高中数学：直线、平面平行的判定及其性质 (61)

课时跟踪检测（十）直线与平面平行的判定、平面与平面
平行的判定
A级——学考水平达标
1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是()
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
解析：选C选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．
2．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是() A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
解析：选D选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.
3．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是()
A．平行B．相交
C．直线AC在平面DEF内D．不能确定
解析：选A∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.
4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b ⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是()
A．平行B．相交
C．平行或相交D．以上都不对
解析：选C根据图1和图2可知α与β平行或相交．
5．如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是()
解析：选C在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.
6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．
解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．
☆答案☆：l⊄α
7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．
解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．
☆答案☆：0或1
8.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分
别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF
为矩形，∴CF∥DE，
∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，
∴MN∥平面ADE.
☆答案☆：平行
9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.
求证：平面PAB∥平面EFG.
证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，又∵CD∥AB，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，∴EF ∥平面PAB.同理可证EG∥平面PAB.又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG.
10．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.
证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.
又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BF∥ED.∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，
∴BF∥平面ADE.
B级——高考能力达标
1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：选B若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
解析：选A画出相应的截面如图所示，即可得☆答案☆．
3．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有()
A．3个B．6个
C．9个D．12个
解析：选A因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.
4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有()
A．0个B．1个
C．无数个D．以上都有可能
解析：选D若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．
5．已知三棱柱ABC-A1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF 与平面ABC的位置关系是________．
解析：∵D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，
∴在平行四边形AA1B1B与平行四边形BB1C1C中，
DE∥AB，EF∥BC，∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面ABC.
☆答案☆：平行
6.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，
G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面
四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA∥平面BDG；③直线EF
∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.其中正确的序号是________．
解析：作出立体图形，可知平面EFGH∥平面
ABCD；PA∥平面BDG；EF∥HG，所以EF∥平面PBC；直线EF与平面BDG不平行．☆答案☆：①②③
7.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，
F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：如图所示，连接SB，SD，
∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又∵EG⊂平面EFG，
FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，点E在PD上，
且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？若
存在，请证明你的结论，并说出点F的位置；若不存在，请说明理由．
解：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.证明如下：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE.
因为FM⊄平面AEC，
EC⊂平面AEC，
所以FM∥平面AEC.
由EM＝1
2PE＝ED，得E为MD的中点，连接BM，BD，
设BD∩AC＝O，则O为BD的中点．
连接OE，则BM∥OE.
因为BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
所以BM∥平面AEC.
又因为FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，FM∩BM＝M，
所以平面BFM∥平面AEC，
所以平面BFM内的任何直线与平面AEC均没有公共点．
又BF⊂平面BFM，
所以BF与平面AEC没有公共点，
所以BF∥平面AEC.。