2020_2021学年高二数学上册运用立体几何中的向量方法解决平行问题同步练习pdf含解析

（ 2020-2021 学年高二数学上册同步练习：运用立体几何中的向量方法解决平行问题一、单选题1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段 AB 上一点,且 AC = 2 AB 3,则点C 的坐标为（）A7 1 5375 7 3． ( , - , )B ． ( , -3, 2)C ． ( , -1, -1)D ． ( , - , )22 2 8 【答案】C322 2【解析】设 C 的坐标是（x ，y ，z ）∵A (3,3,-5),B (2,-3,1)，∴ AB =（-1，- 6，6）, AC =（x - 3，y - 3，z + 5）∵AC = 2AB ， 3∴（x - 3，y - 3，z + 5）= 23-1，- 6，6）,由此解得 x = 7, y = -1, z = -1, ，3故选C.2. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中,平面 ACB 1的一个法向量为（）A.BD 1B.DBC ． BA 1D ． BA 1【答案】A【解析】如图所示，由正方体的性质可得：BD 1⊥B 1C ，BD 1⊥AC ． ∴BD 1⊥平面 ACB 1．∴平面 ACB 1 的一个法向量为BD 1 ． 故选A ．3.已知空间四边形ABCD 中,AC=BD,顺次连接各边中点 P,Q,R,S,如图,所得图形是（ ）A ．长方形B ．正方形C ．梯形D ．菱形【答案】D【解析】因为 PQ = BQ - BP = 1 BC - 1 BA = 1AC . 2 2 2同理 SR = 1AC ,所以 PQ = SR ,2所以四边形 PQRS 为平行四边形.又 PS = AS - AP = 1 AD - 1 AB = 1BD , 222所以| PS |= 1| BD |,即 PS= 1BD.2 2又| PQ |= 1| AC |,2 故 PQ= 1AC ,而 AC=BD ,2所以 PS=PQ ,故四边形 ABCD 为菱形. 故选D ．4. 如图，在平行六面体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 M , P ,Q 分别为棱 AB ，CD , BC 中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法：① A 1M ∥ D 1P ；② A 1M ∥ B 1Q ；⎩③ A 1M ∥ 平面 DCC 1D 1 ；④ A 1M ∥ 平面 D 1PQB 1 ， 则以上正确说法的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】连接PM ，因为 M 、P 为 AB 、CD 的中点，故PM 平行且等于AD 。

由题意知 AD 平行且等于A 1D 1 。

故PM 平行且等于 A 1D 1 。

所以 PMA 1D 1 为平行四边形，故①正确。

显然 A 1M 与 B 1Q 为异面直线。

故②错误。

由①知 A 1M ∥ D 1P 。

由于 D 1P 即在平面 DCC 1D 1 内，又在平面 D 1PQB 1 内。

且 A 1M 即不在在平面 DCC 1D 1 内，又不在平面 D 1PQB 1 内。

故③④正确 故选C5. 若 AB =λ CD +μ CE ,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是（）A ．相交B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内.【答案】D【解析】∵ AB =λ C D +μ C E ,∴ AB ,CD ,CE 共面,则 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在平面内. 故选D6．若点 A (a ,0,0),B (0,b ,0),C (0,0,c )，则平面 ABC 的一个法向量为（）A ．(bc ,ac ,ab )B ．(ac ,ab ,bc )C ．(bc ,ab ,ac )D ．(ab ,ac ,bc【答案】A【解析】设法向量为 n=(x ,y ,z ),则 AB ·n=0, AC ·n=0,⎧-ax + by = 0 则⎨-ax + cz = 0 ，所以 n=(bc ,ac ,ab ).故选A7. 在如图所示的坐标系中， ABCD - A 1B 1C 1D 1 为正方体，给出下列结论：①直线 DD 1 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线 BC 1 的一个方向向量为(0,1,1)；③平面 ABB 1 A 1 的一个法向量为(0,1,0)；④平面 B 1CD 的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】DD 1∥AA 1, AA 1 =(0,0,1)，故①正确；BC 1∥AD 1, AD 1 =(0,1,1), 故②正确；直线 AD ⊥平面 ABB 1A 1, AD =(0,1,0). 故③正确；点 C 1 的坐标为(1,1,1), AC 1 与平面 B 1CD 不垂直,故④错. 故选C8．已知空间三点坐标分别为 A （4,1,3），B(2,3,1），C （3,7，-5），又点 P （x,-1,3) 在平面ABC 内，则 x的值（）A ．-4B ．1C ．10D ．11【答案】D【解析】点P ( x , -1, 3) 在平面 ABC 内∴存在实数λ, μ 使得等式 AP = λ AB + μ AC 成立 ∴( x - 4, -2, 0) = λ (-2, 2, -2) + μ (-1, 6, -8)⎨ ⎩⎧x - 4 = -2λ - μ ∴⎪-2 = 2λ + 6μ ⎪0 = -2λ - 8μ 故选D，消去λ，μ 解得 x =119．若平面α ， β 的法向量分别为 a = ⎛ 1, -1, -3⎫，b = (-1, 2, 6) ，则（ ）2 ⎪ ⎝⎭A ．α //βB ．α 与 β 相交但不垂直C ．α ⊥ βD ．α //β 或α 与 β 重合【答案】A【解析】因为平面α ， β 的法向量分别为a = ⎛ 1, -1, -3⎫， b = (-1, 2, 6)2 ⎪ ⎝⎭即 a = -2b ，所以a //b 所以α //β故选A10．若平面α ， β 平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（ ）A ． n 1 = (1, 2,3) ， n 2 = (-3, 2,1) C ． n 1 = (1,1,1) ，n 2 = (-2, 2,1) B ． n 1 = (1, 2, 2) ， n 2 = (-2, 2,1) D ． n 1 = (1,1,1) ， n 2 = (-2, -2, -2)【答案】D【解析】两个平面平行时，其法向量也平行，对于A 选项， 1 ≠ 2 ≠ 3，则n 与 n 不共线，A 选项不合乎题意；-3 2 1 1 2对于B 选项， 1 ≠ 2 ≠ 2，则n 与 n 不共线，B 选项不合乎题意；-2 2 1 1 2对于C 选项， 1 ≠ 1 ≠ 1，则n 与 n 不共线，C 选项不合乎题意；-2 2 1 1 2对于D 选项， 1 = 1 = 1，则n 与 n 共线，D 选项合乎题意.故选D.-2 -2 -2 1 211．已知平面α 内的三点 A (0, 0,1) ， B (0,1, 0) ，C (1, 0, 0) ，平面 β 的一个法向量为n = (-1, -1, -1) ，且β 与α 不重合，则（ ）A．α//βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．以上都不对【答案】A【解析】AB =(0,1, -1)，AC =(1, 0, -1)，n ⋅AB =(-1, -1, -1)⋅(0,1, -1)=-1⨯ 0 +(-1)⨯1+(-1)⨯(-1)= 0 ，n ⋅AC =(-1, -1, -1)⋅(1, 0, -1)=-1⨯1+ 0 +(-1)⋅(-1)= 0 ，∴n ⊥AB ，n ⊥AC ，∴n 也为α的一个法向量，又α与β不重合，因此，α//β.故选A.12.直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA 、OB ，下列关系中能表示l//α的是（）A．a =OAC．a =pOA +λOB B．a =kOB D．以上均不能【答案】D【解析】对于A 选项，a =OA，则l //OA，OA ⊂α，则l//α或l ⊂α；对于B 选项，a =kOB ，则l//OB ，OB ⊂α，则l//α或l ⊂α；对于C 选项，设平面α的法向量为n ，则n ⋅O A = 0 ，n ⋅O B = 0 ，∴n ⋅a =n ⋅(pOA +λOB)= 0 ，∴a ⊥n ，则l//α或l ⊂α.因此，A、B、C 选项都不一定能表示l//α.故选D.二、填空题13．已知直线l 的方向向量v =(2, 1,3)，且过A(0,y,3)和B(-1,-2,z)两点，则y= ，z= .【答案】-3 32 2【解析】∵直线l 的方向向量为v =(2,-1,3)，且直线过A（0，y，3），B（-1，2，z）两点．则AB=（-1,-2-y,z-3）=λ（2,1,3）⎪ 则λ = - 1 ，- 2 - y = - 1 ，z - 3 = - 3 22 2解得： y = - 3．z = 3， 22 故填 y = - 3．z = 3．2 214. 已知平面α 的一个法向量为n = (1, 2, 2), AB = (-2,1, 0) ，则直线 AB 与平面α 的位置关系为.【答案】直线 AB 在平面α 上或直线 AB 与平面α 平行 【解析】由n ⋅ AB = 1⨯(-2)+2⨯1+2⨯ 0 = 0 ，所以n ⊥ AB . 又向量n 为平面α 的一个法向量.所以直线 AB 在平面α 上或直线 AB 与平面α 平行. 故填直线 AB 在平面α 上或直线 AB 与平面α 平行.15. 平面 α 的法向量u =(x ，1，-2)，平面 β 的法向量v = ⎛-1,y ,1 ⎫，已知α∥β，则 x +y = . 2 ⎪15 【答案】4⎝⎭x = 1 =-2【解析】因为 α∥β,所以u ∥v .则 -1 y 1 ,2⎧x = 4, ⎪ 15 即⎨y = ⎩15 故填4- 1 , 故 x+y= 4 . 4 16. 已知平面α 内有一个点 A(2, -1, 2) ，α 的一个法向量为n = (3,1, 2) ，则下列各点中，在平面α 内的是．（把正确的序号都填上）① (1, -1,1) ；② ⎛1, 3, 3 ⎫；③⎛1, -3, 3 ⎫；④⎛-1, 3, - 3 ⎫ .2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝⎭⎝ ⎭⎝⎭【答案】②【解析】设①②③④中的点分别为 B 、C 、 D 、 E .对于①中的点 B (1, -1,1) ， AB = (-1, 0, -1) ， AB ⋅ n = -3 - 2 = -5 ≠ 0 ，则 B ∉α ； 对于②中的点C ⎛1, 3,3 ⎫， AC = ⎛-1, 4, -1 ⎫， AC ⋅ n = -3 + 4 + 2 ⨯⎛ -1 ⎫= 0 ，则C ∈α ；2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎨⎩对于③中的点 D ⎛1, -3,3 ⎫，AD = ⎛-1, -2, -1 ⎫， AD ⋅ n = -3 - 2 -1 ≠ 0 ，则 D ∉α ；2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 对于④中的点 E ⎛ -1, 3, -3 ⎫ ， AE = ⎛ -3, 4, - 7 ⎫， AE ⋅ n = -9 + 4 - 7 ≠ 0 ，则 E ∉α .2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭因此，②中的点在平面α 内. 故填②.17．已知a =(2，-1，3)， b =(-1，4，-2)， c =(7，7，λ)，若a ， b ， c 共面，则实数λ= .【答案】9【解析】∵ a =(2,-1,3), b =(-1,4,-2), c =(7,7,λ),，∴由若a , b , c 共面，则存在实数 m ，n ，使得 c ＝ma + nb ， ∴（7，7，λ）=m （2，-1，3）+n （-1，4，-2），⎧ 2m - n ＝7∴ ⎪-m + 4n ＝7 ， ⎪3m - 2n ＝λ 解得 n=3，m=5，∴λ=3×5-2×3=9 ．故填 9．18. 如图，四棱锥 P •ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，PD ⊥底面 ABCD ，且 PD ＝1，若 E ，F 分别为 PB ，AD 中点，则直线 EF 与平面 PBC 的位置关系是 .【答案】垂直【解析】以 D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，⎛ 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛1 1 ⎫则 E , , ⎪ ，F , 0, 0 ⎪ ，∴ EF ＝ 0, - , - ⎪ ，⎝ 2 2 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝2 2 ⎭平面 PBC 的一个法向量n ＝(0,1,1)．11⎩ ⎩⎨ ⎨ ⎪⎩2 ⎩ 1∵ EF ＝－ 2n ，∴ EF ∥ n .∴EF ⊥平面 PBC ．故填垂直三、解答题19. 已知三棱锥 O -ABC 中，OA =OB =1，OC =2，OA ，OB ，OC 两两垂直，试找出一点 D ，使 BD ∥AC ，DC∥AB ．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，2)，设所求点 D (x ，y ， z ).由BD ∥AC ，DC ∥AB ⇒ BD AC , DC AB ，因此⎧x = -1, ⎧ (x ,y -1,z ) = k 1 (-1,0,2), ⇒ ⎪y = 1,⎨(-x ,-y ,2-z ) = k (-1,1,0), ⎨ ⎪ z = 2.即点 D 的坐标为(-1，1，2).20. 已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A (0，0，2)，B (4，2，0)，C (2，4，0)，求平面 ABC 的单位法向量.【解析】 AB =(4,2,-2)， AC =(2,4,-2), 设 n =(x ,y ,z )是平面 ABC 的单位法向量，⎧ |n |2 = 1, ⎧x 2 + y 2 + z 2 = 1, 则有⎪n ·AB = 0, ⇒ ⎪ 2x + y -z = 0, ⎪ n ·AC = 0 ⎪ x + 2 y -z = 0.1 取 z>0，得 x=y=3 ,z=.⎛ 故平面 ABC 的单位法向量为 n = 1 , 1 , 3 ⎫ . 11 11 11 ⎪⎝ ⎭21. 如图，已知三棱锥 P －ABC ，D ，E ，F 分别是棱 PA ，PB ，PC 的中点．求证：平面 DEF ∥平面 ABC ．11【解析】证明如图:设PD =a，PE =b，PF =c，则PA =2a，PB =2b，PC =2c，所以DE =b-a，DF =c-a，AB =2b-2a，AC =2c-2a，对于平面ABC 内任一直线l，设其方向向量为e，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对(x，y)，使e=x AB +y AC =x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2x DE +2y DF ，因此e 与DE, DF 共面，即e∥平面DEF，所以l⊄平面DEF，即l∥平面DEF.由l 的任意性知，平面ABC∥平面DEF.22.如图所示，ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M，N，Q 分别是PC，AB，CD 的中点.求证:（1）MN∥平面PAD；（2）平面QMN∥平面PAD.【解析】（1）证明:如图以 A 为原点，以AB，AD，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，MN =⎛0,设B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，d)，则C(b，d，0)，因为M，N，Q 分别是PC，AB，CD 的中点，⎛b d d ⎫⎛b ⎫⎛b ⎫所以M , , ⎪，N ,0,0 ⎪，Q ,d ,0 ⎪，⎝2 2 2 ⎭⎝2⎭⎝2 ⎭d d ⎫所以- ,- ⎪.⎝ 2 2 ⎭因为平面PAD 的一个法向量为m=(1，0，0)，所以MN ·m=0，即MN ⊥m.因为MN 不在平面PAD 内，故MN∥平面PAD.（2）QN =(0，-d，0)，QN ⊥m，又QN 不在平面PAD 内，又QN∥平面PAD.又因为MN∩QN=N，所以平面MNQ∥平面PAD。