三角恒等变形及应用

三角恒等变形及应用
一．知识点精讲
1．两角和与差的三角函数
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s ( =±；
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±= 。

2．二倍角公式
αααcos sin 22sin =； ααααα2
2
2
2
s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=；
2
2tan tan 21tan ααα
=
-。

学习时应注意以下几点：
（1）善于公式的正用 ,逆用，变形应用.
sin(sin cos cos sin β
αβαβα±=±；
)cos(sin sin cos cos βαβαβα±= ； ()()，
αββαββαcos sin sin cos cos =+++
()()βαβαβαt a n t a n t a n t a n 1t a n
+=-+ （2）善于拆角、拼角
如()ββαα-+=,ββαα+-=)(，()()()αβαβαβαβαα++=+-++=22，
()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2等；
（3）注意倍角的相对性.α2是α倍角 、α4是α2的倍角 、 α3是α2
3
的倍角
3.降幂公式
ααα2sin 2
1cos sin =
； 2
2cos 1sin 2
α
α-=
； 2
2c o s 1c o s 2
α
α+=。

4.辅助角公式
)
sin(cos sin 2
2
ϕθθθ++=
+b a b a ， 其中2
2
c o s b
a a +=
ϕ，
2
2
sin b
a b +=
ϕ
)
cos(cos sin 2
2ϕθθθ-+=+b a b a ， 其中2
2
s i n
b
a a +=ϕ，
2
2
cos b
a b +=
ϕ
5．三角函数式的化简
常用方法：
①直接应用公式进行降次、消项； ②切割化弦，异名化同名，异角化同角； ③ 三角公式的逆用等。

6. 三角函数式的化简化简要求： ①能求出值的应求出值； ②使三角函数种数尽量少； ③使项数尽量少； ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数。

7．三角函数的求值类型
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

8．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

（5）化简要求：熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。

9．解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、三角函数名称间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

二．典例解析
题型1：两角和与差的三角函数
例1．已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。

例2．已知2
tan tan 560x x αβ-+=，是方程的两个实根根，求
()()()()2
22sin
3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值。

题型2：二倍角公式 例3．化简下列各式：
（1）
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+
-
ππαα2232cos 21
2
12
12
1，， （2）
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-απ
απαα4cos 4cot 2sin cos 22
2。

例4．若的值求
，x x
x x x tan 1cos 22sin ,4712
17
534cos 2
-+<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ。

题型3：辅助角公式
例5．已知正实数b a ,满足
的值，求
a
b b a b a 15
8tan
5
sin
5
cos
5
cos 5
sin
πππππ=-+。

题型4：三角函数式化简 例6．（06
北京理）已知函数1)4()cos x f x x
π
-
-=.
（Ⅰ）求()f x 的定义域；
（Ⅱ）设α的第四象限的角，且tan α43
=-，求()f α的值。

题型5：三角函数求值
例7．（06重庆理）设函数f (x )=3cos 2ωx +sin ωrcos ωx+a(其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )的图象
在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为6
π。

（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f (x )在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
-
65,
3ππ上的最小值为3，求a 的值。

例8．（06上海理）求函数y ＝2)4
cos()4
cos(π
π
-
+x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期。

题型6：三角函数综合问题
例9．已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22
a b ππ
θθθ==-<< （I ）若,a b ⊥ 求;θ （II ）求
a b +
的最大值。

例10．（2001天津理，22）设2
0π
θ<
<，曲线1c o s s i n
2
2=+θθy x 和1sin cos 2
2
=-θθy x 有4个不同的交点。

（1）求θ的取值范围；
（2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。

二 课堂检测：
1、已知35
sin()cos cos()sin αβααβα---=
，那么2cos β的值为 （ ）
A 、725
B 、
1825
C 、725
-
D 、1825
-
2、
110
80
sin sin -
的值是 （ ）
A 、1
B 、2
C 、4
D 、14
3、已知35
sin ,αα=
是第二象限角，且1tan()αβ+=，则tan β的值为 （ ）
A 、－7
B 、7
C 、34
- D 、
34
4、（05江西卷）已知==αα
cos ,32
tan
则
（ ）
A ．
5
4
B ．－
5
4 C ．
15
4 D ．－
5
3
5、（05江苏卷）若316sin =⎪⎭⎫
⎝⎛-απ
， 则⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ232cos =（ ） A ．9
7- B ．3
1- C ．
3
1 D ．
9
7
6、（05湖北卷）若∈<<=+απ
αααα则),2
0(tan cos sin
（ ）
A ．)6,
0(π
B ．)4
,6(π
π C ．)3
,4(
π
π D ．)2
,3(π
π
7、（05重庆卷）=+-)12
sin
12
)(cos
12
sin
12
(cos π
π
π
π
（ ）
A ．2
3-
B ．2
1-
C ．
2
1 D ．
2
3
8、已知14
4
6
2
sin(
x )sin(x ),x (
,)π
π
π
π+-=∈，则4sin x =_________
9、设A B C ∆中，tan A tan B A tan B ++=，4
sin A cos A =
，则此三角形形
状是_____
10、已知1775124
cos sin ,ππ
ααα-=
<<
，求24sin tan()παα+和的值。

11、已知1303
7
2
sin sin ,cos cos ,,π
αβαβαβ-=
+=
<<
，求2
sin
αβ
+的值。

12、已知1102
7
,(,),tan(),tan αβπαββ∈-=
=-
，求2αβ-的值。