北京高考数学真题与答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数 学（理工农医类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

（1）设集合B A x x B x x A ?>=>-=则|},0log |{},01|{22

等于

（A ）}1|{>x x （B ）}0|{>x x （C ）}1|{--

（2）设5.1344.029

.01)2

1

(,8,4-===y y y ，则

（A ）y 3>y 1>y 2

（B ）y 2>y 1>y 3

（C ）y 1>y 2>y 3

（D ）y 1>y 3>y 2

（3）“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的

（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件

（C ）充分必要条件

（D ）既非充分又非必要条件

（4）已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是 （A ）若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α （B ）若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n

（C ）若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β

（D ）若m ⊥α，β?m ，则α⊥β

（5）极坐标方程1cos 22cos 2

=-θρθρ表示的曲线是

（A ）圆

（B ）椭圆

（C ）抛物线

（D ）双曲线

（6）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是

（A ）2

（B ）3

（C ）4

（D ）5

（7）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为

（A ）π2

（B ）π2

3

（C ）

π3

3

2 （D ）π2

1

（8）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有

（A ）24种

（B ）18种

（C ）12种

（D ）6种

（9）若数列{}

n a 的通项公式是Λ,2,1,2

)

23()1(23=--++=----n a n n n n n n ，则

)(lim 21n n a a a +++∞

→Λ等于

（A ）

24

11 （B ）

24

17 （C ）

24

19 （D ）

24

25 （10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他

们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ??

?=.,0.,1号同学当选号同学不同意第

第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij , 其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，

则同时同意第1，2号同学当选的人数为 （A ）k k a a a a a a 2222111211+++++++ΛΛ （B ）2221212111k k a a a a a a +++++++ΛΛ

（C ）2122211211k k a a a a a a +++Λ

（D ）k k a a a a a a 2122122111+++Λ

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

（11）函数x tg x h x x x x x x g x x f 2)(.1,2.1||0

.1,2)(),1lg()(2=??

???>+-≤-<+=+=中，

是偶函数.

（12）以双曲线19

162

2=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是

（13）如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线

长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .

（14）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面

积之和最小，正方形的周长应为 .

三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

已知函数.sin cos sin 2cos )(4

4x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）若]2

,

0[π

∈x ，求)(x f 的最大值、最小值.

（16）（本小题满分13分）

已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）令).(R x x a b n n n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式. （17）（本小题满分15分）

如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3，侧棱AA 1=

,2

3

3D 是CB 延长线上一点，且BD=BC.

（Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ； （Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小； （Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.

（18）（本小题满分15分）

如图，椭圆的长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y

轴上，中心为M （0，r ）（).0>>r b

（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

（Ⅱ）直线x k y 1=交椭圆于两点);0)(,(),,(22211>y y x D y x C 直线x k y 2=交椭圆于

两点).0)(,(),,(44433>y y x H y x G 求证：

4

3432212

11x x x x k x x x x k +=+；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q. 求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形） （19）（本小题满分14分）