北京高考数学真题与答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.（1）设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（A ）}1|{>x x （B ）}0|{>x x （C ）}1|{-<x x （D ）}11|{>-<x x x 或（2）设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（A ）y 3>y 1>y 2（B ）y 2>y 1>y 3（C ）y 1>y 2>y 3（D ）y 1>y 3>y 2（3）“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件（4）已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是 （A ）若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α （B ）若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n（C ）若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β（D ）若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β（5）极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是（A ）圆（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）双曲线（6）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5（7）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（A ）π2（B ）π23（C ）π332 （D ）π21（8）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（A ）24种（B ）18种（C ）12种（D ）6种（9）若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,2)23()1(23=--++=----n a n n n n n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（A ）2411 （B ）2417 （C ）2419 （D ）2425 （10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij , 其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为 （A ）k k a a a a a a 2222111211+++++++ （B ）2221212111k k a a a a a a +++++++（C ）2122211211k k a a a a a a +++（D ）k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.（11）函数x tg x h x x x x x x g x x f 2)(.1,2.1||0.1,2)(),1lg()(2=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=+=中，是偶函数.（12）以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是（13）如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .（14）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 .三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）若]2,0[π∈x ，求)(x f 的最大值、最小值.（16）（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(R x x a b n n n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式. （17）（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3，侧棱AA 1=,233D 是CB 延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ； （Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小； （Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.（18）（本小题满分15分）如图，椭圆的长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y轴上，中心为M （0，r ）（).0>>r b（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线x k y 1=交椭圆于两点);0)(,(),,(22211>y y x D y x C 直线x k y 2=交椭圆于两点).0)(,(),,(44433>y y x H y x G 求证：4343221211x x x x k x x x x k +=+；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q. 求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形） （19）（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=a ，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，点P 应位于何处？（Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小， 点P 应位于何处？ （20）（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件： （i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有 （Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有 （Ⅱ）证明：对任意的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分. （1）A （2）D （3）A （4）B （5）D （6）B （7）C （8）B （9）C （10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. （11）)();(x g x f （12） )4(362--=x y（13）)(212b a r +π （14）44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）满分13（Ⅰ）解析：因为x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=2222(cos sin )(cos sin )sin 2cos 2sin 2)4x x x x x x x x π=+--=-=+所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T（Ⅱ）解析：因为,20π≤≤x 所以.45424πππ≤+≤x当442ππ=+x 时，)42cos(π+x 取得最大值22；当ππ=+42x 时，)42cos(π+x 取得最小值－1. 所以)(x f 在]2,0[π上的最大值为1，最小值为－.2（16）满分13分.（Ⅰ）解析：设数列}{n a 公差为d ，则 ,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a所以.2n a n =（Ⅱ）解：令,21n n b b b S +++= 则由,2nn n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ① ,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ② 当1≠x 时，①式减去②式，得,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n nn n n nx xx x nx x x x S x所以.12)1()1(212xnxx x x S n n n ----=+当1=x 时, )1(242+=+++=n n n S n 综上可得当1=x 时,)1(+=n n S n 当1≠x 时，.12)1()1(212xnxx x x S n nn ----=+（17） 满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1， ∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴BC 1//DB 1.又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D. （Ⅱ）解析：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ， ∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角， ∵BD=BC=AB ，∴E 是AD 的中点， .2321==AC BE在Rt △B 1BE 中，.32332311===∠BEB B BE B tg ∴∠B 1EB=60°。

即二面角B 1—AD —B 的大小为60°（Ⅲ）解法一：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵B 1B ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AF ⊥平面BB 1C 1C ，且AF=∴=⨯,323323 AF S V V C B B C BB A ABB C ⋅==∆--1111111131 .827233)323321(31=⨯⨯⨯=即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.827解法二：在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，11111111111C B A A B AA C ABB C B AA ABB V V V S S ---∆∆==∴=.827233)3434(313121111=⨯⨯⨯=⋅=∆AA S C B A 即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.827（18）满分15分.（Ⅰ）解析：椭圆方程为,1)(2222=-+b r y a x 焦点坐标为),,(),,(222221r b a F r b a F ---离心率.22ab a e -=（Ⅱ）证明：将直线CD 的方程x k y 1=代入椭圆方程，得,)(2221222b a r x k a x b =-+整理得.0)(2)(22222122122=--+b a r a rx a k x k a b 根据韦达定理，得212222222121222121,2k a b b a r a x x k a b r a k x x +-=+=+ 所以rk b r x x x x 12221212-=+ ①将直线GH 的方程x k y 2=代入椭圆方程，同理可得rk b r x x x x 22243432-=+，由①，②得2121222212112x x x x k r b r x x x x k +=-=+所以结论成立. （Ⅲ）证明：设点P （p,0），点Q （q,0），由C 、P 、H 共线，得,221121x k x k p x p x =--解得22112121)(x k x k x x k k p --=，由D 、Q 、G 共线，同理可得 ,)(434322121132213221x x x x k x x x x k x k x k x x k k q +=+--=由变形得421141322132x k x k x x x k x k x x -=--即4211412132213221)()(x k x k x x k k x k x k x x k k --=---所以.|||||,|||OQ OP q p ==即 （19）.满分14分.（Ⅰ）解析：由题设可知，,0>>b a 记,22b a h -=设P 的坐标为（0，y ），则P至三镇距离的平方和为.232)3(3)()(2)(222222b h hy y h y b y f ++-=-++= 所以，当3h y =时，函数)(y f 取得最小值. 答:点P 的坐标是).31,0(22b a - （Ⅱ）解法一：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|||,||,|,)(222222y h y b y h y h y b y b x g 当当由||22y h y b -≥+解得,222h b h y -≥记,222*hb h y -=于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,|,,)(**22y y y h y y y b y g 当当 当,0222≥-=h b h y n 即b h ≥时，22y b +在[),*+∞y 上是增函数，而]y ,(-||*∞-在y h 上是减函数. 由此可知,当ny y =时,函数)(y g 取得最小值. 当,0222*<-=hb h y 即b h <时,函数22y b +在[),*+∞-y 上,当0=y 时,取得最小值b ,而]y ,(-||*∞-在y h 上为减函数,且 b.||>-y h 可见, 当0=y 时, 函数)(y g 取得最小值. 答当b h ≥时,点P 的坐标为);22,0(2222ba b a --当b h <时,点P的坐标为(0,0),其中,22b a h -=解法二:P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|||,||,|,)(222222y h y b y h y h y b y b y g 当当由||22y h y b -≥+解得,222h b h y -≥记,222*h b h y -=于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,|,,)(**22y y y h y y y b y g 当当 当g(y)z ,b h ,0*=≥≥时即y 的图象如图(a)，因此，当*y y =时，函数)(y g 取得最小值.当,*y y <即g(y)z ,=<时b h 的图象如图(b)，因此，当0=y 时，函数)(y g 取得最小值.答：当b h ≥时，点P 的坐标为);22,0(2222ba b a --当b h <，点P 的坐标为（0，0），其中.22b a h -=解法三：因为在△ABC 中，AB=AC=,a 所以△ABC 的外心M 在射线AO 上，其坐标为)22,0(2222ba b a --，且AM=BM=CM. 当P 在射线MA 上，记P 为P 1；当P 在射线MA 的反向延长线上，记P 为P 2，若b b a h ≥-=22（如图1），则点M 在线段AO 上， 这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 和P 2A ，且P 1C ≥MC ，P 2A ≥MA ，所以点P 与外心M 重合时，P 到三镇的最远距离最小. 若b b a h <-=22(如图2),则点M 在线段AO 外,这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 或P 2A ，且P 1C ≥OC ，P 2A ≥OC ，所以点P 与BC 边中点O 重合时， P 到三镇的最远距离最小为b .答：当b b a h ≥-=22时，点P 的位置在△ABC 的外心)22,0(2222b a b a --；当b b a h <-=22时，点P 的位置在原点O.（20）满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当]1,1[-∈x 时，有,1|1|)1()(|)(|x x f x f x f -=-≤-=即.1)(1x x f x -≤≤-（Ⅱ）证法一：对任意的 1.|v -u ||f(v)-f(u)|,1||],1,1[,≤≤≤--∈有时当v u v u当0,u ,1|v -u |<⋅>v 时不妨设,0<u 则1,u -0>>v v 且所以，|1||1||)1()(||)1()(||)()(|-++≤-+--≤-v u f v f f u f v f u f.1)(211<--=-++=u v v u 综上可知，对任意的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f证法二：由（Ⅰ）可得，当[0,1],f(x)1-x,x ∈≤时[1,0],|()||()(1)11||.x f x f x f x x ∈-=--≤+=-当时所以，当.||1)(|,]1,1[x x f x -≤-∈时因此，对任意的],1,1[,-∈v u 当1||≤-v u 时，.1|||)()(|≤-≤-v u v f u f 当1||>-v u 时，有0<⋅v u 且.2||||||1≤+=-<v u v u所以.1)||(|2||1||1|)(||)(||)()(|≤+-=-+-≤+≤-v u v u v f u f v f u f 综上可知，对任意的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f（Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在.理由如下，假设存在函数)(x f 满足条件，则由],1,21[,|,||)()(|∈-=-v u v u v f u f得.21|121||)1()21(|=-=-f f 又,0)1(=f 所以.21|)21(|=f ①又因为)(x f 为奇数，所以.0)0(=f 由条件],21,0[,|,||)()(|∈-<-v u v u v f u f得 .21|)0()21(||)21(|<-=f f f ② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.。