异面直线所成的角
异面直线所成的角求法课件
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
异面直线成角求法
求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。
异面直线所成的角求法总结加分析
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角ABC DA 1B 1C 1D 1EF连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS∠QNB＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ，易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6，cos∠GNA＝1030562556=⨯⨯-+。
两条异面直线所成的角
向量法求空间角求空间角的大小，是立体几何的重点、难点，也是高考中的热点。
运用向量解决这类问题，可以把几何关系转化为向量问题，从而求出角的大小。
向量法的最大优点是思路清晰，过程简捷，可以不去直接做出角，从而降低了对空间想象能力和逻辑思维能力的要求。
下面对用向量求空间角分类例说。
一、两条异面直线所成的角 1、 求角的方法：设两条异面直线为L 1、L 2所成的角为θ。
向量a ρ，b ρ分别21l l 、的方向向量。
因为两条异面直线所成的角θ∈（0，2π]，所以cos θ>0。
又因为向量a ρ，b ρ的夹角，<a ρ，b ρ>∈[]π，0， cos<a ρ，b ρ>的值的符号不定，所以cos θ=><b a ρρ,cos =ba ba ρρρρ⋅2、例题例1、（09福建 17）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且MD=NB=1，E 为BC 的中点求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值解析：如图以D 为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz -依题意，得1(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2D A M C B NE 。
10cos ,10||||NE AM NE AM NE AM <>==-⨯u u u v u u u u vu u u v u u u u v g u u u uv u u u u v Q ， 所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010评析：此题中利用向量的坐标法求出两向量的夹角的余弦值为负值，但两条异面直线所成的角的余弦值却为正值。
二、直线和平面所成的角 1、求角的方法：直线与平面所成的角为θ，a ρ是直线l 的方向向量，b ρ是平面α的一个法向量，则sin θ=><b a ρρ，cos =ba ba ρρρρ⋅说明：两种情况都成立，所以在做题时无需考虑斜线的方向向量和平面的法向量的方向 2、例题例2、(09辽宁18) （本小题满分12分）BANM如图，己知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内， M ，N 分别为AB , DF 的中点，若平面ABCD⊥平面DCEF 求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值；解：设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图.设直线MN 与平面DCEF 所成角为θ。
两条异面直线所成的角
异面直线的关系
平行关系
如果两条异面直线分别平行于第三条直线，则这两条异面直 线平行。
垂直关系
如果两条异面直线分别垂直于第三条直线，则这两条异面直 线垂直。
异面直线的性质
唯一性
对于任意两条异面直线，都存在一个 唯一的平面，使得该平面同时与这两 条直线平行。
互补角
两条异面直线所成的角是互补角，即 它们的角度之和为180度。
性质：坐标法适用于已知异面直线在空间中的位置关系 的情况。
1. 建立空间直角坐标系，并确定两条异面直线的方程 。
3. 利用向量的数量积公式计算夹角的余弦值。
04
两条异面直线所成角的应用
在几何图形中的应用
确定几何图形的形状和大小
通过两条异面直线所成的角，可以确定几何图形的形状和大小，例如在四面体、六面体等复杂几何图形中。
在此添加您的文本16字
2. 通过公共点作一条直线与两条异面直线分别平行，从 而形成一个平面。
在此添加您的文本16字
3. 在该平面上，找到两条平行线所成的角，即为两条异 面直线所成的角。
向量法
定义：利用向量的数量积来计算两条 异面直线所成的角。
性质：当两向量的夹角为锐角或直角 时，数量积为正；当夹角为钝角时，
数量积为负。
计算步骤
1. 找到两条异面直线的方向向量。
2. 计算两个方向向量的数量积。
3. 根据数量积的正负判断两直线的夹 角是锐角还是钝角，并求出夹角的余 弦值。
坐标法
定义：通过建立空间直角坐标系，将异面直线的方程分 别表示为向量形式，然后利用向量的数量积来计算夹角 。 计算步骤
2. 将异面直线的方程转化为向量形式。
02
两条异面直线所成的角
异面直线所成的角
所以—A1→G ＝(－1,0，－2)，E→F＝(－2,0,1)，
设异面直线A1G与EF所成的角为θ，
则
cos
—→ → θ＝|—A1→G ·E→F|
| A1G ||EF|
＝|－1×5－×25－2×1|＝0.
练习:如图，已知圆锥 CO 的截面△ABC 是正三角形，AB 是底面圆 O 的直 径，点 D 在A︵B上，且∠AOD＝2∠BOD，求异面直线 AD 与 BC 所成角的余 弦值为
E
方法二向量法
解:因为∠AOD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π， 所以∠BOD＝π3， 连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，
OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设圆 O 的半径为 2，则 A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0，2 3)，D( 3，1,0)， A→D＝( 3，3,0)，B→C＝(0，－2,2 3)，
异面直线所成的角
本节微课件主要目标:突出向量法解决异面直线所成问题
异面直线所成的角
若则c异os面θ＝直|线cols1〈，ul2，所v成〉的|＝角|u为·vθ，| 其方向向量分别是u，v， |u||v|
异面直线所成的角
例 如图，已知棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1，E，F，G 分别为 AB，
CD1，AD 的中点，求异面直线 A1G 与 EF 所成角的余弦值为
方法一,转化为相
交直线所成角,如
图所示,过程请同
M
学们自己整理
方法二向量法
如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系，
则A1(2,0,2)，G(1,0,0)，
E(2,1,0)，F(0,1,1)，
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。
其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。
解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。
异面直线所成的角
异面直线所成的角专题—异面直线所成的角求法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本次课对此类题的解题方法做了一些归纳和总结，仅供参考．例1：在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，E , F 分别为AD , AA 1的中点 (1)求直线AB 1和CC 1所成角的大小 (2)求直线AB 1和EF 所成角的大小E ,F 分别为AB 和的中点，例2：在正方体ABCD -A 求异面直线B 1C 与EF 所1BC 11D 1中，成的大小一、异面直线的定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线（即既不相交也不平行的直线）; 从而空间中直线与直线的位置关系分三种：平行、相交、异面二、异面直线所成角的概念（画法）：如图，已知两条异面直线a , b ，经过空间任意一点O 作直线a ' //a , b ' //b ，我们把a ' 与b ' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）例3：如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，求异面直线EF 与SA 所成的角Bθ角的取值范围：(00,900] 三、异面直线所成的角求解步骤：1. 恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角θ；2. 证明这个角θ就是异面直线所成角；3. 解三角形，求出所构造角θ的三角函数值，得出度数；异面直线所成的角求法简记为：一作、二证、三求；例4：如图，AB 和CD 是两条异面直线，AB =CD =3，AE BF 1=E , F 分别为线段AD , BC 上的点，且=, ED FC 2EF =7，求AB 和CD 所成的角。
异面直线测试题一．选择题：1．直线a , b 是异面直线是指① a ∩b =?, 且a 与b 不平行；② a ?面α，b ?面β，且平面α∩β=?；③ a ?面α，b ?面β，且a ∩b =?；④ 不存在平面α，能使a ?α且b ?α成立。
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科目：数学
课
题
§2.1.2.2异面直线所成的角课型新课
教学目标（1）理解异面直线所成的定义
（2）掌握求异面直线所成的角要注意的问题（3）掌握求异面直线所成角的一般步骤
教学过程教学内容备
注
一、自主学习
1.什么叫异面直线？三线平行公理和等角定理分别说明什么问题？
2.不同的异面直线有不同的相对位置关系，用什么几何量反映异面直线之间的相对位置关系，是我们需要探讨的问题.
二、
质
疑
提
问
思考1:两条相交直线、平行直线的相对位置关系，分别是通过什么几何量来反映的？
思考2:两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将两异面直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是否
发生变化？
思考3:设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度，但不能直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？
三、
问
题
探
究
思考1：把两条异面直线分别平移，使之在某处相交
得到两条相交直线，我们用这两条相交直线所夹的锐
角(或直角)来反映异面直线的相对倾斜程度，并称之
为异面直线所成的角.你能给“异面直线所成的角”
下个定义吗？
对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或
直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
思考2:若点O的位置不同，则直线a′与b′的夹角大小发生变化吗？为什么？为了作图方便，点O宜选在何处？
思考3：求异面直线所成角的步骤有哪些？
思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？
思考2:如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，
记作a⊥b. 在长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线?
思考3：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗 ?
思考4：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直,那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？
例1：如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中.
（1）直线A′B和CC′的夹角是多少？
（2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？
四、课堂检测1、正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为
五、小结评价。