知识讲解-三角恒等变换-基础
三角恒等变换内容
三角恒等变换内容一、什么是三角恒等变换呀三角恒等变换就是对三角函数进行各种变形，让它们在形式上发生变化，但本质上还是相等的。
就像是给三角函数换了一身衣服，但还是同一个“人”哦。
这在数学里可太有用啦，就像搭积木一样，可以把复杂的三角函数表达式通过恒等变换变成我们容易处理的形式。
比如说，sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB，这就是一个很经典的三角恒等变换公式呢。
它可以帮助我们计算很多和三角函数有关的问题，像在物理里计算波的叠加之类的。
二、常见的三角恒等变换公式1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式对于正弦，sin(A ± B)=sinAcosB±cosAsinB。
咱可以想象成把两个角的正弦和余弦按照一定的规则组合起来。
就好比是两个人合作完成一件事，每个人都出一部分力，最后组合成一个结果。
余弦呢，cos(A ± B)=cosAcosB∓sinAsinB。
这个公式和正弦的有点像，但是符号有些不同，就像是双胞胎，长得很像但是有一些小区别。
正切的公式是tan(A ± B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)。
这个公式相对来说就有点复杂啦，不过只要记住分子分母分别是什么就好啦。
2. 二倍角公式sin2A = 2sinAcosA。
这个可以理解为角加倍了，正弦的表达式就变成了这样。
就好像是一个任务原来是一个人用一种方式做，现在变成两个人合作的方式来做了。
cos2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A。
这个公式有三种不同的形式呢，可以根据具体的题目情况来选择使用哪种形式更方便。
tan2A=(2tanA)/(1 - tan²A)。
这个和两角和的正切公式有点联系，也是要小心分子分母的内容哦。
三、怎么运用这些公式进行三角恒等变换呢1. 化简三角函数表达式当我们看到一个复杂的三角函数表达式时，首先要观察它里面有哪些角，是和差的形式还是倍角的形式。
三角恒等变换知识点总结详解
三角恒等变换知识点总结详解三角恒等变换是指一些与三角函数相关的恒等式或等式组，通过这些等式可以将一个三角函数表达式转化为另一个三角函数表达式，或者简化一个复杂的三角函数表达式。
这些恒等变换在解决三角函数相关问题时非常有用。
下面是对一些常见的三角恒等变换进行总结和详解。
1.正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的定义：对于任意实数x，sin(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。
- 正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，即正弦函数以2π为周期。
- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数是奇函数。
2.余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的定义：对于任意实数x，cos(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。
- 余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即余弦函数以2π为周期。
- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数是偶函数。
3.正切函数的恒等变换：- 正切函数的定义：对于任意实数x（除了例如π/2 + kπ，其中k 为整数），tan(x) = y，其中y为整个实数轴上的值。
- 正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，即正切函数以π为周期。
- 正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数是奇函数。
4.三角函数的平方和差公式：- sin²(x) + cos²(x) = 1，即正弦函数的平方与余弦函数的平方和等于1- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，即正弦函数的和的正弦等于两个正弦函数的乘积和。
- cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，即余弦函数的和的余弦等于两个余弦函数的乘积差。
- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，即正弦函数的差的正弦等于两个正弦函数的乘积差。
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。
在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。
本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。
一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。
通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。
2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。
3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。
二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。
1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
知识讲解_三角恒等变换综合_基础
（1）原式
=
（2）原式=
【总结升华】
（1）三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系．因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察．
（2）三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式： ， .
∵sin(α＋β)＝－ ，cos(α－β)＝ ，
∴cos(α＋β)＝－ ，sin(α－β)＝
∴sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝ ．
【总结升华】
（1）解题中应用了 式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有 , 等.
（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.
举一反三：
【变式1】化简：
（1） ；（2）
【答案】（1）4（3）
【解析】
（1）原式= ；
（2）原式=
= .
类型四：三角函数知识的综合应用
例7．（2015广东江门一模）已知函数 的最小正周期为π，x∈R，ω＞0是常数．
（1）求ω的值；
（2）若 ， ，求sin2θ．
【思路点拨】（1）由两角和的正弦公式化简解析式可得 ，由已知及周期公式即可求ω的值．
举一反三：
【变式1】（2015春甘肃高台县期末）化简 ．
【答案】－1
【解析】
．
例6.化简：
（1） ；(2）
【思路点拨】
（1）题中首先“化切为弦”，同时用好“ ”和“ ”的互余关系，注意逆用和角公式化简；
三角恒等变换讲解
三角恒等变换讲解三角恒等变换是指在三角函数之间相互变换的一系列等式关系，常用于简化和证明三角函数的性质以及求解三角方程。
下面介绍一些常见的三角恒等变换：1. 基本恒等变换：-正弦与余弦的关系：sin²θ+ cos²θ= 1-正切与余切的关系：tanθ= sinθ/ cosθ，cotθ= cosθ/ sinθ-余割与正割的关系：cscθ= 1 / sinθ，secθ= 1 / cosθ2. 倍角恒等变换：-正弦的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ-余弦的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ- sin²θ= 2cos²θ- 1 = 1 - 2sin²θ-正切的倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)3. 和差恒等变换：-正弦的和差公式：sin(A ±B) = sinAcosB ±cosAsinB-余弦的和差公式：cos(A ±B) = cosAcosB ∓sinAsinB-正切的和差公式：tan(A ±B) = (tanA ±tanB) / (1 ∓tanAtanB)4. 反函数恒等变换：-正弦的反函数：sin⁻¹(x) = θ，其中sinθ= x，-π/2 ≤θ≤π/2-余弦的反函数：cos⁻¹(x) = θ，其中cosθ= x，0 ≤θ≤π-正切的反函数：tan⁻¹(x) = θ，其中tanθ= x，-π/2 < θ< π/2注意，上述恒等变换只是一部分常见的例子，实际上还有许多其他的三角恒等变换。
在解题或证明过程中，根据需要，可以根据题目的要求和三角函数的关系，使用适当的三角恒等变换来简化计算或推导出所需的结果。
三角恒等变换知识点总结
三角恒等变换知识点总结三角恒等变换是解决三角函数中相关问题的重要工具，它们可以帮助我们简化表达式、证明恒等式以及解决三角方程等。
在本文中，将总结三角恒等变换的一些基本知识点，包括正弦、余弦和正切的恒等变换。
1. 正弦和余弦的恒等变换：(1) 余弦的恒等变换：a. 基本恒等式：cos^2θ + sin^2θ = 1，该恒等式也被称为三角恒等式之母。
b. 余弦的平方差公式：cos(α - β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ，该公式可以用于简化两个余弦的差的表达式。
c. 余弦的和的公式：cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ，该公式可以用于简化两个余弦的和的表达式。
d. 余弦的倍角公式：cos2θ = 2cos^2θ - 1或cos2θ = 1 - 2sin^2θ，该公式可以用于简化余弦的倍角表达式。
(2) 正弦的恒等变换：a. 正弦的平方差公式：sin(α - β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ，该公式可以用于简化两个正弦的差的表达式。
b. 正弦的和的公式：sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ，该公式可以用于简化两个正弦的和的表达式。
c. 正弦的倍角公式：sin2θ = 2sinθ·cosθ，该公式可以用于简化正弦的倍角表达式。
2. 正切的恒等变换：正切的恒等变换是基于正弦和余弦的恒等变换推导而来的：a. 正切的平方差公式：tan(α - β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanα·tanβ)，该公式可以简化两个正切的差的表达式。
b. 正切的和的公式：tan(α + β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanα·tanβ)，该公式可以简化两个正切的和的表达式。
c. 正切的倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)，该公式可以简化正切的倍角表达式。
《三角恒等变换》归纳整合课件
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详细描述
在三角恒等变换中，角度的取值范围对计算结果有着重 要的影响。如果角度的取值超出了特定范围，如90度 到270度或0度到180度，那么就需要使用不同的公式 或定理进行计算。忽视这一点，就会导致错误的结果。
不能灵活运用三角恒等变换的技巧
总结词
不能灵活运用三角恒等变换的技巧是学习中的一大难点。
详细描述
05
三角恒等变换的易错点分 析
忽视公式条件的使用范围
总结词
不重视公式条件的使用范围是三角恒等变换中的常见 错误。
详细描述
三角恒等变换的公式和定理都有一定的使用范围和条 件，如角度的范围、函数的种类等。如果忽视这些条 件，随意使用公式，会导致错误的结果。
忽视角度的范围对结果的影响
总结词
忽视角度的范围对三角恒等变换的结果有重要影响。
三角恒等变换的基本思路
通过引入已知的三角函数式，利用已知的三角恒等式将它们 联系起来，从而找到需要解决的表达式与已知表达式之间的 联系。
三角恒等变换的性质
三角恒等变换的性 质
三角恒等变换的性质主要包括奇 偶性、周期性、对称性以及三角 函数的和差倍角公式等。
奇偶性
对于一个函数f(x)，如果f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数 ；如果f(-x)=-f(x)，那么f(x)就 叫做奇函数。
常数变易的技巧
总结词
灵活运用，随机应变
详细描述
常数变易是通过将常数项变为变量，从而 改变等式中变量的系数，以达到简化计算 的目的。在三角恒等变换中，常数变易是 一种非常重要的技巧，可以广泛应用于各 种不同类型的等式中。
04
三角恒等变换的常见题型
求值题
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三角恒等变换【考纲要求】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=m()tan tan tan()()1tan tan T αβαβαβαβ±±±=-要点诠释：1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2±≠+∈、、παβαβπ2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。
公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角()±αβ的正切值化简。
考点二、二倍角公式1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：sin 22sin cos ααα= 2()S α；ααα22sin cos 2cos -=2()C α；22tan tan 21tan ααα=-2()T α。
要点诠释：1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(224Z k k k ∈+≠+≠ππαππα和时才成立；2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α＝α2sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。
3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。
考点三、二倍角公式的推论降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=.万能公式：ααα2tan 1tan 22sin +=； ααα22tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12sinαα-±=； 2cos 12cosαα+±=； αααcos 1cos 12tan+-±=.其中根号的符号由2α所在的象限决定. 要点诠释：(1)半角公式中正负号的选取由2α所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如23α可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。
(3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z)正切还有另外两个半角公式：Z k k k ∈≠-=+≠+=),(sin cos 12tan ),2(cos 1sin 2tanπααααππαααα，这两个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。
常常用于把正切化为正余弦的表达式。
考点四、三角形内角定理的变形由A B C π++=，知()A B C π=-+可得出：sin sin()A B C =+，cos cos()A B C =-+.而()222A B C π+=-，有：()sin cos 22A B C +=，()cos sin 22A B C +=. 【典型例题】 类型一：正用公式 例1.已知:41cos ,32sin -=β=α，求cos()αβ-的值. 【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.【解析】由已知可求得cos sin 34αβ==±==±. 当α在第一象限而β在第二象限时，cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+12()3434=-+⋅125152-=. 当α在第一象限而β在第三象限时，12cos())(343412αβ-=-+⋅-=-. 当α在第二象限而β在第二象限时，12cos()()343412αβ+-=--+⋅=. 当α在第二象限而β在第三象限时，12cos()()(343412αβ-=--+⋅-=-. 【点评】例1是对公式的正用．当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.举一反三：【变式1】已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则tan 2x = . 【答案】247-. 【变式2】已知tan()24x π+=，则tan tan 2xx= .【答案】19【变式3】已知tan α和tan β是方程2260x x +-=的两个根，求tan()αβ+的值. 【答案】18-【解析】由韦达定理，得1tan tan 2αβ+=-， tan tan 3αβ⋅=-，∴ tan tan 1tan()1tan tan 8αβαβαβ++==--⋅.【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)22sin 13cos 17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)22sin 15cos 15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)22sin 18cos 12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)22sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒ (5)22sin (25)cos 55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下2213sin 15cos 15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= Ⅱ.证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 42422αααααααα=+++--22333sin cos 444αα=+= 例2．已知324πβαπ<<<，12cos()13αβ-=,3sin()5αβ+=-，求sin 2α的值.【思路点拨】注意到2()()ααβαβ=++-，将()αβ+，()αβ-看做一个整体来运用公式. 【解析】324πβαπ<<<Q,30,42ππαβπαβ∴<-<<+<，5sin()13αβ∴-===，4cos()5αβ+===-，sin 2sin[()()]sin()cos()cos()sin()31245()5135135665ααβαβαβαβαβαβ∴=++-=+-++-=-⨯+-⨯=-【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了2()()ααβαβ=++-的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有(),βαβα=+-,1[()()]2ααβαβ=++-,2()()βαβαβ=+--,()424πππαα+=--等. 2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用. 举一反三：【变式1】已知3sin 5α=，α是第二象限角，且tan()1αβ+=，求tan 2β的值. 【答案】724-【解析】由3sin 5α=且α是第二象限角，得3tan 4α=-， ∵()αβαβ+-=， ∴tan()tan tan tan[()]71tan()tan αβαβαβααβα+-=+-==++.22tan 7tan 21tan 24βββ∴==-- 【变式2】函数)2cos(10)y x x =+-+o o的最大值为（ ）A．．4 C ． 2 D ．2+【答案】C ；【解析】∵7060(10)x x +=++ooo，60cos(10)cos60sin(10)]2cos(10)cos(10))2sin(40)x x x x x x ∴=+++-+=+++=+o o o o o o o o 原式.所以其最大值为2，故选C.【变式3】已知4cos()cos 2.125212πππθ-=-<θ<πθ，且，求（＋）的值【答案】50【解析】角的关系式：4)12(2122ππθπθ+-=+（和差与倍半的综合关系）∵4cos()1252ππθ-=-<θ<π，且，∴53)12sin(=-πθ∴2524)12cos()12sin(2)12(2sin -=--=-πθπθπθ2571)12(cos 2)12(2cos 2=--=-πθπθ ∴]4)12(2cos[.122cos ππθπθ+-=）＋（＝)]12(2sin )12(2[cos 22πθπθ---724()2252550=+= 【变式4】已知παπ434<<，40πβ<<，53)4cos(=-απ，135)43sin(=+βπ，求sin()αβ+的值。
【答案】5665【解析】∵ 042<-<-αππ， ∴54)4sin(-=-απ，∵ πβππ<+<4343， ∴1312)43cos(-=+βπ。
∴)](2cos[)sin(βαπβα++-=+6556)54(135531312)]4sin()43sin()4cos()43[cos()]4()43cos[(=-⨯-⨯=-++-+-=--+-=απβπαπβπαπβπ类型二：逆用公式 例3.求值：（1）sin 43cos13cos43sin13︒︒-︒︒； （2x x ；（3）1tan151tan15+-oo； （4）44(sin 23cos8sin 67cos98)(sin 730cos 730)''+-o o o o o o.【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式. 【解析】（1）原式=1sin(4313)sin 302︒-︒=︒=； （2）原式12(cos )30cos cos30sin ))2x x x x x ==-=-o o o ；（3）原式tan 45tan15tan(4515)tan 601tan 45tan15+==+==-⋅o oo o o o o（4）原式2222(sin 23cos8cos 23sin8)(sin 730cos 730)(sin 730cos 730)''''=-+-o o o o o o o o22sin(238)(cos 730sin 730)''=---o o o o11sin15cos15sin 3024=-=-=-o o o .【点评】①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”。