高中数学选修4-5不等式选讲的重要思想资料讲解
选修4-5__不等式选讲_(1)
【规律方法总结】
1．运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件，切不可用似乎很显然的理
由代替不等式的性质．
2．解绝对值符号里是一次式的不等式，常用零点分段法，其一般步骤是： (1)令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序，并把实数集分为若干个区间； (3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们
①|ax＋b|≤c，c<0，x∈∅；c≥0，－c≤ax＋b≤c；
－b－c≤ax≤c－b.a>0，x∈ ；a<0，x∈
②|ax＋b|≥c，c<0，x∈R；c≥0，ax＋b≥c或ax＋b≤－c. a>0，x∈ a<0，x∈ ；
1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系
a＞b⇔a－b ＞ 0，a＜b⇔a－b ＜ 0，a＝b⇔a－b ＝ 0.
(4)解法一：当 x<－2 时，原不等式即 1－x－2－x<5，解得－3<x<－2； 当－2≤x≤1 时，原不等式即 1－x＋2＋x<5，因为 3<5 恒成立，则－2≤x≤1； 当 x>1 时，原不等式即 x－1＋2＋x<5，解得 1<x<2.综上，原不等式的解集为 {x|－3<x<2}． 解法二：不等式|x－1|＋|x＋2|<5 的几何意义为数轴上到－2,1 两个点的距离之和小于 5 的 点组成的集合，而－2,1 两个端点之间的距离为 3，由于分布在－2 与 1 之间以外的点到 －2，1 的距离在－2,1 外部的距离要计算两次，而在－2,1 内部的距离则只计算一次，因 5－3 5－3 此只要找出－2 左边到－2 的距离等于 ＝1 的点－3， 以及 1 右边到 1 的距离等于 2 2 ＝1 的点 2，这样就得到原不等式的解集为{x|－3<x<2}．
人教A版高中数学选修4-5_不等式选讲全册教案
选修4--5 不等式选讲一、课程目标解读选修系列4-5专题不等式选讲，容包括：不等式的根本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大〔小〕值、数学归纳法与不等式。
通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是根本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。
二、教材容分析作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材容仍以初中知识为起点，在容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题容分为四讲，构造如以下图所示：第一讲是“不等式和绝对值不等式〞，为了保持专题容的完整性，教材回忆了已学过的不等式6个根本性质，从“数与运算〞的思想出发，强调了比拟大小的根本方法。
回忆了二元根本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。
对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算〞角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。
通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。
第二讲是“证明不等式的根本方法〞，教材通过一些简单问题，回忆介绍了证明不等式的比拟法、综合法、分析法，反证法、放缩法。
其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的容。
这些方法大多在选修2-2“推理与证明〞已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比方舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用根本不等式进展放缩等〔见分节教学设计〕。
本讲容也是本专题的一个根底容。
第三讲是“柯西不等式和排序不等式〞。
高中数学 ： 选修4-5 不等式选讲
解析 原不等式等价于
x 1,
1
(x 1) (2x 2) 17
或
1 x 1, (x 1) (2x 2) 1
或
x 1, (x 1) (x 2) 1,
解得x≥2或x≤-1.
5
故原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥2}.
考法2 与绝对值有关的恒成立、存在性等求参数范 围的问题
4．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围 为____________．
4-5 不等式选讲
1
聚焦核心素养
理科数学选修4-5：不 等式选讲
1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,选修4-5是
高考题中的选做部分,主要考查绝对值不等式的求解、
恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明,多以解答
题的形式呈现,难度中等,分值10分.
2.学科核心素养 本章通过绝对值不等式的解法和不等 式的证明考查考生的数学运算素养,以及对分类讨论思 想和数形结合思想的应用.
上述定理还可以推广到以下两个不等式:
(1)|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|;
(2)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解法：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
__{x_|_－__a_＜__x_＜_a__} _
解析
原不等式等价于
x 1, (x 1)
(x
2)
5
x 1, (x 1) (2x 2) 7
选修4-5_不等式选讲(教材解读与教学建议)
• 一、本章的地位和作用 • 二、考纲和课程标准解读 • 三、教材分析 • 四、教学建议
9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法： 比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
10．完成一个学习总结报告.
课
具体内容
要求
说明
标
不等式的基本性质
理解 回顾和复习不等式的基本性质和基本不等
不
式，掌握二元和三元 平均不等式证明和应
等
基本不等式
掌握 用，理解二元和三元 平均不等式几何背
式
景，理解这些不等式的实质。会求一些特
明
本、最重要的方法。它所依据是实数大小的基本事实，
不 等
综合法与分 析法
掌握
证明不等式时关键有较强的恒等变换技巧。比较法两种 中差值法是最基本而重要的一种方法。综合法是由因导
式
果，而分析法是执果索因，命题时总是交替出现。直接
的 基 反证法
由条件推结论困难时用反证法。放缩法证明题时，把握 理解 好放缩的度。证明不等式是一定注意“逻辑方法”、“思
不 不等 解 证明思路，对具有明确大小顺序、数目相同的两列数，考虑它
等式
们对应乘积之和的大小关系时，排序不等式是很有用的工具。
式
课 标
具体内容
要 求
说明
了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用
数 学
了
数学归纳法 解 数学归纳法证明一些简单问题。
选修4-5——不等式选讲知识点归纳
选修4-5——不等式选讲知识点概括选修 4-5 ——不等式选讲知识点
《选修 4－5不等式选讲》
1、绝对值不等式的性质
4、解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转变为不含绝对值的不等式，解法以下：(6)含有多个绝对值符号的不等式，如
| x a | | x b | c
或
| x a | | x b |c(c 0)
型不等
式有以下三种解法 :
方法 1：利用“零点分段法”求解，表现了分类议论的思想.
方法 2：利用绝对值不等式的几何意义求解，表现了数形联合
的思想.。
对于形如
| x a | | x b | c(c 0)
或
| x a | | x b | c( c0) 的不等式，利用实数绝对值的几何意
义求解较简易 . ，即不等式能够理解为数轴上到定点A(a )
、
B (b )
的距离之和大于（或小于） c 的点M ( x)的全体.
方法 3：经过结构函数f (x) | x a | | x b|
和
g( x )c , 利用函
数的图象求解 , 表现了函数与方程的思想
5、一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右端化为0，左端化为二次项系数大于零的不等式
ax2bx c 0 ( a0 )或ax2bx c 0 ( a0)
(2)确立对应方程ax2bx c0 的根；
(3)画出对应函数y ax2bx c 的图像的简图；
(4)由图像得出不等式的解集.
( a0 )的图象
两异根
x1x2有两相等实根无实数根( a0)的解集大于在两边
( a0)的解集小于夹中间。
选修4—5 不等式选讲
不等式选讲【基础知识详解】一、不等式的概念和基本性质1．两个实数大小关系的基本事实 a >b ⇔a －b >0 a ＝b ⇔a －b ＝0 a <b ⇔a －b <0 2．不等式的基本性质(1)对称性：如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b . 即a >b ⇔b <a . (2)传递性：如果a >b ，b >c ，那么a >c . (3)可加性：如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . (5)乘方：如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ，n >1)．(6)开方：如果a >b >0n ∈N ，n >1)． 3.基本不等式 （Ⅰ）二元不等式(1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0a ＝b 时，等号成立．也可以表述为：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的积P 取得最大值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的和S 取得最小值．（Ⅱ）三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均． (2)基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．（Ⅲ）柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．二、绝对值不等式1．绝对值三角不等式(1)性质1：|a ＋b |≤|a |＋|b |.当且仅当0ab ≥时，等号成立； (2)性质2：|a |－|b |≤|a ＋b |；性质3：|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.当且仅当0ab ≥时，左边等号成立，当且仅当0ab ≤时，右边等号成立；（3）性质4： |a －c |≤|a-b |＋|b-c |,当且仅当（a-b ）（b-c ）≥0 2．绝对值不等式的解法(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 三、证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为求商比较法． (2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法设{P n }是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P 1(或P 0)成立；(2)在假设P k 成立的前提下，推出P k ＋1也成立，那么可以断定{P n }对一切自然数成立．【例1】(2012·课标全国)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 【举一反三】 已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．( 恒成立最值解决问题)解 方法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)， 于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． 方法二 (1)同方法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．【例2】已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11.证明 由于2x ＋y ＝23(3x )＋12(2y )，由柯西不等式(a 1b 1＋a 2b 2)2≤(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)得(2x ＋y )2≤[(23)2＋(12)2](3x 2＋2y 2)≤(43＋12)×6＝116×6＝11，∴|2x ＋y |≤11，∴2x ＋y ≤11.【规律总结】使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值．解 由柯西不等式(32＋42)·(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，① 得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.不等式①中当且仅当x 3＝y4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，解得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为4.【例3】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)(1a －1)·(1b －1)·(1c －1)≥8；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，(1a －1)·(1b －1)·(1c－1) ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8.(2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， 2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ，两边同加a ＋b ＋c 得3(a ＋b ＋c )≥a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝(a ＋b ＋c )2.又a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2≤3， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3；(2) a bc ＋ b ac ＋ cab ≥3(a ＋b ＋c )．证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3. 即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )．即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得． ∴原不等式成立．(2) a bc ＋ bac＋c ab ＝a ＋b ＋cabc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a ＋b ＋c .即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2.∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (a ＝b ＝c ＝33时等号成立)． ∴原不等式成立．绝对值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.思维启迪 本题不等式为|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法． 规范解答解 方法一 如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1，到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .[4分]∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离之和为3，B 1对应数轴上的x ，∴x －1＋x －(－1)＝3.∴x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都大于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.[8分] 所以原不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.[10分]方法二 当x ≤－1时，原不等式可化为－(x ＋1)－(x －1)≥3，解得：x ≤－32.[3分]当－1<x <1时，原不等式可以化为 x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． [6分]当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.[9分] 综上，可知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32.[10分]方法三 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1；－1，－1<x <1；2x －3，x ≥1.[3分]作出函数的图象，如图所示：函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，[8分]即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.[10分] 温馨提醒 这三种方法是解|x ＋a |＋|x ＋b |≥c 型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.方法与技巧1．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 2．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．3．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛．柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式． 失误与防范1．理解绝对值不等式的几何意义． 2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．3．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．4．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．。
专题七第2讲选修45不等式选讲课件共41张PPT
【变式训练2】 已知函数f (x)＝x＋m2 ＋|x－m|(m>0)。 (1)当m＝1时，求函数f (x)的最小值； (2)若存在x∈(0,1)，使得不等式f (x)≤3成立，求实数m的取值范围。
解 (1)当m＝1时，f (x)＝|x＋2|＋|x－1|， 因为|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3， 当且仅当(x＋2)(x－1)≤0，即－2≤x≤1时等号成立， 所以f (x)的最小值为3。
方法悟通
解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略
不等式 恒成立
问题
不等式f (x)>A在区间D上恒成立，等价于在区间D 上f (x)min>A。 不等式f (x)<B在区间D上恒成立，等价于在区间D 上f (x)max<B
不等式 能成立 问题
不等式 恰成立 问题
在区间D上存在实数x使不等式f (x)>A成立，等价 于在区间D上f (x)max>A。 在区间D上存在实数x使不等式f (x)<B成立，等价 于在区间D上f (x)min<B 不等式f (x)>A在区间D上恰成立，等价于不等式f (x)>A的解集为D。 不等式f (x)<B在区间D上恰成立，等价于不等式f (x)<B的解集为D
(2)由题意得存在x∈(0,1)，使得x＋m2 ＋|x－m|≤3成立， ①当m≥1时，x＋m2 ＋|x－m|≤3等价于m2 ＋m≤3，所以1≤m≤2。
②当0<m<1时，f
(x)＝x＋
2 m
＋|x－m|＝ 2m2x＋＋mm2，－0m<，x<mm≤，x<1，
则f
(x)min＝
2 m
＋
m，所以m2 ＋m≤3，所以1≤m≤2，与“0<m<1”矛盾，此时m无解。 综上，实数m的取值范围为[1,2]。
选修4-5《不等式选讲》知识点详解
1、不等式的基本性质（对称性） （传递性）④ a2+b 2+ db +bc +ca （a , b 迂 R ）（当且仅当a=b=c 时取到等号） ⑤ a ' + b3+cPabc （a AO,b A O,C >0）（当且仅当a=b=c 时取到等号）.b a⑥ 若ab >0,则—>2 （当仅当a=b 时取等号）a b b a若abc 0,贝y —+ —<-2 （当仅当a=b 时取等号）a b… b b +m a +n a ⑦ 一吒 ------ v 1 V ----- <-,（其中 a 》b >0, m >0, n >0） a a +m b +n b规律：小于 1同加则变大，大于 1同加则变小.⑧ 当a >0时,I X >au X 2 :>a 2u x c-a 或x >a;高中数学选修4--5知识点a >b 二 a +c 〉b +c> b , e >d = a + c >b +d （异向可减性）a ；>b,c<；d = a-c>b-d （可积性）（可加性）（同向可加性）a（同向正数 a > b ,c a >b , e 可乘性） 》0 = ac > bec 0 = ae < bea >b >0,c >_d >0= ac >bd（异向正数 可除性） （平方法则） （倒数法则）a >b >0= a n>b n（n 迂 N,且n >1）a >b ;>0 =（n 亡N,且n >1）1 1 1a Ab > 0= — v-;a V b <0= — a b a2、 几个重要不等式 ①a2+b 2>2ab （a, b 亡R ）,（当且仅当a =b 时取"="号）.2丄」2a +b变形公式：ab「②（基本不等式）节卫>庙（a , b 壬R +）,（当且仅当a=b 时取到等号）变形公式： a +b >2j abab <f a +b 丫 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件 “一正、二定、三相等”③（三个正数的算术一几何平均不等式）a +b +c 3 '沫® bC 当且仅当a =b = C 时取到等号）2a+ b f a 2 +&22珂h ，（ a E R+当且仅当"b 时取J 号）.X ca =<a = 「a<xca. ⑨绝对值三角不等式 —b<a±b<a + b.3、几个著名不等式 （即调和平均 <几何平均 <算术平均 变形公式： 乞平方平均）. f a +b Y a 2 +b 2 ab < D -- ( < -----I 2丿 2 ②幕平均不等式： a+rS2 2 2 1 2a i +a 2 +... +a n >-(a i +a 2+... +a n ).n ③二维形式的三角不等式： J x j 中y i 2 + J X 22+y 22 二 J (x i —X 2)2 +(y i — y 2)2 (X i ,y i ,X 2,y^ R).④二维形式的柯西不等式: (a 2+b 2)(c 2+d 2) >(ac + bd)2(a,b,c,d 亡 R).当且仅当 ad =bc 时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式: (a i 2 +a 22 +a 32)(b 2 +b 22 +b 32)>(qh +a 2b 2 +a 3b 3)2. ⑥一般形式的柯西不等式: (aj + a 22 +...+ a n 2)(b,2 +b 22 +...+ g 2) >(aib i +&2匕2 +... + a^n )2. ⑦向量形式的柯西不等式: 设；卫是两个向量，则,当且仅当?是零向量，或存在实数 k ，使;=k ?时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）设6 <&2兰…兰ang <...<b n 为两组实数.c 1,c 2,...,c n 是t i ，b 2,...,b n 的任一排列，则 aA +a 2b n 彳+...+a n b i <aiG 中4262 +... + &.4 兰ab +&2匕2 +... +a nb n .(反序和 <乱序和 <顺序和)，当且仅当 a =&2 =... =a n 或b] =»2 =...=b n 时，反序和等于顺序和 ⑨琴生不等式：（特例：凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数 f （X ）,对于定义域中任意两点X 1,X 2（X^ ^X 2）,有 f （X i +X 2）兰f （X i ） +f （X 2）2 ~ 2 4、不等式证明的几种常用方法 卄人也）二f （X i ）+ f （X 2）则称f （X ）为凸（或凹）函数. 2 _ 2 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法, 常见不等式的放缩方法：数学归纳法等. ①平均不等式:2 a^+b21①舍去或加上一些项，如（a+-）22 2 1— ———_2振扳 + 7?1 T k J k +J k -1 '(^ N ,k >1)等.元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax2+ bx + C > 0（或c 0）(a H 0,A =b 2—4acA0)解集的步骤:一化：化二次项前的系数为正数 . 二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象 . 五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边 6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（ 奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则A 0二 f （x ） g （xb>0"x ） ■ （“ <或兰”时同理） f （X ）"1 1 f （X ），g （x ） >0—0 二 5g （x ） l g （x ）H 0规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解 .lf(x)<[g(x)]②将分子或分母放大 （缩小）3 + 4>（a+2）2； 如—k 2k(k-1)1 1k^^k(k +1)8、 无理不等式的解法：转化为有理不等式求解J f(X)Aa(a A 0)Uj f(x ^0l f(x)》a 2J f(X)<a(a 》0) u7(x) >0I f (x)J f(x) >g(x)u f(X)A 0g(x)>0一f(x)A[g(x)]2叫 g(x)：0fX)cg(x)uf(X)>0“ g(x)>0f(x^0g(x)>0f(xb>g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解 9、指数不等式的解法: ⑴当 a >1 时，af (x)；>a g(x)= f (x) >■ g(x)⑵当 0cav1 时,af(XS-a g(X ^ f(x)vg(x)规律：根据指数函数的性质转化 10、对数不等式的解法I f(x)》0⑴当 a >1 时，log a f(X)Alog a g(x)u <g(x)A0[f(x)》g(x)f(x) A 0⑵当 0cac1 时,log a f(X)>log a g(x)u *g(x)>0 l f(x) vg(x) 规律：根据对数函数的性质转化11、含绝对值不等式的解法:f(x) < g(x) u f 2(x) <g 2(x).⑶同解变形法，其同解定理有:X <au -a <x <a(a >0); X >au X >&或X < -a(a >0);f(x)兰 g(x)二—g(x)兰 f(X)兰g(x) (g(x) >0)④ I f(x)|>g(x)二 f(x) >g(x)或f(x) <-g(x) (g(x) >0)规律：关键是去掉绝对值的符号 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 ⑶利用线性规划求目标函数z = Ax + By （A, B 为常数）的最值:法一：角点法:如果目标函数z=Ax +By （ X 、y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区⑸ J f(X)> Jg(x) u ⑴定义法:[a (a>0) [-a (a <0)⑵平方法:规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值 、每段中取交集，最后取各段的并集 13、含参数的不等式的解法 ⑴讨论a 与0的大小;⑵讨论A 与0的大小;⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题2⑴不等式ax +bx+c>0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是:2⑵不等式ax +bx +c <:0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是:f （X ）<a 恒成立 u f （X ）max 兰a ；⑷ f(x) >a 恒成立=f(x)min Aa;f(X)>a 恒成立二 f (x)min Xa.15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断:法一：取点定域法：由于直线Ax + By +C =0的同一侧的所有点的坐标代入Ax + By +C 后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点化,y 0）（如原点），由Ax 0 + By 0 +C 的正负即可判断出 Ax + By + C a 0 （或<0）表示直线哪一侧的平面区域即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点法二：根据Ax + By+C:>0（或c 0），观察B 的符号与不等式开口的符号， 若同号，Ax + By+C>0（或c 0）表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域①当 a = 0 时二 b = 0,c > 0;②当^0时二?>0仏<0.①当a =0时=b =0,c <0;②当a 工0时二■A <0. ⑶f （x ） c a 恒成立Uf (X)max Va ；域的边界角点处取得， 将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应 Z 值，最大的那个数为目标函数 Z 的最大值，最小的那个数为目标函数 Z 的最小值法二：画一一移一一定一一求：行移动）确定最优解；第三步，求出最优解 （X,y ）；第四步，将最优解（X, y ）代入目标函数z=Ax + By 即可求出最大值或最小值.第二步中最优解的确定方法:利用Z 的几何意义：y = -Ax + ?,-为直线的纵截距.B B B①若B >0,则使目标函数Z = Ax +By 所表示直线的纵截距最大的角点处, 角点处，Z 取得最小值;②若B cO,则使目标函数Z = Ax + By 所表示直线的纵截距最大的角点处, 角点处，Z 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型:②“斜率”型：ZJ 或 zA; x X -aZ =(x —a)2+(y —b)2或z = J (x -a)2+(y-b)2.在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化2解形如ax +bx+c>0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有:①“截距”型：Z=Ax + By;③“距离”型： Z=x 2 +y2或 z = J x2+y 2；第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l 0:Ax +By = O ，平移直线1。
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一、
a) 恒等关系是义务教育数学学习中的一种基本的关系。
在义务教育的学习过程中，有哪些恒等关系是重要的？是需要学生掌握的？决定这些恒等关系的基本数学思想是什么？这些数学思想是怎么发挥作用的？
b) 在义务教育阶段也引入了事物之间的不等关系，同时也引出了一些重要的不等关系，例如，实数中的不等关系。
我们还引出了一些不等关系的性质，例如，a>b>0,b>c>0就可以得出，a>c。
建议同学们梳理一下在义务教育阶段所学的不等关系，体会不等关系与恒等关系的区别。
c) 在高中的必修5，我们设置了不等式的内容。
它大体上由四部分内容组成。
我们同学们梳理复习这四部分内容。
第一部分是，一些基本不等式的性质，例如，a>b,c>0得出，ac>bc等。
第二部分是，在学会解一元一次不等式的基础上，引入了一元二次不等式。
第三部分是，介绍了我们一个经常使用的不等式，
这个重要的不等式有许多不同的呈现形式，值得一提的是，它还有很多重要的几何形式。
第四部分是，简单的线性规划问题。
解决线性规划问题是按照以下基本步骤实现的：
1）确定目标函数
2）确定目标函数的约束条件，即讨论这个目标函数的可行区域。
利用不等式刻画目标函数的约束条件。
3）观察目标函数在可行区域内的变化趋势。
4）确定使得目标函数达到最大或最小值的解。
同学们应该思考的是，在讨论这些不等式的过程中什么思想发挥了作用。
d) 在我们上面分析的这些内容的学习中，我们可以体会到由运算思想所体现的恒等变换的能力。
这种能力在研究不等式中发挥了重要的作用。
建议同学们在教师的帮助下更好的发挥这种能力。
e) 由运算思想所体现的恒等变换的能力，是一种重要的逻辑推理的能力。
在本专题中，提高这种能力是本专题的基本定位。
建议教师思考在本专题中，如何体现这样一个基本定位。
f) 我们知道基本不等式，a2+b2≥2ab,它有着重要的几何背景。
如图所示：
令AF=a,BF=b,则AB2=a2+b2,而S正方形ABCD≥4S⊿ABF
即，所以，a2+b2≥2ab，
当AF=BF时，正方形EFGH缩为一点，S正方形ABCD=44S⊿ABF
实际上每一个好的不等式都有重要的数学背景，特别是重要的几何背景。
教师应思考这样的问题，如何引导学生体会和认识不等式的几何背景，以及这些几何背景在证明不等式的过程中发挥的几何意义？
g) 本专题我们主要介绍以下内容
（1）不等式的基本性质和基本不等式；
（2）绝对值不等式及其几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明和求解一些绝对值不等式；
（3）认识柯西不等式的几种不同形式及其几何意义，用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况；
（4）用向量递归方法讨论排序不等式；
（5）了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题；
（6）会用数学归纳法证明贝努利不等式；
（7）会用上述不等式证明一些简单问题。
能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值；
（8）通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。
教师应该思考，如何让学生构架起本专题的知识结构。
教师还应该思考，如何帮助学生总结、概括高中阶段有关不等关系的内容，并能写出一个好的读书报告与学生进行交流，总结在不等关系学习中的重要的数学思想。
h) 教师应了解学生学习不等式选讲的基础，并思考如何根据学生的起点设计本专题的教学方案。