河北省邯郸市2021届新高考第二次大联考数学试卷含解析
2021年河北省某校高考数学第二次联考试卷(文科)(全国Ⅱ)(有答案)
2021年河北省某校高考数学第二次联考试卷（文科）（全国Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，集合A={1, 3, 5, 7}，B={2, 3, 4, 5}，则(∁U A)∩B=()A.{2, 4}B.{3, 5}C.{3, 7}D.{2, 5}2. 已知复数z＝，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A.第二象限B.第一象限C.第三象限D.第四象限3. 为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……，照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为()A.7B.6C.8D.94. 已知向量＝(1，），||＝2，|-|＝，则与的夹角为（）A. B. C. D.5. 甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙肯定优秀；丁：乙的说法是错误的．若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为()A.乙B.甲C.丙D.丁6. 卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（）A.√2B.1C.√3D.27. MOD函数是一个求余函数，格式为MOD(M, N)，其结果为两个数M，N作除法运算M后的余数，例：MOD(36, 10)=6．如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输N入的n=6，v=1，则输出的u的值为（）A.2B.1C.3D.48. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△F1PF2的面积为b2，则该双曲线的离心率为()A.1+√2B.1+√3C.√3D.√29. 已知函数g(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π)的部分图象如图所示，函数f(x)= sin(πx−π2)，则()A.g(x)=f(x2−12) B.g(x)=f(2x−12)C.g(x)=f(x2+12) D.g(x)=f(2x−1)10. 中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量f(x t)=rx t(1−x tN)，其中x t为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为()A.r 3B.r2C.r4D.r511. 已知圆C:x2+y2=1，直线l:x=2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（）A.(0, 2)B.(12,0) C.(2, 1) D.(12，1)12. 已知函数数f(x)=ln(√9x2+1−3x)+sin x−x+2，则不等式式f(2x+1)+f(−1)<4的解集是()A.{x|x>1}B.{x|x<−1或x>1}C.{x|x<−1}D.{x|−1<x<1}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知角α的终边上有一点P(2, 3)，则cos2α的值为________．若x，y满足约束条件，则z＝4x+y的最小值为________．已知直线l:y=x+b为曲线f(x)=e x的切线，若直线l与曲线g(x)=−12x2+mx−72也相切，则实数m的值为________．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC外接圆半径的最小值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．已知在公比为2的等比数列{a n}中，a2，a3，a4−4成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n={5log2a n+1,n为奇数,(a n)12,n为偶数,求数列{b n}的前2n项和S2n．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如表：从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是．（1）求2×2列联表中p，q，x，y的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝AB＝2，，∠ABC＝60∘，且平面PAC⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若M是PC上一点，且BM⊥PC，求三棱锥M−BCD的体积．已知椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆E上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，且．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E 的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，在y 轴上存在点R ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点R ，且，求直线l 的方程．已知函数．（1）求函数y ＝f(x)的单调区间；（2）在区间上，f(x)是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =2+2√2cos α,y =2√2sin α（α为参数）．以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(4√2,π4).(1)求圆C 的普通方程及极坐标方程；(2)过点A 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，当△MCN 面积最大时，求直线l 的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝x −1−|2x −1|． （1）求不等式f(x)≥−1的解集；（2）若不等式f(x)<ax −1恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2021年河北省某校高考数学第二次联考试卷（文科）（全国Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【解析】此题暂无解析【解答】9.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【解析】【解答】此题暂无解答【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2021年河北省邯郸市邱县实验中学高三数学理联考试卷含解析
2021年河北省邯郸市邱县实验中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某人向平面区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在单位圆x2+y2=1内的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】CF：几何概型．【分析】本题利用几何概型求解．先根据区域|x|+|y|≤图象特征，求出其面积，最后利用面积比即可得点P落在单位圆x2+y2=1内的概率．【解答】解：区域|x|+|y|≤表示以（±，0）和（0，±）为顶点的正方形，单位圆x2+y2=1内所有的点均在正方形区域内，正方形的面积S1=4，单位圆面积S2=π，由几何概型的概率公式得：P==，故选：A．2. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出一列四个命题：①若，则；②若，，则；③若，则；④若，，则.其中正确命题的序号是A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④参考答案：A3. 定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。
现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。
则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为A.①②B.③④C.①③D.②④7.参考答案：C设数列的公比为.对于①，,是常数，故①符合条件;对于②，，不是常数，故②不符合条件;对于③，，是常数，故③符合条件;对于④, ，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等.4. （5分）已知a＞1，b＞1，且lna，，lnb成等比数列，则ab（）．有最大值D．有最小值B∵lna，，lnb成等比数列∴=lna?lnb 即lna?lnb=∵a＞1，b＞1∴lna＞0，lnb＞0∴=lna?lnb≤（）2=∴ab有最小值e故选B．5. 若函数f（x）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g （x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．（0，1）D．参考答案：D考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，求出x∈（﹣1，0）时，f（x）的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论．解答：解：函数f（x）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴x∈（﹣1，0）时，f（x）+1==，f（x）=．因为g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，所以y=f（x）与y=mx+m的图象有两个交点，函数图象如图所示，由图象可得，当0＜m≤时，两函数有两个交点，故选 D．点评：此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力，属于中档题．6. 已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x?g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为( )A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：A【考点】简单复合函数的导数；数列的函数特性．【专题】计算题；压轴题．【分析】由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得单调递增，从而可得a＞1，结合，可求a．利用等比数列的求和公式可求，从而可求【解答】解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴，从而可得单调递增，从而可得a＞1，∵，∴a=2．故=2+22+…+2n=．∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*．∴n=6．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数单调递增．7. 已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A. B.C. D.参考答案：D8. 已知，若是的充分不必要条件，则正实数的取值范围是A． B． C． D．参考答案：D试题分析：命题成立，，得或；命题成立，得或，由于是的充分不必要条件，，等号不能同时成立，解得，由于，因此考点：充分、必要条件的应用9. 棱长为1的正四面体ABCD中，点M和N分别是边AB和CD的中点，则线段MN的长度为（）A. B. C. D. 2参考答案：A【分析】连接，则，故而，利用勾股定理计算即可【详解】连接，∵正四面体棱长为1，是的中点，∴，∵是的中点，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，空间距离的计算，属于基础题10. 函数取得最小值时x为（）A． 1 B. 2 C. 3 D. 4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数的最小值为3，则实数b 的值为。
河北省邯郸市2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)含解析
河北省邯郸市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+ B．6+C ．8D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1ce a=，2c e a ='，设2PF m =由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122mPF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭68≥+=当且仅当73a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 2．设i 是虚数单位，a R ∈，532aii a i+=-+，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】 【分析】 由532aii a i+=-+，可得()()()5323232ai a i i a a i +=+-=++-，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a 的值. 【详解】 解：532aii a i+=-+Q，()()()5323232ai a i i a a i ∴+=+-=++- 53232a a a =+⎧∴⎨-=⎩，解得：1a =.故选:C. 【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把2i 当成1进行运算. 3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．()722+πB ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯+⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 4．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .【详解】 因为22|sin()||sin |22()66()1()1x x f x f x x x--===+-+ ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |242()61111f πππππ==++11101122<-=-=+,故排除B , 因为2|sin |22()2()621()2f ππππ==+426164ππ+42616444>-+46662425=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题. 5．已知函数()1ln11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( )A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()1F x f x =-，判断出()F x 的单调性和奇偶性，由此求得不等式()()12f a f a ++>的解集. 【详解】构造函数()()11ln1x F x f x x x +=-=+-，由101xx+>-解得11x -<<，所以()F x 的定义域为()1,1-，且()()111lnln ln 111x x x F x x x x F x x x x +--⎛⎫-=-=--=-+=- ⎪-++⎝⎭，所以()F x 为奇函数，而()12lnln 111x F x x x x x +⎛⎫=+=-++ ⎪--⎝⎭，所以()F x 在定义域上为增函数，且()0ln100F =+=.由()()12f a f a ++>得()()1110f a f a -++->，即()()10F a F a ++>，所以1011102111a a a a a ++>⎧⎪-<<⇒-<<⎨⎪-<+<⎩.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.6．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 7．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ）A ．10B ．16C ．20D ．24【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.8．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．43C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为23，所以该几何体的体积113223132V =⨯⨯⨯=，故选C ．9．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1 3【答案】D【解析】【分析】先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.【详解】年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 累计装机容量158.1 197.2 237.8 282.9 318.7 370.5 434.3 489.2 542.7 594.1 新增装机容量39.1 40.6 45.1 35.8 51.8 63.8 54.9 53.5 51.4 中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量197.7GW，全球累计装机容量594.1158.1436GW-=，占比为45.34%，选项D正确.故选：D【点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.10．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”2.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（）A．400米B．480米C．520米D．600米【答案】B【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=【答案】A 【解析】 【分析】点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值，因为2tan a APF m +∠=，2tan aBPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=．故选：A 【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为（ ） A ．2 B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】 【分析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值． 【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，，则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(Word版) 2021年全国新高考Ⅱ卷数学试题真卷(含答案及详细解析)
3.非连择题必须用黑色字连的钢笔或法字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。
，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高
下底面面积S1=16，上底面面积S2=4，
参考答案及详细解析
1.A.利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置.
【详解】 ，所以该复数对应的点为 ，该点在第一象限，故选：A
2. B.根据交集、补集的定义可求.
【详解】由题设可得， , 故 ，故选：B.
3. B. 首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为: ｛ ,0 ｝
其到直线X-Y+1的距离
解得：P=2, P= - 6(舍去).
故选：B.
4. C由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
故选：C.
5. D由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图:
9. 下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（）
A. 样本 的标准差B. 样本 的中位数
C. 样本 的极差D. 样本 的平均数
10. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足 的是（）
A. B.
C. D.
河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试(新高考)数学试题(含答案解析)
解：由于 ， ，
则： ，
， ，
可得 ．
故选线面位置关系的判定与性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，如图所示，在长方体 中，
平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
但 与 不平行，故 错误；
对于B中，如图所示， 平面 ， 平面 ， ，
但平面 与平面 不平行，故 错误；
C．当 ， 时，点 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为
D．当 ， 时，在 的轨迹上任取一点 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ，则 ( 为坐标原点)的面积为定值
三、填空题
13．正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象､生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩 .若成绩低于 的同学人数和高于 的同学人数相同，则整数 的值为___________.
A． B．
C． D．
6．命题 关于 的不等式 的解集为 的一个充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
7．面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力技术手段.科研攻关组第一时间把疫苗研发作为重中之重，对灭活疫苗､重组蛋白疫苗､腺病毒载体疫苗､减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗5个技术路线并行研发，组织了12个优势团队进行联合攻关.其中有5个团队已经依据各自的研究优势分别选择了灭活疫苗､重组蛋白疫苗､腺病毒载体疫苗､减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗这5个技术路线，其余团队作为辅助技术支持进驻这5个技术路线.若保障每个技术路线至少有两个研究团队，则不同的分配方案的种数为（）
A．14700B．16800C．27300D．50400
8．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（）
高考数学专题《集合》习题含答案解析
分析：由题意首先求得 CR B ，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得： CR B x | x 1 ，
结合交集的定义可得： A CR B 0 x 1 .
本题选择 B 选项.
8．（2017·全国高考真题（理））已知集合 A={x|x<1}，B={x| 3x 1 }，则（
故选：C
8．（2019·北京临川学校高二期末（文））已知集合 = { ―1,3}， = {2,2}，若 ∪ = { ―1,3,2,9}，则实数
）
的值为（
A． ± 1
B． ± 3
C． ― 1
D．3
【答案】B
【解析】
∵ 集合 = { ―1,3}， = {2,2}，且 ∪ = { ―1,3,2,9}， ∴ 2 = 9，因此， =± 3，
对③： {0,1, 2} 是集合， {1, 2, 0} 也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.
对④： 0 是元素， 是不含任何元素的空集，所以 0 ，故④错误.
对⑤： 0 是元素， 是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误.
故选：C.
3．（2021·浙江高一期末）已知集合 M 0,1, 2,3, 4 ， N 2, 4, 6 ， P M N ，则满足条件的 P 的非
则集合 A B 的所有元素之和为（
A．16
B．18
）
C．14
D．8
【答案】A
【解析】
由题设，列举法写出集合 A B ，根据所得集合，加总所有元素即可.
【详解】
由题设知： A B {1, 2,3, 4, 6} ，
∴所有元素之和 1 2 3 4 6 16 .
2021年河北省高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2021年河北省“五个一名校联盟〞高考数学二模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1．i是虚数单位，假设z〔1+i〕=1+3i，那么z=〔〕A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log2〔a+1〕，a∈A}，那么〔∁U A〕∩〔〔∁U B〕=〔〕A．{1，3}B．{5，6}C．{4，5，6}D．{4，5，6，7}3．命题p，q是简单命题，那么“￢p是假命题〞是“p∨q是真命题〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为〔〕A．B．C．D．5．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，那么sin〔2θ+〕=〔〕A．B．﹣C．D．﹣6．设函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔x〕=，那么g[f〔﹣8〕]=〔〕A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．27．函数f〔x〕=sinωx〔ϖ＞0〕的图象向右平移个单位得到函数y=g〔x〕的图象，并且函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，那么实数ω的值为〔〕A．B．C．2 D．8．设变量x，y满足约束条件，那么z=x﹣2y的最大值为〔〕A．﹣12 B．﹣1 C．0 D．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州〔现四川省安岳县〕人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法，如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入x的值为2，那么输出v的值为〔〕A．210﹣1 B．210C．310﹣1 D．31010．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A．B．C．D．411．椭圆C：=1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，那么的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣〕∪〔0，〕 B．〔﹣∞，0〕∪〔0，〕C．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕D．〔﹣∞，0〕∪〔0，1〕12．假设关于x的不等式xe x﹣2ax+a＜0的非空解集中无整数解，那么实数a的取值范围是〔〕A．[，〕B．[，〕C．[，e]D．[，e]二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．正实数x，y满足2x+y=2，那么+的最小值为．14．点A〔1，0〕，B〔1，〕，点C在第二象限，且∠AOC=150°，=﹣4+λ，那么λ=．15．在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕xπx2dx=x3|=．据此类比：轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=．cos〔n+1〕π，数列{b n}的前16．数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+2n，b n=a n a n+1n项和为T n，假设T n≥tn2对n∈N*恒成立，那么实数t的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，其中〔17〕-〔21〕题为必考题，〔22〕，〔23〕题为选考题．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC ﹣c=2b．〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设c=，角B的平分线BD=，求a．18．〔12分〕空气质量指数〔Air Quality Index，简称AQI〕是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．〔Ⅰ〕利用该样本估计该地本月空气质量优良〔AQI≤100〕的天数；〔按这个月总共30天〕〔Ⅱ〕将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．19．〔12分〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕求证：AD⊥平面BFED；〔Ⅱ〕在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．假设存在，求出点P的位置；假设不存在，说明理由．20．〔12分〕椭圆C1： +=1〔a＞b＞0〕的离心率为，P〔﹣2，1〕是C1上一点．〔1〕求椭圆C1的方程；〔2〕设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．21．〔12分〕函数f〔x〕=alnx+x2﹣ax〔a为常数〕有两个极值点．〔1〕求实数a的取值范围；〔2〕设f〔x〕的两个极值点分别为x1，x2，假设不等式f〔x1〕+f〔x2〕＜λ〔x1+x2〕恒成立，求λ的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为〔α为参数〕．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos〔θ+〕=．l与C交于A、B两点．〔Ⅰ〕求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P〔0，﹣2〕，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．〔Ⅰ〕求m的最大值；〔Ⅱ〕a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c 的值．2021年河北省“五个一名校联盟〞高考数学二模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1．i是虚数单位，假设z〔1+i〕=1+3i，那么z=〔〕A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z〔1+i〕=1+3i，得，应选：A．【点评】此题考查复数代数形式的乘除运算，是根底的计算题．2．全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log2〔a+1〕，a∈A}，那么〔∁U A〕∩〔〔∁U B〕=〔〕A．{1，3}B．{5，6}C．{4，5，6}D．{4，5，6，7}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求解集合B，∁U A，∁U B．根据集合的根本运算即可求〔∁U A〕∩〔∁U B〕．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，∴∁U A={2，4，5，6}集合B={|x=log2〔a+1〕，a∈A}，当a=1时，B={x|x=log2〔2+1〕=1，当a=3时，B={x|x=log2〔3+1〕=2，当a=7时，B={x|x=log2〔7+1〕=3，∴集合B={1，2，3}，∴∁U B={4，5，6，7}，故得〔∁U A〕∩〔∁U B〕={4，5，6}应选C．【点评】此题主要考查集合的根本运算，比拟根底．3．命题p，q是简单命题，那么“￢p是假命题〞是“p∨q是真命题〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复合命题的真假结合充分必要条件，判断即可．【解答】解：￢p是假命题，那么p是真命题，推出p∨q是真命题，是充分条件，反之，不成立，应选：A．【点评】此题考查了复合命题的真假，考查充分必要条件的定义，是一道根底题．4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设“开关第一次闭合后出现红灯〞为事件A，“第二次闭合出现红灯〞为事件B，那么由题意可得P〔A〕=，P〔AB〕=，由此利用条件概率计算公式求得P〔B/A〕的值．【解答】解：设“开关第一次闭合后出现红灯〞为事件A，“第二次闭合出现红灯〞为事件B，那么由题意可得P〔A〕=，P〔AB〕=，那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是：P〔B/A〕===．应选：C．【点评】此题考查概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的灵活运用．5．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，那么sin〔2θ+〕=〔〕A．B．﹣C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据定义求解sinθ和cosθ的值，利用两角和与差的公式以及二倍角公式即可化简并求解出答案．【解答】解：由题意，角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，可知θ在第一或第三象限．根据正余弦函数的定义：可得sinθ=，cosθ=±，那么sin〔2θ+〕=sin2θcos+cos2θsin=sinθcosθ+==应选：A．【点评】此题主要考查了正余弦函数的定义的运用和两角和与差的公式以及二倍角公式的化简和计算能力，属于中档题．6．设函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔x〕=，那么g[f〔﹣8〕]=〔〕A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】先求出f〔﹣8〕=﹣f〔8〕=﹣log39=﹣2，从而得到g[f〔﹣8〕]=g〔﹣2〕=f〔﹣2〕=﹣f〔2〕，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔x〕=，∴f〔﹣8〕=﹣f〔8〕=﹣log39=﹣2，∴g[f〔﹣8〕]=g〔﹣2〕=f〔﹣2〕=﹣f〔2〕=﹣log33=﹣1．应选：A．【点评】此题考查函数值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．函数f〔x〕=sinωx〔ϖ＞0〕的图象向右平移个单位得到函数y=g〔x〕的图象，并且函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，那么实数ω的值为〔〕A．B．C．2 D．【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】根据平移变换的规律求解出g〔x〕，根据函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减可得x=时，g〔x〕取得最大值，求解可得实数ω的值．【解答】解：由函数f〔x〕=sinωx〔ϖ＞0〕的图象向右平移个单位得到g〔x〕=sin[ω〔x〕]=sin〔ωx﹣〕，函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，可得x=时，g〔x〕取得最大值，即〔ω×﹣〕=，k∈Z，ϖ＞0．当k=0时，解得：ω=2．应选：C．【点评】此题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用．属于根底题．8．设变量x，y满足约束条件，那么z=x﹣2y的最大值为〔〕A．﹣12 B．﹣1 C．0 D．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下列图所示：由图可知，由可得C〔，﹣〕，由：，可得A〔﹣4，4〕，由可得B〔2，1〕，当x=，y=﹣时，z=x﹣2y取最大值：．应选：D．【点评】此题考查的知识点是简单的线性规划，其中根据约束条件画出可行域，进而求出角点坐标，利用“角点法〞解题是解答此题的关键．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州〔现四川省安岳县〕人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法，如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入x的值为2，那么输出v的值为〔〕A．210﹣1 B．210C．310﹣1 D．310【考点】程序框图．【分析】根据的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的x=2，v=1，k=1，满足进行循环的条件，v=2+C101，k=2，满足进行循环的条件，v=22+2C101+C102，…∴v=210+29C101+…+C1010=310，故输出的v值为：310，应选D．【点评】此题考查程序框图，考查二项式定理的运用，属于中档题．10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A．B．C．D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如下图，由三视图可知该几何体为：四棱锥P ﹣ABCD ． 【解答】解：如下图，由三视图可知该几何体为：四棱锥P ﹣ABCD ． 连接BD ．其体积V=V B ﹣PAD +V B ﹣PCD ==． 应选：B ．【点评】此题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．椭圆C ：=1的左、右顶点分别为A ，B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆x 2+y 2=4上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，那么的取值范围是〔 〕A ．〔﹣∞，﹣〕∪〔0，〕B ．〔﹣∞，0〕∪〔0，〕C ．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕 D ．〔﹣∞，0〕∪〔0，1〕 【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】取特殊点P 〔0，2〕，P 〔0，﹣2〕，求出，利用排除法，可得结论．【解答】解：取特殊点P〔0，2〕，那么PA方程为y=x+2与椭圆方程联立，可得7x2+16x+4=0=0，所以x=﹣2或﹣，所以Q〔﹣，〕，∴k PB=﹣1，k QF==﹣，∴=．同理取P〔0，﹣2〕，=﹣．根据选项，排除A，B，C，应选D．【点评】此题考查圆与圆锥曲线的综合，考查特殊法的运用，属于中档题．12．假设关于x的不等式xe x﹣2ax+a＜0的非空解集中无整数解，那么实数a的取值范围是〔〕A．[，〕B．[，〕C．[，e]D．[，e]【考点】函数恒成立问题．【分析】设g〔x〕=xe x，f〔x〕=2ax﹣a，求出g〔x〕的导数，判断直线恒过定点，设直线与曲线相切于〔m，n〕，求得切线的斜率和切点在直线上和曲线上，解方程可得a，再由题意可得当x=﹣1时，求得a，通过图象观察，即可得到a 的范围．【解答】解：设g〔x〕=xe x，f〔x〕=2ax﹣a，由题意可得g〔x〕=xe x在直线f〔x〕=2ax﹣a下方，g′〔x〕=〔x+1〕e x，f〔x〕=2ax﹣a恒过定点〔，0〕，设直线与曲线相切于〔m，n〕，可得2a=〔m+1〕e m，me m=2am﹣a，消去a，可得2m2﹣m﹣1=0，解得m=1〔舍去〕或﹣，那么切线的斜率为2a=〔﹣+1〕e，解得a=，又由题设原不等式无整数解，由图象可得当x=﹣1时，g〔﹣1〕=﹣e﹣1，f〔﹣1〕=﹣3a，由f〔﹣1〕=g〔﹣1〕，可得a=，由直线绕着点〔，0〕旋转，可得≤a＜，应选：B．【点评】此题考查不等式解法问题，注意运用数形结合的方法，结合导数的运用：求切线的斜率，以及直线恒过定点，考查运算能力和观察能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．正实数x，y满足2x+y=2，那么+的最小值为．【考点】根本不等式．【分析】利用“乘1法〞与根本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足2x+y=2，那么+==≥=，当且仅当x=y=时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．【点评】此题考查了“乘1法〞与根本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．14．点A〔1，0〕，B〔1，〕，点C在第二象限，且∠AOC=150°，=﹣4+λ，那么λ=1．【考点】平面向量的根本定理及其意义．【分析】根据向量的根本运算表示出C的坐标，利用三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵点A〔1，0〕，B〔1，〕，点C在第二象限，=﹣4+λ，∴C〔λ﹣4，〕，∵∠AOC=150°，∴tan150°==﹣，解得λ=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查向量坐标的应用以及三角函数的定义，根据向量的根本运算求出C的坐标是解决此题的关键．15．在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕xπx2dx=x3|=．据此类比：轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= π〔e ﹣1〕 ．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积． 【解答】解：由曲线y=2lnx ，可得x=，根据类比推理得体积V=dy==π〔e ﹣1〕，故答案为：π〔e ﹣1〕．【点评】此题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决此题的关键．16．数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =n 2+2n ，b n =a n a n +1cos 〔n +1〕π，数列{b n } 的前n 项和为T n ，假设T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，那么实数t 的取值范围是 〔﹣∞，﹣5] ．【考点】数列递推式．【分析】n=1时，a 1=3．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，可得a n =2n +1．b n =a n a n +1cos 〔n +1〕π=〔2n +1〕〔2n +3〕cos 〔n +1〕π，n 为奇数时，cos 〔n +1〕π=1；n 为偶数时，cos 〔n +1〕π=﹣1．对n 分类讨论，通过转化利用函数的单调性即可得出． 【解答】解：n=1时，a 1=3．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+2n ﹣[〔n ﹣1〕2+2〔n ﹣1〕]=2n +1．n=1时也成立，∴a n =2n +1．∴b n =a n a n +1cos 〔n +1〕π=〔2n +1〕〔2n +3〕cos 〔n +1〕π， n 为奇数时，cos 〔n +1〕π=1；n 为偶数时，cos 〔n +1〕π=﹣1．因此n 为奇数时，T n =3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…+〔2n +1〕〔2n +3〕=3×5+4×〔7+11+…+2n +1〕=15+4×=2n 2+6n +7．T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立， ∴2n 2+6n +7≥tn 2，t ≤++2=，∴t ＜2．n 为偶数时，T n =3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…﹣〔2n +1〕〔2n +3〕=﹣4×〔5+9+11+…+2n +1〕=﹣2n 2﹣6n ．∴T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，∴﹣2n 2﹣6n ≥tn 2，t ≤﹣2﹣，∴t ≤﹣5． 综上可得：t ≤﹣5． 故答案为：〔﹣∞，﹣5]．【点评】此题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、三角函数的求值、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共70分，其中〔17〕-〔21〕题为必考题，〔22〕，〔23〕题为选考题．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔12分〕〔2021•宁城县一模〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC﹣c=2b．〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设c=，角B的平分线BD=，求a．【考点】正弦定理．【分析】〔Ⅰ〕由正弦定理、两角和的正弦公式化简的条件，求出cosA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值；〔Ⅱ〕由条件和正弦定理求出sin∠ADB，由条件求出∠ADB，由内角和定理分别求出∠ABC、∠ACB，结合条件和余弦定理求出边a的值．【解答】解：〔Ⅰ〕由2acosC﹣c=2b及正弦定理得，2sinAcosC﹣sinC=2sinB，…〔2分〕2sinAcosC﹣sinC=2sin〔A+C〕=2sinAcosC+2cosAsinC，∴﹣sinC=2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=，又A∈〔0，π〕，∴A=；…〔6分〕〔Ⅱ〕在△ABD中，c=，角B的平分线BD=，由正弦定理得，∴sin∠ADB===，…〔8分〕由A=得∠ADB=，∴∠ABC=2〔〕=，∴∠ACB==，AC=AB=由余弦定理得，a2=BC2═AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=2+2﹣2×=6，∴a=…〔12分〕【点评】此题考查正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及两角和的正弦公式等应用，考查转化思想，化简、变形能力．18．〔12分〕〔2021•河北二模〕空气质量指数〔Air Quality Index，简称AQI〕是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．〔Ⅰ〕利用该样本估计该地本月空气质量优良〔AQI≤100〕的天数；〔按这个月总共30天〕〔Ⅱ〕将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】〔1〕从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能求出该样本中空气质量优良的频率，从而能估计该月空气质量优良的天数．〔2〕估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B〔3，〕，由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：〔1〕从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，∴该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为30×=18．〔2〕由〔1〕估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B〔3，〕，P〔ξ=0〕=〔〕3=，P〔ξ=1〕==，P〔ξ=2〕==，P〔ξ=3〕=〔〕3=，∴ξ的分布列为：ξ01 2 3P∴Eξ=3×=1.8．【点评】此题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．〔12分〕〔2021•河北二模〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕求证：AD⊥平面BFED；〔Ⅱ〕在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．假设存在，求出点P的位置；假设不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】〔Ⅰ〕推出AB=2，求解AB2=AD2+BD2，证明BD⊥AD，然后证明AD ⊥平面BFED．〔Ⅱ〕以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面EAD的一个法向量，平面PAB的一个法向量，利用向量的数量积，转化求解即可．【解答】解：〔Ⅰ〕在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，∴故AB=2，∴BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°=3，∴AB2=AD2+BD2∴BD⊥AD，∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，∴AD⊥平面BFED．…〔Ⅱ〕∵AD⊥平面BFED，∴AD⊥DE，以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，那么D〔0，0，0〕，A〔1，0，0〕，B〔0，，0〕，P〔0，λ，〕，=〔﹣1，，0〕，=．取平面EAD的一个法向量为=〔0，1，0〕，设平面PAB的一个法向量为=〔x，y，z〕，由=0，•=0得：，取y=1，可得=〔〕．∵二面角A﹣PD﹣C为锐二面角，平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．∴cos＜===，解得λ=，即P为线段EF的3等分点靠近点E的位置．…〔12分〕【点评】此题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．〔12分〕〔2021•河北二模〕椭圆C1： +=1〔a＞b＞0〕的离心率为，P〔﹣2，1〕是C1上一点．〔1〕求椭圆C1的方程；〔2〕设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；〔2〕设A〔﹣2，﹣1〕，B〔2，1〕，Q〔2，﹣1〕，设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆方程，设C〔x1，y1〕，D〔x2，y2〕，E〔﹣x1，﹣y1〕，运用韦达定理，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，化简整理，代入韦达定理，即可得证．【解答】解：〔1〕由题意可得e==，且a2﹣b2=c2，将P〔﹣2，1〕代入椭圆方程可得+=1，解得a=2，b=，c=，即有椭圆方程为+=1；〔2〕证明：A，B，Q是P〔﹣2，1〕分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，可设A〔﹣2，﹣1〕，B〔2，1〕，Q〔2，﹣1〕，直线l的斜率为k=，设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，设C〔x1，y1〕，D〔x2，y2〕，E〔﹣x1，﹣y1〕，即有△=4t2﹣4〔2t2﹣4〕＞0，解得﹣2＜t＜2，x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，那么k1+k2=+=，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，即〔2﹣x1〕〔y2﹣1〕﹣〔2+x2〕〔y1+1〕=0，由y1=x1+t，y2=x2+t，可得〔2﹣x1〕〔y2﹣1〕﹣〔2+x2〕〔y1+1〕=2〔y2﹣y1〕﹣〔x1y2+x2y1〕+x1﹣x2﹣4=x2﹣x1﹣〔x1x2+tx1+tx2〕+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t〔x1+x2〕﹣4=﹣〔2t2﹣4〕+2t2﹣4=0，那么直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【点评】此题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式和运用，化简整理的运算能力，属于中档题．21．〔12分〕〔2021•河北二模〕函数f〔x〕=alnx+x2﹣ax〔a为常数〕有两个极值点．〔1〕求实数a的取值范围；〔2〕设f〔x〕的两个极值点分别为x1，x2，假设不等式f〔x1〕+f〔x2〕＜λ〔x1+x2〕恒成立，求λ的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】〔1〕f′〔x〕=且f′〔x〕=0有两个不同的正根，即x2﹣ax+a=0两个不同的正根，即可求实数a的取值范围；〔2〕利用韦达定理，可得=lna﹣a﹣1，构造函数，确定函数的单调性，求出其范围，即可求λ的最小值．【解答】解：〔1〕由题设知，函数f〔x〕的定义域为〔0，+∞〕，f′〔x〕=且f′〔x〕=0有两个不同的正根，即x2﹣ax+a=0两个不同的正根x1，x2，〔x1＜x2〕那么，∴a＞4，〔0，x1〕，f′〔x〕＞0，〔x1，x2〕，f′〔x〕＜0，〔x2，+∞〕，f′〔x〕＞0，∴x1，x2是f〔x〕的两个极值点，符合题意，∴a＞4；〔2〕f〔x1〕+f〔x2〕=alnx1+x12﹣ax1+alnx2+x22﹣ax2=a〔lna﹣a﹣1〕，∴=lna﹣a﹣1，令y=lna﹣a﹣1，那么y′=﹣，∵a＞4，∴y′＜0，∴y=lna﹣a﹣1在〔4，+∞〕上单调递减，∴y＜ln4﹣3，∵不等式f〔x1〕+f〔x2〕＜λ〔x1+x2〕恒成立，x1+x2＞0，∴是λ的最小值ln4﹣3．【点评】此题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕〔2021•河北二模〕在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为〔α为参数〕．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos〔θ+〕=．l与C交于A、B两点．〔Ⅰ〕求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P〔0，﹣2〕，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔Ⅰ〕利用三种方程互化方法，曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕点P〔0，﹣2〕在l上，l的参数方程为为〔t为参数〕，代入x2+y2=1整理得，3t2﹣10t+15=0，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：〔Ⅰ〕曲线C的参数方程为〔α为参数〕，普通方程为C：x2+y2=1；直线l的极坐标方程为ρcos〔θ+〕=，即ρcosθ﹣ρsinθ=2，l：y=x﹣2．…〔4分〕〔Ⅱ〕点P〔0，﹣2〕在l上，l的参数方程为〔t为参数〕代入x2+y2=1整理得，3t2﹣10t+15=0，由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=…〔10分〕【点评】此题考查三种方程互化，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．〔2021•河北二模〕关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．〔Ⅰ〕求m的最大值；〔Ⅱ〕a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c 的值．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】〔Ⅰ〕利用|x﹣3|+|x﹣m|≥|〔x﹣3〕﹣〔x﹣m〕|=|m﹣3|，对x与m的范围讨论即可．〔Ⅱ〕构造柯西不等式即可得到结论．【解答】解：〔Ⅰ〕∵|x﹣3|+|x﹣m|≥|〔x﹣3〕﹣〔x﹣m〕|=|m﹣3|当3≤x≤m，或m≤x≤3时取等号，令|m﹣3|≥2m，∴m﹣3≥2m，或m﹣3≤﹣2m．解得：m≤﹣3，或m≤1∴m的最大值为1；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕a+b+c=1．由柯西不等式：〔 ++1〕〔4a2+9b2+c2〕≥〔a+b+c〕2=1，∴4a2+9b2+c2≥，等号当且仅当4a=9b=c，且a+b+c=1时成立．即当且仅当a=，b=，c=时，4a2+9b2+c2的最小值为．【点评】此题主要考查了绝对值不等式的几何意义和解法以及柯西不等式的构造思想．属于中档题．。
河北省邯郸市2021届新高考二诊数学试题含解析
河北省邯郸市2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A B ．32C D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 化简得到1322z i =-+，1322z i =--，再计算复数模得到答案.【详解】(1)12i z i +=+，故()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+++-，故1322z i =--，z 2=. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.2．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A B A =I B ．A B B ⋃=C ．()U A B =∅I ðD ．U B A ⊆ð【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A ，根据对数函数的性质，化简集合B ，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【详解】由2230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤， 则31,2A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故U 3(,1),2A ⎛⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ð， 由2log 1x >知，(2,)B =+∞，因此A B =∅I ，31,(2,)2A B ⎡⎤⋃=-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，()U (2,)A B ⋂=+∞ð，3(2,)(,1),2⎛⎫+∞⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选:D 【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A ．2728倍 B ．4735倍 C ．4835倍 D ．75倍 【答案】B 【解析】 【分析】设贫困户总数为a ，利用表中数据可得脱贫率000000002409521090P =⨯⨯+⨯⨯，进而可求解. 【详解】设贫困户总数为a ，脱贫率0000000000240952109094a aP a⨯⨯+⨯⨯==，所以000094477035=. 故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的4735倍. 故选：B 【点睛】本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.4．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．C ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】求得定点M 的轨迹方程22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭可得141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】设A （-a ，0），B （a ，0），M （x ，y ）．∵动点M 满足MA MB=2，==2，化简得222516(x )y 39a a -+=. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，∴141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯= ，解得a b ==，=． 故选D ． 【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．5．复数z 满足()11z i -=，则复数z 等于（） A ．1i - B ．1i +C ．2D ．-2【答案】B 【解析】 【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可. 【详解】复数z 满足()112z i -==， ∴()()()2121111i z i i i i +===+--+，故选B. 【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．6．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.7．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i - B ．86i +C ．86i -+D ．86i --【答案】B 【解析】分析：利用21i =-的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得1286z i z =+ 详解：2122686886z i i i i z i i--===+-- ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i =-符号的正、负问题.8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．6423πD ．2053π【答案】C 【解析】 【分析】作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【详解】2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为22r =(3422233V π=⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.9．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，由16PF =，列出相应方程，求出离心率. 【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率==ce a． 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．10．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A1 B1C ．2D【答案】B 【解析】 【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率. 【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=u u u v u u u v，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故1e ===，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.11．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R ð（ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞UB ．(,1][3,)-∞+∞UC ．(,1)(3,)-∞+∞UD ．(1,3)【答案】A 【解析】 【分析】算出集合A 、B 及A B I ，再求补集即可. 【详解】由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥， 所以{|13}A B x x ⋂=≤<，故()A B ⋂=R ð{|1x x <或3}x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.12．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ） A ．e B ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可得()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，于是可得()f x 在1,1e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦，继而可得()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，解之即可. 【详解】解：()2222()a e x f x a e x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，因为1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >， 所以()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在1,1e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦， 因为所有点(,())s f t (,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，所以()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭， 解得2ea e =-， 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到221(2)(1)1a e e e e---=-是关键，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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【点睛】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
2．设 为定义在 上的奇函数，当 时， ( 为常数)，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由 可得 ，所以 ，由 为定义在 上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知 在 上单调递增，注意到 ，再利用函数单调性即可解决.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由于 到直线 的距离和等于 中点到此直线距离的二倍，所以只需求 中点到此直线距离的最大值即可。再得到 中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和 中点到此直线距离的最大值的关系可以求出 。再通过裂项的方法求 的前 项和，即可通过不等式来求解 的取值范围.
【详解】
由 ，得 ， .设线段 的中点 ，则 ， 在圆 上， 到直线 的距离之和等于点 到该直线的距离的两倍，点 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆 的圆心 到直线 的距离为 ， ， ， .
.
故选：
【点睛】
本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.
6．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边 、直角边 ，已知以直角边 为直径的半圆的面积之比为 ，记 ，则 （）
A． B． C．1D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据以直角边 为直径的半圆的面积之比求得 ，即 的值，由此求得 和 的值，进而求得所求表达式的值.
【详解】
由于直角边 为直径的半圆的面积之比为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 .
故选：D
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.
7．在平面直角坐标系 中，已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边落在直线 上，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解: ,
故选:A
【点睛】
本题考查复数的除法运算,属于基础题.
4．运行如图所示的程序框图，若输出的 的值为99，则判断框中可以填（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，即可容易求得结果.
【详解】
运行该程序：
第一次， ， ；
第二次， ， ；
第三次， ， ，
…；
第九十八次， ， ；
【详解】
令 ，构造 ，求导得 ，当 时， ；当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，且 时， ， 时， ， ，可画出函数 的图象（见下图），要使函数 有三个不同的零点 （其中 ），则方程 需要有两个不同的根 （其中 ），则 ，解得 或 ，且 ，
若 ，即 ，则 ，则 ，且 ，
故 ，
若 ，即 ，由于 ，故 ，故 不符合题意，舍去.
【详解】
因为 在 上是奇函数.所以 ，解得 ，所以当 时，
，且 时， 单调递增，所以
在 上单调递增，因为 ，
故有 ，解得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.
3． （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析法则求解即可.
河北省邯郸市2021届新高考第二次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数 有三个不同的零点 （其中 ），则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令 ，构造 ，要使函数 有三个不同的零点 （其中 ），则方程 需要有两个不同的根 ，则 ，解得 或 ，结合 的图象，并分 ， 两个情况分类讨论，可求出 的值.
故选A．
【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．
10．若平面向量 ，满足 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.
A．10000立方尺B．11000立方尺
C．12000立方尺D．13000立方尺
【答案】A
【解析】
由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，
则三棱柱的
四棱锥的体积
由三视图可知两个四棱锥大小相等， 立方丈 立方尺．
【解析】
【分析】
利用诱导公式以及二倍角公式，将 化简为关于 的形式，结合终边所在的直线可知 的值，从而可求 的值.
【详解】
因为 ，且 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解 值的两种方法：（1）分别求解出 的值，再求出结果；（2）将 变形为 ，利用 的值求出结果.
8．直线l过抛物线 的焦点且与抛物线交于A，B两点，则 的最小值是
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得 ；再由基本不等式可求得 的最小值．
【详解】
由抛物线标准方程可知p=2
因为直线l过抛物线 的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知
所以
因为 为线段长度，都大于0，由基本不等式可知
第九十九次， ， ，
此时要输出 的值为99.
此时 .
故选：C.
【点睛】
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.
5．在平面直角坐标系 中，已知 是圆 上两个动点，且满足 ，设 到直线 的距离之和的最大值为 ，若数列 的前 项和 恒成立，则实数 的取值范围是（）
，此时
所以选B
【点睛】
本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（）