八年级数学第一章《勾股定理》练习题
北师大版八年级上册数学第一章练习题
第1页，－共3页八年级上册数学第一章《勾股定理》测试题 【2 】班级：学号：姓名：成绩：一、 选择题：（每小题4分,共40分）1.下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（） A.6,8,10 B.5,12,13 C.12,18,22 D.1,12,152.将直角三角形的三条边长同时扩展统一倍数,得到的三角形是（） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形3.如图,带暗影的矩形面积是60,则图中直角三角形的斜边长为（） A.9 B.12 C.17D.244.假如梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A.12米B.13米C.14米D.15米5.等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,则它的面积为（） A.65 B.60 C.120 D.1306.已知三角形的三边分离为ａ.ｂ.ｃ,且知足,那么这个三角形是（） Ａ.锐角三角形 Ｂ.钝角三角形 Ｃ.直角三角形 Ｄ.不能肯定7.等边三角形的边长是10,它的高的平方等于（） A.50 B.75 C.125 D.2008.直角三角形的两直角边分离为5厘米,12厘米,则斜边上的高是（） A.6厘米 B.厘米 C.厘米 D.9.已知Rt ⊿ABC 中,已知∠C=900,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt ⊿ABC 的面积是（ ） A.24cm 2B.36cm 2C.48cm 2D.60cm 210.如图,在直角三角形中,∠C=900,AC=3,将其绕B 点顺时针扭转一周,则分离以BA,BC 为半径的圆形成一环,该圆环的面积为（）第3题第5题4cmA. B.3 C.6 D.9二.填空题：（每小题4分,共20分）11.⊿ABC中,若AC2+AB2=BC2,则∠B+∠C=.12.若三角形的三边之比为3︰4︰5,则此三角形为三角形.13.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,个中最大的正方形的边长为7㎝,则正方形A,B,C,D的面积之和为㎝2.14.如图,黉舍有一块长方形花铺,有少少数工资了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”,他们仅仅走了步路（假设2步为1米）,却踩伤了花卉.15.正方形的面积为100平方厘米,则该正方形的对角线的平方长为 .三解答题：（共90分）16.如图,从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？（12分）17.小明想知道黉舍旗杆的高,他发明旗杆上的绳索垂到地面还多1m,当他把绳索的下端拉开5m后,发明下端刚好接触地面,则旗杆的高度是若干？（12分）18.如图正方形网格中的⊿ABC,若小方格边长为1,请你依据所学的常识（1）求⊿ABC的面积（6分）（2）断定⊿ABC是什么外形？并解释来由.（6分）19.如图所示,折叠长方形一边AD,点D落在BC边的点F处,已知BC=10厘米,AB=8厘米,求FC的长.（12分）20.如图所示,一棱长为3cm的正方体,把所有的面都分成3×3个小正方形,其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行D.F B .第2页，－共3页第3页，－共3页2cm,则它从下底面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点,起码要花几秒钟？（12分）21.如图所示,有两棵树,一棵高8m,另一棵高2m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,至少要飞若干米？（15分）22.如图所示,在进修勾股定理时,我们学会应用图（I ）验证它的准确性,图中大正方形的面积可表示为（a+b ）2,也可表示为,即,由此推出勾股定理,这种依据图形可以极简略地直不雅推论或验证数学纪律和公式的办法,简称为“无字证实”.(1)请你用图（II ）的面积表达式验证勾股定理（个中四个直角三角形全等）.（5分） (2)请你用图（III ）供给的图形进行组合,用组合图形(把组合图形画鄙人面空白处)的面积表达式验证：（5分）(3)请你本身设计图形的组合（画出组合图形）,用其面积表达式验证： （5分）EGAC(I)(II)(III)。
(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试题(含答案解析)
一、选择题1．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（ ） A ．2m B ．2.5cm C ．2.25m D ．3m2．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m 远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m ，此时测得绳结离地面的高度为 1m ，则学校教学楼的高度为（ ）A ．11 mB ．13 mC ．14 mD ．15 m3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在网格的格点上，则△ABC 的三条边中边长是无理数的有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条 4．在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（ ） A ．6B ．12C ．24D ．48 5．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A ．1，2，3 B ．3，4，5 C ．5，12，13 D ．5,7,32 6．如图，用64个边长为1cm 的小正方形拼成的网格中，点A ，B ，C ，D ，E ，都在格点（小正方形顶点）上，对于线段AB ，AC ，AD ，AE ，长度为无理数的有（ ）．A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 7．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）A ．2,3,4a b c ===B ．5,6,8a b c ===C ．5,12,13a b c ===D ．7,15,12a b c === 8．下列各组数据中，是勾股数的是（ ）A ．3，4，5B ．1，2，3C ．8，9，10D ．5，6，9 9．一个长方体盒子长24cm ，宽10cm ，在这个盒子中水平放置一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（ ）A ．10cmB ．24cmC ．26cmD ．28cm 10．如图①，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图②方式折叠，使点A 与点CB 重合，折痕为DE ，则BCE 与ADE 的面积之比为（ ）A ．2:3B ．4:9C ．9:25D ．14:25 11．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．若小正方形边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的面积等于（ ）A ．36B ．48C ．54D ．108 12．一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（ ）A ．5米B ．7米C ．8米D ．9米二、填空题13．将五个边长为2的正方形按如图所示放置，若A ，B ，C ，D 四点恰好在圆上，则这个圆的面积为________．（结果保留π）14．如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______．15．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，且12AC DC AB ==，若2AD =，则BD =___________．16．如图，在4×4方格中，小正方形格的边长为1，则图中阴影正方形的边长是____．17．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米．18．在平面直角坐标系中，若点M （2，4）与点N （x ，4）之间的距离是3，则x 的值是_____．19．已知等边三角形的边长为2，则其面积等于__________.20．有两根木棒，分别长6cm 、5cm ，要再在7cm 的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，则第三根木棒要取的长度是__________．三、解答题21．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°．（1）作AB 边的垂直平分线交BC 于点D （要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，求BD 的长．22．如图，在平面直角坐标系中，点A （4，0），点B （0，3），以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，求点C 的坐标．23．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°．AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a 2+b 2＝c 2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a +b ）2的值．24．利用所学的知识计算：（1）已知a b >，且2213a b +=，6ab =，求-a b 的值；（2）已知a 、b 、c 为Rt △ABC 的三边长，若222568a b a b ++=+，求Rt △ABC 的周长．25．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A 在离水面的BD 的1.3米处，在距离鱼线1.2米处D 点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？26．教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材111页的部分内容．()1请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．()2拓展：如图②，在图①的ABC 的边AB 上取一点D ，连接CD ，将ABC 沿CD 翻折，使点B 的对称点E 落在边AC 上．①求AE 的长．②DE 的长 ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】设水池的深度BC ＝xm ，则AB ＝（0.5+x ）m ，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】解：在直角△ABC 中，AC ＝1.5m ．AB ﹣BC ＝0.5m ．设水池的深度BC ＝xm ，则AB ＝（0.5+x ）m ．根据勾股定理得出：∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴1.52+x 2＝（x +0.5）2，解得：x ＝2．故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键． 2．C解析：C【分析】根据题意画出示意图，设学校教学楼的高度为x ，可得AC AD x ==，()1AB x m =-，6BC m =，利用勾股定理可求出x ．【详解】解：如图，设学校教学楼的高度为x ，则AD x =，()1AB x m =-，6BC m =，左图，根据勾股定理得，绳长的平方223x =+，右图，根据勾股定理得，绳长的平方()2216x =-+，∴()2222316x x +=-+， 解得：14x =．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．3．C解析：C【分析】根据勾股定理求出三边的长度，再判断即可．【详解】 解：由勾股定理得：22345AC =+=，是有理数，不是无理数；222313BC =+=，是无理数；221526AB =+=，是无理数，即网格上的△ABC 三边中，边长为无理数的边数有2条，故选：C ．【点睛】本题考查了无理数和勾股定理，能正确根据勾股定理求出三边的长度是解此题的关键． 4．B解析：B【分析】画出直角三角形，由11,24,c a b c =++=可得：222169,a ab b ++=再由勾股定理可得：222121,a b c +==从而求解24,ab =再利用三角形的面积公式可得答案．【详解】解：如图，由题意知：11,24,c a b c =++=13,a b ∴+=222169,a ab b ∴++=222121,a b c +==121+2169,ab ∴=248,ab =24,ab ∴=112.2S ab ∴== 故选：.B【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，掌握以上知识是解题的关键． 5．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：A 、∵222142+==，∴1，2能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；B 、∵22234255+==，∴3，4，5能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；C 、∵22251216913+==，∴5，12，13能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；D 、∵2212+=，218=(，1218≠， ∴故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理逆定理用法是解题的关键． 6．C解析：C【分析】先根据勾股定理求出AB ，AC ，AD ，AE 这4条线段的长度，即可得出结果．【详解】根据勾股定理计算得：5=，=10=，长度为无理数的有2条，故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理及无理数．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．7．C解析：C【分析】由勾股定理的逆定理逐一分析各选项，从而可得答案．【详解】解：22222223134,a b c +=+=≠= 故A 不符合题意；22222256618,a b c +=+=≠= 故B 不符合题意；22222251216913,a b c +=+=== 故C 符合题意；22222271219315,a c b +=+=≠= 故D 不符合题意；故选：.C【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形．”是解题的关键8．A解析：A【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A 、222345+=，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B 、222123+≠，不能构成三角形，故不是勾股数；C 、2220981，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D 、222569+≠，不能构成直角三角形，故不是勾股数．故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，熟悉相关性质是解题的关键． 9．C解析：C【分析】根据题意可知木棒最长是底面长方形的对角线的长，利用勾股定理求解即可．【详解】解：长方体的底面是长方形，水平放置木棒，当木棒为该正方形的对角线时木棒最长，26=，则最长木棒长为26cm ，故选：C ．【点睛】本题考查立体图形、勾股定理，由题意得出木棒最长是底面长方形的对角线的长是解答的关键．10．D解析：D【分析】由折叠可得5AD BD ==，AE BE =，根据勾股定理可得CE ，AE ，DE 的长度，即可求面积比．【详解】解：6BC =，8AC =，10AB ∴=，折叠，5AD BD ∴==，AE BE =， 22BC CE BE +=2，2236(8)CE CE ∴+=-，74CE ∴=， 725844AE ∴=-=，154DE ∴=， 11::14:2522BCE ADE S S BC CE AD DE ∆∆∴=⨯⨯⨯=， 故选：D ．【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，关键是熟练运用勾股定理求线段的长度．11．C解析：C【分析】根据图形的特征先算出4个三角形的面积之和，再除以4，即可求解．【详解】由题意得：15×15-3×3=216，216÷4=54，故选C ．【点睛】本题主要考查“赵爽弦图”的相关计算，理清图形中的面积关系，是解题的关键． 12．C解析：C【分析】如图，由题意，AC ⊥BC ，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB ，求出AB 即可解决问题．【详解】解：如图，由题意，AC ⊥BC ，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB ．在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=3米，BC=4米， ∴2222AB AC BC 345=++=（米），∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8（米），故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确画出图形，运用勾股定理解决问题．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．【分析】根据题意得到圆心O 的位置设MO=x 根据AO2=DO2得到方程求出x 得到圆O 的半径从而求出面积【详解】解：由题意可得：多个小正方形排成轴对称图形∴圆心O 落在对称轴MN 上设MO=x ∵AO=DO ∴ 解析：1309π 【分析】根据题意得到圆心O 的位置，设MO=x ，根据AO 2=DO 2，得到方程，求出x ，得到圆O 的半径，从而求出面积．【详解】解：由题意可得：多个小正方形排成轴对称图形，∴圆心O 落在对称轴MN 上，设MO=x ，∵AO=DO ，∴AO 2=DO 2，即()2222163x x +=-+，解得：x=113， ∴圆O 的半径为21x +=130， ∴圆O 的面积为21303π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1309π， 故答案为：1309π．【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，圆的性质，解题的关键是根据半径相等得到方程． 14．29【分析】如图（见解析）先根据正方形的面积公式可得再利用勾股定理可得的值由此即可得出答案【详解】如图连接AC 由题意得：在中在中则正方形丁的面积为故答案为：29【点睛】本题考查了勾股定理的应用熟练掌 解析：29【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得22230,16,17AB BC CD ===，再利用勾股定理可得2AD 的值，由此即可得出答案．【详解】如图，连接AC ，由题意得：22230,16,17AB BC CD ===，在ABC 中，90ABC ∠=︒， 22246AC AB BC ∴=+=，在ACD △中，90ADC ∠=︒，22229AD AC CD ∴=-=，则正方形丁的面积为229AD =，故答案为：29．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．15．【分析】设在中利用勾股定理求出x 值即可得到AC 和CD 的长再求出AB 的长再用勾股定理求出BC 的长即可得到结果【详解】解：设∵∴即解得或（舍去）∴∵∴∴∴故答案是：【点睛】本题考查勾股定理解题的关键是掌1【分析】设AC DC x ==，在Rt ACD △中，利用勾股定理求出x 值，即可得到AC 和CD 的长，再求出AB 的长，再用勾股定理求出BC 的长，即可得到结果．【详解】解：设AC DC x ==，∵90C ∠=︒，∴222AC CD AD +=，即222x x +=，解得1x =或1-（舍去）， ∴1AC DC ==， ∵12AC AB =， ∴2AB =，∴BC ===， ∴1BD BC CD =-=．1．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握利用勾股定理解直角三角形的方法．16．【分析】根据勾股定理即可得出结果【详解】解：正方形的边长=故答案为：【点睛】本题主要考查的是勾股定理掌握勾股定理的计算方法是解题的关键【分析】根据勾股定理即可得出结果．【详解】解：正方形的边长．【点睛】本题主要考查的是勾股定理，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．17．13【分析】根据两点之间线段最短可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行所行的路程最短运用勾股定理可将两点之间的距离求出【详解】如图所示ABCD为树且AB＝14米CD＝9米BD为两树距离12米过C作C解析：13【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】如图所示，AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE＝BD＝12，AE＝AB−CD＝5，在直角三角形AEC中，AC22+＝13．512+＝22AE CE答：小鸟至少要飞13米．故答案为：13．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题．18．﹣1或5【分析】根据点M（24）与点N（x4）之间的距离是3可以得到|2-x|=3从而可以求得x的值【详解】解：∵点M（24）与点N（x4）之间的距离是3∴|2﹣x|＝3解得x＝﹣1或x＝5故答案为解析：﹣1或5【分析】根据点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，可以得到|2-x|=3，从而可以求得x的值．【详解】解：∵点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，∴|2﹣x|＝3，解得，x＝﹣1或x＝5，故答案为﹣1或5．【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．19．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点即BD=CD在直角三角形ABD中已知ABBD根据勾股定理即可求得AD的长即可求三角形ABC的面积即可解题【详解】等边三角形三线合一即D为BC的中解析：3【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．【详解】等边三角形三线合一，即D为BC的中点，∴BD=DC=1，在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，∴AD==3，∴△ABC的面积为BC•AD=333．20．【分析】分2种情况：①是直角边；②是斜边；根据勾股定理求出第三根木棒的长即可求解【详解】解：①是直角边第三根木棒要取的长度是（舍去）；②是斜边第三根木棒要取的长度是故答案为：【点睛】考查了勾股定理的11【分析】分2种情况：①6cm是直角边；②6cm是斜边；根据勾股定理求出第三根木棒的长即可求解．【详解】解：①6cm是直角边，22+>（舍去）；6561cm7cm②6cm是斜边，22-．6511cm11cm．【点睛】考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．三、解答题21．（1）见解析；（2）254． 【分析】（1）利用基本作图，作AB 的垂直平分线得到D 点；（2）先利用勾股定理计算出AC ＝6，再根据线段的垂直平分线的性质得到DA ＝DB ，设BD＝x ，则AD ＝x ，CD ＝8﹣x ，利用勾股定理得到2(8)x -＋26＝2x ，然后解方程即可． 【详解】解：（1）如图，点D 为所作；（2）在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，∴AC 22108-6，∵点D 在AB 的垂直平分线上，∴DA ＝DB ，设BD ＝x ，则AD ＝x ，CD ＝8﹣x ，在Rt △ACD 中，2(8)x -＋26＝2x ，解得x ＝254， 即BD 的长为254． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握基本作图，灵活运用性质，是解题的关键．22．点C 的坐标为（-1，0）．【分析】根据勾股定理可求出AB 的长，由AB=AC ，根据线段的和差关系可求出OC 的长，进而可求出C 点坐标．【详解】∵点A ，B 的坐标分别为（4，0），（0，3），∴OA=4，OB=3，∴225AB AO BO =+=．∵以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，∴5AB AC ==，∴1OC AC AO =-=．∵交x 轴的负半轴于点C ，∴点C 的坐标为（-1，0）．【点睛】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，根据勾股定理求出OC 的长是解题关键． 23．（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）根据完全平方公式的变形解答即可．【详解】解：（1）∵大正方形面积为c 2，直角三角形面积为12ab ，小正方形面积为（b ﹣a ）2， ∴c 2＝4×12ab +（a ﹣b ）2＝2ab +a 2﹣2ab +b 2即c 2＝a 2+b 2； （2）由图可知：（b ﹣a ）2＝3，4×12ab ＝13﹣3＝10， ∴2ab ＝10，∴（a +b ）2＝（b ﹣a ）2+4ab ＝3+2×10＝23．【点睛】本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．24．（1）1；（2）12或7+【分析】(1)根据完全平方公式变形解答；(2)先移项，将25变形为9+16，利用完全平方公式变形为22(3)(4)0a b -+-=，求得a=3，b=4，分情况，利用勾股定理求出c ，即可得到周长．【详解】（1）∵2213a b +=，6ab =，∴222()213261a b a b ab =+-=-⨯=-，∴a-b=1或a-b=-1（舍去）；（2）222568a b a b ++=+ 2225680a b a b ++--=22698160a a b b -++-+=22(3)(4)0a b -+-=∴a-3=0，b-4=0，∴a=3，b=4，当a 与b 都是直角边时，c=2222435b a +=+=，∴Rt △ABC 的周长=3+4+5=12； 当a 为直角边，b 为斜边时，c=2222437b a -=-=，∴Rt △ABC 的周长=77+．【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，勾股定理，正确掌握并熟练应用完全平方公式是解题的关键．25．5【分析】过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接AC ，根据题意直接得出AE ，EC 的长，再利用勾股定理得出AC 的长，进而求出答案．【详解】如图所示：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接AC ，由题意可得：EC ＝BD ＝1.2m ，AE ＝AB−BE ＝AB−DC ＝1.3−0.8＝0.5m ，∴AC=22221.20.5 1.3CE AE +=+=m ，∴1.3÷0.2＝6.5s ，答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处．【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 26．（1）10cm ；（2）①4cm ；②3cm【分析】（1）设AB=xcm ，AC=(x+2)cm ，运用勾股定理可列出方程，求出方程的解可得AB 的值，从而可得结论；（2）①由折叠的性质可得EC=BC=6cm ，根据AE=AC-EC 可得结论；②设DE=xcm ，在Rt △ADE 中运用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：（1）设AB=xcm ，则AC=(x+2)cm ，根据勾股定理得，222AC AB BC =+∴222(+2)6x x =+解得，x=8∴AB=8cm，∴AC=8+2=10cm;（2）①由翻折的性质得：EC=BC=6cm∴AE=AC-EC=10-6=4cm②由翻折的性质得：∠DEC=∠DBC=90°，DE=DB，∴∠AED=90°设DE=DB=x，则AD=AB-BD=8-x在Rt△ADE中，222=+AD AE DE∴222-=+(8)4x x解得，x=3∴DE=3cm．故答案为：3cm．【点睛】此题主要考查了勾股定理与折叠问题，运用勾股定理解直角三角形，熟练掌握运用勾股定理是解答此题的关键．。
八年级数学上册第一章勾股定理单元测试卷(含答案)
第一章勾股定理单元测试卷一.选择题（共12小题）1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（）A.3B.4C.2D.4(第1题) (第4题) (第5题) 2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：63.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.﹣1B.+1C.﹣1D.+15.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.3，4，5C.5，10，13D.2，3，47.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里(第7题) (第9题) (第10题)8.△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4B.6C.8D.1011.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米(第11题) (第12题) 12.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC=8cm，AC=17cm，AB=5cm，BD=10m，则C，D两辆车之间的距离为（）A.5mB.4mC.3mD.2m二.填空题（共5小题）13.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为.(第13题) (第14题) (第15题)14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米.15.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是.16.如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为.17.如果矩形的周长是14cm，相邻两边长之比为3：4，那么对角线长为cm.三.解答题（共5小题）18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？19.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？20.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，求线段AE的长.21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE.求证：BE2=AC2+AE2.22.（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系.（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系并证明.参考答案一.选择题（共12小题）1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD 的长为（）A.3B.4C.2D.4【解答】解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；Rt△DOC中可得：DO2=DC2﹣CO2；∴可得AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2=18，即可得AD==3.故选A.2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：6【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.故选D.3.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形【解答】解：∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形.故选：C.http://www、czsx、com、cn4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.﹣1B.+1C.﹣1D.+1【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=5，在Rt△ADC中，DC===1，∴BC=+1.故选D.5.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.【解答】解：△ABC的面积=×BC×AE=2，由勾股定理得，AC==，则××BD=2，解得BD=，故选：A.6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.3，4，5C.5，10，13D.2，3，4【解答】解：A、12+12≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误；B、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项正确；C、52+102≠132，不能构成直角三角形，故此选项错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误.故选B.7.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里【解答】解：连接BC，由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），CB==40（海里），故选：C.8.△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.不能确定【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5，∴BC=9﹣5=4.∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.综上所述，△ABC的周长是42或32.故选：C.9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，∴AC==3，∴这个直角三角形的面积=AC•BC=3，故选A.10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4B.6C.8D.10【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=17，四个直角三角形的面积是：ab×4=17﹣5=12，即：ab=6.故选：B.11.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米【解答】解：由题意可知.BE=CD=1、5m，AE=AB﹣BE=4、5﹣1、5=3m，BD=5m由勾股定理得CE==4m故离门4米远的地方，灯刚好打开，故选A.12.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC=8cm，AC=17cm，AB=5cm，BD=10m，则C，D两辆车之间的距离为（）A.5mB.4mC.3mD.2m【解答】解：在RT△AOC中，∵OA2+OC2=AC2，∴OA===15（m），∴OB=0A+AB=20m，在RT△BOD中，∵BD2=OB2+OD2，∴OD===10（m），∴CD=OD﹣OC=2m，故选：D.二.填空题（共5小题）13.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2.【解答】解：当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=120°，∴∠AOP=60°，∴△AOP为等边三角形，∴∠OAP=60°，∴∠∠PBA=30°，∴AP=AB=2；情况二：如图2，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=BO，∵∠AOC=120°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴∠OBP=60°，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠BAP=90°时，如图3，∵∠AOC=120°，∴∠AOP=60°，∴AP=OA•tan∠AOP=2×=2.故答案为：2或2.14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯 2 米.【解答】解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m.又∵梯子的长度不变，在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m.则AA′=8﹣6=2m.15.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm.=24﹣12=12cm.【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm.所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm.故答案是：11cm≤a≤12cm.16.如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为.【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得DD′==3，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′==，∴BD=CD′=，故答案为：.17.如果矩形的周长是14cm，相邻两边长之比为3：4，那么对角线长为 5 cm. 【解答】解：设矩形的相邻两边的长度分别为3acm，4acm，由题意3a+4a=7，a=1，所以矩形的相邻两边分别为3cm，4cm，所以对角线长==5cm，故答案为5.三.解答题（共5小题）18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【解答】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA′=20米，BC′==15（米），则：CC′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米.19.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，在Rt△BCD中，BC=3，DB=，根据勾股定理得：CD==，在Rt△ACD中，AC=4，CD=，根据勾股定理得：AD==；（2）△ABC为直角三角形，理由为：∵AB=BD+AD=+=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.20.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，求线段AE的长.【解答】解：∵BC⊥AB，CD⊥AC，AC⊥DE，∴∠B=∠ACD=∠ADE=90°，∵AB=BC=CD=DE=1，∴在Rt△ACB中，AC═==，∴在Rt△ACD中，AD===，在Rt△ADE中，AE===2.21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE.求证：BE2=AC2+AE2.【解答】证明：∵如图，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，∴CE=BE.∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∴由勾股定理得到：CE2=AC2+AE2∴BE2=AC2+AE2.22.（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系.（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系并证明.【解答】解：（1）S2+S3=S1，由三个四边形都是正方形则：∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.（2）∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.（3）∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.。
八年级上册第1章《勾股定理》单元试卷含答案(中考数学试题)
中考数学试题分类汇编：北师版数学八年级上册第1章《勾股定理》考点一：勾股定理1.（•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5B．6C．7D．8【分析】直接根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦的平方为32+42=25，弦长为5．故选：A．2.（•模拟）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．64【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2=225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2=289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．3.（•模拟）如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答．【解答】解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，运用勾股定理得：BC2=（15﹣3）2+（20﹣4）2=122+162=400，所以BC=20．则剪去的直角三角形的斜边长为20cm．故选：D．4.（•模拟）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分∠BAC，AB=5，BC=6，则AD=（）A．3B．4C．5D．6【分析】先判定△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求得BD，在Rt△ABD中利用勾股定理可求得AD的长．【解答】解：∵∠B=∠C，∴AB=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=12BC=3，在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，∴AD=4，故选：B．考点二：勾股定理得证明1.（•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4，∴4×ab+（a﹣b）2=25，∴（a﹣b）2=25﹣16=9，∴a﹣b=3，故选：D．2.（•期中）如图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它验证勾股定理．【分析】通过图中小正方形面积证明勾股定理．【解答】解：S小正方形=（b﹣a）2=b2﹣2ab+a2，另一方面S小正方形=c2﹣4×ab=c2﹣2ab，即b2﹣2ab+a2=c2﹣2ab，∴a2+b2=c2．3.（•期中）如图：在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，试利用图形证明勾股定理．【分析】由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．【解答】证明：∵∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，∵Rt△ACB≌Rt△BDE，∴∠ABC=∠BED，∠BAC=∠EBD，∵∠ABC+∠DBE=90°，∴∠ABE=90°，三个Rt△其面积分别为12ab，12ab和12c2．直角梯形的面积为12（a+b）（a+b）．由图形可知：12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2，整理得（a+b）2=2ab+c2，a2+b2+2ab=2ab+c2，∴a2+b2=c2．4.（•模拟）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b﹣a），∴12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a），∴a2+b2=c2．请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a（b﹣a），∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a（b﹣a），∴a2+b2=c2．考点三：勾股定理的逆定理1.（•南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3，4，5B．2，3，4C．4，6，7D．5，11，12【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．【解答】解：A、∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；故选：A．2.（•模拟）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；根据勾股定理，得：AD2=AC2+CD2=25，CD=5cm；∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；故橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．3.（•期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1.5，2，3B．6，8，10C．5，12，13D．15，20，25【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断三角形是不是直角三角形，据此进行判断．【解答】解：A、（1.5）2+22≠32，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B、62+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、52+122=169=132，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、152+202=252，能构成直角三角形，故本选项符合题意；故选：A．4.（•期末）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2=a2B．a：b：c=3：4：5C．∠C=∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C=9：12：15【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．【解答】解：A.b2﹣c2=a2，则b2=a2+c2，△ABC是直角三角形；B.a：b：c=3：4：5，设a=3x，b=4x，c=5x，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形；C.∠C=∠A﹣∠B，则∠B=∠A+∠C，∠B=90°，△ABC是直角三角形；D.∠A：∠B：∠C=9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x=180°，解得，x=5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．5.（•期中）已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是（）A．24B．30C．40D．48【分析】因为△ABC的三边分别是6，8，10，根据勾股定理的逆定理可求出此三角形为直角三角形，根据三角形面积公式可求出面积．【解答】解：∵62+82=102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积=×6×8=24．故选：A．6.（•期中）已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．【解答】解：∵a+b=10，ab=18，c=8，∴（a+b）2﹣2ab=100﹣36=64，c2=64，∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．7.（•期末）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．【分析】勾股定理和了解数的规律变化是解题关键．【解答】解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为一，故设第二个数为x，则第三个数为x+1，根据勾股定理得：112+x2=（x+1）2，解得x=60，则得第5组数是：11、60、61．故答案为：11、60、61．8.（•期中）如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．【分析】根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=225，CD=15，∴S△ABC=12BC•AD=12（BD+CD）•AD=12×21×8=84，因此△ABC的面积为84．答：△ABC的面积是84．考点四：勾股定理的应用1.（•期末）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（）A．75B．100C．120D．125【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．故选：B．2.（•模拟）一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明（）A．没有危险B．有危险C．可能有危险D．无法判断【分析】由勾股定理求出BC=4＞3.9，即可得出结论．【解答】解：如图所示：AB=9﹣4=5，AC=4﹣1=3，由勾股定理得：BC=4＞3.9，∴此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明有危险，故选：B．3.（•模拟）如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB=32cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，AF=25cm，则AD的长为（）A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm【分析】首先根据平行线的性质以及折叠的性质证明∠EAC=∠DCA，根据等角对等边证明FC=AF，则DF即可求得，然后在直角△ADF中利用勾股定理求解．【解答】解：∵长方形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∵∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠DCA，∴FC=AF=25cm，又∵长方形ABCD中，DC=AB=32cm，∴DF=DC﹣FC=32﹣25=7cm，在直角△ADF中，AD=24（cm）．故选：C．4.（•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为．【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．故答案为：x2+32=（10﹣x）2．5.（•包头）如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为．【分析】根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长．【解答】解：根据勾股定理得：AC=5，由网格得：S△ABC=12×2×4=4，且S△ABC=12AC•BD=12×5BD，∴12×5BD=4，解得：BD=85．故答案为：8 56.（•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B2=A′D2+BD2=400，A′B=20（cm）．故答案为20．7.（•期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方两丈，葭生其，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池是边长为2丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正长有一根芦苇，芦苇露出水面2尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是多少？”答：这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是．【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理可得x2+（102）2=（x+1）2，再解答即可．【解答】解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（102）2=（x+1）2，解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），答：水池深12尺，芦苇长13尺．故答案是：12尺；13尺．8.（•期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长．【分析】根据折叠得到BE=EB′，AB′=AB=3，设BE=EB′=x，则EC=4﹣x，根据勾股定理求得AC的值，再由勾股定理可得方程x2+22=（4﹣x）2，再解方程即可算出答案．【解答】解：根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3，设BE=EB′=x，则EC=4﹣x，∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=5，∴B′C=5﹣3=2，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=（4﹣x）2，解得x=1.5．11/ 11。
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理 含答案
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如果梯子的底端离建筑物5m，那么13m长的梯子可以达到建筑物的高度是( )A.10mB.11mC.12mD.13m2、如图，有两棵树，一棵高5米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树飞到另一棵树的树梢，至少飞了( )米。
A. 米B.5 米C.4米D. 米3、如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A. B. C. D.4、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（）A.a＝，b＝，c＝B.a＝b，∠C＝45°C.∠A：∠B：∠C＝3：4：5D.a＝，b＝，c＝25、在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A.13B.12C.4D.106、如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）A.5B.7C.9D.117、如图，一艘船由A港沿北偏西60°方向航行10海里至B港，然后再沿北偏东30°方向航行10海里至C港．则下列说法正确的是（）A.C港在A港的南偏西30°方向上B.C港在A港的北偏西30°方向上 C.C港在A港的北偏西15°方向上 D.C港在A港的南偏西15°方向上8、以下列各组数据中，能构成直角三角形的是（）A.2，3，4B.3，4，7C.5，12，13D.1，2，39、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（）A.10B.8C.5D.310、已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是（）A.5B.C.D. 或511、已知△ABC的三边分别长为a,b,c，且满足，则△ABC是（）.A.以a为斜边的直角三角形B.以b为斜边的直角三角形C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形12、已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（）A.24cm 2B.30cm 2C.40cm 2D.48cm 213、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A. B. C. D.14、将直角三角形的三条边长同时扩大为原来的2倍，得到的三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法确定15、如图，顺次连接矩形ABCD各边中点,得到四边形EFGH，若AD＝2AB，则下列结论错误的是( )A.四边形EFGH为菱形B.S四边形ABCD ＝2S四边形EFGHC.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一点，记为点F.若，，则________.17、直角三角形两直角边长分别为，，则斜边长为________．18、如图，矩形AOBC的边OA，OB分别在x轴，y轴上，点C的坐标为（﹣2，4），将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为________．19、如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB=________．20、某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要________元．21、如图，在 3×3 的正方形网格中标出了∠1 和∠2，则∠2－∠1=________°22、如图,已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD 的长为________cm.23、菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2014秒时，点P的坐标为________．24、如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为4，则弦AB的长为________．25、如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是________ cm．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．27、深圳市民中心广场上有旗杆如图①所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图②，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为16米，落在斜坡上的影长CD为8米，AB⊥BC；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°。
八年级数学上册第一章勾股定理测试题及试题赏析试题
开阳县宅吉中学八年级上北师大版第一章勾股定理测试题及试题赏析一、选择题〔每一小题3分，一共30分〕1. 以下各组中，不能构成直角三角形的是 〔 〕.〔A 〕9，12，15 〔B 〕15，32，39 〔C 〕16，30，32 〔D 〕9，40，412. 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，那么AC= 〔 〕.〔A 〕6 〔B 〕8 〔C 〕10 〔D 〕123. ：如图2，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．假设斜边AB ＝3,那么图中阴影局部的面积为 〔 〕. 〔A 〕9 〔B 〕3 〔C 〕49 〔D 〕29 4. 如图3，在△ABC 中，AD ⊥BC 与D ，AB=17，BD=15，DC=6，那么AC 的长为〔 〕.〔A 〕11 〔B 〕10 〔C 〕9 〔D 〕85. 假设三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，那么此三角形是〔 〕.〔A 〕锐角三角形 〔B 〕钝角三角形 〔C 〕等腰直角三角形 〔D 〕直角三角形 6. 直角三角形两直角边分别为5、12，那么这个直角三角形斜边上的高为 〔 〕.〔A 〕6 〔B 〕8.5 〔C 〕1320 〔D 〕13607. 高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为 〔 〕.〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕68. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，假如将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需 〔 〕.〔A 〕6秒 〔B 〕5秒 〔C 〕4秒 〔D 〕3秒9. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图〞是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形〔如图1所示〕，假如大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2)(b a + 的值是 〔 〕. 〔A 〕49 〔B 〕25 〔C 〕13 〔D 〕110. 如图5所示，在长方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且BE=12，BF=16，那么由点E 到F 的最短间隔 为 〔 〕. 〔A 〕20 〔B 〕24 〔C 〕28 〔D 〕32 二、填空题〔每一小题3分，一共30分〕11. 写出两组直角三角形的三边长 .〔要求都是勾股数〕 12. 如图6〔1〕、〔2〕中，〔1〕正方形A 的面积为 . 〔2〕斜边x= .13. 如图7，在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，那么1S +2S 的值等于 ．14. 四根小木棒的长分别为5cm ，8cm ，12cm ，13cm ，任选三根组成三角形，其中有 个直角三角形.15. 如图8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，那么CD的长为．三、简答题〔50分〕16.〔8分〕如图9，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，∠B=90°，求四边形ABCD的面积.17.〔8分〕如图10，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位.〔1〕在方格纸上，以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法.〔2〕你能在图上画出面积依次为5个单位、10个单位、13个单位的正方形吗？18.〔8分〕如图11，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱〞而成，中间可供滑行局部的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑行爱好者从A点到E点，那么他滑行的最短间隔是多少？〔边缘局部的厚度可以忽略不计，结果取整数〕19.〔8分〕如图12，飞机在空中程度飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机间隔 这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？20.〔8分〕如图13〔1〕所示为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图13〔2〕所示.展开图中每个正方形的边长为1.〔1〕求该展开图中可画出最长线段的长度，并求出这样的线段可画几条. 〔2〕试比拟立体图中∠ABC 与平面展开图中///C B A 的大小关系.21.〔8分〕如图14，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米.〔1〕这个梯子底端离墙有多少米？〔2〕假如梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在程度方向也滑动了4米吗？22.〔8分〕有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m m ，8．如今要将绿地扩大成等腰三角形，且扩大局部是以8m 为直角边的直角三角形，求扩大后等腰三角形绿地的周长．1. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图〞是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形〔如图1所示〕，假如大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2)(b a 的值是 〔 〕.〔A 〕1 〔B 〕12 〔C 〕13 〔D 〕252. 以以下各组数为边长，能构成直角三角形的是 〔 〕. 〔A 〕532、 〔B 〕1086、 〔C 〕222543、、 〔D 〕1、2、3 3. 如图2，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD 是底边上的高.假设AB=5cm ，BC=6cm ，那么AD= cm.图14. 正方体的棱长为2cm ，用经过A 、B 、C 三点平面截这个正方体，所得截面的周长是 cm.5. 如图4，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱〞而成，中间可供滑行局部的截面是半径为4m 的半圆，其边缘AB=CD=20m ， 点E 在CD 上，CE=2m ，一滑行爱好者从A 点到E 点，那么他滑行的最短间隔 是多少？〔边缘局部的厚度可以忽略不计，结果取整数〕°并距该岛20海里的B 处待命.位于该岛正西方向C 出的某外国商船招到海盗袭击，船长发如今其北偏东60°方向有我HY 护航舰〔图5〕，便发出紧急求救信号.我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援.该船舰需要多少分钟可以到达商船所在位置处？〔结果准确到个位〕答案提示：1. D2. A3. 44. 65. 约22米.根据半圆柱的展开图可计算得：AE=22)4(1822≈+π米. 6. 约38分.提示：过点A 作AM ⊥BC 于D ，根据勾股定理分别在Rt △ ABD 和Rt △ACD 中求出BD 和CD 的长，即BD+CD 为航程.答案提示：一、选择题 二、填空题11.略 12.〔1〕36，〔2〕13 13. 2π 14. 1 15. 415 三、简答题16. 在Rt △ABC 中，AC=54322=+. 又因为22213125=+，即222CD AC AD =+.所以∠DAC=90°.所以125214321⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆ABC Rt ACD Rt ABCD S S S 四边形=6+30=36.18. 约22米.根据半圆柱的展开图可计算得：AE=22)4(1822≈+π米. 19. 如图12，在Rt △ABC 中，根据勾股 定理可知，BC=30004000500022=-〔米〕. 3000÷20=150米/秒=540千米/小时. 所以飞机每小时飞行540千米.20. 〔1〕10；〔2〕4条梯子的底端到墙的间隔 为x 米，得方程，222)424(25--=x ，解得x=15，所以梯子向后滑动了8米.Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠===°，，由勾股定理有：10AB =，扩大局部为Rt ACD △，扩大成等腰ABD △，应分以下三种情况：①如图1，当10AB AD ==时，可求6CD CB ==,得ABD △的周长为32m ．②如图2，当S4S3S2S1图1L32110AB BD ==时，可求4CD =,由勾股定理得：AD =,得ABD △的周长为(20m +．③如图3，当AB 为底时，设AD BD x ==，那么6CD x =-，由勾股定理得：253x =,得ABD △的周长为80m 3．勾股定理新题型赏析一、 图形信息题例1. 在直线L 上依次摆放着七个正方形(如图1所示),斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4,那么S 1+S 2+S 3+S 4= .分析: 经过观察图形,可以看出正放着正方形面积与斜放置的正方形之间关系为: S 1+S 2=1; S 2+S 3=2; S 3+S 4=3;这样数形结合可把问题解决.解: S 1代表的面积为S 1的正方形边长的平方, S 2代表的面积为S 2的正方形边长的平方,所以S 1+S 2=斜放置的正方形面积为1;同理S 3+S 4=斜放置的正方形面积为3,故S 1+S 2+S 3+S 4=1+3=4.二、 规律探究题ADC BADBC ADBC 图1图2图3图2C 6C 5C 4C 3C 2C 1CA BB“探究性学习〞课中，设计了如下表： 〔1〕请你分别观察a 、b 、c 与n 〔n ＞1〕 之间的关系，并分别用含n 的代数式表示a 、b 、c ：a= ，b= ，c= ； 〔2〕猜测以a 、b 、c 为边的三角形是否 为直角三角形，并验证你的猜测. 解：〔1〕12-n ；2n ；12+n〔2〕猜测以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形. 验证：由于2222)1(n n +- 1241224224++=++-=n n n n n ,因为,12)1(2422++=+n n n 所以22222222121c b a n n n =++=+-，即）（）（.故以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形.三、 开放题例3.如图2所示，是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，以线段AB 〔A ，B 为格求出以BC点〕为一条直角边任1C 意画一个Rt △ABC ，且点C 为格点，并为边的正方形的面积.分析：这是一道结论开放题，据题意经过分析，符合要求的点C 有多个，如图2所示，1C ，2C ，3C ，4C ，5C ，6C 都是符合要求的点.解：画出的Rt △ABC 如图2中所示，41624222+=+=BC =20，所以以BC 为边的正方形面积为20.四、 方案设计题例4. 如图3所示，MN 表示一条铁路，A,B 是两个城，它们到铁路所在直线，它们到铁路所在直线MN 的垂直间隔 分别为1AA =20km ，1BB =40km ，且11B A 11,B A 之间设一个中转站P ，使两个城到中转站的间隔 之和最短.请你设计一个方案确定P 点的位置，并求出这个最短间隔 .分析：此题为最正确方案设计题，要寻找点P 的思路根据“两点之间线段最段〞，只要将点A 移到MN 的另一侧即可，也就是A 与点'A 关于MN 对称，此时PA=P 'A ，因此PA+PB= P 'A +PB='A B ，故点P 到点A ，B 间隔 之和最短.解：如图3，作点A 关于MN 的对称点'A ，连接'A B ，交MN 于点P ，那么点P 就是要确定的中转站的位置，最短间隔 即为PA+PB.过点'A 作'A 'B ⊥1BB ，交1BB 的延长线于'B △'A B 'B 中，'A 'B =11B A =80km ，'BB =1BB +1'B B =1BB +'1A A =1BB +1AA =40+20=60〔km 〕，所以2222''2'1006080=+==B A B A ，所以'A B=100km ，由点的对称性可知AP+BP=P 'A +PB='A B=100km ，所以这个最短间隔 为100km.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
(典型题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试(含答案解析)
一、选择题1．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，大正方形面积为S 1，小正方形面积为S 2，则（a +b ）2可以表示为（ ）A ．S 1﹣S 2B ．S 1+S 2C ．2S 1﹣S 2D ．S 1+2S 2 2．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是2，3，1，2，则△正方形E 的边长是（ ）A ．18B ．8C ．22D ．32 3．下列各组数据，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A ．5、6、7 B ．6、8、10C ．1.5、2、2.5D ．3、2、7 4．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为20cm 的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．210cmB ．225cm 2C ．22cm 2D ．225cm 5．已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC 的费马点（Fermat point ）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB ＝∠APC＝∠BPC ＝120°时，P 就是△ABC 的费马点．若点P 是腰长为6的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD ＋PE ＋PF ＝（ ）A ．6B ．()326+C ．63D ．96．如图，直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别为3和4，则b 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．77．如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（ ）A ．25B ．16C ．50D ．418．如图，在长方形ACD 中，3AB cm =，9AD cm =，将此长方形折叠，便点D 与点B 重合，折痕为EF ，则ABE △的面积为（ ）2cm ．A ．12B ．10C ．6D ．15 9．下列四组数中，是勾股数的是（ ） A ．5,12,13 B ．4,5,6 C ．2,3,4 D ．1,2,5 10．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =．以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）A ．8B ．12C ．18D ．2011．下列各组数是勾股数的是（ ）A ．4，5，6B ．5，7，9C ．6，8，10D ．10，11，12 12．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为（ ）A ．514B ．8C ．16D ．64二、填空题13．如图，把一张宽为4（即4AB =）的矩形纸片ABCD 沿,EF GH 折叠（点,E H 在AD 边上，点,F G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '点，D 点对称点为D '点．当PFG △为等腰三角形时，发现此时PFG △的面积为10，则矩形ABCD 的长BC =_____．14．已知等腰三角形的两边长分别为a ，b ，且a ，b 满足2235(2313)0a b a b -+++-=，则此等腰三角形的面积为____．15．如图，△ABC 中AD ⊥BC 于D ，AC ＝2， DC ＝1，BD ＝3， 则AB 的长为_____．16．如图，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= __________.17．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB OA ⊥，使3AB =（如图）；再以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数是____________.18．一架5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距离墙脚3m ，若梯子的顶端下滑1m ，则梯足将滑动______．19．如图，ABC 中，90C ∠=︒，D 是BC 边上一点，17AB cm =，10AD cm =，8AC cm =，则BD 的长为________.20．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD =3，AE =10，则正方形ODCE 的边长等于____．三、解答题21．在△ABC 中，AB=8，AC=5，若BC 边上的高等于4，求BC 的长．22．某校校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱(如图)，学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A 绕三棱柱侧面一周到顶点A '安装灯带，已知此三棱柱的高为4m ，底面边长为1m ，求灯带最短的长度．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是．24．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1，并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为,a b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．25．在等腰直角△ABC中，AB＝ AC， BAC＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB 上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形；①求证：∠BDP ＝∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．26．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据图形和勾股定理可知S1＝c2＝a2+b2，再由完全平方公式即可得到结果．【详解】解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，则S1＝c2＝a2+b2S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，∴2ab＝S1﹣S2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．2．D解析：D【分析】根据勾股定理分别求出正方形E 的面积，进而即可求解．【详解】解：由勾股定理得，正方形E 的面积＝正方形A 的面积＋正方形B 的面积+正方形C 的面积＋正方形D 的面积＝22+32+12+22＝18，∴正方形E 的边长故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．3．A解析：A【分析】利用勾股定理的逆定理计算判断即可．【详解】∵2256253661+=+=≠2749=，∴5、6、7不能作为直角三角形的三边长，∴选项A 错误；∵22866436100+=+==210100=，∴6、8、10能作为直角三角形的三边长，∴选项B 正确；∵221.52 2.254 6.25+=+==22.5 6.25=，∴1.5、2、2.5能作为直角三角形的三边长，∴选项C 正确； ∵222347+=+==27=， ∴2能作为直角三角形的三边长，∴选项D 正确；故选A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握逆定理并进行准确计算是解题的关键． 4．B解析：B【分析】根据七巧板意义，计算出阴影等腰直角三角形的直角边的长即可.【详解】如图，根据题意，得BC=20，=EM ，∴，∴EF=FG=5， ∴212522EFG S EF ==， 故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积，熟练掌握七巧板制作规律和制作特点是解题的关键.5．B解析：B【分析】根据题意画出图形，根据勾股定理可得EF ，由过点D 作DM ⊥EF 于点M ，过E 、F 分别作∠MEP =∠MFP =30°就可以得到满足条件的点P ，易得EM =DM =MF ＝32方程求出PM 、PE 、PF ，继而求出PD 的长即可求解．【详解】解：如图：等腰Rt △DEF 中，DE =DF =6， ∴22226662EF DE DF =++=过点D 作DM ⊥EF 于点M ，过E 、F 分别作∠MEP =∠MFP =30°，则∠EPF=∠FPD=∠DPE=120°，点P 就是马费点，∴EM =DM =MF ＝32设PM ＝x ，PE ＝PF=2x ，在Rt △EMP 中，由勾股定理可得：222PM EM PE +=，即()22182x x +=， 解得：16x =26x =-即PM 6，∴PE ＝PF ＝26故DP =DM －PM ＝326，则PD +PE +PF =326463236326． 故选B ．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用，正确画出做辅助线构造直角三角形进而求出PM 的长是解题关键．6．D解析：D【分析】根据“AAS”可得到△ABC ≌△CDE ，由勾股定理可得到b 的面积=a 的面积+c 的面积.【详解】解：如图∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC ，∵∠ABC=∠CDE ，AC=CE ，∴△ABC ≌△CDE ，∴BC=DE ，∵AC 2=AB 2+BC 2，∴AC 2=AB 2+DE 2，∴b 的面积=a 的面积+c 的面积=3+4=7．故答案为：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．7．C解析：C【分析】由勾股定理解得2AB 、22CD BD +，再根据正方形边长相等的性质得到222225CD BD BC AB +===，据此解题即可．【详解】解：由勾股定理得，222131225AB =-=222BC CD BD =+222225CD BD BC AB ∴+===∴阴影部分的面积是222252550CD BD BC ++=+=，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．C解析：C【分析】设AE=x ，由折叠BE=ED=9-x ，再在Rt △ABE 中使用勾股定理即可求出x ，进而求出△ABE 的面积．【详解】解：设AE=x ，由折叠可知：BE=ED=9-x ，在Rt △ABE 中，由勾股定理有：AB²+AE²=BE²，代入数据：3²+x²=(9-x)²，解得x=4，故AE=4，此时11=43622∆⨯=⨯⨯=ABE S AE AB ， 故选：C ．【点睛】本题考查了折叠问题中的勾股定理，利用折叠后对应边相等，设要求的边为x ，在一个直角三角形中，其余边用x 的代数式表示，利用勾股定理建立方程求解x ． 9．A解析：A【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A. ∵5，12，13是正整数，且52+122=132，∴5，12，13是勾股数；B. ∵42+52≠62，∴4，5，6不是勾股数；C. ∵22+32≠42，∴2，3，4不是勾股数；D. ∵25∴125故选A ．【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a ，b ，c 为正整数，且满足a 2+b 2=c 2，那么，a 、b 、c 叫做一组勾股数．10．D解析：D【分析】根据勾股定理解得2AB 的值，再结合正方形的面积公式解题即可．【详解】在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，222224220AB AC BC ∴=+=+=∴以AB 为一条边向三角形外部作的正方形的面积为220AB =，故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11．C解析：C【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数a 、b 、c 叫做勾股数，逐一进行判断即可．【详解】解：A. 222456+≠，故此选项错误；B. 222579+≠，故此选项错误；C. 2226810+=，故此选项正确；D. 222101112+≠，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股数的概念，熟记勾股数的概念是解题的关键．12．D解析：D【分析】设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，由题意得222+=a b c ，代入得到2225289a +=，计算求出答案即可．【详解】如图，设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，由题意得222+=a b c ，∴2225289a +=，∴字母A 所代表的正方形的面积264a =，故选：D ．．【点睛】此题考查以弦图为背景的证明，熟记勾股定理的计算公式、理解三个正方形的面积关系是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据勾股定理解答即可；【详解】由题可知∴作∵是等腰三角形∴∴由翻折可知∴∴；故答案是【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用准确结合翻折的性质计算是解题的关键 解析：589+【分析】根据勾股定理解答即可；【详解】 由题可知△14102PFG S FG =⨯⨯=， ∴5FG =， 作PM FG ⊥，∵PFG △是等腰三角形，∴52FM GM ==， ∴25891622PF PG ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭， 由翻折可知，BF PF PG CG ===，∴89BF CG ==∴589BC BF FG CF =++=+；故答案是589+．【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，准确结合翻折的性质计算是解题的关键．14．或【分析】根据非负数的性质列出方程组求解的值然后分两种情况讨论画出图形作底边上的高利用勾股定理求出高即可求解【详解】解：由非负性可知解得①当是腰时三边分别为由2＋2＞3则能组成三角形设底边上的高为h 解析：374或22 【分析】根据非负数的性质列出方程组求解a ，b 的值，然后分两种情况讨论,画出图形,作底边上的高,利用勾股定理求出高，即可求解．【详解】解：由非负性可知235023130a b a b -+=⎧⎨+-=⎩， 解得23a b =⎧⎨=⎩， ①当a 是腰时，三边分别为2、2、3，由2＋2＞3，则能组成三角形，设底边上的高为h ，如下图所示则h=22322⎛⎫- ⎪⎝⎭=7 ∴此等腰三角形的面积为1732⨯⨯=37； ②当b 是腰时，三边分别为3、3、2，由3＋2＞3，则能组成三角形，设底边上的高为h ，如下图所示则22232⎛⎫- ⎪⎝⎭2 ∴此等腰三角形的面积为12222⨯⨯=22或综上：此等腰三角形的面积为4故答案为：或4【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，勾股定理，先求出a，b的值是解题的关键，要注意分情况讨论．15．【分析】根据ACDC解直角△ACD可以求得AD根据求得的AD和BD解直角△ABD可以计算AB【详解】∵AD⊥BC于D∴△ACD△ABD为直角三角形∴AC2＝AD2＋DC2∴AD＝=＝∵△ABD为直角解析：【分析】根据AC，DC解直角△ACD，可以求得AD，根据求得的AD和BD解直角△ABD，可以计算AB．【详解】∵AD⊥BC于D，∴△ACD、△ABD为直角三角形，∴AC2＝AD2＋DC2，∴AD，∵△ABD为直角三角形，∴AB2＝AD2＋BD2，∴AB＝故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的灵活运用，根据两直角边求斜边，根据斜边和一条直角边求另一条直角边．16．8【分析】设AB=5x则BC=3x根据勾股定理可求出AC=4x由周长为24列方程求出x的值即可求出AC的长【详解】设AB=5x∵AB：BC=5：3∴BC=3x∴AC=4x∵直角三角形ABC的周长为2解析：8【分析】设AB=5x，则BC=3x，根据勾股定理可求出AC=4x，由周长为24列方程求出x的值，即可求出AC的长.【详解】设AB=5x，∵AB：BC=5：3，∴BC=3x，∴AC=4x，∵直角三角形ABC的周长为24，∴3x+4x+5x=24，解得：x=2，∴AC=4x=8.故答案为8【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，用含有x的式子分别表示出三边的值，代入周长公式求解是解题关键.17．【分析】根据勾股定理可计算出OB的长度即点P在数轴正半轴表示的数【详解】解：在Rt△OAB中∵OA=2OB=3；∴OB=；∴以点O为圆心OB为半径与正半轴交点P表示的数为故答案为：【点睛】本题考查勾【分析】根据勾股定理可计算出OB的长度，即点P在数轴正半轴表示的数．【详解】解：在Rt△OAB中∵OA=2，OB=3；∴==；∴以点O为圆心，OB为半径与正半轴交点P【点睛】本题考查勾股定理的应用及数轴上点的坐标的表示，根据题意先计算OB的长度，注意以点O交点即可得解．18．【分析】根据条件作出示意图根据勾股定理求解即可【详解】解：由题意可画图如下：在直角三角形ABO中根据勾股定理可得如果梯子的顶度端下滑1米则在直角三角形中根据勾股定理得到：则梯子滑动的距离就是故答案为解析：1m【分析】根据条件作出示意图，根据勾股定理求解即可．【详解】解：由题意可画图如下：在直角三角形ABO 中，根据勾股定理可得，22534OA =-=，如果梯子的顶度端下滑1米，则'413OA m =-=．在直角三角形''A B O 中，根据勾股定理得到：'4OB m =，则梯子滑动的距离就是'431OB OB m -=-=．故答案为：1m ．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，根据题目画出示意图是解此题的关键． 19．9cm 【分析】由可知为直角三角形利用勾股定理可分别计算求得BC 和CD 从而完成BD 求解【详解】∵∴同理∴故答案为：【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长 解析：9cm【分析】由90C ∠=︒可知ABC 为直角三角形，利用勾股定理，可分别计算求得BC 和CD ，从而完成BD 求解．【详解】∵90C ∠=︒ ∴222217815BC AB AC -=-=同理 22221086CD AD AC =-=-=∴1569BD BC CD =-=-=故答案为：9cm ．【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长．20．2【分析】根据题意有两对全等的直角三角形设正方形的边长为x 则BC=3+xAC=10+xAB=13根据勾股定理BC2+AC2=AB2列出方程解出x 即可【详解】解：设DC=CE=x 则BC=3+xAC=1解析：2【分析】根据题意，有两对全等的直角三角形，设正方形的边长为x，则BC=3+x，AC=10+x，AB=13，根据勾股定理，BC2+AC2=AB2，列出方程，解出x即可．【详解】解：设DC=CE=x，则BC=3+x，AC=10+x∵BC2+AC2=AB2∴（3+x）2+（10+x）2=132∴x=2故答案为：2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与勾股定理，熟悉全等三角形对应边相等，勾股定理的应用是解决本题的关键．三、解答题21．BC=43+3或43-3【分析】作AD⊥BC于D，分点D在线段BC上和BC的延长线上两种情况，根据勾股定理计算即可．【详解】解：作AD⊥BC于D，分两种情况：①高BD在线段BC上，如图1所示：在Rt△ABD中，BD=2222AB AD-=-=，8443在Rt△ACD中，CD=2222AC AD-=-=3，54∴BC=BD+CD=43+3；②高AD在CB的延长线上，如图2所示：BC=BD-CD=43-3；综上所述，BC的长为43+3或43-3．【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．22．5m【分析】先画出三棱柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解．【详解】将三棱柱展开如图，连接A’A，则A’A的长度就是彩带的最短长度，如图，在Rt△AA'B中AB=底面等边三角形的周长=3×1=3(m)∵AA'=4(m)由勾股定理得：22AA'=+=(m)．435答：灯带的最短长度为5m．【点睛】本题考查学生对勾股定理的应用能力，熟练掌握勾股定理是解题的关键.23．（1）见解析；（2）30．【分析】（1）根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC；（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；【详解】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△BCE和△CAD中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CAD （AAS ）；（2）解：∵△BCE ≌△CAD ，BE ＝5，DE ＝7，∴BE ＝DC ＝5，CE ＝AD ＝CD+DE ＝5+7＝12．∴由勾股定理得：AC ＝13，∴△ACD 的周长为：5+12+13＝30，故答案为：30．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．也考查了余角的性质和勾股定理．24．见解析【分析】根据总面积=以c 为边的正方形的面积+2个直角边长为,a b 的三角形的面积=以b 为上底、(a+b)为下底、高为b 的梯形的面积+以a 为上底、(a+b)为下底、高为a 的梯形的面积，据此列式求解．【详解】 证明：总面积()()21112222S c ab a b b b a a b a =+⨯=++⋅+++⋅ 222c a b ∴=+【点睛】此题考查的是勾股定理的证明，用两种方法表示同一图形的面积是解题关键． 25．（1）见解析；①见解析；②BC -BD；见解析；（2）BD -BCBP【分析】（1）根据题意补全图形即可：①设PD 与BC 的交点为E ，根据三角形内角和定理可求解；②过点P 作PF ⊥BP 交BC 于点F ．证明△BPD ≌△FPC ，即可得到结论；（2）过点P 作PH ⊥BP 交CB 的延长线于点H ，证明△HPC ≌△BPD 即可．【详解】解：（1）补全图形，如图．①证明：如图①，设PD与BC的交点为E．根据题意可知，∠CPD=90°．∵BC⊥l，∴∠DBC=90°．∴∠BDP+∠BED=90°，∠PCB+∠PEC= 90°．∵∠BED=∠PEC∴∠BDP=∠PCB．②BC-BD=2BP．证明：如图②，过点P作PF⊥BP交BC于点F．∵AB= AC， A=90°，∴∠ABC=45°．∴BP=PF，∠PFB=45°．∴∠PBD=∠PFC=135°．∴△BPD≌△FPC．∴BD=FC．∵BF2BP，∴BC -BD=2BP ．（3）过点P 作PH ⊥BP 交CB 的延长线于点H ，如图③，∵∠DPC=∠CBM=90°，∠PMD=∠BMC∴∠PDM=∠BCM∵∠ABC=∠ACB=45°∴∠HBP=45°∴∠DBP=45°∵∠BPH=90°∴∠BHP=45°∴HP=BP∴2HB PB =又∠DPC=90°∴∠HPC=∠BPD ，在△HPC 和△BPD 中，HP BP BPD HPC PHC PBD =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△HPC ≌△BPD∴2BP BC +∴BD -BC 2BP ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质运用和勾股定理的应用，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．26．2米【分析】先根据勾股定理求出AB 的长，同理可得出BD 的长，进而可得出结论．【详解】解：在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，0.7BC =米， 2.4AC =米，2220.7 2.4 6.25AB ∴=+=．在Rt △A BD '中，90A DB ∠'=︒，2A D '=米，222BD A D A B +'='，222 6.25BD ∴+=，2 2.25BD ∴=，0BD >，1.5BD ∴=米，0.7 1.5 2.2CD BC BD ∴=+=+=米，答：小巷的宽度为2.2米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．。
八年级数学第一章《勾股定理》练习题
八年级数学第一章?勾股定理?练习题一、选择题〔12×3′=36′〕1．一个Rt△的两边长分别为3和4，那么第三边长的平方是〔〕A、25B、14C、7D、7或252．以下各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是〔〕A、a=1.5，b=2,c=3B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10D、a=3,b=4,c=53．假设线段a，b，c组成Rt△，那么它们的比为〔〕A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶74．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，那么Rt△的周长为〔〕A、121B、120C、132D、不能确定5．如果Rt△两直角边的比为5∶12，那么斜边上的高与斜边的比为〔〕A、60∶13B、5∶12C、12∶13D、60∶1696．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n〔n>1〕，那么它的斜边长是〔〕A、2nB、n+1C、n2－1D、n2+17．Rt△ABC中，∠C=90°，假设a+b=14cm，c=10cm，那么Rt△ABC的面积是〔〕A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm28．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，那么三角形的面积为〔〕A、56B、48C、40D、329．三角形的三边长为〔a+b〕2=c2+2ab,那么这个三角形是()A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形.10．某市在旧城改造中，方案在市内一块如下列图的三角形空地上种植草皮以美化环境，这种草皮每平方米售价a元，那么购置这种草皮至少需要〔〕A、450a元B、225a 元C、150a元D、300a元11．，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，那么△ABE的面积为〔〕A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm212．，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，那么两船相距〔〕A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里二、填空题〔8×3′=24′〕13．在Rt△ABC中，∠C=90°，①假设a=5，b=12，那么c=___________；②假设a=15，c=25，那么b=___________；③假设c=61，b=60，那么a=__________；④假设a∶b=3∶4，c=10那么SRt△ABC=________。
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八年级数学第一章《勾股定理》练习题
一、选择题（12×3′=36′）
1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）
A、25
B、14
C、7
D、7或25
2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（）
A、a=1.5，b=2,c=3
B、a=7,b=24,c=25
C、a=6,b=8,c=10
D、a=3,b=4,c=5
3．若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（）
A、2∶3∶4
B、3∶4∶6
C、5∶12∶13
D、4∶6∶7
4．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（）
A、121
B、120
C、132
D、不能确定
5．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（）
A、60∶13
B、5∶12
C、12∶13
D、60∶169
6．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（）
A、2n
B、n+1
C、n2－1
D、n2+1
7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）
A、24cm2
B、36cm2
C、48cm2
D、60cm2
8．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）
A、56
B、48
C、40
D、32
9．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形;
B. 钝角三角形;
C. 直角三角形;
D. 锐角三角形. 10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）
A、450a元
B、225a 元
C、150a元
D、300a元
11．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）
A、6cm2
B、8cm2
C、10cm2
D、12cm2
12．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口
A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）
A、25海里
B、30海里
C、35海里
D、40海里
二、填空题（8×3′=24′）
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则S
Rt△ABC
=________。
14．在由小方格组成的网格中，用数格子的方法判断出给定的钝角三角形和锐角三角形的三边不满足两边平方和等于第三边的平方，由此可想到________________________________________________。
15．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
16．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。
17．已知两条线段的长为5c m和12c m,当第三条线段的长为c m时,这三条线段能组成一个直角三角形.
18．已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于cm 19．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为___________cm2。
20．在一棵树的1020米处的池塘的A处。
另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。
三．解答题（共60分）
21．（7分）小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？
150°
20m 30m
第10题图
第11题图北
南
A 东
第12题图
C
O
A B
D
E
第18题图
A
第20题图
22．（7分）如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
23．（7分）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
24．（7分）已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。
25．（8分）已知，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5,BD=2.5,求AC 的长.
26．（8分）如图，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c 的全等直角三角形，已知其直角边长为a ，b.利用这个图试说明勾股定理?
27．（8分）已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。
28．（8分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识说明：AB 2－AP 2=PB ×PC 。
A B
C
D 第24题图 A D
E B C 第22题图
C D A B
第25题图
C
第26题图
A B
C
第28题图。