高中数学必修四三角恒等变换常考题型换
高一必修4三角恒等变换测试题及答案
高一必修4三角恒等变换测试题及答案2一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1、cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为（ ）A 0B 12C 3 D12-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ）A 、3365-B 、6365C 、5665 D 、1665-3. tan 20tan 40320tan 40︒︒︒︒++的值为（ ）A 1 B3 C 3 D34. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ）A 47-B 47 C 18D 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（ ）A 、3365B 、1665C 、56653D 、63656.,)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425D 、7257. 函数44sincos y x x=+的值域是（ ）A []0,1B []1,1-C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A1010 B1010-C10103 D10103-9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将xx y 2cos 2sin 3-=的图像（ ）A 、向右平移6π个单位B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位D 、向左平移12π个单位 10. 函数sin 322xxy =+的图像的一条对称轴方程是4（ ）A 、x =113π B 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 11. 已知1cos sin 21cos sin x xx x-+=-++，则xtan 的值为（ ）A 、34B 、34-C 、43D 、43- 12.若0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1tan 7β=-,则=-βα2（ ）A 、56π-B 、23π-C 、 712π- D 、34π-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上） 13. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C =14. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为 15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为 。
三角恒等变换的常见题型
三角恒等变换的常见题型湖南浏阳九中 吴志华三角恒等变换也是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。
历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。
题型一：三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
例1．（06北京理，15）已知函数1)4()cos x f x xπ-=. 设α的第四象限的角，且tan α43=-，求()f α的值。
分析：先利用公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-将)42sin(π-x 展开，再利用公式x x 2cos 22cos 1=+将分子变换，从而将函数化简。
再利用αtan 的值求出ααcos ,sin 的值，最后得出)(αf 的值。
解析：xx xx x x x x x x x x f sin 2cos 2cos cos sin 2cos 2cos 2cos 2sin 1cos )42sin(21)(2-=-=+-=--=π∵α是第四象限的角且34tan -=α，∴53cos ,54sin =-=αα∴514sin 2cos 2)(=-=αααf 点评：能化简的先化简后求值，可以使计算简便题型二：三角函数的求值 三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
高中数学必修4三角恒等变换测试题7含答案
2．已知△ ABC的内角 B 满足 2cos 2B 8cos B 5 0, ，若 BC a ， CA b 且
a,b 满足： a b 9 ， a 3, b 5 ， 为 a, b 的夹角 . 求 sin( B ) 。
3．已知 0 x ,sin( x) 5 , 求 cos 2x 的值。
44
13
cos( x)
4
4．已知函数 f ( x) a sin x cos x
3a cos2 x
3 a b (a 0)
2
(1> 写出函数的单调递减区间；
(2> 设 x [0， ] ， f (x) 的最小值是 2 ，最大值是 3 ，求实数 a, b 的
2
值．
参考答案 一、选择题
-2-/5
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2
3 cos x
3 的图象的一个对称中心是 <
）
A. ( 2 ,
3 )
B.
5 (,
3) C. (
2
,
3 )
D. ( ,
3)
32
62
32
3
4．△ ABC中， C 900 ，则函数 y sin 2 A 2sin B 的值的情况 < ）
A．有最大值，无最小值
B ．无最大值，有最小值
C．有最大值且有最小值
D ．无最大值且无最小值
cos cos
对于③， y sin 2x y sin 2(x ) sin(2x )
4
2
2.
1 cosx 1
cosx
1
y
sin x sin x sin x tan x
3. 59 (sin cos )2 (sin cos )2 13 , 2sin(
三角恒等变换问题(典型题型)
三角恒等变换问题三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。
例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减）已知11cos sin ,sin cos 23αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221cos 2cos sin sin 4ααββ++=两式相加得，1322(cos sin sin cos )36αβαβ+-=化简得，59sin()72βα-=-即59sin()72αβ-=方法评析：式的变换包括：➢ 1、tan(α±β)公式的变用 ➢ 2、齐次式➢ 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方） ➢ 4、两式相加减，平方相加减➢ 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）例2 （角的变换---已知角与未知角的转化） 已知27sin()241025παα-==，求sin α及tan()3πα+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α，54cos -=α，于是3tan 4α=-故333482534tan()31113tan 331παα-+-+===-+方法评析：1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到．2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．例3（合一变换---辅助角公式）设关于x的方程sin 0x x a +=在(0,2)π内有相异二解βσ和.求a 的取值范围.解:∵1sin 2(sin )2sin()23x x x x x π=+=+， ∴方程化为sin()32a x π+=-.∵方程sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解,∴sin()sin33x ππ+≠=. 又sin()13x π+≠± (1±时仅有一解),∴122a a <≠且-,即2a a <≠且∴ a的取值范围是(2,(3,2)--.方法评析：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2)π这一条件. 例4（ ，一题多解型）若cos 2sin αα+=求tan α的值.解： 方法一：(“1”的运用)将已知式两端平方得 方法二：(合一变换)()αϕ+=1tan 2ϕ=， 再由()sin 1αϕ+=-知,()22k k παϕπ+=-∈Z ，所以22k παπϕ=--，所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕϕ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=--=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭方法三：(式的变换)令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得255t =+，故0t =，即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=． 方法四：(与单位圆结合)我们可以认为点()cos ,sin M αα在直线2x y +=而点M 又在单位圆221x y +=上，解方程组可得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，从而tan 2y x α==．这个解法和用方程组22cos 2sin sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩求解实质上是一致的．方法评析：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知()1sin cos ,0,5βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目,背景是熟悉的,但要解决这个问题还需要学生具有相当的知识迁移能力．有关三角恒等变换的一般解题思路为“五遇六想”，即：遇正切，想化弦；遇多元， 想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角.。
(完整版)高一必修4三角恒等变换测试题及答案
17. 已知 0
， tan
2
2
1 tan
2
5 ，试求 sin
2
的值．（ 12 分）
3
3 tan120 3
18. 求 sin120 (4 cos2 120
的值．（ 12 分）
2)
3
19. 已知α为第二象限角，且
sinα = 15 ,求
sin(
) 4
的值 .（12分）
4 sin 2 cos2 1
20.已知函数 y sin2 x sin 2x 3cos 2 x ，求 （ 1）函数的最小值及此时的 x 的集合。
65
56
C、
65
16
D、
65
3. tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 的值为（
）
)（ ）
A1
3
B
3
C －3
D3
4. 已知 tan
3,tan
5 ，则 tan 2 的值为（
）
4
A
7
4
B
7
1
C
8
1
D
8
5. , 都是锐角，且 sin
5 ， cos
13
4
，则 sin 的值是（
）
5
33
A、
3 cos x 的图像的一条对称轴方程是 2
（）
A 、 x 11 3
B 、x 5
C 、x
5
D 、x
3
3
3
1 cos x sin x
11. 已知
1 cos x sin x
2 ，则 tan x 的值为
（）
A、 4 3
B
【高中】高中数学必修4三角恒等变换复习专题
【关键字】高中第二部分：三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴。
⑵= = 。
降幂公式，，．⑶．3、辅助角公式：（其中）4、三角变换中对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；②；③；④；⑤。
三角恒等变换专项训练知识点1：两角和差的余弦、正弦1．= ；= 。
2．= ；= 。
3．=，=，则= 。
4．已知为锐角，，求（1）（2）知识点2：拆角与凑角1．已知求.2．已知，求.3．求值：（1）；（2）.知识点3：两角和差的正切1．= ；= 。
2．（1）= ；（2），则= ；（3）若= 。
3．已知求.4．已知是方程的两根，求值知识点4：二倍角1．= ，= .2．，则= ，= .3．，则所在象限 .4．化简：= .5．已知，求：（1） （2） （3）知识点5：升、降幂公式1．化简= .2．，化简= .3．的单调递加区间是 .知识点6：与二倍角1．= .2．= .3．化简= ，其单调递减区间为 .知识点7：辅助角公式1．合一变形： ，= ，= ，= .2．增区间是 .3．化简（1）； （2）.知识点8：三角函数综合1．cos 24sin 3y x x =-+的最大值为 ，cos 24cos 3y x x =-+最小值为 .2．已知函数2213cos sin cos sin 22y x x x x =++. (1)求最小正周期； (2)求最大值及相应的x 的取值； (3)求单调增区间.3．已知函数()cos cos()3f x x x π=⋅-. (1)求2()3f π的值； (2) 求对称轴和对称中心； (3) 求使1()4f x <成立的x 的取值集合.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高中数学必修四三角恒等变换题型归纳及训练题
三角恒等变换一、知识概括：1．两角和与差的三角函数公式2．二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；3．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．(2)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2.二、方法归纳总结：1.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．三、典例剖析：题型一、【公式顺用、逆用、变用】例1、sin 75= ； cos15= ； 2、sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.123．设sin 2sin ,(,)2παααπ=-∈，则tan 2α的值是________．4、若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625专题二：【凑角应用】例3、已知0<β<π4<α<34π，135)43sin(,53)4cos(=+=-βπαπ，求)sin(βα+的值．注：常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－()4πα-变式1、若0＜α＜π2，π2＜β＜3π2，14cos(),cos(),43425ππβα+=-=则cos()2βα+=________.变式2、已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______.题型三、【三角恒等变换的综合运用】1.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.2.已知函数()sin(),4f x A x x R π=+∈，且53()122f π=. ①求A 的值； ②若f (θ)＋f (－θ)＝32，(0,)2πθ∈，求3()4f πθ-3.已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．三角恒等变形课后训练题1.cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为 ( ）A. 0B. 12C.D. 12-2. =+-)12sin 12(cos )12sin12(cosππππ（ ）A. 23-B. 21-C. 21D.23 3.设1tan 2,1tan xx +=-则sin 2x 的值是 ( )A. 35B. 34-C. 34D. 1-4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为 （ ）A. 47-B. 47C. 18D. 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是 （ ）A. 3365B.1665C. 5665D. 63656.)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是 （ ）A. 725-B. 2425-C. 2425D. 7257.cos 23x x a +=-中，a 的取值域范围是 ( )A. 2521≤≤aB. 21≤aC. 25>aD. 2125-≤≤-a 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为 （ ）A.1010 B. 1010- C. 10103 D. 10103-9. 函数sin22x xy =的图像的一条对称轴方程是 （ ） A. x =113π B. x =53π C. 53x π=- D. 3x π=-10.在ABC ∆中，tan tan tan A B A B +=，则C 等于 ( )A.3π B. 23π C. 6π D. 4π11.若βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且),2,2(,ππβα-∈则βα+等于 ． 12. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = ． 13. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为 ．14. 关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题：①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 ．（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：15.在ABC ∆中，已知的值求sinC ,135B c ,53cosA ==os ．16.已知αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<．17. 已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.18已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π.(1)求tan(α－β)的值；(2)求α＋β的值．19.已知函数)0)(6sin(2)(>-=ωπωx x f 的最小正周期为π6（1）求)0(f （2）设56)23(,1310)23(0,2,2,0=+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πβπαπβπαf f ，求)cos(βα+的值.20.已知函数22sin sin 23cos y x x x =++，求 （1）函数的最小值及此时的x 的集合。
数学必修4三角恒等变换
必修（4）三角恒等变换典型例题一、化简求值例1、①︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2 ②︒︒+︒︒︒-︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin③︒+︒+︒+︒20cos 1)]10tan 31(10sin 50sin 2[④︒︒︒︒70sin 50sin 30sin 10sin⑤︒︒+︒+︒50cos 20sin 50cos 20sin 22 例2、①的值则)cos(,31cos cos ,41sin sin βαβαβα-=+=+。
②的值则)sin(,15sin 5cos 13,9cos 5sin 13βαβαβα+=+=+。
例3、①已知,5cos 3sin cos sin 2-=-+θθθθ求θθ2sin 42cos 3+的值。
②231cos sin -=+αα（0＜α＜π）,则α2cos 的值。
例4、①若α∈[27,25ππ],则ααsin 1sin 1-++的值。
②已知0＜α＜π，ααcos 1cos 1-++的值。
③已知α∈（270°,360°）,则α2cos 21212121++的值。
例5、①已知2π＜β＜α＜43π，53)sin(,54)cos(-=+=-βαβα，求α2sin 的值。
②已知4π＜α＜43π,0＜β＜4π.135)43sin(,53)4cos(=+-=+βπαπ求)sin(βα+的值。
③已知31)2tan(,21)2tan(-=-=-αββα，求tan （α+β）的值。
④已知)2sin(3sin ββ+=a ，求αβαtan )tan(+的值。
例6、①已知135)4sin(=-x π，0＜x ＜4π，求)4cos(2cos x x +π的值。
②已知53)4cos(=+x π，2π≤x ＜23π，求)24cos(x +π的值。
③若25π＜x ＜411π，542sin -=x ，求tan2x 的值。
例7、①已知2)4tan(=+απ，求ααα2cos cos sin 21+的值。
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高中数学必修四三角恒等变换常考题型换
WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
三角恒等变换常考题型分析
一选择题
1.在△ABC 中，若B A B A cos cos sin sin <⋅，则△ABC 一定为（ ）.
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形 2.︒⋅︒+︒+︒19tan 11tan 19tan 311tan 3的值是（ ）.
A ．3
B ．33
C ．0
D ．1
3. 48cos 78sin 24cos 6sin ⋅⋅⋅的值为（ ）.
A ．161
B ．161-
C ．321
D ．8
1 4.已知θ为第二象限角，225sin sin 240θθ+-=，则cos
2θ的值为（ ）. A ．53- B ．53± C ．2
2 D ．54± 5.已知不等式(
)2cos 0444x x x f x m =+-≤对于任意的 566
x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）.
A.m ≥
B.m ≤
C.m ≤
D.m ≤≤
二、填空题
6.已知βα,3(
,)4π∈π，5
3)sin(-=+βα，12sin()413βπ-=，则cos()4απ+= . 7.已知31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，则)tan(βα+的为 . 8.化简)120cos(3)60sin(2)60sin(x x x -︒-︒-+︒+的结果是 .
三、解答题
13.已知91)2cos(-=-β
α，3
2)2sin(=-βα，0α<<π，02βπ<<，求)cos(βα+的值. 14.（1）已知α为第二象限角，且415sin =α，求sin()4sin 2cos21αααπ+++的值.
（2）已知0cos 2sin =+θθ，求θ
θθ2cos 12sin 2cos +-的值. 17．已知函数2()sin()sin()cos 2
f x x x x π=π--+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当3[,]88
x ππ∈-时，求函数()f x 的单调区间. 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为102
，55
2.
（1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值.。