位置随动系统建模与分析

课程设计任务书题 目: 位置随动系统建模与分析 初始条件：图示为一位置随动系统，放大器增益为Ka ，电桥增益2K ε=,测速电机增益0.15t k =V.s ，Ra=7.5Ω，La=14.25mH ，J=0.006kg.m 2，C e =Cm=0.4N.m/A,f=0.2N.m.s,减速比i=0.1要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、 求出系统各部分传递函数，画出系统结构图、信号流图，并求出闭环传递函数；2、 当Ka 由0到∞变化时，用Matlab 画出其根轨迹。

3、 Ka ＝10时，用Matla 画求出此时的单位阶跃响应曲线、求出超调量、超调时间、调节时间及稳态误差。

4、 求出阻尼比为0.7时的Ka ，求出各种性能指标与前面的结果进行对比分析。

时间安排：指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日位置随动系统建模与分析1 位置随动系统的建模1.1 系统总体分析1.1.1 系统概述随动控制系统又名伺服控制系统。

其参考输入是变化规律未知的任意时间函数。

随动控制系统的任务是使被控量按同样规律变化并与输入信号的误差保持在规定范围内。

这种系统在军事上应用最为普遍.如导弹发射架控制系统，雷达天线控制系统等。

其特点是输入为未知。

伺服驱动系统（Servo System）简称伺服系统，是一种以机械位置或角度作为控制对象的自动控制系统，例如数控机床等。

使用在伺服系统中的驱动电机要求具有响应速度快、定位准确、转动惯量较大等特点，这类专用的电机称为伺服电机。

当然，其基本工作原理和普通的交直流电机没有什么不同。

该类电机的专用驱动单元称为伺服驱动单元，有时简称为伺服，一般其内部包括电流、速度和/或位置闭环。

1.1.2 系统基本原理分析首先输入角度和输出角度通过圆形电位器将角位移量转换为电压量，通过两个电位器构成的电桥进行比较产生角度电压误差，这个角度电压误差反映了输入角度与输出角度的角度误差，测速发电机的输出电压与伺服电机的角速度ω成正比，测速发电机产生的电压与角度电压误差通过比较产生电压误差，将这个电压误差送给放大器，经过放大器放大之后用来驱动伺服电机。

伺服电机的输出角度还要经过减速箱进行转速变换之后才是最终的输出角度。

1.1.2 系统基本原理框图图1-1 系统基本原理框图1.2 各部分传递函数1.2.1 由双电位器构成电桥电位器是一种把线性位移或角位移变换成电压量的装置，在控制系统中一对电位器可以构成误差检测器。

单个电位器的工作原理：单个电位器的电刷角位移与输出电压是线性正比关系。

因此与负载共轴的电位器的输出电压可以表示为：u c (t )=K εθc (t)而输入角度的对应的电位器的输出电压表示为： u r (t )=K εθr (t)可以推导出电桥输出电压的表达式为：u θ(t )=u r (t )−u c (t )=K ε[θr (t )−θc (t )] 对其求拉氏变换可得电桥输出电压的表达式为：U θ(s )=K ε[Θr (s )−Θc (s )]故电桥部分的结构图如图所示：图1-2电桥部分结构框图1.2.2 测速发电机部分测速发电机的输出电压Ut 与转速ω成正比，即有Ut =Kt ω,其中Kt 是测速发电机比例系数。

图中的电机联轴与输出电机的转轴相连，通过联轴连接之后可以保证测速电机的角转速与电机输出电机的轴上的角速度相同。

由直流电机相应的知识可以知道输出电压是正比于电机的转速的，因而可以得到相应的表达式如下：u t (t )=K t ωm (t )=K t d θm (t)dt其中t k 是输出电压与输出角速度的比值为一常数，()t ω为电机角速度即为输出轴的角速度，()t θ为输出轴的角度，同样进行laplace 变换可以得到表达式U t (s )=K t Ωm (s )=K t sΘm (s )其中Ωm(s)为角速度的拉氏变换，Θm(s)为角位移的拉氏变换。

所以测速发电机部分的结构图如图：图1-3 测速发电机部分结构框图1.2.3 放大器部分由于放大器部分仅仅是对输入进行放大，因此放大器的输出电压与输入电压是成正比的，所以有：u a(t)=K a u(t)对上述表达式进行laplace变换可以得到：U a(s)=K a U(s)结构图如图1.3.3所示图1-4 放大器部分结构框图1.2.4 伺服电机部分电枢控制电流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t),再由电枢电流与励磁磁通相互作用产生电磁转矩Mm(t),从而拖动负载运动，因此直流电动机的运动方程可由一下三部分组成：电枢回路电压平衡方程：+R a i a(t)+E a（2-1）u a (t)=L a di a(t)dt表达式中E a是电枢反电动势，它是电枢旋转时产生的反电动势，其大小与励磁磁通与转速成正比，方向与电枢电压u a (t)相反，即E a=C eωm(t), （2-2）电磁转矩方程：M m(t)=C m i a(t)（2-3）表达式中C m是电动机转矩系数。

电动机轴上的转矩平衡方程+f mωm(t)=M m(t)（2-4）J m dωm(t)dt表达式中f m是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数，J m是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。

由表达式（2-3）、（2-4）可以得到： i a (t)=1C mJ mdωm (t)dt+1C mf m ωm (t )(2-5)将(2-5)带入表达式（2-1） u a (t )=L a [ 1C mJ md 2ωm (t )dt 2+1C mf mdωm (t )dt]+R a [1C mJ mdωm (t )dt+1C m f m ωm(t ) ]+C e ωm (t)(2-6)对(2-6)进行laplace 变换可得：U a (s )C m =L a J m [s 2Ωm (s )]+(L a f m +R a J m )*s*ωm (s )+(R a f m +C e C m ) Ωm (s ) (2-7)整理得Ωm (s )U a (s )=C m(J m s+f m )(L a s+R a )+C e C m(2-8)在工业应用中，由于电枢电路电感La 较小，通常忽略不计，因此（2-8）可以简化为Ωm (s )U a(s )=C m(Jm s+f m )R a +C e C m所以伺服电机部分的结构图如图所示：图1-5 伺服电机部分结构框图1.2.5 减速箱因为减速比i=0.1，而减速比的定义为减速机构中瞬时输入转速与输出转速的比值。

ωm (t )=1i θm (t)对其进行laplace 变换可以得到:Ωm (s )=1iΘm (s )减速箱部分的结构图如图所示：图1-6 减速箱部分结构图1.31.3.1系统结构图通过对系统各部分的工作原理进行分析综合，可以画出系统的结构图：图1-7 系统结构图将参数值代入系统的结构图：图1-8带入数据后的系统结构图对系统的结构图进行简化可以得到：图1-9 简化后的系统结构图1.3.2 系统的信号流图由系统结构图来绘制系统的信号流图，在结构图中，由于传递的信号标记在信号线上，方框则是对变量进行变换和运算的算子。

因此，从系统结构图绘制信号流图时，只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，便得到节点；用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得到支路，于是结构图也就变换为相应的信号流图了。

对本系统的系统结构图进行变换可得：G1=KεG2= K aG3=C m(J m s+f m)R a+C e C mG4=1sG5=1iH1=−K tH2=−1图1-10 系统的信号流图2 用MATLAB来绘制系统的根轨迹根轨迹简称根迹，它是开环系统某一个参数从0变到无穷大时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。

根轨迹的根本任务是如何由已知的开环零极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出系统的闭环极点。

2.1 计算机来绘制系统的根轨迹系统开环传递函数为：G(s)=8K a0.045s2+(1.66+0.06K a)s闭环传递函数：Φ(s)=8K a0.045s2+(1.66+0.06K a)s+8K a由于分母中含有Ka,所以需要先求出其等效的开环传递函数。

G′(s)=Ka(0.06s+8)(0.045s2+1.66s)下面使用MATLAB软件绘制其根轨迹：主要使用到的函数有：[r,k]=rlocus(num,den) 其作用是绘制0k=→∞部分的根轨迹。

系统会自动确定坐标轴的分度值。

[num,den]=zp2tf(z,p,k) 其作用是将传递函数的零、极点形式转换成有理分式的传递函数。

绘制根轨迹的程序如下所示：z=[(-8/0.06)]; %开环传递函数零点p=[0,(-1.66/0.045)]; %开环传递函数极点k=[1]; %开环传递函数增益sys=zpk(z,p,k) %零极点形式表达并显示[num,den]=zp2tf(z,p,k); %将零极点形式转换为有理分式形式G=tf(num,den) %有理分式形式表达并显示rlocus(num,den) %绘制根轨迹图2-1 使用MATLAB绘制的系统的根轨迹系统的开环传递函数为：G′(s)=Ka(0.06s+8)(0.045s2+1.66s)2.2 手工绘制系统的根轨迹2.2.1根轨迹的起始点和终止点根轨迹起于开环极点，终于开环零点，实轴上的某一区域，若其右方开环零极点个数之和为奇数，则该段区域必然是根轨迹。

系统开环极点为： p=0,-36.89系统的开环零点为：z=-133.33开环极点数n=2开环零点数m=1所以根轨迹的分支数=max(n,m)=2确定实轴上的根轨迹分布：为[-∞，-133.33]，[-36.89，0]2.2.2 根轨迹的渐近线渐近线的个数为：n-m=1渐近线与实轴的交角为：φa=(2k+1)πn−m=π（k=0,1,···，n−m−1）渐近线与实轴的交点σa =∑p ini=1−∑z jmj=1n−m=96.442.2.3 根轨迹的分离点和分离角两条根轨迹相遇，其分离点坐标由∑1d−z jm j=1=∑1d−p in i=1确定，分离角等于(2k+1)πl=π2 ，3π2求解分离点：1d+133.33=1d +1d+36.89解该方程可得：d 1=−247,d 2=−202.2.4 根轨迹起始角与终止角的确定根轨迹的起始角度与终止角度均为 π。

由此可以绘制出该开环传递函数的根轨迹：图2-2 手工绘制的系统的根轨迹手工绘制的曲线与使用MATLAB 软件绘制的曲线完全一致2.3 通过根轨迹对系统性能进行定性分析当开环增益从零变到无穷时，根轨迹不会越过虚轴进入右半s 平面，因此，该系统对所有的K 值都是稳定的。