三角恒等变换的常用技
三角恒等变换技巧(生)
三角恒等变换技巧三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。
三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。
三角恒等变换是以三角基本关系式，诱导公式，和，差，倍角等公式为基础的，三角变换的常见策略有：（1）发现差异；（2）寻找联系；（3）合理转换。
概括起来就是：利用和，差，倍角等三角公式实行各种转化，从而达到问题解决的目的。
三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能。
常用的数学思想方法技巧如下：一、变“名”三角变换的主要目的在于“消除差异，化异为同”，而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要变“名”，即化异名函数为同名函数。
变换的依据是同角三角的关系式和诱导公式，切化弦、弦化切等。
例： 已知311tan 1tan =+-θθ，求θθθθ22cos 2cos sin sin ++的值二、变“角”在三角化简、求值中，题目中的表达式中往往会出现较多的相异角，根据角与角之间的和差、倍角、互补、互余的关系，进行变“角”，即寻找已知条件与结论中角的差异，从而使问题获解.常见的变角方式有① α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；α3是23α的二倍；3α是6α的二倍；απ22±是απ±4的二倍;②2304560304515oo o o o o =-=-=； ② ββαα-+=)(；2)()(βαβαα-++=;④)4(24αππαπ--=+； ⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等 例：已知52)tan(=+βα，41)5tan(=-πβ，求)5tan(πα+的值三、逆变在进行三角变换时，顺用公式较多，但有时若能逆用两角和差的正弦、余弦、正切公式解题可以帮助我们快速开拓解题思路。
高中数学：三角恒等变换知识点
高中数学:三角恒等变换知识点1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式:⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2.二倍角的正弦、余弦和正切公式: 《1》sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3.⇒（后两个不用判断符号，更加好用）4.合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。
辅助角公式: ()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． 5.三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方ααααααααα半角公式cos 1sin cos 1cos 12tan2cos 12sin ;2cos 12cos :-==+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :222αααααα万能公式+-=+=法技巧如下:（1）角的变换:在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如: ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②2304560304515o ooooo=-=-=；问:=12sin π；=12cosπ ；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+； ⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换:三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
三角恒等变换的技巧(生)
巧用三角恒等变换三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。
三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。
三角恒等变换是以三角基本关系式，诱导公式，和，差，倍角等公式为基础的，三角变换的常见策略有：（1）发现差异；（2）寻找联系；（3）合理转换。
概括起来就是：利用和，差，倍角等三角公式实行各种转化，从而达到问题解决的目的。
三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能。
常用的数学思想方法技巧如下：一、知角求值一般所给出的角都是非特殊角。
当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式。
例：已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（ ） A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 变式：已知向量(2,sin )a θ=- 与(cos ,1)b θ= 互相垂直，其中(,)2πθπ∈。
（1）求sin θ和cos θ的值；（2）若sin()2πθϕϕπ-=<<，求cos ϕ的值。
二、逆用公式运用两角和与差的正弦、余弦公式常能将有些三角式化简，但深入观察三角式的结构特征，有时能巧妙地逆用公式，不仅丰富了解题技巧，而且回味无穷。
例：若11sin(),sin()23αβαβ+=-=，则tan tan αβ= 。
变式设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+= 。
三角恒等变换的常见技巧(生)
三角恒等变换的常见技巧一、核心技巧方法1、三角恒等变换中的“统一”思想：三角恒等变换的主要目的是异名化同名、异次化同次、异角化同角、异构化同构，即化异为同，也就是将待证式左右两边统一为一个形式，或将条件中的角、函数式表达为问题中的角或函数式，达到以已知表达未知的目的。
基本切入点是统一角，往往从统一角入手便能全面达到化异为同的目的。
2、统一思想的应用——引入辅助角：对x b x a y cos sin +=型函数式的性质的研究，我们常常引入辅助角ϕ。
即化ab x b a x b x a y =++=+=ϕϕtan ),sin(cos sin 22，然后将该式与基本三角函数x A sin y =进行比照研究。
“位置相同，地位平等”是处理原则。
3、统一思想的应用——拆、拼角，如()()()()22β-α+β+α=αβ-β+α=αβ+β+α=β+α，，等等；4、统一思想的应用——弦切互化，如利用万能公式，把正余弦化为正切等等；对关于正余弦函数的齐次式的处理也属于“弦化切”技巧；5、统一思想的应用——公式变、逆用，主要做法是将三角函数式或其一部分整理成公式的一部分，然后利用公式的这一部分与另一部分的等量关系代入6、代换思想的应用——关于正余弦对等式的处理，常以21t x cos x sin ,t x cos x sin 2-==+代入，把函数式化为关于t 的函数式进行研究；另外，三角代换也是处理函数最值、值域等问题的重要技巧。
二、考点解析与典型例题考点一 引入辅助角研究三角函数的性质例. 设f （x ）=asin x ω+bcos x ω（0,,>ωb a ）的周期为π且最大值f （12π）=4； 1）求ω、a 、b 的值；2）若α、β为f （x ）=0的两个根（α、β终边不共线）， 求tan （α+β）的值。
考点二 拆、拼角 例. 已知cos （91)2-=-βα，sin （2α－β）=32，且,20,2πβπαπ<<<<求.2cos βα+考点三 化弦为切例. 当π04x <<时，函数22c o s ()c o s s i n s i n x f x x x x=-的最小值是（ ）． （A ）4 （B ） （C ）2 （D ） 考点四 巧用公式例. 求︒︒+︒+︒28tan 17tan 28tan 17tan 的值。
常用三角恒等变换技巧(师)
常用三角恒等变换技巧解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。
三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点。
下面从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。
一、“角变换”技巧角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。
例1 已知534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，4743ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值。
【分析】考虑到“已知角”是4π+x ，而“未知角”是x 和x 2，注意到44ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x ，可直接运用相关公式求出x sin 和x cos 。
【简解】因为ππ4743<<x ，所以πππ24<+<x ， 又因为0534cos >=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，所以πππ2423<+<x ，544sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx 10274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππx x x x ， 从而102cos -=x ，7tan =x . 原式=7528tan 1sin 2cos sin 22-=-+x x x x . 【反思】（1）若先计算出102cos -=x ，则在计算x sin 时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出x sin 和x cos . 但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由2422ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x ，运用诱导公式和倍角公式求出x 2sin 。
进行三角恒等变换的三个技巧
解题宝典在解答三角函数问题时，经常需对三角函数式进行三角恒等变换，这就要求同学们熟练掌握一些进行三角恒等变换的技巧，以便能顺利化简三角函数式、求出三角函数式的值.那么怎样合理进行三角恒等变换呢？可以从以下三个方面进行.一、变换角当进行三角恒等变换时，首先要仔细观察已知角和所求角之间的差别，并建立两角之间的联系,如互余、互补、半角、倍角等，然后利用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等求解.在进行角的变换时，还可将已知角、所求角与特殊角，如π6、π4、π3等建立联系，然后利用这些特殊角的函数值进行求解.例1.已知cos æèöøα+π4=35，π2≤α<3π2，求cos(2α+π4)的值.分析：先观察题目中的角可发现，已知角α+π4与所要求的角2α+π4之间相差一个α，可以找到一个关系：2æèöøα+π4−π4=2α+π4，用二倍角公式和诱导公式求出sin 2æèöøα+π4和cos 2æèöøα+π4的值，最后根据余弦的两角和公式cos ()α−β=cos α∙cos β+sin α∙sin β求出cos æèöø2α+π4的值.解：由于π2≤α<3π2，所以3π4≤α+π4<7π4，又因为cos æèöøα+π4=35>0，可知3π2≤α+π4<7π4，因此sin æèöøα+π4=−45，所以sin 2æèöøα+π4=2sin æèöøα+π4cos æèöøα+π4=−2425，cos 2æèöøα+π4=2cos 2æèöøα+π4−1=−725，因此cos æèöø2α+π4=cos éëêùûú2æèöøα+π4−π4=cos 2æèöøα+π4cos π4+sin 2æèöøα+π4sin π4=.二、变换函数名称有些三角函数式中的函数名称并不相同，此时，我们需变换函数的名称，如将正切、余切转化为正弦、余弦，将正弦化为余弦，将余弦化为正弦，等等，以达到统一函数名称的目的.在变换函数名称的过程中，常用到的公式有诱导公式sin ()2k π+α=sin α()k ∈Z 、cos ()2k π+α=cos α()k ∈Z 、tan ()2k π+α=tan α(k ∈Z)，重要关系式tan α=sin αcos α、sin 2α+cos 2α=1、辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin （α+φ）等.例2.化简2cos 2α−12tan æèöøπ4−αsin 2æèöøπ4+α.分析：这个式子中既含有正切函数也有正弦、余弦函数，我们第一步就是要想办法将正切函数转变为正弦函数.观察式子中角的特点，可发现æèöøπ4−α+æèöøπ4+α=π2，根据角的特征，可以利用诱导公式将函数式转化成函数名称一致的式子.解：原式=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−αsin 2éëêùûúπ2−æèöøπ4−α=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−α=cos 2αsin æèöøπ2−2α=1.三、变换幂的次数有些三角函数式中幂的次数不相同，此时，我们要对其作升幂或者降幂处理，以便使函数式中的次数相同.“升幂”可以通过二倍角公式cos 2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α、tan 2α=2tan α1−tan 2α来实现，“降幂”可以通过二倍角公式sin 2α=2sin αcos α及变形式sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2.sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2来达到目的.例3.已知tan α=−13，求sin α−cos 2α1+cos 2α的值.分析：由于已知tan α=−13，目标式中含有正弦函数和余弦函数，且含有二次式，可以先利用二倍角公式把2α转变为α，使幂的次数统一，即将所求的式子转化为关于sin α、cos α的齐次式，然后依据tan α=sin αcos α，将目标式中的分子、分母同时除以cos 2α，得到只含有tan α的分式，将tan α=−13代入求解即可得到答案.解：原式=2sin αcos α−cos 2α2cos 2α=2sin α−cos α2cos α=tan α−12=−56.总而言之，在进行三角恒等变换时最重要的就是要做到“变异为同”，灵活使用各种三角函数公式，将角、函数名称、幂的次数不同的式子转化为角、函数名称、次数相同的式子.在解题的过程中，同学们要熟记各种三角函数公式，并灵活使用，根据角、函数名称、幂的特点合理进行变换，以实现“变异为同”.（作者单位：山东省聊城第一中学）41Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角函数变换的技巧
三角函数变换的技巧由于三角函数的变换是解决三角函数有关问题的重要工具,所以能熟练的掌握变换的一般方法和技巧是能有效地解决三角函数问题的标志.凡是与三角函数有关的化简、求值和证明等问题都以三角公式的恒等变形为解决手段,正确掌握三角公式,才能在解决问题时展开联想,合理选择,灵活运用.由于三角公式比较多,变换灵活多样,掌握三角变换的常用技巧非常重要,在解答此类问题时,要学会创设条件,灵活运用三角公式,考虑选择恰当的变换使复杂的问题简单化.本文阐述了常用的三角恒等变换的方法与技巧,即：公式的变换、常数的变换、引进参量的变换、“幂”的变换．下面就以具体例题说明三角恒等变换的技巧: 1﹑公式的变换三角公式作为恒等式,我们不仅要知道公式,还要熟悉变形后的公式和公式的逆用,这样才有利于问题的求解.例1证明.证由变形有,将其整理,得,令.点评:本题很巧妙的运用了的变形式,使问题简单化.例2求证.证左边右边.原式成立.点评:本题的解题关键就是将和角公式进行了逆用，使问题得以解决.2﹑常数的变换在三角函数式的化简﹑求值和证明中,经常会用到常数的代换,特别是常数“1”的代换,可为求解过程增加多种可用工具.例3已知,求的值.解.点评:本题解题的关键是将分子﹑分母中的1用“”进行常数代换.例4化简.解原式.点评:本题解题的关键就是很巧妙的将分子上的1用代替.通过对三角函数的简单分析探究，掌握了三角函数的几种变换技巧，学习了运用分类讨论的思想将三角函数分类并归纳出其变换的技巧.首先将三角函数的变换分为六大类，然后分别对其中的每一类举例应用，并加以点评，说明其解题的关键在哪里，并说明题中用到的三角函数中的重要公式和常用的解题方法，让问题更加清晰、明朗化，也让三角函数变换的技巧得以升华.应该指出的是，本文所提出的三角函数变换技巧只是平时比较常用的几种变换技巧，还有很多很奇妙变换技巧也是值得我们去发现和研究的.。
9种常用三角恒等变换技巧总结
9种常用三角恒等变换技巧总结三角函数是数学中一种重要的函数，它广泛应用于几何、物理、工程等领域。
而在解题过程中，常常需要通过三角恒等变换技巧来简化或转换问题，以便更容易求解或证明。
下面我们将总结一下常用的九种三角恒等变换技巧。
1.正弦和余弦平方和恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这是最基本的三角恒等式，即正弦和余弦的平方和等于1、它在很多场合都会被应用到，例如求解三角方程、证明三角函数的性质等。
2.余弦的二倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)这个公式可以将一个角的余弦值转化为另一个角的余弦值，同时也可以将余弦值转化为正弦值。
它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
3.正弦的二倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)这个公式可以将一个角的正弦值转化为另一个角的正弦值，或者将正弦值转化为余弦值。
它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
4.正切的和差公式：tan(x±y) = (tan(x)±tan(y))/(1∓tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和或差转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和或差。
它在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
5.两角和差公式：sin(x±y) = sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)cos(x±y) = cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)这些公式可以将两个角的正弦值或余弦值的和或差转化为一个角的正弦值或余弦值，或者将一个角的正弦值或余弦值转化为两个角的正弦值或余弦值之和或差。
它们在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
6.正切的和公式：tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和。
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三角恒等变换的常用技巧在不改变结果的前提下，运用基本公式及结论，从角、名、次方面入手，把一个三角函数式转化成结构比较简单、便于研究的形式，这种变形叫做三角恒等变换.三角恒等变换的常见变换技巧归纳如下：题型一：常值代换（特别是“1”的代换）【知识链接】22 丄 2 丄2 2 丄21 sin cos tan sec tan esc cot4【巩固与应用】Q S ________1.若x (-,-)，则.1 sinx 可化为( ) D2 2A.亦（：4）B. ■ 2cos(2 ；) C . 2cos(-) 2 4 D .宓（：-）2 .已知tan 题型二：公式变形【知识链接】—2，求值：2si n2sin cos 2cos .tan tan【巩固与应用】(1 mta n tan )ta n( ).1.化简：tan 10o tan20o tan20o tan60o tan 10o tan60o.2 . (1)已知 A B 4,求证：(1 tanA)(1 tanB) 2 ;(2)化简：(1 tan 1o)(1 tan 2°)L(1 tan44o)(1 tan4-0).题型三：升次降次【知识链接】2 2 2 22sin 1 cos2 , 2cos 1 cos2 , cos sin cos2 , 2sin cos sin2 4sin-3sin sin3 , 4cos-cos- -cos .上面公式正用降次，反用升次.【巩固与应用】6 .求函数y sinx sinx cosx的单调区间。
增8.已知函数 f (x) 2cosxsin x — 3sin 2x sin xcosx3(1) 求：函数f (x)的最大值及最小值； (2) 求：函数f(x)的最小正同期、单调递增区间；3)该函数图像可由 y si n2x 图像作怎样变化而得到。
题型四：公式活用 【知识链接】公式正用、公式逆用、公式变形后使用 【巩固与应用】1 .求值：tan 10o ta n20° ta n20°ta n60° 2.已知为第三象限角，且sin 4 0 cos 4 0cosAcosB + sin AcosB cosAsinB则厶ABC 为2 24•函数y sin x cos x 2的最小正周期是(1 .若2 孑，则1 cos()的值是A . sin2B . cos —2sin —2D . cos —22 .求值:3 .求值: 4n cos一 8 sin 220 4nsin — 8 cos 2 50o sin 20o cos50°.(08宁夏、海南理7) o3 sin 70 2 cos 210o12B .C .(07陕西理 4)已知 sin a 5 5，则 ・4sin a 4 cos a 的值为15B .C .15. . 27.已知 cos( n 4 x) 3 5 , 17n 12 x 7n 4，求 sin2x 2sin x 的值。
1 tanx 结果n A . 2、23 B . 2.2 3 C . 2 3D .23，减tan60 tan 101,那么sin2 B 等于(A ).在△ ABC 中，若 sinAsinB等腰直角三角形B. 2C. n6. （06全国U理10）若f (si nx) 3 cos2x ，则f (COS X)等于3 cos2x 3 2sin 2x C. 3 cos2x D. 3 2sin 2x （07浙江理12）已知sin cos3，贝Ucos24的值是题型五：弦切互化【知识链接】能实现转化的公式有: tan如costan1 cos2si n2sin 21 cos2【巩固与应用】1.求值：(ta n5o1 、sin 20ota n5o) 1 cos20o.-22. 求值：sin 50°(1 -h tan10°)3 .已矢卩tan(45°1 2，则tan 2 acos2 atan 2 acos2 a4 .求值：丄4cos10o. tan 105.求证：1 f2 sin2x( tanx 2) 4cos x.tanx 2则tan6 .若sin 0 cos 00+1tan 0-4题型六：辅助角变换【知识链接】1.辅助角公式: asinx b cosx a2b2sin(x ）.（其证明附后）2 .推论: sin x cosx .2 sin(x );4 .3sin x cosx 2sin(x ) ; sinx '空cosx62sin(x );3cosx sin x • 2cos(xm—) ；.3cosx sinx42cos(xm6)；cosx 3sinx2cos(xm3).3 •利用公式厝tan(x 7)及普诙("4 X)引入.【巩固与应用】4.与y 2sinx cosx的周期、振幅都相同的函数是( A )题型七：角的和差拆分变换【知识链接】1.原则：化未知为已知.2 .拆分技巧：再如10 30 20 .如2% (a 3) (a 3);()(),() (),4 2 4 3 2 6a (a 3) 3 ( a 3) B 字•一宁牛等.2 2 2 2a a a3 .半角与倍角的相对性：女口a是2 a的半角，同时也是 -的倍角；-是a的半角，同时也是一的2 2 4倍角；【巩固与应用】已知sin(2 a 3) ,sin 3 5 ，且a , n , 313 2-,0，求sin a的值.0)个单位，所得的图像关于y轴对称则m 的最小正值是()2 5A.—B.—C.— D .—6 3 3 63 .函数y sin2x cos2x 的最小正周期为sin2x cos2x4 .求函数y sinx (sin x cosx)的单调区间.3 .当一x —时，函数 f x sin x . 3 cosx 的值(DB .最大值是1最小值是1 2C .最大值是2最小值是-2D .最大值是2最小值是-1A . y .5 sinxB . y 2sin x C. y 3 cosx D. y sin xcosx函数y 3sin( 2x) cos2x 的最小值是(2 .把函数y cosx </3sinx的图像向左平移m(m)A .最大值是1，最小值是-12(06重庆理13)已知,(08天津理17)已知cos(x (,),sin( 4210值.(07江苏理11)若cos( cos((08山东理5)已知COS(a sinA . 23 5 B. 2.355. (08上海春理6)化简：cos(-6. (08江苏理15)在平面直角坐标系3 12) ,sin( ) ,则cos( )5 4 13 4—.(1)求的sinx值；(2)求sin 2x 的3)3，则5 tan tansinxOy中，以Ox轴为始边作两个锐角a、B，它们的终边B两点.已知A、B的横坐标分别为•一2 10、2.5 5 .(1) 求ta n( )的值；(2) 求2的值.7 .已知02,sinA. 0 B . 0 或—25C .o8. sin7o cos15sin8的值等于(cos7 sin15 sin8A. 2 .3 B2 32分别与单位圆相交于A、9 .设sin( 2 )3sin,则3 /,cos(5) -，则sin524D.2425 25)C. 2 3 D 2 33 2tantan10 .已知tanA. 1318—,tan -,那么tan 的值是(B )5 4 4 4B. 3 22C. 13 22D. 31811.已知是锐角，cos a 4 5 , tan( a ®13，求cos的值。
cos B 50 10题型八：和积互化(不要求)【知识链接】1 .积化和差公式2.和差化积公式3 .禾口 sin x cosx 积 sin x cosx 互化.1 .如果 (0,), sin2cos2—，贝y cos2为（)A 廳 B3C3 D . 3 2 2242 .已知sin 1巧cos5(0,)那么 tan 的值是 ( )2A . 3 3B .3C .3 3D . 3【巩固与应用】 2 23 .化简：cos 2 A+cos 2 (A)+COS 2( A).334 .已知x 是第二象限角，且 sinx cosx a （ a 1）， 求下列各式的值:值。
(1) tan x cotx ;2)1_s inx 1_cosx ■ 1 si nx ■ 1 cosx5 .已知tan , tan 是方程x 22x 40的两根,6.已知三角形 ABC 中的三个内角 A, B, C 满足解法（I ）:由题设条件B 60 ， 120cos2 cos2的值. si n2 si n2 1 2B ,cosA cosC2 cosB求cosA~C 的2 Q 」cos60 o A C 2cos —2 2.2丄 cosA A C cos — 2 1cosC2[cos(A cosA cosC 2.2 cosAcosCC) cos(A C)]将 cos —cos 602A C cos —2辽2c2由 cos(A 2C) 2cos4 3 cosC c 2cos2C (2cos22)(2 2(解法（II ）： 因为cos(A C)C)C 2 B 60 ，3)0Q2云0S 23 0 cosC 1203则 AC 2 a A 60 a ， C 60 acos A cosC cos(60 acos(6011 、3 . —cos a ---- sin a2 211 ,3 . —cos a ---- s in a2 2COSa 1 2 —cosa 43 . sin4 2cos cos a 3a —4cos a 23cos a —4 2 cos Bcos a 32cos a(2.2 cos a3)(2cos附录一起点公式的证明 1 •两角和余弦公式的推导 2 •两角和正弦公式的推导3.半角公式tan sin—2 1 cos 1 sincos 4 •辅助角的推导及其推论 asin x bcosx a 2 b 2 sin(x 2.24 2 cos 2 a 2cos a 3 2的推导 tan由asinx bcosx 的系数a,b 可得点P （a,角的终边，设为，于是有： b—；bcosx a b ）（一定要注意所以 其中,推论: tan b ，cos aa sin x bcosx cos a ----- (Q cos a2A C cos— 2asinx ■. a 2 b 2 cos(x a 与b 顺序），射线OP ),tan（O 为坐标原点）可作为某个a .a 2b 2 a 2 b 2cos ,sin b .a 2 b 2 a 2 b 2 sin■. a 2 b 2 (sin xcos cosxsin ) 薦_b sin( x ) 叫做辅助角，它所在象限取决于点 P （a, b ）所在象限，它的一个函数值为: tansin x cosx . 2 sin(x ) ; 3sin x cosx 2sin(x -) ; sinx 463 cos x2sin(xcosx sinx2cos(xm —)； “再cosx sin x 2cos(xm —) ； cosx 4 63sin x 2cos(xm-) •口诀：正余化正，加减不变，余正化余，加减颠倒，前5.附录二些常用的结果1 • (cos sin cos )21 sin2sin cos tan 1tan(1 4)sin cos tan2cos2sin2 .十 1 tanx1.已知1 tanx附录四半角公式3 1 ，求sin2 x的值.1cos a cos B —[cos( a B) cos(a B)], sin asin B2和差化积公式:9 9 sin 9 sin <fc 2sin cos—2 29 © 9 ©sin 9 sin © 2cos sin2 22.sin cos 1 tantan( 7)，sin cos 1 tan3.tan 1 2 tan 1tan sin 2tan 万能公式sina2tan —a2_2 a1 tan -2COSa2atan —,tana tan -2a2tan —22 a tan—2a 1 COS asin i ------------------- 2 V 2a 1 cos a acos- . ----------- , tan —2 2 2COSa COSasina1 cos a.（符号由半角终边位置决定）1 cos a sin acos2 sin 2( 4）2cos( )sin(44),sin 2 cos2(4）cos2( )sin2(4)2cos2( ) 1 1 2sin2(4 4附录六三倍角公式sin3 3sin 4sin3,cos3 4cos3 3 .附录五衍生二倍角公式附录七和积互化公式积化和差公式：匸）.sin a cos B [sin( a2 B sin( a B)] , cos a sin p -[sin( a2B sin( a B],cos 9cos ©2cos 9Jcos 932 2 cos 9 cos ©2sin附录三1-[cos( a B) cos( a B)] •2。