三角函数诱导公式课件
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三角函数的诱导公式 课件
sincos sin cos
sin cos
sincos
1.
当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)，
原式= sin sin［ 2m
2m cos2m 2 ］cos［2m
1
］
sin cos
sincos( )
= sinco=s-1.
sin(cos)
【归纳】三角函数式化简的思路以及含有kπ±α形式的处理 方法. 提示：(1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α的三角函数 转化. (2)含有kπ±α形式的化简时，需对k分是偶数还是奇数来确定 选用的公式.
3
三角函数式的化简问题 【技法点拨】
三角函数式化简的常用方法 (1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化 为角α的三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. (3)注意“1”的应用：1=sin2α+cos2α=tan .
4
【典例训练】
1.化简 sin 540 cos =___________. 2.化简：设kta为n(整 数18，0化) 简：ssiinn［kk1cos［］kcos1k］ .
+tan(180°-45°)=sin225°cos210°+cos30°sin210°-tan45°
=sin(180°+45°)cos(180°+30°)+cos30°sin(180°+30°)
-tan45°=sin45°cos30°-cos30°sin30°-tan45°
= 2 3 3 1 1 . 6 3 4
3.在下列各式中: ①sin(α+π)=-sinα, ②cos(-α+β)=-cos(α-β), ③sin(-α-2π)=-sinα, ④cos(-α-β)=cos(α+β). 正确的序号是_________. 【解析】对于②式,cos(-α+β)=cos［-(α-β)］=cos(α-β), 故②错误,而①③④由诱导公式可判定正确. 答案：①③④
1.3三角函数的诱导公式课件人教新课标
3
3
3
32
例7：已知cos(π - α) = - 1，求sin(3π + α)的值。
4
2
解： ∵ cos(π - α) = - 1
4
∴ ∵
-cosα = - 1 4
sin( 3π + α)
即cosα
= -cosα
=
1 4
2
∴ sin( 3π + α) = - 1
2
4
课堂小结
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 我们可以用下面一段话来概括公式一～
y
(x, y)
p3 160
200 O
p1 (x, y)
sin 380
sin 20
y
a
2 0
P(x, y)
sin 200
y
a
20A (1,0) sin(20 ) y a
p2 (x, y)
sin160
y
a
利用诱导公式把任意角的三角函数转 化为锐角三角函数,一般按下面步骤进行:
任意负角的 三角函数
线段为半径作一个圆。
已知任意角α的终边与
这个圆相交于点p(x,y）， 由于角 180°+α 的终边就
是角α的终边的反向延长线，
角180°+α的终边与单位圆 的交于点p'(-x,-y)，又因
p(x,y） -1
1
π
o
1
x
-1 p'(-x,-y）
单位圆的半径 r=1，由正弦
函数和余弦函数的定义得到：
sin y, cos x, tan y ;
设 0°≤α≤90°，对于任意一个 0°到360°的 角β，以下四种情形中有且仅有一种成立。
高一数学：三角函数的诱导公式经典课件
π +α、- α、 π-α的诱导
问题提出
1 5730 p 2
t
1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样 定义的？
sin y
cos x
y α 的终边
P(x，y)
O
y tan ( x 0) x
x
2. 2kπ ＋α （k∈Z）与α 的三角函数 之间的关系是什么？
公式三：
思考：利用π －α ＝π ＋(－α )，结合公式二、 三，你能得到什么结论？
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2
cos( ) sin 2
的三角函数值，等于α 的同 2 名函数值，再放上将α 当作锐角时原函数
值的符号.
思考5：根据相关诱导公式推导，
3p sin( - a ), cos 2 3p cos( - a ), sin 2 3p sin( + a ), cos 2
sin(π ＋α )=-y cos(π ＋α )=-x
y tan(π ＋α )= x
o
Q(-x，-y) π+α 的终边
x
思考：对比sinα ，cosα ，tanα 的值， π ＋α 的三角函数与α 的三角函数有什 么关系？
sin( ) sin
公式二： cos( ) cos
tan( ) tan
知识探究（二）：-α ，π -α 的诱导公式：
思考：对于任意给定的一个角α ，－α 的终边与α 的终边有什么关系？
1.3《三角函数的诱导公式》课件
因 为s in 公 式4 s in 2 2
cos
公 式5 s in
2
sin( ) cos 2 cos( ) sin 2
诱导公式（六）
诱导公式二
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式三
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式四
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
α k 2π(k Z), α, α π 的三角函数值，等于α 的 同名函数值，前面加上 一 个把α看成锐角时原函 数 值的符号。
函数名不变，符号看象限。
诱导公式一
sin(2k ) sin ， cos(2k ) cos ， tan( 2k ) tan 。
2 2 3 3 cos( ) sin cos( ) sin 2 2 共同点：遇到 / 2 a 时候
函数名改变,函数名前面的+、-符号与前面的括号 里面角在第几象限来确定。
※记忆方法：
奇变偶不变，符号看象限．
说明：
奇偶指的是
k
2 符号指的是前面三角函数的符号(由象限决定)
-1
• 如上图我观察到的东东是如下：
• 第一：ɑ和πɑ的角的终边关于y轴对称
• 第二：所以这两个角的终边与单位圆的焦点 p＇ 和p两个点关于y轴对称
• 第三：这个两个点的横坐标互为相反数，纵坐标 相同
三角函数的诱导公式 课件
诱导公式五、六
自学导引
1．诱导公式五、六
公式五：sin π2－α＝ cos α ，cos π2－α＝ sin α ； 公式六：sin π2＋α＝ cos α ，cos π2＋α＝－sin α . 公式五和公式六可以概括如下：
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
[正解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上．
角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分为 象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了 象限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．
2．利用诱导公式可得到如下结论： sin 32π－α＝－cos α，cos 32π－α＝－sin α； sin 32π＋α＝－cos α，cos 32π＋α＝sin α.
想一想：你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？ 提示 诱导公式六的推导： ∵π2＋α＝π2－(－α)，由诱导公式五得： sin π2＋α＝sin π2－－α＝cos (－α)＝cos α， cos 2π＋α＝cos 2π－－α＝sin (－α)＝－sin α. 即 sin π2＋α＝cos α，cos 2π＋α＝－sin α.
－cos 3π＝－12.
(12 分)
【题后反思】 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时， 可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角 三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
误区警示 对角的终边位置考虑不全面而出错 【示例】 若|cos α|＝sin 32π－α，请指出角 α 的终边的位置． [错解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限．
自学导引
1．诱导公式五、六
公式五：sin π2－α＝ cos α ，cos π2－α＝ sin α ； 公式六：sin π2＋α＝ cos α ，cos π2＋α＝－sin α . 公式五和公式六可以概括如下：
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
[正解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上．
角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分为 象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了 象限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．
2．利用诱导公式可得到如下结论： sin 32π－α＝－cos α，cos 32π－α＝－sin α； sin 32π＋α＝－cos α，cos 32π＋α＝sin α.
想一想：你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？ 提示 诱导公式六的推导： ∵π2＋α＝π2－(－α)，由诱导公式五得： sin π2＋α＝sin π2－－α＝cos (－α)＝cos α， cos 2π＋α＝cos 2π－－α＝sin (－α)＝－sin α. 即 sin π2＋α＝cos α，cos 2π＋α＝－sin α.
－cos 3π＝－12.
(12 分)
【题后反思】 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时， 可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角 三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
误区警示 对角的终边位置考虑不全面而出错 【示例】 若|cos α|＝sin 32π－α，请指出角 α 的终边的位置． [错解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限．
三角函数的诱导公式ppt课件
这些公式通过角度的加、减、乘、除和周期性，将任意角度的三角函数转换为基 本角度（0度、90度、180度、270度、360度）的三角函数。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
(2024年)三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件
三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件•课程介绍与目标•三角函数基本概念回顾•诱导公式推导与理解目录•典型例题分析与解答•学生自主练习与互动环节•课程总结与拓展延伸课程介绍与目标说课内容01020304知识与技能过程与方法情感态度与价值观030201教学目标教学方法与手段教学方法教学手段三角函数基本概念回顾三角函数定义及性质三角函数值的范围三角函数的定义正弦、余弦函数值在正切函数值在全体实数范围内。
三角函数的周期性三角函数在各象限的符号规律正弦、余弦、正切函数均为正值。
正弦函数为正值，余弦、正切函数为负值。
正弦、余弦函数为负值，正切函数为正值。
余弦函数为正值，正弦、正切函数为负值。
第一象限第二象限第三象限第四象限三角函数线及其应用三角函数线的定义三角函数线的性质三角函数线的应用诱导公式推导与理解角度制与弧度制转换关系角度制与弧度制的定义及关系角度与弧度的互化方法特殊角的弧度表示诱导公式推导过程口诀记忆法通过编口诀或顺口溜等方式帮助记忆规律记忆法根据公式间的内在联系和规律进行记忆图像记忆法结合三角函数图像进行记忆和理解诱导公式记忆方法典型例题分析与解答例题1例题2分析解答解答分析利用诱导公式求三角函数值例题3例题4分析解答解答分析判断三角函数符号问题学生自主练习与互动环节学生自主完成练习题练习题一01练习题二02练习题三03小组内成员相互激励和讨论，共同探究解题方法和思路。
通过交流和比较，发现自身在解题过程中的不足和错误，并及时进行纠正和改进。
小组代表向全班汇报讨论结果和解题思路，促进全班同学的共同进步。
小组讨论与交流解题思路教师点评与总结教师针对学生在自主练习和小组讨论中的表现进行点评，肯定学生的优点和进步，指出需要改进的地方。
教师总结本节课的重点和难点，强调诱导公式在三角函数求解中的重要性和应用广泛性。
教师引导学生对本节课所学内容进行回顾和反思，帮助学生加深对知识点的理解和记忆。
课程总结与拓展延伸本节课重点内容回顾三角函数的定义及基本性质三角函数的诱导公式推导与记忆方法诱导公式在三角函数计算中的应用举例三角函数在其他领域的应用举例物理学中的应用振动、波动等物理现象中，三角函数可描述周期性变化。
《三角函数的诱导公式》ppt课件
sin y cos x y tan x
sin( ) y cos( ) x y tan( ) x
y
α的终边
P1 (x, y)
公式三：
α
O
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
数的过程.
(3)熟练掌握三角函数的诱导公式.
作业：
P29 习题1.3 A组 2、3、4
思考：已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证（ ： 1 ） cos(2 A B C ) cos A （2） tan( A B) tan(3 C )
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式一：
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
公式三：
公式二：
cos cos tan tan
三角函数的诱导公式
1.利用单位圆表示任意角α的三角函数值 y α的终边 由定义有： ． P(x,y) sin y ． (1,0) x o cos x y tan x 2.诱导公式一 sin(α+k·360°) = sinα
cos(α+k·360°) = cosα
tan(α+k·360°) = tanα 其中 k∈Z
x A(1,0)
P3 (x,-y)
－的终边
sin( ) y cos( ) x y tan( ) x
sin y cos x y tan x
－的终边
P4 (-x, y)
y α的终边
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由上面两组公式的推导方法， 你能同理推导出 角 与 的三角函数值之间的关系吗？
公式四
sin( ) sin
cos( ) cos tan( ) tan
公式四
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
1 sin150 sin(180 30 ) sin 30 2
cos120 cos(180 60 ) cos60
3 tan 4
1 2
tan(
4
) tan
4
1
钝角→锐角
记忆方法：利用图形
1 2
1 2
1 2
1 sin 210= 2
7 tan 3 6
记忆方法：利用图形
探究2
我们再来研究角 与 的三角 函数值之间的关系
公式三
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( 30 )
等于 的同名三角函数值前面加上把 看作 锐角时原函数值的符号。
2k (k z )、、 的三角函数值，
简记为“函数名不变，符号看象限”
记忆方法
四.例题分析
例1.求下列三角函数值
(1) cos225 cos(180 45) cos 45 16 16 sin( 5 ) (2) sin sin ( sin ) 3 3 3 3
1 2
1 2
3 2 3 3
3 2 3 3
3 2 3 3
3 2
3 2
3 3
3 3
公式一： 大化小
公式二： 大化小
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos (k Z ) tan( 2k ) tan
公式三：负化正
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式四： 钝角化锐角
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式一、二、三、四、都叫做诱导公式．
三.发现规律：
41 41 (3) sin( ) sin( ) 3 3
2 2
3 2
5 5 sin(12 ) sin 3 3
(4) cos(2040 ) cos 2040 cos(5 360 240)
3 sin(2 ) 3 2
诱导公式一：终边相同 的角的同名三角函数的 值相等.
cos sin cos( 2k ) _____, sin( 2k ) _____,
tan（ tan( 2k ) _____ . k z）
思考：它的作用是什么？
利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化 0 为 00 到360 内的角的三角函数值. （大化小） （ 0到2）
cos 180 sin 360 例2 化简： ． sin 180 cos 180
例题讲解
cos190 sin ( 210 ) 变式1 化简： cos(-350 ) tan585
.
课堂小结
1.诱导公式口诀： 函数名不变，符号看象限 2、化任意角的三角函数为锐角三角函数的一般思路为：
cos( ) 4 tan(
6
)
负角→正角
记忆方法：利用图形
探究3
sin( ) sin cos( ) cos t an( ) t an
sin( ) sin cos( ) cos t an( ) t an
任意负角的 三角函数
锐角的三 角函数 用公式 三或一
任意正角的 三角函数
二、导入新课
3 3 0 0 第一组： sin 300 ____, cos 30 _____, tan 3 0 _____ 2 3 . 2 1 3 3 . 第二组： sin ____, cos _____, 2 2 tan _____
互动：（抢答） 1
1 1 11 7 3 第三组： sin 750 _____,cos( ) _____,t a n( ) _____. 2 2 3 3
3Leabharlann 332 第四组： sin 210 _____,cos ？ 3 _____,t ？ ？an(- 3 ) _____.
180°+30°
30°
探究1
形如 的三角函数值与 的三角函数值 之间的关系 公式二
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
cos 240 cos(180 60)
cos 60
1 2
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数一般可按下面步骤进行
任意负角 的三角函数
用公式一
或公式三
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角的 三角函数
用公式二
或公式四
0到2π 角的三角函数
负化正，大化小，化到锐角为终了
三角函数的诱导公式
一.复习回顾
任意角三角函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么： y （1）正弦sinα＝ y
（2）余弦cosα＝
（3）正切tanα＝
思考：已知角α，则它的终边与单 位圆的交点坐标可以怎样表示？
x y x
P(x,y)
O
1 x
P(cos ,sin )