2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷(四)答案
2019年浙江专升本《高等数学》真题卷+答案
浙江省2019年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题号的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。
不能答在试卷上。
选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设a x n n =∞→lim 则说法不正确的是（）（A）对于正数2，一定存在正整数N ，使得当n>N 时，都有2X <-a n （B）对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在整数N ，使得当n>N 时，不等式ε<-a n X 成立（C）对于任意给定的a 的邻域()εε+-a a ,，总存在正整数N ，使得当n>N 时，所有的点n x 都落在()εε+-a a ,内，而只有有限个（至多只有N 个）在这个区间外（D）可以存在某个小的正数0ε，使得有无穷多个点0ε落在这个区间()00,εε+-a a 外2.设在点0x 的某领域内有定义，则在点0x 处可导的一个充分条件是（）（A）hx f h x f h )()2(lim000-+→存在（B）hh x f x f h )()(lim 000---→存在（C）hh x f h x f h )()(lim000--+→存在（D）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++∞→)()1(lim 00x f h x f h h 存在3.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++∞→n n n n n x πππsin 1...2sin 1sin 11lim 等于（）（A）dxx ⎰10sin π（B）dxx ⎰+1sin 1π（C）dxx ⎰+10sin 1（D）dxx ⎰+1sin 1π4.下列级数或广义积分发散的是（）.（A）∑∞=-+-11100n 1n n ）（（B）∑∞=12cos n n（C）dxx ⎰212-41（D）dx x ⎰+∞+12211）（5.微分方程044=+'-''y y y 的通解是（）（A）x e c x c x y 221)(-+=（B）()x e x c c x y 221)(-+=（C）()xe x c c x y 221)(+=（D）()xxe x c c x y 221)(-+=非选择题部分二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
2019浙江专升本高数真题及答案
浙江省2019年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题答案涂、写在答题卡上选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上在（都落成立设.....1δ<D X C B A n n ⎥⎦⎢⎣⎭⎝+∞→→→→00000.....2h D C B A h h h h ∞→→h D C h B A 改为反推改成解析：0dxx D dxx C dxx B dxx A n n n n n x ⎰⎰⎰⎰+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++∞→11110sin 1.sin 1.sin 1.sin .sin 12sin 1sin 11lim .3ππππππ等于（） D C B A n n ⎰.....4. (2)1⎰D C B A n x x x x xe x c c x y D e x c c x y C e x c c x y B e c x c x y A y y y 221221221221)()(.)()(.)()(.)(.04'4''.5---+=+=+=+==+-的通解为（）微分方程xe x c c y r r r y y y C22122)(,0)2,044,04'4''+==-=+-=+-所以即（特征方程为由解析：非选择题部分注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图，可先用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔填写二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）=+∞→n n n)1sin 1(lim .6极限nn 111.7解析：)('=t h 8.当解析：⎩⎨⎧.9y x 设解析：t ttt t dx y d t dx dy t dt dx t dt dy 3222sec cos sec cos )'tan (tan ,cos ,sin -=-=-=-==-==→=⎰n x x g x dt t x g n x是同阶无穷小，则与时，且当设)(0,sin )(.1002解析：3,21),0(lim sin lim sin lim )(lim 1201200200==-∞≠≠====-→-→→→⎰n n C nx x nx x xdt t x x g n x n x n xx n x ⎰=-121.11dx x 定积分解析：）（定积分几何意义210222124141411R dx x R dx x ∙=-=∙=-⎰⎰πππ12.y e e y x y x =++'13.在令'''<=x x y y y 14.=V x 15.设x y 23=，则()______________=n y .解析：nn x n x n x n x a a a 2)3)(ln 3()3(,))(ln ()()(2)(2)()(==所以三、计算题（本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分，计算题必须写出计算过程，只写答案不给分）16.极限()201ln lim xxx x -+→.解析：21)21(21)1(2)1(12111)1ln(lim lim lim lim 00020-=+-=++-=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x 17.设()xx x x y ++=)cos 2ln(π，求函数()x y 在1=x 处的微分.y y ===821121sin cos )(222222202πππππππ-+=+=+=≤≤⎰⎰x t t tdt tdt x p x xx 时，当20.一物体由静止考试以速度()13+=t tt ν（米/秒）作直线运动，其中t 表示运动的时间，求物体运动到8秒时离开出发点的距离.解析：令距离为S,则⎰+=813t t S 令1+=t u ，38,10,2,12=====-=u t u t udu dt u t 时，时，⎰⎰⎰=-=-=+=3123128040162)1(313du u udu uu t t S 21.问是否存在常数a 使得函数()⎨⎧≤+=0,2x a x x f 在0=x 处可导？若存在，求出常数a ，若不存在，),即0=a )0(='-f )0(='+f 故)(x f 22.)1，故由题意有→s ∴23.11=n n1211=⎭ ⎝⎛n n 解析：,11)()(.1lim lim1<=-=+∞→+∞→x n n x u x u xn n x n n n n 所以收敛区间为)1,1(-令,1)(11-∞=∑=n n x nx s 当0≠x 时，)0(11)(1≠=∑∞=x x n x x s nn∴0,1ln 1)11(1)(111)(00111≠-=-===⎰⎰∑∑∞=-∞=x x xdt t x dt t x x n x x s x x n n n n 当0=x 时，1)0(=s ∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈-=0,1)1,0()0,1(),1ln(1)(x x x xx s 令21=x ∞24.设y =点B 为另一曲线BPM 是解析：即f ('∴)(x f 25.x 千件解析：值取得极大值，且为最大时，当时，舍去），令则设利润)(50)(',5,0)('505(1,0)(',30246)(')0)(2130122(60)()()(),(223x f x x f x x f x x x x f x x x f x x x x x x c x r x f x f =<>><≤=-==++-=≥++--=-=26.设()x f 在[]1,1-上具有二阶连续的导数，且()00=f .（1）写出()x f 的带拉格朗日型余项的一阶麦克劳林公式.（2）设m 、M 分别为()x f ''在[]1,1-上的最大值与最小值，证明：()3311Mdx x f m ≤≤⎰-（3）证明：在[]1,1-上至少存在一点η使得()()dx x f f ⎰-=''113η.解析：)0(!2)('')0('!2)('')0('0()(122x x f x f x f x f f x f <<+=++=ξξξ））（）（2311m f ≤⎰-（3）。
2019年浙江普通专升本高等数学全真模拟预测卷三答案_试卷人
则 f x 4 4 ln3 x 4 4 x ln3 x 1 . ②.....2 分
x
xx
令
f x 0 ，得驻点 x 1..........3 分
因为当 x 0,1 时，f x 0 ，故 f x 在 x 0,1单调减少；而当 x 1,时，f x 0
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高等数学全真模拟预测卷答案与解析 欣迈专升本—浙江专升本辅导领袖品牌
dt
dt
所以
dy dx
dy dt dx dt
3t 2 3t 2
3 3
t2 t2
1 1
t2
111 t2 1
1
2 t2 1
d 2 y
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d dy dt dt dx dx
1
t
2
2
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1)
4t 1 4t , t 2 1 2 3(t 2 1) 3(t 2 1)3
令
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x
)
sin
e
1 x
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1 x
(
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ln
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..................5
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1 x
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.......................7
分
18.解析：当 t 时，曲线上的点为 ( 1 , 1 ) ..............................1 分
20
20
非齐次方程通解为
2019年浙江专升本高等数学真题与答案解析(详细)
浙江省2019年高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1、设lim x→0x n =a 则说法不正确的是（ ）A 、对于正数2，一定存在正整数N ，使得当n >N 时，都有|x n −a |<2.B 、对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在整数N ，使得当n >N 时，不等于|x n −a |<ε成立.C 、对于任意给定的a 的邻域(a −ε,a +ε), 总存在整数N ，使得当n >N 时，所有的x n 都落在(a −ε,a +ε)内,而只有有限个（至多只有N 个）在这个区间外.D 、可以存在某个小的正数ε0，使得有无穷多个点ε0落在区间(a −ε0,a +ε0)外. 2、设在点x 0的某邻域内有定义，则在点x 0处可导的一个充分条件是（ ） A 、lim ℎ→0f (x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ存在 B 、lim ℎ→0−f (x 0)−f(x 0−ℎ)ℎ存在C 、limℎ→0f (x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ存在 D 、lim ℎ→+∞ℎ[f (x 0+1ℎ)−f (x 0)]存在3、limx→+∞1n[√1+sin πn +√1+sin 2πn +⋯+√1+sinnπn]等于（ ）A 、∫√sin πx dx 10B 、∫√1+sin πx dx 10 C 、∫√1+sin x dx 10 D 、π∫√1+sin x dx 10 4、下列级数或广义积分发散的是（ ） A 、∑(−1)n−1n+100∞n=1 B 、∑cos 2n ∞n=1 C 、∫√21D 、∫1(1+x 2)2dx +∞15、微分方程y ′′−4y ′+4y =0的通解为（ ） A 、y =c 1x +c 2e −2x B 、y =(c 1+c 2x)e −2x C 、y =(c 1+c 2x)e 2x D 、y =(c 1+c 2x)xe −2x二、填空题（只要在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分）6、极限lim x→∞(1+sin 1n )n =7、设一雪堆的高度ℎ与时间t 的关系为ℎ(t )=100−t 2，则雪堆的高度在时刻t =5时的变化率等于8、当a = 时，极限lim x→01−cos xln (1+x 3)(a −e x )存在且不等于0.9、设 ，则d 2ydx 2=10、设g (x )=∫sin t 2dx x0，且当x →0时，g (x )与x n 是同阶无穷小，则n = 11、定积分∫√1−x 2dx 10 =12、设函数y =y (x )由方程e x+y −xy =0确定，则dydx = 13、曲线y (x )=x 3+3x 2的拐点是14、由曲线y =√x ,x =1 ,x =2及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积等于15、设y =32x ，则y (n)=三、计算题（本大题共8小题，其中16-19题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分） 16、求极限lim x→0ln (1+x )−xx 2.17、设y (x )=ln(2+cos πx)+x x ，求函数y (x )在x =1处的微分.18、求不定积分∫sin √x dx .19、设f (x )= ，求p (x )=∫f(t)xdt 在[0,π]上的表达式.x =sin t y =cos tcos x ,x ∈[0,π)x ,x ∈[π,π]20、一物体由静止到以速度v (t )=3t√t+1(m/s)作直线运动，其中t 表示运动的时间，求物体运动到8秒时离开出发点的距离。
2019年高考数学(浙江专版)精选模拟卷4含答案(详细解析版)
押题卷 4
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．【2019 年 1 月浙江省普通高中学业水平仿真】全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合 A={1，2，5}，集合 B={3，
【答案】C
【解析】
由已知条件每位市民使用移动支付的概率都为 p，看做是独立重复事件，
满足 X～B（10，p），
=6,
则 p=0.6
故选：C
8．【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019 届高三第一次联考】已知三棱锥
的所有棱长为 是底
面
内部一个动点 包括边界 ，且 到三个侧面 ， ， 的距离 ， ， 成单调递增的等差数
4，5}，则（∁UA）∩B 等于 A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4}
D．{3}
【答案】B
2．【浙江省温州九校 2019 届高三第一次联考】双曲线
A．
B．
【答案】C
【解析】
C．
D．
，则双曲线 的焦点坐标为（ ）
由方程 则 c2=a2+b2=25，即
表示双曲线，焦点坐标在 y 轴上，可知， ，
故双曲线的焦点坐标为：
，
故选：C．
3．【浙江省“七彩阳光”联盟 2019 届高三期初联考】i 是虚数单位，复数 满足 （）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，则 为
，则 故选 4．【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019 届高三上期末】“斗拱”是 中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体.在立柱顶、额枋和 檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱，拱与拱之间垫 的方形木块叫斗.如图所示， 是“散斗”（又名“三才升”）的三视图，则它的体积为（ ）
2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷及答案
2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（一）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共20分）1．设()(1)f x x x =-,则()A.0x =是()f x 的极值点,但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点.B.0x =不是()f x 的极值点,但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.C.0x =是()f x 的极值点,且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.D.0x =不是()f x 的极值点,(0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.2．设,1)(,)1(21)(x x g x xx f -=+-=则当1→x 时()A．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C．)(x f 与)(x g 为同阶的无穷小D．)(x f 与)(x g 为等价无穷小3．定积分2222x x dx x -++⎰等于()A．1B．1-C．2D．ln 34．下列级数中收敛的是()A．∑∞=-1374n n nn B.∑∞=-1231n n C.∑∞=132n nn D.∑∞=121sinn n5．曲线e x x y ==,ln 及x 轴所围成的平面区域的面积是()A．1B．31-C．31D．1-非选择题部分注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题（只须在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分）6.设函数216131arcsinxx y ---=，则函数的定义域为______________7.极限1lim ]2n →+∞+=_______________8.设)(sin x f y =,则=dy _______________9.=+⎰dx xx 2012)1(ln ___________________10.设xe-是)(x f 的一个原函数，则⎰='dx x f x )(__________________11.曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为_____________________12.反常积分1+∞=⎰_______________13.2ln 1x t d e dt dx +=⎰___________________14．幂级数∑∞=-15)2(n n nn x 的收敛域为________________15.函数2xy x=在区间(]01，上的最小值为三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.16．计算极限10(1)limln(1)xx x ex →+-+.17．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 101)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x,试讨论)(x f 在0=x 处的可导性.18．参数方程⎩⎨⎧-=-=t y tt x cos 1sin ,求所确定的函数()x y y =的二阶导数.19．求⎰+dxx x )1ln(20．计算定积分⎰-222211dxx x21．求曲线2(1)(2)y x x =+-的极值点和拐点.22．求微分方程sin cos 0x dyy x e dx-+-=的通解.23.设空间三点为），（），（），，（3,11,2,22,111----C B A ，试写出过点C B A ，，的平面方程及过AB 中点M 的直线MC 的方程.四、综合题（本题共30分，每小题10分）24．证明不等式：22arctan ln(1)x x x ≥+.25．设函数)(x f 在[]1,0上连续，在）（1,0上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明：(1)在）（1,0内存在ξ,使得ξξ-=1)(f (2)在）（1,0内存在两个不同的点ζ,η使得1)()(=''ηζf f26．设()x f 在[]π,0上具有二阶连续导数，()3='πf 且()()[]2cos 0=''+⎰xdx x f x f π，求()0f '．2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（一）一、选择题1.C解析：由于是选择题，可以用图形法解决,令()(1)x x x ϕ=-，则211()24x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，是以直线12x =为对称轴，顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，开口向上的一条抛物线，与x 轴相交的两点坐标为()()0,0,1,0，()()y f x x ϕ==的图形如图.点0x =是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.2.C解析：因为21)1(21lim1)1(21lim11=++=-+-→→x x xx x x x ，故选C.3.D解析：利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为0,当被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以有原式22222220022222x x xdx dx dx x x x -=+=+++⎰⎰⎰22212dx x =+⎰22ln (2)ln 6ln 2ln 3.x =+=-=4.C解析：因121)1(lim 2122)1(lim 33313<=+=+∞→+∞→n n n n n n n n ,所以∑∞=132n n n 收敛,故选C.5.A解析：平面区域的面积1)ln (d ln |11=-==⎰ee x x x x x S .yOxy=ln x1e(e ,1)二、填空题6.42<≤-x 解析：424442016,13112<≤-⇒⎩⎨⎧<<-≤≤-⇒>-≤-≤-x x x x x 7.0.5e-解析：原式=(0.5)0.5lim [1n e ---→+∞=8.xdx x f dy cos )(sin '=解析：xx f y cos )(sin ''=9.Cx ++2013)1(ln 2013解析：C x x d x dx xx ++=++=+⎰⎰2013)1(ln )1(ln )1(ln )1(ln 201320122012.10.ce xex x+----解析：ce e x dx xf x xf x xdf dx x xf x x +--=-==--⎰⎰⎰)()()()('11..23+=x y 解析：由求斜渐近线公式y ax b =+(其中()limx f x a x→∞=，lim[()]x b f x ax →∞=-，得：32()limlim 1,x x f x a x →+∞→+∞===[]23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 12.2π.方法1：作积分变量变换，令sec x t =，则2221sec 1tan x t t -=-=，sec sec tan dx d t t tdt ==，:02t π→，代入原式：2210sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰.方法2：令1x t =，则211dx d dt t t ==-，:10t →，代入原式：11201101arcsin 2dt tt π+∞-===⎰⎰.13.ex2解析：因为=⎰+2ln 01x t e dx d ex xe x 221ln 2=+14.)7,3[-解析：由152215lim 5)2(15)2(lim )()(lim 111<-=-+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n nx n x x u x u n n n n n n nn n .得73<<-x ，级数收敛；当3-=x 时,级数为∑∞=-1)1(n n n 收敛；当7=x 时,级数为∑∞=11n n 发散；故收敛域为)7,3[-.15.2ee-解析:因为()22ln 2xy xx '=+，令0y '=得驻点为1x e=.又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =，()()002022ln limlim 11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x eeee++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21ey e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.三、计算题16.解析:原式10(1)lim xx x e x →+-==120(1)ln(1)lim(1)(1)x x x x x x x x →-++++(洛必达法则)12e=-17.解析:20200200cos lim1cos 1lim )0()(lim )0('x x dt t x dt t x x f x f f x x x x x -=-=-=⎰⎰+++→→→+....1分0221lim 21cos lim 4020=-=-=++→→xx x x x x ........................3分320200)cos 1(2lim 1)cos 1(2lim )0()(lim )0('x x x x x x x f x f f x x x --=--=-=++-→→→-...4分06)1(cos 2lim 32sin 2lim 020=-=-=++→→x x x x x x x ...............6分所以0)0('=f ,)(x f 在0=x 处连续可导........................7分18.解析:()()2cot cos 1sin sin cos 1t t t t t t dx dy =-='-'-=.........................3分()'-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t t dx y d sin 2cot 22...........................................4分t t cos 12csc 212--=............................................6分2csc 414t -=............................................7分19.解析:⎰⎰+=+2)1ln(21)1ln(dx x dx x x ............................2分⎰+-+=dx x x x x 121)1ln(2122.......................4分⎰++--+=dx xx x x 11121)1ln(2122...................5分⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+=dx x x x x 11121)1ln(212.................6分C x x x x x ++-+-+=)1ln(212141)1ln(2122...........7分20.解析:令t x sec =,],0[π∈t 则,tan sec tdt t dx =......................1分当2=x 时,4π=t ；当2=x 时,3π=t .......................2分原式=⎰342tan sec tan sec ππdt tt tt .........................................4分=⎰34cos ππtdt =|34sin ππt ......................................6分=2223-...............................................7分21.解析:233--=x x y )1)(1(3332-+=-='x x x y 令0='y 得1,121=-=x x x y 6=''，令0=''y 得03=x 6='''y 06)0(,06)1(,06)1(≠='''>=''<-=-''y y y 11-=∴x 是极大值点，11=x 是极小值点，)2,0(-是拐点22.解析:x e xy dxdysin cos -=+为一阶线性微分方程⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰--C dx e e e y xdxx xdx cos sin cos ()C dx e e e x x x +=⎰--sin sin sin )(sin C x e x +=-23.解析:过点A 作向量AB →和AC →，则{}{}3,3,3,0,2,4AB AC →→=--=-.........................1分所求平面的法向量为：3336126024i j km i j k =--=-++-..........................3分由平面的点法式方程有：6(1)12(1)6(1)020x y z x y z --+-++=--=即.........................4分AB 线段中点M 的坐标为111(,,)222--.........................5分故MC 直线的方向向量为：315,,222MC →⎧⎫=-⎨⎩⎭...................6分所求直线方程为113315222x y z -+-==-即531131-=-+=-z y x ...................................8分四、综合题24.解析:设)1ln(arctan 2)(2x x x x f +-=x x xx xx x f arctan 212112arctan 2)(22=+-++='0<x 时0)(<'x f ，)(x f 在)0,(-∞单调下降0>x 时0)(>'x f ，)(x f 在),0(+∞单调增加0=x 是)(x f 在),(+∞-∞上的最小值点),(+∞-∞∈∀∴x ，0)0()(=≥f x f 即)1ln(arctan 22x x x +≥25.解析:（1）令x x f x F +-=1)()(................................2分则)(x F 在[]1,0上连续，且011010>=<-=）（，）（F F ,于是由零点定理知，存在),1,0(∈ξ使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f ..........................5分（2）在],0[ξ和]1,[ξ上对)(x f 分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f ........8分于是.1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f ....................10分26.解析:[()()]cos f x f x xdx π''+⎰()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+⎰⎰..................3分[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++⎰⎰........7分（该步骤注意加号前后是否出错）()(0)2f f π''=--=．..............................................9分(0)f '=2()235f π'--=--=-．..................................10分第1页共7页2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（二）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共20分）1．若函数)(x f y =有dy x x x x f 处的微分该函数在时则当00,0,21)(=→∆='是()A．与x ∆等价的无穷小量B．与x ∆同阶的无穷小量C．比x ∆低阶的无穷小量D．比x ∆高阶的无穷小量2．设有直线3210,:21030,x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4230x y z ∏-+-=,则直线L ()A.平行于∏B.在∏上C.垂直于∏D.与∏斜交3．曲线2121arctan (1)(2)x x x y e x x ++=+-的渐近线有()A．1条B．2条C．3条D．4条4．设x1是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f x )(3()A.C x +221 B.C x +-221 C.C x +331 D.C x x +ln 4145．下列级数中条件收敛的是()A．∑∞=+-11)1(n nn nB．∑∞=-11)1(n nn C．∑∞=-121)1(n nn D．∑∞=11n n非选择题部分注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.第2页共7页2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题（只须在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分）6．函数xx y -=2)arcsin(ln 的定义域为7．123sin0lim()3x x x x x e e e →++=8．曲线xe x y +=在点0=x 处的切线方程为________________9．设函数x x y arctan =，则='y 10.1112n n n -∞=⎛⎫=⎪⎝⎭∑11．=⎰∞++-dx xe x 0112．．当p =________________时，有22007() ()0bx p ax p e dx ++=⎰.13．已知2sin 0π=⎰+∞dx x x ，则=⎰+∞02sin dx xx14．曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为15．求过点），，（302-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-.0125307422z y x z y x 垂直的平面方程是三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.16．求)sin 11(1lim20t tt t -→．17．求函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x xx x x f π0>≤x x 的间断点并判别类型.第3页共7页18．求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.19．求由方程xy y x =确定的隐函数的导数dxdy .20．设函数()y y x =由参数方程3311,3311,33x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =第4页共7页的凹凸区间及拐点．21．计算cos(3)sin(5)dxx x +⋅+⎰22．求12--⎰23．求解微分方程xe y y y 2234=+'-''.第5页共7页四、综合题（本题共30分，每小题10分）24.（1）证明()2nn f x x nx =+-（n 为整数）在(0,)+∞上有唯一正根n a ；（2）计算lim(1)n n x a →∞+25．设当x bxaxe xf x x为时++-=→11)(,0的3阶无穷小,求b a ,的值.第6页共7页26.(1)设()f x 是定义在区间(,)-∞+∞上的周期为T 的连续函数，则对任意(,)a ∈-∞+∞，有()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．(2)()x f 是周期为π的连续函数,试证:()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dxx f x dx x f x x2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（二）一、选择题1.B解析：因为)()('0x o x x f dy ∆+∆=，所以21)('lim 00==∆→∆x f x dy x ，故选B2.C解析：这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题.直线L 的方向向量)24(7714281012231k j i k j i k j il +--=-+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=平面∏的法向量k j i n +-=24,l //n ,∏⊥L .应选C 3.B解析：本题是关于求渐近线的问题.由于2121lim arctan (1)(2)4x x x x e x x π→∞++=+-,故4y π=为该曲线的一条水平渐近线.又21201lim arctan (1)(2)x x x x e x x →++=∞+-.故0x =为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条.故本题应选B.4.B解析：因x 1是)(x f 的一个原函数,所以211)(x x x f -='⎪⎭⎫⎝⎛=,所以C x xdx dx x f x +-=-=⎰⎰2321)(.故选B.5.B 解析:∑∞=-11)1(n nn 为交错级数，故收敛，但∑∑∞=∞==-111|1)1(|n n n n n 发散.二、填空题6.21<≤-x e解析：20201ln 10211<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤->---x e x e x e x x x x 7.解析：原式=231sin 0lim ln()3x x x x x e e e e→++，而232300113lim ln()lim sin 33x x x x x x x x e e e e e e x x →→++++-=⋅(等价无穷小因式替代)2=故原式=2e8.012=--x y 解析：切点为)1,0(xe y +='1，当0=x 时，2='y .所以012)0(21=---=-x y x y 即9.21arctan x xx ++解析：()()2'''1arctan arctan arctan arctan x x x x x x x x x ++=+=10.4解析：考虑幂级数11n n nx ∞-=∑，由1lim1n n n→∞+=可知，该幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-，则1(1,1)2x =∈-.记11()n n S x nx ∞-==∑，两边从0到x 积分，得11111()(),(1,1)1xxxn n n n n n xS x dx nxdx nx dx x x x∞∞∞--=======∈--∑∑∑⎰⎰⎰所以21()(),(1,1)1(1)x S x x x x '==∈---所以121111()()4122(1)2n n S n ∞-====-∑注：此题亦可用中学差比数列求和的方法做11.e 解析：[]e dx e xe e xde e dx xe e dx xe xx x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞+-=-==⎰⎰⎰⎰∞+--∞+-∞+-∞++-001012．解析：当取p 满足()a p b p +=-+即2b ap +=-时积分2222007()2007200722()b a bb px p x x b a aa px p edx xe dx xe dx -++-+-+===⎰⎰⎰13.2π解析：sin 22xdxt x x+∞=⎰⎰+∞21.2sin dt t t ==⎰+∞0sin dt t t 2π.14.43π.解析:如图所示：221V y dxπ=⎰()2211xdx π=-⎰43π=．15.05=---z y x 解析：)1,1,1(16253422---=--=kj is 所求平面方程为0)3()0()2(=+----z y x 即05=---z y x 三、计算题16.解析:3sin limttt t -=→原式.........................................2分203cos 1limt tt -=→..................................................4分t tt 6sin lim0→=....................................................6分61=.........................................................7分17.解析:间断点为()0,1,0,1,2,3.. (2)x k k ππ=--=...................1分1sin )(lim 0-=+→x f x ,0)(lim 0=-→x f x 所以0=x 为第一类跳跃间断点;.......................3分11sinlim )(lim 211-=→→x x f x x 不存在.所以1=x 为第二类间断点；.............5分)2(π-f 不存在,而2cos 2)2(lim 2πππ-=+-→x x x x ,所以2π-=x 为第一类可去点.................6分∞=+--→xx x k x cos 2)2(lim 2πππ,(.........2,1=k )所以2ππ--=k x 为第二类无穷间断点..................7分18.解析:因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x xe dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22tt f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e-''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .19.解析:两边取对数得y x y x ln ln ln +=...........................3分两边求导得y yx y y x y '+='+11ln ..............................6分从而)1()ln 1(--=x x y x y dx dy .....................................7分20.解析:因为221()1dyt dt y x dx t dt-'==+，2222222231()12(1)(1)2141(),(1)1(1)t d t t t t t t y x dx dt t t t dt-+--⋅+''=⋅=⋅=+++令()0y x '=得1t =±，当1t =时，53x =，13y =-，此时0y ''>，所以13y =-为极小值．当1t =-时，1x =-，1y =，此时0y ''<，所以1y =为极大值．令()0y x ''=得0t =，13x y ==．当0t <时，13x <，此时0y ''<；当0t >时，13x >，此时0y ''>．所以曲线的凸区间为13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，凹区间为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，拐点为11(,)33．21.解析:cos(3)sin(5)cos(3)[sin(3)cos2cos(3)sin 2]x x x x x +⋅+=++++原式=2sec (3)1ln tan(3)tan 2tan(3)cos2sin 2cos2x dx x Cx +=+++++⎰22.解析:运用第二换元积分法，令sec ,sec tan x t dx t tdt ==，)),0((π∈t ...2分当2x =-时，23t π=；当1x =-时，t π=，........................4分原式=dt t t tt ⎰-π32)tan (sec tan sec ..........................................6分=dt ⎰-π32)1(................................................7分3π-=....................................................8分23.解析:齐次方程为034=+'-''y y y 特征方程0342=+-λλ...........................1分特征根3,1==λλ.................................2分齐次通解x x e c e c Y 321+=............................3分设特解为xAe y 2*=..................................4分代入方程得()x xe eA A A 222384=+-....................5分2-=A ............................................7分x x x e e c e c y 23212-+=.................................8分四、综合题24.解析:（1）证明：1()0n n f x nxn -'=+>，()f x 在上(0,)+∞严格单调增加，且1()0n f n<，2()0n f n>，所以n f 在(0,)+∞上有唯一的零点n a .（2）易知，当n 充分大时，2222()n n n n >-，所以2222222()()0n n f n n n n n-=--<，而2()0n f n >2222(,n a n n n ∈-，有2222(1)(1)(1),n n n n a n n n +-<+<+，由夹逼定理知2lim(1)n n x a e →∞+=25.解析:3030301lim )1(1lim 11limxax bxe e bx x ax bxe e x bx axe k x x x x x x x x --+=+--+=++-=→→→...2分203lim x abxe be e x x x x -++=→(1).............4分xbxe be e x x x x 62lim 0++=→(2).............6分由(1):01)(lim 0=-+=-++→a b a bxe be e xxxx 由(2):021)2(lim 0=+=++→b bxe be e xxxx ...................8分21,21=-=a b .........................................10分26.解析:(1)因为()()()dx x f dx x f dx x f Ta TT aTa a⎰⎰⎰+++=.......1分令,T t x +=()()()dt t f dt T t f x f aa Ta T⎰⎰⎰=+=+0..........3分()()()aTTaf x dx f x dx f x dx ==-⎰⎰⎰..........4分故()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰....................5分(2)()()dxx f x x ⎰+π20sin ()()()()⎰⎰+++=πππ20sin sin dx x f x x dx x f x x ..1分令u x +=π,...................2分()()()[]()⎰⎰++++=+ππππππ02sin sin duu f u u dx x f x x ()()⎰-+=ππ0sin du u f u u (∵()x f 以π为周期)...........4分故()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dx x f x dx x f x x ...............5分第1页共7页2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（六）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共20分）1.设)3cos(sin )(xx f =，x -∞<<+∞，则此函数是()A.有界函数B.奇函数C.偶函数D.周期函数2.下列级数中绝对收敛的是()A.1(1)sin 2nnn π∞=-∑ B.1(1)nn n ∞=-∑C.1sin n n∞=∑ D.1(1)ln(1)2nn n ∞=-+∑3.极限202sin limxx x tdtt dt→⎰⎰的值为()A.1- B.0C.2 D.14.曲线2x y x y ==与所围成平面图形的面积()A.31 B.31-C.1D.-15.二阶微分方程3562sin cos xy y y e x x '''+-=，其特解的形式为()A.3(cos sin )xe a x b x + B.3(cos 2sin 2)xe a x b x +C.3(cos sin )x xe a x b x + D.3(cos 2sin 2)xxe a x b x +第2页共7页非选择题部分注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.6.函数2siny =的连续区间为.7.函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y = .8.曲线)03ln(>+=x xe x y 的渐近线为.9.曲线14123223+-+=x x x y 的拐点为.10.202cos xd x t dt dx =⎰.11.定积分21(2)(1)ex x x dx ++=⎰.12.曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为.13.微分方程()tan sin 2y x y x '+=的通解为.14.已知三角形ABC 的顶点分别是(1,2,3)A =，(3,4,5)B =和(2,4,7)C =，则该三角形的面积为.15.反常积分22(1)xdxx +∞=+⎰.三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.16．求tan 01lim(xx x→.17.设函数()f x 满足方程，()2()3sin x xe f x ef x x ππ-+-=，x ∈R ，求()f x 的极值.18.求2131()1x xf x e-=-的间断点，并判别其类型.19.求不定积分arctan⎰.20.已知函数)(x y y =满足微分方程y y y x '-='+122，且0)2(=y ，求)(x y 的极大值和极小值．21.设f x ()为连续函数，且13()3()f x x xf x dx =+⎰，求f x ().22.证明当(,)2x ππ∈ln(1sin )x xπ+<-.23．设3()arcsin f x x x =，求()2008(0)f.四、综合题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.24.已知函数21222+3()lim 1n n n x x xf x x -→∞+=+，求()f x ，并讨论其连续性.25.求连续函数()x ϕ使得0x >时，有1()2()xt dt x ϕϕ=⎰.26.已知曲线0)y a =>与曲线ln y =在点00(,)x y 处有公共切线,求:(1)常数a 及切点00(,)x y ；(2)两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S .高等数学全真模拟预测卷答案与解析欣迈专升本—浙江专升本辅导领袖品牌2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（六）一、选择题1.A解析：令sin 3xt =，则|(x)||cos(sin 3)|cos 1xf t ==≤，故选A 2.A 3.D解析：由洛必达法则得：2020sin limxx x tdtt dt→⎰⎰1sin lim 220==→xxx ，故选D 4.A解析：如图：曲线2x y x y ==与所围成平面图形的面积3112=-=⎰dx x x ）（，选A 5.B解析：其对应其次方程为'''560y y y +-=，所以特征方程为2560r r +-=，其根为6,1r =-.而右端函数33(x)2sin cos sin 2x x f e x x e x ==，所以3,2λω==，显然32i +不是其特征方程的根.且(x)1,(x)0l n p p ==，所以12(x),Q (x)m m Q 都是常数函数.因此根据定义其特解形式为3(cos 2sin 2)xe a x b x +，故选B.二、填空题6.⎦⎤⎢⎣⎡-21,51解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎢⎣⎡-⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<⋃≥-≥⇒≥-≥-+21,510,5121,014150041004104122222x x x x x x x x 7.()21!nn -⋅-解析:由高阶导数公式可知()ln(1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+,所以()()()1(1)!(1)!ln 12(1)22(12)(12)n n n n n n n n x x x ----=-⋅-=---,0.20.40.60.81.21.4xy =2x y =即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn yn -=-=---⋅.8.3y x e=+解析：3ln(e (x)3lim lim lim ln(e )lne 1x x x x f x k x x x→+∞→+∞→+∞+===+==2213(33ln(e 133lim [(x)]lim [ln(e )]lim lim 11x x x x x e x x b f kx x x x e x x→+∞→+∞→+∞→+∞-+-+=-=+-==-所以3y kx b x e=+=+9.11(,20)22-解析：'26612y x x =+-，''112612()2y x x =+=+令0''=y 得12x =-，且''y 在12x =-两边符号是相反的，所以点11(,20)22-是其拐点.10.2224cos 2cos xt dt x x -⎰解析：()220022cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx=⎰⎰()()20222cos cos 2x t dt x xx =-⋅⎰20224cos 2cos xt dt x x =-⎰.11.31(1)2e -解析：22211(2)(2)2(2)1300111(1)e e (2)e (1)222xx x x x x x dx d x x e ++++=+==-⎰⎰12.1-=x y 解析：因为直线1=+y x 的斜率11k =-，所以与其垂直的直线的斜率2k 满足121k k =-，所以21k -=-，即21k =，曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程的斜率为1，即11)(ln =='='xx y ，得1x =，把1x =代入ln y x =，得切点坐标为)0,1(，根据点斜式公式得所求切线方程为：)1(10-⋅=-x y ，即1-=x y13.212cos cos ,y x C x =-+C 1为任意实数解析：先解()'tan 0y x y +=，得：cos ,y C x =C 为任意实数令*()cos y u x x =,代入原方程，得：1()2cos ,u x x C =-+C 1为任意实数方程的通解为：212cos cos ,y x C x =-+C 1为任意实数14.解析：(2,2,2)AB = ，(1,2,4)AC = ，11||||sin ||22ABC S AB AC A AB AC ∆=∠=⨯222462124i j kAB AC i j k ⨯==-+，ABC S ∆==15.21解析：222222001111(1)2(1)212xdx dx x x x +∞+∞+∞==-⋅=+++⎰⎰三、计算题16.解析：tan 01lim()xx x→tan ln 0lim x x x e -⋅→=………………………………………………1分ln lim 1tan x x xe→-=……………………………………………………………3分2021lim sec tan x x xx e →--=…………………………………………………………5分20tan lim0sec 1x xxee →===……………………………………………………7分17.解析：由条件x ∀，()2()3sin xxe f x ef x xππ-+-=∴有()2()3sin x x e f x e fx xππ--+=解方程得()sin xe f x x=()sin x f x e x-='()(cos sin )x f x e x x -=-含'()0f x =得可能极值点4k nx k π=+k 整数''()2cos xf x xe -=-∴当24x k ππ=+时有极大值(2)422k e ππ-+(21)4x k ππ=++时极小值(2)42k e πππ-++-18.解析：当12x =时，()f x 分母为0无定义，()f x 间断…………………1分且21113221lim ()lim1x x x xf x e-→→==∞-，12x =为()f x 的第二类间断点…………3分当0x =时，213x x-分母为0无定义，()f x 间断……………………………4分且210003211lim ,lim ()lim 131x x x x xx f x xe +++-→→→-=-∞==-…………………………………5分210003211lim ,lim ()lim 131x x x x xx f x xe----→→→-=-∞==-……………………………………6分0x =为()f x 的第一类间断点中的可去间断点………………………………7分19.解析：令2x t =，2dx tdt = (2)分2arctan t tdt =⎰⎰………………………………………………………3分2221arctan 1t t t dt t =-+⎰…………………………………………………………4分221arctan 11t t dt t =--+⎰...............................................................5分2arctan arctan t t t t C =-++ (6)分arctan x C =………………………………………………7分20.解析：把方程化为标准形式得到221)1(x dx dyy -=+，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由0)2(=y 得32=C ，即32313133+-=+x x y y ．令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知32222222)1()1(2)1(2y x y y x dx y d +--+-=；当1=x 时，可解得1=y ，01<-=''y ，函数取得极大值1=y ；当1-=x 时，可解得0=y ，02>=''y ，函数取得极小值0=y ．21.解析：令A f x dx =⎰()01，则………………………………………………1分f x x x f x dx x Ax ()()=+=+⎰31333…………………………………3分()⇒=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎰⎰f x dx x Ax dx x Ax A ()013014201314321432…………6分即A A A =+⇒=-143212………………………………………………7分于是f x x x ()=-332……………………………………………………8分22.解析：令t x π=-，则(0,)2t π∈＜ln(1sin )t t +，即要证cos 1sin t t t +＜ln(1sin )t +，而0cos ln(1sin )1sin t t dt t t =++⎰且cos 11sin 1sin t t t'-⎛⎫= ⎪++⎝⎭＜0，0cos ln(1sin )1sin tx t dx x ∴+=+⎰＞0cos cos 1sin 1sin t t t tdx t t =++⎰得证21.解析：(arcsin )x '=,21(21)!!12!nnn n n +∞=-=+∑，两边从0到x 积分得211(21)!!arcsin 2!(21)n n n n x x x n n +∞+=-=++∑,即2441(21)!!()2!(21)n n n n f x x x n n +∞+=-=++∑,()20081002(2003)!!(0)2008!21002!2005f =⋅四、综合题24.解析：当1x <时，2lim 0nn x→∞=，则2()23f x x x =+……………………1分当1x >时，2lim 0nn x-→∞=，则1221222+31()lim 1n n n n x x x f x x x----→∞+==+…………2分当1x =时，则()3f x =………………………………………………………3分当1x =-时，则()1f x =-……………………………………………………4分所以223,11,1()1,13,1x x x x f x xx x ⎧+<⎪⎪>⎪=⎨⎪-=-⎪=⎪⎩……………………………………………………6分111lim ()lim 1x x f x x --→-→-==-，211lim ()lim 231x x f x x x ++→-→-=+=-，所以函数在1x =-处连续…………………………………………………8分111lim ()lim 1x x f x x --→→==，211lim ()lim 235x x f x x x ++→→=+=，所以函数在1x =处不连续，综上可得，()f x 在1x ≠处都是连续的……………10分25.解析：令xt u =，……………………………………………………………1分则100()()()xxu duu xt dt u d xxϕϕϕ==⎰⎰⎰，………………………………………3分由题可得()2()xu dux xϕϕ=⎰，即0()2()xu du x x ϕϕ=⎰……………………………4分上式两边同时关于x 求导得:'()2()2()x x x x ϕϕϕ=+,即'()2()0x x x ϕϕ+=…………………………………7分显然，该方程是可分离变量方程，从而解得()x ϕ=……………………10分26.解析：利用00(,)x y 在两条曲线上及两曲线在00(,)x y 处切线斜率相等列出三个方程,由此,可求出00,,a x y ,然后再求平面图形的面积S .(1)过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中,当0()y x '存在时,0()k y x '=.由y =y '=.由lny =知12y x '=.由于两曲线在00(,)x y12x =,得021x a =.将021x a =分别代入两曲线方程,有00ln 1ln y y ====.于是20211,a x e e a===,从而切点为2(,1)e .(2)两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S 为12220()y S e e y dy =-⎰122301123y e e y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭211.62e =-第1页共7页2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（三）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共20分）1．设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()0f x >,则方程1()0()xxabf t dt dt f t +=⎰⎰在开区间(,)a b 内的根有()A.0个B.1个C.2个D.无穷多个2．设在[0,1]上()0f x ''>,则(0)f '、(1)f '、(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是()A.(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-B.(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->C.(1)(0)(1)(0)f f f f ''->> D.(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->3．lim lnn →∞等于()A.221ln xdx ⎰.B.212ln xdx ⎰.C.212ln(1)x dx +⎰.D.221ln (1)x dx+⎰4．下列无穷限积分中,积分收敛的有()A．⎰∞-0dx e xB．⎰+∞1xdx C．⎰∞--0dxe xD．⎰∞-0cos xdx5．设)11ln()1(nu nn +-=,则()。
2019年专升本高数真题答案解析(浙江)
17. 解: y ( x) ln( 2 cos x) x x ln( 2 cos x) e x ln x ，因此：
y
2
1 cos x
(2
cos x)
e x ln x (ln
x
1)
2
sin x cos x
x x (ln
x
1)
，故
y x1 1，所以 dy x1 dx
18. 解: 令 t x ， x t 2 ， dx 2tdt ，故：原式 sin t 2tdt 2 t sin tdt
24. 解:由题意可知： ( f (x) 4)x 2 f (t)dt 1 x3 1 ，初值条件为： f (2) 0
2
x
63
两边对 x 求导得： 1 xf (x) 1 f (x) 2 f (x) 1 x2 ，
2
2
2
整理得到： f (x) 1 f (x) x 4 ，故 P(x) 1 ， Q(x) x 4 ，
x
x
x
x
故：
f
(x)
e
(
1 x
) dx
[
x
4
e
(
1 x
) dx
dx
C]
x[
x
1
4 x2
dx
C]
x
x
4 x
C
x2 4 Cx ，由于初值条件为： f (2) 0 ，因此 C 4 ，即： f (x) x2 4x 4 y
M
P
x
O
BN
25. 解:设利润为 f (x) ，由题意可得：
x0
x2 nxn1
A
此： n 1 2 ，故 n 3
(A 0, A ) ，因
2019年全国普通高等院校统一招生考试数学试卷(终极押题浙江卷)(含解析)
2019年全国普通高等院校统一招生考试数学试卷（终极押题浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合,或,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为,或所以故选：A.2．曲线的方程为，则曲线的离心率为（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】因为曲线的方程为，所以，，则，，，双曲线的离心率，故选A．3．已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）A．B．4 C．-4 D．-4i【答案】C【解析】因为，所以虚部为-4，选C.4．《九章算木》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正视图，侧视图可知，底面长方形的长，宽分别为4，2，故四棱锥的高为，所以外接球的直径为，所以．故选：D．5．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，定义域为，，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除两个选项.，排除D选项，故选A.6．已知直线n与平面α，β，若n⊂α，则“n⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“n⊥β，n⊂α，则“α⊥β”，若n⊂α，α⊥β，则n不一定垂直β，也可能平行，故n⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件故选：A．7．已知实数满足则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示：z表示动点P（x，y）与定点A（3，1）连线的斜率．当连线经过B时斜率最大，此时,解B(8,5)则z当连线经过C时斜率最小，此时,解C(8,-1)，则z故的取值范围为故选：D8．已知随机变量的分布列如下表：X -1 0 1P a b c其中.若的方差对所有都成立，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由的分布列可得：的期望为，，所以的方差，因为所以当且仅当时，取最大值，又对所有都成立，所以只需，解得，所以.故选D9．已知三棱锥的所有棱长为是底面内部一个动点包括边界，且到三个侧面，，的距离，，成单调递增的等差数列，记与，，所成的角分别为，，，则下列正确的是A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意知正四面体的顶点在底面的射影是正三角形的中心，则，，其中，表示直线、的夹角，，，其中，表示直线、的夹角，，，其中，表示直线的夹角，由于是公共的，因此题意即比较与，，夹角的大小，设到，，的距离为，，则，其中是正四面体相邻两个面所成角，所以，，成单调递增的等差数列，然后在中解决问题由于，结合角平分线性质可知在如图阴影区域不包括边界从图中可以看出，、所成角小于所成角，所以，故选D．10．已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】圆心O（0，0）到直线y＝x﹣2，即x﹣y﹣20的距离d2，由d2r2，且，得22+S n＝2a n+2，∴4+S n＝2（S n﹣S n﹣1）+2，即S n+2＝2（S n﹣1+2）且n≥2；∴{S n+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．由22+S n＝2a n+2，取n＝1，解得＝2，∴S n+2＝（+2）•2n﹣1，则S n＝2n+1﹣2；∴（n≥2）．＝2适合上式，∴．设，，所以.所以，若对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立.设，因为，所以，故的最大值为因为，所以.故选:B非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为__________．【答案】分【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．，解得，“立春”时日影长度为：分．故答案为．12．在ABC V 中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ．若， 3a =， 2c =，则cos C = __________； ABC V 的面积为__________． 【答案】7922 【解析】∵， 3a =， 2c =，∴3b a ==，∴，，∴ABC V 的面积．13．二项式61(3)x x-的展开式中，常数项等于__________；二项式系数和为__________. 【答案】,540-64 【解析】，常数项为当026=-r 时，即3=r 时，所以，二项式系数为.14．如图，扇形中，半径为1，的长为2，则所对的圆心角的大小为_____ 弧度；若点是上的一个动点，则当取得最大值时，_____.【答案】2 0 【解析】 由弧长公式得：，即所对的圆心角的大小为2弧度，由三角函数定义可建立以点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴的直角坐标系，易得：，，设，则，则，又，所以，当即时，取得最大值，故答案为：2，0．15．从5名男医生名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方案共有______种数字回答．【答案】70【解析】解：直接法：一男两女，有种，两男一女，有种，共计70种间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，都是女医生有种，于是符合条件的有种．故答案为：70．16．已知函数．若在上是单调函数，则______；若对任意实数k，方程都有解，则a的取值范围是______．【答案】0【解析】作出函数的图象，在上是单调函数，可得，而的对称轴为，可得在R上递增，即有；对任意实数k，方程都有解，即恒有解，即直线和的图象恒有交点，可得的值域为R，由时，时，；时，递增，且，不成立；由，解得或，当时，由图象可得的值域为R，当时，由图象可得的值域不为R，综合可得a的范围是故答案为：0，17．已知直线l过椭圆C：的左焦点F且交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点若，过点O作直线AB的垂线，垂足为H，则点H为______．【答案】或【解析】由椭圆C：，可得，若直线l无斜率，直线l方程为，此时，，∴，不符合题意．若直线l有斜率，设直线l的方程为，联立方程组，消元得：，设，，则，，，，，∴，化为：．解得．∴直线l的方程为，或，经过O且与直线l垂直的直线方程为：联立，．解得，或．故答案为：，或．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，以角的终边为始边，逆时针旋转得到角．Ⅰ求的值；Ⅱ求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解：Ⅰ角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，．Ⅱ以角的终边为始边，逆时针旋转得到角，．由Ⅰ利用任意角的三角函数的定义可得，，，．．19．如图，在直三棱柱中，，，，为线段的中点，为线段上一动点（异于点），为线段上一动点，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（I）证明：因为，为线段的中点，所以，在直三棱柱中，易知平面，，而；平面，；又因为，；所以平面，又平面；所以平面平面；（II）由（I）可建立如图空间直角坐标系，因为所以，则，，设，所以，因为，，所以，，解得：（异于点） ,设平面的法向量为，则即，可取，设直线与平面所成角为，则,直线与平面所成角的正弦值为.20．设数列的前项和为，且满足：．（1）若，求的值；（2）若成等差数列，求数列的通项公式．【答案】(1) 或．(2)【解析】（1）因为，所以，即，解得或．（2）设等差数列的公差为．因为，所以，①，②．③②-①，得，即，④③-②，得，即，⑤⑤-④，得，即．若，则，与矛盾，故．代入④得，于是．因为，所以，所以，即，整理得，于是．因为，所以，即．因为，所以．所以数列是首项为，公差为的等差数列．因此，．21．抛物线的焦点F为圆C：的圆心．求抛物线的方程与其准线方程；直线l与圆C相切，交抛物线于A，B两点；若线段AB中点的纵坐标为，求直线l的方程；求的取值范围．【答案】（1） ,；（2）或；②【解析】解：（1）由圆配方可得：，可得圆心．抛物线的焦点．，解得．抛物线的准线方程为：．抛物线的方程为（2）设直线的方程为：，，直线与圆相切，，化为：．，或．联立，化为：，．，或．即，解得或所以可得的范围为或，．线段中点的纵坐标为，，，，解得或，故直线的方程为或②.设，或当时，单调递增，，当时，单调递减，．的取值范围是．22．已知函数在处取得极小值．（1）求实数的值；（2）设，讨论函数的零点个数．【答案】（1）（2）当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.【解析】（1）函数的定义域为，函数在处取得极小值，得当时，则时，；当时，在上单调递减，在上单调递增时，函数取得极小值，符合题意（2）由（1）知，函数，定义域为则：令，得；令，得在上单调递减，在上单调递增当时，函数取得最小值当，即时，函数没有零点；当，即时，函数有一个零点；当，即时，存在，使在上有一个零点设，则当时，，则在上单调递减，即当时，当时，取，则存在，使得在上有一个零点在上有两个零点，综上可得，当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.。
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2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（四）一、选择题1.D解析:2=)1()21ln()cos 1(tan lim 20x x e d x c x b x a -→-+--+=c a xde xc x b x axx 22212sin cos lim 220-=+--+-→,所以c a 4-=2.D解析：注意（1）211)('x x f +=，（2）)(31arctan ,033x o x x x x +-=→时．由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )(11)('2==+=ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ，31)()31(lim )(arctan arctan lim lim 333020220=+--=-=→→→x x o x x x x x x x x x x x ξ．3.A 解析：由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f =,所以000()(1sin )()(0)()()(0)limlim lim lim (0)x x x x f x x F x F f x f x f f x x x x →→→→+--'====,由此可得()F x 在0x =处可导.必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知()sin ()sin lim lim x x f x xf x xxx-+→→⋅⋅=.①根据重要极限0sin lim1x xx→=,可得sin sin lim lim 1x x x x xx --→→=-=-,00sin sin lim lim 1x x x xx x++→→==,②结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选A.4.B解析：αααx x 2~)21(ln +，是α阶无穷小，ααα21121~)cos 1(x x -是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是)2,1(，应该选B ．5.B解析：由公式()+∞<<∞-=∑∞=x n e n n x0!1用2x -代公式中x 二、填空题6.3解析:由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义,故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==故可去间断点为3个,即1,2,30,1x =±.7.1解析：a xba x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11(1lim 1lim 022，1=a 8.3解析:函数为321y x ax bx =+++,它的一阶导数为232;y x ax b '=++二阶导数为62y x a ''=+,又因为()1,0-是拐点,所以10x y =-''=,得13a-=-,所以3a =,又因为曲线过点()1,0-,所以将1,0x y =-=代入曲线方程,得3b =.9.)310tan(62x x +-解析：)310tan(6)310cos(6)310sin('222x x x xx y +-=+⋅+-=10.0,1==x y 解析：lim 1, lim 11x x y y y →+∞→-∞==⇒=为水平渐近线lim 0x y x →=∞⇒=为铅直渐近线221lim lim 0(1)x x x x y e x x e --→∞→∞+==-无斜渐近线11.C x x +-cot tan 或C x +2cot2-解析：法一：C x x x dxx dx dx xx x x x x dx +-=+=+=⎰⎰⎰⎰cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222.法二：原式=cx x xd +-=⎰2cot 22sin 22212.1e-解析:由题意知,()210nn n e a n--=>,()()()()1121211221lim lim 1111lim ,111n n n nn n n nn n n n n e an a n e e e n e n e e +++→∞→∞++→∞--=⋅+--⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅=⎡⎤+⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以,该幂级数的收敛半径为1e -.13.219解析：219==∆S 14.)0,1[-解析：01112)12(1)12(lim1<<-⇒<+=+++=+∞→x x nx n x nn n ρ，当1-=x 时，∑∞=+1)12(n n n x 收敛，当0=x 时，∑∞=+1)12(n nn x 发散，所以收敛域为[)0,1-15.3π解析：216366121)1(21cos ==⨯+-+⨯=θ，故3πθ=三、计算题16.解析：当1→x 时,331~11ln(--+x x 323212~12arcsin --x x ......................................2分按照等价无穷小代换32313231121lim12arcsin )11ln(lim--=--+→→x x x x x x ..................................4分31121lim +=→x x ...................................6分3221=........................................7分17.解析：x xx xx e x x xxx x x x x x e e e e x x f 2111lim )1ln(lim )1(ln 1lim 110002010)1(lim )(lim -+-++→→+→+→+→++===⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=011lim 21x xe+→-+=)0(21f e==-，∴)(x f 在0=x 处右连续；...............4分又∵)0()(lim 210f e x f x ==-→-，∴)(x f 在0=x 处左连续；............6分从而可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-,e ,ex x f x x 2111])1([)(00≤>x x 在点0=x 处连续.............7分18.解析：设]1,0[1)(C xe x f x∈-=..................2分由于01)0(<-=f ,01)1(>-=e f ,....................3分由零点定理知,)1,0(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即1=ξξe ...........5分又因0)1()(>+='xe x xf ,)1,0(∈x ,知↑]1,0[ )(在x f ,.........6分所以方程1=xxe 在区间)1,0(内有且只有一个实根ξ..............7分19.解析：令:tdt t dx t x tan sec ,sec ==.........................2分⎰⎰+=-+tdt t tt t dx x xx tan sec tan sec 1sec 11222.................4分dt t )cos 1(⎰+=.........6分1sin arccos t t c c x x=++=++..............7分20.解析：将区间[]1,0n 等分，则每个小区间长为1i x n ∆=，然后把2111n n n =⋅的一个因子1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．...........2分即21limn n →∞+++ =1lim n n →∞+ ......5分⎰=13x ................7分43=............8分21.解析：40sin 1sin x dx x π+⎰=420sin (1sin )1sin x x dxx π--⎰.............................2分⎰⎰-=402402tan cos sin ππxdx dx x x.............................3分=244200cos (sec 1)cos d x x dx x ππ---⎰⎰............................5分=44001[][tan ]cos x x x ππ--..................................7分=24π-+分22.解析：方程的标准形式为x y x y dx dy ln =，这是一个齐次型方程，设xyu =，得到通解为1+=Cx xe y ，将初始条件3)1(e y =代入可得特解为12+=x xe y ．23.解析：设u =，2ln(1)x u =+，221udx du u =+...............2分当25ln ,1,0====u x u x 时，时 (3)分ln 53x e dx e +⎰=22220(1)241u u udu u u +⋅=++⎰⎰+202242du u u ....................6分⎰+-+=20224442u u ......................7分du u du ⎰⎰+-=22204182.................8分π-=4...............................10分四、综合题24.解析：1(1)(0)1(0), (1) 1 (0,1) ()2102f f f f f ηη-'==∴∃∈==- ＜1(拉格朗日中值定理)()f x ' 连续，(,1) (0,1)ξη∴∃∈⊂,使()1f ξ'=(连续函数介值性定理)25.解析：取函数]1,1[,arccos arcsin )(-∈+=x x x x f 01111)('22=---=xxx f ……………………………………………2分故Cx f =)(取0=x ，得到2)0(π==C f ………………………………………6分故2arccos arcsin π=+x x ，)11(≤≤-x ……………………………10分26.解析：两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ''=．由已知条件得2(0)(0)0t f g e dt -===⎰.................2分且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知(0)(0)1f g =''===..........4分故所求切线方程为y x =...........................6分而3()(0)3lim (lim33(0)330n n f f n nf f n n→∞→∞-'=⋅==-..............10分。