第4节 点电荷的电场 匀强电场

第4节点电荷的电场匀强电场核心素养物理观念科学思维1.推导点电荷的电场强度公式。

2.知道电场强度的叠加原理，并能应用这一原理进行简单的计算。

3.知道匀强电场及其电场线的特点。

通过场强叠加原理，更加熟悉矢量的合成法则——平行四边形定则。

知识点一点电荷的电场1.计算公式：E＝k Qr2(Q为场源电荷的电荷量)。

2.方向：当Q为正电荷时，E的方向沿Q与该点的连线向外，背离Q，当Q为负电荷时，E的方向沿Q与该点的连线向内，指向Q。

[思考判断](1)A、B两个异号电荷，A受到B的吸引力是因为A电荷处于B产生的电场中。

(√)(2)以点电荷为球心的球面上各点电场强度处处相同。

(×)(3)公式E＝Fq与E＝kQr2中q与Q含义不同。

(√)知识点二场强叠加原理1.如果有多个电荷同时存在，电场中任一点的电场强度等于这些点电荷各自在该点产生电场强度的矢量和，这个结论称为场强叠加原理。

2.若已知电荷分布，就可以求出电场中某点电场强度矢量叠加后的总强度。

[思考判断](1)电场强度是矢量，电场强度的叠加遵循平行四边形定则。

(√)(2)如果几个电场强度在同一直线上，其合场强为它们的大小之和。

(×)知识点三匀强电场1.定义：电场强度的大小和方向处处相同的电场。

2.电场线是间距相等的平行直线。

[思考判断](1)如果某空间中的电场线是直线，那么在同一条电场线上各处的场强相同。

(×) (2)匀强电场的电场线可以是曲线。

(×)在计算式E ＝kQr 2中，r →0时，电荷量为Q 的物体就不能看成是点电荷了，电场强度E 不可以认为无穷大。

研究均匀带电球体(或球壳)在球外产生的电场时，可以认为全部电荷集中在球心。

等量异种点电荷 等量同种正点电荷匀强电场的表示核心要点点电荷的电场 匀强电场[要点归纳] 1.点电荷的电场(1)E ＝k Q r 2是真空中点电荷场强的决定式，E ∝Q ，E ∝1r 2。

Q 为产生电场的场源电荷所带电荷量，r 为电场中某点与场源电荷间的距离。

(2)如果以Q 为中心、r 为半径作一球面，则球面上各点的电场强度大小相等。

当Q 为正电荷时，场强E 的方向沿半径向外，如图甲所示；当Q 为负电荷时，场强E 的方向沿半径向内，如图乙所示。

(3)此式只适用于真空中的点电荷。

2.公式E ＝F q 与E ＝kQr 2的对比理解公式 比较内容E ＝F q E ＝kQ r 2本质区别 定义式点电荷场强大小的决定式 意义 给出了一种测量电场强度的方法 指明了点电荷场强大小的决定因素适用范围 一切电场真空中点电荷激发的电场 Q 或q 意义q 表示引入电场的试探电荷的电荷量Q 表示产生电场的场源电荷的电荷量E与其他量的关系E用F与q的比值来表示，但E的大小与F、q的大小无关E不仅用Q、r来表示，且E∝Q，E∝1r23.匀强电场(1)产生：无限大的带有等量异种电荷的平行金属板间的电场为匀强电场。

(2)带电粒子在匀强电场中受到恒定电场力的作用。

[试题案例][例1] (多选)图甲中AB是一个点电荷形成电场的一条电场线，图乙则是电场线上P、Q处的试探电荷所受电场力的大小与其电荷量间的函数关系图像，下列说法可能的是()A.场源电荷在P点左侧B.场源电荷在P、Q之间C.场源电荷在Q点右侧D.因不知场源电荷的电性，所以无法确定场强方向解析由F＝Eq和图乙可知E P＞E Q，故场源电荷离P点较近，因为图甲中AB是一个点电荷形成电场的一条电场线，如果场源电荷在P、Q之间，那AB就是两条电场线了，所以场源电荷在P点左侧，A正确，B、C错误；如果场源电荷为正点电荷，则场强方向由P指向Q；如果场源电荷为负点电荷，则场强方向由Q指向P。

由于不知道点电荷的电性，故无法确定场强方向，D正确。

答案AD[例2]如图所示，绝缘光滑斜面(足够长)倾角为37°，一带正电的小物块质量为m，电荷量为q，置于斜面上，当沿水平方向加如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变化为原来的12(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)，求：(1)原来的电场强度的大小；(2)小物块运动的加速度；(3)沿斜面下滑距离为l＝0.5 m时物块的速度大小。

解析(1)对小物块受力分析如图所示，小物块静止于斜面上，则mgsin 37°＝qEcos 37°，E ＝mgtan 37°q ＝3mg4q。

(2)当场强变为原来的12时，小物块受到的合外力F 合＝mgsin 37°－12qEcos 37°＝12mgsin 37°＝0.3mg ，又F 合＝ma ，所以a ＝3 m/s2，方向沿斜面向下。

(3)由动能定理得F 合·l ＝12mv2－0即0.3mg·l ＝12mv2，解得v ＝ 3 m/s 。

答案 (1)3mg4q(2)3 m/s2，方向沿斜面向下 (3) 3 m/s[针对训练1] 真空中O 点放一个点电荷 Q ＝＋1.0×10－9 C ，直线MN 通过O 点，OM 的距离r ＝30 cm ，M 点放一个点电荷q ＝－1.0×10－10 C ，如图所示。

静电力常量k ＝9.0×109 N·m 2/C 2。

求：(1)q 在M 点受到的作用力； (2)M 点的场强；(3)拿走q 后M 点的场强； (4)M 、N 两点的场强哪点大解析 (1)根据库仑定律得FM ＝k Qq r2＝9.0×109×1.0×10－9×1.0×10－100.32N＝1.0×10－8 N 。

因为Q 为正点电荷，q 为负点电荷，库仑力是吸引力，所以力的方向沿MO 指向Q 。

(2)M 点的场强EM ＝FM q ＝1.0×10－81.0×10－10N/C ＝100 N/C ，其方向沿OM 连线背离Q ，因为它的方向跟正电荷受静电力的方向相同。

(3)场强是反映电场的力的性质的物理量，它是由形成电场的电荷Q 及电场中位置决定的，与试探电荷q 是否存在无关。

故M 点的场强仍为100 N/C ，方向沿OM 连线背离Q 。

(4)由E ∝1r2知M 点场强大。

答案 见解析[针对训练2] 如图所示，光滑绝缘细杆与水平面成θ角固定，杆上套有一带正电小球，质量为m ，带电荷量为q ，为使小球静止在杆上，可加一匀强电场，所加电场的场强满足什么条件时，小球可在杆上保持静止( )A.垂直于杆斜向上，场强大小为mg cos θqB.竖直向上，场强大小为mgq C.垂直于杆斜向上，场强大小为mg sin θqD.水平向右，场强大小为mgq tan θ解析 若所加电场的场强垂直于杆斜向上，对小球受力分析可知，其受到竖直向下的重力、垂直于杆斜向上的电场力和垂直于杆方向的弹力，在这三个力的作用下，小球沿杆方向上不可能平衡，选项A 、C 错误；若所加电场的场强竖直向上，对小球受力分析可知，当E ＝mgq时，电场力与重力等大反向，小球可在杆上保持静止，选项B 正确；若所加电场的场强水平向右，对小球受力分析可知，其共受到三个力的作用，假设小球此时能够静止，则根据平衡条件可得Eq ＝mgtan θ，所以E ＝mgtan θq，选项D 错误。

答案 B核心要点场强叠加原理[要点归纳](1)由于场强是矢量，故欲求出各个电荷在某点产生的场强的矢量和需用平行四边形定则。

(2)各个电荷产生的电场是独立的、互不影响的。

(3)对于计算不能视为点电荷的带电体的电场强度，可以把带电体分成很多小块，每块可以看成点电荷，用点电荷的电场叠加的方法计算。

[试题案例][例3] 如图所示，真空中带电荷量分别为＋Q 和－Q 的点电荷A 、B 相距r ，求：(1)两点电荷连线的中点O 处的场强的大小和方向；(2)在两点电荷连线的中垂线上，距A 、B 都为r 的O ′点处的场强大小和方向。

解析 (1)如图甲所示，A 、B 两点电荷在O 点处产生的场强方向相同，均由A →B 。

A 、B 两点电荷在O 点处产生的电场强度大小甲E A ＝E B ＝kQ ⎝⎛⎭⎫r22＝4kQr 2。

O 点处的场强大小为E O ＝E A ＋E B ＝8kQr2，方向由A →B 。

(2)如图乙所示，E A ′＝E B ′＝kQ r 2，由场强叠加原理可知，O ′点处的场强E O ′＝E A ′＝E B ′＝kQr2，方向由A →B 。

乙答案 (1)8kQr2，方向由A →B(2)kQr2，方向由A →B方法总结 1.“叠加电场”一经形成，电场中某点的场强也就唯一确定了。

2.场强叠加常用的方法有合成法、图解法、正交分解法等；对于同一直线上电场强度的合成，可先规定正方向，进而把矢量运算转化成代数运算。

[针对训练3] 图中边长为a 的正三角形ABC 的三个顶点A 、B 、C 处分别固定三个点电荷，电荷量分别为＋q 、＋q 、－q ，求该三角形中心O 点处电场强度的大小和方向。

解析 法一 如图所示，每个点电荷在O 点处产生的电场强度大小都是E ＝kq⎝⎛⎭⎫3a 32＝3kqa2，由图可知，O 点处的电场强度大小为E0＝6kqa2，方向由O 指向C 。

法二 将C 处点电荷视为电荷量分别为＋q 、－2q 的两点电荷的复合体，则A 、B 、C 三处的电荷量为＋q 的点电荷在O 点产生的总场强为0，O 点处场强等于C 处的电荷量为－2q 的点电荷在此处产生的场强，故O 点处的场强大小为EO ＝k×2q ⎝⎛⎭⎫3a32＝6kqa2，方向由O 指向C 。

答案6kqa2方向由O 指向C1.(点电荷电场强度的求解)在点电荷Q 产生的电场中有a 、b 两点，相距为d ，已知a 点的场强大小为E ，方向与ab 连线成30°角，b 点的场强方向与ab 连线成120°角，如图所示，则点电荷Q 的电性和b 点的场强大小为( )A.正电、E 3B.负电、E3 C.正电、3ED.负电、3E解析 将表示场强E 、E b 的有向线段延长，交点即为点电荷Q 所在位置，如图所示，由于电场强度方向指向点电荷Q ，则知该点电荷带负电。

根据几何知识解得，a 点到Q 点的距离r a ＝2d cos 30°＝3d ，b 点到Q 点的距离r b ＝d ，a 、b 两点到点电荷Q 的距离之比r a ∶ r b ＝3∶1。

由公式E ＝k Qr 2，得a 、b 两点场强大小的比值E ∶E b ＝1∶3，即E b ＝3E ，故A 、B 、C 错误，D 正确。

答案 D2.(场强的叠加的应用)两个固定的异号电荷q 1和q 2，电荷量给定且大小不等。