期权的定价与波动率
期权投资中的隐含波动率与波动率曲面的理解
期权投资中的隐含波动率与波动率曲面的理解期权投资是一种金融衍生品，其价格和价值受到下一个特定期间内金融资产价格的波动程度的影响。
在期权定价模型中，隐含波动率和波动率曲面是重要的概念。
本文将详细解释隐含波动率和波动率曲面，并探讨其在期权投资中的作用与理解。
一、隐含波动率的定义与作用隐含波动率是指根据期权市场价格反推出的关于未来资产价格波动的波动率水平。
它是投资者对未来价格波动的预期的一种市场衡量指标。
隐含波动率的计算是通过将期权定价模型的其他变量固定，然后逆向求解出波动率。
隐含波动率在期权投资中具有重要的作用。
首先，隐含波动率是期权定价的基础，它直接影响期权的市场价格。
当隐含波动率上升时，期权的价格也会上升；反之，当隐含波动率下降时，期权的价格会下降。
因此，投资者可以通过观察隐含波动率的变化来判断市场对未来价格波动的预期。
其次，隐含波动率可以帮助投资者评估期权的价格合理性。
如果期权的隐含波动率较高，说明市场对未来价格波动的预期较大，投资者可以根据自己对未来市场走势的判断来决定是否购买该期权或调整头寸；如果期权的隐含波动率较低，说明市场对未来价格波动的预期较小，投资者可以考虑持有该期权或将该期权作为对冲工具来应对风险。
二、波动率曲面的定义与构建波动率曲面是指在不同价格和到期时间下的隐含波动率组成的三维图形或曲面。
它是投资者对未来价格波动的整体预期的反映，在期权投资中起到了重要的作用。
构建波动率曲面的过程中，主要使用了期权定价模型计算隐含波动率。
投资者可以通过计算不同到期时间和不同执行价格的隐含波动率来构建波动率曲面。
曲面的形状通常是向上凸起的，即波动率在深度区间内逐渐减小。
这意味着随着到期时间越远，投资者对未来价格波动的预期越小。
波动率曲面的构建有助于投资者更全面地认识市场对未来价格波动的整体预期。
投资者可以通过观察波动率曲面的形状，获取到市场对不同到期时间和价格区间下的价格波动的整体预期。
这为投资者在期权交易中制定合理的策略提供了依据。
4欧式期权定价BS方法delta值和隐含波动率计算
put = 6.3497 从以上结果可以看出，该股票欧式看涨期权价格为 13.6953，欧式看跌期权价格为6.3497。
4欧式期权定价BS方法delta值和隐含波动 率计算
8
1.3 欧式期权Delta值计算
4欧式期权定价BS方法delta值和隐含波动 率计算
9
欧式期权delta值函数调用方式
4
1.2 欧式期权价格函数
4欧式期权定价BS方法delta值和隐含波动 率计算
5
欧式期权定价函数调用方式
调用方式：
[call,put]=blsprice(price,strike,rate,time,volatility,yield)
%输入：
>> [call,put]=blsprice(price,strike,rate,time,volatility,yield)
Fixed-Income Toolbox GARCH Toolbox
参考书籍：《 MATLAB金融工具箱的应用》 《Matlab统计分析与应用》
4欧式期权定价BS方法delta值和隐含波动 率计算
2
1. 欧式期权定价
1.1 二叉树定价函数； 1.2 欧式期权价格函数； 1.3 欧式期权Delta值计算； 1.4 欧式期权隐含波动率；
6
例题1
股票价格为100，股票波动率标准差为0.5，无风险利率 为10%，期权执行价为95，存续期为0.25年，试计算该股 票欧式期权价格。
4欧式期权定价BS方法delta值和隐含波动 率计算
7
在MATLAB中执行如下命令： >> [call,put]=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5) 结果：
欧式期权定价(BS方法delta值和隐含波动率计算)
精品课件
1.3 欧式期权Delta值计算
精品课件
欧式期权delta值函数调用方式
[CallDelta,PutDelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Vol atility,Yield)
%输入：
>>
[CallDelta,PutDelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility
,Yield)
注：
Price %标的资产价格
Strike %执行价
Rate %无风险利率
Time %距离到期日的时间，即期权的存续期
Volatility %标的资产的标准差
ld)
%输入：
>>
[call,put]=blsprice(price,strike,rate,time,volatility,yie
ld)
注：
price %标的资产价格
Strike %执行价
Rate %无风险利率
Time %距离到期日的时间，即期权的存续期
Volatility %标的资产的标准差
Yield
%(Optional)可以忍受隐含波动率，默认
%(Optional)欧式期权种类， 如果是欧式看涨期权则输入Type
精品课件
例3
一个无股息股票上看涨期权的市场价格为2.5美元，股 票价格为15美元，执行价格为13美元，期限为3个月，无 风险利率为年率5%，隐含波动率是多少？
精品课件
在Matlab中执行如下命令： >> Volatility = blsimpv(15, 13, 0.05, 0.25, 2.5, [], 0, [], {'Call'}) Volatility =
期权波动率与定价：高级交易策略与技巧(原书第2版)
读书笔记
期权波动率与定价没看透，需要反复验证，希望在实践中取得更优异的结果。 本书仿佛一直暗示：高数学的怎么样，知道数学建模的重要性了吧。 看了很久，感觉还是很多没看懂。 这书对新手来说，有些太难了！但是只要静下心来，反复研读收获还是很大的。 对于期权定价讲解仅限于简单的解读，拓展简单认知足矣，想了解细节应该是不能够的。 这是一本期权理论知识科普+投资技巧相结合的书，对于不懂期权或者刚接触的人来说是一本不错的书籍，不 过专业性还是比较强，读起来可能会比较枯燥，不禁让人回想起了大学《金融工程》上课的情节…。 书写的比较详细吧我老公推荐给我的书但是我第一次接触期权这本书对于小白来说太深奥一次性不能够全部 接纳吸收需要时间。 国内市场不完善，股市大暴跌，大量做空期权，结果证交所一句话全封，一分钱都没出就给了封了，政策风 险太大，而且股指失真，几十年前，股市都扩容几百倍了，而指数失真，现在已注意了，正在改进。 John Hull那本虽然是经典，但是属于入门级大学教材，广泛且浅显，略显枯燥。
精彩摘录
（3）与行权价格相同的短期期权相比，波动率的变化将对长期期权产生更大的影响。
（1）以价格点数的形式，波动率的变化对平值期权的影响将大于相应的实值期权或虚值期权。（2）以百分 比形式，波动率的变化对虚值期权的影响将大于相应的实值期权或平值期权。
事实上，一个Gamma值为负的头寸表明了交易者希望标的市场不变或只是缓慢变动。一个Gamma值为正的头寸 表明了交易者希望标的市场出现大幅显著的变动。
18.4 Theta
5 18.5 Gamma、
Theta和Vega 的最大值
01
19.1一个 风险中性的 世界
02
19.2期权 估值
03
19.3 Delta
期权投资中的时间价值与波动率分析
期权投资中的时间价值与波动率分析期权投资是一种金融衍生品交易方式，它使投资者有权利但并非义务在特定时间以特定价格买入或卖出某种资产。
在期权交易中，投资者需要考虑时间价值和波动率两个重要因素。
本文将对期权投资中的时间价值和波动率进行详细分析，以帮助投资者制定更加准确的投资策略。
一、时间价值的原理及影响因素时间价值是指期权的价格中超出实际内在价值的部分，反映了期权未来涨跌的可能性。
在期权投资中，时间价值是非常重要的，因为一旦期权到期，其时间价值将归零。
时间价值的存在使得期权的价格高于其内在价值，这为投资者提供了利润机会。
时间价值的影响因素主要有以下几个方面：1. 时间距离：时间与期权到期日之间的距离越远，时间价值越高。
这是因为时间距离越长，期权价格有更多机会波动，投资者能够获得更多的利润。
2. 基准利率：基准利率的高低对时间价值有着直接影响。
当利率上升时，投资者更倾向于提前行使期权，因此时间价值会下降；反之，利率下降会提高时间价值。
3. 市场波动性：市场的波动性也会对时间价值产生影响。
当市场波动性较高时，期权到期前价格可能会发生较大的波动，这增加了期权到期后获得利润的可能性，从而提高了时间价值。
二、波动率的原理及影响因素波动率是指期权标的资产价格波动的程度。
在期权交易中，投资者需要根据波动率来确定期权的定价和风险管理策略。
波动率的影响因素有以下几个方面：1. 历史波动率：历史波动率是指过去一段时间内标的资产价格的实际变动情况。
通过计算历史波动率，投资者可以对未来的波动趋势进行预测，从而制定相应的投资策略。
2. 隐含波动率：隐含波动率是根据期权市场上的价格反推出来的波动率。
它是投资者对未来波动性的预期。
隐含波动率越高，期权的价格越高；反之，隐含波动率越低，期权的价格越低。
3. 股票价格：股票价格的波动也会对波动率产生影响。
当股票价格上涨或下跌时，波动率通常会随之增加，因为股票价格的变动会引起投资者情绪的波动，从而进一步影响市场的波动性。
期权的定价基本理论及特性
期权的定价基本理论及特性期权是一种金融衍生工具，它赋予持有者在未来某个时间点或期间内以约定价格买入或卖出某个资产的权利，而并非义务。
期权的定价理论是为了确定期权合理的市场价格。
以下是期权定价的基本理论及特性：1. 内在价值和时间价值：期权的价格由内在价值和时间价值组成。
内在价值是期权执行时的实际价值，即与标的资产市场价格的差额。
时间价值是期权存在期限内所具备的可能增值的价值，它会随时间的推移而减少。
2. 标的资产价格的波动性：期权的价格受标的资产价格的波动性影响。
波动性越高，期权价格越高，因为更大的价格波动可能会带来更大的利润机会。
3. 行权价：期权的行权价是购买或出售标的资产的协议价格。
购买期权的持有者希望标的资产价格高于行权价，而卖出期权的持有者希望标的资产价格低于行权价。
4. 期权到期时间：期权的到期时间是期权生效的时间段。
到期时间越长，期权价格越高，因为时间价值越高。
到期时间到达后，期权将失去其价值。
5. 利率：利率对期权的价格也有影响。
高利率会提高购买期权的成本，因为持有者必须支付为期较长时间的利息。
6. 杠杆作用：期权具有较高的杠杆作用。
购买期权相对于购买标的资产的成本较低，但潜在的利润也较高。
相比之下，期权卖方承担的潜在风险较高，但收入较低。
7. 期权类型：期权可以是看涨期权（认购期权）或看跌期权（认沽期权）。
看涨期权赋予持有者以在行权日购买标的资产的权利，而看跌期权赋予持有者以在行权日以行权价格卖出标的资产的权利。
总的来说，期权定价基于标的资产价格的波动性、行权价、期权到期时间、利率等因素。
同时，期权也具有杠杆作用和灵活性，可以用来进行投机或风险管理。
对于投资者来说，理解期权定价基本理论及特性对于正确选择和定价期权合约至关重要。
期权的定价理论及特性对于投资者和交易员而言非常重要，因为它们能够帮助他们进行科学合理的决策和风险管理。
下面将进一步探讨期权定价的相关内容。
期权定价的基本理论依赖于数学建模，最著名的理论之一就是布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）。
期权定价期权定价公式
期权定价—期权定价公式什么是期权定价？期权定价是指确定期权在市场上的合理价格的过程。
期权是一种金融工具，它授予买方在未来某一特定时间点购买或出售标的资产的权利，而不是义务。
期权的价格取决于多种因素，包括标的资产价格、行使价格、到期时间、无风险利率和波动率等。
期权定价的目标是确定一个公平的市场价格，使得买卖双方在交易中均获得合理回报。
对于买方来说，期权的价格应该对应于未来可能获得的收益；对于卖方来说，期权的价格应该对应于承担的风险以及可能获得的收益。
期权定价公式的重要性期权定价公式是用于计算期权合理价格的数学模型。
它基于一些假设和前提条件，通过对相关变量进行运算，得出期权的价格。
期权定价公式对于市场参与者来说具有重要意义，它为投资者提供了一个参考，可以帮助他们做出更明智的投资决策。
期权定价公式的提出可以追溯到20世纪70年代初，当时经济学家Fischer Black 和 Myron Scholes 提出了著名的Black-Scholes模型。
该模型基于一些假设，包括期权在到期前不支付股息、标的资产价格在特定时间内的变动是连续且满足几何布朗运动以及市场不存在无风险套利机会等。
Black-Scholes模型是第一个用于计算期权价格的理论模型，它提供了一个简单而有效的方法来评估期权的价格。
在此之后，许多其他的期权定价模型相继被提出，如Binomial模型、Trinomial模型、Monte Carlo模拟和Heston模型等。
这些模型都是基于不同的假设和计算方法，用于满足不同的情景和需求。
期权定价公式的基本要素期权定价公式通常包括以下几个基本要素：1.标的资产价格（S）：标的资产是期权所关联的基础资产，它可以是股票、商品、外汇等。
标的资产价格是期权定价的一个重要变量，它代表了期权的内在价值。
2.行使价格（X）：行使价格是期权合约约定的价格，买方可以在到期时基于该价格购买或者出售标的资产。
行使价格与标的资产价格之间的差异会影响期权的价值。
期权的定价及策略
期权的定价及策略期权是一种金融工具，给予持有者在未来一段时间内以事先协定的价格买入或卖出标的资产的权利，而非义务。
期权的定价和策略是投资者在使用期权时需要考虑的重要因素。
下面将详细探讨期权的定价和策略。
一、期权的定价1.标的资产的价格：标的资产的价格是期权定价的主要因素之一、购买期权的投资者希望未来标的资产价格上涨，而卖出期权的投资者则希望标的资产价格下跌。
2.行权价格：期权价格中的行权价格也是影响期权定价的重要因素之一、购买看涨期权的投资者希望标的资产价格上涨超过行权价格，而购买看跌期权的投资者希望标的资产价格下跌低于行权价格。
3.波动率：波动率是期权定价中的重要因素之一、较高的波动率意味着标的资产价格可能会有更大的波动，从而增加了购买期权的投资者获利的机会，因此较高的波动率会导致期权价格上涨。
4.无风险利率：无风险利率也是影响期权定价的重要因素之一、越高的无风险利率意味着购买期权的成本更高，因此会导致期权价格的上涨。
5.行权时间：期权价格还受到行权时间的影响。
行权期限越长，购买期权的成本也越高，因此期权价格会随着行权时间的延长而上涨。
二、期权的策略根据期权在买入或卖出时的不同操作方式，期权的策略可以分为多种类型，常见的期权策略包括：1.买入看涨期权：当投资者预期标的资产价格将上涨时，可以购买看涨期权。
这种策略可以使投资者在未来以较低的价格买入标的资产，并在标的资产价格上涨时获得差价收益。
2.买入看跌期权：当投资者预期标的资产价格将下跌时，可以购买看跌期权。
这种策略可以使投资者在未来以较低的价格卖出标的资产，并在标的资产价格下跌时获得差价收益。
3.卖出看涨期权：当投资者预期标的资产价格将保持稳定或下跌时，可以卖出看涨期权。
这种策略可以使投资者通过卖出期权的权利金获得收益，同时如果标的资产价格保持不变或下跌，投资者还可以保留权利金作为收益。
4.卖出看跌期权：当投资者预期标的资产价格将保持稳定或上涨时，可以卖出看跌期权。
期权的定价与波动率
对冲基金、资产管 理公司构建选股模 型等
用Excel进行多步二叉树定价
• 先在表单中构建好股价的二叉树，上述图中我们构建了 股票价格的三步二叉树图
用Excel进行多步二叉树定价
• 最终该欧式期权的三步二叉树价格=15.31
BS就是二叉树的无限细分
目 录
引子 二叉树模型简介 B-S模型简介及其应用 “波动率”之约 附录
BS模型简史
L.Bachelier
K.Ito
P.Samuelson
从正态分布到对数正态分布
• 将股价假设为正态分布真的合理吗？ • 股价可能变化到0以下吗？
P.Samuelson
为什么对数正态分布比正态分布更好
如果300C－5238 < 0 竟然100%赚钱！
一个简单的例子
50 C=?
0
在期权定价的核心假设（无套利机会的假设）下，不会发生百 分之百赚钱或亏钱的情况。
所以，只可能使得300C－5238＝0！
-21-
期权定价的最基本模型：一步二叉树模型
让我们来进入这样一个金融市场：市场上有一只无风险收益产品， 年收益率为r，又有一只股票，目前价格为S(0)。
期权定价计算器——客户端
我们把S=3.198，K=3.200，r=3.925%，σ=30%，T=0.389输 入客户端的计算器中，也可以得出十分近似的结果。
期权定价计算器——上证期权APP
BS模型的不足之处
• 对股价分布的假设。Merton，Cox，Ross等指出，股价的变动不 仅包括连续情形，还包括由于重大时间引起的突跃情形，因此还需 加上跳跃项。
• 事实上，随着股价上升，波动率一般会下降，并非独立于股价水平 ，恒定波动率的假设不符合现实。目前，如Heston等模型都在扩 展恒定波动率假设的问题。
期权定价公式
期权定价公式期权定价公式是：期权价格=内在价值+时间价值。
期权定价模型，由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。
该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。
模型表明，期权价格的决定非常复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。
期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品的选择权。
期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，其高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。
在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。
随着计算机、先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。
简单期权定价模型。
我们把股价随机末态简化为两个等效的等概率量子态，要么50%的概率上涨到+1X的右边一个标准差处，要么50%的概率下跌到-1X的左边一个标准差处。
显然，对于认购期权，在-1X末态的行权收益是0；在+1X末态的行权收益是S*(1+σ)-K。
其中S是当前（初态）股价，K是到期日的行权价。
根据初态=末态期望值的原理，认购期权价格C=0.5*0+0.5*[S*(1+σ)-K]= 0.5*[S*(1+σ)-K]。
这对于平值和浅度虚值期权是适用的。
对于平值期权K=S，C=0.5*S*σ。
比如，当前股价S=3.3元，月波动率为σ=6%，那么行权价K=3.3元，剩余T=30天期限的平值认购期权价格就是，C=0.5*3.3*6%=0.0990元。
对于深度实值期权，当股价末态为-1X处，仍然会有行权收益。
所以，认购期权价格C=0.5*[S*(1-σ)-K]+0.5*[S*(1+σ)-K]=S-K。
比方说，对于深度实值期权实三K=3.0元，当股价从当前价S=3.3元下跌至末态（-1X处）ST=3.1元，仍然会有3.1-3.0=0.1元的行权收益。
所以，实三期权价格C=S-K=3.3-3.0=0.3元。
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期权定价计算三部曲
例如：50ETF在2015.4.30报收3.198元，无风险利率取为 3.925%，年化波动率取为30%，则50ETF行权价为3.200元、还 剩142天到期的欧式认购和认沽期权价值为多少？（假设期间不 支付红利）
S=3.198, K=3.200, r=3.925%, σ=30%, T=0.389
一年后股价只有两种可能：要么上涨到S(u)，上涨的概率为p(u)， 要么或下跌至S(d)，下跌的概率为p(d)。
如果另有一份欧式认购期权，行权价K ，一年后到期，那么这份认购期权现 在到底值多少钱呢？
-22-
期权定价的最基本模型：一步二叉树模型 P(u) P(d)
-23-
期权定价的最基本模型：一步二叉树模型
BS模型的八大假设
假设一
股价变化服从对数正态分 布
-38-
BS模型的八大假设
假设二
两恒定：无风险利率、波动率
期权创设日 期权到期日
-39-
BS模型的八大假设
假设三
市场不存在无风险套利机会
-40-
BS模型的八大假设
假设四
市场上不存在任何交易成本
无交易、结算费! 无佣金！ 无税费！
-41-
BS模型的八大假设
• 在实际交易运用中，期权定价基本都以计算机计算为主，许 多客户端也嵌入了期权价格计算器供客户参考。
目 录
引子 二叉树模型简介 B-S模型简介及其应用 “波动率”之约 附录
一个简单的例子
100
50
S=50
C=?
25
0
有一只股票目前为50元，一年后股价只有两种可能：上涨到100元 ，或下跌至25元。市场无风险利率为5％。
小球落在的区域
如果有足够多的小球滑落进 凹槽，我们将会得到小球的 分布
最终大多数小球会集中在 中间区域，两边的小球越 来越少。这样的分布就是 正态分布！
小球落在的区域
期权定价的基本思想
无套利机会
复制资产
期权定价的常用方法
理论 模型
二叉树模型
数值 方法
蒙特卡洛法
BlackScholes模型
有限差分法
真实概率测度 多元统计 （multivariate statistics）
对冲基金、资产管 理公司构建选股模 型等
用Excel进行多步二叉树定价
• 先在表单中构建好股价的二叉树，上述图中我们构建了 股票价格的三步二叉树图
用Excel进行多步二叉树定价
• 最终该欧式期权的三步二叉树价格=15.31
-8-
从一个游戏的入场券说起
50 %
50 %
从一个游戏的入场券说起
该游戏盈亏的期望值＝100 * 50% - 20 * 50% = 40美元。
风险中性的人
愿意支付40元
风险偏好的人 风险厌恶的人
愿意支付40元以上 愿意支付40元以下
通常而言，我们把风险中性世界下的定价视为公平的定价。所 以，门票的合理定价应等于40元。
上交所期权策略高级顾问培训
上海证券交易所
第一讲
期权的定价与波动率
目 录
引子 二叉树模型简介 B-S模型简介及其应用 “波动率”之约 附录
目 录
引子 二叉树模型简介 B-S模型简介及其应用 “波动率”之约 附录
回顾期权价格的影响因素
自身基因的约束
合约类型、行权价、 到期日
-28-
P与Q：量化金融的剑宗与气宗
Q与P的比较：
主要目的 核心意义 使用环境 数理工具
使用领域
-29-
“Q”
衍生品定价（尤其 是期权类产品）
从未来收入推断现 在价格
风险中性测度
随机微积分 （stochastic calculus）
做市商报价、场外 期权产品的定价等
“P” 投资组合管理
从现在的信息刻画 未来的分布
• 随着复杂衍生品的发展，它们的定价称为了广大投资者最为关心的 问题，而“Q”正式它们定价的利器。Q的代表作：1973年B-S－M 模型。
• 在买方进行投资组合管理时，经常需要依据现有的数据刻画资产在 未来一段时间内的概率分布，基于该分布，买方才能游刃有余地进 行资产配置获取收益，而他们使用的方法正式“P”。P的代表作： Markowitz现代投资组合理论。
如果300C－5238 < 0 竟然100%赚钱！
一个简单的例子
50 C=?
0
在期权定价的核心假设（无套利机会的假设）下，不会发生百 分之百赚钱或亏钱的情况。
所以，只可能使得300C－5238＝0！
-21-
期权定价的最基本模型：一步二叉树模型
让我们来进入这样一个金融市场：市场上有一只无风险收益产品， 年收益率为r，又有一只股票，目前价格为S(0)。
假设五
该期权是欧式期权
只能到期日当日 才能行权，正如 电影票是能在设 定的时间附近才 能进场。
-42-
BS模型的八大假设
假设六
投资者的借贷利率相同
借入利率
借出利率
-43-
BS模型的八大假设
假设七
市场允许卖空标的证券
-44-
BS模型的八大假设
假设八
证券交易单位是无限可分的
无限可分：我可以买卖 100股、10股、1股、 0.1股、0.01股……
• 结果表明：总体而言，B-S模型得出的结论仍是比较准确的，对期 权的报价有较强的指导意义。
• 直到今日，B-S模型依然成为投资者比较市场价格、做市商制定基 准价格的重要依据。
BS模型的应用：比较理论价格与交易价格
输入项
BS模型的应用：发现隐含波动率
股价
行权价
利率 波动率
B-S模型
到期日
期权合理 价格
无套利机会
复制资产
我们构造以下投资组合来复制期权头寸： 投资W1份无风险收益产品； 投资W2股标的股票。 使得：
W1*(1+r)+W2*S(0)(1+u)=C(u) W2*(1+r)+W2*S(0)(1+d)=C(d)
-24-
期权定价的最基本模型：一步二叉树模型
我们可以解出： W1＝[C(d)(1+u)-C(u)(1+d)] / [(1+r)*(u-d)] W2= [C(u)-C(d) ] / [S(0)*(u-d)]
第一步：先计算出d1和d2：
期权定价计算三部曲
第二步：计算出N(d1)和N(d2)： N(d1)=N(0.1718)=0.5682; N(d2)=N(-0.0153)=0.4939 N(-d1)=N(-0.1718)=0.4318; N(-d2)=N(-0.0153)==0.5061
S=3.198, K=3.200, r=3.925%, σ=30%, T=0.389
为什么对数正态分布比正态分布更好
• 第一、服从对数正态分布的股票价格始终为正数，这 与公司股票的有限负债特征一致。
• 第二、在对数正态分布下，不论股价是高是低，用百 分比表示的价格变化会相同的分布。
• 第三、当时交易所的观察到的数据与对数正态分布模 型也相当的一致。
BS模型简史 Black Scholes Merton
父母亲的言传 身教
股价、波动率
社会大环境的 熏陶
无风险利率
-5-
认购期权到期前的价格图形
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认沽期权到期前的价格图形
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到期前权利金到底值多少钱
期权在到期前价格曲线渐渐逼近与到期时的价 格折线！
我们更在乎的是期权权利金在到期前任一时刻 到底值多少钱？
关键点：寻找一种方法求出到期前价格曲线的 表达式。
S(0)=100
S(u)=110 S(d)=90
C(0)=?
C(u)=10 C(d)=0
想一想“游戏的入场券”？ C(0)＝10 * 50% + 0 * 50% = 5
可是如果股价在期权到期日不只 两个结果，有“无数”个可能的 结果，这份行权价为100的认购 期权的“公平”定价又该是多少 呢？
先来看另 一个游戏
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练一练
某个股票现价为100元。每个时间步的步长为6个月， 每个单步二叉树预期股票上涨10％，或下降10％。假设 无风险年利率为8％，则行权价格为100的半年期欧式认 购期权的价值为多少？
P与Q：量化金融的剑宗与气宗
• 量化金融可以分为两大流派：“Q”与“P”，Q表示风险中性概率 ，P表示真实概率。
买入200股 股票
以5%的利率借 入4762元资金
所持头寸 卖出3张认购 买入200股股票 资金 总和
开仓时 +300*C -10000 +4762 +300*C-5238
到期股价＝100 到期股价＝25
-15000
0
+20000
+5000
-5000
-5000
0
0
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如果300C－5238 > 0 竟然100%亏钱！
期权价值＝复制资产的价值
根据无套利机 会的假设!
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神奇的发现：风险中性概率
记为q（u ）
记为q（d ）
这称为风险中 性定价法!
• 我们惊奇地发现q(u)+q(d)=1，正好构成 一个概率分布，称为风险中性概率。
• 期权的定价C(0) 等于未来收益在风险中性 概率下期望值的贴现值，与真实概率分布 p(u)、p(d)无关。
期权定价计算器——客户端
我们把S=3.198，K=3.200，r=3.925%，σ=30%，T=0.389输 入客户端的计算器中，也可以得出十分近似的结果。