九年级数学下册二次函数y=ax2bxc的图象与性质(第1课时)二次函数y=ax2k的图象与性质作业课件
22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像和性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
最值
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
二、学习目标：
1．理解二次函数 y=ax2+bx+c 与 y =a（x - h）2 +k之间 的联系，体会转化思想； 2．通过图象了解二次函数 y=ax2+bx+c 的性质，体 会数形结合的思想． 3 .会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际 问题． • 学习重点： 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y = a（x - h）2 +k 的形式，并能由此得到二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象和性质．
答：经过15秒，火箭到达最高点，起最大高度为1135米。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
四、课堂小结
二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）顶点坐标
b 4ac b2
2a
,
4a
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
2
直接画函数
的图象
y 1 x2 6x 21 2
描点、连线，画出函数 y 1 x 62 3
图像.
2
问题：
y
1 2
x2
6x
21
1.看图像说说抛物线
y 1 x2 6x 21
2
的增减性。
●
●
5
●
●
●
●
●
（6,3）
O
5
10
2.怎样平移抛物线 y 1 x2 2
可以得到抛物线
y 1 x2 6x 21？
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
九年级数学 二次函数y=ax2bxc(a≠0)的图像与性质(知识讲解1)Word版含解析
专题2.12 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解1）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.12 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解1） 【学习目标】1．会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2．通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3．经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与2(1)(0)y a x t k a =-+≠之间的相互关系 1．顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2．一般式化成顶点式 22222()()()22b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤=++=++=++-+⎢⎥⎣⎦224()24b ac b a x a a-=++．对照2()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a-=．∴抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． 特别说明：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法 1．一般方法：列表、描点、连线； 2．简易画法：五点定形法． 其步骤为：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．（2）求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 特别说明：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象与性质2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2b x a =-时，244ac b y a-=．特别说明：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当2b x a =-时，244ac b y a-=，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x2时，22y bx c ++；当x ＝x1时，211y ax bx c =++，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x1时，2max 11y ax bx c =++；当x ＝x2时，2min 22y ax bx c =++，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x1，x ＝x2，2bx a=-时y 值的情况． 特别说明： 【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠化为顶点式1．已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 举一反三： 【变式1】2．用配方法把二次函数y=12x 2–4x+5化为y=a(x+m)2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式2】3．已知二次函数2y x 4x 3=-+．()1用配方法将其化为2y a(x h)k =-+的形式；()2在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．【变式3】4．已知二次函数y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过点A （0，4）和B （1，﹣2）． （1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）设抛物线的顶点为C ，试求∴CAO 的面积． 类型二、画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象5．已知：二次函数243y x x =++ （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）在所提供的网格中画出该函数的草图．举一反三： 【变式1】6．已知二次函数y =﹣x 2+4x ．（1）写出二次函数y =﹣x 2+4x 图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）； （3）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围． 【变式2】7．已知二次函数y ＝12x 2﹣x ﹣32． （1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象； （2）根据图象写出：①当x 时，y ＞0； ②当0＜x ＜4时，y 的取值范围为 ．【变式3】8．已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠． （1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；（3）设点()1,P m y ，()23,Q y 在抛物线上，若12y y <，求m 的取值范围． 类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的性质9．把抛物线21:23C y x x =++先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线2C ．（1）直接写出抛物线2C 的函数关系式；（2）动点(),6P a -能否在拋物线2C 上？请说明理由；（3）若点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且0m n <<，比较12,y y 的大小，并说明理由． 举一反三： 【变式1】10．在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当21x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且3a b <<，求m 的取值范围． 【变式2】11．如图，已知抛物线y=x 2-2x -3与x 轴交于A 、B 两点．（1）当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；（2）点P 为抛物线上一点，若S △PAB =10，求出此时点P 的坐标．【变式3】12．已知抛物线2y ax bx c =++，如图所示，直线1x =-是其对称轴，()1确定a ，b ，c ，24b ac =-的符号；()2求证：0a b c -+>；()3当x 取何值时，0y >，当x 取何值时0y <．类型四、二次函数的图象及各项的系数13．如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．（1）m的值为________；（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．举一反三：【变式1】14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：∴abc＞0；∴a﹣b+c＜0；∴2a+b﹣c＜0；∴4a+2b+c＞0，∴若点（﹣23，y1）和（73，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）类型五、一次函数、二次函数图象的综合判断15．如图，已知直线y=-2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m 的值； （2）求抛物线的解析式；（3）若点P 是x 轴上一点，当∴ABP 为直角三角形时直接写出点P 的坐标． 举一反三： 【变式1】16．已知二次函数()2229y mx m x m =++++．()1如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；()2如图，二次函数的图象过，点()4,0A ，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．【变式2】17．如图所示，已知直线y=12-x 与抛物线y=2164x -+交于A 、B 两点，点C 是抛物线的顶点．(1)求出点A 、B 的坐标； (2)求出∴ABC 的面积；(3)在AB 段的抛物线上是否存在一点P ，使得∴ABP 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（1）2y x 2x 3=-++（2）（1，4）【详解】解：（1）∴抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）， ∴抛物线的解析式为；()()y x 3x 1=--+，即2y x 2x 3=-++， （2）∴抛物线的解析式为()22y x 2x 3x 14=-++=--+， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．（1）根据抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．2．抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)． 【分析】用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵y ＝12x 2－4x ＋5＝12(x －4)2－3，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)．【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．3．（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可．【详解】解：()21y x 4x 3=-+=222x 4x 223-+-+ =2(x 2)1--()22y (x 2)1=--，∴顶点坐标为()2,1-，对称轴方程为x 2=．函数二次函数2y x 4x 3=-+的开口向上，顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点为()3,0，()1,0， ∴其图象为：故答案为（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．4．（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）∴CAO 的面积为2．【分析】（1）利用待定系数法把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c 中，可以解得b ，c 的值，从而求得函数关系式即可； （2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO 的面积． 【详解】解：（1）把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c ，得：24212c b c =⎧⎨-⨯++=-⎩，解得：44b c =-⎧⎨=⎩， 所以此抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2﹣4x +4； （2）∴y ＝﹣2x 2﹣4x +4 ＝﹣2（x 2+2x ）+4 ＝﹣2[（x +1）2﹣1]+4 ＝﹣2（x +1）2+6，∴此抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）； （3）由（2）知：顶点C （﹣1，6）， ∴点A （0，4），∴OA ＝4， ∴S △CAO ＝12OA •|xc |＝12×4×1＝2，即△CAO 的面积为2．故答案为（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）△CAO 的面积为2．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键． 5．（1） (－2，－1)；（2）见解析【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）利用五点法画二次函数的图象即可．【详解】（1）243y x x =++化为顶点式为2(2)1y x =+- 则该函数图象的顶点坐标为(2,1)--；（2）先求出自变量x 在4,3,2,1,0----处的函数值，再列出表格 当4x =-和0x =时，3y =当3x =-和=1x -时，2(1)4(1)30y =-+⨯-+= 当2x =-时，1y =- 列出表格如下：由此画出该函数的草图如下：【点睛】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键．6．（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．【详解】试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．试题解析：（1）∴y=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）列表得：描点，连线．（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．7．（1）见解析；（2）①x＜﹣1或x＞3；②﹣2≤y＜52．【分析】（1）先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（1，2）；再分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（2）∴利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；∴先确定x＝4时，y＝52，然后利用函数图象写出当0＜x＜4时对应的函数值的范围．【详解】解：（1）∴y＝12（x﹣1）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）；当x＝0时，y＝12x2﹣x﹣32＝﹣32，则抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣32）当y ＝0时，12 x 2﹣x ﹣32＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）， 如图，（2）∴当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0； ∴当0＜x ＜4时，﹣2≤y ＜52；故答案为x ＜﹣1或x ＞3；﹣2≤y ＜52．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．8．（1）1x =；（2）233322y x x =-+或221y x x =-+-；（3）当a ＞0时，13m -<<；当a ＜0时，1m <-或3m >．【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到a 的值，进而得到其解析式；（3）根据抛物线的对称性求得点Q 关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到m 的取值范围．【详解】（1）∴22232y ax ax a =--+， ∴22(1)32y a x a a =---+， ∴其对称轴为：1x =．（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：2(1,23)a a --，∴抛物线顶点在x 轴上， ∴2230a a --=， 解得：32a =或1a =-， 当32a =时，其解析式为：233322y x x =-+， 当1a =-时，其解析式为：221y x x =-+-， 综上，二次函数解析式为：233322y x x =-+或221y x x =-+-． （3）由（1）知，抛物线的对称轴为1x =， ∴()23,Q y 关于1x =的对称点为2(1,)y -， 当a ＞0时，若12y y <， 则-1＜m ＜3；当a ＜0时，若12y y <， 则m ＜-1或m ＞3.【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．9．（1）2(3)3y x =--；（2）不在，见解析；（3）12y y >，见解析【分析】（1）先求出抛物线1C 的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；（2）根据抛物线2C 的顶点的纵坐标为3-，即可判断点()6P a -，不在拋物线2C 上； （3）根据抛物线2C 的增减性质即可解答．【详解】（1）抛物线221:23(1)2C y x x x =++=++，∴抛物线1C 的顶点坐标为(﹣1，2)，根据题意，抛物线2C 的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，﹣3)， ∴抛物线2C 的函数关系式为：2(3)3y x =--； （2）动点P 不在抛物线2C 上． 理由如下：∴抛物线2C 的顶点为()3,3-，开口向上， ∴抛物线2C 的最低点的纵坐标为3-． ∴63P y =-<-，∴动点P 不在抛物线2C 上； （3）12y y >． 理由如下：由（1）知抛物线2C 的对称轴是3x =，且开口向上， ∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小． ∴点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且03m n <<<， ∴12y y >．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（1）2y x x 2=--；（2）254；（3）1m <． 【分析】（1）利用待定系数法将点(1,0)-，(2,0)代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴12x =，从而知在21x -≤≤中，当x=-2时，y 有最大值，当12x =时，y 有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x 与m 的函数关系式，根据有两个交点可得出∆>0，根据根与系数的关系可得出a ，b 的值，然后根据3a b <<，整理得出m 的取值范围． 【详解】解：（1）∴2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)，∴10420p q p q -+=⎧⎨++=⎩解得12p q =-⎧⎨=-⎩ ∴2y x x 2=--（2）由（1）得，二次函数对称轴为12x =∴当21x -≤≤时，y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y 的最小值为21192224⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴y 的最大值与最小值的差为925444⎛⎫--= ⎪⎝⎭；（3）由题意及（1）得()2222y m x my x x ⎧=-+-⎨=--⎩整理得()()2340x m x m ----=即()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦∴一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，∴()()23440m m ∆=-+-> 化简得210250m m -+> 即()250m -> 解得m≠5∴a ，b 为方程()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦的两个解 又∴3a b << ∴a=-1，b=4-m 即4-m>3 ∴m<1综上所述，m 的取值范围为1m <．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质． 11．(1) ﹣4≤y ＜0;(2) P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）【详解】分析：(1)、首先将抛物线配成顶点式，然后根据x 的取值范围，从而得出y 的取值范围；(2)、根据题意得出AB 的长度，然后根据面积求出点P 的纵坐标，根据抛物线的解析式求出点P 的坐标．详解：（1）∴抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3，∴y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x ＜3时，﹣4≤y ＜0． （2）当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0， 解得：x 1=-1 x 2=3 ∴A （﹣1，0）、B （3，0）， ∴AB=4．设P （x ，y ），则S △PAB =AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5． ∴当y=5时，x 2﹣2x ﹣3=5，解得：x 1=﹣2，x 2=4， 此时P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； ∴当y=﹣5时，x 2﹣2x ﹣3=﹣5，方程无解； 综上所述，P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质，属于基础题型．求函数值取值范围时，一定要注意自变量的取值范围是否是在对称轴的一边．12．（1）0a <，0b <，0c >，240b ac =->；（2）详见解析；（3）当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【分析】（1）根据开口方向确定a 的符号，根据对称轴的位置确定b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，根据抛物线与x 轴交点的个数确定b 2-4ac 的符号； （2）根据图象和x=-1的函数值确定a -b+c 与0的关系； （3）抛物线在x 轴上方时y ＞0；抛物线在x 轴下方时y ＜0． 【详解】()1∵抛物线开口向下， ∴0a <， ∵对称轴12bx a=-=-， ∴0b <，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴240b ac =->；()2证明：∵抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为1x =-，∴当1x =-时，0y a b c =-+>；()3根据图象可知，当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.13．（1）3；（2）x ＞1；（3）-1＜x ＜3；（4）-5≤y ≤4 【分析】根据函数的图象和性质即可求解．【详解】解：（1）将（0，3）代入y ＝﹣x 2+（m ﹣1）x +m 得，3＝m ， 故答案为3；（2）m ＝3时，抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3， 函数的对称轴为直线x ＝2ba-＝1， ∴﹣1＜0，故抛物线开口向下，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小， 故答案为x ＞1；（3）令y ＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝﹣1或3， 从图象看，当﹣1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方； 故答案为﹣1＜x ＜3；（4）当x ＝0时，y ＝3；当x ＝4时，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣5， 而抛物线的顶点坐标为（1，4），故当x 满足0≤x ≤4时，y 的取值范围是﹣5≤y ≤4， 故答案为﹣5≤y ≤4．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键． 14．∴∴∴【详解】解：∴抛物线开口向下， ∴a ＜0，∴对称轴在y 轴右边， ∴b ＞0，∴抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，故∴错误；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b +c ＜0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，c ＞0， ∴2b a-=1， ∴2a +b =0，∴2a +b ＜c ，∴2a +b ﹣c ＜0，故∴正确；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =2时，y ＞0，∴4a +2b +c ＞0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，∴抛物线上x =23-时的点与当x =83时的点对称， ∴x ＞1，y 随x 的增大而减小，∴y 1＜y 2，故∴错误；故答案为∴∴∴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：∴二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；∴一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）∴常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．15．（1）m ＝6；（2）y ＝﹣x 2+2x +3；（3）点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【分析】（1）将点A 坐标代入y=-2x+m ，即可求解；（2）y=-2x+6，令y=0，则x=3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y=a （x -1）2+4，将点B 的坐标代入上式，即可求解；（3）分∴BAP=90°、∴AP （P′）B=90°两种情况，求解即可．【详解】解：（1）将点A 坐标代入y ＝﹣2x+m 得：4＝﹣2+m ，解得：m ＝6；（2）y ＝﹣2x+6，令y ＝0，则x ＝3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y ＝a （x ﹣1）2+4，将点B 的坐标代入上式得：0＝a （3﹣1）2+4，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+4＝﹣x 2+2x+3；（3）∴当∴BAP ＝90°时，直线AB 的表达式为：y ＝﹣2x+6，则直线PB 的表达式中的k 值为12，设直线PB 的表达式为：y ＝12x+b ，将点A 的坐标代入上式得：4＝12×1+b ， 解得：b ＝72， 即直线PB 的表达式为：y ＝12x+72， 当y ＝0时，x ＝﹣7，即点P （7，0）；∴当∴AP （P′）B ＝90°时，点P′（1，0）；故点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗漏，本题较为简单．16．（1）45m <且0m ≠；（2）P 点坐标为()1,6． 【分析】解：（1）根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>；（2）先求二次函数的解析式，再求抛物线的对称轴，用待定系数法求直线AB 的解析式，再求AB 与对称轴的交点P.【详解】解：()1根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>， 所以45m <且0m ≠； ()2把()4,0A 代入()2229y mx m x m =++++得()168290m m m ++++=，解得1m =-，所以抛物线解析式为2228(1)9y x x x =-++=--+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，当0x =时，2288y x x =-++=，则()0,8B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把()4,0A ，()0,8B 代入得{408k b b +==，解得{28k b =-=，所以直线AB 的解析式为28y x =-+，当1x =时，286y x =-+=，所以P 点坐标为()1,6．【点睛】本题考核知识点：二次函数与一次函数. 解题关键点：理解二次函数图象的交点问题.17．(1)点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)30；(3)当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)． 【分析】（1）由直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点，可得方程211x x 624-=-+，解方程即可求得点A 、B 的坐标；（2）首先由点C 是抛物线的顶点，即可求得点C 的坐标，又由S △ABC =S △OBC +S △OAC 即可求得答案；（3）首先过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，然后设21P a,a 64⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即可求得点D 的坐标，可得PD 的长，又由S △ABP =S △BDP +S △ADP ，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．【详解】解：(1)∴直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点， ∴211x x 624-=-+， 解得：x ＝6或x ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝﹣3，当x ＝﹣4时，y ＝2，∴点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)∴点C 是抛物线的顶点．∴点C 的坐标为(0，6)，∴S △ABC ＝S △OBC +S △OAC ＝12×6×4+12×6×6＝30；(3)存在．过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，设P(a ，﹣14a 2+6)， 则D(a ，﹣12a)， ∴PD ＝﹣14a 2+6+12a ， ∴S △ABP ＝S △BDP +S △ADP ＝12×(﹣14a 2+6+12a)×(a+4)+12×(﹣14a 2+6+12a)×(6﹣a)＝25125(a 1)44--+ (﹣4＜a ＜6)， ∴当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。
《二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象与性质》PPT课件1-九年级下册数学北师大版
一、 温故而知新
（1）把点P(1,2)向右平移2个单位，得点 (3,2) .
（2）把点P(1,2)向上平移3个单位，得点(1,5) .
（3）把点P(1,2)向右平移2个单位，再向上平移 3个单位，得点 (3,5) . （4）点P(-1,4)关于x轴对称的点为(-1,-4). 关于y轴对称的点为(1,4) 关于原点对称的点 为 (1,-4) .
将该抛物线关于x轴对称，所得抛物线的解 析式为 y=（x+1）2-4
练习3：已知抛物线 y=-（x+1）2+4.
将该抛物线绕顶点旋转180°，所得抛物线 的解析式为 y=（x+1）2+4
变式1：将该抛物线绕原点旋转180°，所得 抛物线的解析式为 y=（x-1）2-4
四、回顾与提升
1.知识小结
抛物线的变换
y
旋转变换
y =2(x+2)2 -1
P (-2,-1)
y =-2(x+2)2 -1
P1 (2, 1)
抛物线的旋转
转 化 x 点的旋转
y =-2(x-2)2 +1
练习1：已知抛物线 y=x2-2x+3.
将该抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单 位，所得抛物线的解析式为y=（x-3）2+5 练习2：已知抛物线y=-（x+1）2+4.
谢谢指导！
二、
y
向右平移5个单位 平移变换
y =2(x+2)2 -1
P (-2,-1)
抛物线的平移
y =2(x-3)2 -1
转
化
x 点的平移
(3,-1)
y
轴对称变换
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质吗？
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
b 4ac b2
显然，二次函数y a( x
b
)2
4ac
b2
的顶点坐标为
2a
,
4a
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系
思考 探索二次函数函数y 1 x2 - 6x 21的图象和性质。 2
解：y
1 2
x2
6x
21
配
12（x 6）2 3
方
有哪几种画
图方法？
y
1 2
x2
6x
21
12（x 6）2 3
方法一：平移法
y
8
6
y 1 x2
4
2
y=ax2+bx+c (a≠0)
a(x2 b x) c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化
成y=a(x-h)2+k情势.
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c 与的图象与性质
O
x
x
b 2a
（a>0）
O
x
x
b 2a
（a<0）
数学九年级人教版《二次函数y=ax2 bx c的图象和性质》
第二十二章 ·二次函数
二次函数y=ax2+bx+c的 图像和性质
温故知新
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和y=ax2的图象之间的关系。
y=ax2(a≠0)图像 当m>0时 向左平移m个单位
y=a(x+m)2
当m<0时 向右平移|m|个单位
当k>0时 向上平移k个单位 y=a(x+m)2+k
b ②若a＜0，当x> 2a 时，y随x的增大而减小；
当x<
b 2a
时，y随x的增大而增大。
知识点详解
（6）抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴的交点。 ①抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点坐标为（0，c）。 ②抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0),其中为x1,x2方程 y=ax²+bx+c的两实数根。
=2(x-2)2-7≥-7 所以当x＝2时，y最小值=-7 。
例题详解
解法二（公式法）：
因为a＝2＞0，抛物线y=2x2-8x+1有最低点，所以y有最小值，
因为
－b
8
4ac b2 4 21 82
2,
7
2a 2 2
4a
42
。
所以当x＝2时，y最小值=-7。 总结：求二次函数最值，有两个方法。 (1)用配方法；(2)用公式法。
二次函数y=-3(x-2)2-4的图象可以y=-3x2的图象向右平移2个单位，再向下 平移4个单位得到对称轴是直线x=2顶点坐标是（2，-4）。
二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2的图象与性质课件数学湘教版九年级下册
y 1 x2 2
0
0.5
2
4.5 ···
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如图1.
利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线
把y轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了y=12x²的图象.
如图2.
图1
8
6
8
y 1 x2
6
2
图2
4
4
2
2
-4 -2
24
-4 -2
24
一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线 的开口越小.
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
问题1：视察图象，点A和点A'，点B和点B'，…，它们有什么
关系？由此你可以做出什么猜测？
问题2：从图象还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增
大时，纵坐标怎样变化？
y
y=x2的图象关于y轴对称， y轴就是它的对称轴.
A9
A'
B6
B'
图象在 y 轴右边的部分，函数
(3)若函数有最大值，则抛物线的开口向下， ∴ m+2<0，即m<－2，∴ m=－3. ∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，顶点坐标为(0，0)， ∴当m=－3 时，函数有最大值0， 当x>0 时，y 随x 的增大而减小.
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2 的图象及性质
时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？ (3)当m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何
值时，y 随x 的增大而减小？
数学北师大版九年级下册二次函数y=ax2 bx c图像与性质
二次函数y=ax2+bx+c图像与性质教学准备教学目标知识与技能1．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程；2．推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式；3．能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题。
过程与方法1．体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性；2．在学习的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想。
情感态度与价值观1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学重难点教学重点：推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式，并利用此解决一些问题。
教学难点：用配方法推导的对称轴和顶点坐标公式教学工具（课件）教学过程第一环节复习练习活动内容：说出y=ax2、y=ax2+c 、y=a(x-c)2、y=a(x-h)2+k图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标。
活动目的：对前面知识作回顾，温故而知新，为后面学生学习的顶点公式作铺垫。
实际教学效果：学生知道特定的函数形式反映特定的几何特征。
第二环节引入课题学习的顶点坐标公式活动内容：1．提供素材：北京时间2007年6月1日零时零八分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭成功发射“鑫诺三号”通信卫星，这是中国“长征”系列运载火箭的第一百次飞行。
中国“长征”系列运载火箭已完成一百次航天发射，其发射记录由两位数步入三位数，中国也成为继美、俄、欧之后世界上第四个主力品牌火箭执行航天发射达到百次的国家。
2．提出问题：当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h (m) 与时间t (s) 的关系可以用公式h = - 5 t 2 + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？3．为了解决这个实际问题，从一个具体的数学问题出发，要求学生求y=3x2-6x + 5的顶点坐标、开口方向、坐标轴等。
引导学生思考：如果二次函数的表达式为y＝a(x-h)2+k的形式，则可以很快知道它的顶点坐标、开口方向等。
《二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象与性质》PPT课件3-九年级下册数学北师大版
九年级(下册)
2.5 二次函数的图像和性质
2.5 二次函数的图像和性质
函数y＝x2＋2的图像与y＝x2的图像有什么关系？ 函数y＝ (x＋3)2的图像和y＝x2的图像有什么关系？
y＝x2＋2可以 看成是y＝x2向上 平移两个单位长 度．
y＝ (x＋3)2可以 看成是y＝x2向左 平移三个单位长 度．
5 4
二次函数y＝ (x－1)2 － 6
3
2
的图像和y＝x2的图像的位置 y＝ (x＋3)2 1
有什么关系？
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
2、二次函数图象与系数的关系
例1、二次函数y=ax2+bx+c的图象过原点， 且与x轴的正半轴相交，则下列各式正确 的（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．c=0，ab＜0
C．a≠0，b＜0，c=0
D．a≠0，b≥0， c=0
例2、如图，给出八个结论：①a＞0；②b＞0；
③c＞0； ④a+b+c=0；⑤abc＜0；⑥2a+b ＞0；
(7)a+c=1；⑧a＞1．其中正确的结论的序号是
(
)
2.5 二次函数的图像和性质
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是由y＝x2的图 像如何得到？
吗？
解：y＝ax2＋bx＋c
＝ a (x2＋ b x) ＋c
a
＝
a
(x＋
b 2a
)
2
＋
c－
b2 4a
＝ a (x＋ b ) 2 ＋ 2a
4ac － b2
4a ．
你知道函数 y＝ax2＋bx＋c的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大（或者最小）值？
26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 华师版数学九年级下册课件
抛物线 顶点坐标 对称轴
位置 开口方向
y=ax2 （0，0）
y轴
在x轴的上方(除顶点外) 向上
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的 增大而减小. 在对称轴的右 侧, y随着x的增大而增大.
最值
当x=0时,最小值为0.
y= -ax2
（0，0） y轴
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增 大而增大. 在对称轴的右侧, y 随着x的增大而减小.
（1）在同一个平面直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象.
列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
描点 连线
y 10
8
6
y=x2
4 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
-4
-6
y=-x2
-8 -10
（2）在同一个平面直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象.
列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 …
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-2x2 … -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 …
这样的曲线通常叫做抛物线.它是轴对称图形，y轴是它的对称轴， 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
典ห้องสมุดไป่ตู้精析
二次函数y=ax2的图象
例1 画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表 表示几组对应值：
二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax2的图象与性质 课件 数学北师大版九年级下册
又∵ CA ＝ CD ，
∴△AMC ≌△CND （AAS），
∴CN＝AM＝4，DN＝CM＝2，
∴ON＝OC－CN＝2，
∴ D （－2，2）.
（答案图）
2
由（1）知，抛物线的解析式为＝ ×（－2）2＝2，
2
∴点 D 在抛物线 y ＝ x 上.
（答案图）
对称轴左侧还是右侧.
（2）抛物线 y ＝ x2与 y ＝－ x2关于 x 轴对称，因此，抛
物线 y ＝ ax2与 y ＝－ ax2关于 x 轴对称，开口大小相同.
引例：在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数 y ＝
2
2
2
2
2 x ， y ＝ x ， y ＝－2 x 与 y ＝－ x 的图象.思考：从
－2 ；当0≤ x ≤4时， y 的取值范围是 －8≤ y ≤0
；
当－3≤ x ≤2时， y 的取值范围是 －4.5≤ y ≤0 .
题型二 二次函数图象与性质综合
如图，直线 AB ： y ＝ kx ＋3过点（－2，4），且与
2
抛物线 y ＝ x 交于 A ， B 两点.
（1）求 A ， B 两点的坐标；
+ ≠ ，
解：由题意，得ቊ
＋ − = ，
解得 m1＝－3， m2＝2，
即 m 的值是－3或2.
∵抛物线有最低点，∴ m ＋2＞0.
∴当 m ＝2时，该抛物线有最低点.
当 m ＝2时， y ＝4 x2，该函数的最低点的坐标为（0，
0），当 x ＞0时， y 的值随 x 的值的增大而增大.