10-任意对任意激励的响应-傅里叶积分和拉氏变换解析
拉氏变换和傅里叶变换的关系
拉氏变换和傅里叶变换的关系一、拉氏变换1、拉氏变换的定义：如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为()()()0e d st F s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰ (2.10) s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数)(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。
2、拉氏变换的意义工程数学中常用的一种积分变换。
它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。
对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。
拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用二、傅里叶变换1、傅里叶变换的定义：f(t ）是t 的函数，如果t 满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。
则有下图①式成立。
称为积分运算f(t ）的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F （ω）的傅立叶逆变换。
F （ω）叫做f(t ）的像函数，f(t ）叫做 F （ω）的像原函数。
F （ω）是f(t ）的像。
f(t ）是F （ω）原像。
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
(完整版)傅里叶变换分析
第一章 信号与系统的基本概念1．信号、信息与消息的差别？信号：随时间变化的物理量；消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。
2．什么是奇异信号？函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。
例如：单边指数信号 （在t =0点时，不连续），单边正弦信号 （在t =0时的一阶导函数不连续）。
较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。
3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。
它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。
其重要特性是筛选性，即：()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞∞-∞-∞==⎰⎰ 4．什么是单位阶跃信号？单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为：10()00t u t t >⎧=⎨<⎩它可以表示单边信号，持续时间有限信号，在信号处理中起着重要的作用。
5．线性时不变系统的意义同时满足叠加性和均匀性以及时不变特性的系统，称为线性时不变系统。
即：如果一个系统，当输入信号分别为1()x t 和2()x t 时，输出信号分别是1()y t 和2()y t 。
当输入信号()x t 是1()x t 和2()x t 的线性叠加，即：12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时，输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+；且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时， 输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。
其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性；如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。
一般线性电路的动态分析-拉氏变换法
适用范围讨论
线性时不变系统
拉氏变换特别适用于线性时不变系统的 分析，如RC、RL和RLC电路等。
稳定性分析
通过拉氏变换可以方便地分析系统的 稳定性，判断系统是否稳定以及稳定
的程度。
初始值问题和边值问题
拉氏变换适用于求解具有初始值或边 值条件的微分方程，如电路中的初始 条件和边界条件等。
频率响应分析
06 拉氏变换法优缺点及适用 范围讨论
优点总结
简化计算
拉氏变换能将时域微分方程转换 为复频域的代数方程，从而大大 简化了计算过程。
方便系统分析
通过拉氏变换，可以方便地分析 系统的频率响应、稳定性以及暂 态和稳态性能。
适用于线性时不变系统
拉氏变换特别适用于线性时不变 系统的分析，这类系统在工程实 际中非常常见。
拉氏变换可以用于分析系统的频率响 应特性，如幅频特性和相频特性等。
07 结论与展望
研究成果总结
提出了基于拉氏变换法的一般线性电路动态分析方法，该方法能够有效地解决线性电路在时域分析中 的困难，通过变换将时域问题转化为频域问题进行处理。
通过对实际电路进行建模和仿真，验证了所提方法的有效性和准确性，结果表明该方法具有较高的计算 精度和效率。
缺点分析
收敛性限制
拉氏变换要求函数在实数轴上绝对可积，这限制了其应用范围。对于某些不满足绝对可积条件的 函数，可能需要采用其他方法进行分析。
无法直接处理非线性问题
拉氏变换是一种线性变换方法，对于非线性问题无法直接处理，需要采用其他方法进行分析。
无法直接处理时变系统
对于时变系统，拉氏变换无法直接应用，需要采用其他方法进行分析。
一般线性电路的动态分析-拉氏变 换法
目录
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
F
(s)
(s
s2 2)2
1
求 f (傅t)里叶变换 F ( j).
解 F（S）的收敛坐标 0 ，即2 。0因此0
F(
j )
(
j j
2 2)2
1
另一方面，根据傅里叶变换的调制定理，由于
F[e2t (t)] 1 j 2
ห้องสมุดไป่ตู้所以有
F ( j) F[e2t (t) cos t]
1
2
j(
1 1) 2
F (s)
Fa
(s)
N n1
s
Kn
jn
式中，Fa(s)表示左半平面极点对应的分式。令Fa(s)的原函数 为fa(t)，则F(s)的原函数为
N
f (t) L1[F (s)] fa (t) Kne jntu(t) fa(t) fM (t) n1 N
其中 fM (t) Kne jntu(t) n1 f (的t)傅里叶变换为
§4.11 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
• 主要内容
•引言 •从函数拉氏变换求傅氏变换
• 重点：从函数拉氏变换求傅氏变换
• 难点：判断函数傅氏变换的存在
一、引言
我们在引出拉氏变换 时, 是针对 f t 不满足绝对
可积条件, 对其乘以一个衰减因子 et , 作傅氏变换, 演变为拉氏变换
L f (t) F f (t) e t u(t) Fs s j
4
4
Fs
s 1 s2
1
1 s
2
s1 1 s2
BACK 已描知述系此统 系的 统框 的E图 微s 如 分 下方 ，程请。写1s 出此系统R的s系统函数和
3
H s
1 s
傅里叶变换及拉普拉斯变换解析
1. 傅里叶级数 2. 傅里叶积分和傅里叶变换
1. 傅里叶级数（傅氏级数）
式中，周期为T的任2一T周2 期函数
赫莱条a件n ： T
f ( t )cos
T 2
f ( t )，若满足下列狄里 ntdt
① ②
在在一一个个b周周n 期期T2内内T只只T22有有f (有有t )限限sin个个n极不td连大t 值续和点极；小值；
设两个相邻的谐波频率之差为 ，则
——非周期函数的傅氏积分
式中，若令 ( n 1 )0 n0 0
令
nF0
()
则 非 周f 期( t 函)e数jt的dt傅氏级数可表示为：
则，
f(t
)
ane—jt—f(t)的傅氏变换
an
n
f 0( t T) 2 2 T 2
1
f2(t
F(
)ejtdt
0
e
st
d
(
st
)
A est A ( 0 1 ) A
s0
s
s
注意：A=1，称为单位阶跃函数，记为1(t)，且有
L[ 1( t )] 1 s
例3、斜坡函数的拉氏变换
f(t)
0 (t 0)
f
(
t
)
At
(t 0)
A
t
斜坡函数的拉氏变换为：
01
L[
f
(
t
)]
0
Ate st dt
A s2
(1) 指数函数 (2) 阶跃函数 (3) 斜坡函数 (4) 正弦函数 (5) 脉冲函数
X (s)
0 (t 0)
例1、求指数函数 f ( t ) eat ( t 0 ) 的拉氏变换 F( s )。
傅立叶变换与拉普拉斯变换的关系
·39·傅立叶变换与拉普拉斯变换的关系陈基炜1朱振华1郭永新2薛 美2韩笑征3（1.江苏省昆山市中医医院 江苏 昆山 215300；2.泰山医学院放射学院 山东 泰安 271000）（3.贝朗爱墩济南办事处 山东 济南 250000）【摘 要】傅立叶变换和拉普拉夸变换之间存在着一定的关系，在一定的条件下，傅立叶变换可以转换为拉普拉夸变换，而且在另一些条件下拉普拉夸变换可以转换为傅立叶变换。
本文对他们的关系作了一些讨论。
【关键词】傅立叶变换 拉普拉夸变换 关系【中图分类号】G4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）27-0039-021．引言 随着计算机、数字集成电路和通信技术的发展，傅立叶变换集中用于CT 成像方面。
锥形束CT(Cone Beam Computed Tomography，CBCT)，而CBCT 图像重建算法主要分为解析重建算法和迭代重建算法。
解析重建算法主要以基于滤波反投影(Filtered Back Projection，FBP)算法的FDK 算法为主。
FBP 算法适用于平行束和扇形束图像重建，探测器为一维探测器。
此算法的实现流程包括：第一步，求出投影数据的一维傅里叶变换；第二步，对傅里叶变换后的数据乘以斜坡滤波器的传递函数；第三步，对第二步中的结果进行一维傅里叶反变换得到最终的重建图像[1]。
而拉普拉夸变换集中用于图像锐化突出骨骼的更多细节来增强图像，骨的边缘可以使用梯度变换来达到。
平滑过的梯度图像将用于掩蔽拉普拉夸图像，梯度操作对噪声和小细节的响应要比拉普拉夸操作的响应弱，在一定程度上可以平滑随机噪声[2]。
傅氏变换与拉氏变换在许多方面显示了他们的重大作用，尤其是应用在通讯领域，图像处理，和信号处理方面。
傅立叶变换与拉普拉夸变换虽是两个不同的变换，但它们之间存在着一定的关系，本文对它们之间的关系做了简单的讨论。
2．傅立叶变换与拉普拉斯变换的定义2.1傅立叶变换定义：若函数满足傅立叶积分定理中的条件（1.在任一有限区域上满足狄拉克雷条件2.在无限区间(+−∞∞,)上绝对可积[3]），则在夸(t )的连续点处, 有1()[(())]2j j t f t f d d e e ωτωττωπ+∞+∞−−∞−∞=∫∫ 成立， 设()()j t F f t dt e ωω+∞−−∞=∫ 式-1 则1()()2j t f t F d e ωωωπ+∞−∞=∫式-2 (t )和()F ω通过指定的积分运算可以互相表达，其中式-1称为夸(t )的傅立叶变换，式-2称为()F ω的傅立叶逆变换）。
傅里叶变换、拉氏变换、z变换的含义到底是什么
1。
关于傅里叶变换变换？（来自百度知道）答：fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域；它可以说是laplace变换的特例，laplace变换是fourier变换的推广，存在条件比fourier变换要宽，是将连续的时间域信号变换到复频率域（整个复平面，而fourier变换此时可看成仅在jΩ轴）；z变换则是连续信号经过理想采样之后的离散信号的laplace变换，再令z=e^sT时的变换结果（T为采样周期），所对应的域为数字复频率域，此时数字频率ω=ΩT。
——参考郑君里的《信号与系统》。
傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的。
所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度。
对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示。
已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。
这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。
所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。
傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。
我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。
我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。
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式中
为 m的初始速度。激励函数的拉普拉斯变换
简单地表示为
对方程 两边进行变换，整理后得 或改写为
上式称为微分方程的辅助方程。第一项表示强迫振 动响应，第二项表示由初始条件引起的响应。 如果不考虑方程的齐次解，即令x(O)= (O)=0， 就可以将变换激励和变换响应之比写成如下反映系统
广泛地应用于线性系统的研究中，除了为求解线 性微分方程提供有效方法外，还可以用来表示联 系激励和响应的简单代数式。拉普拉斯变换既适 合于瞬态振动，又适合于强迫振动，这一方法的
主要优点在于它可以比较容易地来处理不连续函
数，并且可以自动地考虑初始条件。
用符号
=Lx(t) 表示 x(t) 的拉普拉斯变换，则
变换式 代人x(t)=H(ω)f(t)，可得系统的稳态响应为
在非周期激励作用下，系统的响应又可由傅里叶积
分表示为
式中
因此x(t)与X(ω)组成了傅里叶变换对。比较式得
上式为系统响应的频率域表达式，系统在频率域的响
应 X(ω) 等 于 复频 率 响应 H(ω) 与 激 励的 傅 里叶 变 换
F(ω)的乘积。
例 3.9-1 试用傅里叶变换法计算单自由度无阻 尼系统对图所示的矩形脉冲激励 F(t) 的响应 x(t) ， 并画出频谱图。
解：因为f(t)=F(t)／k，函数f(t)可以定义为
利用式，可以对f(t)进行傅里叶变换，积分得
当ζ=0，复频率响应为
得到
于是，响应x(t)可以表示成傅里叶逆变换形式，即
x(t)的拉普拉斯变换定义为
式中 s 一般为一复量，函数 e-st 称为变换的核。因
为式是一个以t为积分变量的定积分，所以将得出
一个以s为变量的函数。 为了用拉普拉斯变换法求解系统
的响应，需要计算导数量和譬的变换。应用分部积 分，可以得出
式中 x(0) 为 m 的初始位移。同理，二阶导数的拉普 拉斯变换可以表示为
传递函数可以视为是一个代数算子，它对变换 激励进行运算就得出变换响应。 方程可以用图表示，以代数算子 (s)表在拉普拉斯平 面内的关系图。
响应 x(t) 可由拉普拉斯逆变换求得。从变换响 应回到x(t)时，需要计算 可以表示为 (s)的拉普拉斯逆变换，
一般来讲， L-1的运算将涉及在复数域内的线积分， 在很多情况下，这个积分可以用围道积分来代替， 再转变为用复数代数中的剩余定理来计算。然而 深入地研究拉普拉斯变换理论已经超出了本书的 范畴。如果能够寻找一种将 (s)分解成其逆变换 为已知函数组合的方法，则在现有的知识结构中 就可以得到简单响应问题的拉普拉斯逆变换的解 答，这一方法可以通过部分分式法来实现。也就 是说，把函数 (s)分解成几个已经知道其逆变换 的简单函数之和。表给出了一些简单函数的拉普 拉斯变换对表。
可以从另一角度出发，借助傅里叶变换给出频率 域响应的表达式，同时给出脉冲响应函数与复频 率响应函数的傅里叶变换关系。 单自由度线性系统受非周期激励的振动微分方程为 令作用在系统上的激励具有如下的形式，即
注意到f(t)的量纲与位移的量纲相同。
周期激励函数可以利用傅里叶级数来表示，
即表达成为无穷个简谐分量的叠加。对于任意非
续频谱函数，
积分式 称为关于函数f(t)的傅里叶变换，它给出了f(t)的连 续频谱函数，积分式称为关于函数F(ω)的傅里叶逆
变换，它将非周期函数f(t)表示为频率为ω、幅值为
F(ω)dω的简谐分量的无穷叠加。 f(t) 和F(ω)共称 为傅里叶变换对。
利用复频率响应函数H(ω)，将f(t)以傅里叶
pω=ωp ， 有 △ ωp= （ p+1)ω-ω=ω=2π/T ， 将 傅
里叶展开式和上式)中的pω以ωp，T以2π/ △ωp
代替，写成
当T→∞，△ωp→0 时，离散频率ωp ，就成为连
续频率ω，将TCp，记作ω的函数F(ω)，称为激
励的频谱函数。上面两式转化为傅里叶变换公式
积分式 称为关于函数 f(t)的傅里叶变换，它给出了f(t)的连
上次内容回顾：
系统对任意激励的响应· 卷积积分
讲述的内容
第三章 强迫振动
3．9 系统对任意激励的响应· 傅里叶积分 3．10 用拉普拉斯变换法求系统响应· 传递函数 3．11 复频率响应与脉响应之间的关系
3．9系统对任意激励的响应· 傅里叶积分
前面应用卷积积分计算任意非周期激励的响
应随时间的变化规律，称为时域分析方法。但也
特性的所有参数，是以 s 为变量的复数域的代数 表达式。该域表示一复平面，称为拉普拉斯平面。
令
(s)的倒数以
(s)表示，即
(s)称为系统的导纳。
在研究变换响应与变换激励的关系时，还要
建立一个更为普遍的概念，这一概念称为传递函
数。对于方程所描述的二阶系统的特殊情形，传 递函数具有下面的形式，即
式中ζ和ωn分别为相对阻尼系数和无阻尼系统的 固有频率。注意到，如果令 (s)中的S=iω并乘以 k，就可以得到复频率响应函数H(ω)。 方程可以改写为
为了计算此积分，需要作复平面内的围道积分 ( 这
已经超出了本书的范围 ) ，这里只给出积分的结果，
有
注意到本例题响应x(t)的结果与例题3.8-4的结果相同。
与f(t)有关的频谱由方 程 给出，因为(eiωT-e-iωT)／i2=sinωT。方程简化为
图表示F(ω)对ω的频谱图。
此外，与x(t)有关的频谱由方程
周期激励函数 F(t)=kf(t) ，可视为周期 T 趋于无
穷大的周期函数，也就是说，非周期函数可视为
周期为无穷大的周期函数。这样，离散频率愈来 愈接近，直到成为连续为止。这时傅里叶级数就 成为傅里叶积分。 考虑傅里叶级数的复数形式，即
系数Cp为
式中T=2π/ω为激励函数的周期。傅里叶级数式和
上式提供了有关周期函数f(t)的频率组成依据。令
给出，同理，简化为
图表示X(ω)对ω的频谱图。
将此例题与例题3.8-4相比较，可以看出， 对于求响应 x(t) 的问题，用卷积积分要比用傅
里叶变换法简单，因为卷积积分能够避免本例
题中涉及的复平面内围道积分的计算。
3．10
用拉普拉斯变换法求系统响应· 传递函数
拉普拉斯 (Laplace) 变换作为一种工具已经