一元一次方程的讨论
“从古老的代数书说起——一元一次方程的讨论”教学反思
出 了 两道 与 实 际 生活 密 切相 关 的问 题 ，
一
个 是关 于 ２０ ０ ８年 奥 运 会 的 问 题 ， 个 一
是 学 校 图 书 分 配 的 问 题 。 从 学 生 身 边 的 问题 入 手 ， 学 生一 种轻松 的心理氛 围 ， 给 易 于 学 生 学 习 新 知 识 ，并 利 用 一 个 个 的 小 问题 ， 步 引导学 生 ， 发 学生 的求 知 逐 激 欲望 。 二 、 学 过 程 的 模 拟 化 教
的概 念 。通 过 这 样 的 争 论 过 程 ， 提 高 学 对
亲 身感受 ， 象会 更加深 刻 。 校 图书分 印 学
配 的 问 题 是 这 样 的 ：学 校 要 将 一 批 图 书
生 的 语 言 表 达 能 力 和 综 合 能 力 有 很 大 的
帮助。
分 给 某 个 班 学 生 阅 读 ， 每 人 分 ３本 ， 若 则 还剩余 ２ ０本 ； 每 人 分 ４本 ， 还 缺 ２ 若 则 ５ 本 ， 知道 这班 有 多少学 生 ？教学 时 ， 你 我 大 胆 模 拟 生 活 情 节 ，让 学 生 进 行 图 书 分 配 的 表 演 ， 活 动 的 形 式 再 现 问题 ， 学 以 使 生 更 加 直接 地 参 与 实践 。通 过讨 论 、 分 析 ， 等 量 关 系 ， 未 知 数 ， 方 程 ， 其 找 设 列 使 中难 点迎 刃而解 ， 而 使学 生学得 轻松 、 从
提 高学 生的 素养 。
示 ，引 导 学 生 对 比 观 察 ，组 织 学 生 分 组 讨 论 、 流后 ， 出 结 论 。学 生 通 过 对 比 问题 交 得 的思维方式 不难找到 解决问题 的方案 ， 并 且 理 解 较 为 深 刻 ，收 到 了 事 半 功 倍 的 效
一元一次方程的解的分类讨论
一元一次方程的解的分类讨论一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
解一元一次方程是初中数学学习的基础内容，本文将对一元一次方程的解进行分类讨论。
一、无解的情况在一元一次方程中，存在着无解的情况。
当系数a和b满足一定条件时，方程将无解。
设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a=0，b≠0时，方程无解。
这是因为当a=0时，方程变为0x + b = 0，无论b的值如何，都无法找到一个x使等式成立。
二、有唯一解的情况继续讨论一元一次方程的解分类，可以发现还存在着有唯一解的情况。
当系数a和b满足一定条件时，方程仅有一个解。
设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a≠0时，方程有唯一解。
这是因为当a≠0时，方程变为ax + b = 0，可以通过移项和除以a的方式，求得唯一解x = -b/a。
三、有无穷多解的情况除了无解和有唯一解的情况外，一元一次方程还存在有无穷多解的情况。
当系数a和b满足一定条件时，方程将有无穷多解。
设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a=0且b=0时，方程有无穷多解。
这是因为当a=0且b=0时，方程变为0x + 0 = 0，任意实数x都可以使等式成立。
总结一元一次方程的解的分类讨论，可以得出以下结论：1. 当方程的系数a和b满足a=0且b≠0时，方程无解。
2. 当方程的系数a满足a≠0时，方程有唯一解，解为x = -b/a。
3. 当方程的系数a和b满足a=0且b=0时，方程有无穷多解。
根据以上分类讨论，我们可以更加深入地理解一元一次方程的解的特点和性质，并能够更准确地求解一元一次方程的解。
这里我们可以举一个具体的例子来说明。
假设有一个一元一次方程2x + 4 = 0，我们可以将其应用到分类讨论中。
根据分类讨论的结论，我们可以得出该方程的系数a=2，b=4。
由于a≠0，所以该方程有唯一解。
3.3(4) 一元一次方程的讨论
先完成的工作量＋后完成的工作量＝工作总量
问题4、如何列方程？
4x 8( x 2) 1 + 40 40
拓展探索
甲、乙两同学做数学游戏，规则是：甲先报一个不为零的 数，乙就说出甲所说数的2倍，接着甲说出比乙所说数小1 的数，乙又说出甲第二次所说数的2倍，如此下去，先得 零者为胜.现知甲第四次说出的数为零，问甲第一次报出的 数是多少？
去分母，得 28x+21x+6x+42x=1386 合并，得 97x=1386 x=1386/97 答：这个数是1386/97。
（童话数学100雁问题）碧空万里，一群大雁在飞翔，
迎面又飞来一只小灰雁，它对群雁说：“你们好，百只 雁！你们百雁齐飞，好气派！可怜我孤雁独飞.”群雁中 一只领头的老雁说： “不对！小朋友，我们远远不足 100只.将我们这一群加倍，再加上半群，又加上四分之 一群，最后还得请你也凑上，那才一共是100只呢！”请 问这群大雁有多少只？
解（1） y1=24×5+5(x-5)=120+5x-25=95+5x
y2=24× 90% ×5+5×90%x=108+4.5x (2)如果两种方法的付款数相同. 则 95+5x=108+4.5x 0.5x=13 x=26 答：购买26只茶杯时，两种方法的付款数相同。
问题：英国伦敦博物馆保存着一部分极其珍贵的文物
——纸莎草文书.现存世界上最古老的方程就出现在这部 英国考古学家兰德1858年找到的纸草书上.经破译，上面 都是一些方程，共85个问题.其中有如下一道著名的求未 知数的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的 七分之一，它的全部，加起来总共是33，这个数为几何？
解：设这个数为x . 由题意，得 2 x+ 1 x+ 1x+x=33 3 2 7
一元一次方程教案(通用11篇)
一元一次方程教案一元一次方程教案（通用11篇）作为一名老师，就不得不需要编写教案，通过教案准备可以更好地根据具体情况对教学进程做适当的必要的调整。
怎样写教案才更能起到其作用呢？以下是小编精心整理的一元一次方程教案范文，希望对大家有所帮助。
一元一次方程教案篇1教学目标：1、能说出什么叫一元一次方程；2、知道“元”和“次”的含义；3、熟练掌握最简一元一次方程的解法及理论依据；能力目标：1、培养学生准确运算的能力；2、培养学生观察、分析和概括的能力；3、通过解方程的教学，了解化归的数学思想.德育目标：1、渗透由特殊到一般的辩证唯物主义思想；2、通过对方程的解进行检验的习惯的培养，培养学生严谨、细致的学习习惯和责任感；3、在学习和探索知识中提高学生的学习能力、合作精神及勇于探索的精神；重点：1、一元一次方程的概念；2、最简方程的解法；难点：正确地解最简方程。
教学方法：引导发现法教学过程一、旧知识的复习：1.什么叫等式？等式具有哪些性质？2.什么叫方程？方程的解？解方程？二、新知识的教学：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数都是一次。
想一想：（1）你认为最简单的一元一次方程是什么样的？（2）怎样求最简方程（其中是未知数）的解？三、巩固练习1、通过练习，请你总结一下，解方程（是未知数）把系数化为1时，怎样运用等式的性质2，使计算比较简单。
2、检测：3、课堂小结：四、本节学习的主要内容1、一元一次方程定义；2、最简方程（其中是未知数）；3、解最简方程的主要思路和解题的关键步骤及依据。
五、课堂作业。
一元一次方程教案篇2一、活动内容：课本第110页111页活动1和活动3二、活动目标：1、知识与技能：运用一元一次方程解决现实生活中的问题，进一步体会建模思想方法。
2、过程与方法：(1)通过数学活动使学生进一步体会一元一次方程和实际问题中的关系，通过分析问题中的数量关系，进行预测、判断。
(2)运用所学过的数学知识进行分析，演练、合作探究，体会数学知识在社会活动中的运用，提高应用知识的能力和社会实践能力。
一元一次方程的讨论
一元一次方程的讨论（二）教学目标：1、通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列方程解应用题更为简捷明了，省时少力；掌握去括号解方程的方法，会用去分母的方法解一元一次方程．2、培养学生分析问题，解决问题的能力．3、通过列方程解决实际问题，使学生感受到数学的应用价值，激发学生学习数学的信心.教学难点：让学生逐步树立列方程解应用题的思想．教学重点：弄清列方程解应用题的思想方法；会用去括号、去分母解一元一次方程．教学过程：一、去括号同学们也许都读过俄国杰出短篇小说家契诃夫的作品《变色龙》、《套中人》、《小公务员之死》……可同学们是否还知道，在他的小说《家庭教师》中，居然写了一位教师为一道数学题大伤脑筋呢！让我们大家一起来看看这究竟是怎样的一道题：顾客用540卢布买了两种布料共138俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺5卢布，两种布料各买了多少？1、如何解决这个问题呢？2、算术方法？方程方法？两种都行吗？孰良孰莠？请同学们讨论交流．3、较之算术方法，方程解法要简易得多，展示如下：（师生共同合作）设买了蓝布料x俄尺，那么买黑布料(138－x)俄尺；因而买蓝布料花了3x卢布，买黑布料花了5(138－x)卢布，根据买两种布料共用540卢布，列得方程3x＋5(138－x) = 540好，现在怎样使这个方程向x = a的形式转化呢？利用“分配律”先去括号，下面的框图表示了解这个方程的具体进程，你能说出每步的依据吗？由上可知，买了75俄尺蓝布料和63俄尺黑布料。
去括号：在解方程的过程中，我们发现去括号是解方程时常用的变形，因而，要利用方程解决实际问题，当然必须掌握去括号解方程的能力.二、去分母丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一又过十二分之一，两颊长胡．再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进人冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程= x和以往不同的是，我们看到，上面这个方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，那么可以使解方程中的计算更方便一些．去分母的关键在于：方程两边同时乘以各分母的最小公倍数84.于是，所列方程变为整系数方程，解得：x = 84探讨归纳：解方程：1、为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？2、在去分母的过程中，应该注意哪些易错的问题？解上述方程的全过程，展示了一元一次方程解法的一般步骤，试归纳、小结，并了解过程中每一步的主要依据．三、小结：1、通过这节课，你在用一元一次方程解决实际问题方面又获得了哪些收获？2、去括号解一元一次方程要注意什么？3、去分母解一元一次方程时要注意什么？4、去分母解一元一次方程时，在方程两边同时乘以各分母最小公倍数的目的是什么？。
第五章一元一次方程回顾与思考(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元一次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元一次方程的基本概念。一元一次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为一的方程。它是解决实际问题时常用的一种数学工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何从实际问题中抽象出一元一次方程，并利用方程帮助我们解决问题。
7.总结：一元一次方程的解法与关键步骤回顾
8.课教材相关习题，巩固所学知识
本章节内容将带领学生回顾一元一次方程的知识点，并通过练习、讨论和总结，加深学生对一元一次方程的理解和应用能力。同时，关注学生课堂反馈，有针对性地进行教学调整，确保教学效果。
2.教学难点
-难点一：理解方程解的概念，即方程左右两边相等的未知数的值。
-学生可能难以理解为何某个数是方程的解，需要通过具体例子的解释和图示帮助学生形象理解。
-难点二：移项时符号的变化，学生容易在此环节出现错误。
-教师需要通过反复示范和练习，强调移项时符号变化的规则，如“从左边移到右边要变号，从右边移到左边也要变号”。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《第五章一元一次方程回顾与思考》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的等量关系问题？”（如购物找零、分配任务等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元一次方程的奥秘。
七年级数学《一元一次方程》教案【4篇】
七年级数学《一元一次方程》教案【4篇】七年级数学《一元一次方程》教案篇一2.自主探索、合作交流：先由学生独立思考求解，再小组合作交流，师生共同评价分析。
方法1：解：方程两边都加上2，得5x-2+2=8+2也就是5x=8+2合并同类项，得5x=10所以，x=23.理性归纳、得出结论（让学生通过观察、归纳，独立发现移项法则。
）比较方程5x=8+2与原方程5x-2=8，可以发现，这个变形相当于5x-2=85x=8+2即把原方程中的-2改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
教学建议：关于移项法则，不应只强调记忆，更应强调理解。
学生开始时也许仍习惯于利用逆运算而不利用移项法则来求解方程，可借助例题、练习题使相互逐步体会到移项的优越性）。
方法2；解：移项，得5x=8+2合并同类项，得5x=10方程两边都除以5，得x=24.运用反思、拓展创新[例1]解下列方程：(1)2x+6=1(2)3x+3=2x+7教学建议：先鼓励学生自己尝试求解方程，教师要注意发现学生可能出现的错误，然后组织学生进行讨论交流。
[例2]解方程:教学建议：①先放手让学生去做，学生可能采取多种方法，教学时，不要拘泥于教科书中的解法，只要学生的解法合理，就应给予鼓励。
②在移项时，学生常会犯一些错误，如移项忘记变号等。
这时，教士不要急于求成，而要引导学生反思自己的解题过程。
必要时，可让学生利用等式的性质和移项法则两种方法解例1、例2中的方程，并将两者加以对照，进而使学生加深对移项法则的理解，并自觉地改正错误。
5.小结回顾:学生谈本节课的收获与体会。
师强调：移项法则。
七年级数学《一元一次方程》教案篇二教学内容：人教版七年级上册3.1.1一元一次方程教学目标：知识与技能：1、理解一元一次方程，以及一元一次方程解的概念。
2、会从题目中找出包含题目意思的一个相等关系，列出简单的方程。
3、掌握检验某个数值是不是方程解的方法。
过程与方法：在实际问题的过程中探讨概念，数量关系，列出方程的方法，训练学生运用新知识解决实际问题的能力。
一元一次方程的讨论6
x 540 x 138 3 5
顾客用540卢布买了两种布料共138 俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料 每俄尺5卢布.两种布料各买了多少？
(卢布和俄尺分别是俄罗斯的货币单位和长度单位) 解：设买黑布料花了x卢布，则蓝布料花了 (540－x)卢布
x 540 x 138 5 3
顾客用540卢布买了两种布料共138 俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料 每俄尺5卢布.两种布料各买了多少？
(卢布和俄尺分别是俄罗斯的货币单位和长度单位)
(1)(138×5－540)÷(5－3)=75
138－75=63
答：蓝布料买了75俄尺,蓝布料买了63俄尺. (2) )(540 － 138×3)÷(5－3)=63 138－63=75 答：蓝布料买了75俄尺,蓝布料买了63俄尺.
鸡的脚数+ 兔的脚数=66
李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗; 三遇店和花，喝光壶中酒，试问酒壶中，原有多少酒?
唐代诗人 李白
字太白 号青莲居士 （701~762）
1、本节课你有什么收获？
2、本节课你有何感受？
斗：古代的一个计量单位； 1斗 = 10升
（我国古代的计量器具：斗）
顾客用540卢布买了两种布料共138 俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料 每俄尺5卢布.两种布料各买了多少？
移项
注意
3x－ 7x＋2x=3+6－7
合并
1、括号外的因数是正数， 去括号后各项的符号与原括 相同 号内相应各项的符号 。 2、括号外的因数是负数，去 括号后各项的符号与原括号 内相应各项的符号 相反 。
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一元一次方程的讨论（2）
【教学目标】
1•进一步经历运用方程解决实际问题的过程，初步体会方程是刻画现实世界的有效数学
模型；
2.学会合并（同类项）及移项，会解"ax+bx=c"及"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程；
3•初步体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化；
4.理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想.
〖探索1〗
等式一边的项可以移到等式的另一边吗？
例如：3+5=8这是一个等式.把左边的一项"3"移到右边，得到什么式子？这时等式成立吗？如果
把"3"变号后移到的另一边呢？
换一个等式-6-7=-13试一试.
任写一个等式再试一试.
〖探索2〗
⑴方程x+3=-1的解是多少？
⑴把方程x+3=-1中左边的常数项””移到右边，就得到方程x=-1+3.所得的方程的解与原方程
的解一样吗？
〖探索3〗
怎样求方程x-7=5的解？
甲的解法是：这是一个表示减法运算的式子，x是被减数，7是减数，5是差.所以有x=5+7（理
由是_________________________ ），于是 x=12.
乙的解法是：这是一个等式，根据等式的性质1,
等式两边_________ ，结果仍相等，把方程的两边都加
7,得 x-7+7=5+7,于是 x=12.
丙的解法是：把方程左边的项-7,变号（即变成+7）
后移到方程的右边得x=5+7,于是x=12.
议一议，三种解法，你乐意用哪一种？
〖归纳〗
解方程时，把方程一边的某项变号后移到另一
边,这种变形叫移项.
注意:移项的要点不在移动，而在于变号.
想一想：移项为什么要变号？移项的根据是什么？〖探索4〗
以下各方程的移项”对不对？为什么？
(1)x+5=7,移项得 x=7+5;
(2)3-x=7,移项得-x=7-3;
(3)2x=7x,移项得 2x+7x=0;
(4)2x=7x-6,移项得 2x-7x=-6.
1探索5〗
移项的目的是把方程化为ax=b的形式，以下的移项”都达不到预期的目的.你认为应该怎样做才对？
(1)3x+6=0,移项得 0=-3x-6;
(2)3x=5x-7,移项得 3x+7=5x;
(3)3-x=5x,移项得 3-x-5x=0;
(4)3x+20=7x-18, 移项得 -7x+18=-3x-20.
〖例题学习〗
P81 •例 1
〖练习〗
P81.练习
〖作业〗
P84.习题 2,3,9
〖补充作业〗
1•一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调，那
么所得到的两位数比原两位数大36.求原两位数•
解:设原两位数十位上的数为x ,
那么 ,根据个位上的数是十位上的数的2倍,得个位上的数是__________ ,
则原两位数记为 ____________ •
因为对调后所得到的新两位数的十位上的数为 ___________ ,个位上的数为 ____ ,新两位数应
记为____________________ •
根据新两位数比原两位数大 36,列方程 : _______________________ •
解这个方程得 __________ •答 : ______________________________ •
2.〖小调查〗今年 6月份你家的固定电话的收费是多少？找出发票，看看费用当中具体分
为哪几项 ?。