降落伞数学模型
➢跳 伞 中 的 安 全 性 至 关 重 要，研究飞行和着陆的数 学模型对此大有帮助。
➢本 节 将 对 跳 伞 中 的 一 些 问题进行描述、分析并建 模。这些模型采用简化数 据仅用于说明问题。
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研究性课题
假设跳伞员体重是 103 kg，飞机飞行高度为 4000 m（z轴方向），飞行速度为 115 m/s（y轴方 向），跳伞员从飞机一侧离开飞机，初始速度为 0.555 m/s（x轴方向）。
力，不过相对骨头损伤而言，这种影响小很多，因此我们 忽略这些影响，只考虑骨头损伤。 ➢ 冲击力经过韧带和肌肉传到骨头时没有衰减。 ➢ 假设降落伞瞬间打开，引力立刻起效，没有过渡。 ➢ 数据是准确的（尽管实际上只是近似值）。
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降落时间和路径：自由落体阶段
❖ 打开降落伞时的高度Z轴 z(t) z0 vz0t 0.5azt 2
vy (t) (1184.5)(10 /103)e(10/103)t 115e(10/103)t
vx (t) (6.6435)(10 / 103)e(10/103)t 1.2 vx (467.2) 0.645e(10/103)467.2 1.2 1.20
vy (467.2) 115e(10/103)467.2 0
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降落时间和路径：自由落体阶段
➢ 此时的速度
➢X, Y轴速度不变 ➢ Z轴速度为
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降落时间和路径：自由落体阶段
➢ 此时的速度
➢X, Y轴速度不变 ➢ Z轴速度为
vz vz0 azt
(vx , vy , vz ) (0.555,115, 112.7)
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阶段二：降落伞打开到速度恒定阶段
➢ 运动状态复杂，只能简化处理 ➢ 假定降落伞瞬时打开 ➢ 跳伞员在一定时间内速度减速为恒定速度（最终
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结论
骨头
极限抗拉强度 平均横截面积 最大承受力
பைடு நூலகம்股骨
1.2110^8
胫骨
1.4110^8
脊髓(背部) 2.2010^8
脊髓(颈部) 1.8010^8
5.8110^(- 4) 70301 3.2310^(- 4) 45220 4.4210^(- 4) 97240 4.4210^(- 4) 79560
速度） ➢ 实验基础上假定这个时间段为 3 秒(测定) ➢ 在此期间下降 54 米(测定)
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阶段三：打开降落伞后
❖ 受力情况 ➢ 垂直方向空气阻力 D = dv2 （d = 20） ➢ Y轴方向空气阻力 F = -bv （b = 10） ➢ X轴方向横向风影响 w = 1.2m/s，产生的力大小为
剪应力对头部产生的伤害，用人体受冲击的剧烈程
度指数来度量（小于400安全），定义如下：
I [2v / (gt)]2.5 (t) [2(7.2048) / (9.8 0.2)]2.5(0.2) 29.31
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进一步思考
➢ 降落伞空投大型物体 (第一届XX建模竞赛）？ ➢ 降落伞怎样设计？ ➢ 根据模型推出空降兵最小的空降高度？
vz (467.2) 7.1042
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着陆速度
❖ 碰撞时速度的大小为
speed vx2 vy2 vz2 7.2048
❖动量（p = mv）改变量为 p p final pinitial 0 742.0944 742.0944
❖ 冲击力（时间200毫秒） F p / t (742.0944) / (0.2) 3710.472
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➢ 此后，由于必须考虑空气阻力，下降变成了沿各 个轴加速度非恒定的三维抛射运动。
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模型假设
➢ 不考虑复杂着陆地形，如非平坦地面或树林或不适当的着 陆方式。
➢ 跳伞员不会弯曲或扭曲着陆，这样骨头与韧带的断裂力矩 无需考虑。
➢ 跳伞员离开飞机是直接跳下，没有旋转。 ➢ 尽管身体减速所需的力量对韧带和肌腱造成较大的拉伸应
G b(w v)
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阶段三：打开降落伞后
❖ 最终速度： ➢ 此时加速度为0 ➢ 垂直方向空气阻力 D = dv2 = mg （d = 20） ➢ 故 v2 = mg/d，v = 7.1042 m/s ➢ 即跳伞员以此速度下降 3352 – 54 = 3298 m，所需
时间为 464.2 s ➢ 总时间为 11.5 + 3 + 464.2 = 478.7 s
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确定着陆坐标
❖牛顿第二定律 F = ma ❖ X轴
F b(w v)
bwbv ma
mx'' bx' bw
103x''10x' 12
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确定着陆坐标
❖牛顿第二定律 F = ma ❖ Y轴
F bv
bv may my '' by ' 0 103y ''10y ' 0
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方程求解
103x ''10x' 12
问题：研究跳伞员着陆时是否会对身体造成伤害？
对骨骼的冲击是否会导致骨折？ 速度急剧下降产生的头部剪应变是否会导致脑震荡？
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背景
z
o
y
x
跳伞示意图
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问题分析
➢ 跳伞员从离开飞机到拉开伞绳之前，共有11.5秒 是自由落体运动，这段时间空气阻力可忽略不计。
➢ 打开降落伞的同时，跳伞员还受到x轴正向上大小 为1.2m/s的横向风（顺风跳伞）的影响。
❖ X轴向位置（加速度为0）
x(t) x0 vx0t 0.5axt 2
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降落时间和路径：自由落体阶段
❖ 打开降落伞时的高度Z轴 z(t) z0 vz0t 0.5azt 2
❖ X轴向位置（加速度为0）(11.5*0.555)
位置： x(t) x0 vx0t 0.5axt 2 X=6.3825 ❖Y轴向位置（加速度为0）(11.5*115) Y=1322.5 y(t) y0 vy0t 0.5ayt2 Z=3352.0
103y ''10y ' 0
y(t) 2507 1184.5e(10/103)t x(t) 0.261 6.6435e(10/103)t 1.2t
将 t = 467.2 代入可得 x = 560.4, y = 2507, z = 0
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着陆速度
y(t) 2507 1184.5e(10/103)t x(t) 0.261 6.6435e(10/103)t 1.2t
数学建模《降落伞的选购问题》
数学建模考试作业降落伞的选购模型班级：班姓名学号：降落伞的选购模型摘要本模型研究的是降落伞的选购方案问题，目的是在满足空投要求的条件下，使费用最少。
为了方便对降落伞进行受力分析，我们把降落伞和其负载的物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，并假设降落伞只受到竖直方向上空气阻力和重力的作用。
通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，然后以高度与时间的方程作为拟合曲线与题中给出的时间与高度的数据进行拟合，得出阻力系数k的值。
我们建立了速度与质量的方程，并证明其为严格增函数（证明过程见建模与求解）。
由于题中已限制降落伞的最大落地速度为20m/s，所以当速度为20m/s时，伞的承载量最大。
建立高度与时间，速度与时间的方程组，代入最大速度20m/s，高度500m,伞的半径（题中已给出可能选购的每种伞的半径），分别计算出每种伞的最大承载量。
最后运用LINGO软件进行线性规划求解得：n2=1 n2.5=2, n3=7, n3.5=0,n4=0。
即购买半径为2.5m的降落伞7个和半径为3m的降落伞4个时，最大承载量为:151.0942*1+236.0847*2+339.9620*7=3003(kg),最少总费用为6349.360元。
关键字：最大承载量、线性规划、Matlab、空气阻力系数、数据拟合一、问题的重述2008年，汶川大地震，现急需向灾区空投救灾物资共3000kg，因此选购一些降落伞。
已知空投高度为500米，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，降落伞面为半径r的半球面，用每根长L共16根绳索连接的载重m仅位于球心正下方球面处，如图：每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用c1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用c2由绳索总长度及单价3元/米决定；固定费用c3为150元。
降落伞在降落过程中受到的空气阻力可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比，为了确定阻力系数，用半径r=3m，载重m=300kg的降落伞以500m高度作试验，测得各时刻t的高度x，见表2。
降落伞优化选择的整数线性规划模型
降落伞优化选择的整数线性规划模型摘要本文讨论了降落伞合理选择使费用最低的问题。
通过对问题的分析，最大化载重量，最小化选购降落伞费用。
以牛顿定律建立微分模型，以空投物资重量2000千克，每种降落伞最大载重量为约束条件建立整数线性规划模型。
通过分步优化，最后以整数规划来解决这一问题。
首先，找出数据之间的关系，运用物理学和整数线性规划建立模型，并运用MATLABR软件描点作图进行数据拟合的方法,得出载重为300kg，半径为3米的降落伞从500米高空下降时的运动曲线，发现降落伞后期趋于做匀速直线运动.当降落伞作匀速直线运动时，求出空气阻力系数为2.959,落地速度为17.5794.在求出每种降落伞最大载重量，并通过隔离载重物体并进行受力分析，求出相应半径降落伞绳索长度,进而算出每种半径的降落伞的绳索费。
最后，根据每种降落伞的总成本关系把问题转化为整数线性规划问题，用LINGO解得到要购买半径为3m的降落伞数量为6把时总费用最少，总费用为4932元。
本文主要研究了降落伞优化选择问题。
主要优点是：本文通过建立优化选择的整数线性规划模型求解，思路清晰，并大量运用计算机运算使计算误差减少，最终使得降落伞的选择最优;另一方面,本文所建的模型简单合理,具有较强的推广意义。
主要缺点：在建立模型时，忽略了降落伞在实际应用中，会受到天气、风等一些自然因素的影响，使得模型与实际有些误差；本模型未考虑降落伞打开时间，将其假设成在下降时伞就已经打开；虽然大量运用计算机运算，但其中还是有不可避免的误差。
关键词: 数据拟合；单目标优化；微分方程；整数线性规划.一、问题的提出：为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。
已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。
降落伞面为半径r的半球面，用每根长l共16根绳索连接着载重m，示意图如图1。
图1每个降落伞的价格由3部分组成。
伞面价格由半径r决定（见表1）；绳索每米为4元，其他费用200元。
收口十字形降落伞充气过程动力学建模与仿真
收口十字形降落伞充气过程动力学建模与仿真收口十字形降落伞是一种广泛应用于高空物品或人员运输的降落伞，具有快速展开、稳定性好、控制精度高等优点。
本论文将介绍收口十字形降落伞充气过程的动力学建模与仿真。
1.动力学建模收口十字形降落伞的充气过程可以分成两个阶段，第一阶段是自由膨胀阶段，第二阶段是继续充气阶段。
在第一阶段中，气动力是主要的力学作用，对伞体进行自由膨胀；第二阶段中，弹性力成为主要的力学作用，伞体继续充气并逐渐达到稳定状态。
针对这两个阶段，我们可以采用欧拉-伯努利方程和泊松方程来建立数学模型。
对于自由膨胀阶段，我们需要考虑以下几个因素：气压、气流速度、伞体面积以及流体密度。
自由膨胀阶段的方程如下：$$\rho\frac{D\textbf{v}}{Dt}=-\nabla p+\rho\textbf{g}$$ $$\frac{\partial p}{\partial t}+\textbf{v}\cdot\nabla p=-\gammap\nabla\cdot\textbf{v}$$其中，$\rho$ 是空气密度，$\textbf{v}$ 是流体速度，$p$ 是气压，$\textbf{g}$ 是重力加速度，$\gamma$ 是空气绝热指数，$D/Dt$ 是物质导数。
上式中的第一个方程表示用欧拉-伯努利方程描述气流速度与气压的关系，第二个方程表示泊松方程。
对于继续充气阶段，我们需要考虑以下几个因素：气压、伞布弹性以及气流速度。
继续充气阶段的方程如下：$$\rho\frac{D\textbf{v}}{Dt}=-\nablap+\nabla\cdot\textbf{$\sigma$}+\rho\textbf{g}$$$$\nabla\cdot\textbf{v}=0$$其中，$\textbf{$\sigma$}$ 是伞体的应力张量。
这两个方程表示了伞体的弹性力及空气动力学对伞体的作用。
2.仿真过程基于上述动力学模型，我们可以利用计算流体力学（CFD）和有限元法（FEM）对收口十字形降落伞的充气过程进行仿真。
降落伞选择的数学模型
降落伞选择的数学模型
降落伞选择的数学模型是一个用于确定合适的降落伞尺寸的数学模型。
此模型基于物体的重量、体积、下降速度等因素来计算需要的降落伞尺寸。
数学模型公式
根据相关研究和实验数据，我们可以使用下面的公式来计算降落伞的尺寸：
降落伞尺寸= (0.5 * 物体重量* 下降速度) / (空气密度* 降落伞开伞面积)
公式中的各个参数含义如下：
•物体重量：降落伞需要支撑的物体总重量，单位为千克。
•下降速度：物体从空中下降的速度，单位为米/秒。
•空气密度：当前环境中的空气密度，单位为千克/立方米。
•降落伞开伞面积：降落伞完全展开后的表面积，单位为平方米。
实际应用
降落伞选择的数学模型在航空、运动、救援等领域具有重要应用价值。
通过合理选择降落伞尺寸，可以确保物体在下降过程中获得自由落体状态下的最小加速度，同时确保降落过程的稳定和安全。
数学建模-安全跳伞的研究
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2010年6月28日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：安全跳伞的研究摘要本文从建立跳伞安全的数学模型开始，从跳伞运动员在下落过程中各个时刻的速度和达到第一收尾速度的时刻出发，分别通过对这两个方面的深入研究从而制定出跳伞运动员打开降落伞的最佳时机，最后再综合考虑这两个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。
模块Ⅰ中，我们将焦点锁定运动的独立性上。
我们通过建立数学模型，并利用MATLAB 软件编程求得的v —t 图中可比较直观地了解到速度的变化特点。
我们可以发现发现跳伞运动员在空气中下落时，由于受到的摩擦力正比于速度v 的一次方或二次方，故当经过一段时间后，竖直方向所受的力会达到平衡，之后跳伞运动员的速度将通过一个极小值min v ，随后开始增加，逐渐趋于速度t v ，我们称之为第一收尾速度。
跳伞运动员必须等待这个速度极小值以减小开伞时的震动。
开伞后，经过一段时候后，竖直方向所受的力会达到第二次平衡，之后跳伞运动员的速度将通过另一个极小值，随后也会逐渐增加，直到趋于第二收尾速度。
降落伞系统动力学建模与综合仿真
降落伞系统动力学建模与综合仿真引言降落伞系统是一种常用的空中投送和紧急救援装备。
为了确保降落伞系统的安全和可靠性，需要进行动力学建模与综合仿真研究。
本文将介绍降落伞系统动力学建模的基本原理和方法，并探讨综合仿真在降落伞系统设计和优化中的应用。
一、降落伞系统动力学建模降落伞系统动力学建模是研究降落伞在空中运动过程中的力学特性和运动规律。
一般来说，降落伞系统可以分为降落伞、连接系统和载人系统三个部分。
1. 降落伞部分降落伞的运动可以由牛顿运动定律描述。
降落伞受到重力、空气阻力和其他外力的作用。
重力是降落伞系统的主要驱动力，空气阻力则是主要的阻力。
空气阻力与速度的平方成正比，与降落伞的形状、面积和材料特性有关。
其他外力包括风力、气流等。
2. 连接系统部分连接系统包括降落伞与载人系统之间的连接装置。
连接装置的刚度、长度和质量等特性会影响降落伞系统的运动特性。
连接系统还可以包括降落伞的展开和收拢机构，这也是降落伞系统动力学建模的重要部分。
3. 载人系统部分载人系统是降落伞系统的核心部分，包括载人舱、座椅和安全装备等。
载人系统的质量和结构会对降落伞系统的动力学特性产生影响。
此外，载人系统还需要考虑人体的重心、姿态和运动特性等。
二、综合仿真在降落伞系统设计中的应用综合仿真是指将不同的模型和算法相结合，模拟和分析降落伞系统在不同工况下的运动特性。
综合仿真可以帮助工程师优化降落伞系统的设计，提高其安全性和性能。
1. 动力学仿真动力学仿真是根据降落伞系统的动力学模型，模拟和分析降落伞在不同环境条件下的运动特性。
通过动力学仿真，可以评估降落伞系统在不同风速、高度和负载条件下的稳定性和控制性能。
2. 结构分析仿真结构分析仿真是对降落伞系统的结构进行力学分析和优化。
通过结构分析仿真，可以评估降落伞系统在不同载荷条件下的强度、刚度和疲劳寿命等。
同时，还可以优化降落伞系统的结构参数，提高其性能和可靠性。
3. 控制系统仿真控制系统仿真是对降落伞系统的控制系统进行建模和仿真。
降落伞下落模型
因为
dv dv dh dv v dt dh dt dh
所以原模型可以改写为：
dv k ( h ) vg v m dh v |h h v0 0
同学们可以根据具体情况分析求解此模型。
•
根据牛顿运动学第二定律以及加 速度是速度关于时间的导数，我们
就能列出降落速度满足的微分方程。
虽然张伞前后跳伞者所受到的空气阻力的
情况差别较大，但可认为仅是所受空气阻
力与降落速度的比例系数不同而已，这样， 如果忽略张伞时间，可以分张伞前和张伞 后来建立类似的模型。下面主要建立张伞 后的模型。
模型的假设
dv m mg kv dt v |t 0 v0
，即
dv k vg dt m v |t 0 v0
这就是跳伞者的降落速度满足的数学模型， 这是一个常微分方程的初值问题。
如何求解这个模型呢？注意到
k k k k t dv t d mt k d mg m t (e v ) e m ( v ) e m g ( e ) dt dt m dt k
模型解的分析பைடு நூலகம்应用
mg 因为 tlim v (t ) k
，随着时间的增大，降落速度 v(t )
将很快趋于常值
mg k
。如果从张伞到
落地有足够的时间，那么落地时的降落 mg 速度约等于 vd k 。
k 的大小与伞张开时伞面的形状和
有效面积有关，考虑安全等原因， 通常设计降落伞使得 vd 6 ，若 vd 6 , g 9.8 v0 100 米/秒， 张伞经过10秒后约下降 117.55米，此时降落
k mg m t d mg e C (e v e ) 0 ，我们有 e v 即 dt k k
数学建模综合题目参考答案
综合题目参考答案1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D 题)(1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程。
(2)用多种方法可以证明支球队“各队每两场比赛最小相隔场次的上界”n r (如=5时上界为1)是，如:n ⎦⎤⎢⎣⎡-23n 设赛程中某场比赛是，两队， 队参加的下一场比赛是，两队(≠i j i i k k )，要使各队每两场比赛最小相隔场次为，则上述两场比赛之间必须有除，j r i ，以外的2支球队参赛，于是，注意到为整数即得。
j k r 32+≥r n r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r (3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的，即对任意的编排出n 达到该上界的赛程。
如对于=8， =9可以得到:n n 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 每两场比赛相隔场次数相隔场次总数1A ×159131721253，3，3，3，3，3182A 1×206231126164，4，4，3，2，2193A 520×2410271522，4，4，4，3，2194A 9624×28243192，2，4，4，4，3195A 13231028×41872，2，2，4，4，4186A 171127144×8223，2，2，2，4，4177A 2126153188×124，3，2，2，2，4178A 251621972212×4，4，3，2，2，2171A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 每两场比赛相隔场次数相隔场次总数1A ×366311126162114，4，4，4，4，4，4，282A 36×2277221217324，4，4，4，4，4，3273A 62×3515302025103，3，4，4，4，4，4264A 312735×318813234，4，4，4，3，3，3255A 117153×342429193，3，3，3，4，4，4246A 2622301834×49144，4，3，3，3，3237A 1612208244×33283，3，3，3，3，3，4228A 2117251329933×53，3，3，3，3，3，3，219A 13210231914285×3，4，3，4，3，4，324可以看到，=8时每两场比赛相隔场次数只有2，3，4，=9时每两场比n n 赛相隔场次数只有3，4，以上结果可以推广，即为偶数时每两场比赛相隔场n 次数只有，，，为奇数时只有，。
降落伞数学建模
降落伞
为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。
已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。
降落伞面为半径r的半球面，用每根长 L, 共16根绳索连接的载重m的物体位于球心正下方球面处，每个降落伞的
价格由三部分组成。
伞面费用C
1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用C
2
由绳索
总长度及单价4元/米决定；固定费用C
3
为200元。
表1
降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞的受力面积的乘积成正比。
为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg 的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻的高度，见表2。
表2
试根据以上条件确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。
火星环境下降落伞拉直过程的动力学建模
连接绳以及 吊带 离散成若干绳段 ，每个绳段处理为质量集 中在端点的三 自由度质点 ，各质点之 间以阻尼 弹簧相 连。利用所提 出的动力学模型对 “ 海盗号”第一次气球发射 试验进行 了仿真，并与 Ｍｏ ｏ ｇ Ｒ ． Ｄ ． 的
仿真计算结果和试验数据进行 了对比，验证 了该丈数 学模型的正确性与有效性。
（ Ｂ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｐ ａ ｃ ｅ Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ｓ ＆Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ ， Ｂｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ １ ０ ０ ０ ９ ４ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ）