利用导数求函数的单调性
导数法判断函数单调性
导数法判断函数单调性
微积分中，导数法判断函数单调性是一种直观简单、高效果的方式。
当原函数在区间上单调时，其求得的导数不可能大于零同时也不可能小于零；反之，当函数在区间上不是单调的时候，其求得的导数有可能小于零同时也有可能大于零，由于函数的单调性十分直观，这就是应用微积分来判断函数单调性的常用方法。
导数法判断函数单调性，既可以利用导数的符号属性，也可以利用导数的极值属性，即函数在自变量的极点处，此时的导数取值为零。
因此，当函数的导数存在极点的时候，改点即为函数的拐点。
当函数存在多个拐点的时候，利用导数的符号属性来判断函数的单调性，即对于拐点左右的区间，导数的符号都不可能改变，便可正确判断有关函数的单调性。
总之，导数法判断函数单调性，是一种重要且高效的方法，也是在求解非线性微分方程、定性分析流形等复杂微积分问题时，非常有效的工具之一。
【2021新高考数学】利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【举一反三】
1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________． x
1，＋∞ 【答案】 2
【解析】
由
y＝4x2＋1，得 x
y′＝8x－x12(x≠0)，令
y′>0，即
8x－x12>0，解得
x>1， 2
∴函数
y＝4x2＋1的单调增区间为
2
.
2
2
当 x (, 2 ) 时，函数为增函数；当 x ( 2 , ) 时，函数也为增函数.
2
2
令 f (x) 6x2 3 0 ，解得 2 x 2 .当 x ( 2 , 2 ) 时，函数为减函数.
2
2
22
故函数 f (x) 2x3 3x 的单调递增区间为 (, 2 ) 和 ( 2 , ) ，单调递减区间为 ( 2 , 2 ) .
当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接
【举一反三】 1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________．
x 2．函数 f(x)＝x·ex－ex＋1 的单调增区间是________． 3．已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)的单调减区间是________． 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调增区间是_______．
2x 2 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
第十四讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【套路秘籍】
一．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x) 在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时：
第21讲 利用导数研究函数的单调性(解析版)
第21讲 利用导数研究函数的单调性【基础知识回顾】1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a ，b)内，如果f′(x)≥0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间． 3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围 (1)函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递增，可转化为f ′(x)≥0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆增区间．函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆减区间．(2)函数y ＝f(x)的增区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a ，b)；函数y ＝f(x)的减区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝减区间，也可转化为a ，b 是f′(x)＝0的两根．1、.函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫1e ，e B.⎝⎛⎭⎫0，1e C.⎝⎛⎭⎫－∞，1eD.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞【答案】 B【解析】因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1e，故f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 2、函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )第2题图A . (－∞，－2]B . ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C . [)－2，3 D . ⎣⎡⎭⎫98，＋∞【答案】D【解析】 由题图可知d ＝0. 不妨取a ＝1，∵f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x)＝3x 2＋2bx ＋c. 由图可知f′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18. ∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为[98，＋∞).故选D .3、函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1a B.⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，1a D ．(－∞，a )【答案】A【解析】 由f ′(x )＝1x －a >0，x >0，得0<x <1a .∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a . 4、若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，2ln 2－2)【解析】 ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解.设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得极大值也是最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2.考向一 求函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋3；(2)g(x)＝x 2－2ln x.【解析】 (1)∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，定义域为R ，∴当f ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1. ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)g ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，定义域为(0，＋∞)，令g ′(x )＝0，解得：x ＝1或x ＝－1(舍去)，列表：x (0，1) 1 (1，＋∞) g ′(x ) － 0＋ g (x ) 减 极小值 增变式1、（1）下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.f (x )＝sin 2x B.f (x )＝x e x C.f (x )＝x 3－xD.f (x )＝－x ＋ln x【答案】 B【解析】 由于x ＞0，对于A ，f ′(x )＝2cos 2x ，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－1＜0，不符合题意； 对于B ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ＞0，符合题意；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，f ′⎝⎛⎭⎫13＝－23＜0，不符合题意； 对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ，f ′(2)＝－12＜0，不符合题意.(2)函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】 C【解析】 ∵函数f (x )＝2x 2－ln x ，∴f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝4⎝⎛⎭⎫x －12⎝⎛⎭⎫x ＋12x.由f ′(x )＜0，解得0＜x ＜12，∴函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，12. （3）.已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的递增区间是________. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 【解析】 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2.变式2、（1）函数f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为__ __．（2） 函数f(x)＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是__ __．（3）已知a<0，函数f(x)＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2的单调递减区间是__ ．【解析】（1）由f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x)＝3x 2－30x －33，令f′(x)<0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1<x<11，∴函数f(x)的单调减区间为(－1，11)． （2） f′(x)＝1－cos x>0在(0，2π)上恒成立，∴f(x)单调递增．（3）f′(x)＝3x 2＋2ax －a 2＝(3x －a)(x ＋a)，令f′(x)<0，得a3<x<－a ，∴减区间为⎝⎛⎭⎫a3，－a . 方法总结：1. 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f ′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间． 2. 利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函数的符号．考向二 给定区间求参数的范围例2、设函数()32132a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. (1)求,bc 的值；(2)若0a >，求函数()f x 的单调区间；(3)设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间(2,1)--内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．【解析】：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝1，f ′0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x )max ＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．变式1、已知g (x )＝2x ＋ln x －ax .(1)若函数g (x )在区间[1，2]内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若g (x )在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.【解析】(1)g (x )＝2x ＋ln x －ax (x >0)，g ′(x )＝2＋1x ＋ax2(x >0).∵函数g (x )在[1，2]上单调递增， ∴g ′(x )≥0在[1，2]上恒成立， 即2＋1x ＋ax 2≥0在[1，2]上恒成立，∴a ≥－2x 2－x 在[1，2]上恒成立， ∴a ≥(－2x 2－x )max ，x ∈[1，2]. 在[1，2]上，(－2x 2－x )max ＝－3， 所以a ≥－3.∴实数a 的取值范围是[－3，＋∞). (2)g (x )在[1，2]上存在单调递增区间， 则g ′(x )＞0在[1，2]上有解， 即a ＞－2x 2－x 在[1，2]上有解， ∴a ＞(－2x 2－x )min ，又(－2x 2－x )min ＝－10，∴a ＞－10.变式2、若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A.[－1，1]B.⎣⎡⎦⎤－1，13C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53.由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立. 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]， 则－43t 2＋at ＋53≥0，在t ∈[－1，1]上恒成立.∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝－3a －1≤0，g （－1）＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤13方法总结： 1.明晰导数概念及其几何意义在解题中的应用，强化方程的思想，培养基本运算能力．2. 辨析区间上单调和区间上存在单调区间的本质区别和处理策略的不同，提升参变分离和构造函数等解决问题的方法和技巧，感悟数学解题背后的思维和内涵．考向三 函数单调区间的讨论例3、已知函数．当时，讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为.， 因为，所以， ①当，即时，由得或，由得， 所以在，上是增函数， 在上是减函数； ②当，即时，所以在上是增函数；③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函 综上可知：当时在，上是单调递增，在上是单调递减； 当时，在.上是单调递增；当时在，上是单调递增，在上是单调递减. 变式1、讨论下列函数的单调性． (1)f (x )＝x －a ln x ； (2)g (x )＝13x 3＋ax 2－3a 2x .【解析】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，()()11ln f x x m x m R x x ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭1m ()f x ()f x (0,)+∞'21()1m m f x x x -=+-2221(1)[(1)]x mx m x x m x x -+----==1m 10m ->011m <-<12m <<()0f x '>1x >1x m <-()0f x '<11m x -<<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -11m -=2m =()0f x '≥()f x ()0,∞+11m ->2m >()0f x '>1x m >-1x <()0f x '<11x m <<-()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -12m <<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -2m =()f x ()0,∞+2m >()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． (2)g (x )的定义域为R ，g ′(x )＝x 2＋2ax －3a 2＝(x ＋3a )(x －a )， 当a ＝0时，g ′(x )≥0， ∴g (x )在R 上单调递增． 当a >0时，x ∈(－∞，－3a )∪(a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， x ∈(－3a ，a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 当a <0时，x ∈(－∞，a )∪(－3a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， x ∈(a ，－3a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 综上有a ＝0时，g (x )在R 上单调递增；a <0时，g (x )在(－∞，a )，(－3a ，＋∞)上单调递增，在(a ，－3a )上单调递减； a >0时，g (x )在(－∞，－3a )，(a ，＋∞)上单调递增，在(－3a ，a )上单调递减． 变式2、已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )，a >0.讨论f (x )的单调性．【解析】 由题知，f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2，设g (x )＝x 2－ax ＋2， g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当Δ＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2， 有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根， x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x )单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．方法总结： 对含参函数的合理分类，关键是找到引起分类讨论的原因．2. 会对函数进行准确求导，求导以后进行整理并因式分解，其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根的大小等都是引起分类讨论的原因．考向四 构造函数研究单调性例4、(1)设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则下列不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x(2)已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )<g (1)的解集是( )A ．(－∞，1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－1,0)∪(0,1)【答案】 (1)A (2)D【解析】(1)法一：令g (x )＝x 2f (x )－14x 4，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－x 3＝x [2f (x )＋xf ′(x )－x 2]，当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )>g (0)， 即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x <0时，g ′(x )<0，∴g (x )>g (0)， 即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x ＝0时，由题意可得2f (0)>0，∴f (0)>0. 综上可知，f (x )>0.法二：∵2f (x )＋xf ′(x )>x 2，∴令x ＝0，则f (0)>0，故可排除B 、D ，不妨令f (x )＝x 2＋0.1，则已知条件2f (x )＋xf ′(x )>x 2成立，但f (x )>x 不一定成立，故C 也是错误的，故选A.(2)∵f (x )是定义域为{x |x ≠0}的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )， ∴xf ′(x )＋2f (x )>0. ∵g (x )＝x 2f (x )，∴g (x )也是偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )>0. ∵g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )在(－∞，0)递减． 若g (x )<g (1)，则|x |<1(x ≠0)， 解得0<x <1或－1<x <0.故g (x )<g (1)的解集是(－1,0)∪(0,1)． 变式1、已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】CD 【解析】令，，则， 因为， 所以在上恒成立， 因此函数在上单调递减， 因此，即，即，故A 错；又，所以，所以在上恒成立， 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ()f x '()00f =()cos ()sin 0f x x f x x '+<6624f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln 03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()cos f x g x x =0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x '+'=()cos ()sin 0f x x f x x '+<2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'=<0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()cos f x g x x =0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭64g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭64cos cos64f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>664f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()00f =(0)(0)0cos0f g ==()()0cos f x g x x =≤0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭因为，所以，故B 错； 又，所以，即，故C 正确；又，所以，即，故D 正确；故选：CD.变式2、设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，－1)∪(0，1)【解析】 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0， 所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f （x ）x ，则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0. 则当x ＞0时，g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上单减，在(－∞，0)上单增.所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0，得f （x ）x ＞0，所以f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，由g (x )＜g (－1)＝0，得f （x ）x＜0，所以f (x )＞0. 综上知，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).变式3、设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集为________. 【答案】 (－∞，－3)∪(0，3) 【解析】 f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0⇔ [f (x )g (x )]′＞0，所以函数y ＝f (x )g (x )在(－∞，0)上单调递增. 又由题意知函数y ＝f (x )g (x )为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3，0)，(3，0).ln0,32ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ln 03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭63g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63cos cos 63f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos43f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭数形结合可求得不等式f (x )g (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0，3).方法总结：(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )；(2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式f ′(x )>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . (3)对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； (4)对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xg x(g (x )≠0)；(5)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (6)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xx(x ≠0)．1、函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．2、设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤， 即实数a 的取值范围是(],0-∞.3、（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）已知函数()ln f x x =，()g x x =，则当120x x >>时（ ） A ．1122|()()||()()|f x g x f x g x -<-|B ．1122|()()||()()|f x g x f x g x ->-C ．1221|()()||()()|f x g x f x g x -<- D ．1221|()()||()()|f x g x f x g x ->-【答案】C【解析】令()ln h x x x =-，则()111xh x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 则()()110h x h ≤=-<，则()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，∴()1h x 和()2h x 的大小不确定，故AB 错误；由()0h x <可知221ln x x x <<，即()()210f x g x -<， 令1221|()()||()()|W f x g x f x g x =---， 则1221|()()|()()W f x g x f x g x =-+-，当()()12f x g x ≥时，[][]12211122()()()()()()()()0W f x g x f x g x f x g x f x g x =-+-=-+-<； 当()()12f x g x <，[][]21212211()()()()()()()()W g x f x f x g x f x g x f x g x =-+-=+-+，()()ln y f x g x x x =+=+单调递增，0W ∴<， 综上，1221|()()||()()|f x g x f x g x -<-，故C 正确，D 错误.故选：C.4、（2021·广东高三月考）已知函数()ln f x x ax =+在函数()22g x x x b =-+的递增区间上也单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)0,+∞C ．(][),10,-∞-+∞ D ．(]1,0-【答案】B【解析】因为()g x 的单调递增区间为[)1,+∞， 则由题意()f x 在[)1,+∞递增， 而()1axf x x+'=， 所以当0a ≥时，()0f x '>在 [)1,+∞恒成立，()f x 在区间[)1,+∞单调递增，符合题意； 当0a <时，由()10ax f x x +'=>，解得10x a<<- ()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不合题意.综上，0a ≥. 故选：B5、（2021·广东高三月考）若对任意的1x ，()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 2x x x x x x -<-，则m 的最小值是（ ）（注： 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数） A ．1eB ．eC ．1D ．3e【答案】A【解析】由题意知210x x >>，可得210x x ->， 则122121ln ln 2x x x x x x -<-等价于()122121ln ln 2x x x x x x -<-，即121212ln 2ln 2x x x x x x +<+，所以()()1221ln 2ln 2x x x x +<+， 所以2121ln 2ln 2x x x x ++<， 令()ln 2x f x x+=，可得21f x f x ，又由21x x m >>，所以()f x 在(),m +∞上是减函数， 所以()2ln 10x f x x--'=≤，解得1x e ≥，则1m e ≥，即m 的最小值为1e . 故选：A.6、（2021·深圳市第七高级中学高三月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()0,6f x f x f x f x +-=+=-，且对[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在[]9,6--单调递增C ．3x =是函数()f x 的对称轴D ．函数()f x 的最小正周期是12【答案】BCD【解析】由定义域为R ， ()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，则函数为奇函数，故A 错误；因为()()6f x f x +=-，而()()f x f x -=-，所以()()6f x f x +=-，所以函数的对称轴为6032x +==，故C 选项正确； 因为()()6f x f x +=-，所以()()()126f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期是12，故D 选项正确；因为[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+， 则()()()()12120x x f x f x --<，所以[]3,0x ∈-时，()f x 为减函数. 因为函数为奇函数，所以[]0,3x ∈时，()f x 为减函数，又因为函数()f x 关于3x =对称，所以[]3,6x ∈时，()f x 为增函数.因为()f x 的最小正周期是12，所以[]9,6x ∈--的单调性与[]3,6x ∈时的单调性相同. 故，[]9,6x ∈--时，()f x 单调递增，故B 选项正确. 故选：BCD. 7、()3211232f x x x ax =-++，若()f x 在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______ 【答案】19a >- 【解析】：()'22fx x x a =-++，有已知条件可得：2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭，使得()'0f x ≥，即()212a x x ≥-，只需()2min12a x x ⎡⎤≥-⎢⎥⎣⎦，而()221122122339y x x ⎡⎤⎛⎫=->-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以19a >-。
利用导数讨论函数的单调性
课题：导数在函数中的应用——利用导数讨论函数的单调性一．复习回顾1.导数与函数的单调性:一般地，在某个区间(ab)内：（1）如果f′(x)>0，函数f (x)在这个区间内单调递增;（2）如果f′(x)<0，函数f (x)在这个区间内单调递减;（3）如果f′(x)=0，函数f (x)在这个区间内是常数函数．------利用导数的正负研究函数的增减2.利用导数讨论函数单调性的方法（1）直接解不等式：f′(x)>0和f′(x)<0；（2）利用f′(x)的图像（示意图）；（3）列表法；注：考虑f′(x)＝0的根；二．新课讲解（一）讨论函数的单调性【例1】（2018年全国I卷）已知函数 f(x)＝aex－ln x－1 （1）设x＝2是f(x)的极值点．求a，并求f(x)的单调区间；（二）讨论含参数函数的单调性【解法技巧】考虑f′(x)=0的根1. 若f′(x)=0在区间D上无解，则f′(x)恒正或恒负，f(x)在D上单调；2. 根有没有，要不要，比大小。
【例2】求f(x)＝ex－ax的单调区间；【例3】已知函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a ln x(1)当a＜1时，讨论f(x)的单调性；【变式】已知函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a ln x，讨论f(x)的单调性；三．归纳总结----导数讨论含参数函数单调性的思路：1. 若f′(x)=0在区间D上无解，则f′(x)恒正或恒负，f(x)在D上单调；2. f′(x)=0根有没有，要不要，比大小；①若f′(x)=0在R上无解或在R上有解但明显解不在定义域D内则f(x)在D上单调；②若f′(x)=0在R上有解但解是否在定义域D内需讨论，ⅰ若解都不在定义域D内，则f(x)在D上单调；ⅱ若有解在定义域D内，则利用f′(x)的图像或列表分析；四．课后作业：1.（2018-2019潮州高三期末）已知函数f(x)＝2( x－1) ln x＋a (x2－x－1＋1x).（1）当 a＝0讨论f(x)的单调性2. (2017·全国卷Ⅲ) 已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性；3. (2016·全国卷Ⅰ) 已知函数f(x)＝(x－2)ex－a (x－1)2 （1）讨论f(x)的单调性；。
利用导数研究函数的单调性教案
利用导数研究函数的单调性教案教案：利用导数研究函数的单调性一、教学目标1.了解函数的单调性概念，以及单调递增和单调递减的定义；2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法；3.能够通过导数的正负性分析函数的单调区间，并作出相应的图像。
二、教学准备1.教师准备：书本、黑板、白板、彩色粉笔、计算器、实例练习题；2.学生准备：笔记本、课本。
三、教学过程1.引入导入（10分钟）导师通过提问等方式，引导学生回顾函数的增减性、最值点等概念，为接下来的学习做铺垫。
2.学习讲解（25分钟）1)导师先通过实例展示导数与函数单调性之间的关系，比如分别给出函数f(x)=x^2和函数g(x)=-x^2的导数，并解释导数大于零时函数单调递增，导数小于零时函数单调递减。
2)导师详细讲解如何利用导数分析函数的单调性：首先，对函数f(x)求导，得到它的导函数f'(x)；其次，求出f'(x)的零点，即导数为零的点。
这些点将把函数f(x)的定义域划分为若干个开区间；然后，对每个开区间分别求取f'(x)的正负性，从而得到导数f'(x)在各开区间的取值范围；最后，结合导数f'(x)的正负性来分析函数f(x)的单调性。
3.实例训练（35分钟）导师通过多个实例进行讲解和学生训练，帮助学生熟悉和掌握利用导数研究函数单调性的方法。
4.小结提问（10分钟）导师通过提问进行小结，确保学生对函数的单调性及利用导数分析函数单调性的方法有一个深入的理解。
五、作业布置给定函数f(x)=2x^3+3x^2-12x+1，设置一个问题，让学生利用导数分析函数的单调性，并解决问题。
六、板书设计函数的单调性单调递增：导数大于零单调递减：导数小于零怎样利用导数研究函数的单调性？1.求导函数2.导函数的零点3.导函数的正负性导函数的正负性与函数的单调性的关系七、教学反思通过本堂课的教学，学生基本能够理解函数的单调性概念，知道如何利用导数研究函数的单调性。
利用导数求解函数的单调性与最值问题
利用导数求解函数的单调性与最值问题在微积分学中，导数是一个重要的概念，它被应用于许多实际问题的解决中。
本文将重点讨论如何利用导数来求解函数的单调性及最值问题。
1. 导数的定义导数描述了函数f(x)在某一点x处的变化率。
它的定义为：f'(x) = lim Δx→0 [f(x+Δx) - f(x)]/Δx其中Δx表示x的增量，f(x+Δx)-f(x)表示y的增量，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 求解单调性问题当函数f(x)单调递增时，其导数f'(x)>0；当函数f(x)单调递减时，其导数f'(x)<0。
因此，我们可以利用导数的正负性来判断函数的单调性。
例如，对于函数f(x)=x^2，在x>0时它单调递增，而在x<0时它单调递减。
我们可以通过求导得到它的导数：f'(x) = 2x当x>0时，f'(x)>0；当x<0时，f'(x)<0。
因此，函数f(x)=x^2在x>0时单调递增，在x<0时单调递减。
3. 求解最值问题函数f(x)在x处取得最大值或最小值，等价于在点x处的导数为0，或者在点x处的导数不存在。
因此，求解函数f(x)的最值问题，我们需要先求出它的导数f'(x)，然后令f'(x)=0求出x的值，即可得到函数f(x)的极值点。
最后，再对这些极值点进行比较，就可以确定函数f(x)的最大值和最小值。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+5，我们可以先求出它的导数：f'(x) = 3x^2-3令f'(x)=0，解得x=±1。
这两个点即为函数f(x)的极值点。
我们还需要判断它们是否是函数的最值点。
当x=1时，f''(x)=6>0，说明f(x)在x=1处取得极小值；当x=-1时，f''(x)=-6<0，说明f(x)在x=-1处取得极大值。
用导数求单调区间的一般步骤
用导数求单调区间的一般步骤
用导数求单调区间的一般步骤：
求解函数的单调区间是数学分析中重要的任务之一。
利用导数的信息可以帮助我们确定函数在定义域内的单调性。
下面是用导数求解单调区间的一般步骤：
1. 找出函数的定义域：首先确定函数的定义域，即使得函数有意义的自变量的取值范围。
这一步骤有助于限定我们需要研究的区域。
2. 求导数：计算函数的导数。
导数表示函数某一点的变化率，可以帮助我们研究函数的单调性。
对于连续的函数，导数存在于其定义域内的大部分点。
3. 解导数为零或不存在的方程：找出导数等于零或者导数不存在的点，解方程得到这些点的横坐标。
这些点被称为临界点，可能是函数的极值点或拐点。
4. 构造数轴并标注临界点：在一个数轴上标出函数定义域范围内的
临界点。
这样可以帮助我们形象地表示函数的变化情况。
5. 判断函数的单调性：根据导数的符号来判断函数在定义域内的单调性。
例如，如果导数为正，函数在该区间内是递增的；如果导数为负，函数在该区间内是递减的。
6. 总结单调区间：根据各个区间内函数的单调性，得出函数在定义域内的单调区间。
每个单调区间可以用开区间或闭区间表示。
通过以上步骤，我们可以利用导数来推断函数的单调性，并确定函数在定义域内的单调区间。
这样的分析可以帮助我们更好地理解函数的特性，并在问题求解中提供有效的参考。
利用导数求函数的单调性-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第六篇函数与导数专题02利用导数求函数的单调性类型对应典例不含参数的函数单调性典例1含参函数中主导函数是一次函数典例2含参函数中主导函数是类一次函数典例3含参函数中主导函数是二次函数（不能因式分解）典例4含参函数中主导函数是二次函数（能因式分解）典例5含参函数中主导函数是类二次函数典例6利用函数单调性求参数取值范围典例7【典例1】已知函数()()1ln f x x a R ax=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行．(1)求实数a 的值，并判断函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x m =有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>．【典例2】已知函数op =−En −.（1）讨论函数op 的单调性.（2）若∀>0，op ≥0，求B 的最大值.【典例3】已知函数ln ()(,)x af x bx a b R x-=-∈.（1）当0b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()f x g x x=在x =e 为自然对数的底）时取得极值，且函数()g x 在(0,)e 上有两个零点，求实数b 的取值范围.【典例4】已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【典例5】已知函数22()ln f x x ax a x =--.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()0f x ≥，求a 的取值范围.【典例6】已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．【典例7】已知函数()ln ()x e f x x x ax a R =-+∈.（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，求()f x 的最大值.1.已知函数()()22122()2xf x x x e ax a R =-+-∈.（1）当a e =时，求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当2a ≤-时，()2f x ≥.2.已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．3.已知函数()()2()1ln 1(0)f x a x x x ax a =++-->是减函数.（1）试确定a 的值；（2）已知数列{}()()*123ln 11n n n n n a a T a a a a n N n +==∈+ ，求证：()ln 212n nn T +<-⎡⎤⎣⎦.4.已知函数()22ln .f x a x x =-()1讨论函数()f x 的单调性；()2当0a >时，求函数()f x 在区间()21,e 上的零点个数.5.已知函数()()ln f x x ax a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a =-，当0x >时，函数()()()220g x x mf x m =->有且只有一个零点，求m 的值.6.设22(),()11x e f x xe ax g x nx x x a=-=+-+-．（1）求()g x 的单调区间；（2）讨论()f x 零点的个数；（3）当0a >时，设()()()0h x f x ag x =-恒成立，求实数a 的取值范围．7.已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a ≥()()21f x f x -的最大值.参考答案【典例1】【详解】（1）函数()f x 的定义域：()0,+∞，()11112f a =-='，解得2a =，()1ln 2f x x x ∴=+，()22112122x f x x x x -∴=-='令()0f x '<，解得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减；令()0f x '>，解得12x >，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增.（2）由12,x x 为函数()f x m =的两个零点，得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-=即112212ln 2x x x x x x -=，1212122ln x xx x x x -=，因此1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=令12x t x =，由12x x <，得01t <<.则121111+=2ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=，构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<，则()()22211210t h t t t t -=+-=>'所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，即12ln 0t t t--<，可知112ln t t t->.故命题121x x +>得证.【典例2】解：（1）函数op 的定义域为(0,+∞)，由op =−En −，得n(p =1−=K，当≤0时，n(p >0，所以函数op 在(0,+∞)上单调递增.当>0时，则∈(0,p 时，n(p <0，函数op 在(0,p 上单调递减；∈(s +∞)时，n(p >0，函数op 在(s +∞)上单调递增.（2）由（1）可知，当<0时，函数op 在(0,+∞)上单调递增，当→0时，op →−∞与op ≥0相矛盾；当=0时，∀>0，op ≥0，所以≤0，此时B =0.当>0时，函数op 在(0,p 上单调递减，函数op 在(s +∞)上单调递增.op min =op =−En −≥0，即−En ≥，则B ≤2−2lno >0).令op =2−2lno >0)，则n(p =o1−2lnp .令n(p >0，则0<<，令n(p <0，则>，当=时，op =2，即当=，=B 的最大值为2.综上，B 的最大值为2.【典例3】【详解】（1）当0b =时，()ln x af x x-=，()()221ln 1ln x x a a x x f x x x ⋅--+-=='，令()0f x '=，得1a x e +=，当()10,ax e+∈时，()0f x '>，当()1,ax e+∈+∞时，()0f x '<.所以函数()f x 在()10,ae+上单调递增，在()1,ae++∞上单调递减.（2）()()2ln f x x a g x b x x-==-，()()2431ln 2122ln x x a xa x x g x x x ⋅--⋅-=='+，∵()g x在x =∴0g '=即1210a +-=，∴0a =.所以()2ln x g x b x =-，()312ln xg x x-'=，函数()g x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，得函数的极大值12gb e=-，∴当函数()g x 在()0,e 上有两个零点时，必有()0,10,2g e b e ⎧<⎪⎨->⎪⎩得2112b e e<<.当2112b e e <<时，210g e b e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭.∴()g x的两个零点分别在区间1e ⎛ ⎝与)e 中.∴的取值范围是211,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭.【典例4】【详解】(1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'，对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立.()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立.()f x ∴在()0,+∞为增函数；②当0∆>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得42a x --<或42a x ->，44022a a --<<，()f x ∴在40,2a ⎛-- ⎪⎝⎭为增函数，44,22a a ⎛--+ ⎪⎝⎭减函数.,2a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭为增函数，当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数。
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【答案】B
5．(2018·广州市模拟)若函数
f(x)＝ex(sin
x＋acos
ππ x)在( ， )上单调递增，则实数
a
的取值范围
42
是( )
A．(－∞，1]
B．(－∞，1)
C．[1，＋∞)
D．(1，＋∞)
【解析】f′(x)＝ex[sin x＋cos x－a(sin x－cos x)]，当 a＝0 时，f′(x)＝ex(sin x＋cos x)，显然 x
利用导数求函数的单调性
π 1．函数 f(x)的定义域是(0， )，f′(x)是它的导函数，且 f(x)＋tan x·f′(x)＞0 在定义域内恒成立，
2
则( )
π
π
A．f( )＞ 2f( )
6
4
π B． 2sin 1·f(1)＞f( )
4
π
π
C．f( )＞ 3f( )
6
3
π
π
D． 2f( )＞ 3f( )
∴1∈(t，t＋1)，∴t∈(0,1)，故实数 t 的取值范围是(0,1)．
【答案】(0,1)
7．已知 y＝f(x)为 R 上的连续可导函数，且 xf′(x)＋f(x)＞0，则函数 g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)的零点
个数为________．
【解析】因为 g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)，g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，所以 g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
1 51
由表格知，f(x)极大值＝f 2 ＝－ ＋ln ， 42
f(x)极小值＝f(1)＝－2. (2)由题意知，不等式 f(x)≥g(x)在区间[1，e]上有解，
即 x2－2x＋t(ln x－x)≥0 在区间[1，e]上有解．
x2－2x
∵当 x∈[1，e]时，ln x≤1≤x(不同时取等号)，∴ln x－x<0，∴t≤
4
3
π 【解析】∵0＜x＜ ，∴sin x＞0，cos x＞0.由 f(x)＋tan x·f′(x)＞0，得 cos x·f(x)＋sin x·f′(x)＞
2
π
π
0.令 g(x)＝sin x·f(x)，0＜x＜ ，则 g′(x)＝cos x·f(x)＋sin x·f′(x)＞0，即 g(x)在(0， )上是增函
4 ∴f′(x)＝－x－3＋ ，
x
∵函数 f(x)＝－1x2－3x＋4ln x 在(t，t＋1)上不单调， 2
4 ∴f′(x)＝－x－3＋ ＝0 在(t，t＋1)上有解，
x
x2＋3x－4
∴
＝0 在(t，t＋1)上有解，
x
∴x2＋3x－4＝0 在(t，t＋1)上有解，由 x2＋3x－4＝0 得 x＝1 或 x＝－4(舍去)，
又 g(0)＝1，y＝f(x)为 R 上的连续可导函数，所以 g(x)为(0，＋∞)上的连续可导函数，又 g(x)＞
g(0)＝1，所以 g(x)在(0，＋∞)上无零点．
【答案】0 8．(2018·洛阳统考)已知函数 f(x)＝ex＋mln x(m∈R，e 为自然对数的底数)，若对任意正数 x1， x2，当 x1＞x2 时都有 f(x1)－f(x2)＞x1－x2 成立，则实数 m 的取值范围是________． 【解析】依题意得，对于任意的正数 x1，x2，当 x1＞x2 时，都有 f(x1)－x1＞f(x2)－x2，因此函数 g(x)＝f(x)－x 在区间(0，＋∞)上是增函数，于是当 x＞0 时，g′(x)＝f′(x)－1＝ex＋m－1≥0，即
ππ ∈( ， )，f′(x)＞0
恒成立，排除
C，D；当
a＝1
时，f′(x)＝2excos
ππ x，x∈( ， )时，f′(x)＞0，
42
42
故选 A.
【答案】A
6．已知函数 f(x)＝－1x2－3x＋4ln x 在(t，t＋1)上不单调，则实数 t 的取值范围是________． 2
【解析】∵函数 f(x)＝－1x2－3x＋4ln x(x＞0)， 2
3
【答案】B
π 3．(2018·石家庄市质检)已知函数 f(x)＝sin(2x＋ )，f′(x)是 f(x)的导函数，则函数 y＝2f(x)＋f′
12
(x)的一个单调递减区间是( )
π 7π A．[ ， ]
12 12
5π π B．[－ ， ]
12 12
π 2π C．[－ ， ]
33
π 5π D．[－ ， ]
2＋cos x 2
3
3
sin x 1
2cos x＋1 1 － cos x－1 2
式恒成立，只需证 g(x)＝
－ x＜0，∵g′(x)＝
－＝
≤0，
2＋cos x 3
2＋cos x 2 3 3 2＋cos x 2
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
1 ∴g(x)＜g(0)＝0，∴不等式成立．综上 k∈[ ，＋∞)．
(1)若 t＝1，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程以及 f(x)的极值；
(2)设函数 g(x)＝(1－t)x，若存在 x0∈[1，e]，使得 f(x0)≥g(x0)成立，求实数 t 的最大值． 【解析】(1)依题意，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当
t＝1
时，f(x)＝x2－3x＋ln
x
x(ex－1)≥－m 恒成立．记 h(x)＝x(ex－1)，x＞0，则有 h′(x)＝(x＋1)ex－1＞(0＋1)e0－1＝0(x
＞0)，h(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，h(x)的值域是(0，＋∞)，因此－m≤0，m≥0.故所求实数
m 的取值范围是[0，＋∞)．
【答案】[0，＋∞)
9．已知函数 f(x)＝x2－(2t＋1)x＋tln x(t∈R)．
33
1 B．[ ，＋∞)
3
3 C．[ ，＋∞)
3
33 D．[－ ， ]
32
sin x
【解析】由题意，当 x＞0 时，f(x)＝
＜kx 恒成立．由 f(π)＜kπ知 k＞0.又 f′(x)＝
2＋cos x
1＋2cos x
1
1
，由切线的几何意义知，要使 f(x)＜kx 恒成立，必有 k≥f′(0)＝ .要证 k≥ 时不等
在区间[1，e]上有解．
x－ln x
x2－2x
x－1 x＋2－2ln x
令 h(x)＝
，则 h′(x)＝
.
x－ln x
x－ln x 2
e e－2
∵x∈[1，e]，∴x＋2>2≥2ln x，∴h′(x)≥0，h(x)单调递增，∴x∈[1，e]时，h(x)max＝h(e)＝
.
e－1
e e－2
e e－2
∴t≤
2
2
当
a＜0
2 时， ＜0，所以函数
f(x)＝ax3－3x2＋1
在
－∞， a
和(0，＋∞)上为减函数，在
，0 a
上
a
2
84
为增函数，因为
f(x)存在唯一零点
x0，且
x0＞0，则
f
a
＞0，即
a· －3· ＋1＞0，解得 a3 a2
a＞2
或 a＜－2，又因为 a＜0，故 a 的取值范围为(－∞，－2)．选 B.
1 x，f′(x)＝2x－3＋ ＝
2x－1
x－1 .
x
x
由 f′(1)＝0，f(1)＝－2，得曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝－2.
1 令 f′(x)＝0，解得 x＝ 或 x＝1，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况如下：
2
1
1
1
x
0，
，1
1
(1，＋∞)
2
2
2
f′(x)
，∴实数 t 的最大值是
.
e－1
e－1
D．(－∞，－1)
【解析】当 a＝0 时，显然 f(x)有两个零点，不符合题意．
当
a≠0
时，f′(x)＝3ax2－6x，令
f′(x)＝0，解得
2 x1＝0，x2＝ .
a
2
2
当
a＞0
2 时， ＞0，所以函数
f(x)＝ax3－3x2＋1
在(－∞，0)与
，＋∞ a
上为增函数，在
0， a
上
a
为减函数，因为 f(x)存在唯一零点 x0，且 x0＞0，则 f(0)＜0，即 1＜0，不成立．
2Байду номын сангаас
2
π
ππ
π
数，∴g(1)＞g( )，即 sin 1·f(1)＞sin ·f( )，∴ 2sin 1·f(1)＞f( )．故选 B.
4
44
4
【答案】B
sin x
2．已知函数 f(x)＝
.若当 x＞0 时，函数 f(x)的图象恒在直线 y＝kx 的下方，则 k 的取值
2＋cos x
范围是( )
13 A．[ ， ]
66
π
π
π
【解析】由题意，得 f′(x)＝2cos(2x＋ )，所以 y＝2f(x)＋f′(x)＝2sin(2x＋ )＋2cos(2x＋ )
12
12
12
ππ
π
π
π
3π
π
＝2 2sin(2x＋ ＋ )＝2 2sin(2x＋ )．由 2kπ＋ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)，得 kπ＋ ≤x
12 4
3
2
3
2
12
7π
π 7π
≤kπ＋ (k∈Z)，所以 y＝2f(x)＋f′(x)的一个单调递减区间为[ ， ]，故选 A.