高一数学集合与常用逻辑用语

1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.
2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，
求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.解题时注意区分两大关系：
一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.
3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图.这是数形结合思想的又一体现.
4.充分、必要条件与集合的关系，p ，q 成立的对象构成的集合分别为A 和B .
(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.
(2)若A ⊂≠
B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.(3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件
.
高一数学单元知识梳理：集合与常用逻辑用语
5.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.
6.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”.
一、数学抽象
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系．在本章中，主要表现在集合概念的理解及应用中.
【典例1】(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
(2)若－3∈{x －2，2x 2＋5x ，12}，则x ＝________．
【答案】(1)C (2)－2
3 【解析】(1)①当x ＝0时，y ＝0，1，2，此时x －y 的值分别为0，－1，－2；
②当x ＝1时，y ＝0，1，2，此时x －y 的值分别为1，0，－1；
③当x ＝2时，y ＝0，1，2，此时x －y 的值分别为2，1，0.
综上可知，x －y 的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个，故选C.
(2)由题意知，x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3.
①当x －2＝－3时，x ＝－1.
把x ＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3，12，不满足集合中元素的互异性；
②当2x 2＋5x ＝－3时，x ＝－2
3或x ＝－1(舍去)， 当x ＝－23时，集合的三个元素为－27，－3，12，满足集合中元素的互异性，由①②知x ＝－23.
二、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算中.
【典例2】(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()
A．{1，－3} B．{1，0}
C．{1，3} D．{1，5}
(2)若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝()
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
【答案】(1)C(2)A
【解析】(1)由A∩B＝{1}得1∈B，
所以m＝3，B＝{1，3}．
(2)A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．
(3)已知集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．
①求A∪B，(∁R A)∩B；
②若A∩C≠∅，求a的取值范围．
【解析】①因为A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，
所以A∪B＝{x|2≤x＜10}．
因为A＝{x|2≤x＜7}，
所以∁R A＝{x|x＜2或x≥7}，
则(∁R A)∩B＝{x|7≤x＜10}．
②因为A＝{x|2≤x＜7}，C＝{x|x＜a}，且A∩C≠∅，所以a＞2，
所以a的取值范围是{a|a＞2}．
三、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．本章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命题中.
【典例3】(1)集合A＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋3，b∈R}，则下列关系正确的是()
A．A＝B B．B A
C．A⊆B D．B A
(2)已知集合A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()
A．{a|0＜a＜4} B．{a|－8＜a＜4}
C．{a|a≥4} D．{a|a＞4}
【答案】(1)B(2)C
【解析】(1)A＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}，即A中的元素x≥1；而B＝{y|y＝(2b＋1)2＋2，b∈R}，即B中的元素y≥2，∴B A.
(2)在数轴上标出A，B两集合如图所示，
结合数轴知，若A⊆B，则a≥4.
【典例4】设x∈R，则“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由－1≤x－1≤1，得0≤x≤2，因为0≤x≤2⇒x≤2，x≤20≤x≤2，故“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的必要不充分条件，故选B.
【典例5】若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③a (a 2＋b 2)＝0；④ab ＞0中选出满足下列条件的式子，用序号填空：
(1)使a ，b 都为0的必要条件是________；
(2)使a ，b 都不为0的充分条件是________；
(3)使a ，b 至少有一个为0的充要条件是________．
【答案】(1)①②③ (2)④ (3)①8
【解析】①ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0，即a ，b 至少有一个为0；
②a ＋b ＝0⇔a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正数一负数；
③a (a 2＋b 2)＝0⇔a ＝0，b 为任意实数；
④ab ＞0⇔⎩⎨⎧>>00b a 或⎩
⎨⎧<<00b a 即a ，b 同为正数或同为负数． 综上可知：(1)使a ，b 都为0的必要条件是①②③；
(2)使a ，b 都不为0的充分条件是④；
(3)使a ，b 至少有一个为0的充要条件是①.
【典例6】已知集合A ＝{x ∈R |2x ＋m ＜0}，B ＝{x ∈R |x ＜－1或x ＞3}．
(1)是否存在实数m ，使得x ∈A 是x ∈B 成立的充分条件？
(2)是否存在实数m ，使得x ∈A 是x ∈B 成立的必要条件？
【解析】(1)欲使x ∈A 是x ∈B 成立的充分条件， 则只要}2{m x x -<⊆{x |x ＜－1或x ＞3}，则只要－2
m ≤－1即m ≥2， 故存在实数m ≥2时使x ∈A 是x ∈B 成立的充分条件．
(2)欲使x ∈A 是x ∈B 成立的必要条件， 则只要}2
{m x x -
<⊇{x |x ＜－1或x ＞3}，则这是不可能的，故不存在实数m ，使x ∈A 是x ∈B 成立
的必要条件.
【典例7】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定：
(1)空集是任何一个非空集合的真子集．
(2)∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.
(3)∃x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|＜2.
(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
【解析】(1)该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集．
(2)该命题是全称量词命题，是假命题．
因为4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
所以当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2.
该命题的否定：∃x∈R，4x2≤2x－1＋3x2.
(3)该命题是存在量词命题，是真命题．
因为当x＝1时，|x－2|＝1＜2.
该命题的否定：∀x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|≥2.
(4)该命题是全称量词命题，是假命题．当a≠0时，方程ax＋b＝0才恰有一解．该命题的否定：∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解或至少有两解．
四、数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在集合的实际应用问题中.
【典例8】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
【答案】8
【解析】设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，
解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．。