I、A1三点共线的充分必要条件是△B K B2和△CKC2的面积相等.二、求出同时满足如下条件的集合S的元素个数的最大值:(1)S中的每个元素都是不超过100的正整数;(2)对于S中任意两个不同的元素a、b,都存在S中的元素c,使得a与c的最大公约数等于1,并且b与c的最大公约数也等于1;(3)对于S中任意两个不同的元素a、b,都存在S中异于a、b的元素d,使得a与d的最大公约数大于1,并且b与d的最大公约数也大于1.三、给定正整数n,求最小的正数λ,使得对于任何θi ∈0,π2(i=1,2,…,n),只要tanθ1・tanθ2・…・tanθn=2n2,就有cosθ1+cosθ2+…+cosθn不大于λ.第二天(2003201216)四、求所有满足a≥2,m≥2的三元正整数组(a,m,n),使得a n+203是a m+1的倍数.五、某公司需要录用一名秘书,共有10人报名,公司经理决定按照求职报名的顺序逐个面试,前3个人面试后一定不录用.自第4个人开始将他与前面面试过的人相比较,如果他的能力超过了前面所有已面试过的人,就录用他,否则就不录用,继续面试下一个.如果前9个人都不录用,那么就录用最后一个面试的人.假定这10个人的能力各不相同,可以按能力由强到弱排为第1,第2,……,第10.显然该公司到底录用哪一个人,与这10个人报名的顺序有关.大家知道,这样的排列共有10!种.我们以Ak表示能力第k的人能够被录用的不同报名顺序的数目,以A k10!表示他被录用的可能性.证明:在该公司经理的方针之下,有(1)A1>A2>…>A8=A9=A10;(2)该公司有超过70%的可能性录取到能力最强的3个人之一,而只有不超过10%的可能性录用到能力最弱的3个人之一.六、设a、b、c、d为正实数,满足ab+cd=1,点P i(x i,y i)(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆周上的四个点.求证:(ay1+by2+cy3+dy4)2+(ax4+bx3+cx2+dx1)2≤2a2+b2ab+c2+d2cd.参考答案图1 一、首先,证明A、I、A1三点共线Ζ∠BAC=60°.如图1,设O为△ABC的外心,连BO,CO.则∠BHC=180°-∠BAC,∠BA1C=2(180°-∠BHC)=2∠BAC.因此,∠BAC=60°Ζ∠BAC+∠BA1C=180°ΖA1在△ABC的外接圆⊙O上ΖAI与AA1重合ΖA、I、A1三点共线.其次,再证S△B K B2=S△CK C2Ζ∠BAC=60°.作IP⊥AB于点P,IQ⊥AC于点Q.则S△AB1B2=12IP・AB2+12IQ・AB1.①设IP=r(r为△ABC的内切圆半径),则IQ=r.又令BC=a,C A=b,AB=c,则r=2S△ABCa+b+c.注意到S△AB1B2=12AB1・AB2・sin A.②由①、②及AB1=b2,2AB1・sin A=h c=2S△ABCc,有AB2・2S△ABCc-2・2S△ABCa+b+c=b・2S△ABCa+b+c.则AB2=bca+b-c.同理,AC2=bca+c-b.由S△B K B2=S△CK C2,有S△ABC=S△AB2C2.于是,bc=bca+b-c ・bca+c-b,即 a2=b2+c2-bcΖ由余弦定理,∠BAC=60°.二、72.将不超过100的每个正整数n表示成n=2α1・3α2・5α3・7α4・11α5・q.其中q是不能被2、3、5、7、11整除的正整数,α1、α2、α3、α4、α5为非负整数.我们选取满足条件α1、α2、α3、α4、α5中恰有1个或2个非零的那些正整数组成集合S,即S中包括50个偶数2,4,…,98,100,但除去2×3×5,22×3×5, 2×32×5,2×3×7,22×3×7,2×5×7,2×3×11这7个数;3的奇数倍3×1,3×3,…,3×33共17个数;最小素因子为5的数5×1,5×5,5×7,5×11,5×13, 5×17,5×19共7个数;最小素因子为7的数7×1, 7×7,7×11,7×13共4个数;以及素数11.从而,S中总共有(50-7)+17+7+4+1=72个数.下面证明如此构造的S满足题述条件.条件(1)显然满足.对于条件(2),注意在[a,b]的素因子中至多出现2,3,5,7,11中的4个数,记某个未出现的系数为p,显然p∈S,并且(p,a)≤(p,[a,b])=1,(p,b)≤(p,[a,b])=1.于是,取c=p即可.对于条件(3),当(a,b)=1时,取a的最小素因子p和b的最小素因子q,易见p≠q,并且p、q∈{2, 3,5,7,11}.于是,pq∈S,并且(pq,a)≥p>1,(pq,b)≥q>1.a、b互质保证了pq异于a、b.从而,取c=pq即可.当(a,b)=e>1时,取p为e的最小素因子,q 为满足q8[a,b]的最小素数,易见p≠q,并且p、q∈{2,3,5,7,11}.于是,pq∈S,并且(pq,a)≥(p,a)=p>1,(pq,b)≥(p,b)=p>1.q8[a,b]保证了pq异于a,b,从而,取d=pq即可.下面证明任意满足题述条件的集合S的元素数目不会超过72.显然,1∈S.对于任意两个大于10的质数p、q,因为与p、q均不互质的数最小是pq,已大于100,故据条件(3)知,10与100之间的21个质数11,13,…, 89,97中最多有一个出现在S中,记除1和这21个质数外的其余78个不超过100的自然数构成集合T,我们断言T中至少有7个数不在S中,从而S中最多有78-7+1=72个元素.(i)当有某个大于10的质数p属于S时,S中所有各数最小素因子只可能是2,3,5,7和p.运用条件(2)可得出以下结论:①若7p∈S,因2×3×5,22×3×5,2×32×5与7p包括了所有的最小素因子,故由条件(2)知,2×3×5,22×3×5,2×32×5∈S;若7p∈S,注意2×7p >100,而p∈S,故由条件(3)知7×1,7×7,7×11,7×13∈S.②若5p∈S,则2×3×7,22×3×7∈S;若5p∈S,则5×1,5×5∈S.③2×5×7与3p不同属于S.④2×3p与5×7不同属于S.⑤若5p,7p∈S,则5×7∈S.当p=11或13时,由①,②,③,④可分别得出至少有3,2,1,1个T中的数不属于S,合计7个;当p= 17或19时,由①,②,③可分别得出至少有4,2,1个T中的数不属于S,合计7个;当p>20时,由①,②,③分别有至少4,2,1个T中的数不属于S,合计也是7个.(ii)如果没有大于10的质数属于S,则S中的最小素因子只可能是2,3,5,7.于是,下面7对数中的每对都不能同时在S中出现:(3,2×5×7),(5,2×3×7),(7,2×3×5),(2×3, 5×7),(2×5,3×7),(2×7,3×5),(22×7,32×5)从而,T中至少有7个数不在S中.综上所述,本题的答案为72.三、当n=1时,cosθ1=(1+tan2θ1)-12=33,有λ=33.当n=2时,可以证明cosθ1+cosθ2≤233,①且当θ1=θ2=arctan2时等号成立.事实上,式①Ζcos2θ1+cos2θ2+2cosθ1・cosθ2≤43,即 11+tan 2θ1+11+tan 2θ2+21(1+tan 2θ1)(1+tan 2θ2)≤43.②由tan θ1・tan θ2=2可得,式②Ζ2+tan 2θ1+tan 2θ25+tan 2θ1+tan 2θ2+215+tan 2θ1+tan 2θ2≤43.③记x =tan 2θ1+tan 2θ2,则式③Ζ215+x ≤14+x3(5+x ),即 36(5+x )≤196+28x +x 2.④显然式④Ζx 2-8x +16=(x -4)2≥0.于是,λ=233.当n ≥3时,不妨设θ1≥θ2≥…≥θn ,则tan θ1・tan θ2・tan θ3≥2 2.由于cos θi =1-sin 2θi <1-12sin 2θi ,则cos θ2+cos θ3<2-12(sin 2θ2+sin 2θ3) <2-sin θ2・sin θ3.由tan 2θ1≥8tan 2θ2・tan 2θ3,有1cos 2θ1≥8+tan 2θ2・tan 2θ3tan 2θ2・tan 2θ3,即 cos θ1≤tan θ2・tan θ38+tan 2θ2・tan 2θ3=sin θ2・sin θ38cos 2θ2・cos 2θ3+sin 2θ2・sin 2θ3.于是,cos θ2+cos θ3+cos θ1<2-sin θ2・sin θ31-18cos 2θ2・cos 2θ3+sin 2θ2sin 2θ3.⑤易知 8cos 2θ2・cos 2θ3+sin 2θ2・sin 2θ3≥1Ζ8+tan 2θ2・tan 2θ3≥1cos 2θ2・cos 2θ3=(1+tan 2θ2)(1+tan 2θ3)Ζtan 2θ2+tan 2θ3≤7.⑥由此可得当式⑥成立时,有cos θ1+cos θ2+cos θ3<2.⑦若式⑥不成立,则tan 2θ2+tan 2θ3≥7,有tan 2θ1≥tan 2θ2≥72.所以cos θ1≤cos θ2≤11+72=23.于是cos θ1+cos θ2+cos θ3≤223+1<2,即 式⑦成立.由此可得cos θ1+cos θ2+cos θ3+…+cos θn <n -1.另一方面,取θ2=θ3=…=θn =α>0,α→0,θ1=arctan2n2(tan α)n -1,显然θ1→π2,从而cos θ1+cos θ2+cos θ3+…+cos θn →n -1.综上可得λ=n -1.四、对于n 、m ,分三种情况讨论.(i )n <m 时,由a n +203≥a m +1,有202≥a m -a n ≥a n(a -1)≥a (a -1).所以,2≤a ≤14.则当a =2时,n 可取1,2,…,7;当a =3时,n 可取1,2,3,4;当a =4时,n 可取1,2,3;当5≤a ≤6时,n 可取1,2;当7≤a ≤14时,n =1.由a m +1|a n +203可知,有解(2,2,1),(2,3,2)和(5,2,1).(ii )n =m 时,a m +1|202.202仅有1,2,101,202共4个约数.而a ≥2,m ≥2,a m +1≥5,则a m=100或201.又m ≥2,故有解(10,2,2).(iii )n >m 时,由a m +1|203(a m +1),有a m +1|a n +203-(203a m+203)=a m (an -m-203).又(a m +1,a m )=1,所以,a m +1|a n -m-203.① 若a n -m<203,则令n -m =s ≥1,有a m+1|203-a s.所以,203-a s ≥a m+1,202≥a s+a m≥a m+a =a (am -1+1)≥a (a +1),2≤a ≤13.类似于(i )的讨论,可知(a ,m ,s )有解(2,2,3),(2,6,3),(2,4,4),(2,3,5),(2,2,7),(3,2,1),(4,2,2),(5,2,3),(8,2,1).于是,(a ,m ,n )有解(2,2,5),(2,6,9),(2,4,8),(2,3,8),(2,2,9),(3,2,3),(4,2,4),(5,2,5),(8,2,3).② a n -m =203时,则a =203,n -m =1,即 (203,m ,m +1),m ≥2均满足.③ a n -m>203时,令n -m =s ≥1,则a m+1|a s-203.又a s -203≥a m +1,则s >m .由a m +1|a s +203a m =(a s -m +203)a m =(a n -2m +203)a m ,(a m +1,a m )=1,所以a m +1|a n -2m +203.又s >m Ζn -m >m Ζn >2m Ζn -2m >0.此时的解只能由前面的解派生出来,即由(a ,m ,n )→(a ,m ,n +2m )→…→(a ,m ,n +2km ),且每一个派生出的解满足a m+1|a n+203.综上所述,所有解(a ,m ,n )为(2,2,4k +1),(2,3,6k +2),(2,4,8k +8),(2,6,12k +9),(3,2,4k +3),(4,2,4k +4),(5,2,4k +1),(8,2,4k +3),(10,2,4k +2),(203,m ,(2k +1)m +1),其中k 为任意非负整数,且m ≥2为整数.五、将前3个面试者中能力最强的排名名次记为a .显然a ≤8.将此时能力排名第k 的人被选上的排列集合记作A k (a ),相应的排列数目记作|A k (a )|.(1)易知,当a =1时,必然放过前面9个人,录用最后一个面试的人,此时除能力第1的人之外,其余各人机会均等,|A k (1)|=3×8!:=r 1,k =2,3,…,10,其中,“:=”表示“记为”.当2≤a ≤8时,对于a ≤k ≤10,能力排名第k 的人无录用机会.对于1≤k <a ,此时机会均等.事实上,此时能力排名第a 的人排在前三个,有3种选择位置的办法.而能力排名第1至第a -1的人都排在后7个位置上,并且谁位于他们之首就是谁被录用,有排法C a -17(a -2)!种;其余10-a 个人可以在剩下的位置上任意排列,有(10-a )!种排法.故有|A k (a )|=3C a -17(a -2)!(10-a )!:=r a ,k =1,…,a -1;0,k =a , (10)上述结果表明:|A 8|=|A 9|=|A 10|=r 1=3×8!>0;①|A k |=r 1+∑8a =k +1ra,k =2, (7)②|A 1|=∑8a =2r a.③由式①和②知|A 2|>|A 3|>…>|A 8|=|A 9|=|A 10|>0;而由式②和③知|A 1|-|A 2|=r 2-r 1=3×7×8!-3×8!>0.综合上述,问题(1)获证.(2)由式①知|A 8|+|A 9|+|A 10|10!=3×r 110!=3×3×8!10!=10%,所以,录用到能力最弱的三人之一的可能性等于10%.由式②和③可知|A 1|=∑8a =2ra=∑8a =23C a -17(a -2)!(10-a )!=3×7!∑8a =2(9-a )(10-a )a -1=3×7!∑7s =1(8-s )(9-s )s=3×7!×56+21+10+5+125+1+27=3×7!×952435>3×7!×9523=287×7!.|A 2|=r 1+∑8a =3ra=3×8!+3×7!×21+10+5+125+1+27=3×7!×472435>3×7!×4723=143×7!.|A 3|=r 1+∑8a =4ra=3×8!+3×7!×10+5+125+1+27=3×7!×262435>3×7!×2623=80×7!.所以,|A 1|+|A 2|+|A 3|10!>287+143+80720=510720=1724>70%,即录用到能力最强三人之一的可能性大于70%.六、令u =ay 1+by 2,v =cy 3+dy 4,u 1=ax 4+bx 3,v 1=cx 2+dx 1.则u 2≤(ay 1+by 2)2+(ax 1-bx 2)2=a 2+b 2+2ab (y 1y 2-x 1x 2),即 x 1x 2-y 1y 2≤a 2+b 2-u22ab.①v 21≤(cx 2+dx 1)2+(cy 2-dy 1)2=c 2+d 2+2cd (x 1x 2-y 1y 2),即 y 1y 2-x 1x 2≤c 2+d 2-v 212cd.②①+②得 u ≤a 2+b 2-u22ab +c 2+d 2-v 212cd ,即 u 2ab +v 21cd ≤a 2+b 2ab +c 2+d2cd.同理,v 2cd +u 21ab ≤c 2+d 2cd +a 2+b2ab.由柯西不等式,有(u +v )2+(u 1+v 1)2≤(ab +cd )u 2ab +v2cd+(ab +cd )u 21ab +v 21cd=u 2ab +v2cd +u 21ab +v 21cd≤2a 2+b 2ab +c 2+d2cd.(浙江大学数学系 李胜宏 提供)2002年上海市高中数学竞赛 说明:解答本试卷不得使用计算器一、填空题(每小题7分,共70分)1.一个正△ABC 内接于椭圆x29+y24=1,顶点A的坐标为(0,2),过顶点A 的高在y 轴上.则此正三角形的边长为.2.已知x 、y 为正数,且sin θx=cos θy,cos 2θx2+sin 2θy 2=103(x 2+y 2).则xy 的值为.3.袋里装有35个球,每个球上都记有从1到35的一个号码,设号码为n 的球重n23-5n +23克,这些球以同等的机会(不受其重量的影响)从袋里取出.若同时从袋内任意取出两球,则它们重量相等的概率为(用分数作答).4.已知正四棱台的上底、下底及侧面(四个等腰梯形)的面积之比为2∶5∶8.则侧面与底面所成角的大小为.5.若对|x |≤1的一切x ,t +1>(t 2-4)x 恒成立,则t 的取值范围是.6.设实数a 、b 、c 、d 满足a 2+b 2+c 2+d 2=5.则(a -b )2+(a -c )2+(a -d )2+(b -c )2+(b -d )2+(c -d )2的最大值是.7.函数f 定义在正整数集上,且满足f (1)=2002和f (1)+f (2)+…+f (n )=n 2f (n )(n >1).则f (2002)的值是.8.已知函数f (x )=12x(1-x +1-2x +2x 2),图1x ∈[2,4].则该函数的值域是.9.如图1,在△ABC 中,∠B =∠C ,点P 、Q 分别在AC 和AB 上,使得AP =PQ =QB =BC .则∠A 的大小是.10.棱长为1的正四面体,在平面上投影面积的最大值是.二、(本题16分)已知数列{a n }、{b n }都是等差数列,S n =a 1+a 2+…+a n ,T n =b 1+b 2+…+b n ,且对一切正整数n ,S n T n =3n +3131n +3.(1)求b 28a 28的值;(2)求使b na n为整数的所有正整数n .三、(本题16分)设F 是所有有序n 元组(A 1,A 2,…,A n )构成的集合,其中A i (1≤i ≤n )都是集合{1,2,3,…,2002}的子集,设|A |表示集合A 的元素的数目.对F 中的所有元素(A 1,A ,…,A n ),求|A 1∪A 2∪…∪A n |的总和,即∑(A 1,A 2,…,A n)∈F |A 1∪A 2∪…∪A n |.四、(本题18分)纸上写有1,2,…,n 这n 个正整数,第1步划去前面4个数1,2,3,4,在n 的后面写上划去的4个数的和10;第2步再划去前面的4个数5,6,7,8,在最后写上划去的4个数的和26;如此下去(即每步划去前面4个数,在最后面写上划去的4个数的和).(1)若最后只剩下一个数,则n 应满足的充要条件是什么?(2)取n =2002,到最后只剩下一个数为止,所有写出的数(包括原来的1,2,…,2002)的总和是多少?参考答案一、1.72331 2.3或133.1854.arccos 38 5.13-12,21+12 6.20 7.220038.14,5-14 9.20° 10.12。
全国中学生数学奥林匹克获奖竞赛(决赛)获奖名单
全国中学生数学奥林匹克获奖竞赛(决赛)获奖名单一等奖：
1. 张晨睿，江苏省江阴市第二中学
2. 李佳豪，江苏省无锡市第一中学
3. 吴凡，江苏省南京市第五中学
4. 郑英博，江苏省南通市第六中学
5. 胡晓楠，江苏省常州市第八中学
6. 李瑞婷，江苏省苏州市第十中学
7. 王若曦，江苏省南京市第十一中学
8. 杨芊晴，江苏省宿迁市第十三中学
9. 张翔，江苏省扬州市第十五中学
10. 黄晓婷，江苏省南京市第十六中学
二等奖：
1. 吴晨曦，江苏省淮安市第三中学
2. 陈宇轩，江苏省常州市第五中学
3. 陈瑞珊，江苏省南京市第六中学
4. 陈晓瑞，江苏省宿迁市第七中学
5. 袁艺洋，江苏省苏州市第八中学
6. 杨子瑞，江苏省南京市第九中学
7. 王梦凡，江苏省常州市第十一中学
8. 郑芷瑶，江苏省连云港市第十二中学
9. 李宇婷，江苏省无锡市第十三中学
10. 周思涵，江苏省南京市第十四中学。
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2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单
一等奖（19名）
姓名学校姓名学校
方家聪华南师大附属中学高峰南通启东中学
沈欣华南师大附属中学王伟湖南师大附中
陈晨湖北黄冈中学何忆捷上海延安中学
黄皓华南师大附属中学邢硕博北京清华附中
向振长沙市第一中学王国桢甘肃兰州一中
万昕成都彭州中学贾敬非东北师大附中
刘一峰华东师大第二附中祁涵华中师大一附中
林嵩华南师大附属中学孙洪宾耀华中学
姜龙石家庄二中周清人大附中
梁宏宇北师大实验中学
二等奖：（43名）
姓名学校姓名学校
张凌人上海中学戴午阳东北育才中学
周游武钢三中孙婷妮华东师大二附中
李杜湖南师大附中张志强华中师大一附中
朱庆三华南师大附中齐治雅礼中学
刘熠华南师大附中吴昊哈尔滨三中
李大州石家庄二中陈苏南洋模范中学
沈旭凯杭州二中袁放上海中学
陈超河南师大附中洪晓波东北育才中学
李先颖湖南师大附中李晓东东北育才中学
吴天同淮阴中学马力华东师大二附中
张宇北大附中赵亮山东省实验中学
王磊武钢三中孙嘉睿深圳高级中学
周思慎长沙市一中邹鹏北京汇文中学
王晨兰州一中金哲晖延边市一中
李春雷东北师大附中石磊河南师大附中
范翔江西师大附中苟江涛陕西西北工大附中
韩斐华罗庚中学唐培重庆市育才中学
金坚诸暨中学王加白镇海中学
杜杰北大附中蔡雄伟仙游一中
杨龙长沙市一中余学斌圣公会白约翰会督中学林运成上海中学萧子衡顺德联谊总会梁銶琚中学罗海丰华南师大附中
三等奖：（69名）
姓名学校姓名学校
王蓉蓉实验中学张翼飞河南师大附中
张伟安庆一中梁举潼南中学
张晓光高安中学蔡煊挺诸暨中学
郭城威南通启东中学吴博舟山中学
曹志敏华罗庚中学陈淞黄冈中学
资坤长沙市一中马俊达福州三中
刘奇航哈尔滨三中杨启声喇沙书院
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中学
欧觉钧中山市一中张荣华滁州中学
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孔令凯南菁高级中学潘无穷大庆一中
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戚善翔上海复旦大学附中路亨山西大学附中
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杨丹大连育明中学张乐西北师大附中
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