小六数学第9讲：整除和位值原理(教师版)
六年级奥数优胜教育第9讲：整除和位值原理含答案
第九讲 整除和位值原理例1：证明：当a c >时，abc cba -必是9的倍数。
例2：有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。
求原来的两位数。
例3： a ，b ，c 是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c ）的多少倍？例4：用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？例5：一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。
例6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。
A1.一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是 ．2.有三个正整数a 、b 、c 其中a 与b 互质且b 与c 也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不能被b 整除，②a 2+c 2不能被b 整除：③(a+b)2不能被c 整除；④a 2+b 2不能被c 整除，其中，不正确的判断有( )．A ．4个B ．3个C 2个D ．1个3.已知7位数61287xy 是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．4.(1)一个自然数N 被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N 的最小值是 ．(北京市竞赛题)(2)若1059、1417、2312分别被自然数x 除时，所得的余数都是y ，则x —y 的值等于( )．A ．15B ．1C ．164D ．174(“五羊杯”竞赛题)(3)设N=个1990111，试问N 被7除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题)5.盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( )A ．1990个B ．1991个C 1992个D ．1993个B6.在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?7.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．8.写出都是合数的13个连续自然数．9.已知定由“若大于3的三个质数a 、b 、c 满足关系式20+5b=c ，则a+b+c 是整数n 的倍数”．试问：这个定理中的整数n 的最大可能值是多少?请证明你的结论．10.一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”．11.设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c (a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为cba ．由“新生数”的定义，得N=abc —cba =(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a —c)．C12.从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行，从左向右从1到11报数，报到11的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从1到11报数，报到11的同学留下，其余同学出列；留下的同学再从左向左从1到11地报数，报到11的同学留下，其余同学出列．问最后留下的同学有多少?他们的编号是几号?13.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数cba cab bca bac abc、、、、的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数abc ．现在设N=3194，请你做魔术师，求出数abc 来．14.某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠．现有A 、B 、C 三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票费依次为360元、384元、480元；如果三个团合起来购票，总共可少花72元．(1)这三个旅游团各有多少人?(2)在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符．15.在下边的加法算式中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求A 和B 乘积的最大值．16.任给一个自然数N ，把N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数N ′，试证明：N N '-能被9整数．17.证明：111111+112112十113113能被10整除．1.在下列数中，哪些能被4整除？哪些能被9整除？哪些能被3整除？28、96、120、225、540、768、423、224、2922.（1）五位数A1A72能被12整除；（2）五位数4B97B 能被12整除，求这两个五位数。
(沪教版)六年级数学上册教案整数和整除的意义
整数和整除的意义教学目标1. 知识目标：在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义。
2. 能力目标：在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念。
3. 情感目标：通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力。
并从而树立学好数学的自信心。
重点、难点理解和掌握整除的概念。
教学设计整数和整除的意义是六年级的第一节课，为此在教学设计中比较注重学生学习兴趣的培养和数学学习方法的体验。
对于整数和整除这两个比较抽象的概念从学生的实际生活和年龄特点出发，体现数学知识的形成是从具体到抽象的过程。
在理解概念的基础上，通过一些辨析题起到巩固知识的目的。
教学流程提出问题分类讨论组间交流总结归纳教学过程一、建立整数和自然数的概念：1. 请你在卡片上写上一个数字，然后把它贴在黑板上。
你能根据一定的依据把这些数来分一分类吗？并说明理由。
（小组讨论）（小组讨论、归纳、交流）归纳：在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。
在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。
零和正整数统称为自然数。
正整数、零和负整数，统称为整数。
2. 把下列各数填在适当的圈内：12、-6、0、1.23、76、2005、-19.6、9正整数自然数整数二、建立整除的概念：1.你能在你的卡片上很快写出一个除法算式并贴上黑板吗？（学生写完后任意贴。
）2.你能根据一定的依据把这些除法算式来分一分类吗？并说明理由。
（小组讨论）我们小组的分类：（根据需要填写）1. ____________________________________________________________2. ____________________________________________________________3. ____________________________________________________________ 分类的理由：1. ____________________________________________________________2. ____________________________________________________________3. ____________________________________________________________3. 请同学们仔细观察黑板上除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？归纳：整数a 除以整数b ，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。
六年级第9课知识点
六年级第9课知识点本文将为您介绍六年级第9课的知识点。
请注意，以下内容是根据给定的题目格式撰写的，旨在提供清晰而美观的排版，以便您阅读。
请随着文章的阅读，逐步了解六年级第9课的知识点。
一、数学知识点在六年级第9课中，数学的知识点包括四位数的整数加减法和比较大小等内容。
本课程重点讲解了跨十进位的加减法运算，并提供了详细的步骤和示例来帮助学生理解和掌握这一知识点。
例如，我们可以考虑以下例子：问题：计算4765 + 893 - 1257的结果。
解决方案：首先，我们从右向左逐位相加减，得出：5 + 3 - 7 = 1，这一步位数是个位数；6 + 9 - 5 = 10，这一步位数是十位数；7 + 8 - 2 = 13，这一步位数是百位数；4 + 0 - 1 = 3，这一步位数是千位数；所以最后的结果是3763。
二、语文知识点六年级第9课的语文知识点主要涉及课文阅读理解和词语解释。
学生需要通过阅读课文，理解其中的主题和情节，并能够准确解释课文中出现的生词和短语。
例如，我们可以通过以下问题来帮助学生理解课文并解释生词和短语：问题：阅读下面的句子并解释其中的生词和短语。
“小明参加了学校的演讲比赛，并以优异的成绩获得了第一名。
”解释：在这个句子中，“演讲比赛”是一个生词，意思是一种口头表达能力的竞赛活动；“优异的成绩”是一个短语，意思是非常好的表现或成就；“第一名”是一个短语，意思是最好的或最高的位置。
通过类似的例子，学生可以更好地理解课文并扩展他们的词语解释能力。
三、英语知识点六年级第9课的英语知识点主要包括普通过去时态和介词的使用。
学生需要理解普通过去时态，并能够正确地使用过去时态来描述过去发生的事件。
同时，学生还需掌握一些常用介词的用法。
例如，我们可以通过以下例子来帮助学生理解普通过去时态和介词的使用：问题：用正确的时态和介词填空。
"Yesterday, I ______ (go) to the park _____ my friends."解答：过去时态的动词“go”应该变为“went”，填入空格中。
(人教新课标)六年级数学下册教案 数的整除,分数、小数的基本性质
数的整除，分数、小数的基本性质教学内容教科书第86—87页，练习十九的习题。
教学目标1．掌握整除、约数和倍数、质数和合数等概念，知道它们之间的联系和区别。
2．掌握能被2、5、3整除的数的特征。
会分解质因数。
会求最大公约数和最小公倍数。
3．在理解的基础上掌握分数、小数的基本性质。
教学重点分数、小数的基本性质。
教学难点整除、约数和倍数、质数和合数等概念。
教学过程“什么叫做公约数？什么叫做最大公约数？”（几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的—个叫做这几个数的最大公约数。
）“怎样求几个数的最大公约数？”“什么叫做公倍数？什么叫做最小公倍数？怎样求几个数的最小公倍数？”“什么样的数叫做互质数？”“质数和互质数有什么区别？”“两个不同的质数一定互质吗？”“互质的两个数一定都是质数吗？”（2）课堂练习。
做练习十九的第1题。
做练习十九的第4题。
教师巡视，集体订正。
整理出教科书第86页的概念联系图。
二、分数、小数的基本性质“分数的基本性质和小数的基本性质有什么联系？”“小数点移动位置，小数大小会发生什么变化？”做教科书第87页下面“做一做”中的题目。
练习十九的第3、6、9题。
质，4，9都是合数。
），并先让学生独立判断，集体订正时。
说—说判断的理由。
学生独立解答。
先指名说出分数的基本性质和小数的基本性质，然后让两名学生举例说明。
多让几个学生说一说，学生独立解答，集体订正。
的基本性质与小数的基本性质是一致的。
板书设计：数的整除，分数、小数的基本性质。
小学奥数数论之位值原理(教师版)
5-7-1.位值原理教学目标1.利用位值原理的定义进行拆分2.巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。
我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。
这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。
既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。
最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。
这个两位数的各位数字的和是。
【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。
1六年级上-整数与整除ppt课件
特殊数整数判定法一
如何判断一个数能被25整除？ 25 125 225 150 250 250 75 175 275 100 200 300
总结规律，判定方法是：
特殊数整数判定法一 为什么判定后两位就可以？ 再想想如何判定一个数能被4整除？ 按照这种思路，还有判定被哪个数整除的方法？
特殊数整数判定法一
注意：一个数分解 的两个因数必需互
质
例3 解：5
03
02
04
01
05
06
练习3
九位数8765□4321能被33整除，求中间□中的数。
解：0
03
02
04
01
05
06
PART FOUR
试
除
法
21
教学过程 95%
你知道1299能否被29整除么？
解：不能 75%
提示：动手做除法算 式
教学反思
XX% 双击输入替换内容 双击输入替换内容
整数和整除的意义
1
目
录
01.整除的概念 02.特征除数判定
03.分解判定法 04.试除法
2
PART ONE 第一部分整除的概念
3
教学分析
PART TWO 特征除数判定
5
特殊数整数判定法一
如何判断一个数能被2整除？ 13 345 6788 89067 344560 如何判断一个数能被5整除？ 15 345 6788 89066 344565 判定方法的共同点是？
判断下列各数是否能被2或5整除： 2570，，587931。
判断下列各数是否能被8整除： 257000，，587808。
03
02
04
01
05
六年级上册数的整除
六年级上册数的整除在六年级上册的数学学习中，“数的整除”是一个非常重要的知识点。
它不仅是数学学习的基础，也在我们的日常生活中有着广泛的应用。
数的整除，简单来说，就是一个整数除以另一个整数，如果得到的商是整数且没有余数，我们就说前者能被后者整除。
比如 6÷3 ＝ 2，因为商 2 是整数且没有余数，所以我们说 6 能被 3 整除。
首先，我们来认识一下整除中的一些基本概念。
因数和倍数是两个重要的概念。
如果整数 a 除以整数 b（b≠0）所得的商是整数且没有余数，我们就说 b 是 a 的因数，a 是 b 的倍数。
例如，12÷3 ＝ 4，那么 3 是 12 的因数，12 是 3 的倍数。
一个数的因数是有限的，其中最大的因数是它本身；而一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
2、3、5 的倍数特征也很有特点。
2 的倍数的特征是个位上是 0、2、4、6、8 的数。
比如 12、34、56 等都是 2 的倍数。
5 的倍数的特征是个位上是 0 或 5 的数，像 10、15、20 等等。
3 的倍数的特征则比较特别，一个数各位上的数字之和是3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
比如 12，1 ＋ 2 ＝ 3，3 是 3 的倍数，所以 12是 3 的倍数。
在数的整除中，还有两个特殊的数，那就是质数和合数。
质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
例如 2、3、5、7 等都是质数。
合数则是指自然数中除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。
比如 4、6、8、9 等都是合数。
1 既不是质数也不是合数，它是一个比较特殊的存在。
接下来，我们说一说公因数和最大公因数。
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个公因数，叫做这几个数的最大公因数。
求最大公因数的方法有很多种，比如列举法、分解质因数法和短除法。
列举法就是分别列出几个数的因数，然后找出它们共有的因数，其中最大的就是最大公因数。
小学六年级整除知识点
小学六年级整除知识点在小学六年级的数学学习中，整除是一个重要的知识点。
了解和掌握整除的规则和特点，将有助于学生在解决数学问题时更加得心应手。
本文将介绍小学六年级整除的相关知识点。
一、整除的概念和特点整数a能被整数b整除，即a÷b的商为整数，我们就说a能被b整除，记作b|a。
在整除的运算中，有以下几个重要的特点需要注意：1. 整数a能被1整除，即1|a，任何一个整数都能被1整除。
2. 任何一个整数a都能被自身整除，即a|a。
3. 整数0不能被任何数整除（因为任何数除以0都是没有意义的）。
4. 如果整数a能被整数b整除，那么b也能够整出a的倍数。
即如果b|a，则对任意的整数k，都有b|ka。
二、整除的判断方法在小学六年级，判断一个整数能否被另一个整数整除，可以通过以下几种方法来进行判断：1. 因数分解法：将被除数和除数进行因数分解，如果被除数中含有除数的所有因数，则说明被除数能够被除数整除。
例如，判断24能否被3整除，我们可以将24和3进行因数分解：24=2×2×2×3，3=3×1，则3是24的因数，所以24能被3整除。
2. 除法法则：如果被除数能够整除除数，那么被除数除以除数的商必然是整数。
例如，判断36能否被4整除，我们可以用36除以4，得到商为9，由于商是整数，所以36能被4整除。
3. 余数法：如果被除数除以除数的余数为0，那么被除数能被除数整除。
例如，判断56能否被7整除，我们用56除以7，得到商为8，余数为0，由于余数为0，所以56能被7整除。
三、整除与倍数的关系整除与倍数是密切相关的概念。
如果一个整数a能被另一个整数b整除，那么a就是b的倍数。
例如，12能够被3整除，那么12就是3的倍数。
同样地，如果一个整数a是另一个整数b的倍数，那么a能够被b整除。
例如，24是6的倍数，那么24能被6整除。
四、整除的应用举例整除在日常生活和数学问题中有着广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九讲整除和位值原理整除问题整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧性，仍然是值得我们不断学习和思考的．下面我们先回顾一下相关知识：1.整除的概念b ，如果a÷b=c，即整数a除以整数b，得到的商是整数c且a，b，c为整数，且0没有余数，那么称作n能被b整除，或者是说b能整除a，记作；否则，称为a不能被b整除，或是说b不能整除n．如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a 的约数．2.整除的基本性质①如果a，b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除．即：如果，那么②如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．即：如果，那么③如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．即：如果④如果b，c都能够整除，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a．即：3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；②能被3(或9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被3(或9)整除；③能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能够被4(或25)整除；④能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；⑤能被7(或11、13)整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之⑥差能够被7(或1、11、13)整除；⑦能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能够被8(或125)整除；⑧能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除．4.位值原理同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。
也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。
这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
用阿拉伯数字和位值原理，可以表示出一切整数。
例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。
根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：abc 表示a 个百，b 个十，c 个一。
其中a 可以是1～9中的数码，但不能是0，b 和c 是0～9中的数码。
5.位值原理的表达形式 以三位数为例：100101abc a b c =⨯+⨯+⨯abc 上面的横线表示这是用位值原理表示的一个数，用以区别abc a b c =⨯⨯1.理解整除的概念，会用整除的性质解决有关问题。
2.理解位值原理的含义，能区分位值原理与字母乘法的区别。
3.掌握整除的性质，并熟练应用被2、3、4、5、8、9、11整除的数的特征。
例1：证明：当a c >时，abc cba -必是9的倍数。
分析：abc 与cba 的数字顺序恰好相反，我们称cba 与abc 互为反序数，互为反序数的两个数之差必能被9整除。
例2：有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。
求原来的两位数。
分析与解：由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘以10后再加1。
设这个两位数为x。
由题意得到（10x+1）-（100+x）=666，10x+1-100-x=666，10x-x=666-1+100，9x=765，x=85。
原来的两位数是85。
例3： a，b，c是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c）的多少倍？分析与解：用a，b，c组成的六个不同数字是这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到所以，六个数的和是（a+b+c）的222倍。
例4：用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？分析与解：由例3知，可以组成的六个三位数之和是（2+8+7）×222，所以平均值是（2+8+7）×222÷6=629。
例5：一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。
分析与解：设这两个数为ab，则有（a+b）×5-（10a+b）=6，5a+5b-10a-b=6，4b-5a=6。
当b=4，a=2或b=9，a=6时，4b-5a=6成立，所以这个两位数是24或69。
例6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。
分析与解：设原来的三位数的三个数字分别是a ，b ，c 。
若由上式知，所求三位数是99的倍数，可能值为198，297，396，495，594，693，792，891。
经验证，只有495符合题意，即原来的三位数是495。
A1.一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是 ．答案：372.有三个正整数a 、b 、c 其中a 与b 互质且b 与c 也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不能被b 整除，②a 2+c 2不能被b 整除：③(a+b)2不能被c 整除；④a 2+b 2不能被c 整除，其中，不正确的判断有( )．A ．4个B ．3个C 2个D ．1个答案：A3.已知7位数61287xy 是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．答案：符合条件的7位数是：1287216，1287936，12875764.(1)一个自然数N 被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N 的最小值是 ．(北京市竞赛题)(2)若1059、1417、2312分别被自然数x 除时，所得的余数都是y ，则x —y 的值等于( )．A ．15B ．1C ．164D ．174(“五羊杯”竞赛题)(3)设N=321Λ个1990111，试问N 被7除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题)答案：5.盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( )A．1990个 B．1991个 C 1992个 D．1993个答案：DB6.在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?答案：30、60、90三个．7.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．答案：显然，号码为9999是幸运券，除这张外，如果某个号码n是幸运券，那么号m=9999—n也是幸运券，由于9是奇数，所以m≠n．由于m+n=9999相加时不出现进位，这就是说，除去号码9999这张幸运券外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的整倍数，而101│9999，故知所有幸运券号码之和也能被101整除思考：“如果某个号码n是幸运券，那么号m=9999—n也是幸运券”，这是解决问题的关键，请你考虑这句话合理性．81ab是99的倍数，求整数a、b的值．若六位数9381ab能被9整除，∴8+1+a+b+9+3=21+a+b能被9整除，得3+a+b=9k l(k1为整∵93数)．①81ab能被11整除，∴8—1+a—b+9—3=13+a—b能被11整除，得2+a—b=11k2(k2又93为整数)．②∵ 0≤a，b≤9 ∴ 0≤a+b≤18，－9≤a－b≤9．由①、②两式，得3≤<9k1≤21，－7≤11k2≤1l，知k1=1，或k1=2；k2=0，或，而3+a+b与2+a—b的奇偶性相异，而k1=2，k2=1不符合题意．故把k1=1，k2=0代人①、②两式，解方程组可求得a=2，b=4．8.写出都是合数的13个连续自然数．答案：方法一：直接寻找从2开始，在自然数2，3，4，5，6，…中把质数全部划去，若划去的两个质数之间的自然数个数不小于13个，则从中取13个连续的自然数，就是符合要求的一组解，例如：自然数114，115，116，…，126就是符合题意的一组解．方法二：构造法我们知道，若一个自然数a 是2的倍数，则a+2也是2的倍数，若是3的倍数，则a+3也是3的倍数，…，若a 是14的倍数，则a+14也母14的倍数，所以只要取a 为2，3，…，14的倍数，则a+2，a+3，…a+14分别为2，3，…，14的倍数，从而它们是13个连续的自然．所以，取a=2×3×4×…×14，则a+2，a+3，…，a+14必为13个都是合数的连续的自然数．9.已知定由“若大于3的三个质数a 、b 、c 满足关系式20+5b=c ，则a+b+c 是整数n 的倍数”．试问：这个定理中的整数n 的最大可能值是多少?请证明你的结论．答案：先将a+b+c 化为3(a+2b)的形式，说明a+b+c 是3的倍数，然后利用整除的性质对a 、b 被3整除后的余数加以讨论得出a+2b 也为3的倍数．∵ a+b+2a+5b=3(a+2b)，显然，3│a+b+c若设a 、b 被3整除后的余数分别为r a 、r b ，则r a ≠0， r b ≠0．若r a ≠r b ，则r a =2，r b =1或r a =1，r b =2，则2a+5b =2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3)，或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)；3(2P+59+4)，即2a+5b 为合数与已知c 为质数矛盾． ∴ 只有r a =r b ，则r a =r b =1或r a =r b =2．于是a+2b 必是3的倍数，从而a+b+c 是9的倍数．又2a+5b=2×11十5×5=47时，a+b+c=11+5+47=63，2a+5b =2×13十5×7=61时，a+b+c =13+7+61=81，而(63，81)=9，故9为最大可能值．10.一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”．答案：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大数、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定．11.设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c (a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为cba ．由“新生数”的定义，得N=abc —cba =(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a —c)．答案：由上式知N 为99的整数倍，这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693，792，891，990．这九个数中，只有954－459=495符合条件，故495是唯一的三位‘新生数”．C12.从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行，从左向右从1到11报数，报到11的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从1到11报数，报到11的同学留下，其余同学出列；留下的同学再从左向左从1到11地报数，报到11的同学留下，其余同学出列．问最后留下的同学有多少?他们的编号是几号?答案：由题意，第一次报数后留下的同学，他们的编号必为11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们的编号必为112=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们的编号必为113=1331的倍数．因此，最后留下的同学编号为1331的倍数，我们知道从1~2002中，1331的倍数只有一个，即1331号，所以，最后留下一位同学，其编号为1331．13.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数cba cab bca bac abc、、、、的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数abc ．现在设N=3194，请你做魔术师，求出数abc 来．答案：将abc 也加到和N 上，这样a 、b 、c 就在每一位上都恰好出现两次，所以有abc +N=222(a+b+c)从而3194<222(a+b+c) <3194+1000，而a 、b 、c 是整数．所以15≤<a 十b 十c ≤18．因为222×15—3194=136，222×16—3194=358，222×17-3194=580，222×18-3194=802， 其中只有3+5+8=16能满足①式，所以abc =358．14.某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠．现有A 、B 、C 三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票费依次为360元、384元、480元；如果三个团合起来购票，总共可少花72元．(1)这三个旅游团各有多少人?(2)在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符．答案：(1)360+384+480－72=1152(元)，1152÷72=16(元／人)，即团体票是每人16元．因为16不能整除360，所以A 团未达到优惠人数．若三个团都未达到优惠人数，则三个团的人数比为360：384：480=15：16：20，即三个团的人数分别为725120,725116,725115⨯⨯⨯，这都不是整数(只要指出其中某一个不是整数即可)，不可能．所以B 、C 两团至少有一个团本来就已达到优惠人数．这有三种可能：①只有C 团达到；②只有B 团达到；③B 、C 两团都达到．对于①，可得C 团人数为480÷16=30，A 、B 两团共有42人，A 团人数为15/31×42，不是整数，不可能．刘于②，可得B 团人数为384÷16=24，A 、C 两团共有48人，A 团人数为15/35×48，不是整数，不可能．所以必是③成立，即C 团有30人，B 团有24人，A 团有18人．15.在下边的加法算式中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求A 和B 乘积的最大值．答案：先通过运算的进位，将能确定的口确定下来，再来分析求出A 和B 乘积的最大值．设算式为显然，g=1，d=9，h=0．a+c+f=10+B ，b+e=9+A ，∴A ≤6．2（A+B ）+19=2+3+4+5+6+7+8=35，∴A+B=8．要想A ×B 最大，∵A ≤6，∴取A=5，B=3．此时b=6，e=8，a=2，c=4；f=7，故A ×B 最大值为15．16.任给一个自然数N ，把N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数N ′，试证明：N N '-能被9整数．答案：令N=，则N ′=11a a a n n Λ-．所以，N 除以9所得的余数等于a 1+a 2+…+a n 除以9所得的余数，而N ′除以9所得的余数等于a n +a n-1+…+ a 1除以9所得的的余数．显然，a 1+a 2+…+a n = a n +a n-1+…+ a 1．因此，N 与N ′除以9所得的余数相同，从而N N '-能被9整除．17.证明：111111+112112十113113能被10整除．答案：要证明111111+112112十113113能被10整除，只需证明111111+112112十113113的末位数字为0，即证111111、112112、113113三个数的末位数字和为10．证明：111111的末位数字显然为1；112112=(1124)28，而1124的末位数字是6，所以112112的末位数字也是6；113113=(1134)28×113．1134的末位数字是1，所以113113的末位数字是3．n a a a Λ21∴111111、112112、113113三个数的末位数字和为10，∴111”’十112n ’十113m 能被10整除．注：本题是将证明被10整除转化为求三数的末位数字之和为10．解决数学问题时，常将未知的问题转化为熟知的问题，复杂的问题转化为简单的问题，这就是化归思想．1.在下列数中，哪些能被4整除？哪些能被9整除？哪些能被3整除？28、96、120、225、540、768、423、224、292分析：由可以被4、9、3整除的数的特征来考察这些数。