题库-几何探究题
最新九年级数学中考复习：几何探究题--线段问题含答案
（1）猜想线段AE和BG的关系，请直接写出你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D顺时针方向旋转一定角度后（旋转角大于0°，小于或等于360°），如图2，判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
问题探究：
（1）如图1，若 、 都是直角，把 绕点A逆时针旋转90°至 ，使AB与AD重合，则 ______度，线段BE、DF和EF之间的数量关系为______；
问题再探：
（2）如图2，若 、 都不是直角，但满足 ，线段BE、DF和EF之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（1）如图1，求∠BDC的度数（用含α的式子表示）．
（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；
（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接 ．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．．
17．（1）发现问题：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点F为BC上一点，以BF为边作正方形BFED，点E在AB上，若AC＝BC＝2，BF＝ ，则 ＝；
②当点D到直线BC的距离等于2时，DG的长为；
③当以点A、C、D、B为顶点的四边形时矩形时，点P在线段DG上，且∠CPG与∠A互余，连接CP，则直线CP与AB所夹锐角的正切值为．
11．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点
【观察猜想】
(2)如图2，点D在AC左侧且在点A上方，连接BE交CD于点M，F为BE上一点，连接DF，过点F作FG∥AC交BC延长线于点G，连接GM，EG，AD．若∠EDF+∠EBG＝∠DEB，GM＝BM．求证：AD＝EF．
中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题（含答案）题型解读1.考查类型：①动点探究题；②平移、旋转、折叠探究题；③图形形状变化探究题.2.考查内容：①多与特殊四边形的性质、三角形全等、相似的判定和性质有关；②涉及平移、旋转或折叠的相关性质；③多与二次函数的性质有关.3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，联系相关的知识解题，对结果猜想题根据前面问题大胆猜想，往往是解题的突破口．类型一动点探究题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．2.如图①，菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F.(1)如图②，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC＋CF＝BC；(2)知识探究：①如图③，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G 的运动过程中，若ACCG ＝t ，请直接写出线段EC 、CF 与BC 的数量关系(不需要写出证明过程)；(3)问题解决：如图④，已知菱形边长为8，BG ＝7，CF ＝65，当t ＞2时，求EC 的长度．图①3.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm .对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s )(0<t<6)，解答下列问题： (1)当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2)，试确定S 与t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．4.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF. (1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．类型二 平移、旋转、折叠探究题5.如图①，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图②，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．图①图②图③6.在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接．．写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接．．写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．7.已知矩形ABCD中AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4，求边CD 的长；(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N 在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．图①图②8.问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB、C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形．请你证明这个结论；实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图③中BC＝13 cm，AC＝10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″，使四边形BCC″D′恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；(4)请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图④中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．9.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．10.如图①，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，BP ＝1，∠MPN ＝90°，将∠MPN 绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB(或AD)于点E ，PN 交边AD(或CD)于点F ，当PN 旋转至PC 处时，∠MPN 的旋转随即停止．(1)特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ， 此时，△ABP________△PCD(填“≌”或“∽”)；(2)类比探究：如图③，在旋转过程中，PEPF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；(3)拓展延伸：设AE ＝t ，△EPF 的面积为S ，试确定S 关于t 的函数关系式；当S ＝4.2时，求所对应的t 值．11.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．类型三图形形状变化探究题12.如图①，②，③分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC.图①(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．图②(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图③中∠BOC＝________(填写度数)．图③图④(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想∠BOC的度数为____________________(用含n的式子表示)．13.阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sinα的值叫做这个平行四边形的变形度．(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，1sinα之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图②，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4m(m>0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2m(m>0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．14.已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°. (1)如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；(2)如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．15.已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到E ，使得AE ＝OA ，以OB ，OC 为邻边作▱OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，再连接EF.(1)如图①，若△ABC 为等边三角形，求证：①EF⊥BC； ②EF ＝3BC ；(2)如图②，若△ABC 为等腰直角三角形(BC 为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；(3)如图③，若△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC ＝kBC ，请你直接写出EF 与BC 之间的数量关系．类型一 动点探究题1. 解：(1)根据题意BM ＝2t ，BN ＝BC －3t ，而BC ＝5×tan 60°＝5 3.∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15. (2)分类讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如解图①， △NBM ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BM BN ，∴2t 53－3t ＝32，解得t ＝157.②当∠BNM ＝∠ACB ＝90°时，如解图②， △MBN ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BNBM， ∴53－3t 2t ＝32，解得t ＝52. 因此当运动时间是157秒或52秒时，△MBN 与△ABC 相似．第1题解图(3)由于△ABC 面积是定值，∴当四边形ACNM 面积最小时，△MBN 面积最大， 而△MBN 的面积是S ＝12BM ×BN ×sin B＝12×2t ×(53－3t)×12＝－32t 2＋532t ， 由于a ＝－32＜0， ∴当t ＝－5322×（－32）＝52时，△MBN 面积最大，最大值是－32×(52)2＋532×52＝2538， 因此四边形ACNM 面积最小值是12×5×53－2538＝7538.2. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∠B ＝∠ACF ＝60°，AB ＝BC ， ∴AB ＝AC ，∵∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAF ， 在△BAE 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF AB ＝AC ∠B ＝∠ACF， ∴△BAE ≌△CAF(ASA )， ∴BE ＝CF ，∴EC ＋CF ＝EC ＋BE ＝BC ，即EC ＋CF ＝BC ；(2)解：①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为： EC ＋CF ＝12BC.理由如下：如解图①，过点A 作AE′∥EG ，AF ′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′.第2题解图①类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵G 为AC 中点，AE ′∥EG ， ∴CE CE′＝CG AC ＝12， ∴CE ＝12CE′，同理可得：CF ＝12CF′，∴CE ＋CF ＝12CE′＋12CF′＝12(CE′＋CF′)＝12BC ，即CE ＋CF ＝12BC ；②CE ＋CF ＝1tBC ；【解法提示】类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵AE ′∥EG ，ACCG ＝t ，∴CE CE′＝CG AC ＝1t，∴CE ＝1tCE′，同理可得：CF ＝1tCF′，∴CE ＋CF ＝1t CE′＋1t CF′＝1t (CE′＋CF′)＝1t BC ，即CE ＋CF ＝1tBC.(3)解：如解图②，连接BD 与AC 交于点H.第2题解图②在Rt △ABH 中，∵AB ＝8，∠BAC ＝60°， ∴BH ＝AB·sin 60°＝8×32＝43， AH ＝CH ＝AB·cos 60°＝8×12＝4，∴GH ＝BG 2－BH 2＝72－（43）2＝1， ∴CG ＝4－1＝3， ∴CG AC ＝38， ∴t ＝83(t ＞2)，由(2)②得：CE ＋CF ＝1t BC ，∴CE ＝1t BC －CF ＝38×8－65＝95.∴EC 的长度为95.3. 解：(1)分三种情况： ①若AP ＝AO ，在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10，第3题解图①∴AO ＝CO ＝5，∴AP ＝5， ∴t ＝5，②若AP ＝PO ＝t ， 在矩形ABCD 中， ∵AD ∥BC ，∴∠PAO ＝∠OCE ，∠APO ＝∠OEC ， 又∵OA ＝OC ，∴△APO ≌△CEO ，∴PO ＝OE ＝t.如解图①，作AG ∥PE 交BC 于点G ，则四边形APEG 是平行四边形， ∴AG ＝PE ＝2t ，GE ＝AP ＝t. 又∵EC ＝AP ＝t ，∴BG ＝8－2t.在Rt △ABG 中，根据勾股定理知62＋(8－2t)2＝(2t)2， 解得t ＝258.第3题解图②③若OP ＝AO ＝5，则t ＝0或t ＝8，不合题意，舍去． 综上可知，当t ＝5或t ＝258时，△AOP 是等腰三角形．(2)如解图②，作OM ⊥BC ，垂足是M ，作ON ⊥CD ，垂足是N. 则OM ＝12AB ＝3，ON ＝12BC ＝4，∴S △OEC ＝12·CE·OM ＝12·t·3＝32t ，S △OCD ＝12·CD·ON ＝12·6·4＝12.∵QF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ， ∴S △DFQ S △DOC ＝(DQ DC)2，即S △DFQ 12＝(t 6)2，∴S △DFQ ＝13t 2，∴S 四边形OFQC ＝12－13t 2，∴S 五边形OECQF ＝S 四边形OFQC ＋S △OEC ＝12－13t 2＋32t ，即S ＝－13t 2＋32t ＋12(0＜t ＜6)．(3)存在．理由如下：要使S 五边形OECQF ：S △ACD ＝9∶16，即(－13t 2＋32t ＋12)∶(12×6×8)＝9∶16，解得t 1＝3，t 2＝1.5，两个解都符合题意，∴存在两个t 值，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16，此时t 1＝3，t 2＝1.5； (4)存在．理由如下：如解图③，作DI ⊥OP ，垂足是I ，DJ ⊥OC ，垂足是J ，第3题解图③作AG ∥PE 交BC 于点G.∵S △OCD ＝12·OC·DJ ＝12·5·DJ ，且由(2)知，S △OCD ＝12，∴DJ ＝245.∵OD 平分∠POC ，DI ⊥OP ，DJ ⊥OC ， ∴DI ＝DJ ＝245＝4.8.∵AG ∥PE ，∴∠DPI ＝∠DAG .∵AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGB ，∴∠DPI ＝∠AGB ， ∴Rt △ABG ∽Rt △DIP.由(1)知，在Rt △ABG 中，BG ＝8－2t ， ∴AB DI ＝BG IP ，∴64.8＝8－2t IP， ∴IP ＝45(8－2t)．在Rt △DPI 中，根据勾股定理得 (245)2＋[45(8－2t)]2＝(8－t)2， 解得t ＝11239.(t ＝0不合题意，舍去)4. (1)解：①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF. 【解法提示】①∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ， ∵BC ＝CD ＋BD ， ∴BC ＝CD ＋CF.(2)解：结论①仍然成立，②不成立． ①证明：∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②结论为：BC ＝CD －CF. 证明：∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.(3)解：如解图，过点E 作EM ⊥CF 于M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H. ∵AB ＝AC ＝22，第4题解图∴BC ＝4，AH ＝12BC ＝2，∵CD ＝14BC ，∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，∴CN ＝ME ，CM ＝EN ， ∴∠AGC ＝∠ABC ＝45°， ∴CG ＝BC ＝4，∵∠ADE ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠DEN ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DEN ，又∵∠AHC ＝∠DNE ＝90°，AD ＝DE ， ∴△AHD ≌△DNE ，∴DN ＝AH ＝2，EN ＝DH ＝3， ∴CM ＝EN ＝3，ME ＝CN ＝3， 则GM ＝CG －CM ＝4－3＝1， ∴EG ＝EM 2＋GM 2＝10.类型二 平移、旋转、折叠探究题5. (1)解：BD ＝CF 成立．理由如下：∵AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝θ，AF ＝AD ， ∴△ACF ≌△ABD ，∴CF ＝BD.(2)①证明：由(1)得，△ACF ≌△ABD ， ∴∠HFN ＝∠ADN ， 在△HFN 与△ADN 中，∵∠HFN ＝∠ADN ，∠HNF ＝∠AND ， ∴∠NHF ＝∠NAD ＝90°，第5题解图∴HD ⊥HF ，即BD ⊥CF.②解：如解图，连接DF ，延长AB ，与DF 交于点M ， 在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA ＝45°， ∴∠BMD ＝90°.在Rt △BMD 与Rt △FHD 中， ∵∠MDB ＝∠HDF ，∴△BMD ∽△FHD.∵AB ＝2，AD ＝32，四边形ADEF 是正方形， ∴MA ＝MD ＝322＝3，∴MB ＝MA －AB ＝3－2＝1，BD ＝MB 2＋MD 2＝12＋32＝10， 又∵MD HD ＝BD FD ，即3HD ＝106，∴DH ＝9105.6. (1)①证明：∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形；②证明：由①得△ABD 是等边三角形， ∴AB ＝BD ，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，又∵AC＝BC，∴EA＝ED，∴点B，E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF＝DF；③解：BE的长为33－4；【解法提示】由②知AF＝12AD＝12AB＝3，AE＝AC＝5，BF⊥AD，由勾股定理得EF＝AE2－AF2＝4.在等边△ABD中，AB＝6，BF⊥AD，∴BF＝32AB＝33，∴BE＝33－4.(2)解：BE＋CE的值为13；第6题解图【解法提示】如解图，∵∠DAG＝∠ACB，∴∠DAB＝2∠CAB.∵∠DAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CBA，∴AE∥BC，∵AE＝AC＝BC，∴四边形ACBE是菱形，∴CE 垂直平分AB ，BE ＝AC ＝5.设CE 交AB 于M ，则CM ⊥AB ，CM ＝EM ，AM ＝BM ， ∴在Rt △ACM 中，AC ＝5，AM ＝3， 由勾股定理得CM ＝4， ∴CE ＝8， ∴CE ＋BE ＝13.7. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，∠APO ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠CPO ＋∠DPA ＝∠DPA ＋∠DAP ＝90°， ∴∠DAP ＝∠CPO ， ∴△OCP ∽△PDA ， ∴S △OCP S △PDA ＝(CP DA)2，即14＝(CP8)2，∴CP ＝4，设CD ＝x ，则DP ＝x －4，AP ＝AB ＝CD ＝x ， ∵AP 2－DP 2＝AD 2， ∴x 2－(x －4)2＝82， 解得x ＝10， 故CD ＝10. (2)第7题解图线段EF 的长度始终不发生变化，为2 5.证明：如解图，过点N 作NG ⊥PB ，与PB 的延长线相交于点G ， ∵AB ＝AP ，∴∠APB ＝∠ABP ＝∠GBN ， 在△PME 和△BNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEP ＝∠NGB ＝90°∠MPE ＝∠NBG MP ＝NB， ∴△PME ≌△BNG(AAS )， ∴ME ＝NG ，PE ＝BG ， 在△FME 和△FNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEF ＝∠NGF ∠MFE ＝∠NFG ME ＝NG，∴△FME ≌△FNG(AAS )， ∴EF ＝GF ， ∴EF ＝12EG ，∵BP ＝BE ＋EP ＝BE ＋GB ＝EG ， ∴EF ＝12BP ，∵BP ＝BC 2＋CP 2＝82＋42＝45， ∴EF ＝12BP ＝2 5.8. (1)解：菱形．(2)证明：如解图①，作AE ⊥CC′于点E ， 由旋转得AC′＝AC ，∴∠CAE ＝∠C′AE ＝12α＝∠BAC ，第8题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴BA ＝BC ，BC ＝DC′， ∴∠BCA ＝∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BCA ， ∴AE ∥BC ， 同理AE ∥DC′， ∴BC ∥DC ′，∴四边形BCC′D 是平行四边形， 又∵AE ∥BC ，∠CEA ＝90°， ∴∠BCC ′＝180°－∠CEA ＝90°，∴四边形BCC′D 是矩形．(3)解：如解图①，过点B 作BF ⊥AC 于点F ， ∵BA ＝BC ，∴CF ＝AF ＝12AC ＝12×10＝5.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2－CF 2＝132－52＝12. 在△ACE 和△CBF 中，∵∠CAE ＝∠BCF ，∠CEA ＝∠BFC ＝90°， ∴△ACE ∽△CBF ， ∴CE BF ＝AC BC ，即CE 12＝1013， 解得CE ＝12013.∵AC ＝AC′，AE ⊥CC ′， ∴CC ′＝2CE ＝2×12013＝24013.当四边形BCC″D′恰好为正方形时，分两种情况： ①点C″在边CC′上，a ＝CC′－13＝24013－13＝7113，②点C″在边C′C 的延长线上，a ＝CC′＋13＝24013＋13＝40913.综上所述，a 的值为7113或40913.第8题解图②(4)解：答案不唯一，例：画出正确图形如解图②所示．平移及构图方法：将△ACD 沿着射线CA 方向平移，平移距离为12AC 的长度，得到△A ′C ′D ，连接A′B ，DC.结论：四边形A′BCD 是平行四边形．9. 解：(1)∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF .∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴S △AEF S △ACB ＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB )2， ∴(AE AB )2＝14. 在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52.(2)第9题解图①①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图①，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形． 又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②如解图①，连接AM ，AM 与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则ME ＝AE ＝x ，EC ＝4－x. ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴△ECM ∽△ACB. ∴EC AC ＝EMAB ， ∵AB ＝5，AC ＝4， ∴4－x 4＝x5， 解得x ＝209，∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169.在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2， 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43. ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S 菱形AEMF ＝4S △AOE ＝2OE·AO. 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠MAC ， ∴OE AO ＝CM AC. ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE·CM ，∴6OE 2＝209×43，∴OE ＝2109，∴EF ＝4109. (3)如解图②，第9题解图②过点F 作FH ⊥CB 于点H ，在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47， 设FH ＝x ，则NH ＝74x ，∴CH ＝NH －NC ＝74x －1.∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x.在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan ∠FBH ＝tan ∠ABC ， ∴HF BH ＝CA BC ， ∴x4－74x ＝43， 解得x ＝85，∴HF ＝85.∵∠B ＝∠B ，∠BHF ＝∠BCA ＝90°， ∴△BHF ∽△BCA ， ∴HF CA ＝BFBA，即HF·BA ＝CA·BF ， ∴85×5＝4BF ，∴BF ＝2，∴AF ＝AB －BF ＝3， ∴AF BF ＝32. 10. 解：(1)△ABP ∽△PCD. 【解法提示】∵∠MPN ＝90°， ∴∠APB ＋∠DPC ＝90°， ∵∠B ＝90°，∴∠APB ＋∠BAP ＝90°， ∴∠DPC ＝∠BAP ， 又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△ABP ∽△PCD.(2)在旋转过程中，PEPF 的值为定值．如解图，过点F 作FG ⊥BC ，垂足为G.第10题解图类比(1)可得：△EBP ∽△PGF ， ∴EP PF ＝PB FG， ∵∠A ＝∠B ＝∠FGB ＝90°， ∴四边形ABGF 是矩形， ∴FG ＝AB ＝2， ∵BP ＝1， ∴PE PF ＝12， 即在旋转过程中，PE PF 的值为定值12.(3)由(2)知△EBP ∽△PGF ， ∴EB PG ＝BP GF ＝12， 又∵AE ＝t ， ∴BE ＝2－t ，∴PG ＝2(2－t)＝4－2t ，∴AF ＝BG ＝BP ＋PG ＝1＋(4－2t)＝5－2t ，∴S ＝S 矩形ABGF －S △AEF －S △BEP －S △PFG＝2(5－2t)－12t(5－2t)－12×1×(2－t)－12×2×(4－2t)＝t 2－4t ＋5,即S ＝t 2－4t ＋5(0≤t ≤2)， 当S ＝4.2时，4.2＝t 2－4t ＋5，解得：t 1＝2－455，t 2＝2＋455(不合题意，舍去)．∴t 的值是2－455.11. 解：(1)如解图①，在△ABC 中， ∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2，又∵D 是AB 的中点，第11题解图①∴AD ＝1，CD ＝12AB ＝1，又∵EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝DF ＝12，在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°，∴△ACD 为等边三角形， ∴∠ADC ＝60°， 在△FGD 中，GF ＝DF·sin 60°＝34， ∴矩形EFGH 的面积S ＝EF·GF ＝12×34＝38.(2)如解图②，设矩形移动的距离为x ，则0＜x ≤12，①当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，则0＜x ≤14，重叠部分的面积S ＝12x·3x ＝316，第11题解图②∴x ＝24＞14(舍去)， ②当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，则14＜x ≤12，重叠部分的面积S ＝34x －12×14×34＝316， ∴x ＝38，即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是316.第11题解图③(3)如解图③，作H 2Q ⊥AB 于Q ， 设DQ ＝m ，则H 2Q ＝3m ， 又DG 1＝14，H 2G 1＝12，在Rt △H 2QG 1中， (3m)2＋(m ＋14)2＝(12)2，解得m 1＝－1＋1316，m 2＝－1－1316＜0(舍去)，∴cos α＝QG 1F 1G 1＝－1＋1316＋1412＝3＋138.类型三 图形形状变化探究题12. (1)证明：∵△ABD 、△ACE 是等边三角形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠CAE ＝∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＋∠BAC ＝∠DAB ＋∠BAC ，即∠BAE ＝∠DAC ， 在△ABE 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAE ＝∠DAC AE ＝AC， ∴△ABE ≌△ADC(SAS )． (2)解：∠BOC ＝90°.理由如下： 由(1)得△ABE ≌△ADC ，∴∠EBA ＝∠CDA.∵∠FBA ＋∠FDA ＝180°，∴∠FBA －∠EBA ＋∠FDA ＋∠CDA ＝180°， 即∠FBO ＋∠FDO ＝180°.在四边形FBOD 中，∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝360°－∠F －(∠FBO ＋∠FDO)＝90°， ∴∠BOC ＝90°. (3)解：72°.【解法提示】∠BOC ＝180°－108°＝72°.(4)解：180°－180°·（n －2）n.【解法提示】由(3)可知，∠BOC 度数应为180°减去正多边形内角度数． 13. 解：(1)233.【解法提示】sin 120°＝32，故这个平行四边形的变形度是233. (2)1sin α＝S 1S 2，理由如下： 如解图，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，第13题解图则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝hb ，∴S 1S 2＝ab ah ＝b h ， 又∵1sin α＝b h ，∴1sin α＝S 1S 2. (3)由AB 2＝AE·AD ，可得A 1B 21＝A 1E 1·A 1D 1，即A 1B 1A 1D 1＝A 1E 1A 1B 1. 又∵∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1， ∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1， ∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1， ∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1. 由(2)结论1sin α＝S 1S 2，可得1sin ∠A 1B 1C 1＝4m2m ＝2，∴sin ∠A 1B 1C 1＝12，∴∠A 1B 1C 1＝30°，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°. 14. (1)①证明：如解图①， ∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°，第14题解图①∴∠ACE ＝∠BCF ，又∵四边形ABCD 和EFCG 是正方形， ∴AC BC ＝CECF＝2， ∴△CAE ∽△CBF.②解：∵AE BF ＝ACBC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝AE2＝2， 由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF ， 又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°，第14题解图②由CE 2＝2EF 2＝2(BE 2＋BF 2)＝6， 解得CE ＝ 6.(2)解：连接BF ，如解图②，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，AC BC ＝AE BF， 由AB BC ＝EFFC＝k ，可得BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶k 2＋1， CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶k 2＋1，∴CE EF ＝ACAB ＝k 2＋1k ，AE BF ＝AC BC＝k 2＋1， ∴EF ＝kCE k 2＋1，EF 2＝k 2CE 2k 2＋1，BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1，∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k2(BE 2＋BF 2)， ∴32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)， 解得k ＝104. (3)解：p 2－n 2＝(2＋2)m 2.【解法提示】如解图③，连接BF ，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°， 过点C 作CH ⊥AB 交AB 延长线于点H ， 类比第(2)问得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，第14题解图③EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)， ∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2，∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.15. 证明：(1)①连接AH ，如解图①. 第15题解图①∵四边形OBFC 是平行四边形， ∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2， ∴AH ＝BC 2－（12BC ）2＝32BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ，∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC.②由①得AH ＝32BC ，∵AH ＝12EF∴32BC ＝12EF ，∴EF ＝3BC.(2)EF ⊥AB 仍然成立，EF ＝BC.第15题解图②【解法提示】如解图②，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(2BH)2－BH2＝BH2，∴AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，EF＝2AH＝BC.第15题解图③(3)EF＝4k2－1 BC.【解法提示】如解图③，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝kBC，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(kBC)2－(12＝(k2－14)BC2，2BC)∴AH＝12－1 BC，24k∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，12－1 BC＝12EF，24k∴EF＝4k2－1 BC.。
初中数学(几何探究型问题)题库及答案
初中数学（几何探究型问题）题库及答案1．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE为△ABC的中内弧．例如，图1中DE 是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t12=，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【解析】（1）如图2，以DE为直径的半圆弧DE，就是△ABC的最长的中内弧DE，连接DE.∵∠A=90°，AB=AC=D，E分别是AB，AC的中点.∴BC sin AC B ===4，DE 12=BC 12=⨯4=2.∴弧12DE =⨯2π=π． （2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG ⊥AC 交FP 于G .①当t 12=时，C （2，0），∴D （0，1），E （1，1），F （12，1）.设P （12，m ）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE 上方射线FP 上均可，∴m ≥1.∵OA =OC ，∠AOC =90°. ∴∠ACO =45°. ∵DE ∥OC .∴∠AED =∠ACO =45°.作EG ⊥AC 交直线FP 于G ，FG =EF 12=. 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G ）直线FP 上时也符合要求. ∴m 12≤.综上所述，m 12≤或m ≥1． ②如图4，设圆心P 在AC 上.∵P 在DE 中垂线上.∴P 为AE 中点，作PM ⊥OC 于M ，则PM 32=. ∴P （t ，32）. ∵DE ∥BC .∴∠ADE =∠AOB =90°.∴AE === ∵PD =PE . ∴∠AED =∠PDE .∵∠AED +∠DAE =∠PDE +∠ADP =90°. ∴∠DAE =∠ADP . ∴AP =PD =PE 12=AE .由三角形中内弧定义知，PD ≤PM .∴12AE 32≤，AE ≤3≤3，解得：t ≤ ∵t >0. ∴0<t≤【名师点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．2．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E 的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′=t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；S t的取值范围（直接写出结果即可）．【解析】（Ⅰ）∵点A（6，0）.∴OA=6.∵OD=2.∴AD=OA-OD=6-2=4.∵四边形CODE是矩形.∴DE∥OC.∴∠AED=∠ABO=30°.在Rt△AED中，AE=2AD=8，ED===∵OD =2.∴点E 的坐标为（2，．（Ⅱ）①由平移的性质得：O ′D ′=2，E ′D ME ′=OO ′=t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB . ∴∠E ′FM =∠ABO =30°.∴在Rt △MFE ′中，MF =2ME ′=2t ，FE ′===.∴S △MFE ′12=ME ′·FE ′12=⨯t 22=.∵S 矩形C ′O ′D ′E ′=O ′D ′·E ′D =∴S =S 矩形C ′O ′D ′E ′-S △MFE ′.∴S 2=-t 2，其中t 的取值范围是：0<t <2；②当S =O 'A =OA -OO '=6-t .∵∠AO 'F =90°，∠AFO '=∠ABO =30°.∴O 'F ='A =6-t ）.∴S 12=（6-t ）（6-t ）=解得：t =6，或t =6.∴t =6S 时，如图④所示：O 'A =6-t ，D 'A =6-t -2=4-t .∴O 'G =6-t ），D 'F =4-t ）.∴S 12=6-t ）4-t ） 解得：t 52=.S t 的取值范围为52≤t ≤6．【名师点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键． 3．（2019•陕西）问题提出：（1）如图1，已知△ABC ，试确定一点D ，使得以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC ，且使∠BPC =90°，求满足条件的点P 到点A 的距离； 问题解决：（3）如图3，有一座塔A ，按规定，要以塔A 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE ．根据实际情况，要求顶点B 是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）【解析】（1）如图记为点D所在的位置．（2）如图.∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB．∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点.连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外.∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大.作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3.∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2.由对称性得AP2=8．（3）可以，如图所示，连接BD.∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°.∴BD=100，∠BED=60°.作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取BED的中点E′，连接E′B，E′D.则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形．连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′.∵E′A⊥BD.∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°.作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A.∴S△BDE12=·BD·EF12≤·BD·E′A=S△E′BD.∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·m2）.所以符合要求的BCDE的最大面积为2．【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．4．（2019•海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P 是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时.①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形.∴∠D=∠ECQ=90°.∵E是CD的中点.∴DE=CE.又∵∠DEP=∠CEQ.∴△PDE≌△QCE．（2）①∵PB=PQ.∴∠PBQ=∠Q.∵AD∥BC.∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD.∵△PDE≌△QCE.∴PE=QE.∵EF∥BQ.∴PF=BF.∴在Rt△P AB中，AF=PF=BF.∴∠APF=∠P AF.∴∠P AF=∠EPD.∴PE∥AF.∵EF∥BQ∥AD.∴四边形AFEP是平行四边形；②四边形AFEP不是菱形，理由如下：设PD=x，则AP=1-x.由（1）可得△PDE≌△QCE.∴CQ=PD=x.∴BQ=BC+CQ=1+x.∵点E、F分别是PQ、PB的中点.∴EF是△PBQ的中位线.∴EF12=BQ12x+=.由①知AP=EF，即1-x12x+ =.解得x1 3 =.∴PD13=，AP23=.在Rt△PDE中，DE1 2 =.∴PE==∴AP≠PE.∴四边形AFEP不是菱形．【名师点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点．5．（2019•江西）在图1，2，3中，已知ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC 上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=__________°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠F AD__________∠EAB（填“>”“<”“=”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上．（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BC的值．AB【解析】（1）∵四边形AEFG是菱形.∴∠AEF=180°-∠EAG=60°.∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°.故答案为：60°．（2）①∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠DAB=180°-∠ABC=60°.∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°.∴∠F AE=60°.∴∠F AD=∠EAB.故答案为：=．②如图，作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N.则∠FNB=∠FMB=90°.∴∠NFM=60°，又∠AFE=60°.∴∠AFN=∠EFM.∵EF=EA，∠F AE=60°.∴△AEF为等边三角形.∴F A=FE.在△AFN和△EFM中，AFN EFMFNA FME FA FE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴△AFN≌△EFM（AAS）∴FN=FM，又FM⊥BC，FN⊥BA.∴点F在∠ABC的平分线上．（3）如图.∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°.∴∠AGF=60°.∴∠FGE=∠AGE=30°.∵四边形AEGH为平行四边形.∴GE∥AH.∴∠GAH=∠AGE=30°，∠H=∠FGE=30°.∴∠GAN=90°，又∠AGE=30°.∴GN=2AN.∵∠DAB=60°，∠H=30°.∴∠ADH=30°.∴AD=AH=GE.∵四边形ABCD为平行四边形.∴BC=AD.∴BC=GE.∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE=∠EAB=30°.∴平行四边形ABEN为菱形.∴AB=AN=NE.∴GE=3AB.∴BCAB3．【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．6．（2019•宁夏）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．【解析】（1）∵MQ⊥BC.∴∠MQB=90°.∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC.∴△QBM∽△ABC．（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形.∵MN∥BQ，BQ=MN.∴四边形BMNQ为平行四边形．（3）∵∠A=90°，AB=3，AC=4.∴BC==5.∵△QBM∽△ABC.∴QB QM BMAB AC BC==，即345x QM BM==.解得，QM43=x，BM53=x.∵MN∥BC.∴MN AMBC AB=，即53353xMN-=.解得，MN=525 9 -x.则四边形BMNQ的面积12=⨯（5259-x+x）43⨯x3227=-（x4532-）27532+.∴当x4532=时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为7532．【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．7．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．【解析】（1）∵∠ACB=90°，AB=BC.∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC.又∠APB=135°.∴∠P AB+∠PBA=45°.∴∠PBC=∠P AB.又∵∠APB=∠BPC=135°.（2）∵△P AB ∽△PBC .∴PA PB ABPB PC BC==. 在Rt △ABC 中，AB =AC .∴ABBC= ∴PB PA ==，. ∴P A =2PC ．（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E .∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3. ∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°. ∴∠APC =90°. ∴∠EAP +∠ACP =90°.又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°. ∴∠EAP =∠PCD . ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP .∴2PE APDP PC==，即322h h =. ∴h 3=2h 2.∴12h ABh BC ==.∴12h .∴2212222322h h h h h h ==⋅=．即：h 12=h 2·h 3．【名师点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP =∠PCD 是解本题的关键．8．（2019•重庆A 卷）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE ，EM ⊥AE ，垂足为E ，交CD 于点M ，AF ⊥BC ，垂足为F ，BH ⊥AE ，垂足为H ，交AF 于点N ，点P 是AD 上一点，连接CP ．（1）若DP =2AP =4，CP =CD =5，求△ACD 的面积． （2）若AE =BN ，AN =CE ，求证：AD=+2CE ．【解析】（1）作CG ⊥AD 于G ，如图1所示：设PG =x ，则DG =4-x .在Rt △PGC 中，GC 2=CP 2-PG 2=17-x 2.在Rt△DGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2.∴17-x2=9+8x-x2.解得：x=1，即PG=1.∴GC=4.∵DP=2AP=4.∴AD=6.∴S△ACD12=⨯AD×CG12=⨯6×4=12．（2）连接NE，如图2所示：∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM.∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°.∴∠NBF=∠EAF=∠MEC.在△NBF和△EAF中，NBF EAFBFN EFA AE BN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴△NBF≌△EAF.∴BF=AF，NF=EF.∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF.∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF.在△ANE和△ECM中，MEC EAF AN ECANE ECM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩.∴△ANE≌△ECM.∴CM=NE.又∵NF2=NE2=MC.∴AF2=MC+EC.∴AD=+2EC．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．。
几何探究题目精选(二)及答案
纯几何探究（二）1、（2009东营）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？．1．（本题满分10分）解：（1）证明：在Rt △FCD 中， ∵G 为DF 的中点，∴ CG= FD ．………………1分 同理，在Rt △DEF 中， EG= FD ． ………………2分 ∴ CG=EG ．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG ．…………………………4分 证法一：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在△DAG 与△DCG 中，∵ AD=CD ，∠ADG=∠CDG ，DG=DG ， ∴ △DAG ≌△DCG ．∴ AG=CG ．………………………5分 在△DMG 与△FNG 中，D图①D图②图③∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．……………6分在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴AG=EG．∴EG=CG．……………………………8分证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC，……………………4分在△DCG 与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．∴MF∥CD∥AB．………………………5分∴．在Rt△MFE 与Rt△CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE．∴．…………………………………………………6分∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．…………7分∴△MEC为直角三角形．∵MG = CG，∴EG= MC．∴．………………………………8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分2、（2009年常德市）如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）2．解：（1）CD =BE ．理由如下: ··········································· 1分 ∵△ABC 和△ADE 为等边三角形∴AB=AC ，AE=AD ，∠BAC=∠EAD =60o ∵∠BAE =∠BAC －∠EAC =60o －∠EAC ， ∠DAC =∠DAE －∠EAC =60o －∠EAC ，∴∠BAE=∠DAC ， ∴△ABE ≌ △ACD ·············································3分 ∴CD=BE ···································································· 4分 （2）△AMN 是等边三角形．理由如下： ···························· 5分 ∵△ABE ≌ △ACD ， ∴∠ABE =∠ACD ． ∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点， ∴BM =1122BE CD CN == ∵AB=AC ，∠ABE=∠ACD ， ∴△ABM ≌ △ACN ． ∴AM=AN ，∠MAB=∠NAC ． ······································ 6分 ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o∴△AMN 是等边三角形． ·············································· 7分设AD=a ，则AB=2a ．∵AD=AE=DE ，AB=AC ， ∴CE=DE ．∵△ADE 为等边三角形， ∴∠DEC=120 o ， ∠ADE=60o ，∴∠EDC =∠ECD =30o ， ∴∠ADC =90o ． ······················································· 8分 ∴在Rt △ADC 中，AD=a ，∠ACD =30 o ， ∴ CD．图9 图10 图11图10CNDA ME图11CND AME∵N 为DC 中点，∴DN =，∴AN ． ···························· 9分 ∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形，∴S △ADE ∶S △ABC ∶ S △AMN 7:16:447:4:1)27(:)2(:222===a a a ······························ 10分解法二：△AMN 是等边三角形．理由如下： ········································································· 5分∵△ABE ≌ △ACD ，M 、N 分别是BE 、CN 的中点，∴AM=AN ，NC=MB ． ∵AB=AC ，∴△ABM ≌ △ACN ，∴∠MAB=∠NAC ， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o∴△AMN 是等边三角形 ···································································································· 7分 设AD=a ，则AD =AE =DE = a ，AB =BC =AC =2a 易证BE ⊥AC ，∴BE =a a a AE AB 3)2(2222=-=-，∴EM =∴a a a AE EM AM 27)23(2222=+=+= ∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形∴S △ADE ∶S △ABC ∶ S △AMN 7:16:447:4:1)27(:)2(:222===a a a ·································· 10分3、(2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ； （2）连接FC ，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由； （3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB =a ，BC =b （a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值；若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．N M B E C D F G图（1）图（2）M B E A C DF G N3．（本题满分13分）解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形∴AB =AD ，AE =AG ，∠BAD ＝∠EAG ＝90º∴∠BAE ＋∠EAD ＝∠DAG ＋∠EAD ∴∠BAE ＝∠DAG∴△ BAE ≌△DAG …………4分（2）∠FCN ＝45º …………5分理由是：作FH ⊥MN 于H ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90º ∴∠BAE +∠AEB ＝90º，∠FEH +∠AEB ＝90º ∴∠FEH ＝∠BAE又∵AE =EF ，∠EHF ＝∠EBA ＝90º∴△EFH ≌△ABE …………7分 ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，∴CH ＝BE ＝FH∵∠FHC ＝90º，∴∠FCH ＝45º …………8分 （3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，…………9分 理由是：作FH ⊥MN 于H 由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90º 结合（1）（2）得∠FEH ＝∠BAE ＝∠DAG又∵G 在射线CD 上∠GDA ＝∠EHF ＝∠EBA ＝90º∴△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ……11分∴EH ＝AD ＝BC ＝b ，∴CH ＝BE ，∴EH AB ＝FH BE ＝FH CH ∴在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝FH CH ＝EH AB ＝ba…………13分∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝ba4．（2009年莆田）已知：等边ABC △的边长为a ． 探究（1）：如图１，过等边ABC △的顶点A B C 、、依次作AB BC CA 、、的垂线围成MNG △，求证：MNG △是等边三角形且．MN =；探究（2）：在等边ABC △内取一点O ，过点O 分别作OD AB OE BC OF CA ⊥⊥⊥、、，垂足分别为点D E F 、、．①如图2，若点O 是ABC △的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．2OD OE OF a ++=；结论2．32AD BE CF a ++=； ②如图3，若点O 是等边ABC △内任意一点，则上述结论12、是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．M B E A C N DF G 图（1） HM B E A C N D F G 图（2）H4．证明：如图1，ABC △为等边三角形60ABC ∴∠=°BC MN BA MG ⊥⊥ ，∴90CBM BAM ∠=∠=°9030ABM ABC ∴∠=∠=︒°- ····················································· 1分 9060M ABM ∴∠=︒∠=︒- ·························································· 2分 同理：60N G ∠=∠=︒ MNG ∴△为等边三角形．··········································································································· 3分 在Rt ABM △中，sin sin 60AB a BM M ===︒在Rt BCN △中，tan tan 60BC a BN N ===︒ ···································································· 4分MN BM BN ∴=+= ····················································································································· 5分 （2）②：结论1成立.证明；方法一：如图2，连接AO BO CO 、、 由ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△=()12a OD OE OF ++ ··············· 7分 作AH BC ⊥，垂足为H ，则sin sin 602AH AC ACB a a =∠=⨯︒=11222ABC S BC AH a ∴==△·· ()1122a OD OE OF a ∴++= NMAGC BAF CBDA F CB D（图1）（图2） （图3）O AF CB D（图4）O O N MAGC B（图1） A FCBD（图2）O2OD OE OF ∴++=··········································································································· 8分 方法二：如图3，过点O 作GH BC ∥，分别交AB AC 、于点G H 、，过点 H 作HM BC ⊥于点M ， 6060DGO B OHF C ∴∠=∠=∠=∠=°，° AGH ∴△是等边三角形 GH AH ∴= ·········································································· 6分 OE BC ⊥ OE HM ∴∥∴四边形OEMH 是矩形 HM OE ∴= ············································································ 7分 在Rt ODG △中，sin sin 60OD OG DGO OG =∠=︒=·· 在Rt OFH △中，sin sin 602OF OH OHF OH =∠=︒=·· 在Rt HMC △中，sin sin 602HM HC C HC HC ==︒=··OD OE OF OD HM OF HC ∴++=++=+)GH HC AC =+== ···························· 8分 （2）②:结论2成立．证明：方法一：如图４，过顶点A B C 、、依次作边AB BC CA 、、的垂线围成MNG △，由（1）得M N G △为等边三角形且MN = ··················································· 9分 过点O 分别作OD MN '⊥于D ',OE NG '⊥于NG 于点E OF MG ''⊥，于点F '由结论1得：32OD OE OF MN a '+'+'=== ········································································ 10分 又OD AB AB MG OF MG ⊥⊥'⊥ ，，90ADO DAF OF A ∴∠=∠'=∠'=︒ ∴四边形ADOF '为矩形 OF ∴'=AD同理：OD BE '=，OE CF '= ··································································································· 11分A F CEBD（图4）O F 'D 'MGNE 'AF CBD （图3）OHG2方法二：（同结论1方法二的辅助线） 在Rt OFH △中，tan 3OF FH OHF ==∠在Rt HMC △中，sin HM HC C == ··························· 9分CF HC FH ∴=+=同理：AD BE =+=， ··················································· 10分 AD BE CF ∴+++)OD OE OF ++ ················································································································ 11分 由结论1得：OD OE OF ++=32AD BE CF a ∴++== ························································································· 12分 方法三：如图5，连接OA OB OC 、、，根据勾股定理得：22222BE OE OB BD OD +==+① 22222CF OF OC CE OE +==+②22222AD OD AO AF OF +==+③ ························································································· 9分①+②+③得：222222BE CF AD BD CE AF ++=++ ··················································································· 10分 ()()()222222BE CF AD a AD a BE a CF ∴++=-+-+-222222222a AD a AD a BE a BE a CF a CF =-++-++-+ ············································ 11分整理得：()223a AD BE CF a ++=A FC BD（图5）OAF CBD（图3）OHG25.（2009 黑龙江大兴安岭）已知：在ABC ∆中，AC BC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明）．（2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．5. 图2：ENB AMF ∠=∠…………………………2分图3：︒=∠+∠180ENB AMF …………………………2分 证明：如图2，取AC 的中点H ，连结HE 、HF …………1分 ∵F 是DC 的中点，H 是AC 的中点，∴AD HF //，AD HF 21=， ∴HFE AMF ∠=∠．………………….1分 同理，CB HE //，CB HE 21=， ∴HEF ENB ∠=∠．…………………………. 1分 ∵BC AD =， ∴HE HF =,图2图3图1AD∴HFE HEF ∠=∠∴AMF ENB ∠=∠．………………… 1分证明图3的过程与证明图2过程给分相同.6.(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足ABADPC PQ =（如图1所示）． （1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长； （2）在图中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBCS y S =△△，其中APQ S △表示△APQ 的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求QPC ∠的大小．解：（1）AD=2，且Q 点与B 点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA ，因为∠A=90。
几何探究题目精选(一)及答案
纯几何探究（一）1. （2008年广东省中山市）（本题满分9分）（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． 求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 1.解：（1）如图7.∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形， 且点O 是线段AD 的中点，∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°, ……1分 ∴ ∠4=∠5.又∵∠4+∠5=∠2=60°,∴ ∠4=30°.…………………………2分 同理，∠6=30°.…………………………3分 ∵ ∠AEB=∠4+∠6,∴ ∠AEB=60°.………………………4分（2）如图8. ∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形，∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°，………5分又∵OD=OA, ∴ OD ＝OB ，OA ＝OC ，∴ ∠4=∠5，∠6=∠7. …………………6分 ∵ ∠DOB=∠1+∠3, ∠AOC=∠2+∠3, ∴∠DOB=∠AOC. …………………………………7分 ∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°, ∴ 2∠5=2∠6,∴ ∠5=∠6.………………………………………………8分 又∵ ∠AEB=∠8-∠5， ∠8=∠2+∠6， ∴ ∠AEB ＝∠2＋∠5－∠5＝∠2，∴ ∠AEB ＝60°.…………………………………………9分C B OD 图7 A B O D CE 图8图88765421E OD CBA32．（2008年湖北省鞥仙桃市潜江市江汉油田）小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA 剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中α=∠ACB ，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，∆EFD 纸片的直角顶点D 落在∆ACB 纸片的斜边AC 上，直角边DF 落在AC 所在的直线上.（1） 若ED 与BC 相交于点G ，取AG 的中点M ，连接MB 、MD ，当∆EFD 纸片沿CA 方向平移时（如图3），请你观察、测量MB 、MD 的长度，猜想并写出MB 与MD 的数量关系，然后证明你的猜想；（2） 在（1）的条件下，求出BMD ∠的大小（用含α的式子表示），并说明当45=α°时， BMD ∆是什么三角形？（3） 在图3的基础上，将∆EFD 纸片绕点C 逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时CGD ∆变成CHD ∆，同样取AH 的中点M ，连接MB 、MD （如图4），请继续探究MB 与MD 的数量关系和BMD ∠的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明α为何值时，BMD ∆为等边三角形.2. （10分）解：（1）MB =MD ………………………………………………………（1分） 证明：∵AG 的中点为M ∴在ABG Rt ∆中， AG MB 21= 在ADG Rt ∆中，AG MD 21=∴MB =MD ………………………………………………（3分）（2）∵BAM ABM BAM BMG ∠=∠+∠=∠2同理DAM ADM DAM DMG ∠=∠+∠=∠2 ∴BMD ∠=DAM BAM ∠+∠22=BAC ∠2 而α-=∠090BAC∴α21800-=∠BMD …………………………………………（6分）∴当045=α时，090=∠BMD ，此时BMD ∆为等腰直角三角形.…（8分） （3）当CGD ∆绕点C 逆时针旋转一定的角度，仍然存在MB =MD ， α21800-=∠BMD ………………………………………………（9分）A B A BCD EF 图1图2 A BCDEFGM 图3ABCDEFMH图4故当060=α时，BMD ∆为等边三角形.…………………………（10分） 3．（2008年义乌市）如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由． （3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =12，求22BE DG +的值． 3．解:(1)①,BG DE BG DE =⊥ ……………………………2分 ②,BG DE BG DE =⊥仍然成立 ……………………………1分在图（2）中证明如下∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形 ∴ BC CD =，CG CE =， 090BCD ECG ∠=∠=∴BCG DCE ∠=∠……………………………………………1分∴BCG DCE ∆≅∆ （SAS ）…………………………………1分∴BG DE = CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠= ∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ ………………………………………………1分（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立 …………………………………2分简要说明如下∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，且AB a =，BC b =，CG kb =，CE ka =(a b ≠，0k >)∴BC CG bDC CE a==，090BCD ECG ∠=∠= ∴BCG DCE ∠=∠∴BCG DCE ∆∆ ……………………………………1分∴CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠= ∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ …………………………………………1分（3）∵BG DE ⊥ ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+ 又∵3a =，2b =，k =12∴ 222222365231()24BD GE +=+++= …………………………1分 ∴22654BE DG +=……………………………………………………1分 4. （2008盐城）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ． ②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90º，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC＝BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值．4．（1）①CF 与BD 位置关系是 垂 直、数量关系是相 等； ②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形ADEF 得 AD=AF ，∠DAF=90º．∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC， 又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD ∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD （2）画图正确当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．理由是：过点A 作AG⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF⊥BD （3）当具备∠BCA=45º时，过点A 作AQ⊥BC 交BC 的延长线于点Q ，（如图戊） ∵DE 与CF 交于点P 时， ∴此时点D 位于线段CQ 上，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x ，容易说明△AQD∽△DCP，∴CP CD DQ AQ= ， ∴44CP xx =-，221(2)144x CP x x ∴=-+=--+．∵0＜x ≤3 ∴当x=2时，CP 有最大值1．5.（2008年泰安市）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．A B C D EF 第28题图 图甲 图乙 F EAF E D C B A 图丙 图丁GABCDEF图戊 PQ AB CD E F（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ⊥． 6．（本小题满分9分）（1）解：图2中ABE ACD △≌△ ···················································································· 1分 证明如下：ABC △与AED △均为等腰直角三角形AB AC ∴=，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠= ···························································· 3分 BAC CAE EAD CAE ∴∠+∠=∠+∠即BAE CAD ∠=∠ ················································································································ 4分ABE ACD ∴△≌△ ·············································································································· 6分 （2）证明：由（1）ABE ACD △≌△知45ACD ABE ∠=∠= ·········································································································· 7分 又45ACB ∠=90BCD ACB ACD ∴∠=∠+∠=DC BE ∴⊥ ··························································································································· 9分 6．（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC 中，AB =AC ，P 是△ABC 内部任意一点，将AP 绕A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP =∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ =CP ．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ =CP 之后，将点P 移到等腰三角形ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ =CP ”仍然成立，请你就图②给出证明．图1图2（第22题）图①QPBAAQBPC图②证明：∵∠QAP ＝∠BAC∴∠QAP ＋∠PAB ＝∠PAB ＋∠BAC即∠QAB ＝∠PAC 4分 在△ABQ 和△ACP 中 AQ ＝AP∠QAB ＝∠PAC AB ＝AC 6．（本题10分）（2008年武汉市）正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F 。
几何图形操作探究型问题专练
几何图形操作探究型问题★1.已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．(1)如图①，若点D是AC的中点，连接PC.①求BP，BD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形；(2)如图②，若BD＝AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．第1题图解：(1)①在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，∴BA＝AC2＋BC2＝42＋22＝25，又∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝2，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝BC2＋CD2＝22＋22＝22，由翻折可知，BP＝BA＝25；②证明：∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC＝45°，∴∠ADB＝∠BDP＝135°，∴∠PDC＝135°－45°＝90°，∴∠BCD＝∠PDC＝90°，∴DP∥BC，∵DP＝AD＝BC＝2，∴四边形BCPD是平行四边形；(2)如解图，连接P A ，分别过点D 作DN ⊥AB 于点N ，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，延长BD 交P A 于点M ，则△ABP 为等腰三角形，BM ⊥AP .第1题解图设BD ＝AD ＝x ，则CD ＝4－x ，在Rt △BDC 中，由勾股定理得：BD 2＝CD 2＋BC 2， ∴x 2＝(4－x )2＋22， ∴x ＝52，∵BD ＝AD ，DN ⊥AB ， ∴BN ＝AN ＝12AB ＝5，在Rt △BDN 中，DN ＝BD 2－BN 2＝（52）2－（5）2＝52， 由△BDN ∽△BAM ，可得DN AM ＝BDAB ，∴52AM ＝5225， ∴AM ＝2， ∴AP ＝2AM ＝4，由△ADM ∽△APE ，可得AM AE ＝ADAP ，∴2AE ＝524， ∴AE ＝165，∴EC ＝AC －AE ＝4－165＝45，易证四边形PECH 是矩形， ∴PH ＝EC ＝45.★2.如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 为边AB 上一动点，连接CE 并将其绕点C 顺时针旋转90°得到CF ，连接DF ，以CE 、CF 为邻边作矩形CFGE ，GE 与AD 、AC 分别交于点H 、M ，GF 交CD 延长线于点N .(1)证明：点A 、D 、F 在同一条直线上；(2)随着点E 的移动，线段DH 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由； (3)连接EF 、MN ，当MN ∥EF 时，求AE 的长．第2题图(1)证明：由旋转可知∠ECF ＝90°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴CD ＝CB ，∠ADC ＝∠BCD ＝90°，∵∠BCE ＋∠DCE ＝∠BCD ＝90°，∠DCF ＋∠DCE ＝∠ECF ＝90°， ∴∠DCF ＝∠BCE ， 在△CDF 与△CBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CE ∠DCF ＝∠BCE CD ＝CB， ∴△CDF ≌△CBE ， ∴∠CDF ＝∠B ＝90°，∴∠ADF ＝∠CDF ＋∠CDA ＝180°， ∴点A 、D 、F 在同一条直线上；(2)解：DH 有最小值，设BE ＝x ，则AE ＝1－x ， 由(1)得DF ＝BE ＝x ， 易证∠DCF ＝∠AEH ，∴tan ∠DCF ＝tan ∠AEH ＝DF CD ＝AH AE ，∴11x AH x=-， 解得AH ＝x －x 2，∴DH ＝1－AH ＝(x －12)2＋34，∴当x ＝12时，DH 有最小值，且DH 最小＝34；(3)解：如解图，过点E 作EP ⊥AC 于点P.第2题解图易证四边形CFGE 为正方形． ∵EF ∥MN ， ∴FN FG ＝EM EG ， ∵FG ＝EG ， ∴FN ＝EM ，在△CFN 和△CEM 中，⎩⎪⎨⎪⎧FN ＝EM ∠CFN ＝∠CEM CF ＝CE， ∴△CFN ≌△CEM ， ∴∠FCN ＝∠ECM ， 由(1)得∠FCN ＝∠ECB ， ∴∠ECM ＝∠ECB ， ∴EP ＝EB ，∴sin ∠EAP ＝EP AE ＝EBAE＝1x x =-，解得x ＝11＋2，则AE ＝1－x ＝21＋2＝2－ 2.★3.如图①，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB ＝OD ，OC ＝OA ＋AB ，AD ＝m ，BC ＝n ，∠ABD ＋∠ADB ＝∠ACB .(1)填空：∠BAD 与∠ACB 的数量关系为______； (2)求mn的值；(3)将△ACD 沿CD 翻折，得到△A ′CD (如图②)，连接BA ′，与CD 相交于点P .若CD ＝5＋12，求PC 的长．第3题图解：(1)∠ACB ＋∠BAD ＝180°；【解法提示】∵在△ABD 中，由三角形内角和得∠ABD ＋∠ADB ＋∠BAD ＝180°， ∵∠ABD ＋∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ACB ＋∠BAD ＝180°. (2)如解图①，过点B 作BE ∥AD ，交AC 于点E ，第3题解图①∴∠ADO ＝∠EBO ，∠DAO ＝∠BEO ， ∵OB ＝OD ， ∴△ADO ≌△EBO ， ∴BE ＝AD ＝m ，OE ＝OA ， ∵OC ＝OA ＋AB ， ∴CE ＝AB .∵∠ABO ＋∠ADO ＝∠ACB ，∠ABO ＋∠EBO ＝∠ABE ， ∴∠ABE ＝∠ACB ， ∵∠BAE ＝∠CAB ， ∴△BAE ∽△CAB ， ∴AB AC ＝AE AB ＝BE BC， ∴AB 2＝AC ·AE ＝(2OA ＋AB )·2OA ，即4OA 2＋2OA ·AB －AB 2＝0，解得OA ＝5－14AB ，∴m n ＝AD BC ＝BE BC ＝AB AC ＝2AB OA AB ＝AB 5－12AB ＋AB ＝25＋1＝5－12； (3)如解图②，过点D 作DG ∥AB 交AC 于G ，同理可得△DOG ≌△BOA ，第3题解图②∴DG ＝AB ，OG ＝OA ， ∴CG ＝AB ， ∴∠GCD ＝∠GDC ，∵∠ADG ＝∠ADO ＋∠ODG ＝∠ADO ＋∠ABO ＝∠ACB ， ∴∠ADC ＝∠ADG ＋∠GDC ＝∠ACB ＋∠GCD ＝∠BCD . 由折叠可知∠A ′DC ＝∠ADC ＝∠BCD ， ∴A ′D ∥BC ， ∴△A ′DP ∽△BCP ， ∴A ′D BC ＝DP CP ＝5＋12－CP CP ， 由(2)知AD BC ＝A′D BC ＝m n ＝5－12，即5＋12－CP CP ＝5－12，解得CP ＝1.★4.如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 的中点，把△ABE 沿着AE 折叠得到△AFE ，AF 的延长线交CD 于G ，连接CF . (1)证明：AE ∥FC ；(2)猜想线段CF ，EF ，AE 之间的数量关系，证明你的猜想； (3)若AB ＝9，AD ＝6，求CF 的长．第4题图解：（1）由折叠得，EF ＝EB ，∠FEA ＝∠BEA ， ∵点E 是BC 中点，∴EB ＝EC ＝EF ，∴∠EFC ＝∠ECF ， ∵∠BEF ＝∠BEA ＋∠FEA ＝∠ECF ＋∠EFC . ∴∠ECF ＝∠BEA ，∴AE ∥FC ； （2）EF 2＝12AE ·CF ， 理由如下：如解图，取AE 中点O ，连接O B ，第4题解图在矩形ABCD 中，∠ABC ＝90°， ∴O E ＝O B ＝12AE ， ∴∠O EB ＝∠O BE ， 由(1)得：EF ＝EB ，∠ECF ＝∠BEA ＝∠EFC ＝∠O BE ， ∴△EFC ∽△O EB ，2,1·2EF CFOE EBEF AE CF∴=∴＝（3）在矩形ABCD 中，BC ＝AD ＝6，∠ABC ＝90°， ∴BE ＝EF ＝EC ＝3， 由勾股定理得：()22122132AE EF AE CF CF =∴⨯∴由得：＝，＝，★5.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在A 处，点D 落在E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N .(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN的值．第5题图(1)证明：由折叠的性质可得：∠ENM ＝∠DNM ， 即∠ENA ＋∠ANM ＝∠DNC ＋∠CNM ， ∵∠ENA ＝∠DNC ， ∴∠ANM ＝∠CNM ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠ANM ＝∠CMN ， ∴∠CMN ＝∠CNM ， ∴CM ＝CN ；(2)解：如解图，过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形， ∴HC ＝DN ，NH ＝DC ，∵△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，CMN CDNS S＝12MC ·NH 12ND ·NH ＝MC ND ＝3， ∴MC ＝3ND ＝3HC ，设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x ， ∴CM ＝3x ＝CN ， 在Rt △CDN 中， DC ＝CN 2－DN 2＝22x ，∴HN ＝22x ， 在Rt △MNH 中， MN ＝MH 2＋HN 2＝23x ，∴MN DN ＝23x x＝2 3.第5题解图★6.如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F . (1)求证：△BDF 是等腰三角形；(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FG 交BD 于点O . ①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由； ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长．第6题图(1)证明：由折叠的性质可得，∠DBC ＝∠DBF ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠ADB ＝∠DBC ， ∴∠DBF ＝∠ADB ，∴△BDF 是等腰三角形； (2)解：①四边形BFDG 是菱形． 理由：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，即DF ∥BG ， ∵DG ∥BF ，∴四边形BFDG 是平行四边形， ∵BF ＝DF ，∴平行四边形BFDG 是菱形；②∵矩形ABCD 中AB ＝6，AD ＝8，∠A ＝90°， ∴BD ＝AB 2＋AD 2＝10，∵四边形BFDG 是菱形，∴BD ⊥GF ，GF ＝2OF ，BD ＝2OD ， ∴OD ＝5，∴tan ∠ADB ＝OF OD ＝AB AD ，∴OF ＝154，∴FG ＝152.★7.如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE ＝3，动点F 在边BC 上，且不与点B ，C 重合，将△EBF 沿EF 折叠，得到△EB ′F .(1)当∠BEF ＝45°时，求证：CF ＝AE ； (2)当B ′D ＝B ′C 时，求BF 的长； (3)求△CB ′F 周长的最小值．第7题图(1)证明：如解图①，当∠BEF ＝45°时，易知四边形BEB ′F 是正方形，∴BF＝BE，∵AB＝BC，∴CF＝AE；(2)解：如解图②，作B′N⊥BC于点N，NB′的延长线交AD于点M，作EG⊥MN于点G，则四边形MNCD、四边形AEGM 都是矩形．第7题解图①第7题解图②∵B′D＝B′C，∴∠B′DC＝∠B′CD，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠B′DM＝∠B′CN，∵∠B′MD＝∠B′NC＝90°，∴△B′MD≌△B′NC(AAS)，∴B′M＝B′N＝8，∵AE＝MG＝3，∴GB′＝5，在Rt△EGB′中，EG＝EB′2－GB′2＝132－52＝12，∵∠EB′G＋∠FB′N＝90°，∠FB′N＋∠B′FN＝90°，∴∠EB′G＝∠B′FN，∵∠EGB′＝∠FNB′＝90°，∴△EGB′∽△B′NF，∴EG B′N ＝EB′FB′，∴12 8＝13 B′F，∴BF＝B′F＝263；(3)解：如解图③，以E为圆心，EB为半径画圆，连接EC，在Rt△EBC中，∠EBC＝90°，EB＝13，BC＝16，第7题解图③∴EC＝162＋132＝517，∵△CFB′的周长＝CF＋FB′＋CB′＝BF＋CF＋CB′＝BC＋CB′＝16＋CB′，∴欲求△CFB′的周长的最小值，只要求出CB′的最小值即可，∵CB′＋EB′≥EC，∴当E、B′、C共线时，CB′的值最小，CB′最小值是为517－13.∴△CFB′的周长的最小值为3＋517.★8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点E为边AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使A点落在四边形对角线BD上的P点处，EP的延长线交直线BC于点F.设AD＝a，AB＝b，BC＝c.(1)若∠ABE＝30°，AE＝3，请写出BE的长度；(2)求证：△ABP∽△BFE；(3)当四边形EFCD为平行四边形时，试求出a，b，c的数量之间的关系式．第8题图(1)解：BE＝6；【解法提示】∵AB⊥BC，AD∥BC，∴BA⊥AD，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AE＝3，∴BE＝2AE＝6；(2)证明：∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，由折叠得△EAB≌△EPB，∴∠AEB＝∠BEP，∴∠EBF＝∠BEF，∴FE ＝FB ，∴△FEB 为等腰三角形， ∵∠ABP ＋∠PBF ＝90°， ∠PBF ＋∠EFB ＝90°， ∴∠ABP ＝∠EFB ，在等腰△ABP 和等腰△FEB 中， ∠BAP ＝12(180°－∠ABP )，∠FBE ＝12(180°－∠EFB )，∴∠BAP ＝∠FBE ， ∴△ABP ∽△BFE ；(3)解：∵四边形EFCD 为平行四边形， ∴EF ∥DC ，∴∠EFB ＝∠C ，∠ADB ＝∠DBC ， ∵∠ABD ＝∠EFB ， ∴∠ABD ＝∠C ， ∴△ABD ∽△DCB ， ∴AD DB ＝DB CB ， 即a a 2＋b2＝a 2＋b 2c， ∴a 2＋b 2＝ac .★9.已知边长为3的正方形ABCD 中，点E 在射线BC 上，且BE ＝2CE ，连接AE 交射线DC 于点F ，若△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B 1处．(1)如图，若点E 在线段BC 上，求CF 的长； (2)求sin ∠DAB 1的值；(3)如果题设中“BE ＝2CE ”改为“BECE ＝x ”，其他条件都不变，试求△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式及自变量x 的取值范围(只要写出结论，不需写出解题过程)．第9题图 备用图解：(1)∵AB ∥DF ，∴∠BAF ＝∠F ，∠B ＝∠BCF ＝90°， ∴△ABE ∽△FCE ， ∴AB FC ＝BE CE， ∵BE ＝2CE ，AB ＝3， ∴3CF ＝2CE CE . ∴CF ＝32；(2)①若点E 在线段BC 上，如解图①，设直线AB 1与DC 相交于点M .第9题解图①由题意翻折得：∠1＝∠2. ∵AB ∥DF ， ∴∠1＝∠F ， ∴∠2＝∠F ， ∴AM ＝MF .设DM ＝x ，则CM ＝3－x ， 又∵CF ＝32，∴AM ＝MF ＝92－x ，在Rt △ADM 中，AD 2＋DM 2＝AM 2， ∴32＋x 2＝(92－x )2，解得x ＝54，∴DM ＝54，AM ＝134，∴sin ∠DAB 1＝DM AM ＝513；②若点E 在边BC 的延长线上，如解图②，设直线AB 1与CD 的延长线交于点N .第9题解图②同理可得：AN ＝NF . ∵BE ＝2CE ， ∴BC ＝CE ＝AD . ∵AD ∥BE ， ∴AD CE ＝DF FC ， ∴DF ＝FC ＝32，设DN ＝x ，则AN ＝NF ＝x ＋32.在Rt △ADN 中，AD 2＋DN 2＝AN 2， ∴32＋x 2＝(x ＋32)2，∴x ＝94.∴DN ＝94，AN ＝154，sin ∠DAB 1＝DN AN ＝35，综上：当点E 在线段BC 上时，sin ∠DAB 1＝513，当点E 在BC 的延长线上时，sin ∠DAB 1＝35；(3)若点E 在线段BC 上，y ＝9x2x ＋2，x 的取值范围为0<x <1； 若点E 在边BC 的延长线上，y ＝9x －92x，x 的取值范围为1<x .★10.如图所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D 、E 分别是边AB ，AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动，设BQ ＝x ，QR ＝y .(1)填空：BC ＝________，sin B ＝________，点D 到BC 的距离DH ＝________； (2)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．第10题图 备用图解：(1)10；45；125；【解法提示】在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，∠A ＝90°， ∴由勾股定理得BC ＝AB 2＋AC 2＝10；sin B ＝AC BC ＝810＝45；∵D 是AB 的中点，∴BD ＝3， ∴DH ＝BD ·sin B ＝3×45＝125.(2)∵QR ∥AB ， ∴△CQR ∽△CBA ，∴QR BA ＝CQCB ，即10610y x -=， 解得y ＝－35x ＋6；(3)存在，分三种情况：①当PQ ＝PR 时，如解图①，过点P 作P M ⊥QR 于点M ，则QM ＝RM ，第10题解图①∵∠1＋∠2＝90°，∠C ＋∠2＝90°， ∴∠1＝∠C ，∴cos ∠1＝cos C ＝810＝45，∴QM QP ＝45， ∴12（－35x ＋6）125＝45，∴x ＝185；②当PQ ＝RQ 时，如解图②，－35x ＋6＝125，∴x ＝6；第10题解图②③当PR ＝QR 时，如解图③，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，第10题解图③∴CR ＝12CE ＝14AC ＝2，∵tan C ＝QR CR ＝BA CA ＝68，即－35x ＋62＝68，∴x ＝152，综上所述，当x 为185或6或152时，△PQR 为等腰三角形．。
中考几何综合探究练习题
中考几何综合探究练习题一、基础题1. 在△ABC中，若AB=AC，求证：∠B=∠C。
2. 若平行线l和m之间的距离为3cm，直线n平行于l和m，求直线n与l、m之间的距离。
3. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B在x轴上，若AB=5，求点B 的坐标。
4. 已知等边三角形的一边长为6cm，求该三角形的面积。
5. 在△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，求BC的长度。
6. 若四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，求证：OA=OC。
二、提高题1. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=70°，AB=8cm，求AC的长度。
2. 若直角三角形的两条直角边分别为6cm和8cm，求斜边上的高。
3. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(2,1)，求线段AB的中点坐标。
4. 已知等腰三角形的底边长为10cm，腰长为13cm，求该三角形的面积。
5. 在△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，BC=10cm，求AC的长度。
6. 若四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，且AC=8cm，BD=6cm，求菱形的面积。
三、综合题1. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=105°，AB=12cm，求BC的长度。
2. 若直角三角形的斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，求另一条直角边的长度。
3. 在平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B在y轴上，且AB=5cm，求点B的坐标。
4. 已知等腰梯形的上底长为6cm，下底长为10cm，高为8cm，求该梯形的面积。
5. 在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AC=12cm，求BC的长度。
6. 若四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，且AC=24cm，BD=10cm，求矩形的面积。
四、应用题1. 一个等腰三角形的底边长为16cm，腰长为20cm，求这个三角形的高。
中考数学专题复习几何探究练习(三)
中考数学专题复习几何探究练习（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．【感知】如图①，点C是AB中点，CD⊥AB，P是CD上任意一点，由三角形全等的判定方法“SAS”易证△P AC≌△PBC，得到线段垂直平分线的一条性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”【探究】如图①，在平面直角坐标系中，直线y=-13x+1分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，连结BD，求BD的长【应用】如图①（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，请在图①网格中画出线段AB;（2）若存在一点P，使得P A=PB′，且∠APB′≠90°，当点P的横、纵坐标均为整数时，则AP长度的最小值为______．2．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．【猜想】如图①，①FDM的大小为度．【探究】如图①，过点A作AM1①DF交MD的延长线于点M1，连结BM．求证：△ABM①①ADM1．【拓展】如图①，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为．3．问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．请根据小明的思路，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：（1）如图①，在四边形ABCD中，AB AD BC=+，DAB∠的平分线和ABC∠的平分线交于CD边上点P．求证：PC PD=；（2）在（1）的条件下，如图①，若10AB=，1tan2PAB∠=．当PBC有一个内角是45︒时，PAD△的面积是．4．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容．结合图①，补全证明过程．【应用】如图①，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD 沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABFE的周长为．【拓展】如图①，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝22，BC＝4，①C＝45°，则EF的长为．5．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，10,AB=点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．()1如图①，连接,CD则CD的长为；()2如图①，'B E与AC交于点,//F DB BC'．①求证:四边形'BDB E为菱形；①连接',B C则'B FC的形状为；()3如图①，则CEF∆的周长为；6．【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：【问题1】赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．【问题2】小明发现只利用直角三角板也可以作①AOB的角平分线，方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．①分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．①作射线OP，则OP为①AOB的平分线．（1）请写出小明作法的完整证明过程．（2）当tan①AOB＝43时，量得MN＝4cm，直接写出MON△的面积．7．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．定理应用：在矩形ABCD中，AB＝2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE＝3BE．（1）如图①，点F在边CB上，连结EF．若13BFCF，则EF与AC的关系为．（2）如图①，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AE'，连结CE′，点H为CE'的中点，连结BH．设BH的长度为m，若AB＝4，则m的取值范围为．8．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图①，B'E与AC交于点F，DB'①BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；①连接B'C，则①B'FC的形状为；（3）如图①，则①CEF的周长为．9．如图，在ABC中，中线BD，CE相交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）当四边形DEFG的形状为矩形时，ABC为______三角形；（3）连接OA，当OA BC时，四边形DEFG的形状为______．10．如图1，正方形ABCD的边长为8cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动（不与点A重合）．设点E，F同时出发移动t秒．(1)基础探究：如图1，在点E、F移动过程中，连接CE、CF、EF，判断CE与CF的数量与位置关系，并说明理由．(2)应用拓展：如图2，点G、H分别在边AD、BC上，且217cmGH=，连接EF，当EF与GH交于点P，且45GPE∠=︒，若点P为EF的中点，则CF的长度为________，AP的长度为________．参考答案：1．探究：BD 的长为53；应用：(1)见解析；(2)5.【解析】 【分析】探究：根据直线解析式，求出点A 、B 坐标，得到BO 、AO 的长，设BD 的长为a ，根据勾股定理列方程可求出BD ；应用：（1）根据旋转的性质作图即可；（2）根据题意可知P 点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B ∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5. 【详解】 解：探究： 由题意得：当x 0=时，y 1=；当y 0=时，x 3=；()A 3,0∴，()B 0,1. AO 3∴=，BO 1=．设BD 的长为a ．①点C 是AB 中点，CD AB ⊥交OA 于点D ，DA DB a ∴==，OD 3a =-．在Rt BOD 中，BOD 90∠=︒，222BD BO DO ∴=+，()22213a a +-=，5a 3∴=，5BD 3=． BD ∴的长为53．应用：(1)如图，线段'AB 即为所求．(2)根据题意可知P点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键.2．（1）45°；（2）证明见解析；（3）22﹣2．【解析】【分析】（1）证明①CDE=①C1DE和①ADF=①C1DF，可得①FDM=12①ADC=45°；（2）先判断出①DAM1=①BAM，由（1）可知：①FDM=45°，进而判断出①AMD=45°，得出AM=AM1，即可得出结论；（3）先作高线C1G，确定①ACC1的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C1在BD上时，C1G最大，其①AC1C的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD＝C1D，①CDE＝①C1DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，①ADC＝90°，①AD＝C1D，①F是AC1的中点，①DF①AC1，①ADF＝①C1DF，①①FDM＝①FDC1+①EDC1＝12①ADC＝45°；故答案为：45；（2）①DF①AC1，①①DFM＝90°，①①MAM'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，①BAD＝90°，①①DAM1＝①BAM，由（1）可知：①FDM＝45°①①DFM＝90°①①AMD＝45°，①①M1＝45°，①AM＝AM1，在：△ABM和△ADM1中，①11BA DABAM DAMAH AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABM①①ADM1（SAS）；（3）如图，过C1作C1G①AC于G，则1AC CS＝12AC•C1G，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，①AC＝2222+＝22，即AC为定值，当C1G最大值，△AC1C的面积最大，连接BD交AC于O，当C1在BD上时，C1G最大，此时G与O重合，①CD＝C1D＝2，OD＝12AC＝2，①C1G＝C1D﹣OD＝2﹣2，①1AC CS＝12AC•C1G＝12×22（2﹣2）＝22﹣2，故答案为：22﹣2．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是①AMD=45°．3．问题呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2）403或8 【解析】【分析】问题呈现：由“SAS ”可证△MOP ≌△NOP ，可得PM ＝PN ；结论应用：（1）在AB 上截取AE ＝AD ，连接PE ，由“SAS ”可证△ADP ≌△AEP ，△BPC ≌△BPE ，可得PD ＝PE ＝PC ；（2）延长AP ，BC 交于点H ，由“ASA ”可证△ADP ≌△HCP ，可得CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】问题呈现：证明：①OC 平分AOB ∠，①AOC BOC ∠=∠．在POM 和PON △中，OP OP POM PON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．①POM PON △≌△．结论应用：在AB 上截取AE AD =，①AP 平分DAB ∠，①DAP BAP ∠=∠，①AP AP =，①ADP AEP △≌△．①PE PD=．①AB AD BC=+，①BE BC=，①BP平分ABC∠，①ABP CBP ∠=∠．①BP BP=．①PBE PBC△≌△．①PE PC=．①PC PD=．（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∵AB＝10，tan∠P AB＝PBPA＝12，∴P A＝2PB，∵P A2+PB2＝AB2，∴PB＝25，P A＝45，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP⊥AP，AP＝PH＝45，∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DP A＝∠CPH，∴△ADP≌△HCP（ASA），∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，∴PB＝PH（不合题意舍去），若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，∴CM＝CN，∵S△PBH＝12×BP×PH＝12×BP×CN+12×PH×CM，∴CM＝CN＝453，∴S△PCH＝12×45×453＝403＝S△ADP；若∠PCB＝45°时，如图⑤，过点P作PF⊥BC于F，∵∠P AB＝∠H，∴tan H＝tan∠P AB＝12，∴12 PFFH，∴FH＝2PF，∵PF2+FH2＝PH2＝80，∴PF＝4，FH＝8，∵PF⊥BC，∠BCP＝45°，∴∠PCB＝∠FPC＝45°，∴CF＝PF＝4，∴CH＝4，∴S△ADP＝S△CPH＝12×4×4＝8，故答案为：8或403．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．【教材呈现】证明见解析；【应用】434；【拓展】2103；【解析】【分析】教材呈现：由“ASA”可证①AOE①①COF，可得OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形，即可证平行四边形AFCE是菱形；应用：过点F作FH①AD于H，由折叠的性质可得AF＝CF，①AFE＝①EFC，由勾股定理可求BF的长，EF的长，拓展：过点A作AN①BC，交CB的延长线于N，过点F作FM①AD于M，由等腰直角三角形的性质可求AN＝BN＝2，由勾股定理可求AE＝AF＝103，再利用勾股定理可求EF的长．【详解】解：【教材呈现】①四边形ABCD是矩形，①AE①CF，①①EAO＝①FCO，①EF垂直平分AC，①AO＝CO，①AOE＝①COF＝90°，①①AOE①①COF（ASA）①OE＝OF，又①AO＝CO，①四边形AFCE是平行四边形，①EF①AC，①平行四边形AFCE是菱形；【应用】如图，过点F作FH①AD于H，①将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，①AF＝CF，①AFE＝①EFC，①AF2＝BF2+AB2，①（4﹣BF）2＝BF2+9，①BF＝78，①AF＝CF＝258，①AD①BC，①①AEF＝①EFC＝①AFE，①AE＝AF＝258，①①B＝①BAD＝①AHF＝90°，①四边形ABFH是矩形，①AB＝FH＝3，AH＝BF＝78，①EH＝94，①EF＝22EH FH+＝81916+＝154，①四边形ABFE的周长＝AB+BF+AE+EF＝3+78+258+154＝434，故答案为：434．【拓展】如图，过点A作AN①BC，交CB的延长线于N，过点F作FM①AD于M，①四边形ABCD是平行四边形，①C＝45°，①①ABC＝135°，①①ABN＝45°，①AN①BC，①①ABN＝①BAN＝45°，①AN＝BN＝22AB＝2，①将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，①AF＝CF，①AFE＝①EFC，①AD①BC，①①AEF＝①EFC＝①AFE，①AE＝AF，①AF2＝AN2+NF2，①AF2＝4+（6﹣AF）2，①AF＝103，①AE＝AF＝103，①AN①MF，AD①BC，①四边形ANFM是平行四边形，①AN①BC，①四边形ANFM是矩形，①AN ＝MF ＝2，①AM ＝22AF MF -＝10049-＝83， ①ME ＝AE ﹣AM ＝23，①EF ＝22MF ME +＝449+＝2103， 故答案为：2103． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 5．（1）5；（2）①见解析；①等腰三角形；（3）52【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；（2）①由翻折可知','45DB DB B B =∠=∠=︒，进而证得'//,B E AB 则有∴四边形'BDB E 为平行四边形，由',BD B D =即可得证；①连接CD,易证得','45DB DC DB E DCA =∠=∠=︒进而证得''FB C FCB ∠=∠，则有'FB FC =，即可得出结论；（3）由'FB FC =和'B E BE =得CEF ∆的周长=''CE FC EF CE B F EF CE B E CE BE BC ++=++=+=+=，由等腰直角三角形的性质可求得BC ，即可求得CEF ∆的周长．【详解】解:（1）①①ABC 是等腰直角三角形，D 为斜边AB 的中点，AB=10，①152CD AB ==， 故答案为：5；()2①证明:由翻折可知','45DB DB B B =∠=∠=︒'DB ①BC''45,B EC B ∴∠=∠=︒①'45,B EC B ∠=∠=︒①'EB ①BD∴四边形'BDB E 为平行四边形．又',BD B D =∴四边形'BDB E 为菱形；②如图2，连接CD ，则有CD=BD=AD,由翻折可知','45DB DB DB E B =∠=∠=︒①','45DB DC DB E DCA A =∠=∠=∠=︒,①''DB C DCB ∠=∠①DB E CB F DCA FCB ∠+∠=∠+∠'''①''CB F FCB ∠=∠①'FB FC =,①'B FC 的形状为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（3）如图3，由（2）知'FB FC =，'B E BE =，①CEF ∆的周长=''CE FC EF CE B F EF CE B E CE BE BC ++=++=+=+=，①①ABC 是等腰直角三角形，AB=10，①222100BC AB ==,解得：52BC =，①CEF ∆的周长为52，故答案为：52．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、折叠性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，解得的关键是认真审题，从图形中分析相关联信息，借助辅助线，利用基本图形的性质进行推理、计算．6．【问题1】SSS ；【问题2】（1）见解析；（2）8．【解析】【分析】问题1：根据SSS证明三角形全等即可．问题2：（1）根据HL证明三角形全等即可解决问题．（2）作MH①OB于H，连接MN．想办法求出ON，MH即可解决问题．【详解】解：问题1：由作图可知：OE＝OD，EC＝DC，OC＝OC，①EOC DOC≌△△（SSS），故答案为SSS．问题2：（1）证明：由作图可知：OM＝ON，①①ONP＝①OMP＝90°，OP＝OP，①Rt ONP≌Rt OMP△（HL），①①PON＝①POM，即OP平分①AOB．（2）解：作MH①OB于H，连接MN．①tan①AOB＝4,3MHOH=①可以假设MH＝4k，OH＝3k，则OM＝ON＝5k，①HN＝2k，在Rt MNH△中，①222,MN HN MH=+①()()222442,k k=+①255k=（负根已经舍弃），①ON＝5k＝25，MH＝4k＝855，①1185258.225MNO S ON MH ==⨯⨯= 【点睛】本题考查的是角平分线的作图与作图原理，三角形全等的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．7．定理证明：见解析；定理应用：（1）EF ∥AC ，EF ＝14AC ；（2）5﹣32≤BH ≤5+32 【解析】【分析】定理证明：延长DE 到F ，使FE ＝DE ，连接CF ，易证①ADE ①①CFE ，再根据全等三角形的性质，进一步可得出CF ①AB ，从而可证明四边形BCFD 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；定理应用：（1）取AB ，BC 的中点M ，N ，连接MN ．再根据题目中的线段关系，可得出AM ＝BM ，CN ＝BN ，ME ＝EB ，FN ＝FB ，根据三角形的中位线定理即可得出答案； （2）如图①中，延长CB 到T ，连接AT ，TE ′．根据题意得出BH ＝12TE ′，再根据矩形的性质可求得AT 的值，结合题意求得AE 的值，最后根据三角形三边关系即可得出答案．【详解】 解：定理证明：如图①中，延长DE 到F ，使FE ＝DE ，连接CF ，在△ADE 和△CFE 中，AE EC AED CEF DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CFE （SAS ），∴∠A ＝∠ECF ，AD ＝CF ，∴CF ∥AB ，又∵AD ＝BD ，∴CF＝BD，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝12BC．定理应用：（1）如图①中，取AB，BC的中点M，N，连接MN．∵AE＝3BE，BF：CF＝1：3，∴AM＝BM，CN＝BN，ME＝EB，FN＝FB，∴MN∥AC，MN＝12AC，EF∥MN，EF＝12MN，∴EF∥AC，EF＝14AC．故答案为：EF∥AC，EF＝14AC．（2）如图①中，延长CB到T，连接AT，TE′．∵CH＝HE′，CB＝BT，∴BH＝12TE′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABT＝90°，∵AB＝4，BC＝AD＝BT＝2，∴AT＝22224225AB BT+=+=，∵AE＝3BE，AB＝4，∴AE＝AE′＝3，∴25﹣3≤TE′≤25+3，∴5﹣32≤BH≤5+32．故答案为：5﹣32≤BH≤5+32．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形三边关系、平行四边形的判定及性质、三角形中位线性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质，综合性比较强，添加合适的辅助线，是解题的关键．8．（1）5；（2）①见解析；①等腰三角形；（3）52．【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；（2）①由折叠的性质得B'D=BD，B'E=BE，①B'DE=①BDE，证出B'D=BE，得四边形BDB'E是平行四边形，进而得出结论；①证出CD=B'D，得①DCB'=①DB'C，证出DB'①AC，则①ACB'=90°-①DB'C，证出CD①B'E，则①EB'C=90°-①DCB'，得①ACB'=①EB'C，即可得出结论；（3）连接B'C，由等腰直角三角形的性质得BC=22AB=52，①B=45°，CD=12AB=BD，①ACD=12①ACB=45°，证出CF=B'F，进而得出答案．【详解】（1）解：①①ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB＝10，①CD＝12AB＝5，故答案为：5；（2）①证明：由折叠的性质得：B'D＝BD，B'E＝BE，①B'DE＝①BDE，①DB'①BC，①①B'DE＝①BED，①①BDE＝①BED，①BD＝BE，①B'D＝BE，①四边形BDB'E是平行四边形，又①B'D＝BD，①四边形BDB'E为菱形；①解：①①ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB＝BD，①CD＝12由折叠的性质得：B'D＝BD，①CD＝B'D，①①DCB'＝①DB'C，①①ACB＝90°，①AC①BC，①DB'①BC，①DB'①AC，①①ACB'＝90°﹣①DB'C，由①得：四边形BDB'E为菱形，①AB①B'E，①CD①AB，①CD①B'E，①①EB'C＝90°﹣①DCB'，①①ACB'＝①EB'C，①FB'＝FC，即①B'FC为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（3）解：连接B'C，如图①所示：①①ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，①BC ＝22AB ＝52，①B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，①ACD ＝12①ACB ＝45°， 由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，①B '＝①B ＝45°，①CD ＝B 'D ，①①DCB '＝①DB 'C ，①①FCB '＝①FB 'C ，①CF ＝B 'F ，①①CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝52；故答案为：52．【点睛】 本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．9．（1）见解析；（2）等腰；（3）菱形．【解析】【分析】（1）由中线BD ，CE 相交于点O ，可得DE 是ABC 的中位线，可得//DE BC ，12DE BC =，由F 、G 分别是OB ，OC 的中点，可得FG 是OBC 的中位线，可得//FG BC ，12FG BC =，可推出//DE FG ，DE FG =即可； （2）由四边形DEFG 的形状为矩形，可得FD=EG ，OE=OF=OG=OD ，EF①ED ，①EOF=①DOG ，由F 、G 分别是OB ，OC 的中点，可得BO=CO ，，由中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，可得EF①OA ，可推出OA①ED ，由等腰三角形性质可得OA 平分①EOD ，可证△AOB①①AOC （SAS ），可得AB=AC 即可；（3）连接OA ，由（1）知四边EFGD 为平行四边形，由中位线性质可得AO=2EF ，2BC FG =，由OA BC =，可得EF=FG 即可．【详解】证明：（1）①中线BD ，CE 相交于点O ，①E 、D 分别为AB 、AC 中点，①DE 是ABC 的中位线，①//DE BC ，12DE BC =， 又①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①FG 是OBC 的中位线，①//FG BC ，12FG BC =， ①//DE FG ，DE FG =，①四边形DEFG 是平行四边形；（2）连接OA ，如图①四边形DEFG 的形状为矩形，①FD=EG ，OE=OF=OG=OD ，EF①ED ，①EOF=①DOG ， ①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①BO=CO ，①中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，①EF①OA ，①OA①ED ，①OA 平分①EOD ，①①EOA=①DOA ，①①BOA=①EOF+①EOA=①DOG+①DOA=①COA ，①AO=AO ，①①AOB①①AOC （SAS ），①AB=AC ，①①ABC 为等腰三角形，故答案为：等腰；（3）当OA BC =时，四边形DEFG 的形状为菱形．由（1）知四边EFGD 为平行四边形，①中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，①EF 为①ABO 的中位线，①AO=2EF ，又①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①FG 是OBC 的中位线，①2BC FG =，①OA BC =，①2EF=2FG ，①EF=FG ，①四边形DEFG 是菱形，故答案为：菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，掌握平行四边形的判定方法与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定定理，细心观察图形，利用数形结合从图形中分析线段之间和角之间关系是解题关键．10．(1)CE CF =，CE CF ⊥，理由见解析；(2)217，34；【解析】【分析】 （1）根据正方形的性质和运动的距离可证明()EDC FBC SAS ≌△△，可得CE CF =，再利用角之间的关系可证CE CF ⊥；（2）连接EC ，证明四边形GECH 是平行四边形，即可求出CF ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AP ．(1)解：①四边形ABCD为正方形,①CD CB=，90EDC ABC BCD∠=∠=∠=︒，①90FBC EDC∠=∠=︒，①ED FB t==，在EDC△和FBC中，90CD CBFBC EDCED FB=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①()EDC FBC SAS≌△△，①CE CF=，ECD BCF=∠∠，①90ECD BCE∠+∠=︒，①90BCF BCE∠+∠=︒，即：90ECF∠=︒，①CE CF=，CE CF⊥，(2)解：连接CE，如图①CE CF=，CE CF⊥，①45CEF∠=︒，①45GPE∠=︒，①CEF GPE∠=∠，①CE GH∥，①GE CH∥，①四边形GECH是平行四边形，①217CE GH==，①CE CF =，①217CF =，①2234EF CF ==，①P 是EF 的中点，AFE △是直角三角形，①1342AP EF ==． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定以及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）的关键是证明()EDC FBC SAS ≌△△，（2）的关键是证明四边形GECH 是平行四边形．。
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几何探究题类型一动点问题1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，边长AB=6，对角线AC、BD交于点O，线段AD上有一动点P，过点P作PH⊥BC于点H，交直线CD于点Q，连接OQ，设线段PD=m．(1)求线段PH的长度；(2)设△DPQ的面积为S，求S与m之间的关系式；(3)在运动过程中是否存在点P，使△OPQ的面积与△CQH的面积相等，若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．第1题图解:(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，AB=AD=CD=6，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等边三角形，如解图，过点C作CG⊥AD于G，在Rt△CDG中，∠CDG=60°，CD=6，∴DG=3，CG=33，∵BC∥AD，PH⊥BC，CG⊥AD，∴四边形CHPG是矩形，∴PH=CG=33，第1题解图(2)在Rt△PDQ中，∠PDQ=60°，DP=m，∴PQ=3m，∴S=S△PDQ=12DP·PQ=12m×3m=32m2，（0＜m≤6）(3)存在，理由：∵△DPQ的面积与△CQH的面积相等，点Q在线段CD上，AD∥BC，∴△CHQ∽△DPQ，∴△DPQ的面积与△CQH的面积相等时，只有△CHQ≌△DPQ，∴CQ=DQ=12CD=3，在Rt△PQD中，∠PDQ=60°，DQ=3，∴DP=32，即：m=32时，△DPQ的面积与△CQH的面积相等．2.已知：D，E是Rt△ABC斜边AB上点，满足∠DCE=45°．（1）如图①，当AC=1，BC=3，且点D与A重合时，求线段BE的长；（2）如图②，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2=DE2；（3）如图③，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并求x的取值范围.图①图②图③第2题图（1）解：如解图①，∵∠ACB=90°，BC3AC=1，∴AB=2，过B作BF∥AC交CE的延长线于F，2∴∠F =∠ACE ，∵∠BCA =90°，∠DCE =45°，∴∠BCE =∠DCE ，∴∠BCE =∠F ，∴BF =BC =3， ∵△BEF ∽△AEC ，∴3BE BF AE AC ==， ∴BE =3-3；图① 图② 图③第2题解图(2)证明：如解图②，过点A 作AF ⊥AB ，使AF =BE ，连接DF ，CF ，∵在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，∴∠CAB =∠B =45°， ∴∠F AC =45°，∴△CAF ≌△CBE （SAS ），∴CF =CE ， ∠ACF =∠BCE ，∵∠ACB =90°，∠DCE =45°，∴∠ACD +∠BCE =∠ACB -∠DCE =90°-45°=45°，∵∠ACF =∠BCE ， ∴∠ACD +∠ACF =45°，即∠DCF =45°，∴∠DCF =∠DCE ， 又∵CD =CD ，4 ∴△CDF ≌△CDE （SAS ），∴DF =DE ，∵在Rt △ADF 中，AD 2+AF 2=DF 2，∴AD 2+BE 2=DE 2； (3)解：如解图 ，作△BCE ≌△FCE ，△GCD ≌△ACD ，延长DG 交EF 于H ， ∵∠HFG =∠B ，∠HGF =∠CGD =∠A ，∠A +∠B =90°， ∴∠DHF =90°，∵FG =CF-CG=BC-AC =1，∠B =∠F ，∴HF =45，HG =35， ∵EH 2+HD 2=ED 2，∴(y -45)2+(x +35)2=(5-x -y )2， ∴y =6028215x x --（0≤x ≤157）． 3. 如图①，直线AM ⊥AN ，AB 平分∠MAN ，过点B 作BC ⊥BA 交AN 于点C ；动点 E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2m/s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1m/s 的速度沿射线AM 方向运动；已知AC =6cm ，设动点D ，E 的运动时间为t ．（1）试求∠ACB 的度数；（2）当点D 在射线AM 上运动时满足S △ADB ：S △BEC =2：3，试求点D ，E 的运动时间t 的值；（3）动点D 在射线AM 上运动，点E 在射线AN 上运动过程中，是否存在某个时间t ，使得△ADB 与△BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．第3题图解：（1）如解图①中，∵AM⊥AN，∴∠MAN=90°，∵AB平分∠MAN，∴∠BAC=45°，∵CB⊥AB，∴∠ABC=90°,∠ACB=45°；图①图②第3题解图(2)如解图②中，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．∵BA平分∠MAN，∴BG=BH，∵S△ADB：S△BEC=2:3，AD=t，AE=2t，∴1 2•t•BG：12•（6-2t）•BH=2:3，∴t=127s．∴当t=127s时，满足S△ADB：S△BEC=2:3．(3)存在．∵BA=BC，∠BAD=∠BCE=45°，∴当AD=EC时，△ADB≌△CEB，∴t=6-2t，∴t=2s，∴满足条件的t的值为2s．类型二平移变换问题1.如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．第1题图备用图解：（1）四边形CDGE是平行四边形．理由如下：如解图 ：∵D、E移动的速度相同，∴BD=CE，∵DG∥AE，∴∠DGB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DGB，∴BD=GD=CE，又∵DG∥CE，∴四边形CDGE是平行四边形；6第1题解图（2）BM+CF=MF；理由如下：如解图②，由(1)得：BD=GD=CE，∵DM⊥BC，∴BM=GM，∵DG∥AE，∴GF=CF，∴BM+CF=GM+GF=MF．2.两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1，固定△ABC 不动，将△DEF进行如下操作：如图①，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断变化，但它的面积不变化，请求出其面积．(2)猜想论证如图②，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．(3)拓展研究如图③，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB的边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，求sin α的值.第2题图解：（1）如解图①，∵△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），∴CF=AD，AC=DF，∴四边形ACFD为平行四边形，∴AD∥CF，∴S△DCF=S△BCF=S△ACD，∴S四边形CDBF=S△CDB+S△BCF=S△CDB+S△ACD=S△ACB，在Rt△ACB中，∵∠A=60°，∴BC=3AC=3，∴S△ABC= 12×1×3=3，∴S四边形CDBF=32；(2)四边形CDBF为菱形．理由如下：如解图②，∵点D为斜边AB的中点，∴DC=DA=DB，∵CF∥AD，CF=AD，∴CF=BD，CF∥DB，∴四边形CDBF为平行四边形，而DC=DB，∴四边形CDBF为菱形；第2题解图(3)作DH⊥AE于H，如解图③，在Rt△ACB中，∵∠A=60°，∴AB=2AC=2，∵点D为AB的中点，∴AD=BD=12AB=1，∵绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，8∴∠EFD =90°，EB =3，DE =AB =2， 在Rt △ABE 中，2222(3)27AE BE AB =+=+=，∵1122DH AB AD EB =, ∴132177DH ⨯==， 在Rt △EDH 中，sin α=2114DH DE =. 3.在正方形ABCD 中，动点E,F 分别从D,C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动．(1)如图①，当点E 自D 向C ，点F 自C 向B 移动时，连接AE 和DF 交于点P ，请你写出AE 与DF 的关系，并说明理由；(2)如图②，当点E,F 分别移动到边DC,CB 的延长线上时，连接AE 和DF ,(1)中的结论还成立吗？（请直接回答“是”或“否”，不须证明）(3)如图③，当E,F 分别在CD,BC 的延长线上移动时，连接AE 和DF ，(1)的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图④，当E,F 分别在DC,CB 上移动时，连接AE 和DF 交于点P ．由于点E,F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图．若AD =2,试求出线段CP 的最小值．第3题图解：(1)AE =DF ,AE ⊥DF .理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°，∵DE=CF,∴△ADE≌△DCF，∴AE=DF,∠DAE=∠CDF,由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°，∴AE⊥DF；(2)是；(3)成立.理由：由(1)同理可证，AE=DF，∠DAE=∠CDF,如解图①，延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，第3题解图①∴∠ADG+∠DAE=90°，∴AE⊥DF.(4)画出草图如解图②，由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC，交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，OC2222215CD OD+=+=10∴CP=OC-OP=51-.第3题解图类型三折叠问题1.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．(1)如图①，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使点O落在AB边上的D点，求E点的坐标；(2)如图②，在OA、OC边上选取适当的点E'、F，将△E'OF沿E'F折叠，使O点落在AB边上D'点，过D'作D'G∥OA交E'F于T点，交OC于G点，设T的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(3)在(2)的条件下，若OG=23，求△D'TF的面积．（直接写出结果即可）第1题图解：(1)∵将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，∴DC=OC=10．在Rt△BCD中，∵∠B=90°，BC=OA=6，DC=10，∴BD22-=8．DC BC在Rt△AED中，∵∠DAE=90°，AD=2，DE=OE，AE=6-OE，，∴DE2=AD2+AE 2，即OE2=22+（6-OE）2，解得OE=103∴E点的坐标为（0，103）；(2)∵将△E'OF沿E'F折叠，使O点落在AB边上D'点，∴∠D'E'F=∠OE'F，D'E'=OE'，∵D'G∥AO，∴∠OE'F=∠D'TE'，∴∠D'E'F=∠D'TE'，∴D'T=D'E'=OE'，∴TG=AE',∵T（x，y），∴AD'=x，TG=AE'=y，D'T=D'E'=OE'=6-y．在Rt△AD'E'中，∵∠D'AE'=90°，∴AD'2+AE'2=D'E'2，即x2+y2=（6-y）2，整理，得y=112-x2+3；由（1）可得AD'=OG=2时，x最小，从而x≥2，当E'F恰好平分∠OAB时，AD'最大即x最大，此时G点与F点重合，四边形AOFD'为正方形，即x最大为6，从而x≤6，故自变量x的取值范围是2≤x≤6，∴y与x之间的函数关系式为y=112-x2+3（2≤x≤6）.第1题解图(3)∵T的坐标为（x，y），y=112-x2+3，OG=312∴GT =y =112-×12+3=2，AD'=OG =23， ∴E'D'=AD'2+AE'2=4,∴sin ∠3='1''2AE E D =, ∴∠3=30°，∴D'T =6-2=4， 作FM ⊥AB 于M ，则FM =BC =6，∠FMD'=90°=∠A ，∴∠1+∠2=90°， 由折叠的性质得：∠ED'F =∠AOC =90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，∴△D'MF ∽△EAD'，∴''''D F FME D AD = ，即 '6''4DF E D ==32， 设E'O =ED'=x ，则AE' =6-x ，在Rt △AD'E'中，由勾股定理得：(23)2+（6-x ）2=x 2， 解得：x =4，∴OF =D'F =43， ∴GF =OF -OG =23，∴△D'TF 的面积=12 D'T •GF =12×4×23=43．2.如图,在四边形ABCD 中,∠D =∠BCD =90°，∠B =60°，AB =6，AD =9，点E 是 CD 上的一个动点（E 不与 D 重合）过点 E 作EF ∥AC ，交AD 于点F (当E 运动到C 时,,EF 与AC 重合），把△DEF 沿着EF 对折，点D 的对应点是点G ，设DE =x ，△GEF 与四边形ABCD 重叠部分的面积为y .(1)求CD 的长及∠1的度数;(2)若点G 恰好在BC 上,求此时x 的值;(3)求y 与x 之间的函数关系式,并求x 为何值时,y 的值最大? 最大值是多少?14 第2题图 解：(1)如解图①，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵在Rt △AHB 中，AB =6，∠B =60°，∴AH =AB ·si n B =6×32=33，∵∠D =∠BCD =90°，∴四边形AHCD 为矩形，∴CD =AH =33,第2题解图①∵tan ∠CAD =333CD AD ==,∴∠CAD =30°，∵EF ∥AC ，∴∠1=∠CAD =30°；(2)若点G 恰好在BC 上，如解图②，由对折的对称性可知Rt △FGE ≌Rt △FDE ，∴GE =DE =x ，由(1)知，∠1=30°，∴∠FEG =∠FED =60°，∴∠GEC =60°，∵△CEG 是直角三角形，∴∠EGC =30°，∴在Rt △CEG 中，1122EC EG x ==，由DE+EC=CD得1332x x+=，∴x=23；第2题解图②(3)分两组情况讨论：①当0<x≤23时，如解图③，在Rt△DEF中，tan∠1=tan30°=DEDF,∴333xDF x==，第2题解图③∴21133222EDFy S DE DF x x x====，∵30,>对称轴为y轴，∴当0<x≤23，y随x的增大而增大，∴当23x=时，y最大值=23(23)63⨯=；②当23x<≤33时，如解图④，16 第2题解图④设FG ,EG 分别交BC 于点M 、N ，∵DE =x ，∴EC=x ，NE=2(x )，∴NG =GE -NE=)3x x x -=-，又∵∠MNG =∠ENC =30°，∠G =90°，∴MG =NG ·tan 30°x -，∴211(3(3(32236MNG S NGMG x x x ==-⨯-=-， EGF MNG y S S ∆∴=-=22(326x x --=218x +-=2x -+，∵<，∴综上所述，当x =时，y 有最大值，且y 的最大值为.3.如图,四边形ABCD 是矩形纸片,AB =2,对折矩形纸片ABCD ,使AD 与BC 重合,折痕为EF ,展开后再过点B 折叠矩形纸片,使点A 落在EF 上的点N 处,折痕BM 与EF 相交于点Q ,再次展开,连接BN ,MN ,延长MN 交BC 于点G .(1)求AM 的长;(2)判断△BMG 的形状，并说明理由；(3)若点P 为线段BM 上一动点，H 是BN 的中点，当PN 等于多少时，△PNH 的周长最小? 并求出最小值.(计算结果保留根号)第3题图解：(1)如解图，连接AN，∵EF垂直平分AB,∴AN=BN,根据折叠的性质，可得AB=BN,∠ABM=∠NBM, ∴AN=AB=BN,∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN=60°，∴∠ABM=∠NBM=30°，∴在Rt△ABM中，AM=AB·tan30°=3232⨯=；第3题解图(2)△BMG为等边三角形.理由如下：∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，∴∠BMG=90°-∠MBN=90°-30°=60°,∠MBG=∠ABG -∠ABM=90°-30°=60°，∴∠BGM=180°-60°-60°=60°，∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG为等边三角形；(3)∵A与N关于BM对称，∴PA=PN，∴PN+PH=P A+PH,即当AH与BM交于P时，△PHN的周长最小.∵∠GBN=∠ABG -∠ABN=90°-60°=30°,EN∥BC,∴∠ENB=∠NBG=30°.∵∠MBN=30°，∴∠QBN=∠QNB，∴QB=QN，∴点Q，点A均在线段BN的垂直平分线上，∵点H是BN的中点，∴点A,Q,H在一条直线上，即点P与点Q重合时，△PHB的周长最小，.此时PN+PH=AH=AB×sin∠ABH=2×sin60°又BN=AB=2，∴NH=1.∴△PNH的周长最小值为类型四旋转变换问题1.如图①，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接B D，CE，BD和CE相交于点F，若△ABC不动，将△ADE绕点A任意旋转一个角度．（1）求证：△BAD≌△CAE．（2）如图①，若∠BAC=∠DAE=90°，判断线段BD与CE的关系，并说明理由；（3）如图②，若∠BAC=∠DAE=60°，求∠BFC的度数；（4）如图③，若∠BAC=∠DAE=A，直接写出∠BFC的度数（不需说明理由）18第1题图(1)证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE在△BAD与△CAE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），(2)解：BD⊥CE，BD=CE．理由如下：由(1)知，△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，∵∠BAC=90°，∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB=90°，∴∠BFC=90°∴BD⊥CE．(3)解：由(2)得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，∵∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，∴∠BFC=∠BAC∴∠BFC=60°．(4)∠BFC=90°【解法提示】由(2)得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，∴∠BFC=∠BAC，∴∠BFC=α．2.如图 所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2，宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF，现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D'，旋转角为α．（1）当边CD'恰好经过EF的中点H时，求旋转角α的大小；（2）如图②，G为BC中点，连接GD',DE',且0°＜α＜90°，求证：GD'=E'D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD'与△BCD'能否全等？若能，直接写出旋转角α的大小；若不能，说明理由．图①图②第2题图(1)解：如解图，∵边CD'恰好经过EF的中点H，∴EH=12EF=1=CE，∴△CEH为等腰直角三角形，∴∠ECH=45°，∴α=45°；第2题解图(2)证明：∵G为BC中点，∴CG=1，∴CG=CE，∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D'，20∴∠D'CE'=∠DCE=90°，CE=CE'=CG，∴∠GCD'=∠DCE'=90°+α，在△GCD'和△E'CD中，''CD CDGCD DCE CG CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GCD'≌△E'CD（SAS），∴GD'=E'D；(3)解：能．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∵CD'=CD'，∴△BCD'与△DCD'为腰相等的两等腰三角形，当∠BCD'=∠DCD'时，△BCD'≌△DCD'，当△BCD'与△DCD'为钝角三角形时，则旋转角α= 180°−902=135°，当△BCD'与△DCD'为锐角三角形时，∠BCD'=∠DCD'=12∠BCD=45°则α=360°-902=315°，即旋转角α的值为135°或315°时，△BCD'与△DCD'全等.3.如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点M是BC的中点，作正方形MNPQ，使点A、C分别在MQ和MN上，连接AN、BQ．（1）直接写出线段AN和BQ的数量关系是_________ ．（2）将正方形MNPQ绕点M逆时针方向旋转θ（0°＜θ≤360°）①判断（1）的结论是否成立？请利用图②证明你的结论；②若BC=MN=6，当θ（0°＜θ≤360°）为何值时，AN取得最大值，请画出此时的图形，并直接写出AQ的值．图①图②第3题图解：(1)BQ=AN．【解法提示】如解图①，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，BM=AM，∴∠AMB=∠AMC=90°．∵四边形PQMN 是正方形，∴QM=NM．在△QMB和△NMA中，BM AMQMB AMNQM NM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QMB≌△NMA（SAS），∴BQ=AN．第3题解图①(2)①BQ=AN成立．理由：如解图②，连接AM，∵在Rt△BAC中，M为斜边BC中点，∴AM=BM，AM⊥BC，∴∠AMQ+∠QMB=90°．∵四边形PQMN为正方形，∴MQ=NM，且∠QMN=90°，∴∠AMQ+∠NMA=90°，∴∠BMQ=∠AMN．22在△BMQ和△AMN中，MQ MNBMQ AMN BM AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BMQ≌△AMN（SAS），∴BQ=AN；图②图③第3题解图②由①得，BQ=AN，∴当BQ取得最大值时，AN取得最大值．如解图③，当旋转角θ=270°时，BQ=AN（最大），此时∠AMQ=90°．∵BC=MN=6，M是BC的中点，∴MQ=6，AM=12BC =3，∴在Rt△AMQ中，由勾股定理得AQ222236AM MQ+=+35．类型五类比、拓展探究问题1.如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，点P是FD的中点，连接PE、PC．（1）如图①，当点E在CB边上时，求证：PE=22CE；（2）如图②，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明．图①图②第1题图解：(1)延长EP交DC于点G，如图①所示：∵∠FEC=∠DCE=90°，∴EF∥CD，∴∠PFE=∠PDG，又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，∴在△PEF和△PGD中，PFE PDGEPF GPD PF PD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PEF≌△PGD（AAS），∴PE=PG，EF=GD，∵BE=EF，∴BE=GD．∵CD=CB，∴CG=CE，∴△CGE是等腰直角三角形，∴CP⊥GE，CP=12EG=PE，∴△CPE是等腰直角三角形．∴PE= 22CE；24图①图②第1题解图(2)PC=22CE，理由如下：如图 所示：延长EP交CD的延长线于点G，∵∠FEB+∠DCB=180°，∴EF∥CD，∴∠PEF=∠PGD，又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，∴在△PEF和△PGD中，PFE PDGEPF GPD PF PD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PEF≌△PGD（AAS），∴PE=PG，EF=GD，∵BE=EF，∴BE=GD．∵CD=CB，∴CG=CE，∴△CGE是等腰直角三角形，∴CP⊥GE，CP= 12EG=PE，∴△CPE是等腰直角三角形．∴PC=22CE．2.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°得线段DE，连接AE.(1)如图①，当CD=AC时，请直接写出线段AE,AB,AD的数量关系；(2)如图②，当CD≠AC时，(1)中的结论是否成立？说明理由；(3)当点D在射线CA上时，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由，若不成立，请求出AE,AB,AD的数量关系式.第2题图解：(1)AB+AE=2AD;【解法提示】由题知AC=CD,AB=BD=DE,则AB⊥BD,又由题意可得BD⊥DE，∴AB=BD=DE=AE,又∵AB⊥BD，∴四边形ABDE为正方形，则AB=AE=2AC,AD=2AC,∴AB+AE=22AC=2AD.(2)成立.理由如下：如解图，作DF∥BC交AB延长线于F,第2题解图26∵△ABC 为等腰三角形，∠ACB =90°. ∴BC =AC ，∴∠BAC =∠ABC =45°， ∵DF ∥BC ,∴∠ADF =∠ACB =90°，∠F =∠ABC =45°. ∴AD =FD , 又∵∠BDE =90°，∴∠BDF =∠ADE =90°-∠ADB . 在△DAE 和△DFB 中，,DE DB EDA BDF AD FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAE ≌△DFB （SAS ）, ∴AE =BF ,∵AF=, 即AB +BF=AD, ∴AB +AEAD ;(3)当点D 在射线CA 上时，(1)的结论不成立. 当D 在CA 上时，AB -AEAD , 当D 在CA 延长线上时，3.类比特殊四边形的学习，我们可以定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． 【探索体验】 （1）如图 ，已知在四边形ABCD 中，∠A =40°，∠B =100°，∠C =120°．求证：四边形ABCD 是“等对 角四边形”．（2）如图②，若AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，那么四边形ABCD是“等对角四边形”吗？试说明理由．【尝试应用】（3）如图③，在边长为6的正方形木板ABEF上裁出“等对角四边形”ABCD，若已经确定DA=4m，∠DAB=60°，是否在正方形ABEF内（包括边上）存在一点C，使四边形ABCD以∠DAB=∠BCD为等对角的四边形的面积最大？若存在，试求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．图①图②图③第3题图(1)证明：∵在四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=100°，∠C=120°．∴∠D=360°-∠A-∠B-∠C=100°，∠A≠∠C，∴∠D=∠D，∴四边形ABCD是“等对角四边形”；(2)解：连接BD，∵AB=AD，CB=CD，∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，∴∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，∴∠ABC=∠ADC，∵AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，BD=BD，∴△ABD与△CBD不相似，∴∠A≠∠C，28∴四边形ABCD是“等对角四边形”．第3题解图(3)如解图，当∠DAB=∠BCD=60°时，四边形ABCD是“等对角四边形”，此时点C在BD为半径的CD上，要使四边形ABCD的面积最大，则点C在边BE上，过点D作DH⊥AB于点H，DM⊥BC于点M，在Rt△ADH中，∠DAH=60°，AD=4，∴AH=2，DH=23∴BH=AB-AH=4，∴四边形DHBM是矩形，∴BM=DH=23DM=BH=4，在Rt△DMC中，∠DCM=60°，∴CM=33DM=33，∴BC=BM+CM=343103，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= 12×6×2312103×383m2.。