【5月天一大联考(海南)高三四模数学】2020年天一大联考海南省高三年级第四次模拟考试数学试卷含答案
海南省天一大联考2020届高三年级第四次模拟数学试题
0.0490
16
0.0470
0.0520
0.0580
0.0600
0.0630
18
0.0590
0.0650
0.0720
0.0760
0.0790
20
0.0720
0.0800
0.0880
0.0920
0.0970
22
0.0860
0.0960
0.1060
0.1110
0.1160
24
0.1020
0.1140
0.1250
f
(x) =
x3 ， a
=
f
log2
3 4
，
b
=
f
log4
4 5
，
c
=
f
log2
2 3
，则
a
，
b
，
c
的大小关系为
（）
A. c < b < a
B. a < b < c
C. c < a < b
D. a < c < b
8.已知双曲线
C
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1( a
> 0,b
> 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，点 M
B. 10 个季度中，汽车产能利用率的中位数为 78.75% C. 2018 年 4 个季度的汽车产能利用率的平均数为 79.9%
D. 与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是 2019 年第 4 季度
10.对于
2x
−
1 x2
6
的展开式，下列说法正确的是（
天一大联考2020届高三阶段性测试(四) 数学(文) 含答案
1(a
b 0) 的四个顶点依次连接可得到一个边长为2
3 ，面积为6
3
的菱形。 (I)求椭圆E的方程；。
2b2
(II)设直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝ 相切，且交椭圆E于两点M，N，当|MN|取得最大值
3
时，求m2＋k2的值。 (二)选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
(I)从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在[40，60)且未使用手机支付的概率； (II)为鼓励顾客使用手机支付，该超市拟对使用手机支付的顾客赠送1个环保购物袋，若某日该 超市预计有8000人购物，估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋。 18.(12分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中c＝4 3 ，sin2C＋2 3 sin2C＝2 3 ，C
绝密★启用前 天一大联考
2019－2020学年高中毕业班阶段性测试(四) 文科数学
考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.设集合M＝{x|log2x<0}，N＝{x|x≥－1}，则M∪N＝ A.{x|－1≤x<1} B.{x|x≥－1} C.{x|x<1} D.{x|0≤x<1} 2.若复数z满足i·z＝1－i，则|z|＝
海南省天一大联考2020届高三年级第四次模拟数学试题(解析版)
所以 ，所以 .故选：C
【点睛】本题主要考查了利用幂函数的单调性比较大小，属于中档题.
8.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 为 的右支上一点，且 ， ，则双曲线 的离心率的最小值为（）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【分析】
设 ， ， ，由 ，得出 ，由双曲线的定义以及离心率公式得出 ，最后余弦函数的性质得出双曲线 的离心率的最小值.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
由题意可得阴影部分表示 ，求出集合 后计算 可得答案.
【详解】解：由题意可得阴影部分表示 ,
【详解】设 ， ，
因为 ，且 ，所以 ，则
所以
所以 .
因为 ，所以当 时， 取得最大值
所以 ，所以双曲线 的离心率的最小值为 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质和离心率，涉及了三角函数的性质，属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
4.已知向量 ， ， ，则实数 的值为（）
A. 1B. C. D. -1
【答案】C
【分析】求出向量 的坐标，由 ，根据向量数量积的坐标表示，即求实数 的值.
【详解】 .
，
解得 .故选： .
【点睛】本题考查向量的坐标运算及数量积的坐标表示，属于基础题.
天一大联考2020年高三四联理数试题及答案
2019-2020 学年高中毕业班阶段性测试（四）理科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{})2ln(,0)4()1(x y x N x x x M -==≥--=，则N M I =（ ）A.)2,1( B.]2,1[ C.]1-，（∞ D.]4,2(2.复数z 满足i z i 2121-=+，则z 的共轭复数z =（） A.i 43+- B.i 43-- C.i 5453+- D.i 54533.已知两个平面βα，，直线R l ⊂，则“β∥l ”是“βα∥”的（） A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.4)21(-+x x 展开式中的常数项为（） A.11 B.11 C.70 D.705.已知正实数c b a ,,满足2log ,log )41(,log )21(333===c b a b n ，则（ ） A.c b a << B.a b c << C.a c b << D.ba c <<6.已知向量b a ,的夹角为135322==，且b a λ+与b a垂直，则λ=（ ） A.1514 B.65 C.32 D.617.设不等式组⎩⎨⎧+-+x x x ，表示的平面区域为D ，命题p ：点（2,1）在区域D 内，命题q ：点（1,1）在区域D 内.则下列命题中，真命题是（ ）A.q p ∨⌝)(B.)(q p ⌝∨ C.)()(q p ⌝∧⌝ D.q p ∧8.函数x x x x f -+-=333)(的图象大致是（ ） A B C D9.已知21F F ，为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x E ：的左、右焦点，点M 为E 右支上一点.若1MF 恰好被y 轴平分，且ο3021=∠F MF ，则E 的渐近线方程为（） A.x y 22±= B.x y 2±= C.x y 3±= D.xy 2±=10.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)()1(4*2N n a S n n ∈+=，则8765a a a a +++=（ ）A.24B.48C.64D.7211.已知斜率为k （k>0）的直线l 过抛物线x y 42=的焦点，且与圆2)1()2(22=+++y x 相切.若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则AB =（） A.24 B.34 C.8 D.1212.定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)(x f '，若)(2)(x f x f <'，则不等式)23()(84+>--x f e x f e x 的解集是（） A.),21(+∞- B.)21,(-∞ C.)1,21(- D.)21,1(-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校高三年级一次模拟考试的数学测试成绩满足正态分布X ～),100(2σN ，若已知47.0)10070(=≤<X P ，则从该校高三年级任选一名学生，其数学测试成绩大于130分的概率为. 14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)3(32,1122≥=+=--n S S S a n n n ，则5a =. 15.已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，下列说法正确的有 .（写出所有正确说法的序号）①)(x f 的图象关于点)0,6(π-对称；②)(x f 的图象关于直线125π-=x 对称； ③)(x f 的图象可由x x y 2cos 2sin 3-=的图象向左平移2π个单位长度得到； ④方程03)(=+x f 在]0,2[π-上有两个不相等的实数根.16.已知正三棱锥P-ABC 的四个顶点都在半径为3的球面上，则该三棱锥体积最大时，底面边长AB= .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中C C C c ,32sin 322sin ,342=+=为锐角.（1）若4=a ，求角B ；（2）若A B sin 2sin =，求△ABC 的面积.18.（12分）某班级有60名学生，学号分别为1～60，其中男生35人，女生25人.为了了解学生的体质情况，甲、乙两人对全班最近一次体育测试的成绩分别进行了随机抽样.其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样，他们得到各12人的样本数据如下所示，并规定体育成绩大于或等于80人为优秀.甲抽取的样本数据：女抽取的样本数据：（Ⅰ）在乙抽取的样本中任取4人，记这4人中体育成绩优秀的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据，判断是否有95%的把握认为体育成绩是否为优秀和性别有关； （Ⅲ）判断甲、乙各用的何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优，说明理由. 附:))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=19.（12分） 已知直三棱柱111C B A ABC -中，E AA BC AC AB ,322,21====是BC 中点，F 是E A 1上一点，EF E A 41=. （Ⅰ）证明：⊥AF 平面BC A 1；（Ⅱ）求二面角11B E A C 的余弦值.20.（12分）已知椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x E ：的四个顶点依次连接可得到一个边长为32，面积为36的菱形.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线m kx y l +=：与圆32222b y x O =+：相切，且交椭圆E 于两点M ，N ，当MN 取得最大值时，求22k m +的值.21.（12分）已知函数x e x x f )1()(2-=.（Ⅰ）设曲线)(x f y =与x 轴正半轴交于点)0,(0x ，求曲线在该点处的切线方程；（Ⅱ）设方程)0()(>=m m x f 有两个实数根21,x x ，求证：)211(221em x x +-<-（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 224112（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2)3cos(=-πθρ（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求△OMN 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数14)(,1)(+-=-+-=x x g x a x x f（Ⅰ）当2=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式)()(x g x f ≤的解集包含]1,0[，求a 的取值范围.。
2020届海南省天一大联考高三年级第四次模拟数学试题(解析版)
天一大联考2019—2020学年海南省高三年级第四次模拟考试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|14A x N x =∈-<<，{}0,1,4,9B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.{}0,1,2B.{}1C.{}1,2D.{}0,1【答案】D 【分析】由题意可得阴影部分表示A B I，求出集合A 后计算A B I 可得答案.【详解】解：由题意可得阴影部分表示A B I ,可得：{}0,1,2,3A =，{}0,1,4,9B =，∴{}0,1A B =I ，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，由题意得出阴影部分表示A B I 是解题的关键，相对简单.2.复数()21i -的虚部为（ ） A. -1 B. -2 C. i - D.2i -【答案】B 【分析】将原式子展开，求出复数的实部与虚部可得答案. 【详解】解：∵()22112=2i i i i -=-+-，∴复数的虚部为-2， 故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算和复数的基本概念，考查学生的计算能力，属于基础题型. 3.“[1,1]x ∀∈-，||x a <恒成立”的充要条件是（ ） A. 1a > B. 0a >C. 2a >D. 1a =【答案】A【分析】根据已知可得max ||1x =，只需a 大于max ||x 即可，再根据充分条件和必要条件判断即可. 【详解】因为[1,1]x ∀∈-，||x a <恒成立，故只需max ||ax >即可，因为[1,1]x ∈-，所以max ||1x =，所以1a >.反过来也成立， 故充要条件为1a >. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，同时考查恒成立的处理方法，属于基础题.4.已知向量()2,a m =-r ，()1,2b =r ，()1122a ab ⋅+=r r r ，则实数m 的值为（ ）A. 1B. 12 C. 12- D. -1【答案】C 【分析】求出向量2a b +r r的坐标，由()1122a ab ⋅+=r r r ，根据向量数量积的坐标表示，即求实数m 的值. 【详解】()()()2,,1,2,23,22a m b a b m =-=∴+=-+r r r rQ .()()()()11112,232222a a b m m ⋅+=∴-⨯-+⨯+=r r r Q ，解得12m =-.故选：C .【点睛】本题考查向量的坐标运算及数量积的坐标表示，属于基础题.5.若函数1()sin 22f x x x =+在[]2,πα上单调递增，则α的最大值为（ ）A. 3πB.52πC.73π D.136π【答案】D 【分析】由三角恒等变换化简函数解析式，求出正弦函数的单调增区间，即可得出α的最大值. 【详解】由题意可得()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令22,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得52266k x k k Z ππππ-≤≤+∈，，令1k =，得71366x ππ≤≤，所以α的最大值为136π. 故选：D【点睛】本题主要考查了利用正弦型函数的单调性求参数的范围，属于中档题.6.某校图书馆最近购买了6本不同的数学课外书，其中2本适合小学生，2本适合初中生，2本适合高中生.一位老师随机借阅了其中3本，则这3本书恰好分别适合小学生、初中生、高中生阅读的概率为（ ） A.15B.25C.815D.35【答案】B 【分析】6本不同书中借阅3本有36=20C 种方法，其中3本书恰好分别适合小学生、初中生、高中生阅读的结果数为111222=8C C C ，然后利用古典概率的计算公式可求得结果.【详解】解：根据题意，从6本书中借阅3本的结果数为36C ，这3本书恰好分别适合小学生、初中生、高中生阅读的结果数为111222C C C ，所以所求概率为1112223625C C C P C ==. 故选：B 【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7.已知函数()3f x x =，23log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，44log 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.c b a << B.a b c << C.c a b <<D. a c b <<【答案】C 【分析】由对数的运算性质得出124244log log 55⎛⎫= ⎪⎝⎭，比较1223,,4534⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小，结合幂函数的性质得出()f x 的单调性，利用单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】1224224log 445log log 5log 45⎛⎫== ⎪⎝⎭，4949165<<，所以12233445⎛⎫ ⎪⎝⎭<< 因为()f x 在(,)-∞+∞上单调递增所以224234log log log 345<<，所以c a b <<. 故选：C【点睛】本题主要考查了利用幂函数的单调性比较大小，属于中档题.8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 为C 的右支上一点，且12MF MF ⊥，21MF ≥，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ）A.B.1C. 3D.1【答案】B 【分析】设12MF F θ∠=，12cos MF c θ=，22sin MF c θ=，由21MF ≥，得出,64ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由双曲线的定义以及离心率公式得出11cos sin 4c e a πθθθ===-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后余弦函数的性质得出双曲线C 的离心率的最小值.【详解】设12MF F θ∠=，12cos MF c θ=，22sin MF c θ=因为21MF ≥，且21MF MF <，所以tan 13θ≤<，则,64ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 所以122cos 2sin 2MF MF c c a θθ-=-=所以11cos sin 4c e a πθθθ===-⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为51242πππθ≤+<，所以当6πθ=时，4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以1e ≥，所以双曲线C1.故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的性质和离心率，涉及了三角函数的性质，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.产能利用率是工业总产出对生产设备的比率，反映了实际生产能力到底有多少在运转发挥生产作用.汽车制造业的产能利用率的正常值区间为79%~83%，称为“安全线”.如图是2017年第3季度到2019年第4季度的中国汽车制造业的产能利用率的统计图.以下结论正确的是（ ）A. 10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度有5个B. 10个季度中，汽车产能利用率的中位数为78.75%C. 2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为79.9%D. 与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2019年第4季度 【答案】AC 【分析】由统计图可知，产能利用率低于“安全线”的季度为图表中的后5个季度，可知A 正确；对这10个数据从小到大（或从大到小）排列后求第5个和第6个的平均数可得其中位数；利用平均数的定义直接求平均数，由图可知汽车产能利用率变化最大的是2018年第1季度 【详解】10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度为2018年第4季度到2019年第4季度， 共5个季度，A 正确；10个季度中，汽车产能利用率的中位数为79.6%78.5%79.05%2+=，B 错误；由图可知，2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为80.7%81.4%79.6%77.9%79.9%4+++=，C 正确；与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2018年第1季度，与上一季度相差2.9%， 而2019年第4季度与上一季度相差2.4%，D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查统计中中位数、平均数等相关知识，考查学生识图能力，数据分析能力，是一道容易题.10.对于6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项B. 展开式中的常数项是-240C. 展开式中各项系数之和为1D. 展开式中的二项式系数之和为64【答案】CD 【分析】A 项，二项式()na b +的展开式共有1n +项；B 项，求出6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项1r T +，令x 的指数为0，求出r ，代入1r T +，即得常数项；C 项，令1x =，代入6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即得展开式中各项系数之和；D 项，二项式()na b +的展开式中的二项式系数之和为2n .【详解】6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式共有7项，故A 错误；6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为666316621(2)(1)2rr r r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令630,2r r -=\=，展开式中的常数项为2426(1)2240C -=，故B 错误；令1x =，则展开式中各项系数之和为()62111⨯-=，故C 正确；6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的二项式系数之和为6264=，故D 正确. 故选：CD .【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题. 11.已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）A. n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B. {}n a 为递增数列C.{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D. 12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=【答案】BD 【分析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可求出12n n a n +=⋅，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于111222n nn n a n n +++⋅==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的 等比数列，故A 错误；因为11422n n na n-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确； 因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅L ，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅L ，所以231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅L ()22212212nn n +-=-⋅-，故2(1)24n n S n +=-⨯+，故C 错误；因为111222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22nn n n n T ++==， 故D 正确. 故选：BD 【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 12.已知抛物线C ：()220ypx p =>的准线经过点()1,1M -，过C 的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则下列结论正确的是（ ） A. 2p =B.AB DE +的最小值为16C. 四边形ADBE 的面积的最小值为64D. 若直线1l 的斜率为2，则90AMB ∠=︒【答案】ABD 【分析】由准线的概念可得p ，设直线1l 的斜率为()0kk ≠得直线1l 的方程，与抛物线方程联立方程组消元后，应用韦达定理得1212,x x x x +，由抛物线焦点弦长公式可得AB ，直线2l 斜率为1k-，同理可得CD ，利用基本不等式可判断B ，C ，计算MA MB ⋅u u u r u u u r，代入1212,x x x x +可判断D ． 【详解】 由题可知12p=，所以2p =，故A 正确. 设直线1l 的斜率为()0kk ≠，则直线2l 的斜率为1k-.设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，直线1l ：()1y k x =-，直线2l ：()11y x k=--.联立 24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k ++=， 121=x x .所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+. 同理223421242441k DE x x p k k ⨯+=++=+=+， 从而2218416AB DE k k ⎛⎫+=++≥⎪⎝⎭，当且仅当1k =±时等号成立，故B 正确. 因为()22118112ADBE S AB DE k k ⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭四边形3232≥=，当且仅当1k =±时等号成立，故C 错误.()()11221,11,1MA MB x y x y ⋅=+-⋅+-u u u v u u u v()1212121211x x x x y y y y =++++-++，将123x x +=，121=x x 与122y y +=，124y y =-代入上式，得0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以90AMB ∠=︒，故D 正确.故选：ABD ．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的焦点弦长，掌握抛物线的焦点弦长公式是解题关键．抛物线22(0)y px p =>的焦点弦AB 的两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，则12AB x x p =++．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+ 设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 14.已知42παβ=-，3cos 5α=，则sin 2β=______. 【答案】35【分析】 由42παβ=-，得出22πβα=-，所以sin 2sin 2πβα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式进行化简，即可得出答案. 【详解】解：由题可知，42παβ=-，则22πβα=-，∴3sin 2sin cos 25πβαα⎛⎫=-==⎪⎝⎭.故答案为：35. 【点睛】本题考查运用诱导公式进行化简求值，属于基础题.15.海南盛产各种名贵树木，如紫檀、黄花梨等.在实际测量单根原木材体积时，可以检量木材的实际长度（检尺长）和小头直径（检尺径），再通过国家公布的原木材积表直接查询得到，原木材积表的部分数据如下所示：若小李购买了两根紫檀原木，一根检尺长为2m ，检尺径为10cm ，另一根检尺长为2.5m ，检尺径为20cm ，根据上表，可知两根原木的材积之和为______3m . 【答案】0.111 【分析】由图表找到对应的数据，直接求和即可.【详解】根据图表，检尺长为2m ，检尺径为10cm 的原木的材积为30.019m ，检尺长为2.5m ，检尺径为20cm 的原木的材积为30.092m ，则材积之和为30.111m . 故答案为：0.111【点睛】此题考查了学生由统计表处理数据的能力，属于基础题.16.一个封闭的正方体容器的外接球的表面积为212m ，则其棱长为______m ；若该容器里面有34m 的水，将该容器任意旋转，当容器里水面的高度最大时，水面对应的平面图形的周长为______m . 【答案】 (1). 2 (2). 【分析】设该容器的外接球的半径为R .由外接球的表面积，可求出R .又正方体的体对角线的长为其外接球的直径，可求其棱长.正方体容器旋转的新位置的最大高度为正方体的体对角线的长，故容器里的水面平行于水平面，且水面过正方体的体对角线的中点.，即求水面对应的平面图形的周长.【详解】设该容器的外接球的半径为R . 由题意，2412R ππ=，∴R =.设正方体的棱长为a .2a =∴=.∴正方体的体积为8，水的体积是正方体体积的一半.又正方体容器旋转的新位置的最大高度为正方体的体对角线的长，∴容器里水面的最大高度为正方体的体对角线长的一半，且容器里的水面平行于水平面. 设正方体为1111ABCD A B C D -，O 为1BD中点.把点B 放在水平面上，且1BD 垂直于水平面.分别取1AA ，1CC ，11A B ，11B C的中点G ，H ，E 和F .可证1⊥BD EF ，1BD GE ⊥，进而可证1BD ⊥平面GEFH ， ∴平面GEFH 即为水面所在的位置.将平面GEFH 延展，与正方体的各个面相交，可得水面对应的平面图形为正六边形，边长为，∴水面对应的平面图形的周长为故答案为：2；【点睛】本题考查几何体的外接球及空间几何体的截面，考查学生的空间想象能力，属于中档题. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =.设F 为线段AC 上一点，CF ，有下列条件：①2c =；②b =222a b c +-=.请从以上三个条件中任选两个，求CBF ∠的大小和ABF V 的面积. 【答案】4CBF π∠=；ABF V 的面积为1【分析】若选①②，则2a c ==，b =23ABC π∠=，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和得出6A C π==，再根据正弦定理求出4CBF π∠=，通过三角形内角和关系求得ABF AFB ∠=∠，则2AF AB ==，最后利用三角形面积公式即可求出ABF V 的面积；若选②③，2a =，b =222a b c +=，可求得2c =，根据余弦定理即可求出6C π=，三角形的内角和得出6A C π==，再根据正弦定理求出4CBF π∠=，通过三角形内角和关系求得ABF AFB ∠=∠，则2AF AB ==，最后利用三角形面积公式即可求出ABF V 的面积；若选①③，则2a c ==，222a b c +-=，由余弦定理可求出6C π=，由a c =，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和得出6A C π==，由三角形内角和关系得出23ABC A C ππ∠=--=，再根据正弦定理求出4CBF π∠=，通过三角形内角和关系求得ABF AFB ∠=∠，则2AF AB ==，最后利用三角形面积公式即可求出ABF V 的面积. 【详解】（解法一）选①②，则2a c ==，b =由余弦定理可得：2221cos 22a cb ABC ac +-∠==-，又()0,ABC π∠∈，∴23ABC π∠=， ∴6A C π==，在BCF V 中，由正弦定理可得sin sin CF BFCBF C =∠，∵CF =，∴sin CBF ∠=， 又23CBF ABC π∠<∠=，∴4CBF π∠=，∴253412ABF πππ∠=-=，5512612AFB ππππ∠=--=， 则在ABF V 中，ABF AFB ∠=∠，∴2AFAB ==，∴122sin 126ABF S π=⨯⨯⨯=△.（解法二）选②③，∵2a =，b =222a b c +-=， ∴2c =，由余弦定理可得：222cos 22a b c C ab +-==， 又()0,C π∈，∴6C π=，∴6A C π==，∴23ABC A C ππ∠=--=， 在BCF V 中，由正弦定理可得sin sin CF BFCBF C=∠，∵CF =，∴sin CBF ∠=. 又23CBF CBA π∠<∠=，∴4CBF π∠=， ∴253412ABF πππ∠=-=，5512612AFB ππππ∠=--=， 则在ABF V 中，ABF AFB ∠=∠，∴2AFAB ==，∴122sin 126ABF S π=⨯⨯⨯=△.（解法三）选①③，则2a c ==，222a b c +=，则：222a b c +-=，由余弦定理可得：222cos 22a b c C ab +-==， 又()0,C π∈，∴6C π=， ∵a c =，∴6A C π==，∴23ABC A C ππ∠=--=， 在BCF V 中，由正弦定理可得sin sin CF BFCBF C =∠，∵CF =，∴sin 2CBF ∠=， 又23CBF CBA π∠<∠=，∴4CBF π∠=， ∴253412ABF πππ∠=-=，5512612AFB ππππ∠=--=， 则在ABF V 中，ABF AFB ∠=∠，∴2AFAB ==，∴122sin 126ABF S π=⨯⨯⨯=△. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形和三角形的面积公式，还涉及三角形的内角和以及等腰三角形的性质，考查运算能力. 18.已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2nSn n =+，在等比数列{}n a 中，11a b =，48a b =.（1）求{}n b 与{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 中去掉{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求{}n c 的前20项和.【答案】（1）2nn a =；2n b n =（2）588【分析】 （1）利用11,1,2nnn S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n b 的通项公式.由18,b b 求得14,a a ，由此求出数列{}n a 的公比，进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）先判断出()()12201225125c c c b b b a a a +++=+++-+++LL L ，结合等差数列前n 项和公式以及等比数列前n 项和公式，求得{}n c 的前20项和.【详解】（1）∵2n S n n =+，∴当2n ≥且*n N ∈时12n n n b S S n -=-=. 又112b S ==也符合上式，∴2n b n =. ∵112a b ==，4816a b ==， ∴等比数列{}n a 的公比为2，∴2nn a =.（2）∵12a =，24a =，38a =，416a =，532a =，2550b =，∴()()12201225125c c c b b b a a a +++=+++-+++LL L()12525222S =-+++L()52212252512-=+--65062588=-=.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式与前n 项和，属于基础题.19.近几年，中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植和销售红玫瑰和白玫瑰.该农户从去年的销售数据中随机抽取了红玫瑰10天的销量数据如下（单位：枝）： 615，575，625，590，600，600，570，615，580，630. （1）求这10天红玫瑰销量的平均数x 和方差2s ； （2）若这个大棚红玫瑰的日销量X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ可分别用（1）中的x 和2s 代替，白玫瑰的日销量Y 服从正态分布()2280,40N ，又已知红玫瑰的售价为2元/枝，白玫瑰的售价为4元/枝，预计今年哪种玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多. 【答案】（1）x =600=，2s =400.（2）预计今年白玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式，计算出平均数和方差. （2）由（1）求得()2~600,20X N ，首先求得,X Y 的范围，然后根据正态分布的对称性以及3σ原理，判断出(640)(320)P X P Y ><>. 【详解】（1）由条件可知，1(615575625590600600570615580630)10x =+++++++++ 600=，()222222222115252510003015203010s =+++++++++ 400=.（2）由（1）可知()2~600,20X N .若红玫瑰的日销售额超过1280元，则需640600220X >=+⨯. 若白玫瑰的日销售额超过1280元，则需320280140Y>=+⨯.根据正态分布的特征可知(640)(320)P X P Y ><>，即白玫瑰的日销售额超过1280元的概率更大，故预计今年白玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多. 【点睛】本题考查样本的数字特征和正态分布，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAP BAD ∠=∠=︒，E 是棱BC 的中点，2AF FP =u u u r u u u r .（1）证明：//PC 平面DEF ； （2）设O 是线段AB 的中点，且PO ⊥平面ABCD ，求二面角F DE A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）53737【分析】 （1）连接AC ，交DE 于点G ，连接FG ，通过证明//PC FG ，证得//PC 平面DEF .（2）建立空间直角坐标系，通过平面DFE 和平面AED 的法向量，计算出二面角F DE A --的余弦值. 【详解】 （1）如图，连接AC ，交DE 于点G ，连接FG .易知~AGD CGE △△，所以2AG ADGC EC==. 由2AF FP =u u u r u u u r可得2AFFP=， 所以//PC FG .又FG ⊂平面DEF ，PC ⊄平面DEF ，所以//PC 平面DEF . （2）因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO AB ⊥，又O 是线段AB 的中点，所以PA PB =.因为60BAP BAD ∠=∠=︒，故ABP △，ABD △均是等边三角形. 连接OD ，易知PO OD ⊥，⊥OD AB . 如图，以O 为原点，OA u u u r ，OD uuu r ，OP uuur 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.不妨设2AB =，则()1,0,0A ，()3,0D ，(3P ，()1,0,0B -，1233F ⎛ ⎝⎭. 由AD BC =u u u r u u u r，得()3,0C -，所以BC的中点33,,022E⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以33,,022DE⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u r，123,3,33DF⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r.设平面DFE的一个法向量为()1111,,n x y z=u r，则11DF nDE n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u vu u u v u v，即111111233033322x y zx y⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩.得方程组的一组解为1111353xyz⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，即1531,3,n⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u r.又平面AED的一个法向量为()20,0,1n=u u r，所以12121253537325133cos,n nn nn n⋅=⋅==++u r u u ru r u u ru r u u r.所以二面角F DE A--的余弦值为53737.【点睛】本题考查线面位置关系及二面角的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.已知函数()()lnf x x x ax a R=-∈.（1）讨论()f x在()1,+∞上的单调性；（2）当1a=时，求()()cosF x f x x=+在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的零点个数.【答案】（1）当1a≤时，()f x在()1,+∞上单调递增；当1a>时，()f x在()11,a e-上单调递减，在()1,ae-+∞上单调递增（2）有1个零点【分析】 （1）求得()f x 的导函数()'f x ，对a 分成1a ≤和1a >两种情况，分类讨论()f x 的单调性.（2）当1a =时，利用()F x 的二阶导数判断出一阶导数()'F x 的单调性，结合零点存在性定理求得()'F x 的零点，由此判断出()F x 的单调区间，再结合零点存在性定理，判断出()F x 在区间上的零点个数.【详解】 （1）因为()ln f x x x ax =-，所以()'ln 1f x x a =+-.因为()1,x ∈+∞，所以ln 0x >.①当10a -≥，即1a ≤时，()'0f x >，所以()f x 在()1,+∞上单调递增.②当10a -<，即1a >时，令()'ln 10f x x a =+-=，得1a x e -=.当()11,a x e -∈时，0ln 1x a <<-，所以()'0f x <， 当()1,a x e -∈+∞时，ln 1x a >-，所以()'0f x >，所以()f x 在()11,a e -上单调递减，在()1,a e -+∞上单调递增.综上所述，当1a ≤时，()f x 在()1,+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在()11,a e -上单调递减，在()1,a e -+∞上单调递增. （2）当1a =时，()ln cos F x x x x x =-+，则()'ln sin F x x x =-.设()ln sin hx x x =-，则()1'cos h x x x=-. 当3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1'cos 0h x x x =->，所以()'F x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 因为33'1ln 022F ππ⎛⎫=+>⎪⎝⎭，'ln 1022F ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在03,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0'0F x =， 且在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上()F'0x <，()F x 单调递减，在03,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上()'0F x >，()F x 单调递增. 所以()0Fx 为()F x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值.又因为333ln 10222F πππ⎛⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ln 10222F πππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()Fx 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有1个零点. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的零点，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22.已知点O 为坐标原点，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，P 为椭圆C 上一点，椭圆C 上异于P 的两点A ，B 满足AFO BFO ∠=∠，当PF 垂直于x 轴时，32PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线PA ，PB 分别与x 轴交于点(),0M m ，(),0N n ，问：mn 的值是否为定值？若是，请求出mn的值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）是定值；4mn =【分析】（1）根据已知条件得到2,b c a的值，结合222a b c =+求得22,a b ，由此求得椭圆C 的标准方程.（2）根据对称性设出,A B 的坐标，设出P 点的坐标，根据PA PM k k =求得mn 的表达式，化简后求得4mn =为定值.【详解】（1）设椭圆半焦距为c，根据题意可得1c =.当PF 重直于x 轴时，232b PF a ==.因为222a b c =+，由此解得24a =，23b =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由AFO BFO ∠=∠，可得A ，B 关于x 轴对称. 设()11,Ax y ，()11,B x y -，()00,P x y ，易知10x x ≠，10y y ≠，0x m ≠.∵PA PM k k =，∴100100y y y x x x m-=--.∴()100010x x y x m y y --=-，∴()100011001010x x y x y x y m x y y y y --=-=--. 同理，得011010x y x y n y y +=+.∴222201100110011022101010x y x y x y x y x y x y mn y y y y y y -+-=⋅=-+-. 又2200143x y +=，2211143x y +=，∴2200413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2211413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴2222011022220110222210104141334y y y y x y x y mn y y y y ⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--，为定值. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.。
2020届天一大联考高三毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届天一大联考高三毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合()(){}140M x x x =--≥，(){}ln 2N x y x ==-，则M N =（）A ．()1,2B ．[]1,2C ．(],1-∞D ．(]2,4答案：C首先求出集合M 、N ，再根据交集的定义计算可得； 解： 解：由题意，集合()(){}{}14041M x x x x x x =--≥=≥≤或，(){}{}ln 22N x y x x x ==-=<，所以{}(]1,1M N x x ⋂=≤=-∞．故选：C 点评：本题主要考查了集合的运算、不等式的解法和函数的定义域，考查了推理与运算能力，属于基础题． 2．复数z 满足1212ii z+=-，则z 的共轭复数z =（） A ．34i -+ B ．34i --C ．3455i -+ D ．3455i -- 答案：D根据复数代数形式的除法运算求出复数z ，从而求出z 的共轭复数； 解：解：由1212ii z+=-，得()()()()1212123412121255i i i z i i i i +++===-+--+，所以3455z i =--． 故选：D 点评：本题主要考查了复数的共轭复数的概念、复数的运算法则，考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“//l β”是“//αβ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B利用定义法直接判断即可. 解：若l α⊂，//l β不能推出//αβ，因为α与β可能相交；反过来，若l α⊂，//αβ，则l 与β无公共点，根据线面平行的定义，知//l β. 所以“//l β”是“//αβ”的必要不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查充分条件、必要条件的应用，在判断充分条件、必要条件时，有如下三种方法：1.定义法，2.等价法，3.集合间的包含关系法.4．412x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（） A ．11- B ．11C ．70D ．70-答案：C将412x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭变形为()841x x-，写出()81x -展开式的通项()8181r r r r T C x -+=-，令840r --=求出r ，从而求出二项式展开式的通项. 解：解：()844112x x x x -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，又()81x -展开式的通项()8181r r rr T C x -+=-，取840r --=，得4r =，常数项为()448C 170⨯-=．故选：C 点评：本题考查了二项式定理，考查转化思想，属于中档题.5．已知正实数a ，b ，c 满足31log 2a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 4bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log 2c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<答案：B在同一坐标系里画出12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =的图象，即可得到1a b >>，再根据对数的性质可得1c <，从而得解； 解：解：在平面直角坐标系里画出12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =的图象，可得1a b >>．而3log 21c =<，故c b a <<．故选：B点评：本题考查通过指数函数与对数函数的图象的交点判断数值的大小，考查数形结合思想，属于中档题． 6．已知向量a ，b 的夹角为135°，22a =，3b =，且a λb +与a b -垂直，则λ=（） A ．1415B ．56C ．23D ．16答案：A首先求出a b ⋅，再根据a λb +与a b -垂直，得到()()0a b a b λ+⋅-=，即可得到方程，从而求出参数的值； 解： 解：由22a =，3b =，a，b的夹角为135°，得cos ,223cos1206a b a b a b ︒⋅=⋅=⨯⨯=-．由a λb +与a b -垂直，得()()()()22186190a b a b a a b b λλλλλ+⋅-=+-⋅-=---=，解得1415λ=． 故选：A 点评：本题考查了向量的数量积运算．向量垂直的充要条件．考查学生的数学运算能力，属于基础题.7．设不等式组21022020x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域为D ，命题p ：点()2,1在区域D 内，命题q ：点()1,1在区域D 内．则下列命题中，真命题是（） A ．()p q ⌝∨ B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∧答案：A首先作出不等式组表示的平面区域，从而判断命题p 、q 的真假，再根据复合命题的真值表判断可得； 解：解：作出不等式组表示的平面区域D 如下所示，可知点()2,1不在区域D 内，所以命题p 为假命题，p ⌝为真命题，点()1,1在区域D 内，所以命题q 为真命题，命题()p q ⌝∨为真命题.故选：A 点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域，以及复合命题的真假判定，考查学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8．函数()333x xxf x --=+的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．答案：D首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据0x >时函数值的正负情况确定函数图象； 解： 解：()333x x x f x --=+的定义域为R ．又因为()()()333x xx f x f x ----==-+，且()00f =，所以()f x 为R 上的奇函数，即函数图象关于原点对称，故A ，B 排除．当0x >时()f x 的分子为负数，分母为正数，故()0f x <．排除C 项． 故选：D ． 点评：本题考查函数的图象与性质，考查识别图象的方法——排除法，属于基础题．9．已知1F ，2F 为双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，点M 为E 右支上一点．若1MF 恰好被y 轴平分，且1230MF F ∠=，则E 的渐近线方程为（） A ．2y x = B ．2y x = C ．3y x =D ．2y x =±答案：B依题意可得2MF 垂直于x 轴，在12Rt MF F 中，由1230MF F ∠=︒，且122MF MF a -=，即可求出22MF a =，1232F F a =，再根据222b c a =-，从而求出双曲线的渐近线方程；解：解：由1MF 恰好被y 轴平分，得2MF 垂直于x 轴， 在12Rt MF F 中，1230MF F ∠=︒，122MF MF =， 又122MF MF a -=，得到22MF a =，12222F F c a ===，即c =，得b ==，故渐近线方程为y =． 故选：B. 点评：本题考查了双曲线的方程和性质、渐近线方程，考查数学运算能力，属于中档题． 10．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()2*41n n S a n N =+∈，则5678aa a a +++=（）A ．24B ．48C ．64D ．72答案：B由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到2211220n n n n a a a a -----=，从而得到{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，求出数列的通项公式，再根据等差数列的下标和性质计算可得； 解：解：因为()()2*41n n S a n N =+∈所以当1n =时，由()211114a S a +==，得11a =，当2n ≥时，()()221141,41,n n n n S a S a --⎧=+⎪⎨=+⎪⎩得()()221411n n n a a a -=+--， ∴2211220n n n n a a a a -----=，()()1120n n n n a a a a --+--=．∵0n a >，∴12n n a a --=．∴{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-，则()567867248a a a a a a +++=+=． 故选：B 点评：本题考查数列递推公式，等差数列的通项公式等知识，考查数学运算能力，属于中档题.11．已知斜率为()0k k >的直线l 过抛物线24y x =的焦点，且与圆()()22212x y +++=相切．若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则AB =（） A． B．C ．8 D ．12答案：C依题意可得直线l 的方程为()()10y k x k =->，由于直线l 与圆()()22212x y +++=相切，则圆心到直线的距离等于半径得到方程求出参数k ，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，最后根据弦长公式计算可得； 解：解：抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，直线l 的方程为()()10y k x k =->，即kx y k 0--=． 由于直线l 与圆()()22212x y +++=相切，所以d ==1k =，所以l 的方程为1y x =-，与抛物线24y x =联立，得2610x x -+=，所以126x x +=，121=x x ，所以8AB ===．故选：C 点评：本题考查直线与圆、抛物线位置关系的综合应用，考查数学运算能力，属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2f x f x '<，则不等式()()4832x e f x e f x -->+的解集是（）A ．1(,)2-+∞ B ．1(,)2-∞C ．1(,1)2-D ．1(1,)2-答案：A 令()()2xf xg x e=，利用导数说明()g x 的单调性，将()()4832xe f x e f x -->+的解集等价于()()32g x g x ->+的解集，最后根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，从而解得； 解：解：因为()()2f x f x '<，所以()()2220xxe f x e f x '-<．令()()2xf xg x e=．则()()()()222220x x x e f x e f x g x e '-'=<，所以()g x 在R 上单调递减，又()()2xf xg x e ---=，()()643231x f x g x e+++=，所以()()4832xe f x e f x -->+的解集等价于()()32g x g x ->+的解集，所以有32x x -<+．即12x >-． 故选：A 点评：本题考查导数的应用，考查构造函数分析解决不等式问题的能力，属于中档题． 二、填空题13．某校高三年级一次模拟考试的数学测试成绩满足正态分布2(100,)XN σ，若已知()701000.47P X <≤=，则从该校高三年级任选一名学生，其数学测试成绩大于130分的概率为______． 答案：0.03根据正态分布的性质计算可得； 解： 解：因为()2100,XN σ，()701000.47P X <≤=．所以()()()170130127010010.941300.03222P X P X P X -<≤-<≤->====．故答案为：0.03 点评：本题主要考查正态分布中求指定区间的概率问题，考查正态分布的特征，属于基础题．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21a =，()21233n n n S S S n --+=≥，则5a =______． 答案：8由2123n n n S S S --+=，1n n n a S S -=-，得()1122n n n n S S S S ----=-，即12n n a a -=，再根据3522a a =⨯计算可得；解：解：由2123n n n S S S --+=，得()1122n n n n S S S S ----=-．所以12n n a a -=，即()123nn a na -=≥，所以33522128a a =⨯=⨯=． 故答案为：8 点评：本题考查数列的递推公式的应用，属于基础题．15．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的有______．（写出所有正确说法的序号） ①()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ②()f x 的图象关于直线512x π=-对称； ③()f x 的图象可由3sin 2cos 2y x x =-的图象向左平移2π个单位长度得到； ④方程()30f x +=在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根．答案：①②④根据函数图象求出函数的解析式，再根据三角形函数的性质一一验证即可； 解：解：由函数的图象可得2A =，124312πππω⋅=-，求得2ω=， 由五点作图法可得23πϕπ⨯+=，求得3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心，故①正确；1252f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，所以直线512x π=-是()f x 图象的对称轴，故②正确；将函数2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数52sin 22sin 2266y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故③不正确； 当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 根据sin y x =在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象可知，方程()0f x =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根．故④正确． 故答案为：①②④ 点评：本题主要考查了三角函数的图象与性质及由三角函数的部分图象求解函数的解析式，属于中档题． 三、解答题16．已知正三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为3的球面上，则该三棱锥体积最大时，底面边长AB =______．答案：设AB AC BC n ===，则2ABC S =△，ABC 外接圆的半径为，则三棱锥的高为3，表示出三棱锥P ABC -的体积，设23n t =，则())3f t =，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，从而得解； 解：解：如图所示，设AB AC BC n ===，则24ABC S n =△，ABC 外接圆的半径为3，则三棱锥的高为3，三棱锥P ABC-的体积为2213333n ⎫⎫=⎪⎪⎪⎪⎭⎭，设23n t =，则()()393f t tt =-+．所以()393429f t t t ⎛⎫'=--+ ⎪-⎝⎭．令()0f t '=，解得8t =，()f t 在()0,8上单调递增，在[]8,9上单调递减，∴()()max 883f t f ==，所以三棱锥P ABC -的体积最大时底面边长32426n t ===．故答案为：26点评：本题考查球体的内接三棱锥最大体积的求法，综合性强，考查了换元法、函数求导方法，考查学生的转化能力、运算能力，属于难题． 17．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中43c =，2sin 223sin 23C C +=，C 为锐角．（1）若4a =，求角B ；（2）若sin 2sin B A =，求ABC 的面积． 答案：（1）2π（2）83（1）根据同角三角函数的基本关系得到C ，再根据正弦定理求出角A ，即可得出角B ； （2）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理求出a ，b ，最后根据面积公式计算可得； 解：解：（1）2sin 223sin 23C C +=，即)2sin 2231sin C C =-，得22sin cos 23C C C =． 由0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0C ≠，所以tan 3C =3C π=．由正弦定理可得4sin sin 3A π=，解得1sin 2A =．又因为a c <，所以6A π=，故362B ππππ=--=．（2）因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =．在ABC 中由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得2248a b ab =+-，解得4a =，8b =，所以11sin 48222ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△ 点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于中档题．18．某班级有60名学生，学号分别为1～60，其中男生35人，女生25人．为了了解学生的体质情况，甲、乙两人对全班最近一次体育测试的成绩分别进行了随机抽样．其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样，他们得到各12人的样本数据如下所示，并规定体育成绩大于或等于80人为优秀．甲抽取的样本数据：女抽取的样本数据：（Ⅰ）在乙抽取的样本中任取4人，记这4人中体育成绩优秀的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据，判断是否有95%的把握认为体育成绩是否为优秀和性别有关；（Ⅲ）判断甲、乙各用的何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优，说明理由．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++答案：（Ⅰ）见解析，3（Ⅱ）有；（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．（Ⅰ）依题意可知随机变量X 服从超几何分布，列出分布列，求出期望； （Ⅱ）列出列联表，计算出卡方，即可判断； （Ⅲ）根据数据特征，选择合适的抽样方法； 解：解：（Ⅰ）在乙抽取的样本中，体育成绩优秀的学生人数为7．X 的可能取值为0，1，2，3，4．()475412C C C k kP X k -==，0,1,2,3,4k =，分布列为1141435770123499993399993EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）由乙抽取的样本数据，得22⨯列联表如下：()22126411 5.182 3.8417557k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为体育成绩是否为优秀与性别有关． （Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．由（Ⅱ）的结论知，体育成绩是否为优秀与性别有关，并且从样本数据能看出体育成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． 点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，独立性检验思想的应用，抽样方法，考查学生的数学运算和分析问题的能力，属于中档题.19．已知直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，1223BC AA ==，E 是BC 中点，F 是1A E 上一点，14A E EF =．（Ⅰ）证明：AF ⊥平面1A BC ； （Ⅱ）求二面角11C A E B --的余弦值． 答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）25． （Ⅰ）通过证明BC AF ⊥，1A E AF ⊥即可得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值； 解：解：（Ⅰ）因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ABC ⊥平面，所以1AA BC ⊥． 因为AB AC =，E 是BC 的中点．所以AE BC ⊥． 又因为1AEAA A =，所以1BC A AE ⊥平面，所以BC AF ⊥．在ABC 中，易得23BAC π∠=，1AE =．在1Rt A AE △中，可得12A E =．所以12EF =． 又因1A EAE EF AE =，所以1AEF A EA △∽△，所以12AFE A AE π∠=∠=，即1A E AF ⊥． 又因为1A EBC E =，1,A E BC ⊂平面1A BC ，所以AF ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）如图所示，以点E 为坐标原点建立空间直角坐标系则()0,0,0E ，(10,3,3B -，(13A -，()1,0,0A -，1344F ⎛- ⎝⎭．所以(10,3,3EB =-，(13EA =-，133,0,44AF ⎛= ⎝⎭． 设平面11B A E 的一个法向量为(),,n x y z =，则11330,30,n EB z n EA x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩取1z =，得()3,1,1n =． 由（Ⅰ）可知平面1CA E 的一个法向量为()3,0,13m AF ==．则25cos ,31131m n m n m n⋅===++⨯+结合图形可得二面角11C A E B --为钝角，故二面角11C A E B --的余弦值为25． 点评：本题考查线面垂直的判定和性质，考查利用空间向量求二面角的余弦值的方法，考查空间想象能力和数学运算能力，属于中档题．20．已知椭圆()2222:10,0x y E a b a b+=>>的四个顶点依次连接可得到一个边长为23（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与圆2222:3b O x y +=相切，且交椭圆E 于两点M ，N ，当MN 取得最大值时，求22m k +的值．答案：（Ⅰ）22193x y +=（Ⅱ）135（Ⅰ）依题意可得221212222a b a b ab ⎧+=⎪⎨⨯⨯==⎪⎩（Ⅱ）因为直线:l y kx m =+与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径得到()2221m k=+，联立直线与曲线方程，消元，设()11,M x y ，()22,N x y ，列出韦达定理，利用韦达定理得到12MN x x =-=MN 的最大值，即可求出22m k +的值； 解：解：（Ⅰ）由题意得2212,12222a b a b ab ⎧+=⎪⎨⨯⨯==⎪⎩解得3a =，b =所以椭圆E 的方程为22193x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆22:2O x y +=． 因为直线y kx m =+与圆22:2O x y +=相切，=()2221m k =+．联立方程组221,93,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()()222136330k x kmx m +++-=． 所以()2212930k m∆=+->．设()11,M x y ，()22,N x y ，所以122613km x x k +=-+，()21223313m x x k-=+．由弦长公式得12MN x x =-==．将()2221m k=+代入得MN ==()()22222712132k kk +++≤=+， 当且仅当222271k k +=+，即215k =时等号成立．所以MN ．此时2212113555m k +=+=． 点评：本题考查求椭圆的标准方程，直线与圆、椭圆的位置关系，求弦长，考查学生的运算能力，属于中档题．21．已知函数()2()1xf x xe =-．（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴交于点()0,0x ，求曲线在该点处的切线方程； （Ⅱ）设方程()()0f x m m =>有两个实数根1x ，2x ，求证：121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭答案：（Ⅰ）()21y e x =--（Ⅱ）见解析（Ⅰ）首先求出函数与x 轴正半轴交于点()0,0x ，求出函数的导函数即可得到()0f x '即切线的斜率，最后利用点斜式求切线方程；（Ⅱ）求出函数的单调区间，不妨设12x x <，则12111x x -<<<<．首先证明：当11x -<<时，()()21e x f x -->，要证121212x x m e ⎛⎫-<-+⎪⎝⎭，只要证1112122m x m e e ⎛⎫--≤-+ ⎪⎝⎭，即证11x m ≥-．又()1211x m x e =-，只要证()121111x x x e ≥--，即证()()1111110x x x e ⎡⎤+⋅-+≥⎣⎦．令()()11x x x e ϕ=-+利用导数研究函数的单调性从而得到()11110xx e -+≥，即可得证；解：解：（Ⅰ）由()()210xf x xe=-=，得1x =±．∴01x =，即函数与x 轴正半轴交于点()1,0，又因为()()212xf x x x e '=--．∴()12f e '=-．()10f =，∴曲线在点()1,0处的切线方程为()21y e x =--．（Ⅱ）令()0f x '=得1x =或1x =--且当1x <-1x >时()0f x '<；当11x --<<时，()0f x '>．∴()f x 的单调递增区间为()11-，单调递减区间为(,1-∞-，)1,+∞．当1x <-或1x >时()0f x <；当11x -<<时，()0f x >．不妨设12x x <，则12111x x -<<<<． 下面证明：当11x -<<时，()()21e x f x -->．当()1,1x ∈-时，()()()()()2211210120xxe xf x x e e x x e e -->⇒--->⇒+-<．易知()()12xg x x e e =+-在()1,1-上单调递增，∴()()10g x g <=，即当11x -<<时，()()21e x f x --<．由()21,,y e x y m ⎧=--⎨=⎩得12m x e =-．记212mx e'=-． 则121221112mx x x x x x x e''-<-=-=--． 要证121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭，只要证1112122m x m e e ⎛⎫--≤-+ ⎪⎝⎭，即证11x m ≥-． 又∵()1211xm x e =-，∴只要证()121111x x x e ≥--，即证()()1111110xx x e ⎡⎤+⋅-+≥⎣⎦．∵111x -<<，即证()11110xx e -+≥．令()()11xx x e ϕ=-+，则()xx xe ϕ'=．当10x -<<时，()0x ϕ'<．()x ϕ为单调递减函数； 当01x <<时，()0x ϕ'>．()x ϕ为单调递增函数． ∴()()00x ϕϕ≥=，∴()11110xx e -+≥．∴121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭．点评：本题考查导数的几何意义以及用导数研究函数性质，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2114x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求OMN 的面积． 答案：（Ⅰ）222y x =-．40x -=．（Ⅱ）12（Ⅰ）消去参数得到曲线C 的普通方程，由cos x ρθ=，sin y ρθ=将极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立直线与曲线方程，消元列出韦达定理，由12142OMNSy y =⨯⨯-计算可得； 解：解：（Ⅰ）由曲线C 的参数方程可得2114x t -=，2212y t = 所以曲线C 的普通方程为222y x =-．由直线l的极坐标方程可得1cos sin 22ρθθ+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得l的直角坐标方程为40x +-=．（Ⅱ）设点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y，由2224y x x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得260y +-=，得12y y +=-126y y =-， 故126y y -===．l 与x 轴交点的直角坐标为()4,0．所以OMN 的面积为12114461222S y y =⨯⨯-=⨯⨯=． 点评：本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查三角形面积求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．23．已知函数()1f x x a x =-+-，()41g x x =-+ （Ⅰ）当2a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]0,1，求a 的取值范围． 答案：（Ⅰ）(][),03,-∞⋃+∞．（Ⅱ）12a -≤≤（Ⅰ）当2a =时，函数()23,1,211,12,23, 2.x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩然后分类讨论计算可得；（Ⅱ）由已知得，当01x ≤≤时()()f x g x ≤，即141x a x x -+-≤-+恒成立，即可得到2x a -≤，从而得到方程组，解得即可；解：解：（Ⅰ）由题意，当2a =时，函数()23,1,211,12,23, 2.x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩当1x ≤时()233f x x =-+≥，解得0x ≤； 当12x <<时，()13f x =≥，无解；21 当2x ≥时，()233f x x =-≥，解得3x ≥．综上所述()3f x ≥的解集为(][),03,-∞⋃+∞．（Ⅱ）由已知得，当01x ≤≤时()()f x g x ≤，即141x a x x -+-≤-+恒成立因为01x ≤≤，所以不等式化为141x a x x -+-≤--，即2x a -≤，得22a x a -≤≤+．则20a -≤且21a +≥，得12a -≤≤．点评：本题主要考查了含绝对值不等式的求解．以及含绝对值不等式的恒成立问题的求解，着重考查了转化思想以及推理与运算能力，属于中档题．。
【名校试题】2020届海南省天一大联考高三年级第四次模拟数学试题(原卷版)
天一大联考2019—2020学年海南省高三年级第四次模拟考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|14A x N x =∈-<<，{}0,1,4,9B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}0,1,2B. {}1C. {}1,2D. {}0,12.复数()21i -的虚部为（ ） A. -1B. -2C. i -D. 2i -3.“[1,1]x ∀∈-，||x a <恒成立”的充要条件是（ ） A. 1a >B. 0a >C. 2a >D. 1a =4.已知向量()2,a m =-r ，()1,2b =r ，()1122a ab ⋅+=r r r ，则实数m 的值为（ ）A. 1B. 12 C. 12- D. -15.若函数13()sin cos 22f x x x =+在[]2,πα上单调递增，则α的最大值为（ ） A. 3πB.52πC.73π D.136π6.某校图书馆最近购买了6本不同的数学课外书，其中2本适合小学生，2本适合初中生，2本适合高中生.一位老师随机借阅了其中3本，则这3本书恰好分别适合小学生、初中生、高中生阅读的概率为（ ）A.15B.25 C.815D.357.已知函数()3f x x =，23log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，44log 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a <<B. a b c <<C. c a b <<D. a c b <<8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 为C 的右支上一点，且12MF MF ⊥，2133MF MF ≥，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ）A.3B.31+C. 3D.51+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.产能利用率是工业总产出对生产设备的比率，反映了实际生产能力到底有多少在运转发挥生产作用.汽车制造业的产能利用率的正常值区间为79%~83%，称为“安全线”.如图是2017年第3季度到2019年第4季度的中国汽车制造业的产能利用率的统计图.以下结论正确的是（ ）A. 10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度有5个B. 10个季度中，汽车产能利用率的中位数为78.75%C. 2018年4个季度汽车产能利用率的平均数为79.9%D. 与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2019年第4季度10.对于6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项B. 展开式中的常数项是-240C. 展开式中各项系数之和为1D. 展开式中的二项式系数之和为6411.已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N++-=∈，则（ ）A. n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B. {}n a 为递增数列C. {}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D. 12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=12.已知抛物线C ：()220y px p =>的准线经过点()1,1M -，过C 的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则下列结论正确的是（ ） A. 2p =B. AB DE +的最小值为16C. 四边形ADBE 的面积的最小值为64D. 若直线1l 的斜率为2，则90AMB ∠=︒三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线21y x x =+在点（1，2）处的切线方程为______________． 14.已知42παβ=-，3cos 5α=，则sin 2β=______.15.海南盛产各种名贵树木，如紫檀、黄花梨等.在实际测量单根原木材体积时，可以检量木材的实际长度（检尺长）和小头直径（检尺径），再通过国家公布的原木材积表直接查询得到，原木材积表的部分数据如下所示：.若小李购买了两根紫檀原木，一根检尺长为2m，检尺径为10cm，另一根检尺长为2.5m，检尺径为20cm，根据上表，可知两根原木的材积之和为______3m.16.一个封闭的正方体容器的外接球的表面积为212mπ，则其棱长为______m；若该容器里面有34m的水，将该容器任意旋转，当容器里水面的高度最大时，水面对应的平面图形的周长为______m.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2a=.设F为线段AC上一点，CF，有下列条件：①2c=；②b=222a b c+=.请从以上三个条件中任选两个，求CBF∠的大小和ABFV的面积.18.已知数列{}n b的前n项和为n S，且2nS n n=+，在等比数列{}n a中，11a b=，48a b=.（1）求{}n b与{}n a的通项公式；（2）若{}n b中去掉{}n a的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c，求{}n c的前20项和.19.近几年，中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植和销售红玫瑰和白玫瑰.该农户从去年的销售数据中随机抽取了红玫瑰10天的销量数据如下（单位：枝）：615，575，625，590，600，600，570，615，580，630.（1）求这10天红玫瑰销量的平均数x和方差2s；（2）若这个大棚红玫瑰的日销量X服从正态分布()2,Nμσ，其中μ，2σ可分别用（1）中的x和2s代替，白玫瑰的日销量Y服从正态分布()2280,40N，又已知红玫瑰的售价为2元/枝，白玫瑰的售价为4元/枝，预计今年哪种玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAP BAD ∠=∠=︒，E 是棱BC 的中点，2AF FP =u u u r u u u r .（1）证明：//PC 平面DEF ；（2）设O 是线段AB 的中点，且PO ⊥平面ABCD ，求二面角F DE A --的余弦值. 21.已知函数()()ln f x x x ax a R =-∈. （1）讨论()f x 在()1,+∞上的单调性； （2）当1a =时，求()()cos F x f x x =+在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的零点个数. 22.已知点O 为坐标原点，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，P 为椭圆C 上一点，椭圆C 上异于P 的两点A ，B 满足AFO BFO ∠=∠，当PF 垂直于x 轴时，32PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线PA ，PB 分别与x 轴交于点(),0M m ，(),0N n ，问：mn 的值是否为定值？若是，请求出mn 的值；若不是，请说明理由.。
2020届天一大联考高三高考全真模拟卷(四)数学(文)试题(解析版)
2020届天一大联考高三高考全真模拟卷（四）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，(){}2lg B x y x x ==-，则A B =（ ）A ．{}()01,+∞ B ．(](),01,-∞+∞ C ．[)0,+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】求函数定义域确定集合,A B ，然后由集合交集定义求解． 【详解】由题意{}0A x x =≥，()(),01,B =-∞+∞.根据交集的定义得()1,A B =+∞.故选：D ． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算.，掌握对数函数性质是解题关键．2．已知复数z 满足()123z i i ⋅+=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．52B ．52-C ．52i D ．52i -【答案】B【解析】由复数除法运算计算出z ，再由复数概念得结论． 【详解】由()123z i i ⋅+=-知2315122i z i i -==--+，故复数z 的虚部为52-. 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的有关概念及复数的运算．对于复数(),z a bi a R b R =+∈∈，复数z 的虚部为b ，不是bi .3．某高中有1300名高一学生，1200名高二学生，1500名高三学生，其性别比例如图所示，则该校女生人数是（ ）A ．1660B ．1960C ．2040D ．2340【答案】A【解析】根据图表中比例分别计算各年级女生人数后相加即得． 【详解】思路点拨女生人数130040%120045%150040%1660n =⨯+⨯+⨯=. 故选：A ． 【点睛】本题考查统计图中的扇形图，属于基础题．4．已知双曲线C ：()222210y x a b a b-=>>的两条渐近线的夹角为23π，则该双曲线C 的离心率e 为（ ） A ．23B 3C 233D ．32【答案】A【解析】由渐近线的夹角得,a b 的关系式，从而可得,a c 的关系式，求得离心率e ． 【详解】由双曲线C ：()222210y x a b a b-=>>的方程，可知渐近线方程为a y x b =±.由0a b >>得tan 33a b π==3a b ，即()222233a b c a==-，所以2234c a =，即2243c a =，所以离心率33e =. 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线和离心率，解题时直接求出,a c 的关系式即可，如果忽略条件中的0a b >>，则导致结果有两种可能，从而错选C.5．执行如图所示的程序框图，若输人的[]1,1x ∈-，则输出的y 的取值范围为（ ）A ．(][),01,e -∞B ．(]1,0,1e ⎡-∞⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)11,0,e⎡⎤⎢-⎥⎦∞⎣-+D ．[][),10,e --+∞【答案】B【解析】由程序框图，确定函数()f x 的解析式，然后可求得值域． 【详解】由程序框图可知，,10,ln ,01x e x y x x ⎧-≤≤=⎨<≤⎩，函数xy e =在区间[]1,0-上单调递增，值域为1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；函数ln y x =在区间(]0,1上也单调递增，值域为(],0-∞，所以当[]1,1x ∈-时，y 的取值范围为(]1,0,1e ⎡-∞⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图及分段函数的值域. 本题可以画出分段函数,10,ln ,01x e x y x x ⎧-≤≤=⎨<≤⎩的图象，借助函数的图象求分段函数的值域.函数的值域为函数图象上所有点的纵坐标组成的集合.分段函数的值域为各段上函数值域的并集.6．已知圆锥的底面半径为2，高为4，有一个半径为1的圆柱内接于此圆锥，则该圆柱的侧面积是（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】D【解析】作出轴截面，在轴截面中由相似三角形可求解． 【详解】如图，设圆柱的高为h ，由题意可得142h =，所以2h =，从而圆柱的侧面积2124S ππ=⨯⨯=侧，故选：D.【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算公式，对旋转体解题时可作出轴截面，在轴截面中计算． 7．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且20190S >，20200S <，则使0n a <成立的最小自然数n 为（ ） A ．1009 B ．1010C ．1011D ．1012【答案】C【解析】由等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=结合等差数列的性质确定项的正负． 【详解】因为20190S >，所以120190a a +>，即101020a >，10100a >.因为20200S <，所以120200a a +<，即101010110a a +<，所以10110a <. 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查等差数列的性质，由等差数列只要确定数列相邻两项一正一负即可得结论．8．设满足约束条件10,20,220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩的变量x ，y 形成的区域为D ，有下列四个命题：1p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≥；2p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≤；. 3p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≥；4p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≤.其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】作出可行域，再作直线30x y ++=，观察此直线与可行域的关系，根据存在命题与全称命题的概念判断． 【详解】思路点拨约束条件10,20,220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域为图中三角形区域，直线30x y ++=经过三角形的一个顶点()2,1--，根据题意可知1p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≥正确，2p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≤正确，可行域均在直线30x y ++=的上方，故3p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≥正确，4p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≤错误，故选：C.【点睛】本题考查线性规划与简易逻辑，解题关键是作出可行域，作出直线30x y ++=，由直线与可行域的关系得出结论．9．2019年9月8日，中华人民共和国第十一届少数民族体育运动会在河南郑州开幕，现从我省曾获得乒乓球奖牌的2男1女三名运动员与获得跳远奖牌的1男2女三名远动员中各选1人作为运动会的火炬手，则选出的2名运动员性别恰好相同的概率是（ ） A ．13B ．49C ．59D ．23【答案】B【解析】把6人编号，然后写出各选1人的所有基本事件，从中可得2人性别相同的基本事件的个数，从而计算出概率． 【详解】由题意，记获得乒乓球奖牌的三名运动员分别为1A ，2A ，1B ， 获得跳远奖牌的三名运动员分别为3A ，2B ，3,B 则从中各选1人的基本事件有：()13,A A ，()12,A B ，()13,A B ，()23,A A ，()22,A B ，()23,A B ，()13,B A ，()12,BB ，()13,B B ，共9个，而2人性别相同的基本事件有：()13,A A ，()23,A A ，()12,B B ，()13,B B ，共4个，故所求的概率为49P =. 故选：B ． 【点睛】考查目标本题考查古典概型的计算．求古典概型概率的关键是求问题中基本事件的总数和子事件所包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法，列表法和树状图法，具体应用则可根据需要灵活选择.10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3A π=，且ABC 的外接ABC 周长的最大值是（ ） A ．12 B ．6C ．10D ．9【答案】D【解析】由正弦定理求出a ，由余弦定理及基本不等式求出b c +的最大值，即得周长最大值． 【详解】由正弦定理2sin sin a b R A B ==，得2sin 3a R A ===.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22221922b c bc b c bc =+-⨯=+-，所以()293b c bc =+-()()2221324b c b c b c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭+≥+-+，6b c +≤，当且仅当3==b c 时等号成立，所以ABC 周长的最大值为369+=. 故选：D ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及均值不等式的应用．属于中档题．11．设曲线()4ln f x x =在点()1,0处的切线上有一动点P ，曲线()232ln g x x x =-.上有一点Q ，则线段PQ 长度的最小值为（ ）A ．17B ．17C ．17D ．17【答案】C【解析】求出曲线()f x 在(1,0)处的切线l 方程，再同曲线()g x 的与直线l 平行的切线方程，两平行线间的距离就是所求的最小值． 【详解】()10f =，()4f x x'=，∴切线斜率()14k f '==，故曲线()f x 在()1,0处的切线方程为440x y --=.又()26g x x x'=-，令264x x -=，则1x =或13x =-（舍去）.又()13g =，故g （x ）在()1,3处的切线方程为410x y --=，与直线440x y --=平行，这两条平行线间的距离为d =PQ .故选：C ． 【点睛】本题考查求一般曲线的切线问题，两条平行线间的距离的应用，考查转化与化归思想．解题关键是把两点间距离的最小值转化为平行线间的距离．12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线1AF 与椭圆的另一个交点为C ，若14ABC BCF S S =△△，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．5C D 【答案】C【解析】由AB x ⊥轴，可得出A 点坐标（不妨设A 在第一象限），由14ABC BCF S S =△△得14AC CF =，从而可表示出C 点坐标，把C 点坐标代入椭圆方程得,,a b c 的关系式，变形后可求得e ． 【详解】因为AB x ⊥轴，所以不妨设2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为14ABC BCF S S =△△，所以14AC CF =，即113AF CF =.因为()1,0F c -，113AF FC =，2(2,)3(,)C C b c x c y a --=+，∴53C c x =-，23C b y a=-， 即25,33c b C a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得222225199c b a a +=，2222259c a c a +-=，223a c =，所以e =故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的定义及基本性质，求离心率，关键是列出关于,,a b c 的等式，本题根据三角形面积关系得出14AC CF =，从而表示出C 点坐标是解题关键．二、填空题13．已知向量()1,a x x =-，3,21b x ⎛=+⎫⎪⎝⎭.若//a b ，则x 的值为__________. 【答案】2或12-【解析】根据向量共线的坐标表示求出x ． 【详解】因为a 与b 共线，所以()32101x x x --⨯=+得2x =或12-.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，属于基础题． 14．已知定义在区间()(),00,-∞+∞上的函数()f x 满足()()0f x f x --=，当0x >时，()ln f x x =，则函数()()g x f x e =-的所有零点的乘积为__________.【答案】1【解析】由解方程的思想求出0x >时，()g x 的零点，在根据偶函数性质得出0x <时的零点，计算乘积即可． 【详解】当0x >时，由()ln f x x =知，()()g x f x e =-的零点有两个，分别为1ex e =和2e x e -=.由题意()()f x f x -=可知函数()f x 为偶函数，所以当0x <时，()g x 还有两个零点，即3e x e =-，4e x e -=-，所以0121e e x x e e e -⋅=⋅==，()()0341eex x e ee-⋅=-⋅-==，从而12341x x x x =.【点睛】标本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点.解题时根据零点定义直接求出零点是解题的基本方法．15．已知函数()sin f x x =与()()()1cos 202g x x ϕϕ=++≤<π的图象有一个横坐标为6π的交点，则()g x 在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为__________.【答案】⎡⎢⎣⎦ 【解析】由交点横坐标得交点坐标，代入()g x 可求得ϕ，再由正弦函数的单调性可求得值域． 【详解】由题意知交点坐标为1,62π⎛⎫⎪⎝⎭，代入()g x 的解析式可以得到11cos 322ϕπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈.因为0ϕπ≤<，所以6π=ϕ，所以()1cos 262g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 的值域为10,2⎡+⎢⎣⎦.故答案为：⎡⎢⎣⎦．【点睛】考查目标本题考查三角函数的图象与性质，求函数值域时，先关注定义域，再判断函数的单调性，从而求得值域.16．四面体ABCD 的四个顶点都在半径为1的球面上，若ABC 为直角三角形，则该四面体体积的最大值为__________. 【答案】3281【解析】ABC 为直角三角形，不妨设斜边BC 是所在截面圆的直径，当且仅当ABC 为等腰直角三角形时，ABC 的面积最大，当D 到平面ABC 的距离最大时，四面体ABCD 体积最大．由此可得解法．BC 中点是1O ，设1OO x =，把体积表示为x 的函数，再由导数的知识求得最大值． 【详解】设过A ，B ，C 三点的平面截已知球O 所得的圆为圆1O ，因为ABC 为直角三角形，不妨设AB AC ⊥，则BC 为圆1O 的直径，设圆1O 的半径为r ，则当且仅当ABC 为等腰直角三角形时，ABC 的面积最大，连接1O O 并延长交球面于一点，若使得四面体ABCD 的体积最大，则该交点应为点D ，1DO 即为四面体ABCD 的高，设1OO x =，则有221x r +=，则()23211111111333333ABC ABCD V S DO r x x x x =⋅≤⨯⨯+=--++△四面体.令()()321111013333f x x x x x =--++≤<， 则()()()2211131333f x x x x x '=--+=-+-， 所以()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当13x =时，()f x 取得最大值，()f x 的最大值为132381f ⎛⎫=⎪⎝⎭. 故答案为：3281． 【点睛】本题考查多面体外接球问题．解题关键是分析出多面体体积最大时，多面体的结构特征．然后引入参数1OO x =，体积可表示为x 的函数，由函数知识求得最大值．三、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且3510a a +=-，105S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令1n n n b a a +=，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项.【答案】（1）317n a n =-（2）12-【解析】（1）由已知条件列出d 与1a 的关系式，求解，得{}n a 的通项公式. （2）由（1）得出{}n b 的通项公式，由通项公式得出满足0n b <时的那一项，即1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由3510a a +=-，105S =-，得112610,10455,a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得114,3,a d =-⎧⎨=⎩ 所以317n a n =-.（2）由1n n n b a a +=，可得()()317314n b n n =--，*n N ∈， 当4n ≤或6n ≥时，0n b >，此时10nb >， 当5n =时，520b =-<，所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭最小项为5112b =-. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，数列中的最值问题．基本量法是解决等差数列通项公式和前n 项和的基本方法．18．在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒且11AB BC CC ===，M 为棱11A C 的中点（1）求证：1AC ⊥平面1B CM ； （2）求三棱锥1A B CM -的体积【答案】（1）证明见解析（2）16【解析】（1）欲证线面垂直，先证线线垂直，证明同一平面内的两条相交直线垂直时，要注意应用平面几何的知识解决.（2）注意应用等体积转化的思想，即求1B MAC -的体积． 【详解】（1）由题意知，1CC ⊥底面111A B C .11CC B M ∴⊥. 又AB BC =，90ABC ∠=︒，2AC ∴=，111A B C ∴∆为等腰直角三角形且11190A B C ∠=︒，112AC ∴=.M 为11A C 的中点，111B M AC ∴⊥.又111CC AC C =，1B M ∴⊥平面11ACC A .1AC ⊂平面11ACC A ，11B M AC ∴⊥.在四边形11ACC A 中，2AC =，11CC =，122C M =，1190ACC CC M ∠=∠=︒， 1ACC ∴△与1CC M △相似，11CMC AC C ∴∠=∠.1190AC M AC C ∴∠+∠=︒，1190CMC AC M ∴∠+∠=︒，1AC CM ∴⊥.又1B M CM M =，1AC ∴⊥平面1B CM .（2）由题意知111111212133226A B CM B ACM ACM V V S B M --==⋅=⨯⨯=△. 【点睛】本题考查立体几何中线面垂直问题的证明，证明时注意线面垂直与线线垂直的相互转化．应用等体积转化求三棱锥的体积19．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 与圆222x y c+=（c 为椭圆的半焦距）在第一象限内的交点为()3,4M .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求1ABF 面积的最大值【答案】（1）2214520x y +=（2）30【解析】（1）由点()3,4M 在圆222x y c +=上，得5c =.再根据椭圆的定义求出a ，然后再求得b ，从而求出椭圆的标准方程.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为5x my =+，与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理，求出12y y -，先求出三角形面积，再利用换元法，构造均值不等式求三角形面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知点()3,4M 在圆上，22234c ∴+=，即5c =，∴两焦点坐标分别为()15,0F -，()25,0F .由122MF MF a +=，得a =222452520b a c =-=-=，故所求椭圆C 的标准方程为2214520x y +=.（1）由题意可设直线AB 的方程为5x my =+，225,49180,x my x y =+⎧⎨+=⎩ 设()11,A x y ，()22,B x y ，可得()224940800m y my ++-=， 则1224049m y y m +=-+，1228049y y m -=-+，12y y -==22245549m m +=+，1121212ABF S F F y y =⋅-=△，令21m t +=，则[)1,t ∈+∞，故有1120512051205305424ABF t S t t t t ⋅==≤=+⨯△， 当且仅当54t t =，即5t =时取等号， 1ABF ∴面积的最大值为30.【点睛】本题考查椭圆的定义及简单的几何性质，应用函数思想，解决三角形面积的最大值问题．合理恰当地设出直线AB 的方程对解决该问题起到化繁为简的作用，直线与椭圆相交问题中设而不求思想方法是基本方法．20．某网站为了解某新闻的传播总人数y （千人）随时间x （小时）的变化情况，统计数据如下：x （小时） 1 2 3 4 5 传播总人数y （千人） 6 12254995（1）试根据以上数据画出散点图，并判断函数y a bx =+与kxy ce =中，哪一个适合作为传播总人数y 关于时间x 的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 与x 的回归方程； （3）若该网站的平均收益M （万元）与x ，y 满足关系69.3ln M y x=+，试求平均收益的最小值. 附：参考数据：z()521ii zz=-∑()()51ii i zz x x =--∑3.1884.8066.930表中ln z y =，5115i i z z ==∑.参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121nii i nii uu v vu u β==--=-∑∑，v u αβ=+.【答案】（1）作图见解析；kxy ce =比较适合（2）0.6931109x y e +=．（3）14.969万元【解析】（1）由表中数据描点即可.根据散点图确定函数kxy ce =更适合． （2）由题中数据计算α，β，代入公式即得回归方程. （3）求出平均收益M 后用均值不等式计算最值． 【详解】（1）题目中所给数据的散点图如图所示，由散点图容易判断方程kxy ce =比较适合.（2）由kxy ce =，两边取对数可得ln ln y kx c =+，即ln z kx c =+.由题意可知，1234535x ++++==，()52110i i x x =-=∑， 1(ln 6ln12ln 25ln 49ln 95) 3.195z =++++=，所以()()()515216.9300.69310ii i ii zz x x x x β==-===--∑∑， 3188069331109α=-⨯=...，所以z 关于x 的回归方程为06931109z x =+..，所以y 关于x 的回归方程为0.6931109x y e +=．.（3）由（2）知网站的平均收益69.369.3ln 06931109 1.10914.969M y x x x =+=++≥+=.．， 当且仅当69.30693x x=.，即10x =时取等号， 故平均收益的最小值为14.969万元. 【点睛】本题考查散点图，求非线性回归方程及其应用．解题根据所给数据和公式计算即可．本题还考查了学生的数据处理能力． 21．已知函数()212xx f x e ae ax =-+有两个极值点. （1）求a 的取值范围；（2）设()f x 的两个极值点分别为1x ，2x ，若不等式()()()1212xx f x f x e eλ+<+恒成立，求λ的最小值.【答案】（1）4a >（2）2ln 23-【解析】（1）求导数．()0f x '=有两个不等实根，换元后转化为一元二次方程有两个不等正根，得a 的取值范围；（2）利用根与系数的关系可以得到12x x e e a +=，12x x e e a ⋅=，先转化炎关于a 的不等式恒成立，最后转化为关于a 的函数求最值. 【详解】 （1）因为()212xx f x e ae ax =-+有两个极值点1x ，2x ， 所以()2xx f x eae a '=-+有两个不同的零点，即方程20t at a -+=（其中0x t e =>）有两个不同的正根，所以240,0,20,a a aa ⎧->⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，所以4a >. （2）由（1）知1x ，2x 是()2xx f x eae a '=-+的两个根，由根与系数的关系得12x x e e a +=，12x x e e a ⋅=，所以12ln x x a +=， 所以()()()()()121222121212x x x x f x f x e e e e x a a x +=+⋅++- ()()()()()1212121212212x x x x x x x x e e e e a e e a x x e e λ-=+-+++<+， 所以221ln 2a a a a a a λ--+<. 因为4a >，所以1ln 12a a λ--<.设()1ln 12g a a a =--，则()1102g a a '=-<， 所以g （a ）在()4,+∞上单调递减，所以()()42ln 23g a g <=-， 故λ的最小值为2ln 23-. 【点睛】本题考查函数极值点的定义以及不等式恒成立问题．考查转化与化归思想，函数有零点极值点，转化方程根的分布问题，不等式恒成立问题转化为求函数的最值．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标.【答案】（1）2cos 24ρθ=-；228x y +=（2）3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，23π⎛⎫ ⎪⎝⎭，34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，35π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由曲线C 的参数方程通过将两个式子两边分别平方再相减可消去参数t ，得到曲线C 的普通方程，再由公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化为极坐标方程即可.对于曲线2C 利用公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩直接化为直角坐标方程即可. （2）把曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的极坐标联立即可求得交点的极坐标. 【详解】（1）由题意，将1x t t =-与1y t t =+-两式平方相减可得224x y -=-.因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以2222cossin 4ρθρθ-=-，即曲线1C 的极坐标方程为2cos 24ρθ=-.将曲线2C的极坐标方程ρ=228x y +=.（2）由题意得2cos 24,ρθρ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，故1cos 22θ=-，所以223πθ=或43π或83π或310π，即3πθ=或23π或43π或53π.所以两曲线交点的极坐标为3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，23π⎛⎫ ⎪⎝⎭，34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，35π⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查两曲线交点的极坐标的求法.．极坐标与直角坐标之间由关系式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩相互转化．23．已知实数a ，b ，c ，均大于零，且满足2a b c ++=. （1）求ab bc ac ++的最大值； （2）求22223a b c ++的最小值. 【答案】（1）43（2）2411【解析】（1）利用基本不等式解决. （2）利用柯西不等式解决. 【详解】（1）因为()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++，又2222222,2,2,a b ab a c ac b c bc ⎧+≥⎪+≥⎨⎪+≥⎩所以222a b c ab bc ac ++≥++， 故有()()23a b c ab bc ca ++≥++，所以()2433a b c ab bc ac ++++≤=，当且仅当“a b c ==”时等号成立，所以ab bc ac ++的最大值为43． （2）由题意，利用柯西不等式可得：()()222211231423ab c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭，所以222242311a b c ++≥，当且仅当“23a b c ==”时等号成立， 所以22223a b c ++的最小值为2411.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查用柯西不等式的应用．掌握基本不等式和柯西不等式是解题基础．。
天一大联考2020届高三阶段性测试(四)数学试题(理)
天一大联考2020届高三阶段性测试（四）（文）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题『答案』后，用铅笔把答题卡对应题目的『答案』标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他『答案』标号。
回答非选择题时，将『答案』写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ＝{x|(x －1)(x －4)≥0}，N ＝{x|y ＝ln(2－x)}，则M∩N ＝A.(1，2)B.[1，2]C.(－∞，1]D.(2，4]2.复数z 满足1212i i z+=-，则z 的共轭复数z ＝ A.－3＋4i B.－3－4i C.3455i -+ D.3455i -- 3.已知两个平面α，β，直线l ⊂α，则“l //β”是“α//β”的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.42)1(x x+-展开式中的常数项为 A.－11 B.11 C.70 D.－70 5.已知正实数a ，b ，c 满足(12)a ＝log 3a ，(14)b ＝log 3b ，c ＝log 32，则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b6.已知向量a ，b 的夹角为135°，|a|＝|b|＝3，且a ＋λb 与a －b 垂直，则λ＝ A.1415 B.56 C.23 D.167.设不等式组21022020x y x y x y +-≥-+≥+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，表示的平面区域为D ，命题p ：点(2，1)在区域D 内，命题q ：点(1，1)在区域D 内。
则下列命题中，真命题是A.(⌝p)∨qB.p ∨(⌝q)C.(⌝p)∧(⌝q)D.p ∧q8.函数f(x)＝333x x x --+的图象大致是9.已知F 1，F 2为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点M 为E 右支上一点。
2020届天一大联考高三高考全真模拟卷（四）数学（文）试题（解析版）
2020届天一大联考高三高考全真模拟卷（四）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，(){}2lg B x y x x ==-，则A B =（ ）A ．{}()01,+∞ B ．(](),01,-∞+∞ C ．[)0,+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】求函数定义域确定集合,A B ，然后由集合交集定义求解． 【详解】由题意{}0A x x =≥，()(),01,B =-∞+∞.根据交集的定义得()1,A B =+∞.故选：D ． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算.，掌握对数函数性质是解题关键．2．已知复数z 满足()123z i i ⋅+=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．52B ．52-C ．52i D ．52i -【答案】B【解析】由复数除法运算计算出z ，再由复数概念得结论． 【详解】由()123z i i ⋅+=-知2315122i z i i -==--+，故复数z 的虚部为52-. 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的有关概念及复数的运算．对于复数(),z a bi a R b R =+∈∈，复数z 的虚部为b ，不是bi .3．某高中有1300名高一学生，1200名高二学生，1500名高三学生，其性别比例如图所示，则该校女生人数是（ ）A ．1660B ．1960C ．2040D ．2340【答案】A【解析】根据图表中比例分别计算各年级女生人数后相加即得． 【详解】思路点拨女生人数130040%120045%150040%1660n =⨯+⨯+⨯=. 故选：A ． 【点睛】本题考查统计图中的扇形图，属于基础题．4．已知双曲线C ：()222210y x a b a b-=>>的两条渐近线的夹角为23π，则该双曲线C的离心率e 为（ ） A ．23B 3C 233D ．32【答案】A【解析】由渐近线的夹角得,a b 的关系式，从而可得,a c 的关系式，求得离心率e ． 【详解】由双曲线C ：()222210y x a b a b-=>>的方程，可知渐近线方程为a y x b =±.由0a b >>得tan 33a b π==所以3a b ，即()222233a b c a ==-，所以2234c a =，即2243c a =，所以离心率33e =. 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线和离心率，解题时直接求出,a c 的关系式即可，如果忽略条件中的0a b >>，则导致结果有两种可能，从而错选C.5．执行如图所示的程序框图，若输人的[]1,1x ∈-，则输出的y 的取值范围为（ ）A ．(][),01,e -∞B ．(]1,0,1e ⎡-∞⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)11,0,e⎡⎤⎢-⎥⎦∞⎣-+D ．[][),10,e --+∞【答案】B【解析】由程序框图，确定函数()f x 的解析式，然后可求得值域． 【详解】由程序框图可知，,10,ln ,01x e x y x x ⎧-≤≤=⎨<≤⎩，函数xy e =在区间[]1,0-上单调递增，值域为1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；函数ln y x =在区间(]0,1上也单调递增，值域为(],0-∞，所以当[]1,1x ∈-时，y 的取值范围为(]1,0,1e ⎡-∞⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图及分段函数的值域. 本题可以画出分段函数,10,ln ,01x e x y x x ⎧-≤≤=⎨<≤⎩的图象，借助函数的图象求分段函数的值域.函数的值域为函数图象上所有点的纵坐标组成的集合.分段函数的值域为各段上函数值域的并集.6．已知圆锥的底面半径为2，高为4，有一个半径为1的圆柱内接于此圆锥，则该圆柱的侧面积是（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D【解析】作出轴截面，在轴截面中由相似三角形可求解． 【详解】如图，设圆柱的高为h ，由题意可得142h =，所以2h =，从而圆柱的侧面积2124S ππ=⨯⨯=侧，故选：D.【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算公式，对旋转体解题时可作出轴截面，在轴截面中计算． 7．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且20190S >，20200S <，则使0n a <成立的最小自然数n 为（ ） A ．1009 B ．1010C ．1011D ．1012【答案】C【解析】由等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=结合等差数列的性质确定项的正负． 【详解】因为20190S >，所以120190a a +>，即101020a >，10100a >.因为20200S <，所以120200a a +<，即101010110a a +<，所以10110a <. 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查等差数列的性质，由等差数列只要确定数列相邻两项一正一负即可得结论．8．设满足约束条件10,20,220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩的变量x ，y 形成的区域为D ，有下列四个命题：1p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≥；2p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≤；. 3p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≥；4p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≤.其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】作出可行域，再作直线30x y ++=，观察此直线与可行域的关系，根据存在命题与全称命题的概念判断． 【详解】思路点拨约束条件10,20,220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域为图中三角形区域，直线30x y ++=经过三角形的一个顶点()2,1--，根据题意可知1p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≥正确，2p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≤正确，可行域均在直线30x y ++=的上方，故3p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≥正确，4p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≤错误，故选：C.【点睛】本题考查线性规划与简易逻辑，解题关键是作出可行域，作出直线30x y ++=，由直线与可行域的关系得出结论．9．2019年9月8日，中华人民共和国第十一届少数民族体育运动会在河南郑州开幕，现从我省曾获得乒乓球奖牌的2男1女三名运动员与获得跳远奖牌的1男2女三名远动员中各选1人作为运动会的火炬手，则选出的2名运动员性别恰好相同的概率是（ ）A ．13B ．49C ．59D ．23【答案】B【解析】把6人编号，然后写出各选1人的所有基本事件，从中可得2人性别相同的基本事件的个数，从而计算出概率． 【详解】由题意，记获得乒乓球奖牌的三名运动员分别为1A ，2A ，1B ， 获得跳远奖牌的三名运动员分别为3A ，2B ，3,B 则从中各选1人的基本事件有：()13,A A ，()12,A B ，()13,A B ，()23,A A ，()22,A B ，()23,A B ，()13,B A ，()12,B B ，()13,B B ，共9个，而2人性别相同的基本事件有：()13,A A ，()23,A A ，()12,B B ，()13,B B ，共4个，故所求的概率为49P =. 故选：B ． 【点睛】考查目标本题考查古典概型的计算．求古典概型概率的关键是求问题中基本事件的总数和子事件所包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法，列表法和树状图法，具体应用则可根据需要灵活选择. 10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3A π=，且ABC 的ABC 周长的最大值是（ ） A ．12 B ．6C ．10D ．9【答案】D【解析】由正弦定理求出a ，由余弦定理及基本不等式求出b c +的最大值，即得周长最大值． 【详解】由正弦定理2sin sin a b R A B ==，得2sin 32a R A ===.由余弦定理2222cos abc bc A =+-，得22221922b c bc b c bc =+-⨯=+-，所以()293b c bc =+-()()2221324b c b c b c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭+≥+-+，6b c +≤，当且仅当3==b c 时等号成立，所以ABC 周长的最大值为369+=.故选：D ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及均值不等式的应用．属于中档题．11．设曲线()4ln f x x =在点()1,0处的切线上有一动点P ，曲线()232ln g x x x =-.上有一点Q ，则线段PQ 长度的最小值为（ ）A ．17B ．17C ．17D ．17【答案】C【解析】求出曲线()f x 在(1,0)处的切线l 方程，再同曲线()g x 的与直线l 平行的切线方程，两平行线间的距离就是所求的最小值． 【详解】()10f =，()4f x x'=，∴切线斜率()14k f '==，故曲线()f x 在()1,0处的切线方程为440x y --=.又()26g x x x'=-，令264x x -=，则1x =或13x =-（舍去）.又()13g =，故g （x ）在()1,3处的切线方程为410x y --=，与直线440x y --=平行，这两条平行线间的距离为d =，故线段PQ 故选：C ． 【点睛】本题考查求一般曲线的切线问题，两条平行线间的距离的应用，考查转化与化归思想．解题关键是把两点间距离的最小值转化为平行线间的距离．12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线1AF 与椭圆的另一个交点为C ，若14ABC BCF S S =△△，则椭圆的离心率为（ ）A B ．5C D 【答案】C【解析】由AB x ⊥轴，可得出A 点坐标（不妨设A 在第一象限），由14ABC BCF S S =△△得14AC CF =，从而可表示出C 点坐标，把C 点坐标代入椭圆方程得,,a b c 的关系式，变形后可求得e ． 【详解】因为AB x ⊥轴，所以不妨设2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为14ABC BCF S S =△△，所以14AC CF =，即113AF CF =.因为()1,0F c -， 113AF FC =，2(2,)3(,)C C b c x c y a --=+，∴53C c x =-，23C b y a=-， 即25,33c b C a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得222225199c b a a +=，2222259c a c a +-=，223a c =，所以e =故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的定义及基本性质，求离心率，关键是列出关于,,a b c 的等式，本题根据三角形面积关系得出14AC CF =，从而表示出C 点坐标是解题关键．二、填空题13．已知向量()1,a x x =-，3,21b x ⎛=+⎫⎪⎝⎭.若//a b ，则x 的值为__________. 【答案】2或12-【解析】根据向量共线的坐标表示求出x ． 【详解】因为a 与b 共线，所以()32101x x x --⨯=+得2x =或12-.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，属于基础题． 14．已知定义在区间()(),00,-∞+∞上的函数()f x 满足()()0f x f x --=，当0x >时，()ln f x x =，则函数()()g x f x e =-的所有零点的乘积为__________.【答案】1【解析】由解方程的思想求出0x >时，()g x 的零点，在根据偶函数性质得出0x <时的零点，计算乘积即可． 【详解】当0x >时，由()ln f x x =知，()()g x f x e =-的零点有两个，分别为1ex e =和2e x e -=.由题意()()f x f x -=可知函数()f x 为偶函数，所以当0x <时，()g x 还有两个零点，即3e x e =-，4ex e -=-，所以0121e e x x e e e -⋅=⋅==，()()0341eex x e ee-⋅=-⋅-==，从而12341x x x x =.【点睛】标本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点.解题时根据零点定义直接求出零点是解题的基本方法．15．已知函数()sin f x x =与()()()1cos 202g x x ϕϕ=++≤<π的图象有一个横坐标为6π的交点，则()g x 在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为__________.【答案】10,2⎡⎢⎣⎦【解析】由交点横坐标得交点坐标，代入()g x 可求得ϕ，再由正弦函数的单调性可求得值域． 【详解】由题意知交点坐标为1,62π⎛⎫⎪⎝⎭，代入()g x 的解析式可以得到11cos 322ϕπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈.因为0ϕπ≤<，所以6π=ϕ，所以()1cos 262g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 的值域为10,2⎡+⎢⎣⎦.故答案为：⎡⎢⎣⎦．【点睛】考查目标本题考查三角函数的图象与性质，求函数值域时，先关注定义域，再判断函数的单调性，从而求得值域.16．四面体ABCD 的四个顶点都在半径为1的球面上，若ABC 为直角三角形，则该四面体体积的最大值为__________. 【答案】3281【解析】ABC 为直角三角形，不妨设斜边BC 是所在截面圆的直径，当且仅当ABC 为等腰直角三角形时，ABC 的面积最大，当D 到平面ABC 的距离最大时，四面体ABCD 体积最大．由此可得解法．BC 中点是1O ，设1OO x =，把体积表示为x 的函数，再由导数的知识求得最大值． 【详解】设过A ，B ，C 三点的平面截已知球O 所得的圆为圆1O ，因为ABC 为直角三角形，不妨设AB AC ⊥，则BC 为圆1O 的直径，设圆1O 的半径为r ，则当且仅当ABC 为等腰直角三角形时，ABC 的面积最大，连接1O O 并延长交球面于一点，若使得四面体ABCD 的体积最大，则该交点应为点D ，1DO 即为四面体ABCD 的高，设1OO x =，则有221x r +=，则()23211111111333333ABC ABCD V S DO r x x x x =⋅≤⨯⨯+=--++△四面体.令()()321111013333f x x x x x =--++≤<， 则()()()2211131333f x x x x x '=--+=-+-， 所以()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当13x =时，()f x 取得最大值，()f x 的最大值为132381f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故答案为：3281． 【点睛】本题考查多面体外接球问题．解题关键是分析出多面体体积最大时，多面体的结构特征．然后引入参数1OO x =，体积可表示为x 的函数，由函数知识求得最大值．三、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且3510a a +=-，105S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令1n n n b a a +=，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项.【答案】（1）317n a n =-（2）12-【解析】（1）由已知条件列出d 与1a 的关系式，求解，得{}n a 的通项公式.（2）由（1）得出{}n b 的通项公式，由通项公式得出满足0n b <时的那一项，即1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由3510a a +=-，105S =-，得112610,10455,a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得114,3,a d =-⎧⎨=⎩ 所以317n a n =-.（2）由1n n n b a a +=，可得()()317314n b n n =--，*n N ∈， 当4n ≤或6n ≥时，0n b >，此时10nb >， 当5n =时，520b =-<，所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭最小项为5112b =-.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，数列中的最值问题．基本量法是解决等差数列通项公式和前n 项和的基本方法．18．在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒且11AB BC CC ===，M 为棱11A C 的中点（1）求证：1AC ⊥平面1B CM ； （2）求三棱锥1A B CM -的体积 【答案】（1）证明见解析（2）16【解析】（1）欲证线面垂直，先证线线垂直，证明同一平面内的两条相交直线垂直时，要注意应用平面几何的知识解决.（2）注意应用等体积转化的思想，即求1B MAC -的体积． 【详解】（1）由题意知，1CC ⊥底面111A B C .11CC B M ∴⊥. 又AB BC =，90ABC ∠=︒，2AC ∴=111A B C ∴∆为等腰直角三角形且11190A B C ∠=︒，112AC ∴=. M 为11A C 的中点，111B M AC ∴⊥.又111CC AC C =，1B M ∴⊥平面11ACC A .1AC ⊂平面11ACC A ，11B M AC ∴⊥.在四边形11ACC A 中，2AC =11CC =，122C M =，1190ACC CC M ∠=∠=︒， 1ACC ∴△与1CC M △相似，11CMC AC C ∴∠=∠.1190AC M AC C ∴∠+∠=︒，1190CMC AC M ∴∠+∠=︒，1AC CM ∴⊥.又1B M CM M =，1AC ∴⊥平面1B CM .（2）由题意知111111212133226A B CM B ACM ACM V V S B M --==⋅=⨯⨯=△. 【点睛】本题考查立体几何中线面垂直问题的证明，证明时注意线面垂直与线线垂直的相互转化．应用等体积转化求三棱锥的体积19．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 与圆222x y c +=（c 为椭圆的半焦距）在第一象限内的交点为()3,4M .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求1ABF 面积的最大值【答案】（1）2214520x y +=（2）30【解析】（1）由点()3,4M 在圆222x y c +=上，得5c =.再根据椭圆的定义求出a ，然后再求得b ，从而求出椭圆的标准方程.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为5x my =+，与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理，求出12y y -，先求出三角形面积，再利用换元法，构造均值不等式求三角形面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知点()3,4M 在圆上，22234c ∴+=，即5c =，∴两焦点坐标分别为()15,0F -，()25,0F .由122MF MF a +=，得35a =，222452520b a c =-=-=，故所求椭圆C 的标准方程为2214520x y +=.（1）由题意可设直线AB 的方程为5x my =+，225,49180,x my x y =+⎧⎨+=⎩ 设()11,A x y ，()22,B x y ，可得()224940800m y my ++-=， 则1224049m y y m +=-+，1228049y y m -=-+，12y y -==22245549m m +=+，1121221249ABF S F F y y m =⋅-=+△，t =，则[)1,t ∈+∞，故有1304ABF S t t ==≤=+△， 当且仅当54t t =，即t = 1ABF ∴面积的最大值为30.【点睛】本题考查椭圆的定义及简单的几何性质，应用函数思想，解决三角形面积的最大值问题．合理恰当地设出直线AB 的方程对解决该问题起到化繁为简的作用，直线与椭圆相交问题中设而不求思想方法是基本方法．20．某网站为了解某新闻的传播总人数y （千人）随时间x （小时）的变化情况，统计数据如下：（1）试根据以上数据画出散点图，并判断函数y a bx =+与kxy ce =中，哪一个适合作为传播总人数y 关于时间x 的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 与x 的回归方程； （3）若该网站的平均收益M （万元）与x ，y 满足关系69.3ln M y x=+，试求平均收益的最小值. 附：参考数据：z()521ii zz=-∑()()51ii i zz x x =--∑3.1884.806 6.930表中ln z y =，5115i i z z ==∑.参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121nii i nii uu v vu u β==--=-∑∑，v u αβ=+.【答案】（1）作图见解析；kxy ce =比较适合（2）0.6931109x y e +=．（3）14.969万元 【解析】（1）由表中数据描点即可.根据散点图确定函数kx y ce =更适合．（2）由题中数据计算α，β，代入公式即得回归方程. （3）求出平均收益M 后用均值不等式计算最值．【详解】（1）题目中所给数据的散点图如图所示，由散点图容易判断方程kxy ce =比较适合.（2）由kxy ce =，两边取对数可得ln ln y kx c =+，即ln z kx c =+.由题意可知，1234535x ++++==，()52110ii x x =-=∑， 1(ln 6ln12ln 25ln 49ln 95) 3.195z =++++=，所以()()()515216.9300.69310ii i i i zz x x x x β==-===--∑∑， 3188069331109α=-⨯=...，所以z 关于x 的回归方程为06931109z x =+..，所以y 关于x 的回归方程为0.6931109x y e +=．. （3）由（2）知网站的平均收益69.369.369.3ln 06931109 1.1092069314.969M y x x x x x=+=++≥+⋅=.．.， 当且仅当69.30693x x=.，即10x =时取等号， 故平均收益的最小值为14.969万元. 【点睛】本题考查散点图，求非线性回归方程及其应用．解题根据所给数据和公式计算即可．本题还考查了学生的数据处理能力． 21．已知函数()212xx f x e ae ax =-+有两个极值点. （1）求a 的取值范围；（2）设()f x 的两个极值点分别为1x ，2x ，若不等式()()()1212xx f x f x e eλ+<+恒成立，求λ的最小值.【答案】（1）4a >（2）2ln 23-【解析】（1）求导数．()0f x '=有两个不等实根，换元后转化为一元二次方程有两个不等正根，得a 的取值范围；（2）利用根与系数的关系可以得到12x x e e a +=，12x x e e a ⋅=，先转化炎关于a 的不等式恒成立，最后转化为关于a 的函数求最值. 【详解】 （1）因为()212xx f x e ae ax =-+有两个极值点1x ，2x ， 所以()2xx f x eae a '=-+有两个不同的零点，即方程20t at a -+=（其中0x t e =>）有两个不同的正根，所以240,0,20,a a aa ⎧->⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，所以4a >. （2）由（1）知1x ，2x 是()2x xf x e ae a '=-+的两个根，由根与系数的关系得12x x e e a +=，12x x e e a ⋅=，所以12ln x x a +=， 所以()()()()()121222121212x x x x f x f x e e e e x a a x +=+⋅++- ()()()()()1212121212212x x x x x x x x e e e e a e e a x x e e λ-=+-+++<+， 所以221ln 2a a a a a a λ--+<. 因为4a >，所以1ln 12a a λ--<. 设()1ln 12g a a a =--，则()1102g a a '=-<， 所以g （a ）在()4,+∞上单调递减，所以()()42ln 23g a g <=-， 故λ的最小值为2ln 23-.【点睛】本题考查函数极值点的定义以及不等式恒成立问题．考查转化与化归思想，函数有零点极值点，转化方程根的分布问题，不等式恒成立问题转化为求函数的最值．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标.【答案】（1）2cos 24ρθ=-；228x y +=（2）3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，23π⎛⎫ ⎪⎝⎭，34π⎛⎫⎪⎝⎭，35π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由曲线C 的参数方程通过将两个式子两边分别平方再相减可消去参数t ，得到曲线C 的普通方程，再由公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化为极坐标方程即可.对于曲线2C 利用公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩直接化为直角坐标方程即可.（2）把曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的极坐标联立即可求得交点的极坐标. 【详解】（1）由题意，将1x t t =-与1y t t=+-两式平方相减可得224x y -=-.因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以2222cos sin 4ρθρθ-=-， 即曲线1C 的极坐标方程为2cos 24ρθ=-.将曲线2C的极坐标方程ρ=228x y +=.（2）由题意得2cos 24,ρθρ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，故1cos 22θ=-，所以223πθ=或43π或83π或310π，即3πθ=或23π或43π或53π.所以两曲线交点的极坐标为3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，23π⎛⎫ ⎪⎝⎭，34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，35π⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查两曲线交点的极坐标的求法.．极坐标与直角坐标之间由关系式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩相互转化．23．已知实数a ，b ，c ，均大于零，且满足2a b c ++=. （1）求ab bc ac ++的最大值； （2）求22223a b c ++的最小值. 【答案】（1）43（2）2411【解析】（1）利用基本不等式解决. （2）利用柯西不等式解决. 【详解】（1）因为()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++，又2222222,2,2,a b ab a c ac b c bc ⎧+≥⎪+≥⎨⎪+≥⎩所以222a b c ab bc ac ++≥++， 故有()()23a b c ab bc ca ++≥++，所以()2433a b c ab bc ac ++++≤=，当且仅当“a b c ==”时等号成立，所以ab bc ac ++的最大值为43． （2）由题意，利用柯西不等式可得：()()222211231423a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭， 所以222242311a b c ++≥，当且仅当“23a b c ==”时等号成立，所以22223a b c ++的最小值为2411. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查用柯西不等式的应用．掌握基本不等式和柯西不等式是解题基础．。