专题七 二次函数全等三角形的存在性问题

典例精讲 例 如图，抛物线与x轴交于点A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2)．
(1)求抛物线的解析式；
【思维教练】根据题意设抛物线的顶点式，
将C(0，2)代入即可得解．
例题图
解：∵抛物线过点A(－4，0)，B(2，0)，
∴设抛物线解析式为：y＝a(x＋4)(x－2)，把C(0，2)代入，得 2＝a×4×(－2)，即a＝－ 1 ，
点不在同一直线上)． (1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
【思维教练】将点A、B分别代入抛物线的表达 式，通过解方程组，可得到b，c的值．
例题图
解：将点A(－1，0)，B(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c中，得
1 b c c 2

0，
解得
b c

1 2
，
∴二次函数表达式为y＝x2－x－2；
类型六 切线问题
(遵义2015.27(3)；铜仁2015.23(3))
【方法指导】抛物线中有关圆的切线的问题，一般为两种类型：①已知直 线与圆相切的相关计算；②已知直线与圆相切，求直线解析式．对这两种 问题，一般解题方法如下： ①已知圆与直线相切时，连接切点与圆心，得到垂直，再结合题干中的已 知条件，利用直角三角形或相似三角形的性质进行计算；若判断抛物线对 称轴与圆的位置关系，只要根据圆心到对称轴距离与圆半径大小关系即可 确定；②若已知圆与直线相切，需根据题意分析，切线只存在一条，还是 两条，若为两条，常要进行分类讨论计算，然后根据勾股定理或相似列方 程求出点坐标，得到直线解析式．
专题七 二次函数综合题
类型五 全等三角形的存在性问题
(铜仁2017.25(2))
【方法指导】全等的两个三角形，在没指明对应点的情况下，理论上应分 六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，常见有如下两种类型，每 类分两种情况讨论就可以了．
两个三角形有一条公共边
确定方法：①以公共边为对称轴在两边作对称图形，则△ABC≌△ABE；②作△ABC， △ABE关于AB的垂直平分线对称的图形，则△ABC≌△BAD，△ABE≌△BAF
∴当x＝0时，2y＝－32，
∴C(0，－3)．
第1题解图
设直线BC的解析式为y＝kx＋b1，
∵B(2，0)，C(0，－3)，将B、C两点代入解析式，得 解得k＝ 3 ，
b21kb31

0
，
2 ∴直线BC的解析式为y＝
3
x－3.
∵∴当 E(x2＝，52 －时，12代)．入直线B2C的解析式，得y＝－
12 5
，
5
5
∵点E在直线y＝－x＋n上，
∴－
2 5
＋n＝－
152，∴n＝－2；
②全等；理由如下：
∵直线EF的解析式为y＝－x－2，∴当y＝0时，x＝－2，
∴F(－2，0)，∴OF＝2.
∵A(－1，0)，∴OA＝1，∴AF＝1，
y 3 x2 3 x 3
∵抛物线与直线y＝－x－2相交于点D，联立方程，得 2 2 ，
4
∴所求抛物线的解析式为
y＝－ 1 (x＋4)(x－2)＝－ 1 x2－ 1 x＋2；
4
4
2
(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D三点
为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；
【思维教练】求解此题，关键是用D的坐标表示 出△ACD的面积，且由题意知yD>0，将△ACD
(2)在抛物线上找出两点P1、P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出P1、 P2的坐标．
【思维教练】利用全等时对应边相等，结合抛物线
的对称性，分两种情况：①分别作B、C点关于对称
轴对称的点，所作对称点即为所求P1，P2点；②作 BC的平行线，与抛物线的交点，即为所求P点．
例题图
解：令y＝x2－x－2＝0，得
BP＋AP＝AB，
∴t＋2t＝4， 解得t＝ 4 .
3 (ⅱ)若点P在x轴下方的直线AB上，
∵AP＝BP－AB＝AQ，
∴2t－4＝t，
解得t＝4；
③当PA＝PQ时，如解图②，过点P作PE⊥AO于点E.
则AE＝ 1 AQ＝ 1 t，
2
2
在Rt△PEA中，PE＝
3 AE＝
3 t.
AP＝2PE＝
3 t.
2
42
2
＝－1 x2－2x
2
＝－ 1 (x＋2)2＋2，
2
∵－ 1 ＜0，－4<x<0，
例题解图①
2
∴当x＝－2时，S△ADC有最大值，最大值为2，此时D(－2，2)；
(3)以AB为直径作⊙M，直线l经过点E(－1，－5)，并且与⊙M相切，求直 线l的解析式．
【思维教练】解此题的关键是确定切点坐标， 设切点为F，由题可得圆心点M坐标、半径长， 点M与E为平行于y轴的直线上的两点，有切点， 故构造直角三角形是解题切入点，由于过圆外 一点存在两条圆的切线，故此题有两种情况．
解得

x1 y1


2 3 4 3
或

x2 y2
1 3
.
y x 2
∵点D在第四象限，∴点D的坐标为(1，－3)．
∵点C的坐标为(0，－3)， ∴CD∥x轴，CD＝1， ∴∠AFG＝∠CDG， ∠FAG＝∠DCG， ∵CD＝AF＝1， ∴△AGF≌△CGD(ASA)．
∴PF＝ 1 AP＝2－t.
2 ∴S△APQ＝
1 2
AQ·PF＝1 ×t×(2－t)＝－1
2
2
(t－1)2＋ 1 2
.
∴当t＝1时，△APQ的面积最大．
此时点P为AB的中点，且P( 3 ，1)． 连接OP，则OP＝AP＝BP，
第2题解图③
∵点P( 3 ，1)，∴点T的横坐标为 3 ，
将x＝ 3 代入抛物线的解析式，得y＝3. ∴TP＝OP＝2. 在Rt△TFA中，由勾股定理可知：TA＝2 3 ， ∴AO＝TA. ∴△APT≌△APO. ∴存在点T，使△APT≌△APO， 点T的坐标为( 3 ，3)．

∴


m 12 m 12
n2 3
n 52

，解得
4
m1

7 5
n1


9 5
或
m2 n2
17 5
9 5
(舍去)，
∴点Q( 7 ，－9 )，同理可得点P(－17 ，－ 9 )，
5
5
5
5
例题解图②
设直线l1和直线l2的解析式分别为y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，
有一组对应角相等
△ABC与△DEF全等，∠B＝∠E(或等于90°)则 ①△ABC≌△DEF； ②△ABC≌△FED. 注：∠B＝∠E＝90°时，通常根据 勾股定理求解
典例精讲 例 (2017铜仁25(1)(2))如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(0，
－2)，并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M、B、C三
(3)点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，△APQ的 第2题图 面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得△APT≌△APO？
若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)把x＝0代入y＝－ 3 x＋2中，得y＝2.
把y＝0代入y＝－
3
3 x＋2中，得x＝2
3.
3
∴A(2 3 ，0)，B(0，2)，
k b

1 2 2
，
∴直线AC的解析式为y＝ 1 x＋2，
2
∴F(x，1 x＋2)， 2
S△ADC＝S△ADF＋S△CDF
＝ 1 (xD－xA)(yD－yF)＋ 1 (xC－xD)(yD－yF)
2
2
＝
1 2
(xC－xA)(yD－yF)
＝ 1 ×4×(－1x2－1 x＋2－1 x－2)
2. 如图，一次函数y＝－ 3 x＋2与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y＝
－2
3 x2＋bx＋c经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿
3
射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，
两点同时出发，运动时间为t秒．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)求当△APQ为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；
拆分成同底，且以点A、C为顶点的两个三角
形求解．
例题图
解：依题意可设D(x，－1 x2－ 1 x＋2)(－4＜x＜0)，
4
2
如解图①，连接AC，过点D作DF⊥x轴交AC于点F，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(－4，0)，C(0，2)代入，
得
4k b b 2

0，解得
3
3
3
∵BP＋AP＝AB，
∴2t＋ 3 t＝4. 解得t＝324 4 3 .
第2题解图②
11 综上所述，当△APQ为等腰三角形时，t的值为8－4
3
或
4 3
或4或
24
4 11
3；
(3)如解图③，过点P作PF⊥AO于点F，延长FP交抛物线于点T，连接AT.
∴PF为△APQ底边AQ上的高．
∵AP＝4－2t，∠BAO＝30°，
若△MP1′C≌△CBM，则MP1′＝CB.
∴四边形MBCP1′为平行四边形，∴xM－xB＝xP1′－xC；
∴
x p1
'＝xM－xB＋xC＝
1－0＋2＝ 5
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
.
将x＝ 5 代入y＝x2－x－2中，得y＝ 7 ，