数学：第七章二元一次方程组复习课件(北师大版八年级上)
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北师大版八年级数学上册《二元一次方程组——应用二元一次方程组—增收节支》教学PPT课件(3篇)
答:今年的总收入为2400万元，总支出为1620万元.
比较可知:间接设未知数（设去年的总收入为x万元，总支
出为y万元），计算会更简便些.
探究活动
例2:医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原
料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和
0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每
855元(没有利息税),问两种储蓄他各存了多少钱?
解：设年利率为11%的存x元,年利率10%存 y元.
x + y=8000，
则
11%x+10%y=855.
解得
x =5500,
y=2500.
5.甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行,如甲比乙
先走2小时,那么他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比
甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两
5x ＋2y= 200
x=28
解得
y=30
答:每餐需甲原料28克，乙原料30克.
学法小结:
1.图表分析有利于理清题中的未知量，已知量以及等量关系，条理清楚.
2.借助方程组解决实际问题.
思路总结
解决问题
小明想开一家时尚G点专卖店，开店前他到其他专卖店调查价格．他看中了
一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50%的
元.今年的总收入、总支出各是多少万元?
分析:设今年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有
根据上表,可列方程组:
1+20%
1−10%
−
x -y=780
= 200
变式训练
解:设今年的总收入为x万元，总支出为y万元，由题意，得
北师大版数学八年级上册认识二元一次方程组课件(共27张)
方法 由方程是二元一次方程可知： (1)未知数的系数不为0； (2)未知数的次数都是1.
练一练
若x2m-1+5y3n-2m =7是二元一次方程，则m=_1___，
n=__1__.
2m-1=1
3n-2m=1
想一想
方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34中，x的含义相 同吗？y呢？
x,y所代表的对象分别相同,因而x,y必须同 时满足方程x＋y＝8和5x＋3y＝34 ,把它们联立 起来,得:
第五章
八年级数学上（BS） 教学课件
二元一次方程组
5.1 认识二元一次方程组
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解二元一次方程（组）及其解的定义．（重点） 2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个 二元一次方程组的解．（难点）
新知导入
一元一次方程的特点是什么？
1、只有一个未知数 2、未知数的指数是一次 3、方程的两边都是整式
老牛的包裹数比小马的多2个; x－y＝2
老牛从小马的背上拿来1个包裹,就是小马的2倍. x＋1＝2(y－1)
视频：问题2.mp4
昨天，我们8个人 去红山公园玩,买 门票花了34元
每张成人票 5 元， 每张儿童票 3 元，
问题2：他们到底去了几个成人， 几个儿童呢? 设他们中有x个成人,y个儿童. 你能得到怎样的方程?
x＋y＝8 5x＋3y＝34
知识要点
x＋y＝8
5x＋3y＝34
叫作方程组
1.定义：共含有 未知数的两个一次方程所组成的一组方程 ，叫二元一次方程组． 2.二元一次方程组的条件： (1)共含有两个未知数． (2)每个方程都是一次方程．
注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.
练一练
若x2m-1+5y3n-2m =7是二元一次方程，则m=_1___，
n=__1__.
2m-1=1
3n-2m=1
想一想
方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34中，x的含义相 同吗？y呢？
x,y所代表的对象分别相同,因而x,y必须同 时满足方程x＋y＝8和5x＋3y＝34 ,把它们联立 起来,得:
第五章
八年级数学上（BS） 教学课件
二元一次方程组
5.1 认识二元一次方程组
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解二元一次方程（组）及其解的定义．（重点） 2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个 二元一次方程组的解．（难点）
新知导入
一元一次方程的特点是什么？
1、只有一个未知数 2、未知数的指数是一次 3、方程的两边都是整式
老牛的包裹数比小马的多2个; x－y＝2
老牛从小马的背上拿来1个包裹,就是小马的2倍. x＋1＝2(y－1)
视频：问题2.mp4
昨天，我们8个人 去红山公园玩,买 门票花了34元
每张成人票 5 元， 每张儿童票 3 元，
问题2：他们到底去了几个成人， 几个儿童呢? 设他们中有x个成人,y个儿童. 你能得到怎样的方程?
x＋y＝8 5x＋3y＝34
知识要点
x＋y＝8
5x＋3y＝34
叫作方程组
1.定义：共含有 未知数的两个一次方程所组成的一组方程 ，叫二元一次方程组． 2.二元一次方程组的条件： (1)共含有两个未知数． (2)每个方程都是一次方程．
注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.
北师大版八年级上册数学《求解二元一次方程组》二元一次方程组教学说课复习课件
①
观察系数
2x+5y=9
解：由①×5得
② 15x-20 =10 ③
由②×4得 8x+20 =36
③+④得 23x=46
统一系数
④
加法消元
解得 x=2
把 x=2代入①得 6-4y=2
解得
=1
∴原方程组的解是
x=2
{ y=1
回代求解
写解
最小公倍数
归纳总结
观察系数
未知数的系数相等或互为相反数
加减消元法
观察系数
4x+6x+15=65
x=2+3y
②
解：将②代入①,得2(2+3y)+5y=15
4+6y+5y=15
11y=11
10x=50
x=5
将x=5代入①,得y=15
x=5
所以方程组的解为
y=15
y=1
将y=1代入②,得x=5
x=5
所以方程组的解为
y=1
趁热打铁【1】 用代入消元法解方程组：
（3）解方程组
2x+3y=16 ①
转化 解：由①,得 x = y + 3 .③
代入 把③代入②,得 3(y+3)－8y=14.
思考：把③
代入①可以吗？
求解 解这个方程,得 y=－1.
回代 把y=－1代入③,得 x=2.
x = 2，
写解 所以这个方程组的解是 y =－1.
注意：检验方程组的解
做一做
若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的二元一次方程，求m 、
第五章 二元一次方程组
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数(课件)北师大版数学八年级上册
知1－练
解题秘方：设出数位上的数字，利用数位上的数
字表示出数，根据题目中的等量关系
列出方程组.
解决数字问题一定要明确多位数 的书写形式，灵活设未知数.正确用代 数式表示多位数是解题的关键 .
感悟新知
知1－练
解：设原百位数字为x，原三位数去掉百位数字后的两位
数为y，由题意，得ቊ190xy＝＋yx－＝31，00x＋y－45，解得ቊxy＝＝349，. 则4×100＋39＝439. 答：原三位数为439.
解得ቊxy==115200，.
答： 平路和坡路分别有 150 km 和 120 km.
知3－练
3-1.从 A 地 到 B 地，先下坡然后走平路，某人骑自行车 以 12 km/h的速度下坡，然后以9 km/h 的速 度通 过 平路，到 达 B 地共用 55min. 回来时以 8 km/h的 速 度通 过平路，以 4km/h 的速度上坡，回到A 地 共 用 1.5 h，从 A地到 B 地有多少千米？
感悟新知
特别提醒 年龄问题解题口诀：
岁差不会变，同时相加减. 岁数若改变，倍数也改变.
知2－讲
感悟新知
知2－练
例2 父亲给儿子出了一道题，要儿子猜出答案：有一对母
女，5 年前母亲的年龄是女儿年龄的15 倍，15 年后，
母亲的年龄比女儿年龄的2 倍还多6 岁. 那么现在这对
母女的年龄分别是多少？
感悟新知
知3－练
解：设从 A 地到 B 地坡路为 x km，平路为 y km， 根据题意，得18yx2＋＋x49＝y＝156.550，，解得xy＝＝63.， 所以 x＋y＝9，答：从 A 地到 B 地有 9 km.
课堂小结
应用二元一次方程组 ——里程碑上的数
北师大版八年级上册数学《应用二元一次方程组―鸡兔同笼》二元一次方程组说课教学复习课件
即S1=S2+S3（S1是以斜边为基础向外作的图形的面积，S2和S3分
别是以直角边基础向外所作图形的面积.
探究新知
2.求非直角三角形的面积
例3 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积．
解：作AD⊥BC于D，
在等腰△ABC中，因为AB=AC=13，BC=10，
所以BD=CD=5，
三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1=6，S2=8，则
S3= 14 ．
连接中考
1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ A ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，
那么正方形ABCD的面积为 3 ．
课堂检测
基 础 巩 固 题
边长是___________．
（ ）2018
课堂小结
勾
股
定
理
的
解:设有x人,该物品价值为y元,
由题意,得
8x-3=y
7x+4=y
x =7,
解此方程组得：
y=53.
5.100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片
瓦，3匹小马能拉一片瓦，问有多少匹大马、多少
匹小马？
解:设有x匹大马, y匹小马,
由题意,得
x+y=100
1
3x+ 3 y=100
解此方程组得：
解：因为∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
所以AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.
根据三角形面积公式，
AC×BC= AB×CD.
所以CD=
别是以直角边基础向外所作图形的面积.
探究新知
2.求非直角三角形的面积
例3 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积．
解：作AD⊥BC于D，
在等腰△ABC中，因为AB=AC=13，BC=10，
所以BD=CD=5，
三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1=6，S2=8，则
S3= 14 ．
连接中考
1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ A ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，
那么正方形ABCD的面积为 3 ．
课堂检测
基 础 巩 固 题
边长是___________．
（ ）2018
课堂小结
勾
股
定
理
的
解:设有x人,该物品价值为y元,
由题意,得
8x-3=y
7x+4=y
x =7,
解此方程组得：
y=53.
5.100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片
瓦，3匹小马能拉一片瓦，问有多少匹大马、多少
匹小马？
解:设有x匹大马, y匹小马,
由题意,得
x+y=100
1
3x+ 3 y=100
解此方程组得：
解：因为∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
所以AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.
根据三角形面积公式，
AC×BC= AB×CD.
所以CD=
北师大版数学八年级上册求解二元一次方程组课件(第1课时27张)
5x+3y=34
将x=5代入
视察:二元一次方程组和一元
8-x=8-5=3.
一次方程有何联系？这对你
答：去了5个成人，3个儿童. 解二元一次方程组有何启示？
探究新知 用二元一次方程组求解
x+y=8①
5x+3y=34② 由①得：y = 8－x. ③
将③代入②得：5x+3(8－x)=34.
解得：x = 5.
①
x + (xy+10) = 200 ②
转化
x +( x +10) = 200
x = 95
y = 105
将未知数的个数由多程组 y = x + 10 的解是 x + y = 200
x = 95， y =105.
求方程组解的过程叫做解方程组.
探究新知
解二元一次方程组的基本思路“消元”
5.2 求解二元一次方程组 （第1课时）
导入新知
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，
负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场
数分别是多少？ (1)如果设胜的场数是x ，则负的场数是10-x,
可得一元一次方程 2x 10 x 16 ；
(2)如果设胜的场数是x ,负的场数是y,
连接中考
（202X•广州）解方程组： xx
y 1 3y 9
解：
x x
y 1 3y 9
①， ②
由①得，x＝y+1 ③ ，
把③代入②得，y+1+3y＝9，解得y＝2，
把y=2代入x=y+1得x=3.
故原方程组的解为
x 3
y
2
将x=5代入
视察:二元一次方程组和一元
8-x=8-5=3.
一次方程有何联系？这对你
答：去了5个成人，3个儿童. 解二元一次方程组有何启示？
探究新知 用二元一次方程组求解
x+y=8①
5x+3y=34② 由①得：y = 8－x. ③
将③代入②得：5x+3(8－x)=34.
解得：x = 5.
①
x + (xy+10) = 200 ②
转化
x +( x +10) = 200
x = 95
y = 105
将未知数的个数由多程组 y = x + 10 的解是 x + y = 200
x = 95， y =105.
求方程组解的过程叫做解方程组.
探究新知
解二元一次方程组的基本思路“消元”
5.2 求解二元一次方程组 （第1课时）
导入新知
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，
负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场
数分别是多少？ (1)如果设胜的场数是x ，则负的场数是10-x,
可得一元一次方程 2x 10 x 16 ；
(2)如果设胜的场数是x ,负的场数是y,
连接中考
（202X•广州）解方程组： xx
y 1 3y 9
解：
x x
y 1 3y 9
①， ②
由①得，x＝y+1 ③ ，
把③代入②得，y+1+3y＝9，解得y＝2，
把y=2代入x=y+1得x=3.
故原方程组的解为
x 3
y
2
北师大版数学八年级上册全册复习ppt课件
北师大版八年级上册 期末总复习典型题
CONTEN
目T录
第一章 勾股定理 第二章 实数
第三章 位置与坐标 第四章 一次函数
第五章 二元一次方程组
第六章 数据分析 第七章 平行线的证明
第一章 勾股定理
知识归纳
1．勾股定理
定义：如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么a2＋b2＝c2
各种表达形式：在 RБайду номын сангаас△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分
找出格点C，使△ABC是面积为1个平方单位的直角三角形，这样
的点有____6____个．
图1－8 图1－9
[解析] 如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、 A2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角 时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条件的点共有6个．
3.已知三角形的三边为 a＝34，b＝54，c＝1，这个三角形是 直角三角形吗？
6.B、C 是河岸边两点，A 为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°， ∠ACB＝45°，BC＝50 m，则河宽 AD 为( )
B
A．25 2 m B．25 m
50 C. 3 3 m
D．25 3 m
图 1－10
7．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，
以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是__8_81_π____．
图1－19
15.一个棱长为6的木箱(如图1－20)，一只苍蝇位于左面的壁 上，且到该面上两侧棱距离相等的A处．一只蜘蛛位于右面壁上 ，且到该面与上、下底面两交线的距离相等的B处．已知A到下 底面的距离AA′＝4，B到一个侧面的距离BB′＝4，则蜘蛛沿这 个立方体木箱的内壁爬向苍蝇的最短路程为多少？
CONTEN
目T录
第一章 勾股定理 第二章 实数
第三章 位置与坐标 第四章 一次函数
第五章 二元一次方程组
第六章 数据分析 第七章 平行线的证明
第一章 勾股定理
知识归纳
1．勾股定理
定义：如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么a2＋b2＝c2
各种表达形式：在 RБайду номын сангаас△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分
找出格点C，使△ABC是面积为1个平方单位的直角三角形，这样
的点有____6____个．
图1－8 图1－9
[解析] 如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、 A2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角 时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条件的点共有6个．
3.已知三角形的三边为 a＝34，b＝54，c＝1，这个三角形是 直角三角形吗？
6.B、C 是河岸边两点，A 为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°， ∠ACB＝45°，BC＝50 m，则河宽 AD 为( )
B
A．25 2 m B．25 m
50 C. 3 3 m
D．25 3 m
图 1－10
7．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，
以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是__8_81_π____．
图1－19
15.一个棱长为6的木箱(如图1－20)，一只苍蝇位于左面的壁 上，且到该面上两侧棱距离相等的A处．一只蜘蛛位于右面壁上 ，且到该面与上、下底面两交线的距离相等的B处．已知A到下 底面的距离AA′＝4，B到一个侧面的距离BB′＝4，则蜘蛛沿这 个立方体木箱的内壁爬向苍蝇的最短路程为多少？
北师大版八年级上册数学《认识二元一次方程组》二元一次方程组研讨说课复习课件
不同:
相同:
含未知数个数不同
都是一次方程
观察思考
x－y＝2
x＋1＝2(y－1)
x＋y＝8
5x＋3y＝34
只含有1个未知数（元），未知数的次数为1；
x + y = 45.
x + 15 = 60
含有2个未知数（元），未知数的次数为1.
一元一次方程
都是含未知数的等式方程
二元一次方程
观察比较
(是)
(是)
(不是)
(不是)
(是)
(不是)
通过上面问题，你认为二元一次方程组有哪些特征？
二元一次方程组的特点：①方程组中共有2个不同未知数；②方程组有2个一次方程；③一般用大括号把2个方程连起来.
例 在方程组 程组的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
巩固练习
1.下列选项中,是二元一次方程的是 ( ) A. 7x+3y=2 B.C. D.
A
2.下列方程组中,属于二元一次方程组的是 ( )A. B.C. D.
2m-1=1
1
3n-2m=1
1
2.如果 是二元一次方程，那么k的值是 ( ) A. 2 B. 3 C. 1 D. 0
B
x + y = 16
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好名次,想在全部16场比赛中得到28分,那么这个队胜负场数分别是多少?
用学过的一元一次方程能解决此问题吗？
1. 了解二元一次方程（组）及其解的定义.
2. 会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.
素养目标
3. 能根据简单的实际问题列出二元一次方程组.
二元一次方程的概念
相同:
含未知数个数不同
都是一次方程
观察思考
x－y＝2
x＋1＝2(y－1)
x＋y＝8
5x＋3y＝34
只含有1个未知数（元），未知数的次数为1；
x + y = 45.
x + 15 = 60
含有2个未知数（元），未知数的次数为1.
一元一次方程
都是含未知数的等式方程
二元一次方程
观察比较
(是)
(是)
(不是)
(不是)
(是)
(不是)
通过上面问题，你认为二元一次方程组有哪些特征？
二元一次方程组的特点：①方程组中共有2个不同未知数；②方程组有2个一次方程；③一般用大括号把2个方程连起来.
例 在方程组 程组的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
巩固练习
1.下列选项中,是二元一次方程的是 ( ) A. 7x+3y=2 B.C. D.
A
2.下列方程组中,属于二元一次方程组的是 ( )A. B.C. D.
2m-1=1
1
3n-2m=1
1
2.如果 是二元一次方程，那么k的值是 ( ) A. 2 B. 3 C. 1 D. 0
B
x + y = 16
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好名次,想在全部16场比赛中得到28分,那么这个队胜负场数分别是多少?
用学过的一元一次方程能解决此问题吗？
1. 了解二元一次方程（组）及其解的定义.
2. 会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.
素养目标
3. 能根据简单的实际问题列出二元一次方程组.
二元一次方程的概念
【2024版】2022年数学八上《二元一次方程与-一次函数》课件精品(新北师大版)
二元一次方程组与对应两条相交直线的关系
二元一次方程组与对应两条平行线的关系
北师大版 数学 八年级 上册
5.1 认识二元一次方程组
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好名次,想在全部16场比赛中得到28分,那么这个队胜负场数分别是多少?
用学过的一元一次方程能解决此问题吗？
解：没有,直线y=2－x与y=5 －x平行.
在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如下图，那么关于x，y的方程组 的解是___________．
〔2，2〕
3．如图，两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
解：
3-1
2
-3
x
y
0
如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，那么方程组 的解是多少？
D
中，是二元一次方
二元一次方程组的判断
提示：三个要素：
含有两个未知数
含有未知数的项的次数为1
整式方程
以下方程组中，哪些是二元一次方程组_______________
〔3〕
〔5〕
〔6〕
x
y
探究 公园门票问题中的方程 x+y=8 ，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中.
思考1 如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
不是
例1 判断以下方程是否为二元一次方程：
(7) 4x+ π =0
(8) 2x=1-3y
不是
是
二元一次方程的判断
判断一个方程是否为二元一次方程的方法： 一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.
二元一次方程组与对应两条平行线的关系
北师大版 数学 八年级 上册
5.1 认识二元一次方程组
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好名次,想在全部16场比赛中得到28分,那么这个队胜负场数分别是多少?
用学过的一元一次方程能解决此问题吗？
解：没有,直线y=2－x与y=5 －x平行.
在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如下图，那么关于x，y的方程组 的解是___________．
〔2，2〕
3．如图，两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
解：
3-1
2
-3
x
y
0
如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，那么方程组 的解是多少？
D
中，是二元一次方
二元一次方程组的判断
提示：三个要素：
含有两个未知数
含有未知数的项的次数为1
整式方程
以下方程组中，哪些是二元一次方程组_______________
〔3〕
〔5〕
〔6〕
x
y
探究 公园门票问题中的方程 x+y=8 ，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中.
思考1 如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
不是
例1 判断以下方程是否为二元一次方程：
(7) 4x+ π =0
(8) 2x=1-3y
不是
是
二元一次方程的判断
判断一个方程是否为二元一次方程的方法： 一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.
北师大版八年级数学上册《求解二元一次方程组》第2课时示范公开课教学课件
二元一次方程组
消去一个未知数
归纳
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
上面解方程组的基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
加减法
通过两式相加（减)消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
1.用加减消元法解方程组
2 求解二元一次方程组
第2课时
1.会用加减消元法解二元一次方程组. 2.让学生在自主探索和合作交流中，进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想. 3.通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力. 4.通过比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物的本质这一认识方法.
4.用加减消元法解方程组
5x6y=9， ①
7x4y=5. ②
解：①×2，得10x12y=18. ③ ②×3，得21x12y=15. ④ ④③，得 11x=33， x=3. 将x=3代入① ，得 y=4.所以原方程组的解是
最小公倍数是6.
例2 解方程组
解：①×4，得
将x=3代入① ，得
x=3.
y=2.
①
②
能否使两个方程中x(或y)的系数相等(或相反)呢？
8x+12y=48. ③
②×3，得
9x+12y=51. ④
④③，得
可以使两个方程中y的系数相等，从而消去y吗？
最小公倍数是12.
一元一次方程
解：②①，得6y=18， y=3.将y=3代入② ，得x=2.所以原方程组的解是
3.用加减消元法解方程组
4s+3t=5，①
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2( x y) x y 1 12、解方程组 3 4 6 ( x y ) 4 ( 2 x y ) 16
三、知识应用
2 x y m 1, x 1, 1.已知方程组 的解是 则 n ， . m x y n 4 y 2. 2.已知代数式 x 2 px q ,当 x 1 时，它的值是－5；当 x 2
时，它的值是4,求p，q的值.
3 x 5 y 2 a , 3.方程组 的解互为相反数，求a的值. 2 x 7 y a 18 x 1, x 2 , 4.已知 都是ax by 0 b 0 方程的解，求 y 2; y m ax by 2 ,
第八章二元一次方程组复习
一.基本知识
二元一次方程
二元一次方程的一个解
结构:
实际背景
二元一次方程及二元一次方程组
求解 思想
消 元
应用
二元一次方程组
二元一次方程组的解 解二元一次方程组 列二元一次方程组解应用题
方法
代 入 消 员
加 减 消 元
解 应 用 题 图 象 法
数与 的一 关次 系函
二、有关概念
解 : 设甲种零件生产 根据题意 得 x 天 , 乙种生产 y 天 , 丙种生产 z 天 . x y z 30 120 x : 100 y : 200 z 3 : 2 : 1 x 15 y 12 z 3 15 天 , 12 天 , 3 天 .
5、配套问题
化简
得
x y z 30 x 5z y 4z
解之得
答 : 甲 , 乙 , 丙 3 种零件各应生产
五.二元一次方程与一次函数专题训练:
1．已知函数 y 2 x 1与 y 3 x 2 的图象交于点P， 则点P的坐标为（ ）． (A)（－7，－3） (B)（3，－7） (C)（－3，－7） 1 (D)（－3，7） 2．已知直线 y x b 与 y x 直线相交于
逆速=静速-水(风)速
例1.某人要在规定的时间内由甲地赶往 乙地,如果他以每小时50千米的速度行 驶,就会迟到24分钟,如果他以每小时75 千米的速度行驶,就会提前24分钟 到达 乙地,求甲、乙两地间的距离.
解：设甲、乙两地间的距离为S千米，规定 、 时间为t小时,根据题意得方程组
2 s t 50 5 s t 2 75 5
二元一次方程 消元
转化
一元一次方程
消元的方法有哪些？ 代入消元法、加减消元法
1. 代入消元法
（1）有一个方程是：“用一个未知数的式子表示 另一个未知数”的形式.
y=2x-3
2x+4y=9
① ②
（2）方程组中某一未知数的系数是 1 或 -1.
3x -y= -8
x+4y= 5
①
②
2. 加减消元法
3.总量不变问题
1.入世后，国内各汽车企业展开价格大 战，汽车价格大幅下降，有些型号的汽 车供不应求。某汽车生产厂接受了一份 订单，要在规定的日期内生产一批汽车， 如果每天生产35辆，则差10辆完成任务， 如果每天生产40辆，则可提前半天完成 任务，问订单要多少辆汽车，规定日期 是多少天？
解:设订单要辆x汽车，规定日期是y天,根据 题意得方程组 35 y x 10
2
）． 1 1 (C) , 2 (D) , 3 2 2 1 3．已知：一次函数 y kx b 的图象与 y x 3 正比例函数的图象交于点A，并且与轴交于点B （0，－4），△AOB的面积为6，求一次函数的表达 式．
点，则的值分别为（ (A) 2，3 (B) 3，2
4.在同一直角坐标系内分别作出 一次函数y 5 x 和 y 2 x 1 的图象, 观察图象并回答问题: (1)这两个图象有交点吗?交点 坐标是什么? (2)方程组 的解 2x y 1 是什么?
例2.甲、乙二人以不变的速度在环形路 上跑步,如果同时同地出发,相向而行,每 隔2分钟相遇一次;如果同向而行,每隔6分 钟相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲、乙每 分钟各跑多少圈?
解：设甲、乙二人每分钟各跑x、y圈，根据 题意得方程组 2 ( x y ) 1 解得
1 x 3 y 1 6
40 ( y 0 . 5 ) x
x 220 y 6
解这个方程组，得
答：订单要220辆汽车，规定日期是6天
4.销售问题:
标价×折扣=售价
售价-进价=利润
利润 售价 进价 进价
利润率=
进价
1.已知甲.乙两种商品的标价和为100元,因市 场变化,甲商品打9折,乙商品提价5﹪,调价后, 甲.乙两种商品的售价和比标价和提高了2﹪, 求甲.乙两种商品的标价各是多少? 解：设甲、乙两种商品的标价分别为x、y元， 根据题意，得 x y 100
2x+y =0
3x -1 =0 2y =5
x+y=7 (D) 3y + z= 4
5x - 2 = -2 y
(c)
3y + x = 4
已知方程 3x
m-n -1
- 5y
m+n -7
= 4 是二元
一次方程，则m+n=
已知方程 3x
m-n -1
- 5y
m+n -7
= 4 是二元
一次方程，则m+n=
o
y
y 2x 1
大显身手
2x + 3y = 10 的解与 4x - 5y = -2
的解相同，求a、b的值
ax + by = 2 解：根据题意，只要将方程组 2 x + 3 y = 1 0 的解代入方程组 ax - by = 4 4x - 5y = -2
，就可求出a，b的值 解方程组
2x + 3y = 10 4x - 5y = -2
（1）方程组中同一未知数的系数相等或相反数.
3x -y= -8
x +y= 5
①
②
3x -2y= -8
3x +y= 5
①
②
（2）方程组中同一未知数的系数是变成相同或相 反数. 3x -2y= -8 ①
2x +3y= 5
②
0 .6 x 0 .4 y 1 .1 11、解方程组 0 . 2 x 0 . 45 y 2 . 3
4.二元一次方程组的解:
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做二 元一次方程组的解. 5.方程组的解法 基本思想或思路——消元 常用方法————代入法和加减法
根据方程未知数的系数特征确定 用哪一种解法.
用代入法解二元一次方程组的步骤：
(1).求表达式：从方程组中选一个系数比较简 单的方程，将此方程中的一个未知数，如y，用 含x的代数式表示; (2).把这个含x的代数式代入另一个方程中， 消去y，得到一个关于x的一元一次方程； (3).解一元一次方程，求出x的值;
6( x y ) 1
答:甲、乙二人每分钟各跑 1 、 1 圈，
3
6
2.图表问题
1.某学校现有甲种材料3５㎏,乙种材 料29㎏,制作A.B两种型号的工艺品,用 料情况如下表:
需甲种材料 1件A型工艺品 0.9㎏ 需乙种材料 0.3㎏
1件B型工艺品
0.4㎏
1㎏
(1)利用这些材料能制作A.B两种工艺品各多少件? (2)若每公斤甲.乙种材料分别为8元和10元,问制 作A.B两种型号的工艺品各需材料多少钱?
x 2k 6 解法1：解这个方程组，得 y 4 k
依题意：x＋y=12 所以(2k－6) ＋(4－k)=12
2 x 3 y k 解得：K=14 解法2：根据题意，得 3 x 5 y k 2 x y 12
解这个方程组，得k=14
ax + by = 2 8.关于x、y的二元一次方程组 ax - by = 4
x、y的值相等，则k=
11
.
10、先阅读材料，后解方程组.
材料：解方程组
可由①得x-y=1 ③
x y1 0 4( x y ) y 5
①
②
时，
x 0 y 1
将③代入②得4×1-y=5. 即y=-1.进一步得
这种解方程组的方法称为“整体代入法”.
请用整体代入法解方程组
x = 2 得 y = 2
ax + by = 2 ax - by = 4
x = 2 将 y = 2
代入方程组
2a + 2b = 2 得 2a - 2b = 4
1 2
解得
3 a = 2 b = - 1 2
∴a=
3 2
， b=
4 x 3 y 1 9、二元一次方程组 kx ( k 1 ) y 3的解中，
5 2 9 x (1 ) y 100 (1 ) 100 100 10
x 20 y 80
解这个方程组，得
答：甲种商品的标价是20元，乙种商品的 标价是80元.
例：某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙 种零件100个，或者丙种零件200个，甲，乙，丙3 种零件分别取3个，2个，1个，才能配一套，要在 30天内生产最多的成套产品，问甲，乙，丙3种零 件各应生产多少天？
2x 3y 2 0 2x 3 y 5 2y 9 7
四.列二元一次方程组解 应用题专题训练：
1.行程问题:
1.相遇问题:甲的路程+乙的路程=总的路程 (环形跑道):甲的路程+乙的路程=一圈长 2.追及问题:快者的路程-慢者的路程=原来相距路
三、知识应用
2 x y m 1, x 1, 1.已知方程组 的解是 则 n ， . m x y n 4 y 2. 2.已知代数式 x 2 px q ,当 x 1 时，它的值是－5；当 x 2
时，它的值是4,求p，q的值.
3 x 5 y 2 a , 3.方程组 的解互为相反数，求a的值. 2 x 7 y a 18 x 1, x 2 , 4.已知 都是ax by 0 b 0 方程的解，求 y 2; y m ax by 2 ,
第八章二元一次方程组复习
一.基本知识
二元一次方程
二元一次方程的一个解
结构:
实际背景
二元一次方程及二元一次方程组
求解 思想
消 元
应用
二元一次方程组
二元一次方程组的解 解二元一次方程组 列二元一次方程组解应用题
方法
代 入 消 员
加 减 消 元
解 应 用 题 图 象 法
数与 的一 关次 系函
二、有关概念
解 : 设甲种零件生产 根据题意 得 x 天 , 乙种生产 y 天 , 丙种生产 z 天 . x y z 30 120 x : 100 y : 200 z 3 : 2 : 1 x 15 y 12 z 3 15 天 , 12 天 , 3 天 .
5、配套问题
化简
得
x y z 30 x 5z y 4z
解之得
答 : 甲 , 乙 , 丙 3 种零件各应生产
五.二元一次方程与一次函数专题训练:
1．已知函数 y 2 x 1与 y 3 x 2 的图象交于点P， 则点P的坐标为（ ）． (A)（－7，－3） (B)（3，－7） (C)（－3，－7） 1 (D)（－3，7） 2．已知直线 y x b 与 y x 直线相交于
逆速=静速-水(风)速
例1.某人要在规定的时间内由甲地赶往 乙地,如果他以每小时50千米的速度行 驶,就会迟到24分钟,如果他以每小时75 千米的速度行驶,就会提前24分钟 到达 乙地,求甲、乙两地间的距离.
解：设甲、乙两地间的距离为S千米，规定 、 时间为t小时,根据题意得方程组
2 s t 50 5 s t 2 75 5
二元一次方程 消元
转化
一元一次方程
消元的方法有哪些？ 代入消元法、加减消元法
1. 代入消元法
（1）有一个方程是：“用一个未知数的式子表示 另一个未知数”的形式.
y=2x-3
2x+4y=9
① ②
（2）方程组中某一未知数的系数是 1 或 -1.
3x -y= -8
x+4y= 5
①
②
2. 加减消元法
3.总量不变问题
1.入世后，国内各汽车企业展开价格大 战，汽车价格大幅下降，有些型号的汽 车供不应求。某汽车生产厂接受了一份 订单，要在规定的日期内生产一批汽车， 如果每天生产35辆，则差10辆完成任务， 如果每天生产40辆，则可提前半天完成 任务，问订单要多少辆汽车，规定日期 是多少天？
解:设订单要辆x汽车，规定日期是y天,根据 题意得方程组 35 y x 10
2
）． 1 1 (C) , 2 (D) , 3 2 2 1 3．已知：一次函数 y kx b 的图象与 y x 3 正比例函数的图象交于点A，并且与轴交于点B （0，－4），△AOB的面积为6，求一次函数的表达 式．
点，则的值分别为（ (A) 2，3 (B) 3，2
4.在同一直角坐标系内分别作出 一次函数y 5 x 和 y 2 x 1 的图象, 观察图象并回答问题: (1)这两个图象有交点吗?交点 坐标是什么? (2)方程组 的解 2x y 1 是什么?
例2.甲、乙二人以不变的速度在环形路 上跑步,如果同时同地出发,相向而行,每 隔2分钟相遇一次;如果同向而行,每隔6分 钟相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲、乙每 分钟各跑多少圈?
解：设甲、乙二人每分钟各跑x、y圈，根据 题意得方程组 2 ( x y ) 1 解得
1 x 3 y 1 6
40 ( y 0 . 5 ) x
x 220 y 6
解这个方程组，得
答：订单要220辆汽车，规定日期是6天
4.销售问题:
标价×折扣=售价
售价-进价=利润
利润 售价 进价 进价
利润率=
进价
1.已知甲.乙两种商品的标价和为100元,因市 场变化,甲商品打9折,乙商品提价5﹪,调价后, 甲.乙两种商品的售价和比标价和提高了2﹪, 求甲.乙两种商品的标价各是多少? 解：设甲、乙两种商品的标价分别为x、y元， 根据题意，得 x y 100
2x+y =0
3x -1 =0 2y =5
x+y=7 (D) 3y + z= 4
5x - 2 = -2 y
(c)
3y + x = 4
已知方程 3x
m-n -1
- 5y
m+n -7
= 4 是二元
一次方程，则m+n=
已知方程 3x
m-n -1
- 5y
m+n -7
= 4 是二元
一次方程，则m+n=
o
y
y 2x 1
大显身手
2x + 3y = 10 的解与 4x - 5y = -2
的解相同，求a、b的值
ax + by = 2 解：根据题意，只要将方程组 2 x + 3 y = 1 0 的解代入方程组 ax - by = 4 4x - 5y = -2
，就可求出a，b的值 解方程组
2x + 3y = 10 4x - 5y = -2
（1）方程组中同一未知数的系数相等或相反数.
3x -y= -8
x +y= 5
①
②
3x -2y= -8
3x +y= 5
①
②
（2）方程组中同一未知数的系数是变成相同或相 反数. 3x -2y= -8 ①
2x +3y= 5
②
0 .6 x 0 .4 y 1 .1 11、解方程组 0 . 2 x 0 . 45 y 2 . 3
4.二元一次方程组的解:
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做二 元一次方程组的解. 5.方程组的解法 基本思想或思路——消元 常用方法————代入法和加减法
根据方程未知数的系数特征确定 用哪一种解法.
用代入法解二元一次方程组的步骤：
(1).求表达式：从方程组中选一个系数比较简 单的方程，将此方程中的一个未知数，如y，用 含x的代数式表示; (2).把这个含x的代数式代入另一个方程中， 消去y，得到一个关于x的一元一次方程； (3).解一元一次方程，求出x的值;
6( x y ) 1
答:甲、乙二人每分钟各跑 1 、 1 圈，
3
6
2.图表问题
1.某学校现有甲种材料3５㎏,乙种材 料29㎏,制作A.B两种型号的工艺品,用 料情况如下表:
需甲种材料 1件A型工艺品 0.9㎏ 需乙种材料 0.3㎏
1件B型工艺品
0.4㎏
1㎏
(1)利用这些材料能制作A.B两种工艺品各多少件? (2)若每公斤甲.乙种材料分别为8元和10元,问制 作A.B两种型号的工艺品各需材料多少钱?
x 2k 6 解法1：解这个方程组，得 y 4 k
依题意：x＋y=12 所以(2k－6) ＋(4－k)=12
2 x 3 y k 解得：K=14 解法2：根据题意，得 3 x 5 y k 2 x y 12
解这个方程组，得k=14
ax + by = 2 8.关于x、y的二元一次方程组 ax - by = 4
x、y的值相等，则k=
11
.
10、先阅读材料，后解方程组.
材料：解方程组
可由①得x-y=1 ③
x y1 0 4( x y ) y 5
①
②
时，
x 0 y 1
将③代入②得4×1-y=5. 即y=-1.进一步得
这种解方程组的方法称为“整体代入法”.
请用整体代入法解方程组
x = 2 得 y = 2
ax + by = 2 ax - by = 4
x = 2 将 y = 2
代入方程组
2a + 2b = 2 得 2a - 2b = 4
1 2
解得
3 a = 2 b = - 1 2
∴a=
3 2
， b=
4 x 3 y 1 9、二元一次方程组 kx ( k 1 ) y 3的解中，
5 2 9 x (1 ) y 100 (1 ) 100 100 10
x 20 y 80
解这个方程组，得
答：甲种商品的标价是20元，乙种商品的 标价是80元.
例：某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙 种零件100个，或者丙种零件200个，甲，乙，丙3 种零件分别取3个，2个，1个，才能配一套，要在 30天内生产最多的成套产品，问甲，乙，丙3种零 件各应生产多少天？
2x 3y 2 0 2x 3 y 5 2y 9 7
四.列二元一次方程组解 应用题专题训练：
1.行程问题:
1.相遇问题:甲的路程+乙的路程=总的路程 (环形跑道):甲的路程+乙的路程=一圈长 2.追及问题:快者的路程-慢者的路程=原来相距路