抛物线测试题(含答案)
2023年新高考数学一轮复习9-5 抛物线(真题测试)含详解
专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x =D ．2x =-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为1612．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：26y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，线段FA 的长度为半径的圆交C 的准线于M ，N 两点，且A ，F ，M 三点共线，则AF =______．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为_______； MNF 的面积为_______．四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．3【答案】B【分析】有题意可知()1,2M ±,由焦点(1,0)F 则可求出点M 到焦点F 的距离. 【详解】M 到x 轴的距离是2，可得()1,2M ±，焦点(1,0)F 则点M 到焦点的距离为2. 故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．故选：B4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【详解】如图所示：．故选：B.6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x=-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅>所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cy px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒33选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得，易得(,0)2p F ，由AF AM =3(4p OA OB ⋅=又(4p MA MB ⋅=-又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为16 ，联立抛物线，由2AF FB =解出A 即可求出面积最小值，即可判断D 选项.【详解】由2AF FB =得直线设直线AB 的方程为4A B x x =-.由于2AF FB =，所以22x =±，所以2124A A y x ==，直线AB 的方程为),y OA ⊥所以AOB 面积的是小值为故选：BCD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4220x y ，故AB k C ，切线方程TA ：的方程为1xt y -=-三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线24y ax=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：26=的焦点为F，y xA为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则AF=______．【答案】6【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．故答案为：6．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于______.M在抛物线上，所以M在双曲线上，22cb=-故答案为：16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x=的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF=，则点M的横坐标为_______；MNF的面积为_______．FMNS.【FMNS=故答案为：四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．故A 为线段BM 的中点.18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 利用3AP PB =可得y ()22,B x y 1252x x ∴+= 3AP PB = ∴则419AB =+⋅19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．D p，过F的直线交C于20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2=>的焦点为F，点(),0:2(0)C y px pMF=．M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.）(),0F c ，的方程为x =21c=+，解得抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx=⎧⎨=⎩，43CD =即223c ac +01e <<，解得（2）[方法一由椭圆的第二定义知所以12-a22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2=>的焦点F到准线的距离为2．C y px p:2(0)（1）求C的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. ，则(99PQ QF ==-)09,10y ，由P 在抛物线上可得Q 的轨迹方程为的斜率0025OQ y k x ==(1,0),9=PQ QF ，所以29(1)9x y =-=-，所以的斜率为244=y x t 方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.。
双曲线、抛物线测试题(含答案)
双曲线、抛物线测试题 （每小题5分，共120分）1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( )(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(3)平面内到点F 1(0,3)，F 2(0，－3)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是双曲线．( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )(5)方程x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×2.设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9 答案： C3.已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B ．62C ．52D ．1 答案： D 4.若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等 答案： (1)D5.双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x答案： B6.焦点为(0,6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A ．x 212－y 224＝1B ．y 212－x 224＝1C ．y 224－x 212＝1D ．x 224－y 212＝1 答案： B7.已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3)．则此双曲线的方程为( )A ．y 29－x 216＝1B ．y 24－x 23＝1C ．y 216－x 29＝1D ．y 23－x 24＝1答案： A8.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案： C9.坐标平面内到定点F (－1,0)的距离和到定直线l ：x ＝1的距离相等的点的轨迹方程是( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝－2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x 答案： D10.抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2B ．x ＝－1 D ．x ＝－2 答案： A11.若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝6xC ．y 2＝8xD ．y 2＝10x 答案： C12.已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．22C ．2 3D ．4 答案： 2 313.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案： A14.抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x答案： B 15.设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案：x 23－y 212＝1 y ＝±2x 16.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．答案： 617.顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是____________．答案： x 2＝－8y18.两个正数a ，b 的等差中项是52，等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝________. 答案： 133 19.已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为______．答案： 2 320.若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为________．答案：x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1 21.设点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，若|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是________．答案： ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，5322.已知双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，且过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1，则双曲线的标准方程为________．答案：x 218－y 28＝1 23.F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案： 5224.已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．答案： 32－1。
初中函数测试题及答案
初中函数测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是函数的定义？A. 函数是数集到数集的映射B. 函数是一种特殊的关系C. 函数是一种运算D. 函数是数集到数集的对应关系答案：C2. 如果一个函数的自变量x的取值范围是x>0，那么下列哪个选项是正确的？A. 函数的定义域为所有实数B. 函数的定义域为非负实数C. 函数的定义域为正实数D. 函数的定义域为负实数答案：C3. 函数y=2x^2+3x+1的图像是：A. 抛物线B. 直线C. 双曲线D. 圆答案：A4. 下列哪个函数是奇函数？A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x答案：D5. 函数y=1/x的图像在第一象限内：A. 向右上方倾斜B. 向左上方倾斜C. 向右下方倾斜D. 向左下方倾斜答案：B6. 如果函数f(x)=x^2-4x+3，那么f(1)的值是多少？A. -2B. 0C. 2D. 4答案：A7. 函数y=3x-2的图像与y轴的交点坐标是：A. (0, -2)B. (0, 3)C. (2, 0)D. (-2, 0)答案：A8. 函数y=1/x的图像经过第几象限？A. 第一象限和第三象限B. 第二象限和第四象限C. 第一象限和第二象限D. 第三象限和第四象限答案：A9. 函数y=x+1与y=x-1的图像之间的距离是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B10. 函数y=x^2的图像在x=0处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y=2x+3的图像在x=2时的y值是_________。
答案：72. 如果函数f(x)=x^2-6x+8，那么f(3)的值是_________。
答案：13. 函数y=1/x的图像在x=-1处的切线斜率是_________。
答案：-14. 函数y=x^3-3x^2+2的图像在x=1处的切线斜率是_________。
二次函数测试题(附答案)
二元一次函数测试题（附答案）一、选择题:1. 抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).A.直线x=-3B.直线x=3C.直线x=-2D.直线x=22. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b, )在( ).A.第一象限;B.第二象限;C. 第三象限;D.第四象限3、已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ).A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0C. b2-4ac<0D. b2-4ac≤04、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ).A.b=3,c=7B.b=-9, c=-15 C .b=3,c=3 D.b=-9,c=215、在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ).6、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,•图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ).A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m二、填空题1.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=_______.2.请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.3.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.4.已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.5.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.6.有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.三、解答题1.已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.2.已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称.(1)求m的值;(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.3.在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, ),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于y•轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如图所示).(1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,•请用约定的方法一一表示出来;(2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?如果存在,试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由.四、综合题1.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,•与y轴交于A点. (1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由; (2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.2.•某市近年来经济发展速度很快,•根据统计:•该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币. 经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005•年该市国内生产总值将达到多少?3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,•公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)•刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系). 根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?4.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB•的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式; (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,•忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,•要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米? 三、开放探索题5. •某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少,纵坐标增加,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加,纵坐标增加,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.(1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式;(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由;(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊——一般”的思想,•你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立,请说明理由.6.如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边长为a,O为原点,•点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上.直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上一点C(- a,0)且与OE平行.现正方形以每秒的速度匀速沿x轴正方向平行移动,•设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S.(1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系;(2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系,在这个范围内S有无最大值?若有,•请求出最大值;若没有,请说明理由.答案: 基础达标验收卷一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C二、1.(x-1)2+2 2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值) 3.y=- x2+2x+ 4.如y=-x2+1 5.16.y= x2- x+3或y=- x2+ x-3或y=- x2- x+1或y=- x2+ x-1三、1.解:(1)∵函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2), ∴9+3b-1=2,解得b=-2. ∴函数解析式为y=x2-2x-1.(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2. 图象略. 图象的顶点坐标为(1,-2). (3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x≥3时,y≥2. ∴当x>0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3.2.(1)设A(x1,0) B(x2,0). ∵A、B两点关于y轴对称. ∴∴解得m=6. (2)求得y=- x2+3.顶点坐标是(0,3)(3)方程- x2+(6- )x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等).3.解:(1)符合条件的抛物线还有5条,分别如下: ①抛物线AEC; ②抛物线CBE; ③抛物线DEB; ④抛物线DEC; ⑤抛物线DBC. (2)在(1)中存在抛物线DBC,它与直线AE不相交. 设抛物线DBC的解析式为y=ax2+bx+c. 将D(-2, ),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得解这个方程组,得a= ,b=- ,c=1. ∴抛物线DBC的解析式为y= x2- x+1.解法二:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2, ),得a= 也可.】又将直线AE的解析式为y=mx+n. 将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得解这个方程组,得m=-3,n=-6. ∴直线AE的解析式为y=-3x-6.能力提高练习一、1.解:(1)∵抛物线开口向上,∴a>0. 又∵对称轴在y轴的左侧, ∴- <0,∴b>0. 又∵抛物线交于y轴的负半轴. ∴c<0. (2)如图,连结AB、AC. ∵在Rt△AOB中,∠ABO=45°, ∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0). 又∵在Rt△ACO中,∠ACO=60°, ∴OC=OA•cot60°= ,∴C( ,0). 设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0). 由题意∴所求二次函数的解析式为y= x2+ ( -1)x-3.2.依题意,可以把三组数据看成三个点: A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9) 设y=ax2+bx+c. 把A、B、C三点坐标代入上式,得解得a=0.014,b=0.29,c=8.6. 即所求二次函数为y=0.014x2+0.29x+8.6. 令x=15,代入二次函数,得y=16.1. 所以,2005年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币.3.解:(1)设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c 由题意得或解得∴s= t2-2t.(2)把s=30代入s= t2-2t, 得30= t2-2t. 解得t1=0,t2=-6(舍). 答:累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得s= ×72-2×7= =10.5; 把t=8代入,得s= ×82-2×8=16. 16-10.5=5.5. 答:公司获利润5.5万元.4.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O到水面CD的距离为hm, 则D(5,-h),B(10,-h-3). ∴解得抛物线的解析式为y=- x2.(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时). 货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车速度提高到xkm/h.当4x+40×1=280时,x=60. ∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.5.略。
中职数学 椭圆、双曲线、抛物线测试卷(含答案)
数学拓展模块第二章椭圆、双曲线、抛物线(试卷A )一、选择题：（本大题有15个小题，每小题3分，共45分。
在每小题所给出的选项中只有一个符合题目要求）1.已知椭圆221169+=x y 上一点到椭圆的一个焦点的距离为3,则P 到另一个焦点的距离为( ). A .3 B .4 C .5 D .62.椭圆2211625+=x y 的焦距是( ). A .6 B .4 C .10 D .93.已知椭圆方程是224520+=x y ,则它的离心率是( ).A .2B .C .D . 124.长轴是短轴的2倍,且经过点P (-2.0)的椭圆方程是( ).A . 2214+=x yB . 221416+=x yC . 221164+=x y 或2214+=x y D . 221416+=x y 或2214+=x y 5.焦点在x 轴上，长轴长为8.离心率为12，那么椭圆的标准方程为( ). A .2211612+=x y B . 2211612-=x y C . 2211216+=x y D . 2211216-=x y6.与椭圆2211625+=x y 有共同的焦点且过点(-的双曲线的方程是( ). A .22154-=y x B . 22153-=y x C . 22154-=x y D . 22153-=x y 7.双曲线的两个焦点坐标是1F (0,-5), 2F (0,5)，且2a =8.则双曲线的方程为( ).A .221169-=y x B . 2211625-=y x C . 2211625-=x y D . 2216425-=x y 8.若双曲线焦点在x 轴上，且它的一条渐进线方程为34=y x ,则离心率是( ).A .54B . 4C . 7D . 79.双曲线221169-=x y ，若过右焦点2F ,且在双曲线右半支上的弦AB 长为5，另一焦点为1F 则△AB 1F 的周长为( ).A .16B .11C . 26D .610.设()0,απ∈，方程221sin cos αα+=x y 表示中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线，则α的取值范围是( ).A . ()0,π В. [)0,π C . ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D .,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.抛物线250-=x y 的准线方程是( ).A . 54=-x B . 52=x C . 54=y D . 54=-y 12.顶点在原点，准线方程为y =4的抛物线标准方程为( ). A . 216=y x B . 216=-y x C . 216=x y D . 216=-x y13.顶点在原点，对称轴是y 轴，顶点与焦点的距离等于2的抛物线方程是( ). A . 24=±x y B . 24=±y x C . 28=±x y D . 28=±y x 14.顶点在原点，以坐标轴为对称轴且过点（2，-3)的抛物线方程是( ). A . 292=y x 或243=-x y B . 292=-y x C . 292=-y x 或243=x y D . 243=-x y 15.顶点在坐标原点，焦点是(0，-1)的抛物线的标准方程是( ). A . 24=x y B . 24=-x y C . 24=-y x D . 24=y x 二、填空题（本在题有15个小空，每空2分，共30分） 16.已知椭圆221625400+=x y ,其离心率为___________.17.已知椭圆的右焦点F (3,0)，F 到右顶点距离为3,则椭圆的方程为___________.18.已知曲线的方程22194+=--x y k k为椭圆的标准方程，则k 的取值范围为___________.19.椭圆各22214+=x y a 与双曲线器22212-=x y a 有相同的焦点，则2a =___________. 20如果方程222+=x ky 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是___________.21.已知1F ，2F 是椭圆221259+=x y 的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于M .N 两点，则△MN 2F 的周长是___________.22.双曲线222516400-=x y 的两条渐近线方程是___________.23.双曲线的实轴长为6，离心率2=e ，焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程为___________. 24.双曲线2288-=kx ky 的一个焦点是(0，3),那么k =___________.25.与双曲线221916-=x y 有相同的渐近线,且过点(3,-C 的双曲线方程是___________. 26.方程22125-=--x y k k表示双曲线，则k 的取值范围是___________. 27.抛物线214=-y x 的焦点坐标是___________.28.抛物线上24=-y x 上一点M 到焦点的距离是6，则M 到准线的距离是___________. 29.若抛物线22=y px 上到焦点距离为3的点的横坐标为2.则p =___________.30.抛物线218=-y x 的准线方程是___________.三、解答题：（本大题共45分）31.已知椭圆的短轴长是2，中心与抛物线24=y x 的顶点重合，椭圆的一个焦点是此抛物线的焦点，求该椭圆的方程及离心率.32.椭圆的长轴是短轴的3倍,过点P (3,0),求椭圆的标准方程.33.一椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，焦距为 的焦点，且双曲线的实半轴比椭圆的长半轴小4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为73，求此椭圆和双曲线的方程。
2022-2023学年山西省太原市校高二年级上册学期期末阶段测试数学试题【含答案】
2022-2023学年山西省太原市校高二上学期期末阶段测试数学试题一、单选题1．抛物线的焦点坐标为（ ）22y x =A ．B ．C ．D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0-()1,0【答案】B【分析】由抛物线的方程即可确定焦点位置和焦点坐标．【详解】由抛物线的方程可知，抛物线的焦点位于轴正半轴，由，可得：，22y x =x 22p =122p =即焦点坐标为．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B ．2．函数的单调递减区间为（ ）()4ln f x x x=-A ．B ．C ．D ．()0,∞+10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】由结合定义域即可解出．()0f x '<【详解】因为，所以，由解得：，所()()4ln 0f x x x x =->()14f x x '=-()0140x f x x >⎧=<'⎪⎨-⎪⎩104x <<以函数的单调递减区间为．()4ln f x x x=-10,4⎛⎫⎪⎝⎭故选：B ．3．已知函数，则（ ）()()2ln 31f x x x f x '=-+()1f =A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【分析】计算出的导数，将代入即可求出，进而可计算出.()f x '()f x 1x ='()f x ()1f '(1)f 【详解】因为，则，()()2ln 31f x x x f x'=-+()()1321f x f x x ''=-+所以，则，()()'1132'1f f =-+()12f '=所以，所以.()2ln 32f x x x x =-+()1ln1321f =-+=-故选：D.【点睛】本题考查导数的相关计算，属于基础题.4．某放射性同位素在衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系N t ，其中为时该同位素的含量.已知时，该同位素含量的瞬时变化率为()240e-=t N t N 0N 0=t 24t =，则（ ）1e --()120N =A ．24贝克B ．贝克524e -C ．1贝克D ．贝克5e -【答案】B【分析】先求出，然后利用，求出，再求解即可.'()N t 1(24)e N -'=-0N ()120N 【详解】由，得，()240e-=tN t N ()2401e24tN t N -'=-因为时，该同位素含量的时变化率为，24t =1e --所以，解得，()241240124e e 24N N --=-=-'024N =所以.120524(120)24e 24e N --=⨯=故选：B.5．设椭圆离心率为e ，双曲线，22122:1(0)x y C a b a b +=>>22222:1x y C a b -=则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）1C A ．B ．C ．D．⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭)+∞【答案】B【分析】根据渐近线斜率的取值范围可得出的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得离心率,a b e 的取值范围.【详解】根据双曲线方程可得，其渐近线方程为，22222:1x y C a b -=by xa =±又因为，即0a b >>0b a <<所以，椭圆的离心率1C c e a ⎫==⎪⎪⎭即离心率e 的取值范围是.⎫⎪⎪⎭故选：B6．设定义R 在上的函数，满足任意，都有，且时，()y f x =x ∈R ()()4f x f x +=(]0,4x ∈，则，，的大小关系是（ ）()()'>xf x f x ()2021f ()22022f ()32023f A ．B ．()()()20222202320231f f f <<()()()20222023202123f f f <<C ．D ．()()()20232032222021f f f <<()()()20232022202132f f f <<【答案】A【分析】利用构造函数法，结合导数以及函数的周期性确定正确答案.【详解】依题意，任意，都有，所以是周期为的周期函数.x ∈R ()()4f x f x +=()f x 4所以.()()()()()()202222023320211,,2233f f f f f f ===构造函数，()()()()()()204,0f x xf x f x F x x F x x x '-'=<≤=>所以在区间上单调递增，所以，()F x (]0,4()()()123F F F <<即，也即.()()()122313f f f <<()()()20222202320231f f f <<故选：A7．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论2a 2c 错误的是（ ）A ．卫星向径的取值范围是[],a c a c -+B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大D ．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁【答案】C【分析】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，结合椭圆的性质即可判断A ；根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，即可判断B ；卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，即可判断C ；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，由此即可判断D ．211a c a ce -=-+++【详解】A 选项：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大a c -值为，所以A 正确；a c +B 选项：根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B 正确；C 选项：卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故C 错误；D 选项：卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆12111a c e a c e e --==-++++e 越扁，故D 正确.故选：C ．8．若函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围2ln 1()x mx f x x +-=,a b 0(,)x a b ∈m 是（ ）A ．B ．e(0,)2ln 2e[,1]4C ．D ．ln 2e[,1)4ln 3e e [,)92【答案】C【分析】由题意可知有两个实根，构造函数，利用导数研究函数2ln 1x m x +=2ln 1()(0)x h x x x +=>的单调性及极值，作出函数的图象，利用数形结合思想即可求解.()h x ()h x 【详解】由题意，得有两个实根，2ln 1()0x mx f x x +-==2ln 1x m x +=设，则，2ln 1()(0)x h x x x +=>4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x -+-+-+'===令，解得，()0h x '=12e x -=当时，，单调递增；当时，，单调递减；120e x -<<()0h x '>()h x 12e x ->()0h x '<()h x 故当时，函数取得极大值，且，12e x -=12e (e )2h -=又时，；时，；当时，，，1e x =()0h x =10e x <<()0h x <1e x >2ln 10,0x x +>>()0h x >作出函数的大致图象，如图所示：()h x直线与的图象的两个交点的横坐标即分别为，y m =2ln 1()x h x x +=,a b 由题意知，又，，121(,e )e a -∈(1)1h =ln 21ln 2e (2)44h +==因为存在唯一的整数，所以，0(,)x a b ∈12b <≤又直线与的图象有两个交点，y m =2ln 1()x h x x +=由图可知：，即.(2)(1)h m h ≤<ln 2e14m ≤<故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数零点的情况求参数的取值范围，常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题9．函数的定义域为R ，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是()f x ()y f x '=（ ）A ．在上函数为增函数B ．在上函数为增函数()1,2()f x ()3,5()f x C ．在上函数有极大值D ．是函数在区间上的极小值点()1,3()f x 3x =()f x []1,5【答案】AC【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.()f x 【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，()f x ()1,2()4,5()'0f x >()f x ()2,4()'0f x <递减.()f x 所以A 选项正确，B 选项错误.在区间上，有极大值为，C 选项正确.()1,3()f x ()2f 在区间上，是的极小值点，D 选项错误.[]1,54x =()f x 故选：AC10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称()f x D ()f x '()f x 'D 在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为()f x D ()()()f x f x ''''=()0f x ''<D ()f x D 凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）π0,2⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ．()sin cos f x x x =-()ln 4f x x x=-C ．D ．()321f x x x =-+-()e xf x x =【答案】AD【分析】求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的()f x ()f x ''()0f x ''<恒成立，由此可得出答案.π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【详解】对于A ，，，()cos sin f x x x '=+()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝'⎭'当时，，，故不是凸函数；π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ044x -<-<()0f x ''>()sin cos f x x x =-对于B ，，，故是凸函数；()14f x x '=-()210f x x ''=-<()ln 4f x x x =-对于C ，，对任意的，，故是凸函数；()232f x x '=-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()60f x x ''=-<()321f x x x =-+-对于D ，，对任意的，，故不是凸函数．()()1e xf x x '=+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()e 02x f x x =+''>()e x f x x =故选：AD ．11．直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为:(2)l y k x =-22:2C x y -=k （ ）A ．B ．C ．D ．01212【答案】AD【分析】联立直线与双曲线的方程，由韦达定理结合方程根的情况列出不等式，求解可得的范围，k 判断选项即可.【详解】联立，消去y 得，.22(2)2y k x x y =-⎧⎨-=⎩2222(1)4420k x k x k -+--=因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，l C 所以方程有一正一负根，2222(1)4420k x k x k -+--=所以，整理得，解得.222104201k k k ⎧-≠⎪⎨--<⎪-⎩210k ->11k -<<所以的取值范围为，故A ，D 符合题意.k 11k -<<故选：AD.12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上24y x =F x 1l ()3,1M 的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的()11,P x y ()22,Q x y 2l是（ ）A ．B ．124y y =-43PQ k =-C ．D ．与之间的距离为4254PQ =1l 2l 【答案】ABC【分析】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入，PQ (1,0)F :1PQ x my =+24y x =由韦达定理得可判断A ；点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合124y y =-P M 1l P 可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断B ；根据抛物线的定义可知，124y y =-Q 12||PQ x x p =++可判断C ；由于与平行，所以与之间的距离，可判断D ．1l 2l 1l 2l 12||d y y =-【详解】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入得PQ (1,0)F :1PQ x my =+24y x =，则，故A 正确；2440y my --=124y y =-点与均在直线上，则点的坐标为，由得，则点的坐标为，P M 1lP (1,14)124y y =-24y =-Q (4,4)-则，故B 正确；4141344PQ k --==--由抛物线的定义可知，，故C 正确；12125||4244PQ x x p =++=++=与平行，与之间的距离，故D 错误，1l 2l 1l ∴2l 12||5d y y =-=故选：ABC ．三、填空题13．椭圆的长轴长为______．2224x y +=【答案】4【分析】把椭圆方程化成标准形式直接计算作答.【详解】椭圆方程化为：，令椭圆长半轴长为a ，则，解得，2224x y +=22142x y +=24a =2a =所以椭圆的长轴长为4.2224x y +=故答案为：414．函数在点处的切线方程为______.2cos y x x =+π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】π=2y x +【分析】求出函数的导数，继而可求得切线的斜率，根据直线的点斜式方程即可求得答案.【详解】由函数可得，2cos y x x =+2sin y x '=-故在点处的切线的斜率为，2cos y x x =+π,π2⎛⎫⎪⎝⎭π2sin 12k =-=故切线方程为，即，ππ=2y x --π=2y x +故答案为：.π=2y x +15．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为________.()2ln f x x x ax =+a 【答案】1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出导函数，要使函数有两个极值点，经分析可知只()ln 1f x x ax'=++()2ln f x x x ax =+需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧()0f x '=12,x x 1x ()y f x =2x 的单调性相反. 令可得，作出和的图像，分析()y f x =()0f x '=ln 12x a x +=-()ln 1x h x x +=-2y a =即可得出的取值范围a 【详解】的定义域为，.()2ln f x x x ax =+()0+∞，()ln 1f x x ax '=++要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧()2ln f x x x ax =+()0f x '=12,x x 1x 的单调性相反，在的两侧的单调性相反.()y f x =2x ()y f x =由得，.ln 120x ax ++=ln 12x a x +=-令，，要使函数有两个极值点，只需()()ln 1,0x h x x x +=->2y a =()2ln f x x x ax =+和有两个交点.()ln 1x h x x +=-2y a =，令得：x >1；令得：；()2ln x h x x '=()2ln 0x h x x '=>()2ln 0xh x x '=<01x <<所以在上单减，在上单增.()ln 1x h x x +=-()0,1()1,+∞当时，；当时，；0x +→y →+∞x →+∞0y →作出和的图像如图，()ln 1x h x x +=-2y a =所以即实数的取值范围为.120,a -<<a 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭16．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值1m >1[,)4x ∈+∞()5ln 4e ln x x x m m -≤-m 为________.【答案】4e【分析】不等式等价变形，利用函数()()()5ln 4e ln 4ln 4e ln e x x x x x m m x x m m -≤-⇔-≤-的单调性可得，即，令，结合函数的单调性与最值即可求()ln f x x x =-4e x x m ≤4e x xm ≤()4e x x g x =得答案.【详解】.()()5ln 4e ln 4ln 4e ln x x x x m m x x m m x -≤-⇔-≤--()()4ln 4e ln e x xx x m m ⇔-≤-令，，则，()ln f x x x=-[1,)x ∈+∞()1110x f x x x ='-=-≥∴在上单调递增.()f x [)1,+∞∵，，∴，1m >1[,)4x ∈+∞[)4,e 1,x x m ∈+∞∴恒成立，()()44ln 4e ln e (4))(e 4e e x x x x x xx x m m f x f m x m m -≤-⇔≤⇔≤⇔≤令，则，()4e x x g x =()e 44x xg x -='∴单调递增；单调递减，()()1,1,0,4x g x g x ⎡⎫∈>⎪⎢⎣⎭'(1,),()0,()x g x g x '∈+∞<时，的最大值为，1x ∴=()g x 4e ∴，∴的最小值为.4e m ≥m 4e 故答案为：.4e四、解答题17．已知在时有极值0.()3223f x x ax bx a =+++=1x -(1)求常数的值；a b 、(2)求函数在区间上的值域.()y f x =[]4,0-【答案】(1)2,9a b ==(2)[]0,4【分析】（1）求出导函数，再由在时有极值0，可得解()236f x x ax b '=++()f x =1x -()()10,10,f f ⎧-=='⎪⎨-⎪⎩方程组即可求出的值；a b 、（2）求出导函数，再由函数的单调性以及导数的正负列出表格，即可解得函()23129f x x x '=++数在和递增，递减，从而可得值域.()y f x =()4,3--()1,0-()3,1--【详解】（1），可得，()3223f x x ax bx a =+++()236f x x ax b'=++由题时有极值0.可得：即=1x -()()10,10,f f ⎧-=='⎪⎨-⎪⎩2360,130,a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩解得：或，1,3,a b =⎧⎨=⎩2,9.a b =⎧⎨=⎩当时，单调，不会有极值，故舍去. 13a b =⎧⎨=⎩()23690f x x x '=++≥，()y f x =经验证成立；2,9a b ==（2）由（1）可知，()32694f x x x x =+++，，()()()23129313f x x x x x '=++=++[]4,0x ∈-x4-()4,3--3-()3,1--1-()1,0-()f x '+ 0-+()f x0增4减0增4所以函数在和递增，递减.()y f x =()4,3--()1,0-()3,1--且，，，，()40f -=()34f -=()10f-=()04f =可得值域为.[]0,418．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为.xOy C (0,(（1）求双曲线的标准方程；C （2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求直线的方程()1,1Q l C M N Q MN l 及弦的长.MN【答案】（1）；（2）22:12y C x -=210x y --=【解析】（1）根据题意可得，进而可得双曲线方程；,,a b c （2）先根据点差法求直线方程，再根据弦长公式即可求出．【详解】解：（1）根据题意，焦点在轴上，且，y c =a =1b =双曲线的标准方程为；22:12y C x -=（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，当直线斜率不()1,1Q l C M N Q MN 存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；1x =MN x 当斜率存在时，设直线方程为，设，，()11y k x =-+()11,M x y ()22,N x y 则，化简可得，()221112y k x y x ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩()()2222222210k x k k x k k ---+--=因为有两个交点，所以()()22222242210k kk k k ⎡⎤∆=----->⎣⎦化简可得恒成立，22210k k -->21222122222,212k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪-∴⎨--⎪=⎪-⎩因为恰好为线段的中点，则，()1,1Q MN 222222k kk -=-化简可得，2k =所以直线方程为，即.()211y x =⨯-+210x y --=此时，1212212x x x x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩==【点睛】关于圆锥曲线的中点弦问题：直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题；(2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)弦长为定值时，弦中点的坐标问题．其解法主要是点差法，设而不求，得到结果．19．已知函数.()()221ln f x ax a x x=-+-12a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(1)当时，证明：；1a =-()31f x x x ≥--(2)讨论的单调性.()f x 【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）构造函数，利用函数的最值即可证明不等()()()311ln 1,0g x f x x x x x x ⎛⎫=---=-+> ⎪⎝⎭式；（2），对分类讨论即可得出函数的单调性．()()()212ax x f x x --'=a ()f x 【详解】（1）当时，令，1a =-()()()311ln 1,0g x f x x x x x x ⎛⎫=---=-+> ⎪⎝⎭，()22111x g x x x x -'=-=可得时，，函数单调递减；(0,1)x ∈()0g x '<()g x 时，，函数单调递增， (1,)x ∈+∞()0g x '>()f x 时，函数取得极小值即最小值，，1x ∴=()g x ()1g 0=∴，即．()0g x ≥()31f x x x ≥--（2）函数的定义域为，(0,)+∞，()()()2212212ax x a f x a x x x --+'=-+=当时， 时，，函数单调递增；时，，函数单调0a ≤(0,2)x ∈()0f x ¢>()f x (2,)x ∈+∞()0f x '<()f x 递减；当时，时，，函数单调递增区间为；102a <<1(0,2),x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x ¢>()f x 1(0,2),,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，，函数单调递减；1(2,)x a ∈()0f x '<()f x 当时，，，函数在单调递增．12a =()()2222x f x x -'=()0f x '≥()f x (0,)+∞综上，当时，函数在单调递增，在单调递减；0a ≤()f x (0,2)(2,)+∞当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；102a <<()f x 1(0,2),,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x 1(2,)a 当时，函数在上单调递增.12a =()f x (0,)+∞20．在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防护用品．某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模．已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元，每生产x 万件，还需投入万0.1x 元的原材料费，全部售完可获得万元，当月产量不足5万件时，；当月()p x 21() 4.112p x x x =-++产量不低于5万件时，，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全8()13ln 0.1p x x x x =--+部售完．(1)求月利润（万元）关于月产量（万件）的函数关系式，并求出月产量为3万件时，该厂这个y x 月生产口罩所获得的利润；(2)月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大？最大约为多少万元？（精确到）0.1参考数据：．ln 20.69≈【答案】(1)；7.5万元214,05,2812ln , 5.x x x y x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩(2)当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9万元【分析】（1）利润等于销售收入减去固定成本减去原材料费（2）分段函数的最值，先分段求，再比较，较大的是最大值【详解】（1）当时；05x <<22114.1110.1422y x x x x x=-++--=-+当时， 5x ≥8813ln 0.110.112ln y x x x x x x =--+--=--故月利润y 关于月产量x 的函数关系式为214,05,2812ln , 5.x x x y x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩当时，3x =19437.52y =-⨯+⨯=故月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润为7.5万元．（2）当时，，05x <<22114(4)822y x x x =-+=--+故当时，y 取得最大值，最大值为8万元； 4x =当时，，5x ≥812ln y x x =--．22188x y x x x '-=-+=当时，，当时，，58x ≤<0'>y 8x >0'<y 所以在上单调递增，在上单调递减，812ln y x x =--[5,8)(8,)+∞故当时，y 取得最大值，且．8x =max 12ln81113ln 28.9y =--=-≈因为，所以当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.98>8.9万元．21．已知函数.()()2e 1x f x x =+(1)若在上是增函数，求实数的取值范围；()()221e 2x g x f x x x kx =---R k (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.210x x >>()()212212ee x x af x f x ->-a 【答案】(1)(],1-∞(2)e 2a ≤【分析】（1）由在上是增函数，可得在上恒成立，再由参数分离法即可求得()g x R ()0g x '≥R 的取值范围.k （2）当时，恒成立，所以在上单调递增，且0x >()()2e 210x f x x x '=++>()f x ()0,∞+.由，可得，再构造函数，则问题等价()()010f x f >=>210x x >>()()21f x f x >()()2e xg x af x =-于函数在上单调递增，()g x ()0,∞+即在上恒成立，即参数分离后，只需求()()22e 0x g x af x ''=-≥()0,∞+()222e 2e 21x xa f x x x ≤='++即可得的取值范围.22e 21xx x ++a 【详解】（1）依题， 故，()21e 2x g x x kx =--()e x g x x k ='--在上是增函数，在上恒成立.()g x R ()0g x '∴≥R即：在上恒成立.e xk x ≤-R 设，则()e x m x x=-()e 1x m x '=-当时，；当时，(),0x ∈-∞()0,m x '<()0,x ∈+∞()0,m x '>即在上单调递减；在在上单调递增()m x (),0∞-()m x ()0,∞+()()min 01m x h ∴== 1k ∴≤即的取值范围为：k (],1-∞（2）当时，恒成立，0x >()()2e 210x f x x x '=++>所以在上单调递增，且.()f x ()0,∞+()()010f x f >=>因为，所以，210x x >>()()21f x f x >则不等式可化为，()()212212e e x x a f x f x ->-()()212221e e x x a f x f x ->-⎡⎤⎣⎦即.()()212221e e x x af x af x ->-令，因为，则问题等价于函数在上单调递增，()()2e x g x af x =-210x x >>()g x ()0,∞+即在上恒成立，()()22e 0x g x af x ''=-≥()0,∞+即，.()222e 2e 21x xa f x x x ≤='++()0,x ∈+∞令，，()22e 21xp x x x =++()0,x ∈+∞则.()()()()()()()()22223222e 212e 222e 12e 112121x x x x x x x x x p x x x x x x ++-+--===+++++'令，解得，()0p x '=1x =所以当时，，函数在上单调递减；()0,1x ∈()0p x '<()p x ()0,1当时，，函数在上单调递增；()1,x ∈+∞()0p x '>()p x ()1,+∞所以当时，函数取得最小值，且，1x =()p x ()()min e 12p x p ==所以当时，，()0,x ∈+∞()()e12p x p ≥=所以.e2a ≤【点睛】本题考查的是函数与导数的综合运用，导数求函数的最值，函数不等式恒成立问题以及参数分离法的灵活运用，属于较难题.22．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．()0,1A -()0,1B P PB AB PA BA=⋅ P C （1）求的方程；C （2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过D =2y -D CEF EF 定点．【答案】（1）；（2）证明见解析.24x y =【分析】（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得的方程；C （2）设，，，利用导数得出切线的方程，由在切线上，从而(),2D t -()11,E x y ()22,F x y ,DE DF D 可得直线的方程，由直线方程可得定点坐标．EF 【详解】（1）设，则，，(),P x y (),1PA x y =---(),1PB x y =--，，()0,2AB =()0,2BA =-所以，，PB AB PA BA=⋅ 1y=+化简得．24x y =所以，的方程为．C 24x y =（2）由题设可设，，，(),2D t -()11,E x y ()22,F x y 由题意知切线，的斜率都存在，DE DF由，得，则，24x y =24x y =2xy '=所以，12DE x k =直线的方程为，即，①DE ()1112x y y x x -=-211122x x y y x -=-因为在上，所以，即，②()11,E x y 24x y =2114x y =21122x y =将②代入①得，11220x x y y --=所以直线的方程为DE 11220x x y y --=同理可得直线的方程为．DF 22220x x y y --=因为在直线上，所以，(),2D t -DE 11240tx y -+=又在直线上，所以，(),2D t -DF 22240tx y -+=所以直线的方程为，EF 240tx y -+=故直线过定点．EF ()0,2【点睛】关键点点睛：本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由在切线上，根据直线方程的意义得出D 直线方程，然后得定点坐标．EF。
人教版选修2-1抛物线测试题2
抛物线测试题（2） 一．选择题1.抛物线2y ax =的准线方程为y=1,则实数a 的值是… ( ) A.14B.12C.14-D.12-解析:抛物线2y ax =化为21ax y =,由于其准线方程为y=1,故a<0,且|14a |=1, 解得14a =-.答案:C2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是10，则P 点的坐标为( )A ．(9,6)B ．(6,9)C ．(±6,9)D ．(9，±6)解析：选D.设P (x 0，y 0)，则x 0－(－1)＝10，即x 0＝9，代入抛物线方程，得y 20＝36，即y 0＝±6. 3.若抛物线2y x =上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( )A.14(B.18(C.14( D.18(解析:由抛物线定义可得,P 到顶点的距离等于它到抛物线焦点的距离,∴P 点的横坐标为20128p +=.∴18(P .答案:B4..若抛物线2y x =上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( )A.14(B.18(C.14( D.18(解析:由抛物线定义可得,P 到顶点的距离等于它到抛物线焦点的距离,∴P 点的横坐标为20128p +=.∴18(P .答案:B5. 对任意实数θ，则方程22sin 4x y θ+=所表示的曲线不可能是(A ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆6.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( ) A.12B.1C.2D.4解析:抛物线22y px =的准线为2px =-与圆2(3)x -+216y =相切,∴21p-=-.∴p=2.答案:C7.点P 是抛物线24y x =上一动点,则点P 到点A(0,-1)的距离与P 到直线x=-1的距离和的最小值是 ( ) A.5B.3C.32D.2解析:抛物线焦点为F(1,0),AF 连线与抛物线交点P 为所求点,最小值为|AF|2=.答案:D8．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.116解析：选D.依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12px ，故18p ＝2，得p ＝116. 9．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：选A.由题意知，所求椭圆的一个焦点坐标为(－1,0)，即c ＝1，又e ＝12，所以a＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求的椭圆方程为x 24＋y 23＝1.10.已知F 是抛物线2y x =的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34B.1C.54D.74解析:如图,由抛物线的定义知,|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3.|CD|=32,所以中点C 的横坐标为32-5144=.答案:C11.抛物线2y x =-上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D.3解析:(方法一)设直线4x+3y+m=0与2y x =-相切,则联立两方程,消去y 得2340x x m --=.令0∆=,有m=-43.两直线间的距离为15|438()---|43=.(方法二)设抛物线2y x =-上一点为2()m m ,-, 该点到直线4x+3y-8=0的距离为15|2438m m --|,当23m =时,取得最小值为43.答案:A12.已知抛物线y 2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0，b>0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( ) A.B.+1C.+1D.【解析】选B.如图， 由双曲线-=1， 且AF ⊥x 轴得-=1得|y|=，由抛物线y 2=2px 的定义得 AF=p ，即=2c.得b 2=2ac ，所以=，e 2-1=2e ，所以e=+1.13.设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A.1122[]-,B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]解析:设直线方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立,得 28(2)y x y k x ⎧=,⎨=+,⎩ 消去x 得到关于y 的方程28160ky y k -+=.当k=0时,直线与抛物线有一个交点;当0k ≠时,令264640k ∆=-≥,解得10k -≤<或0<k ≤1.所以11k -≤≤. 答案:C 二．填空题14.抛物线2y x =-的焦点坐标为_____. 答案:14(0),-15.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为_____. 解析:抛物线焦点为4(0)a F ,,则直线l 的方程为y=2(x-4)a.令x=0得2(0)a A ,-, 则12OAFS=⋅|4a |⋅|2a|=4,∴8a =±.∴抛物线方程为28y x =±. 答案:28y x =±16．已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，又△FAB 为直角三角形，则只有∠AFB ＝90°，如图，则A (－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a 2＝15，于是c ＝a 2＋1＝65. 故e ＝c a＝ 6. 答案： 617．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题8(附答案)
4．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是（）
A．2mB．8mC．10mD．12
5．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（）
13．体育测试时，初三一名学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线 的一部分，该同学的成绩是________．
14．铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝﹣ x2+ x+ ，铅球推出后最大高度是_____m，铅球落地时的水平距离是______m.
15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是 ，则小球从抛出到落地所用的时间是______ s．
（2）网球在斜坡的落点 的垂直高度.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
礼炮到最高点爆炸，那么所需时间为t= ,代入相应数据才能正确解答.
【详解】
解：当礼炮到达最高点时，即为抛物线的顶点，此时t= ，故选：B.
【点睛】
考查二次函数的应用；判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键.
2．A
（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
26．以40m/s的速度将小球沿与地面成约45°角的方向击出，小球的飞行路线是一条抛物线，我们不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：米）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t－5t2.
3．D
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抛物线测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．抛物线22x y =的焦点坐标是 （ ）A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0(D ． )41,0(2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ）A ．y x 82=B ．y x 42=C ．y x 42-=D ．y x 82-=3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 （ ）A ．15B ．152C ．215D ．154．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ）A.y x 292-=或x y 342= B.x y 292-=或y x 342= C.y x 342= D.x y 292-= 5．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．26．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,, 成等差数列，则 （ ） A ．321,,x x x 成等差数列 B ．231,,x x x 成等差数列 C ．321,,y y y 成等差数列 D ．231,,y y y 成等差数列7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PB PA + 取得最小值时点P 的坐标是 （ ）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（2，2）D ．)1,21(8．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(),,(2211y x B y x A , 则关系式2121x x y y 的值一定等于 （ ）A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，则qp 11+= （ ）A ．a 2B ．a21C ．a 4D ．a410．若AB 为抛物线y 2=2p x (p>0)的动弦，且|AB|=a (a >2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是 （ ）A ．2aB ．2pC ．2pa + D ．2pa - 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12、直线x y --=10截抛物线y x 28=，所截得的弦中点的坐标是 13、抛物线y px p 220=>()上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为14、设F 为抛物线24y x =的焦点，AB C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0u u u r u u u r u u u r ，则FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r15、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y 轴上； （2）焦点在x 轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5； （5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y 2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______． 三、解答题16．（12分）已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图） （1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程.17．（12分）已知抛物线12-=ax y 上恒有关于直线0=+y x 对称的相异两点，求a 的取值范围.18．（12分）抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.19、（12分）已知抛物线C 的方程C ：)0(22>=p px y 过点A （1，-2）.（I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20．（13分）已知抛物线y 2=4ax (0＜a ＜1＝的焦点为F ，以A(a +4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点． （1）求｜MF ｜+｜NF ｜的值；（2）是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.21．（14分）如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点. （1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方 （含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11．)42,81(± 12． 13． 15． （2），（5） 三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线px y 22=上，有2282⋅=p ，解得p=16. 所以抛物线方程为x y 322=，焦点F 的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的 定比分点，且2=FMAF，设点M 的坐标为),(00y x ，则 02128,8212200=++=++y x ，解得4,1100-==y x ， 所以点M 的坐标为（11，－4）．（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在 的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：).0)(11(4≠-=+k x k y由⎩⎨⎧=-=+xy x k y 32),11(42消x 得0)411(32322=+--k y ky ， 所以ky y 3221=+，由（2）的结论得4221-=+y y ，解得.4-=k因此BC 所在直线的方程为：.0404=-+y x 16．（12分）[解析]：设在抛物线y=ax 2－1上关于直线x +y=0对称的相异两点为P(x ,y),Q(－y,－x )，则⎪⎩⎪⎨⎧-=--=1122ay x ax y ②①，由①－②得x +y=a (x +y)(x －y),∵P、Q 为相异两点，∴x +y≠0，又a ≠0，∴a1y ,1-==-x a y x 即，代入②得a 2x 2－ax －a +1=0，其判别式△=a 2－4a 2(1－a )＞0，解得43>a ． 17．（12分）[解析]：设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)21,2(+y x C ，L:y=k x －1,代入抛物线方程得x 2－4k x +4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2－16＞0，即|k|＞1 ①，2442)(4221221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ，∵C 为AB 的中点.∴1222122222222-=+=+=+=kyyykxxx⇒3442-==kykx，消去k得x2=4(y+3),由①得，4>x，故动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)( 4>x)．18．19．（14分）[解析]：（1）F（a,0）,设),(),,(),,(2211yxPyxNyxM，由16)4(4222=+--=yaxaxy)8()4(222=++-+⇒aaxax，)4(2,021axx-=+∴>∆Θ，8)()(21=+++=+axaxNFMF（2）假设存在a值，使的NFPFMF,,成等差数列，即42=⇒+=PFNFMFPFax-=442)2(41616)24(16)(2122212212222222yyyyyyyaayyayax++=+=-=⇒=+-⇒=+-212121212)(444244xxaxxaaxaxaxax++=++==⇒++-aaaaa82)4(22=++-aaaaa82)4(222416aa-1=⇒a122121<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>>+>∆ayxxxx矛盾.∴假设不成立．即不存在a值，使的NFPFMF,,成等差数列．或解: 4=PF ax-=4⇔4=+ax知点P在抛物线上. 矛盾.20．（14分）【解】(1) 解方程组 481212-==xy xy 得 2411-=-=y x 或 4822==y x 即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==21,直线AB 的垂直平分线方程 y －1=21(x －2). 令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5)． (2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x ,81x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离 d=24812-+x x =3282812-+x x ,25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x .∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8.∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30．。