离散数学答案【4】
年秋国家开放大学《离散数学》形考4试题及答案(答案全部正确)
2016年秋国家开放大学《离散数学》形考4试题及答案(答案全部正确)０4任务_0001试卷总分:1００测试时间:0单项选择题一、单项选择题(共１0 道试题，共10０分。
)1．无向树T有8个结点，则T的边数为（)．A. ６Ｂ. 7 C. 8 Ｄ. 92．图G如图三所示，以下说法正确的是（).Ａ．{(a，ｄ)}是割边Ｂ．{(a, d)}是边割集Ｃ. ｛(a, d) ,(b, d）｝是边割集 D. {(ｂ, d）}是边割集3. 设有向图(a）、(b)、(ｃ)与（ｄ）如图所示,则下列结论成立的是（ )．A. （ａ)只是弱连通的B. （ｂ)只是弱连通的C. （ｃ）只是弱连通的Ｄ． (d）只是弱连通的４．如图一所示，以下说法正确的是（).A. {(ａ, e)｝是割边B. ｛(a,e)}是边割集Ｃ. ｛(a, e）,(b，ｃ)}是边割集 D. {(d，e)}是边割集5. 设G是有ｎ个结点,ｍ条边的连通图，必须删去G的(）条边,才能确定G的一棵生成树．Ａ. m－ｎ+1Ｂ． m-n C. m＋n+1D． n-m+1６. 设G是连通平面图,有v个结点,ｅ条边，r个面，则r= ().A. e－v+2Ｂ. ｖ+ｅ－2 C. ｅ-v－2D．e+v＋27. 设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为（）.A．６ B. 5Ｃ．４ D. 38．如图所示，以下说法正确的是 ( )．A. ｅ是割点B. {a，ｅ}是点割集C．｛ｂ, e}是点割集D．｛d}是点割集9. 无向简单图Ｇ是棵树，当且仅当（).A. Ｇ连通且边数比结点数少１B. G连通且结点数比边数少1C. G的边数比结点数少１D. Ｇ中没有回路．10．以下结论正确的是( ).Ａ. 无向完全图都是欧拉图 B. 有n个结点n-1条边的无向图都是树C. 无向完全图都是平面图D. 树的每条边都是割边0４任务＿０002试卷总分:１00 测试时间：0单项选择题一、单项选择题（共10 道试题，共1０0 分。
离散数学章节练习4
离散数学章节练习4K E Y(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除离散数学 章节练习 4范围：代数系统一、单项选择题 1. <G,*>是群，则对* ( A ) A 、有单位元，可结合 B 、满足结合律、交换律 C 、有单位元、可交换 D 、有逆元、可交换2. 设N 和Z 分别表示自然数和整数集合，则对减法运算封闭的是 ( B )A 、NB 、{x ÷2|x ∈Z}C 、{x|x ∈N 且x 是素数}D 、{2x+1| x ∈Z }3. 设Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是群的代数系统的有 ( B ) A.〈Z ，+，÷〉 B.〈Z ，÷〉 C.〈Z ，－，÷〉 D.〈P(A)，⋂〉 4. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B ) A 、半群，但不是独异点； B 、只是独异点，但不是群； C 、群； D 、环，但不是群。
5. 设f 是由群<G,☆>到群<G ',*>的同态映射，则ker (f)是 ( B ) A 、G '的子群 B 、G 的子群 C 、包含G ' D 、包含G 6. 在整数集Z 上,下列哪种运算不是封闭的 ( C ) A + B - C ÷ D X 7. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B )A 、半群，但不是独异点；B 、只是独异点，但不是群；C 、群；D 、环，但不是群。
8. 设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 是（ A ）。
A ．群； B ．环； C ．半群 Ｄ.都不是 9. 设︒是集合S 上的二元运算，如果集合S 中的某元素eL,对∀x ∈S 都有 eL ︒x=x ,则称eL 为 ( C ) A 、右单位元 B 、右零元 C 、左单位元 D 、左零元 10. <Z,+> 整数集上的加法系统中0是 ( A ) A 单位元 B 逆元 C 零元 D 陪集 11. 若V=<S,︒>是半群，则它具有下列那些性质 ( A ) A 、封闭性、结合性 B 、封闭性、交换性 C 、有单位元 D 、有零元 二、判断题 1．若半群<S,*>含有零元，则称为独异点。
计算机科学与技术考试：2021离散数学与组合数学真题模拟及答案(4)
计算机科学与技术考试：2021离散数学与组合数学真题模拟及答案(4)1、设f是由群<G；×>到群<G`；*>的同态映射，则Ker（f）是（）。
（单选题）A. G`的子群B. G的子群C. 包含G`D. 包含G试题答案：B2、关于生殖器疱疹错误的是（）。
（单选题）A. 发病时起病缓慢，无明显自觉不适及淋巴结肿大B. 妇科检查见外阴疱疹及浅表溃疡C. 孕妇可发生宫内感染及产道扩散D. 新生儿经产道感染，可引起播散性感染，70％以上死亡E. 生殖器疱疹孕妇应在剖宫产分娩试题答案：A3、S1＝{1，2，...，8，9}，S2＝{2，4，6，8}，S3＝{1，3，5，7，9}，S4＝{3，4，5}，S5＝{3，5}，在条件X⊆S1且X⊄S3下，X与（）集合可能相等。
（单选题）A. X＝S2或S3B. X＝S4或S5C. X＝S1，S2或S4D. X与S1，…，S5中任何集合都不相等试题答案：C4、生殖器疱疹潜伏期为（）。
（单选题）A. 20小时B. 2～7天C. 10天D. 14天E. 1个月试题答案：B5、自然语言理解是人工智能的重要应用领域，下面列举中的（）不是它要实现的目标。
（单选题）A. 理解别人讲的话B. 对自然语言表示的信息进行分析概括或编辑C. 欣赏音乐D. 机器翻译试题答案：C6、某女，26岁，7天前有不洁性交史。
2天前开始出现尿痛、排尿困难。
妇科检查见尿道口肿胀外翻，有黄白色脓液流出，外阴阴道及子宫附件无明显异常。
可能的诊断是（）（单选题）A. 非淋菌性尿道炎B. 淋病C. 非特异性尿道炎D. 滴虫性尿道炎E. 尿道念珠菌病试题答案：B7、专家系统的推理机的最基本的方式是（）。
（单选题）A. 直接推理和间接推理B. 正向推理和反向推理C. 逻辑推理和非逻辑推理D. 准确推理和模糊推理试题答案：B8、为了解决如何模拟人类的感性思维，例如视觉理解、直觉思维、悟性等，研究者找到一个重要的信息处理的机制是（）。
离散数学第四章部分答案
（1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。
如果R=Is ，则（A ）；如果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。
（2）设有序对<x+2,4>与有序对<5,2x+y>相等，则 x=(D),y=(E). 供选择的答案A 、B 、C ：① x,y 可任意选择1或2；② x=1,y=1；③ x=1,y=1 或 2；x=y=2；④ x=2,y=2；⑤ x=y=1或 x=y=2；⑥ x=1,y=2；⑦x=2,y=1。
D 、E ：⑧ 3；⑨ 2；⑩-2。
答案： A: ⑤ B: ③ C: ① D: ⑧ E: ⑩设S=<1,2,3,4>,R 为S 上的关系，其关系矩阵是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001100000011001 则（1）R 的关系表达式是（A ）。
（2）domR=(B),ranR=(C).（3）R R 中有（D ）个有序对。
（4）R ˉ1的关系图中有（E ）个环。
供选择的答案A :①<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>； ②<1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>；B 、C ：③1，2，3，4；④1，2，4；⑤1，4⑥1，3，4。
D 、E ⑦1；⑧3；⑨6；⑩7。
答案： A:② B:③ C:⑤ D:⑩ E:⑦设R 是由方程x+3y=12定义的正整数集Z+上的关系，即 {＜x,y ＞︳x,y ∈Z+∧x+3y=12}, 则 （1）R 中有A 个有序对。
（2）dom=B 。
(3)R ↑{2,3,4,6}=D 。
(4){3}在R 下的像是D 。
（5）R 。
R 的集合表达式是E 。
供选择的答案 A:①2;②3;③4.B 、C 、D 、E:④{＜3，3＞}；⑤{＜3，3＞，＜6，2＞}；⑥{0，3，6，9，12}；⑦{3，6，9}；⑧{3}；⑨Ф；⑩3。
离散数学(简答题)
1、设简单图G所有结点的度数之和为12，则G一定有_____条边。
问题反馈【教师释疑】正确答案：【6 】62、设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X 上的等价关系，R应取_______. 问题反馈【教师释疑】正确答案：【{〈a,c〉,〈c,b〉} 】{〈a,c〉,〈c,b〉}3、命题公式的任意两个不同极小项的合取式一定为_________. 问题反馈【教师释疑】正确答案：【永假式】永假式4、一个公式在等价意义下，_______范式写法是唯一的。
问题反馈【教师释疑】正确答案：【主析取】主析取5、若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为_______ 问题反馈【教师释疑】正确答案：【P∧┐Q 】P∧┐Q6、设R是A上的二元关系,且RRR为R的子集,可以肯定R应是_____关系。
问题反馈【教师释疑】正确答案：【传递】传递7、设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。
则R×S ＝__________________, 问题反馈【教师释疑】正确答案：【{(1,3),(2,2)} 】{(1,3),(2,2)}8、设谓词的定义域为{a, b},将表达式"任意xR(x)→彐xS(x)"中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________. 问题反馈【教师释疑】正确答案：【(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)) 】(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b))9、设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; 问题反馈【教师释疑】正确答案：【{3} 】{3}10、设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________ 问题反馈【教师释疑】正确答案：【12 】1211、设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A∩B＝_________________________; 问题反馈【教师释疑】正确答案：【{4} 】{4}12、设A={a, b, {a, b}}，B={a, b}，则B－A =________ 问题反馈【教师释疑】正确答案：【Φ】Φ13、设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学课后答案(四)
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8、证明如下：设<S,*>为一个独异点，则它有一个幺元.
设在<S,*>中e是关于*的幺元，若对于任意a∈S，存在b∈S且b*a=e，则b是a的左逆元。
晓津认为题中所给<R,O>中的O应为o；答案中的(3)幺元是0,而不是[0].
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5、
晓津证明如下：
反证法：若V不是独异点，则V不存在幺元.
而因为x是任意的，则当x=a时，有
(c) : 不可交换、具有幂等性,无幺元。
(d) : 可交换、不具有幂等性、有幺元 a ,a有逆元a.
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6、
证明： 设a,b,c∈I+
a*(b△c)=a^(b.c)
2、证明：二元运算□是可结合的。
根据结合律： (x□y)□z=x□(y□z)
(x□y)□z=(x*a*y)*a*z
x□(y□z)=x*a*(y*a*z)
由于*满足结合律，故：
(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z)
=> (x□y)□z=x□(y□z)
=> 二元运算□是可结合的
离散数学 第四章 关系 参考答案
第四章关系1．设A={1，2，3，}，B={a，b}求1）A×B 2）B×A 3）B×B 4）2B×B[解] 1）A×B={（1，a），（1，b），（2，a），（2，a），（3，a），（3，b）}2）B×A={（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3）}3）B×B={（a，a），（a，b），（b，a），（b，b）}4）2B={∅，{a}，{b}，{a，b}}2B×B{（∅，{a}），（∅，b），（{a}，a），（{a}，b），（{b}，a），（{b}，b），（{a，b}，b）}2．使A⊆A×A成立的集合A存在吗？请阐明理由。
[解] 一般地说，使A⊆A×A成立的集合A不存在，除非A=∅。
否则A≠∅，则存在元素x∈A×A，故有y1，y2∈A，使x=（y1，y2），从而y1，y2∈A×A，故此有y1，y2，y3，y4，使y1=（y1，y2），y2=（y3，y4），……。
这说明A 中每个元素x，其结构为元组的无穷次嵌套构成，这不可能。
我们讨论的元素的结构必须是由元组的有限次嵌套构成。
3．证明A×B=B×A⇔A=∅∨B=∅∨A=B[证] 必要性：即证A×B=B×A⇒A=∅∨B=∅∨A=B若A×B=∅，则A=∅或者B=∅若A×B≠∅，则A≠∅且B≠∅，因此对任何x∈A及任何y∈B就有（x，y）∈A×B，根据A×B=B×A，可得（x，y）∈B×A，故此可得x∈B，y∈A，因此而得A⊆B且B⊆A，所以由⊆的反对称性A=B。
充分性：即证A=∅∨B=∅∨A=B⇒A×B=B×A这是显然的。
4．证明（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）[证]证法一：（元素法）对任一（x，y）∈（A∩B）×（C∩D）有x∈A∩B，y∈C∩D，于是x∈A，x∈B，y∈C，y∈D。
离散数学(胡海涛)第4章答案
离散数学(胡海涛版)第四章1. 分析下列各个函数，指出其性质（入射、满射或双射）（1）f : Z →Z , f (j )=j mod 3（2）f : N →N ，{10()j j f j =是偶数是奇数（3）f : N →{0,1}，{10()j j f j =是偶数是奇数（4）f : Z →N ，f (i )=|2i |+1（5）f : R →R ，f (r )=2r –15解：（1）、（2）、（4）既不是入射，也不是满射。
（3）是满射。
（5）是双射。
2. 假设f 和g 是函数，求证f ∩g 也是函数。
证明：f ∩g ={<x ,y >|x ∈dom f ∧x ∈dom g ∧y =f (x )∧y =g (x )}={<x ,y >|x ∈dom f ∩dom g ∧y =f (x )=g (x )} 令h = f ∩g ，则dom h ={x |x ∈dom f ∩dom g ∧f (x ) =g (x )}若y 1≠ y 2，因为f 是函数，故必有y 1=f (x 1)，y 2=f (x 2)，且x 1≠x 2，所以h = f ∩g 是一个函数。
因为dom h 存在且y 1≠ y 2时x 1≠x 2，即h ={<x ,y >|x ∈dom h ，y =h (x ) =f (x ) =g (x )}3. 设A ={1，2，…，n }，证明从A 到A 的任意单射函数必是满射函数，其逆亦真。
证明：设f 是从A 到A 的单射函数，则|A |=| f (A )|，因为f 是A 到A 的函数，所以 f (A ) ⊆ A ，又因为|A |=| f (A )|，且|A |是有限的，因此必有f (A ) = A ，即f 是满射函数。
反之，若f 是从A 到A 的满射函数，根据满射定义有，f (A ) = A ，于是|A |=| f (A )|，又由|A |是有限的，故f 是从A 到A 的单射函数。
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第十章部分课后习题参考答案4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1）整数集合Z和普通的减法运算。
封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元（2）非零整数集合普通的除法运算。
不封闭（3）全体实矩阵集合（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。
封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n2。
不封闭（5）正实数集合和运算，其中运算定义为：不封闭因为（6）关于普通的加法和乘法运算。
封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律加法单位元是0，无零元；乘法无单位元（），零元是0；单位元是1（7）A = {n运算定义如下：封闭不满足交换律，满足结合律，（8）S =关于普通的加法和乘法运算。
封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律（10）S =,S关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。
见上题7．设 * 为上的二元运算，X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.(1) 求4 * 6，7 * 3。
4, 3(2)* 在上是否适合交换律，结合律，和幂等律？满足交换律，结合律，和幂等律(3)求*运算的单位元，零元及中所有可逆元素的逆元。
单位元无，零元1, 所有元素无逆元8． 为有理数集，*为S上的二元运算，<a,b>,<x,y >S有< a，b >*<x，y> = <ax，ay + b>（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？不可交换：<x,y>*<a,b >= <xa，xb +y>< a，b >*<x，y>可结合：(<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<ax，ay + b>*<c,d>=<axc，axd + (ay+b) ><a,b >*(<x,y>*<c,d>)=<a, b>*<xc,xd+y>=<axc，a(xd +y)+b >(<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<a,b >*(<x,y>*<c,d>)不是幂等的（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。
设<a,b>是单位元，<x,y >S ，<a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<x,y>则<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<x,y>，解的<a,b>=<1,0>，即为单位。
设<a,b>是零元，<x,y >S ，<a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<a,b>则<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<a,b>，无解。
即无零元。
<x,y >S，设<a,b>是它的逆元<a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<1,0> <ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<1,0>a=1/x,b=-y/x所以当x0时，10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，分别有表10.8确定。
(a) (b) (c) (d)(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？(a) 交换律，结合律，幂等律都满足，零元为a,没有单位元；(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律没有单位元, 没有零元(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律没有单位元, 没有零元(2) 求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。
见上16．设V=〈 N，+ ，〉，其中+ ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？（1）S1=是（2）S2=不是 加法不封闭（3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案8.设S={0，1，2，3}，为模4乘法，即"x,y∈S, xy=(xy)mod 4问〈S，〉是否构成群？为什么？解：(1) x,y∈S, xy=(xy)mod 4,是S上的代数运算。
(2) x,y,z∈S,设xy=4k+r(xy)z =((xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4同理x(yz) =(xyz)mod 4所以，(xy)z = x(yz)，结合律成立。
(3) x∈S, (x1)=(1x)=x,，所以1是单位元。
(4) 0和2没有逆元所以，〈S，〉不构成群9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。
如下：" x,y∈Z,xoy= x+y-2问Z关于o运算能否构成群？为什么？解：(1) x,y∈Z, xoy= x+y-2,o是Z上的代数运算。
(2) x,y,z∈Z,(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。
(3)设是单位元，x∈Z, xo= ox=x,即x+-2= +x-2=x, e=2(4) x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，所以〈Z，o〉构成群11.设G=，证明G关于矩阵乘法构成一个群．解：(1) x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。
(2) 矩阵乘法满足结合律(3)设是单位元，(4)每个矩阵的逆元都是自己。
所以G关于矩阵乘法构成一个群．14.设G为群，且存在a∈G,使得G={a k∣k∈Z}证明：G是交换群。
证明:x,y∈G，设，则所以，G是交换群17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。
证明:设也是幂等元，则，即，由消去律知18.设G为群，a,b,c∈G,证明∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣证明：先证设设则，即 左边同乘，右边同乘得 反过来，设则由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣19.证明：偶数阶群G必含2阶元。
证明：设群G不含2阶元，，当时，是一阶元，当时，至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以是有限阶的，设是k阶的,则也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元,这与群G是偶数阶的矛盾。
所以，偶数阶群G必含2阶元20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba.证明：先证明G含至少含3阶元。
若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾；若G除了1阶元e外,其余元均为2阶元，则，，与G为Abel群矛盾；所以，G含至少含一个3阶元，设为，则，且。
令的证。
21.设G是M n(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。
（1）全体对称矩阵 是子群（2）全体对角矩阵 是子群（3）全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群（4）全体上（下）三角矩阵。
是子群22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即N（a）={x∣x∈G∧xa=ax}证明N（a）构成G的子群。
证明：ea=ae, ,所以由，得，即，所以所以N（a）构成G的子群31.设1是群G1到G2的同态，2是G2到G3的同态，证明12是G1到G3的同态。
证明：有已知1是G1到G2的函数，2是G2到G3的函数，则1·2是G1到G3的函数。
所以:1·2是G1到G3的同态。
33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。
证明：设G是循环群,令G=<a>,,令,那么,G是阿贝尔群克莱因四元群,是交换群,但不是循环群,因为e是一阶元，a,b,c是二阶元。
36.设是5元置换，且，(1)计算；(2)将表示成不交的轮换之积。
(3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。
解：(1)(2)(3) 奇置换，偶置换奇置换。