最大李指数计算方法
提取地震数据最大李指数的快速方法
１２ ０
内 蒙古 石 油化 工
２０ 年第李 指 数 的 快 速 方 法
钟 勇
（ 成都理工 大学 ， 四川 成都 ６０ ５ ） １ ０ ９
摘
要 ： 震数 据 最 大Ｌ ａ ｕ ｏ 地 ｙｐ ｎ ｖ指 数是 油 气储 集层 非线性 研 究 的重 要特 征 量 。 本文 采 用基 于ｃ—ｃ
法计 算相 空 间重 构 参数 的最 ：Ｌ ａ ｕ ｏ ￣ ｙ ｐ ｎ ｖ指 数 快 速计 算方 法 。 此方 法 计算 最 ￣ Ｌ ａ ｕ ｏ ： ｙ ｐ ｎ ｖ指 数 速度 较快 、
计 算 量 小 、 易实现 。克服 时 间延 迟 和嵌 入 维数 需 多次 计算 和确 定 的 缺 陷 。 容 关键词 ： 大Ｌ ａｕｏ 最 ｙ ｐ ｎ ｖ指数 ； Ｃ—Ｃ算 法 ； 混沌 时间序 列 ； 震数 据 地
延迟 ｒ与 嵌 入 维 数 ｍ 是互 不相 关 的 ， 求 延 迟 的 自 如 相 关法 、 信 息法 ， 互 求嵌 入 维 数 的 Ｇ—Ｐ算 法或 Ｆ ＮＮ （ａｓ ｅｒｓ ｅｇ ｂ ｒ ） 等 。 另一 种观 点 认 为两 ｆｌｅｎ ａ ｅｔｎ ｉｈ ｏ ｓ 法
者是 相 关 的 ， 嵌 入 窗 法 、 如 Ｃ—Ｃ方 法 。１ ９ ９ ９年 ， Ｈ．
来 描 述 非线 性 时 间序 列 的 相 关 性 ， 由统 计 量 并 Ｓ ， ，，） 找 时 间 延迟和 嵌 入维 数 。 Ｎ ，ｆ寻 ． 时间序 列 ｛ ） ， １ ２ … … ， ， 为 ｔ 不 相 一 ， ， Ⅳ 分 个 交 的 时间 序列 ， 于 一般 的 自然 数ｔ ， 对 有 Ｎ＝ｔ， ｌ长度 ｚ
嵌入 时 间序 列 的关 联 积分 定 义 为
ｃ（ ， ，＇） Ｍ Ⅳ ｒｆ＝ （ ｍ－ １ １ ） （—ｄ ｒ ｏ ｒ ＞ （） ２
指数 计算公式
指数计算公式指数计算是数学中的一种重要的运算方式，它可以用来表示一个数的乘方。
指数计算的公式是指数运算的核心，通过指数计算可以实现对数学问题的求解。
我们来了解一下指数的基本概念。
指数是数学中一个非常重要的概念，它表示一个数被乘以自身多少次。
在指数运算中，底数表示被乘的数，指数表示乘的次数，而指数计算就是根据底数和指数计算出乘方的结果。
指数计算的公式为a的n次方等于a相乘n次，其中a为底数，n 为指数。
例如，2的3次方等于2乘以2乘以2，即8。
这个公式可以用来计算任何数字的乘方。
指数计算有许多重要的性质和规则，下面我们来介绍一些常见的规则。
1.指数相乘：当两个数的底数相同时，它们的指数相乘等于底数不变，指数相加。
例如，2的3次方乘以2的2次方等于2的（3+2）次方，即2的5次方。
2.指数相除：当两个数的底数相同时，它们的指数相除等于底数不变，指数相减。
例如，2的5次方除以2的3次方等于2的（5-3）次方，即2的2次方。
3.指数为0：任何数的0次方等于1。
例如，2的0次方等于1。
4.指数为1：任何数的1次方等于它本身。
例如，2的1次方等于2。
5.指数为负数：一个数的负指数等于其倒数的正指数。
例如，2的-3次方等于1除以2的3次方，即1/8。
指数计算在数学中有着广泛的应用，它可以用来解决各种实际问题。
例如，在金融领域中，指数计算可以用来计算复利问题，帮助人们理解和计算投资的收益和成本。
在物理学中，指数计算可以用来描述指数函数，例如指数增长和指数衰减的过程。
指数计算还可以应用于解决各种数学问题。
例如，通过指数计算可以求解方程、求解等比数列、计算复数的乘方等等。
指数计算可以简化计算过程，提高计算的效率。
指数计算是数学中的一种重要的运算方式，通过指数计算可以实现对数学问题的求解。
掌握指数计算的公式和规则，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
指数计算在实际生活和学习中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们解决问题，还可以提高计算的效率。
指数计算公式图文解释
指数计算公式图文解释在数学中，指数计算是一种常见的运算方式，它可以用来表示一个数的幂。
指数计算公式是指数运算的基本公式，它可以帮助我们快速计算出一个数的指数结果。
在本文中，我们将通过图文解释的方式来详细介绍指数计算公式的相关知识。
指数计算公式的基本形式如下：\[a^n = a \times a \times a \times ... \times a\]其中，\(a\) 为底数，\(n\) 为指数。
这个公式表示了底数 \(a\) 被乘以自身 \(n\) 次。
例如，\(2^3\) 表示 2 的 3 次方，即 \(2 \times 2 \times 2 = 8\)。
指数计算公式的图文解释如下：首先，我们来看一个简单的例子，\(2^3\)。
我们可以通过图示的方式来解释这个指数计算公式。
首先，我们画一个底数为2 的正方形，然后在正方形的边上标出3 个相同的边长。
这样，我们就得到了一个边长为 2 的正方形，并且它被分成了 3 个相同的部分。
接下来，我们可以看到，这个正方形可以被分成 3 个相同的小正方形，每个小正方形的边长都是 2。
这就表示了指数计算公式中的 \(2 \times 2 \times 2\)。
也就是说，底数 2 被乘以自身 3 次。
通过这个图示，我们可以清晰地看到指数计算公式的含义，即底数被乘以自身指数次。
这种图文解释的方式可以帮助我们更直观地理解指数计算的过程。
除了简单的例子外，指数计算公式还可以应用到更复杂的情况中。
例如，\(3^4\)。
同样地，我们可以通过图示的方式来解释这个指数计算公式。
首先，我们画一个底数为 3 的正方形，然后在正方形的边上标出 4 个相同的边长。
这样，我们就得到了一个边长为 3 的正方形，并且它被分成了 4 个相同的部分。
接下来，我们可以看到，这个正方形可以被分成 4 个相同的小正方形，每个小正方形的边长都是 3。
这就表示了指数计算公式中的\(3 \times 3 \times 3 \times 3\)。
大橘大利指标公式
大橘大利指标公式1.首先，计算每个交易周期（例如日线或周线）的比率。
比率通过将当前的收盘价与前一个交易周期的收盘价相除得到。
比率的计算如下：比率=当前收盘价/前一个交易周期的收盘价2.然后，计算每个交易周期中的波动率，波动率是每个交易周期中比率的标准差。
标准差计算公式如下：标准差=根号下（Σ（比率-平均比率）^2/n）其中，Σ表示求和符号，比率是每个交易周期的比率，平均比率是所有交易周期比率的平均值，n是交易周期的数量。
3.接下来，计算成交量的指数平均线。
指数平均线可用于横向查看成交量变化，它通过给予近期成交量更高的权重，来反映市场的力量。
指数平均线的计算公式如下：指数平均线=2/(n+1)*当前成交量+(1-2/(n+1))*前一个交易周期的指数平均线其中，n是指数平均线的周期，默认为94.最后，将波动率和指数平均线综合起来，计算大橘大利指标。
大橘大利指标的计算公式如下：大橘大利=波动率/指数平均线根据大橘大利指标的数值，可以判断市场的买入和卖出信号。
当大橘大利指标的数值连续下降并且跌破一些设定的阈值时，表明市场处于超卖状态，可能是买入机会；相反，当大橘大利指标的数值连续上升并且超过一些设定的阈值时，表明市场处于超买状态，可能是卖出机会。
需要注意的是，大橘大利指标并不是一个单独应用的指标，而是可以结合其他技术分析指标一起使用，以增加判断的准确性。
此外，不同市场和交易品种的参数设置也可能不同，需要根据具体情况进行调整。
总结起来，大橘大利指标是一种通过比较价格波动和成交量变化来判断市场趋势和力量的技术分析指标。
它的计算方法包括比率、波动率、指数平均线等步骤，可以用于判断市场的买入和卖出信号。
然而，该指标的使用还需要结合其他指标和适当的参数设置，以增加判断的准确性。
指数计算公式图文并茂
指数计算公式图文并茂指数计算是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
指数计算公式是指数运算的数学表达式，它能够帮助我们快速准确地计算指数的值。
本文将通过图文并茂的方式，介绍指数计算公式的相关知识，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、指数的概念。
在介绍指数计算公式之前，我们首先需要了解指数的概念。
指数是数学中的一个重要概念，它表示一个数的乘方运算。
例如，2的3次方就是2的指数为3，即2^3=8。
在这个例子中，2是底数，3是指数，8是乘方的结果。
指数运算可以帮助我们快速计算大数的乘方结果，是数学中非常常用的运算方法。
二、指数计算公式。
指数计算公式是用来表示指数运算的数学表达式。
在指数计算中，我们通常会用到以下几种常见的指数计算公式：1. 指数的加法，当底数相同时，指数相加。
即a^m a^n = a^(m+n)。
这个公式表示了相同底数的指数相加的运算规律，可以帮助我们简化指数运算。
2. 指数的减法，当底数相同时，指数相减。
即a^m / a^n = a^(m-n)。
这个公式表示了相同底数的指数相减的运算规律，也是指数运算中常用的公式之一。
3. 指数的乘法，不同底数的指数相乘。
即a^m b^n = (ab)^(m+n)。
这个公式表示了不同底数的指数相乘的运算规律，可以帮助我们简化复杂的指数运算。
4. 指数的除法，不同底数的指数相除。
即a^m / b^n = (a/b)^(m-n)。
这个公式表示了不同底数的指数相除的运算规律，也是指数运算中常用的公式之一。
以上这些指数计算公式可以帮助我们快速准确地进行指数运算，是数学中非常重要的工具。
三、指数计算公式的应用。
指数计算公式在数学中有着广泛的应用，特别是在代数、几何和物理等领域。
以下是一些指数计算公式的应用实例：1. 代数中的指数计算，在代数中，我们经常会遇到各种复杂的指数运算，通过指数计算公式可以帮助我们简化计算，提高计算效率。
2. 几何中的指数计算，在几何中，指数运算常常用于计算面积、体积等问题，通过指数计算公式可以快速求解各种几何问题。
指数 计算公式
指数计算公式指数计算是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
指数计算公式可以用来求解各种复杂的问题，包括金融、物理、统计等领域。
本文将介绍指数计算的基本概念和常见的应用，帮助读者更好地理解和应用指数计算。
一、指数计算的基本概念指数计算是一种表示重复乘法的数学运算。
指数表示一个数要重复乘以自身多少次。
常见的指数计算公式为a^n，其中a是底数，n是指数。
指数n表示底数a需要重复乘以自身n次。
例如，2^3表示2需要重复乘以自身3次，即2×2×2=8。
同样地，3^4表示3需要重复乘以自身4次，即3×3×3×3=81。
指数计算可以简化复杂的乘法运算，提高计算效率。
二、指数计算的应用领域1. 数学领域：指数计算在数学中有广泛的应用，例如计算幂函数、指数函数和对数函数等。
指数计算还可以用来解决各种数学问题，如求解方程、解析几何等。
2. 金融领域：指数计算在金融领域中有重要的应用。
例如，利用指数计算可以计算股票指数的涨跌幅，评估投资组合的回报率等。
指数计算还可以用来计算复利和折现等金融问题。
3. 物理领域：指数计算在物理中起着重要的作用。
例如，指数计算可以用来计算物体的增长速度、衰减速度等。
指数计算还可以用来解决复杂的运动学和动力学问题。
4. 统计领域：指数计算在统计学中也有广泛的应用。
例如，指数计算可以用来计算平均数、标准差、方差等统计量。
指数计算还可以用来解决概率和分布等统计问题。
三、指数计算的例子1. 计算股票指数的涨跌幅：假设某只股票的初始价格为100元，经过一天的交易后上涨了5%，则股票的价格变为100×(1+0.05)=105元。
同样地，经过两天的交易后上涨了3%，则股票的价格变为105×(1+0.03)=108.15元。
通过指数计算，可以方便地计算出股票指数的涨跌幅。
2. 计算复利：假设某笔投资的年利率为5%，按照复利计算，每年的本金和利息都会作为下一年的本金。
李雅普诺夫指数
1.此指数的定义 2.此指数的划分意义 3.此指数用在混沌中，如何应用 4.此指数在其他方面的应用 5.此指数的几种计算方法
一李雅普诺夫指数的定义
李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近 的两条轨线随着时间的推移，按指数分离 或聚合的平均变化速率。最大李雅普诺夫 指数定义为 其中，表示时刻最邻近两点间的距离；M 为计算总步数。
在计算Lyapunov指数值的基础上,弄清楚 Lyapunov指数与时间序列结构在较短的时 间范围内稳定的前提条件下,建立 Lyapunov指数一维、二维及三维相空间的 预测模式,综合考虑各种模式的预测结果, 并对相空间模式的预测误差进行估计,最后 作出要素的气候预测。]
2.基于Lyapunov指数谱和Lyapunov指数 谱熵的航空发动机状态识别和故障诊断新 方法。 基于实测的某型航空发动机振动时间序列 求解了系统不同工作状态和故障状态的 Lyapunov指数谱;
3.还可以用在判断混沌神经网络 4.用于围岩系统的载荷演化 还有许多方面的应用
五计算此指数的几种方法
用Logistic映射产生的模拟时间序列数据， 采用两种从实验数据时间序列恢复动力学 的方法，计算混沌吸引子的Lyapunov指数。
一种方法是S.J.Chang和J.Wright提出的混 合嫡法〔8一〕，这种方法特别适合一维 的实验系统。另一种方法是A.wolf提出的 重构吸引子法，在原则上可以计算系统 的全部正Lyapunov指数谱。
三此指数在混沌系统中的应用
混沌运动的基本特点是运动状态对初始条 件的高度敏感性。两个极为靠近的初值所 产生的轨道,随时间推移按指数形式分 离,Lyapunov指数是定量描述这一现象的 量。
对所讨论的Duffing振子,若它的Lyapunov 指数均小于零,则系统处于周期状态:若存 在一个Lyapunov特性指数大于零,就说明 系统是处于混沌状态。这种判别方法计算 简单,物理意义明确,误差小 。
求最大李雅普诺夫指数的matlab程序
程序一functi on dx=Lorenz(t,x);dx(1,1)=10*(x(2)-x(1));dx(2,1)=x(1)*(30-x(3))-x(2);dx(3,1)=x(1)*x(2)-8/3*x(3);dx(4,1)=0;dx(5,1)=0;dx(6,1)=0;functi on lambda_1=lyapun ov_wo lf1(data,N,m,tau,P)% 该函数用来计算时间序列的最大Ly apuno v 指数--Wolf 方法% m:嵌入维数% tau:时间延迟% data:时间序列% N:时间序列长度% P:时间序列的平均周期,选择演化相点距当前点的位置差，即若当前相点为I，则演化相点只能在|I－J|>P的相点中搜寻% lambda_1:返回最大ly apuno v指数值%**************************************************************************% ode计算整数阶系统的时间序列%******************************************************************delt_t1 = 0.001;t1 = 0:delt_t1:60;[tt1,y1]=ode45(@lorenz,t1,[-1,0,1]);xx1 = y1(:,1)';x1 = spline(tt1, xx1, t1);data= x1(20000:10:60000);%采样N=length(data);m=3;tau=11;%*****************************************************% FFT计算平均周期%**********************************************************x=data;xPower=abs(fft(x)).^2;NN=length(xPower);xPower(1)=[];%去除直流分量NN=floor(NN/2);xPower=xPower(1:NN);freq=(1:NN)/NN*0.5;[mP,index]=max(xPower);P=index;%*************************************************************min_po int=1 ; %&&要求最少搜索到的点数MAX_CI SHU=5 ; %&&最大增加搜索范围次数%FLYING HAWK% 求最大、最小和平均相点距离max_d= 0; %最大相点距离min_d= 1.0e+100; %最小相点距离avg_dd = 0;Y=recons titut ion(data,N,m,tau); %相空间重构M=N-(m-1)*tau; %重构相空间中相点的个数for i = 1 : (M-1)for j = i+1 : Md = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j));endd = sqrt(d);if max_d< dmax_d= d;endif min_d> dmin_d= d;endavg_dd = avg_dd + d;endendavg_d= 2*avg_dd/(M*(M-1)); %平均相点距离dlt_ep s = (avg_d- min_d) * 0.02 ; %若在min_eps～max_ep s中找不到演化相点时，对max_e ps的放宽幅度min_ep s = min_d+ dlt_ep s / 2 ; %演化相点与当前相点距离的最小限max_ep s = min_d+ 2 * dlt_ep s ; %&&演化相点与当前相点距离的最大限% 从P+1～M-1个相点中找与第一个相点最近的相点位置(Loc_DK)及其最短距离DK DK = 1.0e+100; %第i个相点到其最近距离点的距离Loc_DK = 2; %第i个相点对应的最近距离点的下标for i = (P+1):(M-1) %限制短暂分离，从点P+1开始搜索d = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,1))*(Y(k,i)-Y(k,1));endd = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_ep s)DK = d;Loc_DK = i;endend% 以下计算各相点对应的李氏数保存到lmd()数组中% i 为相点序号，从1到(M-1)，也是i-1点的演化点；Loc_DK为相点i-1对应最短距离的相点位置，DK为其对应的最短距离% Loc_DK+1为Loc_DK的演化点，DK1为i点到Loc_DK+1点的距离，称为演化距离% 前i个log2（DK1/DK）的累计和用于求i点的l ambda值sum_lm d = 0 ; % 存放前i个l og2（DK1/DK）的累计和for i = 2 : (M-1) % 计算演化距离DK1 = 0;for k = 1 : mDK1 = DK1 + (Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1))*(Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1));endDK1 = sqrt(DK1);old_Lo c_DK= Loc_DK ; % 保存原最近位置相点old_DK=DK;% 计算前i个l og2（DK1/DK）的累计和以及保存i点的李氏指数if (DK1 ~= 0)&( DK ~= 0)sum_lm d = sum_lm d + log(DK1/DK) /log(2);endlmd(i-1) = sum_lm d/(i-1);% 以下寻找i点的最短距离：要求距离在指定距离范围内尽量短，与DK1的角度最小 point_num = 0 ; % &&在指定距离范围内找到的候选相点的个数cos_si ta = 0 ; %&&夹角余弦的比较初值——要求一定是锐角zjfwcs=0 ;%&&增加范围次数while(point_num == 0)% * 搜索相点for j = 1 : (M-1)if abs(j-i) <=(P-1) %&&候选点距当前点太近，跳过！contin ue;end%*计算候选点与当前点的距离dnew = 0;for k = 1 : mdnew = dnew + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j));enddnew = sqrt(dnew);if (dnew < min_ep s)|( dnew > max_ep s ) %&&不在距离范围，跳过！contin ue;end%*计算夹角余弦及比较DOT = 0;for k = 1 : mDOT = DOT+(Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,old_Lo c_DK+1));endCTH = DOT/(dnew*DK1);if acos(CTH) > (3.14151926/4) %&&不是小于45度的角，跳过！ contin ue;endif CTH > cos_si ta %&&新夹角小于过去已找到的相点的夹角，保留 cos_si ta = CTH;Loc_DK = j;DK = dnew;endpoint_num = point_num +1;endif point_num <= min_po intmax_ep s = max_ep s + dlt_ep s;zjfwcs =zjfwcs +1;if zjfwcs > MAX_CI SHU %&&超过最大放宽次数，改找最近的点DK = 1.0e+100;for ii = 1 : (M-1)if abs(i-ii) <= (P-1) %&&候选点距当前点太近，跳过！ contin ue;endd = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,ii))*(Y(k,i)-Y(k,ii));endd = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_ep s)DK = d;Loc_DK = ii;endendbreak;endpoint_num = 0 ; %&&扩大距离范围后重新搜索cos_si ta = 0;endendend%取平均得到最大李雅普诺夫指数lambda_1=sum(lmd)/length(lmd)functi on X=recons titut ion(data,N,m,tau)%该函数用来重构相空间% m为嵌入空间维数% tau为时间延迟% data为输入时间序列% N为时间序列长度% X为输出,是m*n维矩阵M=N-(m-1)*tau;%相空间中点的个数for j=1:M %相空间重构for i=1:mX(i,j)=data((i-1)*tau+j);endend以上是计算最大李氏指数的程序，可以运行。
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物理学报ACTA PHYSICA SINICA2000 Vol.49 No.4 P.636-640一种最大李雅普诺夫指数估计的稳健算法杨绍清章新华赵长安最大李雅普诺夫指数是诊断和描述动态系统混沌的重要参数.在深入研究相空间重构技术和轨道跟踪法的基础上，提出了一种从标量混沌时间序列中估计最大李雅普诺夫指数的新算法.该算法能够克服现有算法的不足，主要有以下三个优点：1）很高的精度；2）几乎不受噪声的影响；3）所需的计算时间和存贮空间小, 能进行在线计算.PACC： 0545A ROBUST METHOD FOR ESTIMATING THE LARGESTLYAPUNOV EXPONENTYANG SHAO-QING(Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China)ZHANG XIN-HUA(Dalian Naval Academy,Dalian 116018,China)ZHAO CHANG-AN(Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China)ABSTRACTThe largest Lyapunov exponent is an important parameter of detecting and characterizing chaos produced from a dynamical system. In this paper, based on the technology of phase space reconstruction and the methods of trajectory tracing, a new algorithm is proposed for estimating the largest Lyapunov exponent from a scalar chaotic time series. This method, which can overcome the deficiencies of the existing methods, has three main advantages: (1) It has highly accurate results; (2) It is little affected by noise; (3) It only needs a little time of computation and small space of memory and can calculate the largest Lyapunov exponent on line.1 引言近几年来，混沌信号的诊断及其特性的描述已经广泛地应用于时间序列的分析中［1］.在诊断和描述混沌信号时，最大李雅普诺夫指数(λ1)不仅是一个很重要的不变量，而且是判断混沌存在的一个重要依据.因此，利用λ1去诊断和描述混沌仍然是一种主要方法.其他有些方法(如K-熵法等［2］)与这种方法没有本质的区别.目前估计λ1的方法主要有两种［3］：一种是分析法(analytic approach)，一种是轨道跟踪法(trajectory tracing method).前者是用一个函数（如局部多项式或神经网络等）来建立系统模型，然后估计系统的雅可比矩阵，进而求取λ1；后者是直接从λ1的定义出发跟踪系统的两条轨道，获取λ1.由于轨道跟踪法不像分析法那样易受系统拓扑结构的影响，因而受到许多学者的高度重视.自从1985年Wolf［4］提出轨道跟踪法以来，这种方法得到了较大的改进.最有代表性的是Rosenstein等［5］的工作,他们给出了一种比较优化的算法: 首先绘制<ln dk(j)> 相对j。
Δt的曲线，然后通过计算曲线中直线段的斜率来获得λ1.这里dk(j)是第k对最近邻沿各自的轨道经j步后的距离，<。
>表示对所有k的平均，而Δt为对时间序列的采样周期.这种算法由于充分地利用了能够利用的数据，并对它们进行了某种意义上的平均，因而结果比较稳定，但却大大地增加了计算量.总之，目前轨道跟踪法仍然存在以下三个问题：1）精度不高；2）受噪声影响大；3）计算量大、所需存贮空间大、收敛速度慢、很难应用.在应用轨道跟踪法时，首先要重构相空间.自从1981年Takens［6］提出了嵌入定理以来，相空间重构技术得到了很大的发展.但是仍然存在着计算复杂，整体性差等缺点.本文在Kugiumtzis等工作的基础上［7—15］，提出了一套简单易行的相空间重构方法，并针对轨道跟踪法的现有问题提出了一种新的计算λ1的方法.在仿真试验中, 本算法的计算结果表现出了很强的鲁棒性.本方法计算量小、所需存贮空间小、收敛速度较快、能实现对λ1的在线计算，因而是一种很实用的好方法.2 本文的改进算法本文算法的主要思想是：在计算最大李雅普诺夫指数时，不能忽视混沌吸引子中的收缩作用（the action of contraction）.但至今，混沌吸引子中的这一重要作用并没有得到高度的重视，因而也未能在现有的算法中体现出来.混沌吸引子是耗散系统的专有特征，是扩散（expansion）与收缩两种作用互相牵制的结果.为了维持混沌吸引子的存在，总的收缩率必然要超过总的扩散率.这样，即使在系统具有几个正的李雅普诺夫指数时，如果对整个李雅普诺夫指数谱进行求和，所得结果仍然是负值.因此，在运用轨道跟踪时，不能用对某一方向或所有方向上的李雅普诺夫指数进行平均的方法来求取λ1，而应该每次都在最大方向上估计λ1，然后再对所有估计值进行平均求取λ1.2.1 相空间重构重构的相空间是否贴近实际未知系统，对系统特性的进一步刻划具有较大影响.对于一N点标量时间序列{v(t+k。
Δt):k=0,1,…,N-1}, 可以用Takens嵌入定理去重构相空间R mX i =(x(ti), x(ti+p。
Δt),…,x(ti+(m-1)p。
Δt))i=1,2,3,…,Mx(tr )=v(t+(r-1)。
Δt) r=1,2,…,N.这里Xi是重构相空间R m中M点重构轨迹中的第i个点，而M=N-(m-1)p ，m是嵌入维，τ= p。
Δt是时间延迟, τw=(m-1)τ是时间窗，其中Δt为采样周期.可见，在重构相空间时只要选择m，τ和τw中的任意两个参数即可，另一个参数可由τw=(m-1)τ直接求得.研究中发现，可选择原始时间序列的平均峰值时间(mtbp)作为τw.另外，τw 的大小有一个范围，τw必须满足:τw min<τw<τw max，否则重构将会变坏，其中τw min 可用τw min=（12）1/2σ(x)/σ(dx/dt)来估计［8］，其中σ(。
)为均方差，对Lorenz-1（见表1）来说，τw min≈0.67 (N=4000时的结果).不难看出mtbp=4σ(x)/σ(dx/dt) ，因此mtbp是始终大于τw min的.对Lorenz-1 系统来说，本文选择τw=0.78，此结果与上述这些分析是完全一致的.在选择τw以后，还要对τ或m作出选择.由于τ的大小与信号自身的相关程度有关，相关程度越低，τ就应越小，因此对带有噪声的信号重构时，τ不能太大.另一方面，随着m的增大，τ也应减小［9—11］，当m足够大时，τ就可以选得很小.因此，本文选择最大的m而得到最小的τ，即τ=Δt，p=1.本文同时注意到Schouten等［12］在估计带有噪声的吸引子分形维时也采用了这种用法.综上所述，本文采用下列方法来重构相空间：1) 求取原始时间序列的mtbp，让τw =mtbp（可以让τw稍大于mtbp）.带有噪声的时间序列可经滤波后再求取mtbp;2）选择p=1，即τ=Δt;3） m=τw/τ+1.2.2 计算λ1假设重构轨迹中的第i个点Xi 的最近邻为Xip，即满足：‖Xip -Xi‖=minj‖Xj-Xi‖,‖。
‖为欧氏范数.在这里需要对两点的时间间隔作出规定，假设τw /Δt<|j-i|<Rτw/Δt，1<R<10.|j-i|>τw/Δt可以保证Xi 和Xip是在不同的轨道上.而|j-i|<Rτw/Δt可以保证一次计算λ1所需的点数很少，这样不仅节省了大量的计算时间，而且大大地减少了计算时所需的存贮空间.R可以选择为一个常数，用以避免最近邻之间的距离为零，不可太大和太小.R太小会使最近邻之间的距离受到噪声的影响很大，而R太大又会使两个最近邻完全失去相关性，同样可能会出现距离为零的情况.为了能在扩散的最大方向上计算λ1(i)，可用下式来求λ1(i):(1)这里需要附加两个条件由于时间相隔小于τw时的两点可以认为是在同一条轨道上，所以条件（i）保证了由最近邻演化后的两点仍然分别保持在各自的轨道上，其中a也为常数.然而虽然有了条件（i）的限制，但还不能保证Xip+jh X i+jh与Xip Xi的方向是基本一致的，用方向上相差比较大的Xip+jhXi+jh与XipXi来计算λ1(i)同样是没有意义的.条件（ii）就是为了防止在有较大扭曲的轨道中计算λ1(i)，m越大扭曲的程度越大，因而,限制的角度应相应增大,也即限制的条件应适当放松，但最大不能超过80°.条件（ii）使(1)式对λ1(i)的计算更加合理.由此可见，利用(1)式及其两个附加条件计算的λ1(i)真正代表了系统局部最大的李雅普诺夫指数，其中参数b与嵌入维m成正比,它们可以用一简单的线性关系来表示.最后，可得表1 本文算法的计算结果=-yx+28y=16.0(y-x) =xy-4.0z=x+0.15y=0.203仿真结果及分析3.1 实验概况为了证明算法的有效性，我们用四种著名的混沌系统来进行验证.计算结果呈现在表1和图1中.本文使用的原始时间序列是通过4阶Runge-Kutta法求解相应的微分方程获得的，其中Δt为采样周期.对每个系统来说,都是在吸引子的附近选择求解方程的初值，并抛弃所有过渡点.在各种情况下, 都是使用4000个点的x坐标作为原始的时间序列.而带有噪声的时间序列，则是由相应的原始时间序列叠加白噪声构成的.图1是在信噪比SNR=100情况下的λ(i)曲线，其中横坐标为i,纵坐标1(i)，该图展示了算法的收敛情况.为λ1图1 算法收敛图3.2 讨论的误差均在5.3%由表1可以看出，当SNR=100时，本算法求得的λ1以内（参见表1中黑体数据）.而Rosenstein［5］的算法在SNR=104还未达到这样的结果(表2).可见，本算法具有比较高的精度.另外，当SNR≥-20时，所有结果的误差都在46%以内，这一结果明显优于文献［15］的结果(表2).即使在SNR=-40的情况下，也达到了文献［15］所要求的精度，而文献［15］在SNR=-25时就不能有效地提取λ了.可见本算法1具有很强的鲁棒性和提取混沌弱信号的能力.从图1来看，本算法的收敛速度也是很快的.对于Logistic，Henon和Rissler三个系统来说，在300点时结果就已稳定；而对于两个Lorenz系统来说，在1000点时也都基本收敛了.当然，我们不难看出Lorenz-2要比Lorenz-1的收敛情况时，所需要好一些.这一结果与Eckmann［16］的观点是一致的.在计算λ1的时间序列的基本点数N应满足：log N>d。