湖北省武汉市江汉区九年级(上)期中数学试卷
21. 如图，已知抛物线 L1：y=12x2-x-32，L1 交 x 轴于 A，B （点 A 在点 B 左边），交 y 轴于 C，其顶点为 D，P 是 L1 上一个动点，过 P 沿 y 轴正方向作线段 PQ∥y 轴，使 PQ=t，当 P 点在 L1 上运动时，Q 随之运动形 成的图形记为 L2． （1）若 t=3，求点 P 运动到 D 点时点 Q 的坐标，并 直接写出图形 L2 的函数解析式； （2）过 B 作直线 l∥y 轴，若直线 l 和 y 轴及 L1，L2 所围成的图形面积为 12，求 t 的值．
三、计算题（本大题共 1 小题，共 8.0 分） 17. 如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙 AE、AF，
另两边用铁栅栏围成一个长方形场地 ABCD，中间再 用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长 180 米，已 知墙 AE 长 90 米，墙 AF 长为 60 米． （1）设 BC=x 米，则 CD 为______米，四边形 ABCD 的面积为______米 2； （2）若长方形 ABCD 的面积为 4000 平方米，问 BC 为多少米？
D. (x−4)2=3
5. 如表中列出了二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解 x1 的范围是（ ）
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
-11
-5
-1
1
1
…
A. −3<x1<−2
B. −2<x1<−1
C. −1<x1<0
D. 0<x1<1
九年级（上）期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
四
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
总分
A.
B.
C.
D.
2. 自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征（ ）
A. 圆是轴对称图形
B. 圆是中心对称图形
C. 圆上各点到圆心的距离相等
B. x1+x2>0
C. x1⋅x2>0
D. 1x1+1x2>0
9. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，若∠DCB=110°，
则∠AED 的度数为（ ）
A. 15∘
B. 20∘
C. 25∘
D. 30∘
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10. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（-1，0），点 B（3，0），交 y 轴于点 C，给出下列结论：①a：b： c=-1：2：3；②若 0＜x＜4，则 5a＜y＜-3a；③对于任意实 数 m，一定有 am2+bm+a≤0；④一元二次方程 cx2+bx+a=0 的 两根为-1 和 13，其中正确的结论是（ ）
20. 如图，半圆 O 的直径为 AB，D 是半圆上的一个动点（不 与点 A，B 重合），连接 BD 并延长至点 C，使 CD=BD， 连接 AC，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E． （1）请猜想 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）当 AB=4，∠BAC=45°时，求 DE 的长．
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7. 如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△EDC．若点
A，D，E 在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数
是（ ）
A. 55∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 70∘
8. 已知 x1、x2 是关于 x 的方程 x2-ax-1=0 的两个实数根，下列结论一定正确的是（ ）
A. x1≠x2
A. ①②③④ B. ①③ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分） 11. 在平面直角坐标系中，点（-3，2）关于原点对称的点的坐标是______． 12. 方程 x（x-1）=0 的根是______． 13. 关于 x 的一元二次方程（k+1）x2-2x+1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是______ 14. 如图，直径为 10cm 的⊙O 中，两条弦 AB，CD 分别位于圆心
的异侧，AB∥CD，且 CD=2AC，若 AB=8cm，则 CD 的长为 ______cm．
15. 飞机着陆后滑行的距离 y（单位：m）关于滑行时间 t（单位：s）的函数解析式是 y=60t-32t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的 150m 所用的时间是______s．
16. 如图，点 C 是半圆 AB 上一动点，以 BC 为边作正方形 BCDE （使）BC 在正方形内，连 OE，若 AB=4cm，则 OD 的最大 值为______cm．
6. 某企业 2018 年初获利润 300 万元，到 2020 年初计划利润达到 507 万元．设这两年
的年利润平均增长率为 x．应列方程是（ ）
A. 300(1+x)=507
B. 300(1+x)2=507
C. 300(1+x)+300(1+x)2=507
D. 300+300(1+x)+300(1+x)2=507
22. 某公司投入研发费用 80 万元（80 万元只计入第一年成本），成功研发出一种产 品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为 6 元/件．此产品年销售量 y（万件）与售价 x（元/件）之间满足函数关系式 y=-x+26． （1）求这种产品第一年的利润 W1（万元）与售价 x（元/件）满足的函数关系式； （2）该产品第一年的利润为 20 万元，那么该产品第一年的售价是多少？ （3）第二年，该公司将第一年的利润 20 万元（20 万元只计入第二年成本）再次 投入研发，使产品的生产成本降为 5 元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年 产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过 12 万件．请计 算该公司第二年的利润 W2 至少为多少万元．
D. 直径是圆中最长的弦
3. 关于函数 y=-（x+2）2-1 的图象叙述正确的是（ ）
A. 开口向上
B. 顶点(2,−1)
C. 与 y 轴交点为(0,−1)
D. 图象都在 x 轴下方
4. 用配方法解方程 x2-4x+1=0，下列变形正确的是（ ）
A. (x−2)2=4
B. (x−4)2=4
C. (x−2)2=3
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四、解答题（本大题共 7 小题，共 64.0 分） 18交点的坐标．
19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为（3， 4），点 B 的坐标为（5，4），点 C 的坐标为（1，2），请解答下列问题： （1）画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1，使点 A1 与 A 对应，点 B1 与 B 对应； （2）画出△ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90°后得到的△A2B2C2，使点 A2 与 A 对应， 点 B2 与 B 对应； （3）若△A1B1C1 和△A2B2C2 关于某直线对称，请直接写出该直线的解析式______； （4）直接写出△ABC 外接圆圆心的坐标______
武汉市江汉区2016~2017学年度九年级上学期期中考试数学试卷
江汉区2016~2017学年度第一学期期中考试九年级数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程x (x ＋1)＝0的根为（）A ．0或－1B ．－1C ．±1D ．12．在平面直角坐标系中，点A (－3，－4)关于原点对称点的坐标为（）A ．(－3，4)B ．(3，4)C ．(－4，－3)D ．(3，－4)3．抛物线y ＝－(x －1)2－2的顶点坐标是（）A ．(1，2)B ．(－1，－2)C ．(－1，2)D ．(1，－2)4．在⊙O 中，⊙O 的半径为13，弦AB 的长为10，则圆心O 到AB 的距离为（）A ．13B ．12C ．10D ．55．正三角形绕其中心旋转一定角度后，能与自身重合，旋转角至少为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．180°6．抛物线y ＝－(x －2)2－3经过平移得到抛物线y ＝－x 2－1，平移过程正确的是（）A ．先向下平移2个单位，再向左平移2个单位B ．先向上平移2个单位，再向右平移2个单位C ．先向下平移2个单位，再向右平移2个单位D ．先向上平移2个单位，再向左平移2个单位7．用配方法解方程x 2＋1＝4x ，下列变形正确的是（）A ．(x ＋2)2＝3B ．(x －2)2＝3C ．(x ＋2)2＝5D ．(x －2)2＝58．如图，在⊙O 中，AB 为直径，圆周角∠ACD ＝20°，则∠BAD 等于（）A ．20°B ．40°C ．70°D ．80°9．抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 经过点A (2，4)，若其顶点在第四象限，则a 的取值范围为（）A ．a ＞4B ．0＜a ＜4C ．a ＞2D ．0＜a ＜210．如图，已知等边△ABC 的边长为4，以AB 为直径的圆交BC 于点F ，以C 为圆心，CF 的长为半径作圆，D 是⊙C 上一动点，E 为BD 的中点．当AE 最大时，BD 的长为（）A ．32B ．52C ．132 D ．6二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y ＝21x 2－x 的对称轴为___________12．方程x 2＋6x ＋c ＝0有两个相等的实数根，则c ＝___________13．线段AB 的两个端点关于点O 中心对称，若AB ＝10，则OA ＝___________14．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛．设一共有x 个球队参赛，根据题意，所列方程为___________________15．平移抛物线M 1：y ＝ax 2＋c 得到抛物线M 2，抛物线M 2经过抛物线M 1的顶点A ，抛物线M 2的对称轴分别交抛物线M 1、M 2于B 、C 两点．若点C 的坐标为(2，c －1)，则△ABC 的面积为____16．将边长为4的正方形ABCD向右倾斜，边长不变，∠ABC逐渐变小，顶点A、D及对角线BD的中点N分别运动到A′、D′和N′的位置．若∠A′BC＝30°，则点N到点N′的运动路径长为___________三、解答题（共8题，共72分）17．（本题8分）解方程：x2－4x－4＝018．（本题8分）要用总厂160cm长的绳子围成如图所示的图案，其中两节绳子将矩形外框分别割成三个小矩形．已知矩形外框的面积为800cm2，求矩形外框的周长19．（本题8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度（小于360°）得到△B′AC′(1)若点B′落在线段AC上，在图中画出∠B′AC′，并直接写出当AC＝4时，CC′的值(2)若∠ACB＝20°，旋转后，B′C′⊥AC，请直接写出旋转角的度数20．（本题8分）如图，在两个同心圆⊙O 中，大圆的弦AB 与小圆相交于C 、D 两点(1)求证：AC ＝BD(2)若AC ＝2，BC ＝4，大圆的半径R ＝5，求小圆的半径r 的值(3)若AC ·BC ＝12，请直接写出两圆之间圆环的面积（结果保留π）21．（本题8分）如图，一名男生推铅球，铅球行进的高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是二次函数的关系．铅球行进起点的高度为m 35，行进到水平距离为4m 时达到最高处，最大高度为3m(1)求二次函数的解析式（化成一般形式）(2)求铅球推出的距离22．（本题10分）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件(1)直接写出每周售出商品的利润y （单位：元）与每件降价x （单位：元）之间的函数关系式，直接写出自变量的取值范围(2)涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元(3)直接写出使每周售出商品利润最大的商品的售价23．（本题10分）如图，E 为菱形ABCD 的边CD 上任意点，将CE 绕点E 旋转一定角度后与AD 平行(1)如图，若CE 旋转后得到PE 和NE ，试判断下列结论是否成立？①BD 平分AN ，________________②BD ⊥AP ，_________________（填写“成立”或“不成立”）(2)证明(1)中你的判断(3)若∠ABC ＝60°，AB ＝BM ＝13 ，请直接写出CE 的长度24．（本题12分）已知抛物线y ＝ax 2－2anx ＋an 2＋n ＋3的顶点P 在一条定直线l 上(1)直接写出直线l 的解析式(2)对于任意非零实数a ，存在确定的n 的值，使抛物线与x 轴有唯一的公共点，求此时n 的值(3)当点P 在x 轴上时，抛物线与直线l 的另一个交点Q ，过点Q 作x 轴的平行线，交抛物线于点A ，过点Q 作y 轴的平行线，交x 轴于点B ，求BQAQ的值或取值范围。
湖北省武汉市江汉区2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）将一元二次方程3x2+1＝6x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，﹣6B．3，6C．3，1D．3x2，﹣6x3．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（﹣4，3）4．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2＝19B．（x﹣2）2＝7C．（x+2）2＝7D．（x+4）2＝195．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．将Rt△ABC绕点C逆时针旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B'的大小是（）A．42°B．48°C．52°D．58°6．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x+1）2B．y＝﹣2（x+1）2+2C．y＝﹣2（x﹣1）2+2D．y＝﹣2（x﹣1）2+17．（3分）在同一平面上，⊙O外有一定点P到圆上的距离最长为10，最短为2，则⊙O的半径是（）A．5B．3C．6D．48．（3分）已知a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则a2b+ab2+2的值是（）A．5B．6C．7D．89．（3分）如图，点P为⊙O外一点，连结OP交⊙O于点Q，且PQ＝OQ，经过点P的直线l1，l2，都与⊙O 相交，则l1与l2所成的锐角α的取值范围是（）A．0°＜α＜30°B．0°＜α＜45°C．0°＜α＜60°D．0°＜α＜90°10．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b＝0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置，11．（3分）一元二次方程x2﹣16＝0的解是．12．（3分）⊙O的圆心是原点O（0，0），半径为5，点A（3，a）在⊙O上，如果点A在第一象限内，那么a＝．13．（3分）抛物线y＝（m﹣1）x2+4x+1与x轴有公共点，则实数m的取值范围是．14．（3分）如图，Rt△ABE内接于⊙O，半径OD垂直于AB，垂足为C，连接CE．若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积是．15．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t﹣0.5t2，飞机着陆后滑行m才能停下来．16．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是BC上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、诬明过程、计算步骤或作出图形17．（8分）用公式法解方程x（2x﹣4）＝5﹣8x．18．（8分）已知抛物线y＝x2﹣4x+3（1）求这条抛物线与x轴的交点的坐标；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围；（3）当﹣1＜x＜3时，直接写出y的取值范围．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标．20．（8分）如图，平行四边形ABCD的边AD与经过A，B，C三点的⊙O相切（1）求证：点A平分；（2）延长DC交⊙O于点E，连接BE，若BE＝4，⊙O半径为13，求BC的长．21．（8分）抛物线y＝ax2﹣1交x轴于A，B（A左B右），交y轴于C，且AB＝4OC．（1）求a的值；（2）过抛物线上的点P（不与点B重合）作y轴的平行线交直线CB与点M，交x轴于点N，当PM＝2MN 时，求点P的坐标．22．（10分）某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位/件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表时间t/天131020日销售量m/件98948060这20天中，该产品每天的价格y（单位：元件）与时间t的函数关系式为：y＝t+25（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m关于t的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜4）给希望工程，通过销售记录发现．这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．23．（10分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，DG 交EC于O点（1）求证：DO＝OG；（2）若∠ABC＝135°，AC＝2，求DG的长；（3）若∠ABC＝90°，BC＞AB，且＝时，直接写出的值．24．（12分）已知顶点为A（1，5）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（5，1）（1）求抛物线的解析式；（2）设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点．①当四边形ABCD的周长最小时，在图1中作直线CD，保留作图痕迹并直接写出直线CD的解析式；②点P（m，n）（m＞0）是直线y＝x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图2所示构造等腰Rt△PQR．在①的条件下，记△PQR与△COD的公共部分的面积为S求S关于m的函数关系式，并求S 的最大值．2019-2020学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．2．【解答】解：一元二次方程3x2+1＝6x化为一般形式为3x2﹣6x+1＝0，二次项系数和一次项系数分别为3，﹣6，故选：A．3．【解答】解：由题意，得点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4），故选：C．4．【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，x2﹣4x＝3，x2﹣4x+4＝3+4，（x﹣2）2＝7，故选：B．5．【解答】解：由题意∠A′＝∠CAB＝90°，∠A′CB′＝48°，∴∠B′＝90°﹣48°＝42°，故选：A．6．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣1）2+1，故选：D．7．【解答】解：如图，P A的长是P到⊙O的最长距离，PB的长是P到⊙O的最短距离，∵圆外一点P到⊙O的最长距离为10，最短距离为2，∴圆的直径是10﹣2＝8，∴圆的半径是4，．故选：D．8．【解答】解：∵a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，∴a+b＝﹣3，ab＝﹣1，则原式＝ab（a+b）+2＝﹣1×（﹣3）+2＝3+2＝5，故选：A．9．【解答】解：当直线l1，l2，都与⊙O相切时，切点分别为A、B，连接OA，则OA⊥l1，∵OA＝OQ＝PQ，∴∠OP A＝30°，∴l1与l2所成的锐角α小于60°，故选：C．10．【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，∴3a+b＝3a﹣2a＝a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴＝n，∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以③正确；∵抛物线与直线y＝n有一个公共点，∴抛物线与直线y＝n﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置，11．【解答】解：方程变形得：x2＝16，开方得：x＝±4，解得：x1＝﹣4，x2＝4．故答案为：x1＝﹣4，x2＝412．【解答】解：∵⊙O的圆心是原点O（0，0），半径为5，点A（3，a）在⊙O上，∴|a|＝＝4，∵点A在第一象限内，∴a＝4．故答案为：4．13．【解答】解：由题意得：△＝42﹣4（m﹣1）＝16﹣4m+4＝20﹣4m≥0且m≠1，解得：m≤5，故答案为：m≤5且m≠1．14．【解答】解：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB＝8，∴AC＝BC＝AB＝4．设OA＝r，则OC＝r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC2+OC2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，∴AE＝10，∴BE＝＝＝6，∴△BCE的面积＝BC•BE＝×4×6＝12．故答案为：12．15．【解答】解：s＝20t﹣0.5t2＝﹣0.5（t﹣20）2+200当t＝20时，s有最大值为200．即飞机着陆后滑行200m才能停下来．故答案为200．16．【解答】解：如图，连接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，在Rt△BCO′中，BO′＝＝＝，∵O′E+BE≥O′B，∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，故答案为：﹣2．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、诬明过程、计算步骤或作出图形17．【解答】解：x（2x﹣4）＝5﹣8x2x2﹣4x+8x﹣5＝0∴2x2+4x﹣5＝0a＝2，b＝4，c＝﹣5，△＝42﹣4×2×（﹣5）＝56＞0∴x＝＝＝，∴．18．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3，令y＝0，则x＝1或3，故抛物线与x轴的交点的坐标为：（1，0）或（3，0）；（2）y＞0时，x＞3或x＜1；（3）当x＝﹣1时，y＝8，函数顶点坐标为：（2，﹣1），故当﹣1＜x＜3时，y的取值范围为：﹣1≤y＜8．19．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为（1，1）；（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（﹣3，3）；（3）如图，旋转中心为点P（﹣3，﹣1）．20．【解答】（1）证明：如图1，连接OA交BC于F．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠CFO，∵AD是⊙O的切线，∴∠OAD＝90°，∴∠OFC＝90°，∴OF⊥BC，∴OA平分，即＝．（2）如图2，连接OB．∵AB∥DE，∴∠BCE＝∠ABC，∴＝＝，∴BE＝AB＝4，∵OA⊥BC，∴AB2﹣AF2＝BF2，OB2﹣OF2＝BF2，设OF＝x，则AF＝13﹣x，∴132﹣x2＝，解得：x＝5，∴＝＝12，∴BC＝2BF＝24．21．【解答】解：（1）点C（0，﹣1），则OA＝OB＝2，故点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（2，0），点B的坐标代入函数表达式并解得：a＝；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x﹣1，设点P（x，x2﹣1），点M（x，x﹣1），PM＝2MN，即|x2﹣1﹣x+1|＝2|x﹣1|，解得：x＝2（舍去）或4或﹣4，故点P的坐标为：（4，3）或（﹣4，3）．22．【解答】解：（1）设日销售量m关于时间t的一次函数为m＝kt+b，将（1，98）（3，94）代入，得，解得k＝﹣2，b＝100，答：m关于t的函数关系式为m＝﹣2t+100．（2）设日销售利润为w元，根据题意，得w＝（t+25﹣20）（﹣2t+100）＝﹣（t﹣15）2+612.5∵﹣＜0，当t＝15时，w有最大值为612.5，答：这20天中15天的日销售利润最大，最大的销售利润是612.5元．（3）根据题意，得w＝（t+25﹣20﹣a）（﹣2t+100）＝﹣t2+（15+2a）t+100（5﹣a）∵二次函数开口向下，对称轴是t＝15+2a，要使每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，必须15+2a≥20，∴a≥2.5，又a＜4，∴2.5≤a＜4答：a的取值范围是2.5≤a＜4．23．【解答】解：（1）如图1，延长CB交DE于H．∵∠ABC+∠ABH＝180°，∠ABC＝∠ADH，∴∠ADH+∠ABH＝180°，∴∠DAB+∠DHB＝180°，∵∠DAB＝90°，∴∠DHB＝90°，∴∠DHB＝∠HCG＝90°，∴DE∥CG，∴∠EDO＝∠G，∵DE＝BC＝CG，∠DOE＝∠GOC，∴△DOE≌△GOC（AAS），∴EO＝OC．（2）如图2，连接EG，BD，由旋转知，AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝45°，∵∠ABC＝135°，∴∠ABD+∠ABC＝180°，∴点D，B，C在同一条直线上，由（1）知，∠EDG＝∠CGD，∴DE∥CG，∵DE＝CG，∴四边形CDEG是平行四边形，∵将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，∴∠DCG＝90°，∴平行四边形CDEG是矩形，∴DG＝CE，由旋转知，∠CAE＝90°，AE＝AC＝2，∴CE＝AC＝2，∴DG＝2，（3）如图3，延长DA，CG相交于点F，由旋转知，∠BAD＝∠BCG＝90°，∴∠BAF＝∠BCF＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC，CF＝AB，∴FD＝FG，在Rt△DFG中，DG＝DF＝（AD+AF）＝（AB+BC），在RtACF中，AF2+CF2＝AC2，∴AB2+BC2＝AC2，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴2AB2﹣5AB•BC+2BC2＝0，∴（2AB﹣BC）（AB﹣2BC）＝0，∴2AB﹣BC＝0或AB﹣2BC＝0，∴＝或＝2，故答案为：或2．24．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，5），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+5，将点B（5，1）代入，得a（5﹣1）2+5＝1，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+x+；（2）①如图1，可以过y，x轴分别做A，B的对称点A′，B′，然后连A′D，B′C，显然A′（﹣1，5），B′（5，﹣1），连接A′B′分别交x轴、y轴于点C、D两点，∵DA＝DA′，CB＝CB′，∴此时四边形ABCD的周长最小，最小值就是A′B′+AB∵点B关于x轴的对称点B′（5，﹣1），点A关于y轴的对称点A′（﹣1，5），设直线CD的解析式是：y＝kx+b（k≠0），则．解得k＝﹣1，b＝4．∴CD的解析式为：y＝﹣x+4；②当0＜m≤2时，S＝△PQR＝m2．当m＝2时，S最大＝2．如图2和图3：点E（2，2），当EP＝EQ时，x﹣2＝2﹣m，得：m＝，当2＜m≤时，S＝PR•RQ﹣EP2＝（m﹣m）•（m﹣m）﹣•（x﹣2）•（m﹣2），S＝﹣m2+4m﹣4，当x＝时，S最大＝．当≤m≤4时，S＝EQ2＝•（2﹣m）•（2﹣m），S＝（m﹣4）2，当m＝时，S最大＝．故S的最大值为：2．。
2020-2021学年湖北省武汉市江汉区九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个各选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂1．（3分）下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（3分）一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．（3分）用配方法解一元二次方程x 2+4x +2＝0，下列变形中正确的是（ ）A ．（x +2）2＝﹣2B ．（x +2）2＝2C ．（x +2）2＝6D ．（x ﹣2）2＝24．（3分）对于二次函数y ＝﹣（x +1）2﹣2的图象，下列说法正确的是（ ）A ．有最低点，坐标是（1，2）B ．有最高点，坐标是（﹣1，﹣2）C ．有最高点，坐标是（1，2）D ．有最低点，坐标是（﹣1，﹣2）5．（3分）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且OB ＝13，CD ＝24，则OH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．（3分）学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环制（每两个班之间都赛一场），计划安排15场比赛．设参加球赛的班级有x 个，所列方程正确的为（ ）A ．x （x ﹣1）＝15B ．x （x +1）＝15C ．12x （x ﹣1）＝15D ．12x （x +1）＝15 7．（3分）将抛物线y ＝x 2+1先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后所得的抛物线是（ ）A ．y ＝（x ﹣1）2+3B ．y ＝（x +1）2+3C ．y ＝（x +2）2D ．y ＝（x +1）2﹣18．（3分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（ ）A ．∠1＝∠4B ．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°C ．∠4＝∠7D ．∠ADC ＝∠2+∠59．（3分）把边长为3的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转45°得到正方形AB ′C ′D ′，边BC 与D ′C ′交于点O ，则四边形ABOD ′的周长是（ ）A ．6√2B ．6C ．3√2D ．3+3√210．（3分）已知x ，y 都为实数，则式子﹣3x 2+3xy +6x ﹣y 2的最大值是（ ）A ．0B ．2√3C ．487D ．12二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）到各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置.11．（3分）一元二次方程（x ﹣2）（x +3）＝0的根是 ．12．（3分）抛物线y ＝2x 2+6x 的对称轴是直线 ．13．（3分）在平面直角坐标系中，点P （3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是 ．14．（3分）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，以C 为圆心、CB 为半径的圆交AB 于点D ，则∠ACD ＝ 度．15．（3分）若抛物线y＝（m﹣1）x2+3mx+2m+1与坐标轴有2个公共点，则m的值是．16．（3分）如图，直线l上依次有B，E，C，D四点，且BE＝2CD，以BC为边作等边△ABC，连接AE，AD；若∠DAE＝30°，DE＝5，则BE的长是．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定的位置写出文字说明，证明过程，演算步骤或画出图形.17．（8分）解方程：x2﹣4x+1＝0．18．（8分）已知抛物线y1＝﹣x2+5与直线y2＝2x+2交于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标；（2）若y1＞y2，请直接写出x的取值范围．19．（8分）如图，要为一幅长30cm、宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度x相等，且镜框所占面积为照片面积的925，镜框的宽度应该多少厘米？20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（﹣6，﹣1），C（﹣2，﹣1）．（1）把△ABC向左平移2个单位，再向上平移4个单位得△A1B1C1，试画出图形，并直接写出点C1的坐标；（2）把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，试画出图形，并直接写出点C2的坐标；（3）若（2）中的△A2B2C2可以看作由（1）中的△A1B1C1绕坐标平面内某一点P旋转得到，试在图中标出点P的位置，并直接写出旋转中心P的坐标；（4）若（1）中的△A1B1C1，内部有一点M（a，b），按照（3）中的方式旋转后与△A2B2C2内部的点N重合，请直接写出点N的坐标（用含a，b的式子表示）．21．（8分）已知：△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC，BC于点D，E，且点E为BC 边的中点．（1）求证：AC＝AB；（2）若BE＝2√5，AD＝6，求⊙O半径长．22．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为160元时，房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆对每个有游客居住的房间每天支出的各种费用为20元（无游客居住的房间不支出费用），设每个房间每天的定价为求x元，每天有游客居住的房间个数为y．（1）求y与x的函数关系；（2）当房价定为多少时，宾馆利润最大？最大利润是多少？（3）若宾馆要求每天的利润不低于8280元，且每天至少有20个房间有游客居住，试直接写出此时房价x的范围．23．（10分）如图1，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α至△A1BC1．（1）若α＝90°，请直接写出AA1的长；（2）如图2，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，求CH的长；（3）如图3，若0°＜α＜360°，点M为边A1C1的中点，点N为AM的中点，试直接写出CN的最大值．24．（12分）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图2，已知点P是第四象限抛物线上的一点，且∠P AB＝2∠ACO，求点P的横坐标；（3）如图3，点D为抛物线的顶点，直线y＝kx﹣k+2交抛物线于点E，F，过点E作y 轴的平行线交FD的延长线于点P，求CP的最小值．2020-2021学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个各选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂1．（3分）下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．此图形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．此图形是中心对称图形；C．此图形是轴对称图形，不是中心对称图形；D．此图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故选：B．2．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，所以方程有两个不相等的两个实数根．故选：A．3．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x+2＝0，下列变形中正确的是（）A．（x+2）2＝﹣2B．（x+2）2＝2C．（x+2）2＝6D．（x﹣2）2＝2【解答】解：x2+4x+2＝0，x2+4x＝﹣2，x2+4x+4＝﹣2+4，（x+2）2＝2，故选：B．4．（3分）对于二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的图象，下列说法正确的是（）A．有最低点，坐标是（1，2）B．有最高点，坐标是（﹣1，﹣2）C．有最高点，坐标是（1，2）D ．有最低点，坐标是（﹣1，﹣2）【解答】解：∵二次函数y ＝﹣（x +1）2﹣2，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2），有最高点， 故选项B 中的说法正确，选项A 、C 、D 中的说法错误；故选：B ．5．（3分）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且OB ＝13，CD ＝24，则OH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CH =12CD ＝12，在Rt △OCH 中，OH =√OC 2−CH 2=√132−122=5，故选：C ．6．（3分）学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环制（每两个班之间都赛一场），计划安排15场比赛．设参加球赛的班级有x 个，所列方程正确的为（ ）A ．x （x ﹣1）＝15B ．x （x +1）＝15C ．12x （x ﹣1）＝15D ．12x （x +1）＝15 【解答】解：设邀请x 个队，每个队都要赛（x ﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，x(x−1)2=15，故选：C ． 7．（3分）将抛物线y ＝x 2+1先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后所得的抛物线是（ ）A ．y ＝（x ﹣1）2+3B ．y ＝（x +1）2+3C ．y ＝（x +2）2D ．y ＝（x +1）2﹣1【解答】解：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，1），把（0，1）向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到对应点的坐标为（1，3），所以平移后抛物线解析式为y ＝（x ﹣1）2+3．故选：A ．8．（3分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（ ）A ．∠1＝∠4B ．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°C ．∠4＝∠7D ．∠ADC ＝∠2+∠5【解答】解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD ，∴∠1＝∠4，∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC ，∴∠2＝∠7，∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB ．∴∠5＝∠8，∵∠1+∠2+∠3+∠8＝180°，∠ADC ＝∠8+∠7，∴∠1+∠2+∠3+∠5＝180°，∠ADC ＝∠2+∠5，故A ，B ，D 都正确，∵BĈ和DC ̂不一定相等， ∴BC 与DC 不一定相等，∴∠4与∠7不一定相等，故C错误，故选：C．9．（3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A．6√2B．6C．3√2D．3+3√2【解答】解：连接BC′，∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，∴B在对角线AC′上，∵B′C′＝AB′＝3，在Rt△AB′C′中，AC′=√AB′2+B′C′2=3√2，∴BC′＝3√2−3，在等腰Rt△OBC′中，OB＝BC′＝3√2−3，在直角三角形OBC′中，OC′=√2（3√2−3）＝6﹣3√2，∴OD′＝3﹣OC′＝3√2−3，∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′＝6+3√2−3+3√2−3＝6√2．故选：A．10．（3分）已知x，y都为实数，则式子﹣3x2+3xy+6x﹣y2的最大值是（）A ．0B ．2√3C ．487D ．12【解答】解：﹣3x 2+3xy +6x ﹣y 2＝﹣（34x 2−6x +12+94x 2−3xy +y 2−12） ＝﹣[（34x 2﹣6x +12）+（94x 2﹣3xy +y 2）﹣12]＝﹣[（√32x ﹣2√3）2+（32x ﹣y ）2﹣12]， ∵要求原式的最大值，即求（√32x ﹣2√3）2+（32x ﹣y ）2﹣12的最小值， 显然，当（√32x ﹣2√3）＝0，（32x ﹣y ）2＝0，即x ＝4，y ＝6时，取得最小值为﹣12， ∴式子﹣3x 2+3xy +6x ﹣y 2的最大值是12，故选：D ．二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）到各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置.11．（3分）一元二次方程（x ﹣2）（x +3）＝0的根是 x 1＝2，x 2＝﹣3 ．【解答】解：（x ﹣2）（x +3）＝0，可得x ﹣2＝0或x +3＝0，解得：x 1＝2，x 2＝﹣3，故答案为x 1＝2，x 2＝﹣3．12．（3分）抛物线y ＝2x 2+6x 的对称轴是直线 x =−32 ．【解答】解：∵抛物线y ＝2x 2+6x ，∴该抛物线的对称轴是直线x =−62×2=−32， 故答案为：x =−32．13．（3分）在平面直角坐标系中，点P （3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是 （﹣3，5） ．【解答】解：点P （3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，5），故答案为：（﹣3，5）．14．（3分）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，以C 为圆心、CB 为半径的圆交AB 于点D ，则∠ACD ＝ 10 度．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°∴∠B＝50°∵BC＝CD∴∠B＝∠BDC＝50°∴∠BCD＝80°∴∠ACD＝10°．15．（3分）若抛物线y＝（m﹣1）x2+3mx+2m+1与坐标轴有2个公共点，则m的值是−1 2或﹣2．【解答】解：①当2m+1≠0时，抛物线和y轴一定有交点，故抛物线y＝（m﹣1）x2+3mx+2m+1与坐标轴有2个公共点时，则该抛物线与x轴只有一个交点，即△＝（3m）2﹣4（m﹣1）（2m+1）＝0，解得m＝﹣2，②当2m+1＝0时，即m=−12时，y=−32x2−32x，该抛物线和坐标轴有两个公共点；故答案为−12或﹣2．16．（3分）如图，直线l上依次有B，E，C，D四点，且BE＝2CD，以BC为边作等边△ABC，连接AE，AD；若∠DAE＝30°，DE＝5，则BE的长是103√3．【解答】解：设CD＝x，则BE＝2x，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠ACD ＝120°，把△ACD 绕点A 顺时针旋转60°得到△ABF ，∴BF ＝CD ＝x ，AF ＝AD ，∠ABF ＝∠ACD ＝120°，∠F AD ＝60°，∵∠DAE ＝30°，∴∠F AE ＝∠F AD ﹣∠DAE ＝30°，在△AEF 和△AED 中，{AE =AE ∠FAE =∠DAE AF =AD，∴△AEF ≌△AED （SAS ），∴EF ＝ED ＝5，∵∠ABF ＝120°，∠ABC ＝60°，∴∠EBF ＝60°，过E 点作EH ⊥BF 于H ，如图，∵BH =12BE ＝x ，∴BH ＝BF ，∴H 点与F 点重合，即∠EFB ＝90°，在Rt △BEF 中，BF =√33EF ， 即x =5√33，∴BE ＝2x =10√33． 故答案为10√33．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定的位置写出文字说明，证明过程，演算步骤或画出图形.17．（8分）解方程：x 2﹣4x +1＝0．【解答】解：x 2﹣4x +1＝0x 2﹣4x +4＝3（x ﹣2）2＝3x ﹣2=±√3∴x 1＝2+√3，x 2＝2−√3；18．（8分）已知抛物线y 1＝﹣x 2+5与直线y 2＝2x +2交于A ，B 两点．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）若y 1＞y 2，请直接写出x 的取值范围 ﹣3＜x ＜1 ．【解答】解：（1）联立两个函数表达式得{y 1=−x 2+5y 2=2x +2，解得{x =−3y =−4或{x =1y =4， 故点A 、B 的坐标分别为（﹣3，﹣4）、（1，4）；（2）函数的图象如下：由函数的图象知，y 1＞y 2时x 的取值范围为﹣3＜x ＜1，故答案为﹣3＜x ＜1．19．（8分）如图，要为一幅长30cm 、宽20cm 的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度x相等，且镜框所占面积为照片面积的925，镜框的宽度应该多少厘米？【解答】解：设镜框的宽度为xcm ，根据题意，得：（30+2x ）（20+2x ）﹣30×20＝30×20×925，整理，得：x 2+25x ﹣54＝0，即：（x +27）（x ﹣2）＝0，解得：x＝﹣27（舍）或x＝2，答：镜框边的宽度应是2cm．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（﹣6，﹣1），C（﹣2，﹣1）．（1）把△ABC向左平移2个单位，再向上平移4个单位得△A1B1C1，试画出图形，并直接写出点C1的坐标；（2）把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，试画出图形，并直接写出点C2的坐标；（3）若（2）中的△A2B2C2可以看作由（1）中的△A1B1C1绕坐标平面内某一点P旋转得到，试在图中标出点P的位置，并直接写出旋转中心P的坐标；（4）若（1）中的△A1B1C1，内部有一点M（a，b），按照（3）中的方式旋转后与△A2B2C2内部的点N重合，请直接写出点N的坐标（用含a，b的式子表示）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为（﹣4，3）；（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标（1，﹣2）；（3）如图所示：P（1，3）；（4）△A1B1C1，内部有一点M（a，b），按照（3）中的方式旋转后与△A2B2C2内部的点N重合，点N的坐标为（4﹣b，2+a）．21．（8分）已知：△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC，BC于点D，E，且点E为BC 边的中点．（1）求证：AC＝AB；（2）若BE＝2√5，AD＝6，求⊙O半径长．【解答】（1）证明：连接AE，如图，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵BE＝CE，∴AE垂直平分BC，∴AC＝AB；（2）解：∵∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCA，∴△CDE∽△CBA，∴CD：BC＝CE：CA，即CD：4√5=2√5：（CD+6），∴CD＝4，∴AC＝AD+AC＝6+4＝10，∴AB＝10，∴⊙O半径为5．22．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为160元时，房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆对每个有游客居住的房间每天支出的各种费用为20元（无游客居住的房间不支出费用），设每个房间每天的定价为求x元，每天有游客居住的房间个数为y．（1）求y与x的函数关系；（2）当房价定为多少时，宾馆利润最大？最大利润是多少？（3）若宾馆要求每天的利润不低于8280元，且每天至少有20个房间有游客居住，试直接写出此时房价x的范围．【解答】解：（1）根据题意得：y＝50−x−16010=−0.1x+66；（2）设宾馆利润为w元，由题意知：w＝（x﹣20）（﹣0.1x+66）＝﹣0.1（x﹣660）（x ﹣20），函数的对称轴为x=12（660+20）＝340，∵﹣0.1＜0，故w有最大值，此时w为10240，即定价为340元时，宾馆当天获得最大利润，最大值为10240元；（3）由题意得：{y=50−x−16010≥20w=(x−20)(−0.1x+66)≥8280，解得200≤x≤460．23．（10分）如图1，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α至△A1BC1．（1）若α＝90°，请直接写出AA1的长；（2）如图2，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，求CH的长；（3）如图3，若0°＜α＜360°，点M为边A1C1的中点，点N为AM的中点，试直接写出CN的最大值．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4，CB＝3，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵α＝90°，∴△ABA1是等腰直角三角形，AA1=√2AB＝5√2．（2）如图2﹣1中，当AG＝AH时，∵AG＝AH，∴∠AHG＝∠AGH，∵∠A＝∠A1，∠AGH＝∠A1GB，∴∠AHG＝∠A1BG，∴∠A1GB＝∠A1BG，∴AB＝AG＝5，∴GC1＝A1G﹣C1G＝1，∵∠BC1G＝90°，∴BG=√C1B2+C1G2=√32+12=√10，∴AH＝AG＝AB﹣BG＝5−√10，∴CH＝AC﹣AH＝4﹣（5−√10）=√10−1．如图2﹣2中，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于M．同法可证，GB＝GA1，设GB＝GA＝x，则有x2＝32+（4﹣x）2，解得x =258， ∴BG =258，AG ＝5−258=158，∵GM ∥BC ，∴AG AB =AM AC ， ∴1585=AM 4， ∴AM =32，∵GA ＝GH ，GM ⊥AH ，∴AM ＝HM ，∴AH ＝3，∴CH ＝AC ﹣AM ＝1．综上所述，满足条件的CH 的值为√10−1或1．（3）如图3中，取AB 的中点J ，连接BM ，CJ ，JN ．∵AJ ＝BJ ，∠ACB ＝90°，∴CJ =12AB =52，∵BC 1＝BC ＝3，MC 1＝MA 1＝2，∠BC 1M ＝90°， ∴BM =√C 1M 2+C 1B 2=√32+22=√13，∵AJ ＝BJ ，AN ＝NM ，∴JN =12BM =√132，∵CN ≤CJ +JN ，∴CN ≤5+√132， ∴CN 的最大值为5+√132． 24．（12分）如图1，已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax +b 与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，4）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图2，已知点P 是第四象限抛物线上的一点，且∠P AB ＝2∠ACO ，求点P 的横坐标；（3）如图3，点D 为抛物线的顶点，直线y ＝kx ﹣k +2交抛物线于点E ，F ，过点E 作y 轴的平行线交FD 的延长线于点P ，求CP 的最小值．【解答】解：（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得{0=4a +4a +b b =4，解得{a =−12b =4， 故抛物线的表达式为y =−12x 2+x +4①；（2）在OB 上取OR ＝OA ＝2，则∠ACR ＝2∠ACO ＝∠P AB ，过点A 作AK ⊥CR 于点K ，设直线AP 交y 轴于点H ，则S △ACR =12×AR ×CO =12×CR ×AK ，即12×4×4=12×√22+42×AK ， 解得AK =√20，则sin ∠ACK =AK AC =16√20√20=45，则tan ∠ACK =43=tan ∠BAP ， 在Rt △AOH 中，OH ＝AO ×tan ∠BAP ＝2×43=83， 由点A 、H 的坐标得，直线AP 的表达式为y =−43x −83②； 联立①②并解得x =203， 故点P 的横坐标为203；（3）设点E 、F 的坐标分别为（m ，−12m 2+m +4）、（n ，−12n 2+n +4）， 联立①与y ＝kx ﹣k +2并整理得：x 2+（2k ﹣2）x ﹣（4+2k ）＝0， 则m +n ＝2﹣2k ，mn ＝﹣4﹣2k ， 由抛物线的表达式知，点D （1，92）， 由点D 、F 的坐标得，直线FD 的表达式为y =−12（n ﹣1）x +12n +4， 当x ＝m 时，y =−12（n ﹣1）m +12n +4=−12mn +12（m +n ）+4=−12（﹣4﹣2k ）+12（2﹣2k ）+4＝7，故点P 的坐标为（m ，7），则PC =√m 2+(7−4)2=√m 2+9≥3，故PC 的最小值为3．。
2018-2019学年湖北省武汉市江汉区九年级(上)期中数学试卷
2018-2019学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征( )A ．圆是轴对称图形B ．圆是中心对称图形C ．圆上各点到圆心的距离相等D ．直径是圆中最长的弦 3．（3分）关于函数2(2)1y x =-+-的图象叙述正确的是( )A ．开口向上B ．顶点(2,1)-C ．与y 轴交点为(0,1)-D ．图象都在x 轴下方4．（3分）用配方法解方程2410x x -+=，下列变形正确的是( )A ．2(2)4x -=B ．2(4)4x -=C ．2(2)3x -=D ．2(4)3x -=5．（3分）如表中列出了二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的一些对应值，则一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个近似解1x 的范围是( )A ．132x -<<-B ．121x -<<-C ．110x -<<D ．101x <<6．（3分）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x ．应列方程是( )A ．300(1)507x +=B ．2300(1)507x +=C ．2300(1)300(1)507x x +++=D ．2300300(1)300(1)507x x ++++=7．（3分）如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒得到EDC ∆．若点A ，D ，E 在同一条直线上，20ACB ∠=︒，则ADC ∠的度数是( )A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒8．（3分）已知1x 、2x 是关于x 的方程210x ax --=的两个实数根，下列结论一定正确的是( )A ．12x x ≠B ．120x x +>C ．120x x >D ．12110x x +> 9．（3分）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，若110DCB ∠=︒，则AED ∠的度数为( )A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒10．（3分）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A -，点(3,0)B ，交y 轴于点C ，给出下列结论：①::1:2:3a b c =-；②若04x <<，则53a y a <<-；③对于任意实数m ，一定有20am bm a ++…；④一元二次方程20cx bx a ++=的两根为1-和13，其中正确的结论是( )A ．①②③④B ．①③C ．①③④D ．②③④二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置.11．（3分）在平面直角坐标系中，点(3,2)-关于原点对称的点的坐标是 ．12．（3分）方程(1)0x x -=的根是 ．13．（3分）关于x 的一元二次方程2(1)210k x x +-+=有两个实数根，则k 的取值范围是14．（3分）如图，直径为10cm 的O 中，两条弦AB ，CD 分别位于圆心的异侧，//AB CD ，且 2CD AC =，若8AB cm =，则CD 的长为 cm ．15．（3分）飞机着陆后滑行的距离y （单位：)m 关于滑行时间t （单位：)s 的函数解析式是23602y t t =-．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m 所用的时间是 s ．16．（3分）如图，点C 是半圆 AB 上一动点，以BC 为边作正方形BCDE （使 )BC在正方形内，连OE ，若4AB cm =，则OD 的最大值为 cm ．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形.17．（8分）求抛物线221y x x =-+与直线2y =交点的坐标．18．（8分）如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE 、AF ，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD ，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长 180 米，已知墙AE 长 90 米，墙AF 长为 60 米．（1）设BC x =米，则CD 为 米，四边形ABCD 的面积为 米2；（2）若长方形ABCD 的面积为 4000 平方米，问BC 为多少米？19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为(3,4)，点B 的坐标为(5,4)，点C 的坐标为(1,2)，请解答下列问题：（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C ，使点1A 与A 对应，点1B 与B 对应；（2）画出ABC ∆绕原点O 顺时针旋转90︒后得到的△222A B C ，使点2A 与A 对应，点2B 与B 对应；（3）若△111A B C 和△222A B C 关于某直线对称，请直接写出该直线的解析式 ；（4）直接写出ABC ∆外接圆圆心的坐标20．（8分）如图，半圆O 的直径为AB ，D 是半圆上的一个动点（不与点A ，B重合），连接BD 并延长至点C ，使C D B D =，连接AC ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．（1）请猜想DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）当4AB =，45BAC ∠=︒时，求DE 的长．21．（8分）如图，已知抛物线2113:22L y x x =--，1L 交x 轴于A ，B （点A 在点B 左边），交y 轴于C ，其顶点为D ，P 是1L 上一个动点，过P 沿y 轴正方向作线段//PQ y 轴，使PQ t =，当P 点在1L 上运动时，Q 随之运动形成的图形记为2L ．（1）若3t =，求点P 运动到D 点时点Q 的坐标，并直接写出图形2L 的函数解析式；（2）过B 作直线//l y 轴，若直线l 和y 轴及1L ，2L 所围成的图形面积为12，求t 的值．22．（10分）某公司投入研发费用 80 万元(80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为 6 元/件．此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式26y x =-+．（1）求这种产品第一年的利润1W （万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为 20 万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润 20 万元(20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为 5 元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过 12 万件．请计算该公司第二年的利润2W 至少为多少万元．23．（10分）已知ABC ∆为等边三角形，P 是直线AC 上一点，AD BP ⊥于D ，以AD 为边作等边(ADE D ∆，E 在直线AC 异侧）．（1）如图 1 ，若点P 在边AC 上，连CD ，且150BDC ∠=︒，则AD BD= ；（直接写结果）（2）如图 2 ，若点P 在AC 延长线上，DE 交BC 于F 求证：BF CF =；（3）在图 2 中，若15PBC ∠=︒，AB CP 的长 ．24．（12分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象对称轴为12x =，图象交x 轴于A ，B ，交y 轴于(0,3)C -，且5AB =，直线(0)y kx b k =+>与二次函数图象交于M ，(N M 在N 的右边），交y 轴于P ．（1）求二次函数图象的解析式；（2）若5b =-，且CMN ∆的面积为3，求k 的值；（3）若3b k =-，直线AN 交y 轴于Q ，求CP CQ的值或取值范围．2018-2019学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是() A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．2．（3分）自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征()A ．圆是轴对称图形B ．圆是中心对称图形C ．圆上各点到圆心的距离相等D ．直径是圆中最长的弦【解答】解：因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，所以自行车车轮要做成圆形．故选：C．3．（3分）关于函数2=-+-的图象叙述正确的是()y x(2)1A ．开口向上B ．顶点(2,1)-C ．与y轴交点为(0,1)- D ．图象都在x轴下方【解答】解：由二次函数2(2)1y x =-+-可知：10a =-<，所以开口向下，顶点坐标为(2,1)--，所以抛物线图象都在x 轴下方；令0x =，则5y =-，所以与y 轴交点为(0,5)-，故选：D ．4．（3分）用配方法解方程2410x x -+=，下列变形正确的是( )A ．2(2)4x -=B ．2(4)4x -=C ．2(2)3x -=D ．2(4)3x -=【解答】解：把方程2410x x -+=的常数项移到等号的右边，得到241x x -=- 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到24414x x -+=-+配方得2(2)3x -=．故选：C ．5．（3分）如表中列出了二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的一些对应值，则一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个近似解1x 的范围是( )A ．132x -<<-B ．121x -<<-C ．110x -<<D ．101x <<【解答】解：当1x =-时，1y =-，1x =时，1y =，函数在[1-，0]上y 随x 的增大而增大，得一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个近似解在110x -<<，故选：C ．6．（3分）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x ．应列方程是( )A ．300(1)507x +=B ．2300(1)507x +=C ．2300(1)300(1)507x x +++=D ．2300300(1)300(1)507x x ++++=【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x ，根据题意得：2300(1)507x +=．故选：B ．7．（3分）如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒得到EDC ∆．若点A ，D ，E 在同一条直线上，20ACB ∠=︒，则ADC ∠的度数是( )A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【解答】解： 将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒得到EDC ∆． 20DCE ACB ∴∠=∠=︒，90BCD ACE ∠=∠=︒，AC CE =， 902070ACD ∴∠=︒-︒=︒，点A ，D ，E 在同一条直线上，180ADC EDC ∴∠+∠=︒，180EDC E DCE ∠+∠+∠=︒ ，20ADC E ∴∠=∠+︒，90ACE ∠=︒ ，AC CE =90DAC E ∴∠+∠=︒，45E DAC ∠=∠=︒在ADC ∆中，180ADC DAC DCA ∠+∠+∠=︒，即4570180ADC ︒+︒+∠=︒，解得：65ADC ∠=︒，故选：C ．8．（3分）已知1x 、2x 是关于x 的方程210x ax --=的两个实数根，下列结论一定正确的是( )A ．12x x ≠B ．120x x +>C ．120x x >D ．12110x x +> 【解答】解： △22()41(1)40a a =--⨯⨯-=+>，∴方程210x ax --=有两个不相等的实数根，12x x ∴≠．故选：A ．9．（3分）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，若110DCB ∠=︒，则AED ∠的度数为( )A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒【解答】解：连接AC ，如图，AB 为直径，90ACB ∴∠=︒，1109020ACD DCB ACB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，20AED ACD ∴∠=∠=︒．故选：B ．10．（3分）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A -，点(3,0)B ，交y 轴于点C ，给出下列结论：①::1:2:3a b c =-；②若04x <<，则53a y a <<-；③对于任意实数m ，一定有20am bm a ++…；④一元二次方程20cx bx a ++=的两根为1-和13，其中正确的结论是( )A ．①②③④B ．①③C ．①③④D ．②③④【解答】解： 二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A -，点(3,0)B ， ∴抛物线解析式为(1)(3)y a x x =+-，即223y ax ax a =--，2b a ∴=-，3c a =-，::1:2:3a b c ∴=-，故①正确；当4x =时，(1)y a x x a =+-==，22223[(1)4](1)4y ax ax a a x a x a =--=--=--，∴当04x <<时，则54a y a <<-，所以②错误；22223[(1)4](1)4y ax ax a a x a x a =--=--=-- ，∴顶点坐标为(1,4)a -，抛物线开口向下，3c a =-，∴抛物线向下平移4a -个单位，则抛物线顶点为(1,0)，∴平移后的解析式为：2224340y ax bx c a ax bx a a ax bx a '=+++=+-+=++…，故③正确；2b a =- ，3c a =-，∴方程20cx bx a ++=化为2320ax ax a --+=，整理得23210x x +-=，解得11x =-，213x =，所以④正确． 故选：C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置.11．（3分）在平面直角坐标系中，点(3,2)-关于原点对称的点的坐标是 (3,2)- ．【解答】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数， ∴点(3,2)-关于原点对称的点的坐标是(3,2)-，故答案为(3,2)-．12．（3分）方程(1)0x x -=的根是 10x =，21x = ．【解答】解：(1)0x x -=，0x =或10x -=，解得：10x =，21x =．故答案为10x =，21x =．13．（3分）关于x 的一元二次方程2(1)210k x x +-+=有两个实数根，则k 的取值范围是 0k …且1k ≠-【解答】解：根据题意得10k +≠且△2(2)4(1)0k =--+…，解得0k …且1k ≠-．故答案为0k …且1k ≠-．14．（3分）如图，直径为10cm 的O 中，两条弦AB ，CD 分别位于圆心的异侧，//AB CD ，且 2CD AC =，若8AB cm =，则CD 的长为 ．【解答】解：过O 作OE AB ⊥于E ，交O 于M ，反向延长OE 交CD 于G ，交O 于N ，则142AE AB ==， 连接AN ，AO ，AM ，则MN 为O 的直径，//AB CD ，MN CD ∴⊥，∴ 12CN CD =， 2CDAC =， ∴ CDAN =， AN CD ∴=，在Rt AOE ∆中，3OE ==，532ME ∴=-=，在Rt AEM ∆中，AM ===MN 为O 的直径，90MAN ∴∠=︒，AN ∴=CD AN ∴==故答案为：15．（3分）飞机着陆后滑行的距离y （单位：)m 关于滑行时间t （单位：)s 的函数解析式是23602y t t =-．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m 所用的时间是 10 s ．【解答】解：当y 取得最大值时，飞机停下来，则2260 1.5 1.5(20)600y t t t =-=--+，此时20t =，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来．因此t 的取值范围是020t 剟； 即当600150450y =-=时， 即23604502t t -=， 解得：10t =，30t =（不合题意舍去），∴滑行最后的150m 所用的时间是201010-=，故答案是： 10 ．16．（3分）如图，点C 是半圆 AB 上一动点，以BC 为边作正方形BCDE （使 )BC 在正方形内，连OE ，若4AB cm =，则OD 的最大值为 2+．【解答】解：通过旋转观察如图可知当DO AB ⊥时，DO 最长，设DO 与O 交于点M ，连接CM ，11904522MCB MOB ∠=∠=⨯︒=︒ ， 45DCM BCM ∴∠=∠=︒，四边形BCDE 是正方形，C ∴、M 、E 共线，DEM BEM ∠=∠，在EMD ∆和EMB ∆中，DE BC MED MEB ME ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，MED MEB ∴∆≅∆，()SAS ，DM BM ∴===OD ∴的最大值2=+故答案为：2+．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形.17．（8分）求抛物线221y x x =-+与直线2y =交点的坐标．【解答】解：联立221y x x =-+和2y =，可得2212x x -+=，化简可得2210x x --=解方程，得11x =21x =，故抛物线221y x x =-+与直线2y =交点的坐标为(1+2)，(12)．18．（8分）如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE 、AF ，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD ，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长180 米，已知墙AE 长 90 米，墙AF 长为 60 米．（1）设B C x =米，则CD 为 (1802)x - 米，四边形ABCD 的面积为 米2；（2）若长方形ABCD 的面积为 4000 平方米，问BC 为多少米？【解答】解：（1）设BC x =米，则(1802)CD x =-米．四边形ABCD 的面积为(1802)x x -米2，故答案为：(1802)x -，(1802)x x -；（2）由题意，得：(1802)4000x x -=，整理，得：29020000x x -+=，解得：40x =或50x =，当40x =时，180210090x -=>，不符合题意，舍去；当50x =时，18028090x -=<，符合题意；答：50BC =米，长方形的面积为 4000 平方米．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为(3,4)，点B 的坐标为(5,4)，点C 的坐标为(1,2)，请解答下列问题：（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C ，使点1A 与A 对应，点1B 与B 对应；（2）画出ABC ∆绕原点O 顺时针旋转90︒后得到的△222A B C ，使点2A 与A 对应，点2B 与B 对应；（3）若△111A B C 和△222A B C 关于某直线对称，请直接写出该直线的解析式y x = ；（4）直接写出ABC ∆外接圆圆心的坐标【解答】解：（1）如图，△111A B C 为所作；（2）如图，△222A B C 为所作；（3）△111A B C 和△222A B C 关于直线y x =对称；（4）ABC ∆外接圆圆心的坐标为(4,1)．故答案为y x =，(4,1)．20．（8分）如图，半圆O 的直径为AB ，D 是半圆上的一个动点（不与点A ，B重合），连接BD 并延长至点C ，使C D B D =，连接AC ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．（1）请猜想DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）当4AB =，45BAC ∠=︒时，求DE 的长．【解答】解：（1）DE 与O 相切．理由如下：CD BD = ，OA OB =，OD ∴为ABC ∆的中位线，//OD AC ∴，DE AC ⊥ ，OD DE ∴⊥，DE ∴为O 的切线；（2）作OF AC ⊥于F ，如图，易得四边形ODEF 为矩形，OF DE ∴=，45BAC ∠=︒ ，OAF ∴∆为等腰直角三角形，OF ∴==DE ∴=21．（8分）如图，已知抛物线2113:22L y x x =--，1L 交x 轴于A ，B （点A 在点B 左边），交y 轴于C ，其顶点为D ，P 是1L 上一个动点，过P 沿y 轴正方向作线段//PQ y 轴，使PQ t =，当P 点在1L 上运动时，Q 随之运动形成的图形记为2L ．（1）若3t =，求点P 运动到D 点时点Q 的坐标，并直接写出图形2L 的函数解析式；（2）过B 作直线//l y 轴，若直线l 和y 轴及1L ，2L 所围成的图形面积为12，求t 的值．【解答】解：22131(1)2222y x x x =--=--， 故：(3,0)B ，(1,2)D（1）Q 点运动的图形，相当于抛物线向上平移t 个单位，如下图：即：2L 的图象为：21322y x x t =--+， 3t =，2L 的函数解析式为：21322y x x =-+； （2）2L 的图象为：21322y x x t =--+， 直线l 和y 轴及1L ，2L 所围成的图形面积=平行四边形DD B B ''面积+平行四边形DD CO '的面积，即：()312B C S D D x x t ='-== ，故4t =．22．（10分）某公司投入研发费用 80 万元(80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为 6 元/件．此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式26y x =-+．（1）求这种产品第一年的利润1W （万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为 20 万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润 20 万元(20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为 5 元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过 12 万件．请计算该公司第二年的利润2W 至少为多少万元．【解答】解：（1）21(6)(26)8032236W x x x x =--+-=-+-．（2）由题意：22032236x x =-+-．解得：16x =，答：该产品第一年的售价是 16 元．（3）由题意：1416x 剟， 22(5)(26)2031150W x x x x =--+-=-+-，1416x 剟，14x ∴=时，2W 有最小值，最小值88=（万元），答：该公司第二年的利润2W 至少为 88 万元．23．（10分）已知ABC ∆为等边三角形，P 是直线AC 上一点，AD BP ⊥于D ，以AD 为边作等边(ADE D ∆，E 在直线AC 异侧）．（1）如图 1 ，若点P 在边AC 上，连CD ，且150BDC ∠=︒，则AD BD = ；（直接写结果） （2）如图 2 ，若点P 在AC 延长线上，DE 交BC 于F 求证：BF CF =；（3）在图 2 中，若15PBC ∠=︒，AB CP 的长 ．【解答】解：（1）如图：连接CEABC ∆ ，ADE ∆是等边三角形AB AC ∴=，AD AE =，60DAE BAC ∠=∠=︒BAD CAE ∴∠=∠，且AB AC =，AD AE =()ABD ACE SAS ∴∆≅∆BD CE ∴=，ABD ACE ∠=∠90ADB ∠=︒ ，150BDC ∠=︒，60ADE ∠=︒60EDC ∴∠=︒6060150BDC BPC ACD BAC ABD ACD ACE ACD ECD ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠+∠=︒+∠=︒90ECD ∴∠=︒tan EC BD EDC DE AD ∴∠===∴AD BD =（2）如图：过点//CM BD 交DE 于点M ，连接CEABC ∆ 和ADE ∆是等边三角形AB AC ∴=，AD AE =，60BAC DAE ADE AED ∠=∠=︒=∠=∠ BAD CAE ∴∠=∠，且AB AC =，AD AE = ()ABD ACE ASA ∴∆≅∆BD CE ∴=，90AEC ADB ∠=∠=︒BDE ADB ADE ∠=∠+∠ ，DEC AEC AED ∠=∠-∠ 150BDE ∴∠=︒，30DEC ∠=︒//MC BD150DMC BDE ∴∠=∠=︒30EMC ∴∠=︒DEC EMC ∴∠=∠MC CE ∴=BD CM ∴=，且BDE CMD ∠=∠，BFD CFM ∠=∠ ()BDF CMF AAS ∴∆≅∆CF BF ∴=（3）如图：作ABG BAD ∠=∠，交AD 于点G60ABC ∠=︒ ，15PBC ∠=︒，AD BD ⊥15DAB ∴∠=︒ABG BAD ∠=∠15ABG BAG ∴∠=∠=︒30BGD ∴∠=︒，BG AG =2BG BD ∴=，GD =2AD BD ∴+在Rt ABD ∆中，222AB BD AD =+．222)∴=22BD BD +．1BD ∴=2AD ∴=15BAD ∠=︒ ，60BAC ∠=︒45DAP ∴∠=︒，且AD BD ⊥AP ∴==CP AP AC AP AB =-=-=CP ∴=24．（12分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象对称轴为12x =，图象交x 轴于A ，B ，交y 轴于(0,3)C -，且5AB =，直线(0)y kx b k =+>与二次函数图象交于M ，(N M 在N 的右边），交y 轴于P ．（1）求二次函数图象的解析式；（2）若5b =-，且CMN ∆的面积为3，求k 的值；（3）若3b k =-，直线AN 交y 轴于Q ，求CP CQ的值或取值范围．【解答】解：（1）由图象对称轴为12x =，5AB =，知：(2,0)A -、(0,3)B -， 把A 、B 、C 点坐标代入二次函数表达式得：12a =，12b =-，3c =-；故函数表达式为：211322y x x =--⋯①； （2）5b =-，直线MN 表达式为：5y kx =-⋯②， 设：1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 将①、②联立并整理得：2(21)40x k x -++=， 则：1221x x k +=+，124x x = ， 直线(0,3)C -、1(M x ，1)y 所在的直线方程为： 2233y y x x +=- ，过N 点做直线//HM y 轴，交MC 于H ，则1(H x ，21233)y x x +- ，162CMN M S HN x ∆== ，整理得：122112336x y x y x x -+-= ， 把1135y x =-，2235y x =-，代入上式整理得： 213x x -=，即：1212()249x x x x +-=，2k =；（3）3b k =-，直线3y kx b kx k =+=-⋯③， 将①、③方程联立并整理得： 2(21)(66)0x k x k -++-=，△242025(25)20k k k =-+=->， 21|25|2N k k x +--=， 当250k ->时，3N x =，则(3,0)N ，而(0,0)Q ，(0,3)P k -，(0,3)C - 则：33CP k =-，3CQ =， ∴1CP k CQ =-，即：32CP CQ >； 当250k -<时，22N x k =-，则2(22,25)N k k k --， 则AN 所在的直线方程为：25(25)2k y x k -=+-， 则：(0,25)Q k -，而(0C ，3)(0P -，3)k -， 则：33CP k =-，22CQ k =-， ∴32CP CQ =，故：32CP CQ …．。
2023-2024学年湖北省武汉市江汉区九年级上学期数学期中试题及答案
2023-2024学年湖北省武汉市江汉区九年级上学期数学期中试题及答案第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．1. 下列运动项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据“根据沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的平面图形叫做轴对称图形；绕某一点旋转180︒，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形”进行判断即可．【详解】解：A. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B ．2. 在一元二次方程252x x -=中，二次项系数为1时，常数项是（ ）A. 5- B. 5 C. 2 D. 2-【答案】D【解析】【分析】把一元二次方程化为一般形式()200ax bx c a ++=≠，即可得到答案．【详解】解：一元二次方程252x x -=化为一般形式为2520x x --=，则二次项系数为1，一次项系数为5-，常数项为2-，故选：D3. 一元二次方程2340x x --=的根的情况是（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根【答案】B【解析】【分析】利用判别式计算解答【详解】解：∵1,3,4a b c ==-=-，∴()()2243414250b ac ∆=-=--⨯⨯-=>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键．4. 如图，AB 是O 的直径，D ，C 是O 上的点，115ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数是（ ）A. 25︒B. 30︒C. 35︒D. 40︒【答案】A【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．【详解】解：∵115ADC ∠=︒，∴65B ∠=︒，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴180906525BAC ∠=︒-︒-︒︒=，故选：A ．【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．5. 若抛物线22y x x m =-++的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1-【答案】D【解析】【分析】先把抛物线转化为顶点式求得顶点坐标为()1,1m +，根据坐标轴上点的特征可得10m +=，再解方程即可．本题主要考查二次函数的顶点式以及二次函数的性质，掌握配方法，把二次函数化为顶点式是关键．详解】解：∵()222=11y x x m x m =-++--++，∴抛物线的顶点坐标为()1,1m +，∵顶点在x 轴上，∴10m +=，∴1m =-，故选：D ．6. 把抛物线22()1y x =-+先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的图像解析式是（ ）A. 2(5)1y x =--B. 2(1)1y x =+-【C. 2(1)3y x =++ D. 2(1)3y x =-+【答案】B【解析】【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】解：原抛物线的顶点为（2，1），向左平移3个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，-1）；可得新抛物线的解析式为2(1)1y x =+-，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．7. 如图，在ABC 中，48ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△，若B 点的对应点B '恰好落在BC 边上，则CAC '∠的度数是（ ）A. 24︒B. 54︒C. 72︒D. 84︒【答案】D【解析】【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质；根据旋转的性质可得：BAB CAC ''∠=∠，AB AB '=，从而利用等腰三角形的性质可得48ABC AB B '∠=∠=︒，然后利用三角形内角和定理可得84BAB ¢Ð=°，即可解答．【详解】由旋转得：BAB CAC ''∠=∠，AB AB '=，∴48ABC AB B '∠=∠=︒，∴18084BAB B AB B ''=︒--=︒∠∠∠，∴84CAC BAB ''∠=∠=︒，故选：D ．8. 抛物线223y x x -=--的对称轴是直线（ ）A. 1x = B. =1x - C. 2x = D. 2x =-【答案】B【解析】【分析】根据“二次函数的对称轴公式为2b x a =-”进行求解即可．【详解】解：∵1a =-，2b =-， ∴对称轴为直线()21221b x a -=-=-=-⨯-，故选：B ．9. 如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BC CD =，将ABC 绕点C 旋转至EDC △，则下列说法不正确的是（ ）A. AC 平分BAD∠B. 点A ，D ，E 在同一条直线上C. 若60BAD ∠=︒，则AB AD +=D. 若AD AB CD -=，则120ABC ∠=︒【答案】C【解析】【分析】根据圆周角、弦、弧之间的关系即可判断选项A 选项；根据旋转的性质和圆内接四边形的性质即可判断B 选项；先求出1302BAC CAD BAD ∠∠=∠==︒，由旋转可知，30E BAC ∠=∠=︒，进一步得到AE AD DE AB AD =+=+，AC CE =，作CH AE ⊥于点H ，则90AHC CHE ∠=∠=︒，则,AH AC EH ==，进一步得到AE =，则AB AD +=，即可判断C 选项；在AD 截取AM AB =，连接CM ，证明CMD △是等边三角形，得到60CDM ∠=︒，由四边形ABCD 是O 的内接四边形即可得120ABC ∠=︒，即可判断D 选项．【详解】解：A ．∵BC CD =，∴ BCCD =，∴BAC CAD ∠=∠，∴AC 平分BAD ∠，故选项正确，不符合题意；B ． ∵将ABC 绕点C 旋转至EDC △，∴ABC EDC ∠=∠，∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180EDC ADC ∠+∠=︒，∴点A ，D ，E 在同一条直线上；故选项正确，不符合题意；C ．∵BC CD =，∴ BCCD =，∴BAC CAD ∠=∠，∵60BAD ∠=︒，∴1302BAC CAD BAD ∠∠=∠==︒，由旋转可知，30E BAC ∠=∠=︒，∴30CAE E ∠=∠=︒，DE AB =，∴AE AD DE AB AD =+=+，AC CE =，作CH AE ⊥于点H ，则90AHC CHE ∠=∠=︒，∴,AH AC EH ==，∴AE AH EH AC AC AC =+=+==，∴AB AD +=，故选项错误，符合题意；D ．在AD 截取AM AB =，连接CM ，∵BC CD =，∴ BCCD =，∴BAC CAD ∠=∠，∵AC AC =，∴()SAS BAC CAM ≌，∴CM BC =，∴CM CD =，∵AD AB CD -=，∴AD AM CD -=，∵AD AM MD -=，∴MD CD =，∴CM CD MD ==，∴CMD △是等边三角形，∴60CDM ∠=︒，∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180120ABC CDM ∠=︒-∠=︒,故选项正确，故选：C【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30︒角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和添加适当的辅助线是解答此题的关键．10. 已知实数m ，n 满足()()2245265m m n n ++-+=，则23m n +的值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1-【答案】D【解析】【详解】先把原式转化为()()222115=5m n ⎡⎤⎡⎤++⋅-+⎣⎦⎣⎦，可得当()220m +=，()210n -=时，等式成立，即可求得2m =-，1n =，再代入求值即可．【分析】解：()()2245265m m n n ++-+=，∴()()222115=5m n ⎡⎤⎡⎤++⋅-+⎣⎦⎣⎦，∵()220m +≥，()201n -≥，∴()220m +=，()210n -=，即20m +=，10n -=，∴2m =-，1n =，∴()23=2231=1m n +⨯-+⨯-，故选：D ．【点睛】本题考查非负数的性质、代数式求值，解一元一次方程，变形得出()()222115=5m n ⎡⎤⎡⎤++⋅-+⎣⎦⎣⎦是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定的位置．11. 点(1,4)M -关于原点对称的点的坐标是_______________________．【答案】()1,4-【解析】【分析】由关于原点对称的点的坐标特征可以得到解答．【详解】解：∵关于原点对称的点的坐标特征为：x x y y =-⎧⎨=-''⎩，由题意得：x=1，y=-4，∴14x y -''=⎧⎨=⎩，∴点 M(1,−4) 关于原点对称的点的坐标是（-1，4），故答案为（-1，4）．【点睛】本题考查图形变换的坐标表示，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题关键．12. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为_____．【答案】x （x﹣12）＝864．【解析】【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵长为x 步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步．依题意，得：x （x﹣12）＝864．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13. 已知a ，b 是方程220230x x --=的两个实数根，则22a b +=________．【答案】4047【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得1a b +=，2023ab =-，再利用完全平方公式求值即可得．【详解】解：,a b 是方程220230x x --=的两个实数根，111a b -∴+=-=，202320231ab -==-，()()222221220234047a b a b ab ∴+=+-=-⨯-=，故答案为：4047．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．14. 如图所示的圆弧形拱门中，弦AB 和拱高CD 都是2m ，则该拱门的半径是________m ．【答案】54【解析】【分析】根据垂径定理可得11m 2AD AB ==，利用勾股定理可得()22221=AO AO -+，再求解即可．【详解】解：如图，∵CD AB ⊥，∴11m 2AD AB ==，∵CO AO =，2m CD =，∴()2m OD AO =-，在Rt AOD 中，222OD AD AO +=，即()22221=AO AO -+，解得54AO =，故答案为：54．15. 已知点(),m n 在抛物线22y ax ax c =++上，下列结论：①若a c =，则抛物线与x 轴只有一个公共点；②若抛物线与x 轴的公共点()1,0x ，()2,0x 满足12111x x +=，则2c a =-；③当50m -≤≤时，n 的取值范围是13n -≤≤，则a 的值是415±；④若点(),m p在直线2y ax c a =-+-上，当21m -<<-时，p n >，则抛物线开口向上．其中正确结论是________（填序号）【答案】①④【解析】【分析】利用根的判别式判断220cx cx c ++=的根情况，即可判断①；利用根与系数关系得到1212121121x x a x x x x c+===+，即可判断②；分0a >和a<0两种情况讨论函数的最值，即可判断③；利用()()()22122p n am am c a m m am c a -=-+-++=--++，当21m -<<-时，10,20m m +<+>，p n >，得到a 的取值范围，即可判断④．【详解】解：若a c =，则2222y ax ax c cx cx c =++=++，对于220cx cx c ++=来说，()22240c c ∆=-=，∴抛物线与x 轴只有一个公共点；故①正确；若抛物线与x 轴的公共点()1,0x ，()2,0x ，即220ax ax c ++=由两个实数根12x x 、，则112222,a c x x x x a a+=-=-=-，∴1212121121x x a x x x x c+===+，∴2c a =，故②错误，∵抛物线()2221y ax ax c a x c a =++=++-，∴抛物线对称轴为=1x -，当0a >时，抛物线开口向上，当50m -≤≤时，n 的取值范围是13n -≤≤，当=1x -时，()2221y ax ax c a x c a =++=++-有最小值c a -，即当=1x -时，最小值1c a -=-，当5x =-时，最大值()251153y a c a a c =-++-=+=，解得14a =，当a<0时，抛物线开口向下，50m -≤≤时，n 取值范围是13n -≤≤，的当=1x -时，()2221y ax ax c a x c a =++=++-有最大值c a -，即当=1x -时，最大值3c a -=，当5x =-时，最小值()251151y a c a a c =-++-=+=-，解得14a =-，即当50m -≤≤时，n 的取值范围是13n -≤≤，则a 的值是14±；故③错误；若点(),m p 在直线2y ax c a =-+-上，则2p am c a =-+-，点(),m n 在抛物线22y ax ax c =++上，则22n am am c =++，()()()22122p n am am c a m m am c a -=-+-++=--++，当21m -<<-时，10,20m m +<+>，p n >，∴()()120a m m -++>，即()()120a m m ++<，∴0a >，则抛物线22y ax ax c =++开口向上．故④正确，综上可知，正确的是①④，故答案为：①④16. 如图，已知O 上有三点()3,A a ，(),1B b -，(),0C c ，连接AC ，BC ，若30ACB ∠=︒，则b =________．【答案】6-【解析】【分析】连接AO 、OB ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，将OBE △逆时针旋转得到OAG △，过点G 作GH x ⊥轴于点H ，过点A 作AD GH ⊥于点D ，根据直角三角形的性质可得2OG OH =，再根据旋转的性质可得==90AGO BEO ∠∠︒，1AG BE ==，OG OE =，再由直角三角形的性质可得11==22GD AG ，利用勾股定理求得AD ==3OH ，即可求解．【详解】解：连接AO 、OB ，过点A 作AF x ⊥轴于点F ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，将OBE △逆时针旋转得到OAG △，过点G 作GH x ⊥轴于点H ，过点A 作AD GH ⊥于点D ，∵()3,A a ，(),1B b -，∴3OF =，1BE =，∵30ACB ∠=︒，∴==60AOB GOE ∠︒，∵GH x ⊥轴，∴30OGH ∠=︒，∴2OG OH =，由旋转的性质可得，==90AGO BEO ∠∠︒，1AG BE ==，OG OE =，∴60∠=︒AGD ，∵AD GH ⊥，∴30GAD ∠=︒，∴11==22GD AG ，∴==AD∴=3OH ，∴=2=23=6OG OH ⎛⨯ ⎝，∴==6OE OG -，即=6b ，故答案为：6-【点睛】本题考查圆周角定理、旋转的性质、勾股定理、直角三角形的性质，利用旋转的性质构造含30︒的直角三角形是解题的关键．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．17. 解方程：2430x x --=．【答案】12x =+，22x =【解析】【分析】利用公式法：x =求解即可．【详解】解：1a =，4b =-，3c =-，2244()413(28)b ac ∆=-=--⨯⨯-=∴方程有两个不相等的实数根，∴2===±x∴12x =，22x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．18. 二次函数()214y a x =++的图象的一部分如图所示，图象与x 轴的一个交点为()4,0A -，根据图象解答下列问题：（1）求a 的值；（2）直接写出该抛物线与x 轴的另一交点B 的坐标；（3）直接写出不等式()2140a x ++>的解集．【答案】（1）49a =-（2）()2,0（3）42x -<<【解析】【分析】（1）代入已知点的坐标即可得到a 的值；（2）根据抛物线的对称轴和与x 轴的一个交点，即可得到抛物线与x 轴的另一个交点；（3）利用图象在x 轴上方部分对应的自变量的取值范围即可得到不等式的解集．熟练掌握()2y a x h k =-+的图象和性质、图象法解不等式、抛物线与x 轴的交点问题等知识，数形结合思想是解题的关键．【小问1详解】解：把()4,0A -代入()214y a x =++得，()0414a 2=-++，解得49a =-，【小问2详解】由（1）可知，二次函数的解析式为()21449y x +-=+，由()21449y x +-=+得到二次函数的对称轴为直线=1x -，∵图象与x 轴的一个交点为()4,0A -，∴该抛物线与x 轴的另一交点B 的坐标为()2,0；【小问3详解】由二次函数()214y a x =++的图象与x 轴的两个交点为()4,0A -、()2,0B ，开口向下，∴当42x -<<时，二次函数()21449y x +-=+的图象在x 轴上方，∴不等式()2140a x ++>的解集为42x -<<．19. 九年级某班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的n 名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他n 名同学，这样全班43名同学恰好都接到了一次通知，求n 的值．【答案】21【解析】【分析】根据题意可得班长和班委共()1n +名，则剩余同学有()42n -名，由全班43名同学恰好都接到了一次通知且其他同学为n 名，可得班委与剩余同学的人数相同即可列方程求解．【详解】解：由题意可得，班长和班委共()1n +名，则剩余同学有()42n -名，则42=n n -，解得21n =，∴n 的值为21．20. 如图，AB ，CD 是O 的两条弦，180AOB COD ∠+∠=︒．（1）如图（1），若60AOB ∠=︒，且1AB =，直接写出CD 的长度；（2）如图（2），设O 的半径为r ，猜想AB ，CD 和r 的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1（2）222=4DC AB r +，证明过程见解析【解析】【分析】（1）过点O 作OE CD ⊥于点E ，根据等边三角形的判定与性质可得===1OA AB OD ，再根据等腰三角形的性质可得30ODC ∠=︒，2DC DE =，根据直角三角形的性质可得11==22OE OD ，再利用勾股定理求得DE =，即可求解；（2）延长DO 交O 于点F ，证明AOB FOC ≌，可得AB FC =，根据圆周角定理可得90DCF ∠=︒，再利用勾股定理即可得出结论．【小问1详解】解：过点O 作OE CD ⊥于点E ，∵60AOB ∠=︒，OA OB =，∴OAB 是等边三角形，∴===1OA AB OD ，∵180AOB COD ∠+∠=︒，∴120DOC ∠=︒，∵OD OC =， ∴()1=180120=302ODC ∠︒-︒︒，∵OE CD ⊥，∴11==22OE OD ，在Rt OED 中，==DE∴=2=2=DC DE ；【小问2详解】证明：延长DO 交O 于点F ，∵180AOB COD ∠+∠=︒，180COD COF ∠+∠=︒，∴COF AOB ∠=∠，∵===AO BO FO CO ，∴()AOB FOC SAS ≌，∴AB FC =，∵DF 是O 的直径，∴90DCF ∠=︒，∴222DC CF DF +=，∵=2DF r ，∴()222=2DC AB r +，即222=4DC AB r +．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．21. 如图，在由正方形组成的77⨯的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，A ，B ，C 三点均为格点，O 经过点C ，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（1）如图（1），若点O 是格点，作弦CD ，使CD AB ∥再作劣弧 CD的中点E ；（2）如图（2），若点O 不在网格线上，先将AB 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段MN （点M 与点A 对应），MN 与O 交于点P ，再在AB 上画点Q ，使BQ NP =．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）如图（1），由格点A 向下3个格点，向右1个格点为C ，从格点B 向下3个格点，向右1个格点为G ，连接AC 、BG 、CG ，则四边形ABGC 是平行四边形，AB CG ∥，延长CG 交O 于D ，则弦CD 即为所求，格点C 向左1个格点，向上4个格点为M ，则CM CG ⊥，格点M 向右3个格点为N ，连接ON ，交O 于点E ，则四边形CMNO 是平行四边形，ON CM ∥，ON CD ⊥，由垂径定理可知，点E 即为劣弧 CD的中点；（2）如图（2），格点C 向右3个格点，向上1个格点为M ，格点C 向右4个格点，向下3个格点为N ，连接MN ，交O 于点P ；连接CA CM CB CN 、、、，由顺时针旋转90︒可知ABC MNC △≌△，则ABC MNC ∠=∠，90BCN ∠=︒，连接CP ，连接PO 并延长交O 于D ，连接CD ，由直径所对的圆周角为直角可知90DCP ∠=︒，延长CD 交AB 于Q ，由90BCQ BCP NCP BCP ∠+∠=︒=∠+∠，可知BCQ NCP ∠=∠，则()ASA BCQ NCP ≌，BQ NP =，即点Q 即为所求．【小问1详解】解：如图（1），弦CD ，点E 即为所求；【小问2详解】解：如图（2），线段MN ，点P 、Q 即为所求；【点睛】本题考查了作垂线，旋转作图，平行四边形的判定与性质，垂径定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角等知识．熟练掌握各知识，作垂线是解题的关键．22. 任意球直接得分是足球比赛的重要得分手段之一，已知足球球门的高度是2.43m ，某足球队员在球门正前方18m 的A 处练习踢任意球，防守队员组成的人墙站在离球门10m 的B 处，人墙的最大防守高度可以达2m ．把运行中的足球看作点，建立如图所示平面直角坐标系，发现运行过程中足球离地面的高度y （单位：m ）与足球离球门的水平距离x （单位：m ）满足函数关系式()26y a x h =-+．（1）若该队员踢出的任意球在运行过程中达到最大的高度为3m ，①求y 与x 的函数关系式；②足球能否越过人墙的防守最高点直接射进球门内？请说明理由；（2）若要确保踢出的任意球能直接射进球门内，请直接写出h 的取值范围．【答案】（1）()216348y x =--+；足球能越过人墙的防守最高点直接射进球门内 （2）2.67 3.24h <<【解析】【分析】（1）根据抛物线经过点()18,0和3h =即可求出；把10x =代入()216348y x =--+和2m 比较即可；（2）根据足球能直接射进球门和足球能越过人墙分别求出h 的值即可．小问1详解】解：∵任意球在运行过程中达到最大的高度为3m ，∴()263y a x =-+，由题意得：抛物线经过点()18,0，∴()218630a -+=，解得：148a =-，∴()216348y x =--+，解：由①得：()216348y x =--+，当10x =时，()218632483y x =--+=>，∴足球能越过人墙的防守最高点直接射进球门内；【小问2详解】解：∵足球球门的高度是2.43m ，抛物线经过点()18,0，∴()21860a h -+=，得1144a h =-，当 2.43m y <时，()2106 2.43144h h --+<，解得： 3.24h <，当2m y >时，()21062144h h --+>，解得： 2.67h >，∴h 的取值范围是2.67 3.24h <<；【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解不等式组等，解题的关【键是理解构建的二次函数模型，学会用不等式解决实际问题．23. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点．（1）如图（1），将射线AE 绕点A 顺时针旋转90︒后交CB 的延长线于点F ，求四边形AFCE 的面积；（2）如图（2），若E 是CD 的中点，G 是BC 边上一点，将线段AG 绕点G 顺时针旋转90︒后得到线段H G ，点H 恰好落在射线AE 上，求证：2CG BG =；（3）如图（3），若3DE CE =，点M 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且135B M E ∠=︒，请直接写出AM 的长度．【答案】（1）16 （2）证明见解析（3）2【解析】【分析】（1）由旋转的性质和正方形性质即可证明AED AFB ≌ ，可得四边形AFCE 的面积和正方形ABCD 面积相等，即可求解；（2）连接GE ，过点A 作AF AE ⊥交CB 的延长线于点F ，由（1）可得AED AFB ≌ ，由旋转可得AGH 是等腰直角三角形，45HAG ∠=︒，9045GAF HAG ∠=︒-∠=︒，进而证明EAG FAG ≌ ，得到2EG FG FB BG BG ==+=+，在Rt ECG 中，由勾股定理求解得到43BG =，843CG BG =-=，即可证明；（3）根据三角形内角和定理可得180135MBC ACB BMC BMC ∠=︒-∠-∠=︒-∠，由题意可得135EMC BMC ∠=︒-∠，可证MBC EMC ∽ ，由相似三角形的性质即可求解．【小问1详解】解：由旋转性质可得：AF AE =，90EAF ∠=︒，在正方形ABCD 中，AB AD =，90DAB ∠=︒，∴DAE BAF ∠=∠，的又∵90D BAF ∠=∠=︒，在AED △和AFB △中，90D ABF AD ABDAE BAF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA AED AFB ≌ ，∴四边形AFCE 的面积和正方形ABCD 面积相等，∴四边形AFCE 的面积为4416⨯=；【小问2详解】解：连接GE ，过点A 作AF AE ⊥交CB 的延长线于点F ，由（1）可得AED AFB ≌ ，∴122BF DE CD ===，AE AF =，∵线段AG 绕点G 顺时针旋转90︒后得到线段H G ，∴AG GH =，90AGH ∠=︒，∴45HAG ∠=︒，∴9045GAF HAG ∠=︒-∠=︒在AEG △和AFG 中，AE AF EAG FAGAG AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS EAG FAG ≌ ，∴2EG FG FB BG BG ==+=+，在Rt ECG 中，222EG EC CG =+，∴()()222224BG BG +=+-，解得：43BG =，∴843CG BG =-=，∴2CG BG =；【小问3详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90ACB ACD ∠=∠=︒，AC ==180135MBC ACB BMC BMC ∠=︒-∠-∠=︒-∠，由题意可得，135EMC BMC ∠=︒-∠，∴MBC EMC ∠=∠，∴MBC EMC ∽ ， ∴BC MC MC CE=，∴2414MC BC CE =⋅=⨯=，解得：2MC =（负值舍去）∴2AM =．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转图形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明MBC EMC ∽ 是解题的关键．24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点()0,3C -，其对称轴为1x =．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图（1），已知点D 为第二象限抛物线上一点，连接AC ，若90ABD BAC ∠+∠=︒，求点D 的坐标；（3）(),P m n 和Q 分别是直线y x =--24和抛物线上的动点，且点Q 的横坐标比点P 的横坐标大4个单位长度，分别过P ，Q 作坐标轴的平行线，得到矩形PMQN ．设该抛物线在矩形PMQN 内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为t ．①如图（2），当12m =-时，请直接写出的t 值；②请直接写出t 关于m 的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--（2）41339⎛⎫- ⎪⎝⎭， （3）①214②()22289 (489 (40)69 0188 (1)m m m m m m t m m m m m ⎧---<-⎪⎪++-<<=⎨++≤≤⎪⎪+>⎩【解析】【小问1详解】解：∵抛物线与y 轴交于点()0,3C -，其对称轴为1x =，∴123b c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为：223y x x =--；【小问2详解】解：设直线BD 与y 轴交于点E ，令0y =，则2230x x --=，解得：11x =-，23x =，又∵A 在B 的左侧，∴()10A -，，()30B ，，∵90ABD BAC ∠+∠=︒，90BAC ACO ∠+∠=︒，∴ACO ABD ∠=∠，又∵90AOD BOE ∠=∠=︒，3OC OB ==，∴AOC EOB ≌，∴1OE OA ==，∴点E 的坐标为()01，，设直线BD 的解析式为y ax k =+，把()01，和()30，代入得：130k a k =⎧⎨+=⎩，解得：131a k ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴113y x =-+，解方程组211323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩得43139x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或30x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴点D 的坐标为41339⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 【小问3详解】解：①当12m =-时，点P 的坐标为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，这时点Q 横坐标为17422-+=，又∵点Q 在抛物线223y x x =--上，∴点Q 的坐标为7924⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴()921344t =--=；的②()222314y x x x =--=--，∴抛物线的顶点坐标为()14-，，当1m >时，如图，()()()2242432388t m m m m m =+-+----=+；当01m ≤≤时，如图，()()()224243469t m m m m =+-+---=++；P Q y y =时，()()2244243m m m --=+-+-，解得：4m =-+或4m =--（舍），当40m -<<时，如图，()()()2242432489t m m m m m =+-+----=++；当4m <-+时，如图，()()()2224424389t m m m m m ⎡⎤=---+-+-=---⎣⎦；综上所述，t 关于m的函数关系式为()22289(489(40)t 690188(1)m m m m m m m m m m m ⎧---<-+⎪⎪++-+<<=⎨++≤≤⎪⎪+>⎩．【分析】（1）运用待定系数法求解析式即可；（2）设直线BD 与y 轴交于点E ，可得AOC EOB ≌，然后求出直线BD 的解析式，联立解方程即可；（3）①把m 的值代入计算解题即可；②分情况画出图形，根据图形写出函数关系式即可．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，平移和全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想、分类讨论的数学思想是解题的关键．。
2021-2022学年湖北省武汉市某校九年级(上)期中数学试卷祥细答案与解析
2021-2022学年湖北省武汉市某校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.2. 将方程3x2+1=6x化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为3，则一次项系数、常数项分别是（）A.−6、1B.6、1C.6、−1D.−6、−13. 一元二次方程x2−2x+3=0的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.有两个实数根4. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（）A.x2+x+1＝91B.(x+1)2＝91C.x2+x＝91D.x2+1＝915. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100∘，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠ADE的大小为（）A.60∘B.50∘C.45∘D.40∘6. 抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是（）A.先向左平移6个单位，再向上平移3个单位B.先向左平移6个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移6个单位，再向上平移3个单位D.先向右平移6个单位，再向下平移3个单位7. 已知点A(3, y1)、B(−2, y2)、C(2, y3)在二次函数y＝x2−2x+b的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A.y1<y3<y2B.y2<y1<y3C.y3<y2<y1D.y3<y1<y28. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（）A.1mB.2mC.mD.m9. 已知二次函数y＝x2−2bx+5（b为常数），当x≥−1时，y的最小值为1，则b的值为（）A. B.2或−2 C.2或−2或 D.2或10. 如图，四边形ABCD中，BD是对角线，AB＝BC，∠ABC＝60∘，CD＝4，∠ADC＝60∘，则△BCD的面积为（）A.4B.8C.2+4D.二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）如果x＝2是方程x2−c＝0的一个根，这个方程的另一个根为________．在直角坐标系中，点(−4, 1)关于原点对称的点的坐标是________．已知一元二次方程x2−6x−15＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝________．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x2+23x+53．则他将铅球推出的距离是10m．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点在点(−1, 0)，(0, 0)之间，下列结论正确的是________（填写序号）．①abc>0；②a−b+c<0；③a+b≥m(am+b)（m是一个常数）；④若方程ax2+bx+c＝mx−2m（m是一个常数）的根为x1，x2，则(x1−2)(x2−2)<0．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90∘，AB＝AC＝2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC＝90∘，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为________．三、解答题（共8小题，共72分）解方程：x2−3x−1＝0．新铺村种的水稻2018年平均亩产300kg，2020年平均亩产363kg，求水稻亩产量的年平均增长率．在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为y＝x2−4x+3．（1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象：（2）当x满足________时，函数值大于0；（3）当1<x<4时，y的取值范围是________．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，平行四边形ABCD的顶点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90∘，画出对应线段AE；（2）过点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；（3）过点D画格点线段DP，使得DP⊥BC于点M，垂足为M；（4）过点M画线段MN，使得MN // AB，MN＝AB．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝α∘，∠ABC+∠ADC＝180∘，AC、BD交于点E．将△CBA绕点C顺时针旋转α∘得到△CDF．（1）画出旋转之后的图形；（2）求证：∠CAB＝∠CAD；（3）若∠ABD＝90∘，AB＝3，BD＝4，△BCE的面积为S1，△CDE的面积为S2，求S1:S2的值．某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝20时，y＝1000，当x＝25时，y＝950．（1）求出y与x的函数关系式；（2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润；（3）如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不超过20000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（1）如图1，在△ABC和△ADE中，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC．求证：△ABD≅△ACE；（2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC，∠ADB＝90∘，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点；（3）如图3，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120∘，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB＝120∘，AP＝2，BP＝4，请直接写出CP的长．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）若A(−1, 0)，B(3, 0)，C(0, −3)．①求抛物线的解析式；②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；（2）若直线y＝bx+t(t>c)与抛物线交于点M、点N（点M在对称轴左侧）．直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D．试说明点C是线段DE的中点．参考答案与试题解析2021-2022学年湖北省武汉市某校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.【答案】C【考点】中心对称图形【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】一元二次方程的一般形式一元二次方程的定义【解析】首先移项把6x移到等号左边，然后再确定一次项系数和常数项．【解答】解：3x2+1=6x，3x2−6x+1=0，一次项系数是−6、常数项是1，故选：A．3.【答案】A【考点】根的判别式【解析】根据根的判别式△=b2−4ac的符号来判定一元二次方程x2−2x+3=0的根的情况．【解答】解：∵一元二次方程x2−2x+3=0的二次项系数a=1，一次项系数b=−2，常数项c=3，∴△=b2−4ac=4−12=−8<0，∴原方程无实数根．故选A．4.【答案】A【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】D【考点】旋转的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】二次函数图象与几何变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】B【考点】二次函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】D【考点】二次函数的性质二次函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】A【考点】等边三角形的性质勾股定理全等三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）【答案】x＝−2【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】(4, −1)【考点】关于原点对称的点的坐标【解析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点(−4, 1)关于原点对称的点的坐标是(4, −1)，故答案为：(4, −1)．【答案】6【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】当y＝0时，−112x2+23x+53=0，解之得x1＝10，x2＝−2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．【考点】二次函数的应用【解析】成绩就是当高度y＝0时x的值，所以解方程可求解．【解答】当y＝0时，−112x2+23x+53=0，解之得x1＝10，x2＝−2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．【答案】②③④【考点】抛物线与x轴的交点根与系数的关系二次函数图象与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】-【考点】等腰直角三角形垂线段最短勾股定理平行四边形的性质平行线之间的距离【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（共8小题，共72分）【答案】∵ a ＝1，b ＝−3，c ＝−1，∴ b 2−4ac ＝(−3)2−4×1×(−1)＝13，∴ x 1=3+√132，x 2=3−√132．【考点】解一元二次方程-公式法【解析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a ，b ，c 的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．【解答】∵ a ＝1，b ＝−3，c ＝−1，∴ b 2−4ac ＝(−3)2−4×1×(−1)＝13，∴ x 1=3+√132，x 2=3−√132．【答案】水稻亩产量的年平均增长率为10%【考点】一元二次方程的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】3,0,−1,0,3x <1或x >3−1≤y <3【考点】二次函数的性质抛物线与x 轴的交点二次函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】如图，线段AE 即为所求．如图，直线OE 即为所求．如图，线段DP 即为所求．如图，线段MN即为所求．【考点】作图-旋转变换平行四边形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】如图△CDF即为旋转之后的图形；证明：由旋转旋转可知：△CAB≅△CFD，∴∠CDF＝∠CBA，∠F＝∠CAB，∵∠CBA+∠CDA＝180∘，∴∠CDF+∠CDA＝180∘，∴A、D、F三点共线，∵AC＝CF，∴∠F＝∠CAD，∴∠CAB＝∠CAD；过点E作EM⊥AF于点M，过点C作CN⊥BD于点N，∴∠ABE＝∠AME＝90∘，在△ABE和△AME中，，∴△ABE≅△AME(AAS)，∴AM＝AB＝3，BE＝ME，∵∠ABD＝90∘，AB＝3，∴AD＝＝5∴DM＝3，设BE＝EM＝x∴x2+26＝(4−x)2，解得x＝2.5，∴BE＝1.7，DE＝2.5，∴S3:S2＝BE⋅CN：．【考点】作图-旋转变换角平分线的性质全等三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，将当x＝20时，y＝1000，y＝950代入得：，，y＝−10x+1200．设销售利润为W元W＝(x−40)(−10x+1200)＝−10x2+1600x−48000＝−10(x−80)2+16000∵a＝−10<3，抛物线开口向下，∴当x＝80时，W max＝16000，答：销商店销售该商品每天获得的最大利润是16000元．当W＝13750时，−10(x−80)2+16000＝13750，解得：x1＝65，x8＝95，∵a＝−10<0，抛物线开口向下，∴W≥13750时解集为：65≤x≤95，由每天的总成本不超过20000元，得40(−10x+1200)≤20000，解得：x≥70，∴70≤x≤95，答：销售单价应该控制在70元至95元之间．【考点】二次函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：∵∠DAE＝∠DAB+∠BAE，∠BAC＝∠EAC+∠BAE，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≅△ACE(SAS)；证明：连接AF，如图2所示：∵∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，∴＝，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴A、D、B、F四点共圆，∴∠BFA＝180∘−∠ADB＝180∘−90∘＝90∘，∴AF⊥BC，∵AB＝AC，∴BF＝CF，∴点F是BC中点；分两种情况：①点P在△ABC内部时，作AM＝AP，连接MP，作AN⊥MP于N则∠APM＝∠AMP＝(180∘−120∘)＝30∘，∴AN＝AP＝7AN＝，∴MP＝2PN＝2，∵∠APB＝120∘，∴∠BPM＝120∘−30∘＝90∘，同（1）得：△ABM≅△ACP(SAS)，∴BM＝CP，在Rt△BMP中，由勾股定理得：BM＝＝，∴CP＝BM＝2；②点P在△ABC外部时，作AM＝AP，连接MP，作ME⊥BP于E由①得：∠APM＝30∘，MP＝2，∵∠APB＝120∘，∴∠EPM＝180∘−30∘−120∘＝30∘，∵ME⊥BP，∴EM＝MP＝EM＝3，∴BE＝BP+PE＝7，∴BM＝＝＝3，同（1）得：△ABM≅△ACP(SAS)，∴BM＝CP，∴CP＝BM＝2．【考点】三角形综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】①将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，故抛物线的表达式为y＝x8−2x−3；②当点P在CQ的右边时，设点P(m，如图，∵∠QPS+∠CPO＝90∘，∠SQP+∠QPS＝90∘，∴∠SQP＝∠CPO，∵∠QSP＝∠POC＝90∘，PQ＝PC，∴△PQS≅△CPO(AAS)，∴SQ＝OP＝m，SP＝OC＝6，∴SO＝3−m，则点Q(m−3，将点Q的坐标代入抛物线表达式得：m＝(m−2)2−2(m−7)−3，解得m＝，故点P的坐标为（，2)或（．当点P在CQ的左侧时，同法可得Q(m+8，将点Q的坐标代入抛物线表达式得：−m＝(m+3)2−7(m+3)−3，解得m＝8或−5，∴P(0, 5)或(−5．综上所述，满足条件的点P的坐标为（，6)或(0, 0)．设点A、M、N的坐标分别为(p、(m7+bm+c)、(n2+bn+c)，由点A的坐标得：当x＝p时，y＝ax2+bx+c＝ap2+bp+c＝0，即c＝−ap2−bp，联立y＝ax2+bx+c和y＝bx+t并整理得：ax2+c−t＝0，则m+n＝6，设直线MN的表达式为y＝sx+q，则，解得，即直线MN表达式中的k值为am+an+b，同理直线AM表达式中的k值为am+ap+b，则直线AM的表达式为y＝(am+ap+b)(x−p)，令x＝8E＝−p(am+ap+b)，同理可得AN表达式为y＝(an+ap+b)(x−p)，令x＝0D＝−p(an+ap+b)，则(y D+y E)＝-p(am+an+5ap+2b)＝-2−bp＝c＝y C，故点C是线段DE的中点．【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
湖北省武汉市江汉区度第一学期中考试九年级数学试题含答案
江汉区第一学期中考试九年级数学试题（120分钟，120分+30分） 一、选择题：（每小题3分，共36分）1.如果a 为任意实数,下列根式一定有意义的是：(A)a (B)2a - (C)21a + (D)21a - 2.下列各式中属于最简二次根式的是（A ）22y x + （B ）x y x（C ）12 （D ）211 3. 下列方程属于一元二次方程的是 (A)230x x -+= (B)223x x-= (C)()()22233x x +=- (D)()()242x x x +-=4、下列图案中，不是．．中心对称图形的是 5. 用配方法解方程2870x x ++=,则配方正确的是：(A)()249x -= (B)()249x += (C)()2816x -= (D)()2857x += 6、如图，在⊙O 中，OE 为半径，点D 为OE 的中点，AB 是过点D 且垂直于OE 的弦，点C 是优弧ACB 上任意一点， 则∠ACB 度数是: A ．30° B. 50° C.60° D ．无法确定 7．下列计算正确的是(A)822-= (B)27129413-=-=(C)(25)(25)1-+= (D)62322-= 8.武汉市某中学标准化建设规划在校园内的一块长36米，宽20米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB 平行,另一条与AD 平行,其余部分种草（如图所示）,若使每一块草坪的面积都为96平方米.设人行道的宽为x 米,下列方程：①（36－2x ）（20－x ）=96×6； ②2×20x ＋（36－2x ）x=36×20－96×6； ③ （18－x ）（10－2x ）＝14×96×6， 其中正确的个数为（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个A B CDOED C BA9.如图是武汉某座天桥的设计图，设计数据如图所示， 桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为(A)13m (B)15m (C)20 m (D)26m10、下列各矩形中（做相同标记的两条线段相等），按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的图形有：A 1个B 2个C 3个D 4个11、如图,正方形ABCD 边长为4cm,以正方形的一边BC 为直径 在正方形ABCD 内作半圆，再过A 作半圆的切线，与半圆 相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积. (A)12 (B)24 (C)8 (D) 612.对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,下列说法:①若a+c=0,方程2ax bx c ++=有两个不等的实数根;②若方程20a x b x c ++=有两个不等的实数根,则方程02=++a bx cx 也一定有两个不等的实数根;③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根,则一定有10ac b ++=成立;④若m 是方程20a x b x c ++=的一个根,则一定有224(2)b ac am b -=+成立.其中正确地只有A.①②B. ②③C.③④D. ①④二、填空题（每小题3分，共12分） 13、已知32+是关于x 的一元二次方程042=+-m x x 的一个根，则m=14. 为提高学生美感，现行的彩印数学课本都是按以下设计的：宽与长之比等于长与长宽和之比，若整本书的周长为40cm ，则彩印数学课本的宽设计为 （精确到0.01 cm,参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈ 2.236）.15、观察下列各式的规律：①322322+=；②833833+=； ③15441544+=；……则第⑩等到式为____________________ 24m 2m10m FE O CDB A (11题图)16、如图, A 、B 为双曲线xky =（x ＞0）上两点，AC x ⊥轴于C ， BD y ⊥轴于D 交AC 于E ，若矩形OCED 面积为2且A D ∥OE ，则k = ．三、解答下列各题（共8道题，共72分） 17、解方程：（每小题 8分，共16分）(1).230x x --= (2).)3(2)3(2+=+x x18、计算（8分）：0)15(282218-+--19．（本题8分）已知：如图，AB ED ∥，点F ，点C 在AD 上，AB DE =，AF DC =．求证：BC EF =．20.（本题10分）水厂为了了解绿园小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭八月份的用水量，结果如下：（1）计算这10户家庭八月份的平均用水量；（2）由于小区居民增强了环保节水意识，九月和十月的用水量逐月下降．到十月份这10户家庭的用水量为100m 3，求这两个月用水量的平均下降率．(精确地千分位)月用水量(吨)10 13 15 17 19 户数2 23 2 1 OxyD CAB E Ａ ＢＣＦ ＥＤ21、（10分）如图，已知ABC △的顶点A B C ，，的坐标分别是A （-1，-1）B （-5，-4）C （-5，-1）． （1）、作出ABC △关于点P(0,-2)中心对称的图形111A B C △，并直接写出顶点A 1、B 1、C 1的坐标． （2）、将ABC △绕原点O 按顺时针方向旋转90°后得到△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2，并直接写出顶点A 2、B 2、C 2的坐标．(3)、将ABC △沿着射线BA 的方向平移10个单位，后得到△A 3B 333画出△A 3B 3C 3，并直接写出顶点A 3、B 3、C 3的坐标．22.（10分）某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27000元,此外还要购置喷灌设备,这项费用(元)与大棚面积(公顷)的平方成正比,比例系数为9000.每公顷大棚的年平均经济收益为75000元,这个 村一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益(扣除修建费用后)为60000元. (1).一年中这个村修建了多少公顷蔬菜大棚?(2).若要使收益达到最大,请问应修建多少公顷大棚?并说明理由.Y XO C B A23．（本题10分）已知：如图,Rt △ABC ，∠ACB=90°,点E 是边BC 上一点，过点E 作FE ⊥BC （垂足为E ）交AB 于点F ，且EF=AF ，以点E 为圆心，EC 长为半径作⊙E 交BC 于点D （1）、求证:斜边AB 是⊙E 的切线；(2)、设若AB 与⊙E 相切的切点为G ， AC=8，EF=5，连DA 、DG，求S △ADG ；四、选做题（每题 15分共30 分） 24、（15分）已知，如图：正方形ABCD ，将Rt △EFG 斜边EG 的中点与点A 重合，直角顶点F 落在正方形的AB 边上，Rt △EFG 的两直角边分别交AB 、AD 边于P 、Q 两点，（点P 与点F 重合），如图1所示：（1），求证：EP 2+GQ 2=PQ 2（2）、若将Rt △EFG 绕着点A 逆时针旋转α（0°＜α≤90°），两直角边分别交AB 、AD边于P 、Q 两点，如图2所示：判断四条线段EP 、PF 、FQ 、QG 之间是否存在什么确定的相等关系？若存在，证明你的结论。
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区部分学校九年级(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区部分学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.将一元二次方程3x2−1=2x化成一般形式后(二次项系数为正数)，二次项系数和一次项系数分别是()A. 3、−2B. 3、2C. 3、−1D. 3、12.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.抛物线y=2(x+3)2+5的顶点坐标是()A. (3,5)B. (−3,5)C. (3,−5)D. (−3,−5)4.用配方法解方程x2−4x−3=0.下列变形正确的是()A. (x−4)2=19B. (x−2)2=7C. (x−2)2=1D. (x+2)2=75.下列方程没有实数解的是()A. x2=0B. x2−2x+1=0C. x2−x−2021=0D. x2+x+1=06.要将抛物线y=2x2平移后得到抛物线y=2x2+4x+5，下列平移方法正确的是()A. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位B. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位C. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位7.有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为()A. 596B. 428C. 512D. 6048.下列多边形的所有顶点不一定在同一个圆上的是()A. 三角形B. 矩形C. 菱形D. 正方形9.如果m、n是一元二次方程x2+x=3的两个实数根，那么多项式m3+2n2−mn−6m+2021的值是()10.如图，∠MAN=60°，点B、C分别在AM、AN上，AB=AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD.下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDC≤12BD⋅DC；③若DB=m，DC=n，则S△ADB≤√34m2+12mn.其中错误的结论个数为()个．A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.点A(a,b)关于原点的对称点的坐标为______．12.解方程2(x−1)2=8，则方程的解是______．13.点P1(−1,y1)，P2(2,y2)，P3(5,y3)均在二次函数y=−x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______．14.已知AB是⊙O的弦，点C为⊙O上异于点A、B的一点，∠OAB=40°，则∠ACB=______．15.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c，下列结论中一定正确的是______.(填序号即可)①若抛物线与x轴有两个不同交点，则方程cx2+bx+a=0必有两个不等实数根；②若对任意实数t都有at2+bt≤a−b(a<0)，则b=2a；③若(am2+bm+c)(an2+bn+c)<0(m<n)，则方程ax2+bx+c=0有一个根α，且m<α<n；④若a2m2+bam+ac<0，则方程ax2+bx+c=0必有两个实数根．16.已知，⊙O的直径BC=2√2，点A为⊙O上一动点，AD、BD分别平分△ABC的外角，AD与⊙O交于点E.若将AO绕O点逆时针旋转270°，则点D所经历的路径长为______.(提示：在半径为R的圆中，n°圆心角所对弧长为nπR180)三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.解方程：x2−x−3=0．∠BOC，∠BAC=45°．18.如图：OA=OB=OC，∠AOB=13(1)求证：A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上；(2)求∠OAC的度数．19.在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为y=x2−2x−3．(1)完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；x…−10123…y…______ ______ ______ ______ ______ …(2)当x满足______时，函数值大于0；(3)当−2<x<2时，y的取值范围是______．20.如图，在边长为1的正方形网格中，点A、C为格点，点B在网格线上，以AB为直径作半圆，点D在半圆上，连接AC、BC.请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果)BC；(1)分别在AB、AC取点E、F，使EF//BC，EF=12(2)作△ABC的角平分线BM；(3)在△ABC的角平分线BM取一点N，使CN+DN最小．21.如图，P是圆上一动点，弦AB=√3cm，PC平分∠APB，C在圆上，∠BAC=30°．(1)当∠PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？(2)当PA的长为______，四边形PACB是梯形(一组对边平行，另一组对边不平行的四边形)(直接写答案)．22.水果店以一定的价格购进某种苹果若干千克，通过销售统计发现：这批苹果从开始销售至销售的第x天的总销量y(千克)与x的关系为二次函数，销售情况记录如表：(1)求y与x的函数关系式；(2)这批苹果多少天才能销售完；(3)水果店为了充实库存，在销售第6天后决定每天又购进20千克该品种苹果，试问再过多少天该品种苹果库存量为244千克？23.【问题背景】如图1，P为△ABC内一点，连PB、PC.则PC+PB<AB+AC．小明考虑到“三角形两边之和大于第三边”，延长BP交AC于E，就可以证明上面结论．请按小明的思路完成证明过程；【迁移应用】如图2，在△ABC中，∠BAC>120°，P为△ABC内一点，求证：PA+ PB+PC>AB+AC．【拓展创新】已知△ABC中，BC=a，AB=c，AC=b，a+b=4c，6a+3b=19c，P为△ABC 所在平面内一点，则PA+PB+PC的最小值为(用含c的式子表示)______.(直接写出结果)24.如图1，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点．且抛物线的对称轴为x=2，OC=3，S△ABC=3．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，过D(m,−2)作抛物线切线(不与y轴平行，且与抛物线有且仅有一个交点)DE：y=k1x+b1(切点为E)和DF：y=k2x+b2(F为切点)，求k1k2的值；(3)如图3，将抛物线向左平移两个单位后再沿y轴向下运动得抛物线C1，直线l3、l4分别与(2)中直线DE、DF平行，l3与C1交于E，F两点，l4与C1交于G，H两点，M，N分别为EF、GH的中点，求点O到直线MN的距离d的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵3x2−1=2x，∴3x2−2x−1=0，∴二次项系数和一次项系数分别是3和−2，故选：A．先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式项的系数时，带着前面的符号．2.【答案】B【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】B【解析】解：∵y=2(x+3)2+5，∴抛物线顶点坐标为(−3,5)，故选：B．ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．4.【答案】B【解析】解：∵x2−4x−3=0，∴x2−4x=3，则x2−4x+4=3+4，即(x−2)2=7，故选：B．移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．5.【答案】D【解析】解：A.方程x2=0解为x1=x2=0，故本选项不合题意；B.x2−2x+1=0，∵b2−4ac=(−2)2−4×1×1=0，∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不合题意；C.x2−x−2021=0，∵b2−4ac=(−1)2−4×1×(−2021)=8085>0，∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不合题意；D.x2+x+1=0，∵b2−4ac=12−4×1×1=−3<0，∴此方程无解，本选项符合题意．故选：D．逐项解方程或求出根的判别式，根据判别式的符号即可得到结论．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解决问题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵y=2x2+4x+5=2(x+1)2+3，∴该抛物线的顶点坐标是(−1,3)，∵抛物线y=2x2的顶点坐标是(0,0)，∴平移的方法可以是：将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位．故选：A．原抛物线顶点坐标为(0,0)，平移后抛物线顶点坐标为(−1,3)，由此确定平移规律．本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．7.【答案】C【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，由题意得：1+x+x(1+x)=64，解得x1=7，x2=−9，∵x>0，∴x2=−9，不合题意，舍去，∴x=7．则第三轮的感冒人数为：(7+1)3=512．故选：C．设第一个人传染了x人，根据两轮传染后共有64人患了感冒；列出方程，求解，然后求出三轮之后患感冒的人数．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解．8.【答案】C【解析】解：A.根据三点共圆可得三角形的三个顶点在同一个圆上，故选项不符合题意；B.∵矩形对角线相等且互相平分，∴四个顶点到对角线交点距离相等，∴矩形四个顶点定可在同一个圆上，故选项不符合题意；C.∵菱形对角线互相平分但不相等，∴菱形四个顶点定不一定在同一个圆上，故选项符合题意；D.∵正方形对角线相等且互相平分，∴四个顶点到对角线交点距离相等，∴正方形四个顶点定可在同一个圆上，故选项不符合题意；故选：C．根据三点共圆可得三角形的三个顶点在同一个圆上，由于矩形和正方形矩形对角线相等且互相平分，所以它们的四个顶点到对角线交点距离相等，故矩形和正方形的四个顶点定可在同一个圆上，菱形对角线互相平分但不相等，四个顶点到对角线交点距离不一定相等，因而选C．此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，圆的认识，能够理解四个顶点在同一个圆上的条件是解决本题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵m、n是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根，∴m2+m−3=0，n2+n−3=0，∴m2=−m+3，n2=−n+3，∴m3=m(−m+3)=−m2+3m=−(−m+3)+3m=4m−3，∴m3+2n2−mn−6m+2021=4m−3+2(−n+3)−mn−6m+2021=−2(m+n)−mn+2024，∵m、n是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根，∴m+n=−1，mn=−3，∴原式=−2×(−1)−(−3)+2024=2029．故选：D．先利用一元二次方程解的定义得到m2=−m+3，n2=−n+3，再用m表示出m3= 4m−3，则原式化简为−2(m+n)−mn+2024，接着利用根与系数的关系得到m+n=−1，mn=−3，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了一元二次方程的解．10.【答案】A【解析】解：①如图1，将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′，则△ABC′≌△ACD，∴AC′=AD，BC′=CD，∵∠DAC′=60°，∴△AC′D是等边三角形，∴C′D=AD，在△BC′D中，BC′+BD>C′D，∴CD+BD>AD，当∠ADC=60°，即∠AC′B=60°时，C′、B、D三点共线，∴CD+BD=AD，故①正确；②如图2，过点C作CH⊥BD于H，则∠BHC=90°，∴CH=CD⋅sin∠CDH，∴S△BDC=12BD⋅CH=12BD⋅CD⋅sin∠CDH，∵∠CDH≤90°，∴sin∠CDH≤1，∴S△BDC≤12BD⋅CD，故②正确；③如图3，把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK，由旋转得：BD=BK，∠DBK=60°，∴△BDK是等边三角形，∴S△BDK=√34m2，∵△ABK≌△BDC(根据旋转的性质)，∴S△ABK=S△BDC=12BD⋅CD⋅sin∠CDH≤12BD⋅CD，即S△ABK≤12mn，∴S△ABD≤S△ABK+S△BDK≤√34m2+12mn，故③正确；综上所述，正确的结论为3个，错误的结论为0个，故选：A．①如图1，将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′，可证得△AC′D是等边三角形，再运用三角形三边关系即可判断①正确；②如图2，过点C作CH⊥BD于H，则∠BHC=90°，根据S△BDC=12BD⋅CH=12BD⋅CD⋅sin∠CDH，即可判断②正确；③如图3，把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK，由旋转的性质可证得△BDK是等边三角形，S△BDK=√34m2，即可判断③正确．本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，三角形面积，解题关键是利用旋转变换构造全等三角形．11.【答案】(−a,−b)【解析】解：点A(a,b)关于原点的对称点的坐标为(−a,−b)．故答案为：(−a,−b)．根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，然后直接作答即可．本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．12.【答案】x1=3，x2=−1【解析】解：(x−1)2=4，x−1=±2，所以x1=3，x2=−1．故答案为x1=3，x2=−1．先把方程变形为(x−1)2=4，然后利用直接开平方法解方程．本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．13.【答案】y2>y1>y3=1，【解析】解：二次函数y=−x2+2x+c的对称轴为：x=−22×(−1)由对称性得，P1(−1,y1)关于对称轴对称的点Q的坐标为(3,y1)，∵a=−1<0，∴在对称轴的右侧，即x>1时，y随x的增大而减小，∵P2(2,y2)，P3(5,y3)，Q(3,y1)，∴y2>y1>y3，故答案为：y2>y1>y3．求出抛物线的对称轴，根据抛物线的增减性，可知在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，再利用对称性得出P1关于对称轴对称的点Q的坐标，再进行比较即可．考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解决问题的前提，求出对称轴是关键．14.【答案】50°【解析】解：∵OA=OB，∠OAB=40°，∴∠OAB=∠OBA=40°∴∠AOB=180°−40°−40°=100°，∠AOB=50°，∴∠ACB=12故答案为：50°．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AOB的度数，根据圆周角定理计算即可．本题考查的是圆周角定理和三角形内角和定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．15.【答案】①②③④．【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根，∴b2−4ac>0，∴cx2+bx+a=0有两个不相等的实数根，故①正确；②∵对任意实t都有at2+bt≤a−b(a<0)，∴at2+bt+c≤a−b+c，∴当x=−1时，函数有最大值，∴函数的对称轴为直线x=−1，∴−b=−1，2a∴b=2a，故②正确；③∵(am2+bm+c)(an2+bn+c)<0(m<n)，∴抛物线与x轴的一个交点的横坐标在m、n之间，∵方程ax2+bx+c=0有一个根α，∴函数图象与x轴的一个交点为(α,0)，∴m<α<n，故③正确；④∵a2m2+bam+ac<0，∴a(am2+bm+c)<0，∴当a>0时，am2+bm+c<0；当a<0时，am2+bm+c>0，∴方程ax2+bx+c=0必有两个实数根，故④正确；故答案为：①②③④．根据二次函数与方程的关系即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线与x轴的交点的特征即可判断③；根据题意，抛物线开口向上，则x=m时，y<0；当开口向下时，x=m时，y>0即可判断④．本题考查了二次函数图象和系数的关系，抛物线与x在的交点，根的判别式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．π16.【答案】32【解析】解：如图，设∠ACB=α，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠DEB=α，∠ABC=90°−α，∵AD、BD分别平分△ABC的外角，∴∠DAB=45°，∠ABD=45°+12α，∴∠EDB=180°−∠DAB−∠ABD=180°−45°−(45°+1 2α)=90°−12α，∴∠EBD=180°−∠DEB−∠EDB=180°−α−(90°−1 2α)=90°−12α，∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED，∵BE⏜=BE⏜，∴∠ECB=∠EAB=45°，∵∠AEB=90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴EB=EC，∴EB=EC=ED，∴点D在半径为2的⊙E上逆时针旋转135°，∴点D所经历的路径长为：135π⋅2180=32π，故答案为：32π．如图，设∠ACB=α，由BC是⊙O的直径，可得：∠BAC=90°，根据角平分线定义可得：∠DAB=45°，∠ABD=45°+12α，进而可得出：∠EDB=∠EBD=90°−12α，得出：EB=ED，再由等弧所对的圆周角相等，可得：∠ECB=∠EAB=45°，进而推出EB=EC=ED，可得点D在半径为2的⊙E上逆时针旋转135°，再利用弧长公式即可得出答案．本题考查了圆的性质，旋转变换的性质，角平分线定义，等腰直角三角形性质，弧长公式，点的运动轨迹等，解题关键是确定点D的运动轨迹为半径为2的⊙E上逆时针旋转135°的圆弧．17.【答案】解：x2−x−3=0，∵a=1，b=−1，c=−3，△=b2−4ac=(−1)2−4×1×(−3)=13>0，∴方程有两个不等的实数根，∴x=1±√132，则x1=1−√132，x2=1+√132．【解析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．此题考查了解一元二次方程−公式法，利用此方法解方程时首先将方程化为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，当b2−4ac≥0时，代入求根公式来求解．18.【答案】(1)证明：如图，∵OA=OB=OC，∴点O是△ABC的外接圆的圆心，∴A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上；(2)解：∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，∵∠AOB=13∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=12(180°−120°)=30°．【解析】(1)根据三角形外接圆的判定解决问题即可；(2)利用圆周角定理求出∠BOC=90°，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．本题考查的是圆周角定理和三角形内角和定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．19.【答案】0−3−4−30x<−1或x>3−3<y<5【解析】解：(1)∵y=x2−2x−3，∴当x=−1时，y=(−1)2−2×(−1)−3=1+2−3=0；当x=0时，y=−3；当x=1时，y=1−2−3=−4；当x=2时，y=4−4−3=−3；当x=3时，y=9−6−3=0．故答案为：0，−3，−4，−3，0；图象如图所示：(2)从图象看，当x满足x<−1或x>3时，函数值大于0，故答案为：x<−1或x>3；(3)∵y=x2−2x−3，当x=−2时，y=4+4−3=5，当x=2时，y=4−4−3=−3，结合函数图象当−2<x<2时，y的取值范围是−3<y<5，故答案为：−3<y<5．(1)求出表格数据，描点连线绘图即可；(2)观察函数图象即可求解；(3)根据函数解析式求出x=−2和x=2时y的值，再结合函数图象写出当−2<x<2时，y的取值范围．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，关键让学生熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．20.【答案】解：(1)如图1，①连接矩形AHCG的对角线GH，交AC于F，②格线ET与AB交于点E，③连接EF，则EF=12BC，证明：∵四边形AHCG是矩形，∴AF=CF=12AC，∵ET//BK，AT=TK，∴AEEB =ATTK=1，∴AE=EB，∴EF=12BC；(2)如图2，①延长EF，交半圆于I，②过B、I作射线BM，则BM平分∠ABC，证明：延长AI交BC于J，∵EF是△ABC的中位线，∴EF//BC，∴AIIJ =AEBE=1，∴AI=IJ，∵AB是⊙E的直径，∴∠AIB=90°，∴BJ=BA，∴BM平分∠ABC；(3)如图3，设AC与BM的交点是点Q，①连接JQ并延长交AB于P，②连接DP交BM于N，则点N就是求作的点，证明：∵BM垂直平分AJ，∴QJ=QA，BJ=BA，∴∠AJP=∠JAC，∠AJB=∠JAB，∵AJ=AJ，∴△AJC≌△JAP(ASA)，∴JC=AP，AC=JP，∴BC=BP，QC=QP，∴BM垂直平分CP，即C和P关于BM对称，∴CN+DN最小是DP．【解析】(1)矩形AHCG的对角线互相平分，得出AC中点，根据平行线分线段成比例得出AB的中点；(2)联想直径所对的圆周角是直角及(1)中EF//BC，结合等腰三角形的“三线合一“，只需得BM是等腰三角形的高即可；(3)只需找出点C关于BM的对称点即可，故根据等腰三角形的对称性，连接JQ并延长即可．本题考查了矩形性质，平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线性质，圆的有关性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是在前问的基础上层层递进思考．21.【答案】1或2【解析】解：(1)如图1中，连接OA，作直径CD，设CD交AB于点N．∵PC平分∠APB，∴∠APC=∠BPC，∴AC⏜=BC⏜，∴CD⊥AB，∴AN=BN=√32(cm)，∵∠AOC=2∠ABC，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴ON=ANtan60∘=12，OA=2ON=1(cm)，∴CD=2OA=2(cm)，观察图象可知，当点P与D重合时，四边形APBC的面积最大，此时∠PAC=90°，最大面积=12AB⋅CD=√3(cm2)；(2)如图2−1中，当PB是直径时，四边形PACB是梯形，此时AC//PB，PA=1．如图2−2中，当AP是直径时，四边形APBC是梯形，此时AP//BC，AP=2．综上所述，满足条件的AP 的值为1或2．故答案为：1或2．(1)如图1中，连接OA ，作直径CD ，设CD 交AB 于点N.证明△AOC 是等边三角形，求出OA ，观察图象可知，当点P 与D 重合时，四边形APBC 的面积最大；(2)分两种情形：如图2−1中，当PB 是直径时，四边形PACB 是梯形．如图2−2中，当AP 是直径时，四边形APBC 是梯形．本题考查垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)设y 与x 的函数关系式为y =ax 2+bx +c ，则{z +b +c =394a +2b +c =769a +3b +c =111，解得：{a =−1b =40c =0，∴y 与x 的函数关系式为y =−x 2+40x ；(2)由(1)得：y =−x 2+40x =−(x −20)2+400，∵−1<0，∴当x =20时，y 最大，最大值为400，答：这批苹果20天才能销售完；(3)设再过m 天库存量为216千克，由(2)知：库存原量为400千克，(m +6)天后原本库存剩余量为：400−[−(m +6)2+40(m +6)]，m 天内再次购买的总量为20m ，∵两部分的总量为244千克，∴400+(m+6)2−40(m+6)+20m=244，整理得：m2−8m−48=0，解得：m=12或m=−4(舍去)．答：再过12天该品种苹果库存量为244千克．【解析】(1)设出二次函数解析式的一般形式，由待定系数法求函数解析式即可；(2)根据函数的性质，当x=−b时，函数有最大值；2a(3)由(2)知，库存最大量为400千克，库存剩余量等于400−(m+6)天的销售量+m天购进总量，列出方程，解方程即可．本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是找出等量关写出函数解析式，根据题意求出最大值．23.【答案】5c2【解析】【问题背景】证明：如图1，延长BP交AC于点E，在△ABE中，AE+AB>BE=BP+PE，在△CPE中，PE+CE>PC，∴AB+AE+CE+PE>PB+PE+PC，∴AB+AC>PB+PC，即PC+PB<AB+AC；【迁移应用】证明：如图2，将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△DAQ，连接PQ，BD，PD，由旋转可得：△DAQ≌△CAP，∠CAD=∠PAQ=60°，∴AD=AC，AQ=AP，DQ=PC，∴△APQ是等边三角形，∴PQ=AP=AQ，∵∠BAC>120°，∴∠BAC+∠CAD>180°，∴由【问题背景】可知：在△BPD中，PB+PD>AB+AD，在△QPD中，PQ+QD>PD，∴PB+PQ+QD>AB+AD，∴PA+PB+PC>AB+AC；【拓展创新】解：由【问题背景】知，当P为△ABC所在平面内一点时，PA+PB≥AB，PB+PC≥BC，PA+PC≥AC，∴PA+PB+PC≥12(AB+AC+BC)，∵BC=a，AB=c，AC=b，a+b=4c，6a+3b=19c，∴PA+PB+PC最小值为12(a+b+c)=5c2，故答案为：5c2．【问题背景】在△ABE中和△CPE中，分别利用两边之和大于第三边即可证明；【迁移应用】将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△DAQ，连接PQ，BD，PD，可得△APQ 是等边三角形，则∠BAC+∠CAD>180°，则可证明；【拓展创新】由三角形三边关系可知：PA+PB+PC≥12(AB+AC+BC)，从而解决问题．本题主要考查了三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，熟练掌握三角形三边关系进行转化是解题的关键，有一定的难度．24.【答案】解：(1)∵S△aABC=3，OC=3，∴12⋅AB⋅DC=3，∴AB=2，∵对称轴为直线x=2，设A(a,0)，B(b,0)，∴b−2=2−a=1，解得a=1，b=3，∴A(1,0)，B(3,0)，设y =a(x −1)(x −3)过点(0,3)，∴3=3a ，解得a =1，∴y =x 2−4x +3．(2)将抛物线C ：y =(x −2)2−1向左平移2个单位，向上平移1个单位得y =x 2， 设点D(m,−2)向上平移后对应点为D 1(n,−1)，∴平移后的切线l 1为：y +1=k 1(x −n)，平移后的切线l 2为：y +1=k 2(x −n)， ∴{y +1=k 1(x −n)y =x 2， ∴x 2−k 1x +k 1n +1=0，∴Δ=k 12−4k 1n −4=0，同理可得，k 22−4k 2n −4=0，∵k 1≠k 2，∴k 1，k 2是k 2−4kn −4=0的两根，∴k 1k 2=−4．(3)∵DE//l 3，DF//l 4，∴l 3的解析式为：y =k 1x(k 1k 2=−4)，l 4的解析式为：y =−4k 1x ， ∴{y =x 2+m y =k 1x，即x 2−k 1x +m =0， ∴x E +x F =k 1，∵M 为EF 的中点，∴x M =x E +x F 2=k 12， ∴y M =k 122， ∴M(k 12,k 122)，∵{y =x 2+m y =−4k 1x，即x 2+4k 1x +m =0， ∵点N 是GF 的中点，∴x N =−2k 1，y N =8k 12， ∴N(−2k 1,8k 12)， 设MN 的解析式为：y =px +q ，∴{k 12p +q =k 122−2k 1p +q =8k 12，解得，{p =k 12−4k 1q =2，∴直线MN ：y =k 12−4k 1x +2，且该直线过定点(0,2)，∴d ≤2． ∴点O 到直线MN 的距离d 的最大值2．【解析】(1)由S △ABC =3，OC =3，及三角形面积公式可知，AB =2，因为对称轴为直线x =2，设A(a,0)，B(b,0)，则b −2=2−a =1，解得a =1，b =3，所以A(1,0)，B(3,0)，设y =a(x −1)(x −3)，过点(0,3)，所以3=3a ，解得a =1，则y =x 2−4x +3．(2)将抛物线C ：y =(x −2)2−1向左平移2个单位，向上平移1个单位得y =x 2，设点D(m,−2)向上平移后对应点为D 1(n,−1)，平移后的切线l 1为：y +1=k 1(x −n)，平移后的切线l 2为：y +1=k 2(x −n)，联立直线与抛物线解析式，根据相切可知Δ=0，由题意可知k 1，k 2是k 2−4kn −4=0的两根，由根与一元二次方程的关系可知，k 1k 2=−4．(3)因为DE//l 3，DF//l 4，所以l 3的解析式为：y =k 1x(k 1k 2=−4)，l 4的解析式为：y =−4k 1x ，联立直线与抛物线的解析式可得，x 2−k 1x +m =0，再由根与系数的关系及中点坐标公式可知，M(k 12,k 122)，N(−2k 1,8k 12)，设MN 的解析式为：y =px +q ，代入点M 和点N 的坐标，可求出p ，q ，所以直线MN ：y =k 12−4k 1x +2，该直线过定点(0,2)，所以d ≤2．本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求表达式，中点坐标公式，一次函数与二次函数的交点问题等知识点，知道平移前后与抛物线相切的两条直线的位置关系--平行是解题关键．。
精品解析：湖北省武汉市江汉区2019-2020学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
【详解】（1）令 ，得： .
解得： ， .
∴与 轴的交点为： ， .
（2） 或 ；
（3） .
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数图像与不等式之间的关系，解答的关键在于把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.
9.如图，点P为⊙O外一点，连结OP交⊙O于点Q，且PQ=OQ，经过点P的直线l1，l2，都与⊙O相交，则l1与l2所成的锐角°＜α＜45°C.0°＜α＜60°D.0°＜α＜90°
【答案】C
【解析】
【分析】
本题利用切线的性质和30度所对的直角边等于斜边的一半这两个定理解决即可.
由题意得：OA=5，OB=3，
由勾股定理可得：AB=
即a=4
【点睛】本题考查了圆的性质和勾股定理，其中根据题意画出图形确定相应线段的长是解答本题的关键.
13.抛物线 与 轴有公共点，则实数 的取值范围是______.
【答案】 且
【解析】
【分析】
根据二次函数图像与一元二次方程的关系，运用一元二次方程根的判别式即可完成解答.
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义．
2.将一元二次方程 化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）
A.3，-6B.3，6C.3，1D.
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
湖北省武汉市江汉区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
湖北省武汉市江汉区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列运动项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．在一元二次方程252x x -=中，二次项系数为1时，常数项是（）A ．5-B ．5C ．2D ．2-3．一元二次方程2340x x --=的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根4．如图，AB 是O 的直径，D ，C 是O 上的点，115ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数是（）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒5．若抛物线22y x x m =-++的顶点在x 轴上，则m 的值是（）A ．2B ．1C ．0D ．1-6．把抛物线22()1y x =-+先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的图像解析式是（）A ．2(5)1y x =--B ．2(1)1y x =+-C ．2(1)3y x =++D ．2(1)3y x =-+7．如图，在ABC 中，48ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△，若B 点的对应点B '恰好落在BC 边上，则CAC '∠的度数是（）A ．24︒B ．8．抛物线223y x x -=--A ．1x =B ．9．如图，四边形ABCD 是 则下列说法不正确的是（A ．AC 平分BAD∠B ．点A ，D ，E 在同一条直线上C ．若60BAD ∠=︒，则D ．若AD AB CD -=，则10．已知实数m ，n 满足(m A ．2B ．二、填空题11．点(1,4)M -关于原点对称的点的坐标是12．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为13．已知a ，b 是方程2x -14．如图所示的圆弧形拱门中，15．已知点(),m n 在抛物线只有一个公共点；②若抛物线与③当50m -≤≤时，n 的取值范围是2y ax c a =-+-上，当-（填序号）16．如图，已知O 上有三点则b =．三、解答题17．解方程：2430x x --=．四、问答题18．二次函数()214y a x =++的图象的一部分如图所示，图象与x 轴的一个交点为()4,0A -，根据图象解答下列问题：(1)求a 的值；(2)直接写出该抛物线与x 轴的另一交点B 的坐标；(3)直接写出不等式()2140a x ++>的解集．五、应用题19．九年级某班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的n 名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他n 名同学，这样全班43名同学恰好都接到了一次通知，求n 的值．20．如图，AB ，CD 是O 的两条弦，180AOB COD ∠+∠=︒．(1)如图（1），若60AOB ∠=︒，且1AB =，直接写出CD 的长度；(2)如图（2），设O 的半径为r ，猜想AB ，CD 和r 的数量关系，并证明你的结论．六、作图题21．如图，在由正方形组成的77⨯的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，A ，B ，C 三点均为格点，O 经过点C ，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)如图（1），若点O 是格点，作弦CD ，使CD AB ∥再作劣弧 CD 的中点E ；(2)如图（2），若点O 不在网格线上，先将AB 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段MN （点M 与点A 对应），MN 与O 交于点P ，再在AB 上画点Q ，使BQ NP =．七、应用题22．任意球直接得分是足球比赛的重要得分手段之一，已知足球球门的高度是2.43m ，某足球队员在球门正前方18m 的A 处练习踢任意球，防守队员组成的人墙站在离球门10m 的B 处，人墙的最大防守高度可以达2m ．把运行中的足球看作点，建立如图所示平面直角坐标系，发现运行过程中足球离地面的高度y （单位：m ）与足球离球门的水平距离x （单位：m ）满足函数关系式()26y a x h =-+．(1)若该队员踢出的任意球在运行过程中达到最大的高度为3m ，①求y 与x 的函数关系式；②足球能否越过人墙的防守最高点直接射进球门内？请说明理由；(2)若要确保踢出的任意球能直接射进球门内，请直接写出h 的取值范围．八、证明题23．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点．(1)如图（1），将射线AE 绕点A 顺时针旋转90︒后交CB 的延长线于点F ，求四边形AFCE 的面积；(2)如图（2），若E 是CD 的中点，G 是BC 边上一点，将线段AG 绕点G 顺时针旋转90︒后得到线段HG ，点H 恰好落在射线AE 上，求证：2CG BG =；(3)如图（3），若3DE CE =，点M 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且135BME ∠=︒，请直接写出AM 的长度．九、计算题(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图（1），已知点D 为第二象限抛物线上一点，连接AC ，若ABD BAC ∠+∠求点D 的坐标；(3)(),P m n 和Q 分别是直线y x =--24和抛物线上的动点，且点Q 的横坐标比点坐标大4个单位长度，分别过P ，Q 作坐标轴的平行线，得到矩形PMQN ．设该抛物线在矩形PMQN 内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为t ．①如图（2），当12m =-时，请直接写出的t 值；②请直接写出t 关于m 的函数关系式．。