三角恒等变换 - 最全的总结· 学生版
(完整版)三角恒等变换公式大全,推荐文档
三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+b cosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。
三角恒等式的变形总结
三角恒等式的变形总结三角恒等式是数学中经常遇到的重要概念之一，它们在解决三角函数问题和证明数学命题时起到了关键作用。
本文将对三角恒等式的常见变形进行总结和讨论，以帮助读者更好地理解和应用这些变形。
一、基本恒等式的变形1. 倍角恒等式：倍角恒等式可以将一个三角函数的角度变为原来的两倍，有助于简化复杂的三角函数表达式。
- sin(2θ) = 2sinθcosθ- cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ- tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)2. 半角恒等式：半角恒等式将一个三角函数的角度变为原来的一半，常用于将角度较大的三角函数转化为角度较小的三角函数。
- sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]- cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]- tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]3. 和差恒等式：和差恒等式可用于将两个三角函数的和、差转化为一个三角函数表达式。
- sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ- cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)二、特殊角的三角函数变形1. 30°、45°、60°特殊角：30°、45°、60°特殊角的三角函数可以通过基本恒等式和特殊三角函数值的关系来推导。
- sin30° = 1/2, cos30° = √3/2, tan30° = 1/√3- sin45° = √2/2, cos45° = √2/2, tan45° = 1- sin60° = √3/2, cos60° = 1/2, tan60° = √32. 诱导公式：诱导公式是通过特殊角的三角函数值和和差恒等式推导出其他角度的三角函数值。
《三角恒等变换》知识点总结
《三角恒等变换》知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、⇒（后两个不用判断符号，更加好用）4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。
()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． ααααααααααα半角公式sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :-=+=+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :222αααααα万能公式+-=+=5．（1）积化和差公式sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α·sin β= -21[cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式sin α+sin β= 2cos 2sin 2βαβα-+ sin α-sin β=2sin 2cos 2βαβα-+ cos α+cos β=2cos 2cos 2βαβα-+cos α-cos β= -2sin 2sin 2βαβα-+ tan α+ cot α=ααα2sin 2cos sin 1=⋅tan α- cot α= -2cot2α 1+cos α=2cos 22α1-cos α=2sin 22α 1±sin α=(2cos 2sin αα±)26。
三角恒等变换教学总结
三角恒等变换教学总结教学总结一：引言三角恒等变换是高中数学中的重要内容之一，也是学生们常常容易混淆和理解困难的部分。
在本次教学中，我以梳理知识点、注重实例分析以及启发式提问等教学策略，帮助学生理解和掌握三角恒等变换的概念和运用。
在总结本次教学的过程中，我将从教学目标、教学内容、教学方法和教学效果四个方面进行总结，以期不断提升教学质量。
教学总结二：教学目标本次三角恒等变换教学的主要目标是使学生能够：1. 掌握三角恒等变换的基本概念和常见公式；2. 理解三角恒等变换的证明过程和推导方法；3. 熟练运用三角恒等变换解决实际问题。
教学总结三：教学内容1. 三角恒等变换的基本概念：包括同角三角函数的关系、同根数和同比例三角函数的关系等；2. 三角恒等变换的常见公式：包括正弦、余弦和正切的平方和差公式、倍角公式、半角公式等；3. 三角恒等变换的证明和推导方法：通过几何证明、代数推导等方法，深入理解三角恒等变换的本质；4. 实际问题的应用：通过列方程、建立模型等方式，将三角恒等变换运用于实际问题的解决。
教学总结四：教学方法1. 梳理知识点：在教学前，通过对三角恒等变换知识点进行系统的梳理，确保教学内容的完整性和准确性；2. 实例分析：通过具体的实例分析，引导学生发现和探究三角恒等变换中的规律和性质，培养学生的逻辑思维能力；3. 启发式提问：通过提出一系列开放性的问题，引导学生主动思考和独立探索，激发学生的学习兴趣和求知欲；4. 互动合作：通过小组合作和课堂互动的方式，组织学生进行思维碰撞和知识分享，营造积极的学习氛围；5. 多媒体辅助：利用多媒体教学工具，展示三角恒等变换的动态过程和实际应用，提升学生的直观理解能力。
教学总结五：教学效果通过本次三角恒等变换教学，学生的学习效果明显提升。
大部分学生在课堂上能够主动参与讨论，并正确运用三角恒等变换解决问题。
学生对于三角函数之间的关系和三角恒等变换的证明过程有了更深入的理解。
专题18 三角恒等变换 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题18三角恒等变换知识点一．两角和与差的正余弦与正切①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式①sin 22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-；知识点三：降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===知识点四：半角公式sin22αα==sin 1cos tan.21cos sin aαααα-==+知识点五．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中abb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）．【方法技巧与总结】1．两角和与差正切公式变形)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±；1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ---=++-=⋅βαβαβαβαβα．2．降幂公式与升幂公式ααααααα2sin 21cos sin 22cos 1cos 22cos 1sin 22=+=-=；；；2222)cos (sin 2sin 1)cos (sin 2sin 1sin 22cos 1cos 22cos 1αααααααααα-=-+=+=-=+；；；．3．其他常用变式αααααααααααααααααααsin cos 1cos 1sin 2tan tan 1tan 1cos sin sin cos 2cos tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 222222222-=+=+-=+-=+=+=；；．3.拆分角问题：①=22αα⋅；=(+)ααββ-；②()αββα=--；③1[()()]2ααβαβ=++-；④1[()()]2βαβαβ=+--；⑤()424πππαα+=--．注意特殊的角也看成已知角，如()44ππαα=--．【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明题型二：给式求值题型三：给值求值题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角【典例例题】题型一：两角和与差公式的证明例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）(1)试证明差角的余弦公式()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+；(2)利用公式()C αβ-推导：①和角的余弦公式()C αβ+，正弦公式()S αβ+，正切公式()T αβ+；②倍角公式(2)S α，(2)C α，(2)T α.例2．（2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数22sin 26cos 3426cos34+ ；22sin 39cos 2139cos 21+ ；()()22sin 52cos 11252cos112-+- ；22sin 30cos 3030cos30+ .（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.例3．（2022·陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图带有坐标系的单位圆O 中，设AOx α∠=，BOx β∠=，AOB αβ∠=-，（1）利用单位圆､向量知识证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos()5αβ-=-，5tan 12α=-，求cos β的值例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，考虑点(1,0)A ，1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，(cos(),sin())P αβαβ++，从这个图出发.（1）推导公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；（2）利用（1）的结果证明：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，并计算sin 37.5cos37.5︒︒⋅的值.【方法技巧与总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.题型二：给式求值例5．（2022·全国·高三专题练习）已知sin α=()cos αβ-=且304πα<<，304πβ<<，则sin β=（）ABCD例6．（2020·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（）A ．13B ．13-C ．23D ．23-例7．（2020·全国·高三专题练习）若7cos(2)38x π-=-，则sin()3x π+的值为（）.A ．14B ．78C ．14±D ．78±（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）设sin()sin 6πββ++=sin()3πβ-=（）AB ．12C ．12-D．例9．（2022·全国·模拟预测（文））已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 25β=，()4cos 5αβ+=，则cos α=___________.例10．（2022·上海静安·模拟预测）已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2α的值为_____________．例11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若0θθ=时，()2sin 2cos f θθθ=-取得最大值，则0sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【方法技巧与总结】给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.题型三：给值求值例12．（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin 5α=-，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα-=+（）A ．12B ．12-C ．2D ．-2例13．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin 64x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．78-B ．78C ．D 例14．（2022·湖北·模拟预测）已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（）A ．B ．C ．12D 例15．（2022·全国·模拟预测）已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2325B ．2325-C D ．例16．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-例17．（2022·广东茂名·模拟预测）已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．12D（多选题）例18．（2022·江苏·高三专题练习）已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+=则（）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-=D ．cos cos αβ=【方法技巧与总结】给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.题型四：给值求角例19．（2022·全国·模拟预测）已知263ππα<<，sin 4sin cos tan 15315315πππππαα⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则α=______．例20．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知3sin 44ππαβ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3,,0,444πππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求αβ-的值为_____．例21．（2022·河北石家庄·一模）已知角π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin sinπ12tan π12cos cos 12αα-=+，则α=______.例22．（2022·上海市大同中学高三开学考试）若()0,απ∈，且cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则α的值为___________.例23．（2022·全国·高三专题练习）若sin 2α=()sin βα-=且ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是______．例24．（2022·吉林·延边州教育学院一模（理））若sin 2α=，()sin βα-=且π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+=（）A ．7π4B ．π4C ．4π3D ．5π3例25．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知α、β都是锐角，且223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，那么α、β之间的关系是（）A ．4παβ+=B ．4αβ-=πC ．24παβ+=D ．22παβ+=例26．（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知11tan ,tan ,37αβ==-且,(0,)αβπ∈，则2αβ-=（）A ．4πB ．4π-C ．34π-D ．34π-或4π【方法技巧与总结】给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.题型五：正切恒等式及求非特殊角例27．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若角α的终边经过点()sin 70,cos70P ︒︒，且tan tan 2tan tan 2m αααα++⋅=，则实数m 的值为（）A．B．CD例28．（2021·重庆八中高三阶段练习）sin10︒︒=（）A ．14B C ．12D例29．（2020·=（）A ．1BC D ．例30．（2022·全国·高三专题练习）()tan 30tan 70sin10︒+︒︒=___________.例31．（2022·江苏南通·高三期末）若11sin α=，则α的一个可能角度值为__________.例32．（2022·江苏扬州·模拟预测）1tan 751tan 75-︒=+︒___________．例33．（2022·贵州黔东南·一模（文））若()1tan 3αβ+=，()1tan 6a β-=，则tan 2α=___________.例34．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒=______．【方法技巧与总结】正切恒等式：当A B C k π++=时，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅．证明：因为tan tan tan()1tan tan A BA B A B++=-，tan tan ()C A B =-+，所以tan tan tan (1tan tan )A B C A B +=--故C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++．【过关测试】一、单选题1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知角α与角β的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的终边关于x 轴对称．若3cos 5α=，则()()cos cos αβαβ+-=（）A ．725-B ．15C ．15-D ．7252．（2022·全国·模拟预测（理））已知sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+=，则cos()αβ-=（）A ．0B ．12C D ．13．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知πtan 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()1tan 3αβ+=，则tan β=（）A ．17-B ．17C ．1D ．2或64．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒，若24m n +=，=（）A ．－4B ．－2C ．2D ．45．（2022·山东烟台·三模）若21π2cos cos 23αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（）A ．BC ．D 6．（2022·全国·模拟预测（文））设角α，β的终边均不在坐标轴上，且()tan tan tan αββα-+=，则下列结论正确的是（）A ．()sin 0αβ+＝B ．()cos 1αβ-＝C ．22sin sin 1αβ+=D ．22sin cos 1αβ+=7．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知15αβ+= ，则1tan tan tan tan 1tan tan tan tan αβαβαβαβ++-=---（）A ．BC ．1D8．（2022·全国·高三专题练习）若10,0,cos ,cos 224342ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2βα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A B ．C D ．二、多选题9．（2022·海南海口·二模）已知(),2αππ∈，tan sin tan 22αβα==，则（）A ．tan α=B ．1cos 2α=C ．tan β=D ．1cos 7β=10．（2022·河北邯郸·二模）下列各式的值为12的是（）.A ．sin17π6B ．sinπ12cos π12C ．22cossin 121π2-πD ．2πtan 8π1tan 8-11．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知α，β，0,2πγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2παβγ++=，则（）A．若sin cos αα+=，则tan 1α=B ．若tan 2α=，则sin()βγ+=C ．tan α，tan β可能是方程2670x x -+=的两根D ．tan tan tan tan tan tan 1αββγβα++=12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知()4cos cos 25αβα+==-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（）A ．3sin 25α=B ．()cos αβ-=C．cos cos αβ=D ．1tan tan 3αβ=三、填空题13．（2022·浙江·高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．14．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知ππ0sin 24αα⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭sin 1tan αα=+________.15．（2022·3cos()cos()12παπα-++=-，则cos(23α2π-=_____________.16．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）()()()sin 75cos 4515θθθ++++=__________.四、解答题17．（2022·江苏南京·模拟预测）已知02πα<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求sin α的值；(2)若02πβ-<<，cos 24βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭αβ-的值．18．（2022·江西·高一期中）已知角α为锐角，2πβαπ<-<，且满足1tan23=α，()sin βα-=(1)证明：04πα<<；(2)求β.19．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）（1）已知tan 2θ=-，求sin (1sin 2)sin cos θθθθ++的值；（2）已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，且α，(0,)βπ∈，求2αβ-．20．（2022·江西·高一阶段练习）在①4tan 23α=，②sin α补充到下面的问题中，并解答．已知角α是第一象限角，且．(1)求tan α的值；(2)求()π3πsin 2cos πcos 22ααα⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．21．（2022·北京市第九中学高一期中）已知1tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求(1)求sin α的值；(2)求()()()2212sin πcos 2π5πsin sin 2αααα+---⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值；(3)若()sin αβ+cos β的值.22．（2019·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））()1的值；()2已知30,,,242ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1tan 2αβ-=，17tan β=-，求2αβ-的值．23．（2020·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，满足222sin cos sin cos A B A B C -=-．（1）求C ；（2）设()()2cos cos cos cos cos A B A B ααα++=，tan α的值.。
三角恒等变换---最全的总结·-学生版
B. ｓin45°ｃos１5°﹣cos45°sｉn１5°
C． ｃｏｓ７5°cos30°+sｉn75°siｎ30° ﻩＤ.
5 、 ( 拆 角 ＋ 两 角 和 差 公 式 ）（ 佛 山 一 中 ２ ０ 14 届 高 三 10 月 段 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 化 简 三 角 式
2cos55 3 sin 5
--
三角恒等变换---完整版
三角函数----－-三角恒等变换公式:
两角和与差的三角函数关系
sin( )=sin ·cos cos ·sin
cos( )=cos ·cos sin ·sin
tan(
)
tan 1 tan
tan tan
倍角公式
sin2 =2sin ·cos
cos2 =cos2 -sin2
1/1
--
（1)熟悉公式特征:能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等,余弦互为相反数。互余两角 的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子
１、（二倍角公式)(20０7 重庆文)下列各式中，值为 3 的是（ ) 2
Ａ. 2sin15 cos15 B． cos2 15 sin2 15 Ｃ． 2sin2 15 1ﻩﻩＤ. sin2 15 cos2 15 2、（二倍角公式+平方差公式）(2008 六校联考) (sin 75 sin15 )(cos15 cos 75 ) 的值是
7、(构造两角和差因子+两式平方后相加)若ｓｉn α-sin β＝错误!,ｃos α－cｏs β=错误!，则 cos(α－β)的值
为（
)Ａ．错误!
Ｂ.错误!
C.错误! Ｄ.１
8．(诱导公式)【2015 广东东莞高一期末】sｉｎ１63°sin223°＋sin253°siｎ３13°等于 Ｂ
高一数学《三角函数 三角恒等变换知识点总结》
三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。
来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。
三角恒等变换知识点总结
)sin(cos sin 22ϕωωω++=+=x x b x a y b a ；的取值范围为；其中22-tan πϕπϕϕ≤≤=a b 一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、辅助角公式：把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 bx a y ++=)sin(ϕω形式。
4、 5、（1）升幂公式 1+cos α=2cos 22α1-cos α=2sin 22α1±sin α=(2cos 2sin αα±)21=sin 2α+ cos 2α sin α=2cos 2sin2αα （2）降幂公式sin 2α22cos 1α-= cos 2α22cos 1α+= sin 2α+ cos 2α=1 sin α·cos α=α2sin 21 7、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的差， 倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+； ③)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :222αααααα万能公式+-=+=必修4：第三章 三角恒等变换知识点总结⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
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A.-2B.0C. D.
6【浙江省嘉兴市2015届高三9月学科基础测试，理6】已知函数 则函数 的最大值是（）
A.4B.3C.5D.
7、（河南省郑州一中2014届高三上学期期中考试）已知 ，则
1.（诱导公式+同时除以cos ）(2007韶关一模文)已知 ，
(A)2(B)－2(C)0(D)
2、（同角三角函数弦化切）(2013肇庆统考)已知α为锐角，sinα＝ ，则tan(α－ )等于
A、 B、7C、－ D、－7
3、（简单弦化切）（2011福建文3）若tan =3，则 的值等于
A．2B．3C．4D．6
8．（诱导公式）【2015广东东莞高一期末】sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于 B
A．－ B. C．－ D.
9、（构造两角和差因子+两边平方）【2015高考四川，理12】 ..
10、（逆向套用公式）tan 23°＋tan 37°＋ tan 23°tan 37°的值是________．
10.（两边平方+象限定号）【浙江省桐乡第一中学等四校2015届高三上学期期中联考，理6】已知 为第二象限角， ，则 （）
A. B. C. D.
11、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）【2015广东汕头高一期末】若 ，且 ，则 的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．
12、（两边平方+象限定号）（衡水中学2014届高三二调考试，文）已知 ，且 则 的值为（）A． B． C． D．
1.【2012高考全国文4】已知 为第二象限角， ，则
（A） （B） （C） （D）
2．（2013年高考大纲卷（文2））已知 是第二象限角,
A． B． C． D．
3．(2008广州一模文)已知 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
4、(2013六校协作题)若 ，则 的值为（）
A． B． C．－ D．－
A． B． C． D．
7.（移项后两边平方在弦切互化）(唐山市2014-2015学年度高三年级第一次模拟考试7).已知 ，则 （）
A． B． C． 或0 D． 或0
8、（两边平方在弦切互化）【成都七中2015届数学阶段性测试，理8】已知 ，则 （）
A． B． C． D．
9、（解方程组+同角三角函数的快速弦切互化）【2015安徽滁州高一期末】已知 =（ ）
8、（互余两角正余弦互换）【四川雅安中学2014－2015学年上期9月试题，理11】若 _______.
9、（互补两角余弦互为相反数） ，则 ___________
10.（两角整体相减）若 ， 则 ．
11、（两角整体相减）【2015重庆高一期末】若 且 ，则 ；
12.（两角整体相减）【2015江苏高考，8】已知 ， ，则 的值为______
（A） （B） （C） （D）
16.（象限定号）【2015浙江温州高一期中】设 ,且 ,则（）
A. B. C. D.
17.（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）【2015山东泰安高一期末】若 ，则 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
18、（两边平方）（2013云浮一中期末）已知 ，则 _________
13、（两角整体相减）（中山市2014届高三上学期期末考试）已知 , ,则
14、（两角相减）【2015湖南浏阳高一期末】已知 ，则β=。
答案：BDACB 6、 7、 8、 9、- 10、 11、 12、3 13、 14、
（3）弦切互化：1）、分子分母同时除以cos 2）注意分母还原sin2 + cos2 =1，然后分子分母同时除以cos2 ，即可化为正切3）注意期间学会使用解方程的思想4）遇到部分Asinα+ Bcosα之类求正切的，注意先两边平方后再进行相切互化
4.（分子分母同时除以cos ）(2012高考江西文4)若 ，则tan2α=
A. - B. C. - D.
5、（分母还原1+同时除以cos2 ）（2009辽宁卷文）已知 ，则
（A） （B） （C） （D）
6.（分母还原1+同时除以cos2 ）【淄博实验中学2015届高三，理5】已知 ，则 的值是（ ）
3、（两角和差公式+诱导公式）(2009四校联考) 等于
A．－ B． C．－ D．
4.（两角和差公式）下列各式中值为 的是（）.
A．s in45°cos15°+cos45°sin15°B．sin45°cos15°﹣cos45°sin15°
C．cos75°cos30°+sin75°sin30°D．
5、（拆角+两角和差公式）（佛山一中2014届高三10月段考数学（理）试题）化简三角式 （）
A．1B．2C．－2D．
10、（两边平方在弦切互化）（洛阳市2014届高三12月统考）已知2sinα＋cosα＝ ，则tan2α＝A
A． B． C．－ D．－
11、（两边平方在弦切互化）（省实验中学2014届高三上学期期中考试）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．1
12、（解方程组再弦切互化）【2015福建晋江高一期末】若 ，则 为
（1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子
1、（二倍角公式）（2007重庆文）下列各式中，值为 的是（）
A． B． C． D．
2、（二倍角公式+平方差公式）(2008六校联考) 的值是
A. B. C. D.
A． B．1C．2D．
6、（补全公式）（2013六校联考回归课本题）cos20°·cos40°·cos60°·cos80°＝（ ）
A． B． C． D． 常见变式：计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的＝__.
7、（构造两角和差因子+两式平方后相加）若sinα－sinβ＝ ，cosα－cosβ＝ ，则cos(α－β)的值为()A. B. C. D．1
11．（特殊值化特殊角处理）化简 的值为________
12.（特殊值化特殊角处理） ＝_______
13、(tan 45°＝tan(20°＋25°)+多项式展开)若α＝20°，β＝25°，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值为_______
14、（合理组合，多项式乘法展开）(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为_______
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8、（两边平方）【河南省名校2015届高三上学期期中数学，理3】已知sin2α＝－ ，α∈（－ ，0），则sinα＋cosα＝（）
A．－ B． C．－ D．
9.（两边平方）【江西省六校2015届高三上学期第一次联考，理5】已知 ＝ ，则sin 2θ的值为（）
A． B． C． D.
A、5 B、-1 C、6 D、
13、（分母还原1+同时除以cos2 ）已知 ，则 的值为
14、（二倍角+分母还原1+同时除以cos2 ）若 ， 是第三象限的角,则 =_________．
答案：BCDBD ADBCA CA 13、 14、-2
（4）：结合完全平方公式和平方差公式的作用。最经典的莫过于 ， ， 三者知一求二：
15、（逆向套用公式）tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝____.
答案：BDBCB CAB 9、 10、 11、－ 12、－ 13、2 14、3 15、1
（2）角的整体变换题：主要方法是拿题目给出的整体角加一加，或者减一减，观察是否互补、互余、或者是两角和差、倍角关系等，从而运用诱导公式、和差公式化简求值。
在不同的范围三角函数值大小的比较（如下图），往往用于更加精确象限，常见于“知一求二”的符号问题。
本类题型要三个常见处理思想，1）是两边平方。2）是是根据上图进行逻辑判断。3）对于两大公式 和 的顺向和逆向快速转换，要形成解题敏感点。
1.（两边平方）【2012高考辽宁文6】已知 ， (0，π)，则 =
19.（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）(华师附中2015届高三第一次模拟考试数学理14)若 ，且 ，则 的值为
答案：AABAA CCBBC ACACB CD 18、 19.、1或
（5）两角和差公式，降幂公式，升幂公式的运用，主要涉及两大方向的运用。1）是碰到有平方出现的条件，根据题目的倍角关系，要有降幂的意识。2）同时出现正余弦，要根据同角三角函数的关系，要有化二元为一元转化为二次函数的思想。
13、（公式的快速展开+两边平方）【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试5】已知 ，则sin2x的值为
A. B. C. D.
14、（公式的快速展开+两边平方）【南昌二中2014—2015学年度上学期第三次考试，理3】已知 ，则 （）
A． B． C． D．
15、（两边平方+韦达变换）（惠州市2016届高三第三次调研）已知 ，则 的值为（）
A. B. C. D.
5、（两角相加）.【2013-2014学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷】若 ， ，则 =（ ）
A．
B.
C.
D.
6.（特殊角三角函数值）【浙江省桐乡一中学等四校2015届高三上学期期中联考，理14】已知 ， ，则 ..
7、（两角整体相减）【江苏省泰兴市2015届高三（上）期中，理2】若 ，则 ．
三角恒等变换---完整版
三角函数------三角恒等变换公式：
考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 （4）角的整体代换 （5）弦切互化 （6）知一求二 （7）辅助角公式逆向应用