三个数的最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数知识点归纳
【记忆背诵要点】家长签字：姓名：注意：每一个分数无论题目要求没，要约分后才能作为最后的结果。
一：约分的方法：1、先找到分子，分母的最大公因数；2、利用分数的性质约去最大公因数；3、化成最简分数。
（即不能再约分为止）二:比较分数大小的方法:1、分别对每个分数进行约分(或者通分),变成同分母分数, 或者变成同分子分数；2、比较化简后的两个分数的大小；3、比较原数的大小。
三：弄清互质的几种情况互质：两个数的最大公因数为1就叫做这两个数互质。
1.两个连续自然数是互质的。
例如：8与9；15与162.两个质数必然是互质的。
例如：5和7；11和133.一个质数和不是它倍数的合数。
例如：5和14；3和84.尽管两个数都是合数，但一个是2或3的倍数，另一个数是7或5的倍数。
例如：15和8，21和10四：求最大公因数或最小公倍数的方法：1.若两个数是互质的，则最大公因数为1，最小公倍数为这两个数的乘积。
2.若两个数是倍数关系，则较小的数为它们的最大公因数，较大的数为它们的最小公倍数。
当两个数相差较大时，要判断大数是否为小数的倍数。
例如：13与26，39，52，65，78；14与28，42，56，70，84；17与34，51等等。
以上两种情况不需要用分解质因数的方法。
3.两个数不是倍数关系的，也不是互质的才适合用分解质因数去求最大公因数和最小公倍数。
五：应用题中如何识别是求公因数还是公倍数的方法1.分析题意，判断结果应该比所给数量大，则是求公倍数；2.分析题意，判断结果应该比所给数量小，则是求公因数；3.题目中含“最多”或“最长”等字眼，则是求最大公因数；4.题目中含“至少”，“下一次”字眼，则是求最小公倍数；【认真练习】 1.填空75和15 16和30 77和44 6和10 13和91 21和35 12和18 3和14 最大公因数最小公倍数2.比较大小：（1）和（2）和。
最小公倍数的应用
用3、4、5除，恰好都能整除 的三位数，最小是多少？ 最大是多少？
求出下面每组数的最小公倍数。
14、28和35
63、27和36 24、36和48
20、45和15
38、57和76 33、22和121
这种墙砖长3dm， 宽2dm。
如果要这种墙砖铺一个正方形（用 的墙砖都是整块）。正方形的边长可以 是多少分米？最小是多少分米？ 你们认为解决这个问题需要注意什么？ 1.铺满、2.使用墙砖是整块数、3.铺的是 正方形，4.墙砖边长必须是整分米数。
相同点：都要把所有的除数和商 相乘起来
一、根据下列各题的分解质因数，求出各题 的最小公倍数。 1、15=3×5，20=2×2×5，30=2×3×5
15、20、30的最小公倍数是 （ 5×2×3 ×2=60 ）。
2、A=2×3×5，B=2×3×7，C=3×5×5， A、B和C的最小公倍数是 （ 3×2×5 ×7×5=1050 ）。
想一想
阿凡提的故事
从前有个长工，在巴依老爷家辛辛苦苦干了一 年，却一个铜板也没拿到，就请阿凡提帮他向去巴
依老爷讨工资。巴依老爷含着烟斗冷笑着说：“工
资我可以给你，不过我的钱都在我的账房先生那里。
从9月1日起，我要连续出去收账3天才休息一天，
我的账房先生要连续收账5天才可以休息一天，等 我们两人同时休息的时候，你来拿吧。”阿凡提动 了动脑筋，便带长工们离开了。到了那天，阿凡提 真的从巴依老爷家帮长工拿到了工钱。
3、5和6的最小公倍数是：30
30+1=31（个）
答：这些鸡蛋至少有31个。
1路车和路车早上6时同时从起始站发车,1路 车每10分钟发一辆车,2路车每隔8分钟发一辆 车。这两路车第二次同时发车的时间是多少？
五年级奥数最大公约数和最小公倍数的比较和应用
最大公约数和最小公倍数的比较和应用最大公约数与最小公倍数的应用比较在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。
一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。
不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。
判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。
对比例子（一）1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。
具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。
又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。
（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。
（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。
具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。
〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）对比例子（二）1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。
求三个数的最小公倍数
“求三个数的最小公倍数”的教学反思教学“求三个数的最小公倍数”一课中，自己感触颇多，现摘记如下：在复习了什么叫公倍数，什么叫最小公倍数和怎样求两个数的公倍数后，我引入课题，今天我们来学习求三个数的最小公倍数。
我的话音刚落，就有不少同学叫起来：“老师，我会了。
”而另外一部分学生则马上翻开书寻找今天要教的例题。
看到这情况，我不禁眉头一皱，想质问他们为什么不在课前预习。
但转念一想，学生翻书也是学生求知欲的一种表现，既然学生都已经看了例题，那我正好检查一下学生的理解能力，到底有没有把例题看懂了。
我把例题改成求9、1 2和1 8的最小公倍数，学生尝试练习，并请四个学生板演。
答案1 （生1 、生3 和生4 ）：答案2（生2）：[9，12，18]=3×3×4×6=216[9，12，18]=3×3×2×1×2×1=36没等我开口，学生就纷纷议论开了。
片刻之后，他们把疑惑的目光投向了我。
（保护求知欲，给学生一个尝试的机会。
部分学生通过例题，对求三个数的最小公倍数有了一定的理解，但又有点一知半解，很想向老师展示自己自学的成果，看到这样的情况，我放弃了原先的教学预案，让学生自己先尝试解题，既让一部分学生尝到了成功的喜悦，肯定了他们自学的成果，又暴露了一部分学生在理解上的偏差。
）这时我趁机引导：这两种短除式有什么不同，你能想办法检验哪一种是正确的吗？学生开始分组讨论。
（当学生面对新的问题时能从已有的知识中迅速检索出相关知识，根据已有的知识推出新的结论。
当然，由于知识经验的不足，有时会得出错误的答案。
但学生的错误都是有价值的。
这些“错误的答案”闪烁着学生智慧的火花，是学生真实的思维过程，反映出学生建构知识时的障碍，因此，有效利用错误信息，巧妙点拨，让学生自己感悟错误所在，能牢固建立知识体系。
案例中，当学生尝试求9、12和18的最小公倍数时，得出了两个不同的答案216和36。
最大公因数最小公倍数
短除法
求几个数的最大公因数： ① 必须每次用这几个数的公因数去除； ② 一直除到这几个数的商互质为止（不一定是两两互质）， ③短除式中所有除数的乘积就是最大公因数。
求几个数的最小公倍数： ① 每次用这几个数的公因数去除，只要有两个数有共同的因数就一直除 ② 一直除到两两互质为止 ③所有除数与最后的商的乘积就是最小公倍数。
最大公因数和最小公倍数
一辆自行车的前轮齿有50齿，而后轮齿有24齿，请问前齿轮最 少要转多少圈后才能使前后轮都同时转到最开始的位置？
① 先求出最小公倍数
【50,24】=600
② 看清题意是前齿轮转多少圈 ② 600÷50=12（圈）
请问后齿轮最少要转多少圈后才能使 前后轮都同时转到最开始的位置？
综合练习 最大公因数和最小公倍数
因数分解法
求36、48、30的最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数
题型二 求36、48、30的最大公因数和最小公倍数
短除法
2 36 48 30 3 18 24 15 2 6 85 345
（36、48、30）=2×3=6 【36、48、30】=2×3×2×3×4×5=720
最大公因数和最小公倍数
6×72=432 432÷18=24
最大公因数和最小公倍数
练习
题型一 已知A数为24,A与B的最小公倍数为168,最大公因数为4,那么B
数为多少?
最大公因数和最小公倍数
拓展
题型一 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然
数的和是77，求这两个自然数。
① 求出这两个自然数的积 210×7=1470
次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都
1到30所有整数的最小公倍数
1到30所有整数的最小公倍数1.引言1.1 概述在数学中，"最小公倍数"是指两个或多个整数中能够同时被所选整数整除的最小正整数。
本文将探讨的问题是计算从1到30范围内所有整数的最小公倍数。
最小公倍数是一个非常重要的概念，它在很多实际问题中都有着广泛的应用。
例如，在计算分数的运算过程中，我们需要求分母的最小公倍数才能完成运算。
同时，在日常生活中，最小公倍数也能帮助我们解决一些实际问题，比如制定节假日的放假方案或者计算长时间内的周期性事件等。
在本文中，我们首先会介绍最小公倍数的概念和计算方法。
然后，我们会详细描述如何计算从1到30范围内所有整数的最小公倍数。
通过具体的运算步骤和算法，读者可以清晰地了解到这一过程的实现方法。
最后，我们会对整个计算过程进行总结，并给出一些结论。
这些结论不仅会对本文的研究结果进行总结，还会对最小公倍数这一数学概念的重要性进行强调。
通过本文的阅读，读者将能够深入理解最小公倍数的概念和计算方法，同时也能够掌握计算1到30范围内所有整数最小公倍数的技巧。
这对于提升数学运算能力，以及解决实际问题都具有一定的参考价值。
接下来，我们将详细介绍文章结构和目的。
1.2 文章结构本文共分为引言、正文和结论三个部分。
其中引言部分包括概述、文章结构和目的三个小节。
正文部分包括整数的最小公倍数和计算1到30所有整数的最小公倍数两个小节。
结论部分包括总结和结论两个小节。
引言部分旨在介绍本文的主题和结构。
首先，我们将概述整数的最小公倍数的概念和计算方法。
然后，介绍文章的结构，说明各个部分的内容和目的。
最后，明确本文的目的，即探讨1到30所有整数的最小公倍数。
正文部分将重点概述整数的最小公倍数的定义和计算方法。
通过解释最小公倍数的概念，我们可以了解它在数学中的作用和重要性。
接着，我们将介绍计算1到30所有整数的最小公倍数的方法。
这将包括使用因数分解法和求解最大公因数的方法。
结论部分将总结本文的主要内容和得出结论。
(完整版)最小公倍数和最大公因数的应用题归纳
最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总一、解题技巧：最大公因数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时，因为小数（即处于除数、商、因数）是大数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此时，所求的数量就处于因数的地位。
如果出现相同的（公有的）/最长的所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。
最小公倍数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于大数（即处于被除数、被除数、积）的地位时，因为大数（即处于被除数、被除数、积）是小数（即处于除数、商、因数）的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。
如果出现相同的（公有的）/最小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。
补充部分公式小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）小正方形个数=（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长）小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大正方体边长÷小长方体高）小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大长方体的高÷小正方体边长）剩余定理余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋余数缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－缺数植树问题公式不封闭型：2、只有一端都栽1、两端都栽间隔个数=株数间隔个数=株数－1株数=间隔个数＋1 株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数3、两端都不栽间隔个数=株数＋1株数=间隔个数－1封闭型：间隔个数=株数株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽：株数=（每边株数－1）×4备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，这类题通常先求一层／一段需要多少时间，再乘以段数即可二、经典题目1、一个大长方形长24厘米，宽18厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？2、一个长方形的长6厘米，宽4厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？3、一个大长方体长24厘米，宽18厘米，高12厘米，把它裁成若干个小正方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？4、一个长方体的长6厘米，宽4厘米，高2厘米。
三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式
三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式公因数和最小公倍数是数学中基础的概念之一，它们在数论、代数、几何等多个领域中都有广泛的应用。
本文将探讨三个数的最大公因数（简称最大公约数）与最小公倍数之间的关系公式，进一步解析它们的数学特征和性质。
首先，我们先来看一下最大公约数和最小公倍数的定义及性质。
最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指能够同时整除两个或多个整数的最大正整数。
而最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）则表示能够被两个或多个整数整除的最小正整数。
我们用a、b和c表示三个整数，它们的最大公约数用符号gcd(a, b, c)表示，最小公倍数用符号lcm(a, b, c)表示。
首先，我们来探讨最大公约数和最小公倍数两者之间的关系。
可以通过以下公式来表示：gcd(a, b, c) * lcm(a, b, c) = |a * b * c|其中，|a * b * c|表示a、b和c的绝对值的乘积。
这个公式的证明可通过分解质因数的方法进行。
我们知道，任意一个整数都可以分解为若干个质数的乘积，而质数的定义是只能被1和自身整除的整数。
假设a、b和c的质因数分别为p1、p2、...、pn、q1、q2、...、qm和r1、r2、...、rk，其中p、q和r分别代表不同的质数。
由于质因数是唯一的，所以在a、b和c的质因数分解中，每个质因数只会出现一次。
那么，a、b和c的绝对值乘积即为p1^α1 * p2^α2 * ... *pn^αn * q1^β1 * q2^β2 * ... * qm^βm * r1^γ1 * r2^γ2* ... * rk^γk，其中α、β和γ表示不同质因数出现的次数。
接下来，我们来看最大公约数和最小公倍数的定义。
最大公约数表示同时整除a、b和c的最大正整数，即gcd(a, b, c) = p1^min(α1, β1, γ1) * ... * pk^min(αk, βk, γk)，其中min表示取最小值。
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三个数的最大公因数和最小公倍数
在人教版《数学》第五册（下）的第96面，有这样两个题目：
看到这两个题目我就在想：书上前面的内容根本就没涉及到三个数的最小公倍数，现在又要我们比较三个异分母分数的大小，是什么意思？是要我们将三个分数进行通分，还是只要求我们能比较三个分数的大小。
而且，紧接着在后面有出现这样的一个题目：
这是一个带*号的题目，在《广州市义务教育阶段学科学业质量评价标准》里也没要求掌握求三个数的最大公因数和最小公倍数。
求三个数的最大公因数和最小公倍数，难就难在他们的算理和算法没有统一性，特别是求三个数的最小公倍数，理解起来，很困难。
1．理解算理．
把8、12和30分解质因数．
6＝2×2×2
12＝2×2×3
30＝2×3×5
引导学生看着8、12和30分解质因数得到的横式先取这三个数公有的质因数2（教师用红粉笔把三个横式中公有的2圈起来），再取8和12公有的质因数2（教师用红粉笔再把这两个横式中公有的2圈起来），然后再取12和30公有的质因数3（教师用红粉笔再把这两个横式中公有的3圈起来），最后再分别取8和30各自独有的质因数2和5。
列出乘式（2×2×2×3×5）．
“我们来观察这个乘式，它既包含8所有的质因数，又包含着12的和30所有的质因数，并且使所包含的质因数的个数最少．所以它是8、12和30的最小公倍数：2×2×2×3×5＝120．”
那么，最大公因数，就是找出三个数共同拥有的质因数的乘积。
相对最小公倍数来说比较容易理解。
2．方法．
“为了简便，通常我们也用短除分解质因数的方法，来求三个数的最小公倍数．方法与求两个数的最小公倍数差不多．”
短除的竖式：
第一步 2| 8 12 30
4 6 15
除到这一步时，教师说明：“这等于先取出了三个数公有的质因数2．到此得到的三个商4、6、15已没有公有的质因数了，这时还要看其中的任何两个商是否还有公有的质因数．”接着板书短除的竖式：
2| 8 12 30
2| 4 6 15
2 3 15
“因为其中的两个商4和6还有公有的质因数2，所以还要用2去除4和6，商2和3；同时把没有第二次用2除的15移下来．这时3和15还有公有的质因数3，所以还要用3去除3和15，商1和5；同时把没有用3除的2移下来．”
继续板书短除的竖式：
2| 8 12 30
2|4 6 15
3|2 3 15
2 1 5
“这时得到的三个商2、1、5，任何两个商都没有公有的质因数了．也就是说，其中的任何两个数都是互质数，除到这里为止．”
引导学生看短除的竖式：“这里的除数2、2、3，就是8、12和30三个数公有的质因数和其中任何两个数公有的质因数．最后三个商中的2和5，就是8和30各自独有的质因数．所以，只要把每次的除数和最后的商都连乘起来，就是8、12和30的最小公倍数．”
8、12和30的最小公倍数是2×2×2×3×5＝120．
而求三个数的最大公因数，就只要第一步就行啦。
3、区别
求三个数的最大公因数要比求最小公倍数简单的多。
最大公因数只要掌握三个数的关系，而最小公倍数是要弄清三个数两两之间的关系，计算量和复杂度应该是前者的3倍。