应用函数与方程思想培养数学核心素养

应用函数与方程思想培养数学核心一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．【例1】 设不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围．【解析】 问题可以变成关于m 的不等式： 即(x 2－1)m －(2x －1)<0在[－2,2]上恒成立， 设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2(x 2－1)－(2x －1)<0，f (－2)＝－2(x 2－1)－(2x －1)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2x －1<0，2x 2＋2x －3>0， 解得7－12<x <3＋12， 故x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12.【类题通法】一般地，对于多变元问题，需要确定合适的变量和参数，反客为主，主客换位思考，创设新的函数，并利用新的函数创造性地使原问题获解．求解本题的关键是变换自变量，以参数m 作为自变量而构造函数式，不等式的问题就变成函数在闭区间上的值域问题．【对点训练】1．若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．21xxe e ->ln x 2－ln x 1 B ．21x xe e -<ln x 2－ln x 1 C ．x 21x e >x 12x e D ．x 21x e <x 12x e【答案】C【解析】设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A 、B 选项不正确．设g (x )＝e xx (0<x <1)，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0. ∴函数g (x )在(0,1)上是减函数． 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴x 21x e >x 12x e ，故选C ．2．已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )＜0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g (x )ex ＞1的解集为________．【答案】(－∞，0)【解析】∵函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴g (0)＝g (4)＝1. 设f (x )＝g (x )ex ，则f ′(x )＝g ′(x )e x －g (x )e x (e x )2＝g ′(x )－g (x )e x .又g ′(x )－g (x )＜0，∴f ′(x )＜0， ∴f (x )在R 上单调递减．又f (0)＝g (0)e0＝1，∴f (x )＞f (0)，∴x ＜0.3．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．【解析】∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3. 原题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立， 当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2. 令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3. 问题转化为g (m )在m ∈⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0，则⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0，解得x >2或x <－1.∴x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).二、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解．【例2】 (1)若方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝⎛⎦⎤0，π2上有解，则a 的取值范围是________． 【答案】(－1,1]【解析】法一：把方程变形为a ＝－cos 2x ＋sin x ， 设f (x )＝－cos 2x ＋sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2， 显然，当且仅当a 属于f (x )的值域时有解．因为f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，且由x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2知sin x ∈(0,1]，易求得f (x )的值域为(－1,1]，故a 的取值范围是(－1,1]．法二：令t ＝sin x ，由x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，可得t ∈(0,1]． 将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解，设f (t )＝t 2＋t －1－a ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12，如图所示．因此，f (t )＝0在(0,1]上有解等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a <0，1－a ≥0，所以－1<a ≤1， 故a 的取值范围是(－1,1]．(2)已知a ，b ，c 为平面上三个向量，又a ，b 是两个相互垂直的单位向量，向量c 满足|c |＝3，c ·a ＝2，c ·b ＝1，则对于任意实数x ，y ，|c －xa －yb |的最小值为________．【答案】2【解析】由题意可知|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，又|c |＝3，c ·a ＝2，c ·b ＝1，所以|c －xa －yb |2＝|c |2＋x 2|a |2＋y 2|b |2－2xc ·a －2yc ·b ＋2xya ·b ＝9＋x 2＋y 2－4x －2y ＝(x －2)2＋(y －1)2＋4，当且仅当x ＝2，y ＝1时，(|c －xa －yb |2)min ＝4， 所以|c －xa －yb |的最小值为2. 【类题通法】(1)研究此类含参数的三角函数方程的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域．二是换元，将复杂方程问题转化熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．(2)平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．【对点训练】1．(2018届高三·广东五校协作体第一次诊断考试)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2【答案】A【解析】法一：由|a ＋b |＝|a －b |，可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，所以a ·b ＝0，故a ·b ＝(λ，1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.法二：a ＋b ＝(2λ＋2,2)，a －b ＝(－2,0)， 由|a ＋b |＝|a －b |，可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1.2．若关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不等实根，则m 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．[0,2] C ．[1,2) D ．[1， 3 ] 【答案】 C【解析】2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不等实根等价于函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象与直线y ＝m 有两个交点．在同一坐标系中作出y ＝f (x )与y ＝m 的图象如图所示，由图可知m 的取值范围是[1,2)．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a ＝________.【答案】8【解析】在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154，所以⎩⎨⎧12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝⎛⎭⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.三、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．【例3】 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．【解析】(1)因为a 1＝2，a 23＝a 2(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故公差d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，(列出方程) 解得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)由(1)知S n ＝n (n ＋1)， 则b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1 ＝12n ＋1n＋3， 令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，(构造函数) 则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.【类题通法】本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出b n 的表达式，说明要求b n ≤k 恒成立时k 的最小值，只需求b n 的最大值，从而构造函数f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，利用函数求解．【对点训练】1．(2017·洛阳第一次统一考试)等差数列{a n }为递增数列，若a 21＋a 210＝101，a 5＋a 6＝11，则数列{a n }的公差d 的值为( )A ．1B ．2C ．9D ．10【答案】A【解析】依题意得(a 1＋a 10)2－2a 1a 10＝(a 5＋a 6)2－2a 1a 10＝121－2a 1a 10＝101，∴a 1a 10＝10. 又a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝11，a 1<a 10， ∴a 1＝1，a 10＝10，d ＝a 10－a 110－1＝1.2．设数列{a n }，{b n }满足a 1＝a >0，a n ＋1＝n ＋12n a n ，且b n ＝ln(1＋a n )＋12a 2n ，n ∈N *，证明：2a n ＋2<a nb n<1. 【解析】证明：由a 1＝a >0，a n ＋1＝n ＋12na n 知，a n >0(n ∈N *)， 故b n >0(n ∈N *)．因为a nb n<1，所以b n －a n >0，构造函数f (x )＝ln(1＋x )＋12x 2－x (x >0)，则其导数f ′(x )＝11＋x ＋x －1＝x 2x ＋1，当x >0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以f (x )>f (0)＝0，即b n －a n >0，所以a nb n<1.因为2a n ＋2<a nb n，所以ln(1＋a n )－a n <0， 构造函数g (x )＝ln(1＋x )－x (x >0)， 则导函数g ′(x )＝11＋x －1＝－x x ＋1， 当x >0时，g ′(x )<0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数， 故g (x )<g (0)＝0，所以ln(1＋a n )－a n <0， 所以ln(1＋a n )＋12a 2n <a n ＋12a 2n ，即b n <a n ＋12a 2n ， 所以a n b n >2a n ＋2，所以2a n ＋2<a n b n<1.四、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中有关的求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决．【例4】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，如图所示，设左顶点为A ，上顶点为B ，且OF ―→·FB ―→＝AB ―→·BF ―→.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，试确定FM ―→·FN ―→的取值范围．【解析】(1)由已知，A (－a,0)，B (0，b )，F (1,0)， 则由OF ―→·FB ―→＝AB ―→·BF ―→，得b 2－a －1＝0. ∵b 2＝a 2－1， ∴a 2－a －2＝0， 解得a ＝2.(列出方程)∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①若直线l 斜率不存在，则l ：x ＝1， 此时M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32，FM ―→·FN ―→＝－94. ②若直线l 斜率存在，设l ：y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，(列出方程) ∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.∴FM ―→·FN ―→＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝－94－11＋k 2.(转化为函数) ∵k 2≥0，∴0<11＋k 2≤1，∴3≤4－11＋k 2<4， ∴－3≤FM ―→·FN ―→<－94.综上所述，FM ―→·FN ―→的取值范围为⎣⎡⎦⎤－3，－94. 【类题通法】本题利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a ，b 的方程，求出a ，b 值，再求FM ―→·FN ―→的范围时转化为关于k 的函数，利用函数性质求解．【对点训练】1．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED ―→＝6DF ―→，则k 的值为________．【答案】23或38【解析】依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2. 由ED ―→＝6DF ―→知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2 .由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k. 所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.2．已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于不同的两点A ，B ，问：是否存在k ，使以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点F .【解析】F 的坐标为(1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1＋1)，y 2＝k (x 2＋1)，当k ＝0时，l 与C 只有一个交点不合题意，因此k ≠0. 将y ＝k (x ＋1)代入y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0，① 依题意，x 1，x 2是①的不相等的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(k 2－2)2－4k 4>0， ②x 1＋x 2＝2(2－k 2)k2，x 1x 2＝1.以AB 为直径的圆过F ⇔AF ⊥BF ⇔k AF ·k BF ＝－1 ⇔y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1⇔x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1＝0⇔x 1x 2＋k (x 1＋1)(x 2＋1)－(x 1＋x 2)＋1＝0 ⇔(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，③把x 1＋x 2＝2(2－k 2)k 2，x 1x 2＝1代入③得2k 2－1＝0，解得k ＝±22， 经检验k ＝±22适合②式，综上所述，k ＝±22为所求．五、函数与方程思想在立体几何中的应用立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.【例5】 (2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 【解析】(1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8. 因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积 V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)； 正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ， 则0＜h ＜6，O1O ＝4h .连接O 1B 1. 因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36， 即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0＜h ＜6，(转化为函数)从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)． 令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)．当0＜h ＜23时，V ′＞0，V 是单调增函数；当23＜h ＜6时，V ′＜0，V 是单调减函数．故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值．因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．【类题通法】(1)本题第(2)问利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a ，h 的方程，再由公式把体积V 表示成关于高h 的函数，最后利用导数求解．(2)立体几何及其实际应用问题中的最优化问题，一般是利用函数的思想解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值．【对点训练】1．(2017·湖南五市十校联考)圆锥的母线长为L ，过顶点的最大截面的面积为12L 2，则圆锥底面半径与母线长的比r L的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎣⎡⎭⎫12，1 C ．⎝⎛⎦⎤0，22 D ．⎣⎡⎭⎫22，1 【答案】D【解析】设圆锥的高为h ，轴截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S ＝12×2r ×h ＝12L 2sin θ≤12L 2，sin θ≤1，当截面为等腰直角三角形时取最大值，故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90°，得L >r ≥L cos 45°＝22L ，所以22≤r L <1. 2．(2017·福州质检)在三棱锥A -BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB ＝23，∠BDC ＝90°，二面角A -BC -D 的大小为150°，则三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为( )A ．7πB ．12πC ．16πD ．28π【答案】D【解析】满足题意的三棱锥A -BCD 如图所示，设三棱锥A -BCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，△BCD ，△ABC 的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，易知O ，O 1，O 2在同一平面内，由二面角A -BC -D 的大小为150°，易得∠OO 1O 2＝150°－90°＝60°.依题意，可得△BCD ，△ABC 的外接圆的半径分别为r 1＝BC 2＝232＝3，r 2＝232sin 60°＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ R 2＝OO 21＋r 21，R 2＝OO 22＋r 22，sin ∠OO 1O 2＝OO 2OO 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ R 2＝OO 21＋3，R 2＝OO 22＋4，OO 2＝32OO 1，解得R ＝7，所以三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为4πR 2＝28π.3．平面内边长为a 的正三角形ABC ，直线DE ∥BC ，交AB ，AC 于D ，E ，现将△ABC 沿DE 折成60°的二面角，求DE 在何位置时，折起后A 到BC 的距离最短，最短距离是多少？【解析】如图，点A 沿DE 折起到A ′，过A 作AG ⊥BC 于G ，交DE 于F ，连接A ′F ，A ′G ，因为△ABC 为正三角形，又DE ∥BC ，所以AG ⊥DE .又G ，F分别为BC ，DE 的中点，所以DE ⊥平面A ′FG ，BC ⊥平面A ′FG ，所以∠A ′FG 是二面角的平面角．由题知∠A ′FG ＝60°，所以A ′G 为所求，在△A ′FG 中，设FG ＝x ，则A ′F ＝32a －x . 由余弦定理，得A ′G 2＝A ′F 2＋FG 2－2A ′F ·FG ·cos 60°＝⎝⎛⎭⎫32a －x 2＋x 2－2×⎝⎛⎭⎫32a －x ·x ·cos 60° ＝3⎝⎛⎭⎫x －34a 2＋316a 2， 所以当x ＝34a 时，(A ′G )min ＝34a ， 即DE 恰为△ABC 中位线时，折起后A 到BC 的距离最短，最短距离为34a ．。