三角恒等变形公式大全演示教学
人教版高数必修四第10讲：简单的三角恒等变换(学生版)
简单的三角恒等变换1、会利用已有的十一个公式进行简单的包等变换；2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.2 2 . 21、公式推导：试以cos a 表布sin — ,cos — ,tan 一.2 2 2二、积化和差、和差化积公式:一.1 .1、公式推导：(1 ) sina cosP =3 sin (« + s ) + sin(a - B )］；日+甲 e(2)sin&+sin 中=2sin --------- cos ----- .2 221 c o 2： cos ：= -----------2 . 2 tan ： 1 - c 。
2二二、本章节公式汇编:2 tan a tan 2a = ------ 2—1 —tan a a=P口tan o(± tanPtan(a ± P)=七------------ -1 + tana tan P相除I相除S oH3cos2 1___ 2 _._2= cos : -sin2= 2cos「.—12=1 -2 sin :sin 2 : - 2sin 二cos ; S:-- C:：移项:■ ■■ 2 :■2 :.1 cos： =2cos 22 ：■1 —cos： - 2sin2变形e 1 r n …sin ot cos P = 3 b in(ot +P) + sin(ot -P)]口1 r . 口口1 cosasin ^ =~ fe in(a+ P)-sin(a - B)]D 1 r口口i cos a cos P = ? cos(a+ P)+ cos°t -P )]1 1 r . - n ，. n ，1 sin，sin - - - cos : - cos ：■ ■ ■,1 -cos ; sin —二---------2 1 21 cos 上cos一2 \ 2相除, 1 1 -cos：tan i ---- -----2 1 cos ; _ sin 工1-cos工1 cos 工sin 工A +B A -Bsin A + sin B = 2sin----- c os------2 2A +B A -Bsin A -sin B =2cos------- sin-----2 2A +B A -B cosA - cosB = 2 cos------ cos2 2A +B A-B cosA -cosB =-2sin sin -----2 24 4 A cos A sin A 例1已知一2一十—2—cos B sin B4 4cos B sin B /:1 求证：-22—=1.cos A sin A1 1中,ABC是它的二个内角，记S= ---------- +-------- ，求证:S<1.1 tan A 1 tan B1 sin x 二例 2 证明-------- =tan（—+ 一）.cosx 4 2练习：已知 a , 8（0,彳）且满足：3sin2”+2sin3 =1,3sin2-2sin2 3 =0, a+2 的值.练习：在锐角三角形 ABC例3求证: sin（a ：）sin（：：■■）sin2 1 cos2 :=1 一些tan ;练习：1 sin4i - cos 41 1 sin 4y cos4i 1.求证：----------------- = ------------2 ----2sin ? 1 - tan i1、m,2.已知 sin 3 =m，sin(2 求证3tan( a + 3 )= tan a .1 - m3.若sin a^~ ,第E第二象限，则tan亘的值为（）13 2 1A.5B.-5C.一54.设5兀< 0 <6兀Rosa则sin —等于( )2 4 D.--.1 a . 1 - a2 . 25.已知 sin 。
三角恒等变换内容
三角恒等变换内容一、什么是三角恒等变换呀三角恒等变换就是对三角函数进行各种变形，让它们在形式上发生变化，但本质上还是相等的。
就像是给三角函数换了一身衣服，但还是同一个“人”哦。
这在数学里可太有用啦，就像搭积木一样，可以把复杂的三角函数表达式通过恒等变换变成我们容易处理的形式。
比如说，sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB，这就是一个很经典的三角恒等变换公式呢。
它可以帮助我们计算很多和三角函数有关的问题，像在物理里计算波的叠加之类的。
二、常见的三角恒等变换公式1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式对于正弦，sin(A ± B)=sinAcosB±cosAsinB。
咱可以想象成把两个角的正弦和余弦按照一定的规则组合起来。
就好比是两个人合作完成一件事，每个人都出一部分力，最后组合成一个结果。
余弦呢，cos(A ± B)=cosAcosB∓sinAsinB。
这个公式和正弦的有点像，但是符号有些不同，就像是双胞胎，长得很像但是有一些小区别。
正切的公式是tan(A ± B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)。
这个公式相对来说就有点复杂啦，不过只要记住分子分母分别是什么就好啦。
2. 二倍角公式sin2A = 2sinAcosA。
这个可以理解为角加倍了，正弦的表达式就变成了这样。
就好像是一个任务原来是一个人用一种方式做，现在变成两个人合作的方式来做了。
cos2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A。
这个公式有三种不同的形式呢，可以根据具体的题目情况来选择使用哪种形式更方便。
tan2A=(2tanA)/(1 - tan²A)。
这个和两角和的正切公式有点联系，也是要小心分子分母的内容哦。
三、怎么运用这些公式进行三角恒等变换呢1. 化简三角函数表达式当我们看到一个复杂的三角函数表达式时，首先要观察它里面有哪些角，是和差的形式还是倍角的形式。
三角恒等变形末总结归纳课件ppt
相位
通过相位的概念，可以描述正弦 和余弦函数的平移变换。
三角恒等变形基础回顾
和差角公式
倍角公式
根据三角函数的定义和性质。推导出 了和差角公式
通过引入辅助角$\frac{\alpha}{2}$， 推导出了倍角公式，即 $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$和 $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha 1$。
半角公式
通过倍角公式和和差角公式。可以得 到半角公式
03
重要恒等变形
两角和与差的正弦与余弦
两角和与差的正弦公式：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，sin(x-y)=sinxcosycosxsiny 两角和与差的正弦公式适用于任意实数x和y。
两角和与差的正弦公式是三角数恒等变形的基础之一。
教学安排
说明每节课的教学时间、教学形式和主要内容。
学习目标
1 2
知识目标
掌握三角恒等变形的基本理论、方法和应用。
能力目标
培养学员运用三角恒等变形解决实际问题的能 力。
3
素质目标
培养学员的逻辑思维能力、创新意识和团队协 作精神。
02
基础知识回顾
三角函数定义回顾
锐角三角函数定义
通过直角三角形中锐角的正弦、余弦和正切定义了锐角三角 函数。
常数与三角函数的变换
常数与三角函数的变换公式：$A\sin x+B\cos x=sqrt(A^2+B^2)\sin(x+\varphi)$，其中 $\varphi=\arctan(B/A)$
常数与三角函数的变换公式可以用于将不同名的三角函数化为同名三角函数。
简单的三角恒等变换 课件
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
解 是 的二倍角.
2
2
2
2
在公式 cos 2
1
2 sin
2
中,以代替2 ,以
代替 ,
2
cos 1 2sin 2
2
sin 2 1 cos ①
2
2
在公式 cos 2 2 cos2 1中,以代替2,以 代替,
cos 2 cos2 1
2
2
cos2 1 cos ②
2
2
① 得 ②
tan 2
2
1 cos 1 cos
可表示为:
sin
1 cos
2
2
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos 2 1 cos
称为半角公式, 符号
由 所在象限决定.
2
例2 求证
1sin cos 1 sin sin ;
例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数
2sin x cos cos x sin
1 (1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3，最小值为
4
1 。4
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
3.2简单的三角恒等变换课件人教新课标
[类题尝试] 已知函数 f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有 f(x)＝1－c2os 2x－1－cos22x－π3 ＝12
12cos
2x＋
3 2 sin
2x
－
1 2
cos
2x ＝
6 A. 6
B．－
6 6
30 C. 6
D．－
30 6
解析：由题意知α2∈0，π2，所以 cos α2＞0，
α2＝
1＋cos 2
α＝
30 6.
答案：C
3．已知 cos α＝35，α∈32π，2π，则 sin α2等于(
)
A.
5 5
B．－
5 5
4
25
C.5
D. 5
解析：由题知α2∈34π，π，所以 sin α2>0，
2 θ 2
＝
1 θθ
cos 2sin 2
＝sin2 θ＝右边．
所以原式成立．
法二 左边＝（（1＋1＋sinsiθn－θ＋cocsoθs）θ）2＋（（1＋1＋sisninθθ－＋cocsosθθ））2
＝2（（11＋＋ssiinn
θ）2＋2cos2 θ θ）2－cos2 θ
＝2si4n＋θ＋4s2insiθn2 θ
1．半角公式
[知识提炼·梳理]
温馨提示 对于半角公式，要求会推导，不要求记忆．
2．辅助角公式
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋φ)cos φ＝
a a2＋b2，
sin φ＝ a2b＋b2，其中 φ 称为辅助角，它的终边所在象
图解三角恒等变换诸公式
图解三⾓恒等变换诸公式
模型⽅法-⾼中模型⽅法-基础模型
三⾓恒等变换⼤家都知道，今天为⼤家带来的是图解：
01正切和公式：
注意对称性，对称得到等边
注意钝⾓时候！也可推得
02正弦和公式：
利⽤了⾯积公式
接下来是两个⽐较常见的图形
03正余弦和公式：
其实就是三垂直模型或者叫矩形⼤法，初中⼏何构造常⽤的。
04正余弦差公式
原理⼀样就不插动图了！
05和化积公式
06差化积公式
07辅助⾓公式
也是三垂直有关
08余弦差公式
利⽤⾯积计算
更巧妙的可以先平移后算⾯积如下图空⽩地⽅⾯积等于菱形⾯积。
三角恒等变形图文
交流电路
在交流电路中，三角函数用于描 述电压、电流等物理量的周期性
变化。
三角函数在工程学中应用
建筑设计
01
三角函数用于计算建筑物的角度、高度和距离等参数，以确保
设计的准确性和稳定性。
航空航天
02
在航空航天领域，三角函数用于描述飞行器的轨迹、速度和姿
态等运动特性。
测绘学
03
在测绘学中，三角函数用于进行地图投影、坐标转换和距离测
三角恒等变形图文
目 录
• 三角恒等式基本概念 • 三角恒等变形方法 • 图形化理解三角恒等变形 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 三角恒等式基本概念
定义与性质
三角恒等式是指在三角函数中，无论角度如何变化，等式两边始终保持相等的数学 表达式。
三角恒等式具有普遍性、必然性和稳定性，是三角函数的重要基础。
03 图形化理解三角恒等变形
单位圆与三角函数关系
1 2
单位圆定义
平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为1的 圆。
三角函数与单位圆关系
正弦、余弦、正切等三角函数值可通过单位圆上 点的坐标来表示。
3
诱导公式推导
利用单位圆对称性，可推导出三角函数的诱导公 式。
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变三角函数前的系数，可实现 图像在y轴方向上的拉伸或压缩。
三角恒等式的变形包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等，这些变形在 三角函数的计算、化简和证明中具有重要作用。
常见三角恒等式
基本三角恒等式
sin^2(x) + cos^2(x) = 1， tan(x) = sin(x)/cos(x)等。
第2讲 三角恒等变换
第2讲 三角恒等变换【知识梳理】一、两角和与差正余弦与正切公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=二、二倍角公式sin 22sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 三、降次公式211cos cos 222αα=+ 211sin cos 222αα=-(4) 辅助角公式sin cos )y a x b x y x ϕ=±⇒=±tan )baϕ=（其中【题型分类】一、公式的应用（顺用逆用变形用）例1：（1）若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＝（2）若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于例2：化简cos15°cos45°﹣cos75°sin45°的值为（ ） A ． B ．C ．﹣D ．﹣例3：=（ ） A ．B ．C ．﹣D ．﹣例4：若322tan=θ,则θθθθsin cos 1sin cos -1+++的值为例5：54cos -=θ，θ为第三象限的角，则2tan 12tan-1θθ+=二、整体思想例6：若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13，cos 42πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝33，则cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ ( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69例7：若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.例8：若cos(π8−α)=16，则cos(3π4+2α)的值为（ ）A. 1718B. −1718C. 1819D. −1819例9：（1）设1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，求cos()αβ-的值； （2）若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________。
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=1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α))
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
半角公式：
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
三角恒等变形公式大全
和角差角：
cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ)
二倍角公式：
sin(2α)=2sinαcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)]
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1
=1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α))
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
半角公式：
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
和角差角：
cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ)
二倍角公式：
sin(2α)=2sinαcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
和角差角：
cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ)
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α))
sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60αcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)]
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1
=1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α))
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
半角公式：
tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α))
sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α)
cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α)
tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α)
万能代换公式：
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α)
tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α)
万能代换公式：
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α))
sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α)
cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α)
tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α)
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
万能代换公式：
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]