空间中两点的距离公式
高中数学两点之间距离公式
高中数学：两点之间距离公式引言在数学中，我们经常会遇到计算两点之间的距离的情况。
无论是平面上的两点还是空间中的两点，我们都希望能够准确计算出它们之间的距离。
为了解决这个问题，数学家们发展出了一些距离公式，其中最经典的就是两点之间的距离公式。
本文将重点介绍高中数学中常用的两点之间的距离公式。
平面上两点距离公式我们首先来考虑平面上任意两点之间的距离。
设平面上有两点A和B，其坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)。
根据勾股定理，我们可以得到平面上两点之间的距离公式如下：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)其中，d表示两点之间的距离。
这个公式的原理是利用直角三角形的斜边长度公式。
我们将两点之间的水平距离表示为(x₂ - x₁)，将垂直距离表示为(y₂ - y₁)，然后利用平方和开方的方式，计算出两点之间的距离。
空间中两点距离公式在空间中，我们需要考虑三维坐标系中两点之间的距离。
设空间中有两点A和B，其坐标分别为(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)。
根据勾股定理，我们可以得到空间中两点之间的距离公式如下：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)这个公式的原理和平面上两点距离公式相同，只是多了一个维度。
应用举例：高中几何问题两点之间的距离公式在解决高中数学几何问题中经常被应用。
例题1已知平面上有三个点A(-2, 1)、B(3, -4)和C(5, 2)，求三角形ABC的周长。
根据平面上两点之间的距离公式，我们可以计算出三边的长度：AB = √((-2 - 3)² + (1 - (-4))²) = √(25 + 25) = √50 BC = √((3 - 5)² + (-4 - 2)²) =√((-2)² + (-6)²) = √40 CA = √((-2 - 5)² + (1 - 2)²) = √(49 + 1) = √50所以，三角形ABC的周长为√50 + √40 + √50。
4.3.2 空间两点间的距离公式
O
M1 M M2 H N2 y N
N1
在xOy平面上, MN ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 . 过点P1作P2N的垂线，垂足为H,
则 MP 1 z1 , NP 2 z2 , 所以 HP2 z2 z1 .
P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N z
解：设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
MA MB
2
2
2 2 2 2 2 2 即 (0 4) (0 1) ( z 7) (3 0) (5 0) (2 z)
14 解之得 z 9 14 (0, 0, ). 所以所求点的坐标是 9
在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1，-3,1）
2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三点的坐标为A(2，1，1)， 2 B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x=_____. 3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1，0)两点的距离 2x+2y-2z-3=0 相等，则x、y、z满足的关系式是_______________. 4．已知点P在z轴上满足|OP|=1（O是坐标原点），则点P到
P2
在Rt PHP 1 2中，
2 2 PH MN ( x x ) ( y y ) 1 2 1 HP ( x x ) ( y y ) ( z z ) 1 2 2 1 2 1 2 1 , 2 2
因此，空间中任意两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
2或 6 。 点A(1，1，1)的距离是_________
5．正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为A(-1，
4 。 2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的棱长为_____
两点间的距离公式
两点间的距离公式在数学中，我们经常需要计算两点之间的距离，无论是在平面上还是在空间中。
为了解决这个问题，数学家们提出了几种距离公式，其中最常用的是欧几里得距离公式和曼哈顿距离公式。
1. 欧几里得距离公式欧几里得距离是计算两点之间最短直线距离的方法，也称为直线距离或欧几里得度量。
它可以用于平面上的任意两点计算。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的欧几里得距离可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，`√`表示开平方根，`(x2 - x1)²`表示横坐标之差的平方，`(y2 - y1)²`表示纵坐标之差的平方。
利用这个公式，我们可以轻松计算出平面上任意两点之间的距离。
例如，假设有点A(2, 3)和点B(5, 7)，我们可以使用欧几里得距离公式计算出它们之间的距离：d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
2. 曼哈顿距离公式曼哈顿距离是计算两点之间沿着网格（或坐标轴）移动的最短距离的方法，也称为城市街区距离。
它可以被看作是沿着曼哈顿街道行走的距离。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的曼哈顿距离可以表示为：d = |x2 - x1| + |y2 - y1|其中，`|x2 - x1|`表示横坐标之差的绝对值，`|y2 - y1|`表示纵坐标之差的绝对值。
通过这个公式，我们可以简单地计算平面上任意两点之间的曼哈顿距离。
例如，假设有点A(2, 3)和点B(5, 7)，我们可以使用曼哈顿距离公式计算它们之间的距离：d = |5 - 2| + |7 - 3|= |3| + |4|= 3 + 4= 7因此，点A和点B之间的距离为7个单位。
综上所述，欧几里得距离和曼哈顿距离是计算两点之间距离的常用公式。
空间直角坐标系点面距离公式(一)
空间直角坐标系点面距离公式(一)空间直角坐标系点面距离公式一、点到点的距离公式两点之间的距离可以用勾股定理来计算，即两点间直线的欧氏距离公式。
公式如下：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]其中，(x1, y1, z1)、(x2, y2, z2) 分别为两个点的坐标。
示例：假设有两个点 A(1, 2, 3) 和 B(4, 5, 6)，要计算它们之间的距离。
根据公式计算可得：d = √[(4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²]= √[3² + 3² + 3²]= √[9 + 9 + 9]= √27≈所以点 A 到点 B 的距离约为。
二、点到直线的距离公式点到直线的距离可以利用点到点的距离公式来计算。
设点 P(x, y, z) 到直线 L 的距离为 d，直线 L 上一点为 A(x1, y1, z1)，则有：d = |(Ax - Px) * i + (Ay - Py) * j + (Az - Pz) * k|/ √(i² + j² + k²)其中，(x, y, z) 为点 P 的坐标，(x1, y1, z1) 为直线上一点的坐标，(i, j, k) 为直线的方向向量。
示例：考虑一条直线 L 过点 A(1, 2, 3)，且方向向量为 (2, 2, 1)。
现有一点 P(-1, 0, 1)，要计算 P 到直线 L 的距离。
根据公式计算可得：d = |(2(-1 - 1) + 2(0 - 2) + 1(1 - 3))| / √(2² + 2²+ 1²)= |-4 - 8 - 2| / √(4 + 4 + 1)= |-14| / √9= 14 / 3≈所以点 P 到直线 L 的距离约为。
三、点到平面的距离公式点到平面的距离可以类比点到直线的距离公式，利用点到点的距离公式来计算。
点与空间直线距离公式
点与空间直线距离公式摘要：1.引言2.点与空间直线距离公式3.空间直线距离公式推导4.常见问题与应用5.总结正文：在数学中，点与空间直线距离公式是一种用于计算空间中两点之间直线距离的方法。
该公式可以帮助我们在解决几何问题时，快速准确地计算出点与直线之间的距离。
在三维空间中，这个公式可以扩展到计算点与平面的距离。
首先，我们来看一下空间直线距离公式。
假设我们有两个点A(x1, y1, z1) 和B(x2, y2, z2)，那么空间直线距离公式可以表示为：d = sqrt[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]其中，d 表示点A 到点B 的直线距离，sqrt 表示平方根运算。
接下来，我们推导一下空间直线距离公式的来源。
假设我们有一个点P(x, y, z) 在空间中，我们需要计算该点到直线AB 的距离。
首先，我们需要找到一个与直线AB 垂直的向量N，可以表示为：= (y2 - y1, z2 - z1, x1 - x2)然后，我们计算向量PN，可以表示为：PN = (y - y1, z - z1, x - x1)接下来，我们使用点到直线的距离公式，计算PN 与N 之间的夹角θ，可以表示为：cos(θ) = (PN · N) / (|PN| * |N|)其中，PN · N 表示向量PN 与N 之间的点积，|PN|和|N|分别表示向量PN 和N 的长度。
最后，我们可以得到点P 到直线AB 的距离d，可以表示为：d = |PN| * sin(θ)将向量PN 和N 表示为坐标形式，我们可以得到空间直线距离公式：d = sqrt[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]在实际应用中，空间直线距离公式可以帮助我们解决许多与距离有关的问题，例如计算两个物体之间的距离、计算光线传播的距离等。
此外，该公式还可以应用于计算机图形学、地理信息系统和机器视觉等领域。
课件1：2.4.2 空间两点的距离公式
面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，
若CM＝BN＝a(0<a< )，求a为何值时，MN的长最小．
分析：该题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该
说是既简单又易行的方法，方法的对照比较，也更体现出了
坐标法解题的优越性．
＝
.
点评：求几何体中线段的长度的步骤：(1)利用几何体中的
线面关系、对称关系等建立适当的坐标系；(2)表示出几何
体中各点的坐标；(3)利用距离公式求线段的长度．
跟 踪 训 练
1．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，
则△ABC的形状是(
A．等腰三角形
练习1：点M(4，－3,5)到坐标原点O(0,0,0)的距离为
+ (−) + =
___________________．
练习2：如果|OP|是定长r，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？
答案：表示球心为O，球半径为r的球．
基 础 梳 理
2．在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距
课堂小结
归 纳 总 结
空间中两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，
常应用在四个方面：一是根据坐标求距离，二是根据距离
求点的坐标，三是利用边长判断三角形的形状，四是求空
间中点的轨迹方程．目的都是考查空间中两点间距离公式，
解答时可类比平面上解决类似问题的方法．在求轨迹方程
时，注意理解方程表示的图形．
∵|BC|2＋|AC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形．
答案：C
空间中两点的距离公式PPT教学课件
10
（一）齿teeth
作用：捕食，不能 咀嚼。
硬骨鱼类的齿：可 分为颌齿、腭齿、 犁齿、咽齿等。 统称为口腔齿。
犁齿和腭齿的有无，
左右下咽齿是否
分离或愈合等常
作为分类标志之
11
咽齿
鲤科鱼类的第五鳃弓 的角鳃骨特别扩大，特称 为咽骨或下咽骨，咽骨上 长的齿，就是咽齿。
胰脏分泌胰蛋白酶、胰脂肪酶及胰淀粉酶， 能消化分解蛋白质、脂肪和醣类，为十分重 要的消化酶类。胰脏产生的消化酶通过胰31管
胃腺（gastric gland）
圆口类及肺鱼类无特殊分化的胃腺，其余鱼类 胃腺一般均存在。少数无胃鱼类如鲤科、隆 头鱼科等无胃腺。
胃腺分泌胃蛋白酶，分解食物中的蛋白质。凶 猛的肉食性鱼类的胃蛋白酶的活性特别高。
Y 型：盲囊部明显突出，贲门部、幽门 部及盲囊部分界明显，如拟沙丁鱼、鳀及鳗 鲡等鱼类的胃。
卜型：盲囊部特别延长而发达，幽门部22较
四、肠（intestine）
软骨鱼类板鳃亚纲的肠可明显分出小肠和大 肠，小肠又可分为十二指肠及回肠。大肠 可分为结肠和直肠。
硬骨鱼类及全头类的肠的末端以肛门开口体 外，板鳃亚纲肠管末端则以肛门开口于泄 殖腔。
X
§4.3.1 空间中两点的距离公式
1
(1) 在空间直角坐标系中，任意一点 P(x,y,z)到原点的距离：
z
| OP | x2 y2 z2
O x
P(x,y,z)
y
P`(x,y,0)
2
(1) 在空间直角坐标系中，任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：
| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
高中数学课件 空间两点间的距离公式
类型 一
空间两点间的距离公式
尝试解答下列题目，归纳利用空间两点间的距离公式求空间
距离的步骤.
1.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于
(
A. 14 B. 13 C.2 3 D. 11
)
2.设点P在x轴上，它到点P1(0， 2 ，3)的距离为到点 P2(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标.
于 .
【解析】 AM | (3 0)2 (1 1) 2 (2 2) 2 13, |
所以对角线|AC1| 2 13， 设棱长为x,则3x2= (2 13)2 , 所以 x 2 39 .
3
答案：2 39
3
6.如图,在宽、长、高分别为2,4,3的长方体ABCD-A1B1C1D1中, 利用空间两点间距离公式,求对角线AD1,AB1和AC1的长.
答案： 29
2 (2)因为| AB | ［ 2 (2)］ (2 1) 2 (0 m) 2 1.
所以1+m2=1,所以m=0.
答案：0
(3)过点M作x轴的垂线，垂足的坐标是(2，0，0)，
所以 d (2 2)2 (3 0) 2 (5 0) 2 34.
【拓展延伸】建立空间直角坐标系遵循的两个原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.
(2)充分利用几何图形的对称性.
【变式训练】四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=1,AD=2,SA=1, 且SA⊥底面ABCD,问边BC上是否存在异于B,C的点P,使得∠SPD 是直角?
【解析】以A为原点,射线AB,AD,AS分别为x,y,z轴的正半轴, 建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0). 设P(1,x,0)(0<x<2), 所以SP2=(1-0)2+(x-0)2+(0-1)2 =x2+2, PD2=(1-0)2+(x-2)2+(0-0)2 =(x-2)2+1, SD2=(0-0)2+(0-2)2+(1-0)2=5.
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M1
Q
y
O
因为 x | M1M2 | 2 = | M1Q | 2 + | M2Q | 2 = | M1P | 2 + | PQ | 2 + | M2Q | 2 所以 d | M1M2 |
( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
2 2
2
例1 求证以M 1(4，3，1)、M 2(7，1，2)、M 3(5，2，
1、设 O(0,0,0),P(x0,y0,z0)
z P C y B
则
OP OA OB OC x y z
2 0 2 0 2 0 2 2 2
A
x
o
二、空间两点间的距离
作一个以M 1和M 2为对 角线顶点的长方体，使 其三个相邻的面分别平 行于三个坐标面．
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点． z
z1
P
M1 Q
y
O x
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．
作一个以 M 1 和 M 2 为 对角线顶点的长方体，使 其三个相邻的面分别平行 于 三 个 坐 标 面 ．
z
M2
与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|，
与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|， 与z 轴平行的边的边长为|z 2z 1|．
坐标面： 三条坐标轴中的任意两 条可以确定一个平面，这样 定出的三个平面统称为坐标 面．x轴及y轴所确定的坐标
z
面叫做 xOy面，另两个坐标
面是 yOz 面和zOx面.
O
y
x
坐标面：
三条坐标轴中的任意两
z
条可以确定一个平面，这样
定出的三个平面统称为坐标 面．x轴及y轴所确定的坐标
面叫做 xOy面，另两个坐标
3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．
解 因为
| M 1M 2| 2(74) 2(13) 2(21) 214，
| M 2M 3| 2(57) 2(21) 2(32) 26， | M 1M 3| 2(54) 2(23) 2(31) 26， 所以| M 2M 3| | M 1M 3|，即DM 1M 2M 3为等腰三角 形．
一、空间点的直角坐标
过 空 间 一 个 定 点 z轴(竖轴)
z
O，作三条互相垂直
的 数 轴 ， 它 们 都 以 (坐标)原点 O为原点且一般具有 相同的长度单位．它 们的正向通常符合右
1 1
y轴(纵轴)
1 O 拇指方向
y
x轴(横轴)
手规则．这样的三条
坐标轴就组成了一个 空间直角坐标系．
x
四指转向 右手规则
面是 yOz 面和zOx面.
O
y
x
卦 限：
z
第一卦限
三个坐标面把 空间分成八个部分， 每一部分叫做卦限．
O
y
x
z
第二卦限
卦 限：
O
y
x
z
卦 限： 第三卦限
O
y
x
z
卦 限：
第四卦限
O
y
x
z
卦 限：
O
y
x
第五卦限
卦 限：
z
O
y
第六卦限
x
卦 限：
z
第七卦限
O
y
x
z
卦 限：
O
第八卦限
y
x
点的坐标：
M2
M1
与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|，x 1 O
x2
P
Q
y
x
二、空间两点间的距离
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．
作一个以M 1和M 2为对角 线顶点的长方体，使其三 个相邻的面分别平行于三 个坐标面．
z
M2 M1 Q
与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， P 与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|， O
设 M 点 为空间一已知点．过 x
z
z R M Q y y
M 作三个平面分别垂直于
轴、y 轴和 z 轴，三个平面在 x
轴、y 轴和 z 轴的交点依次为
P、Q、R，在 x 轴、y 轴和 z 轴 上的坐标依次为x、y、z，我们 称这组数为点M的坐标，并把 x、y、z分别称为点M的横坐标、 纵坐标、竖坐标．坐标为x、y、 z 的点M 记为M(x，y，z)．
精品课件！
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例2 在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)
等距离的点．
解 设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
|MA| 2|MB| 2，
(04) 2(01) 2(z7) 2(30) 2(50) 2(2z) 2． 解之得
14 z ， 9
x
y1
y
y2
二、空间两点间的距离
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点． 作一个以M 1和M 2为对角线 顶点的长方体，使其三个相邻 z2
M2
z
的面分别平行于三个坐标面．
与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|， 与z 轴平行的边的边长为|z 2z 1|．
O
x P
x
3.3空间两点间的距离公式
问题1：长方体的对角线是长方体中的那一条 线段？ 问题2：怎样测量长方体的对角线的长？
问题3：已知长方体的长、宽、高分别是a、
b、c，则对角线的长
d a b c
2 2
2
问题4：给出空间两点A(x1,y1,z1),P(x2,y2,z2)
可否类比得到一个距离公式？
14 所以，所求的点为M(0, 0, )． 9