2019届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练21含解析

跟踪强化训练(二十一)
一、选择题
1．(2017·贵阳一中适应性考试)已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β”是“l⊥β”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析]若l为平面α内的一条直线且l⊥β，则α⊥β，反过来则不一定成立，所以“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件，故选B.
[答案] B
2．(2017·福建泉州模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()
A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥b
B．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥b
C．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥α
D．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α
[解析]过直线a上一点，作b的平行线c，则直线a，c确定一个平面，易证垂直于该平面的直线同时垂直于直线a和b，由于这样的直线有无数条，故A错误；由空间两直线夹角的定义易证，若l∥a且l⊥b，则b⊥a，故B错；过直线a上一点作b的平行线n，记a，n确定的平面为a，显然b∥α，即存在性成立，假设存在平面α，β，使得a⊂α，a⊂β，且b∥α，b∥β，则α∩β＝a，所以b∥a，与题意矛盾，故唯一性成立，故C正确；假设存在平面α，使得a⊂α，且b⊥α，则
b⊥a，与题意矛盾，故D错误.
[答案] C
3．(2017·宁波统考)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
[解析]因为m⊥α，l⊥m，l⊄α，所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.
[答案] D
4．已知a，b，l表示空间中三条不同的直线，α，β，γ表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号为()
①若a⊥α，b⊥β，l⊥γ，a∥b∥l，则α∥β∥γ；
②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；
③若a⊂α，b⊂β，α∩β＝a，l⊥a，l⊥b，则l⊥β；
④若a，b为异面直线，a⊥α，b⊥β，l⊥a，l⊥b，l⊄α，l⊄β，则α与β相交，且交线平行于l.
A．①②④B．①②③
C．②③④D．①③④
[解析]对于①，a，b，l就相当于平面α，β，γ的法线，因为a ∥b∥l，所以α∥β∥γ，所以①正确；显然②是正确的；对于③，若a∥b，由线面垂直的判定定理可知，直线l不一定垂直于β，只有当a与b
相交时，l⊥β，所以③不正确；对于④，由a⊥α，l⊥a，且l⊄α，得l∥α.又b⊥β，l⊥b，l⊄β，所以l∥β.由直线a，b为异面直线，且a⊥α，b⊥β，得α与β相交，否则a∥b，与a，b异面矛盾，故α与β相交，且交线平行于l，所以④正确．
[答案] A
5．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n 所成角的正弦值为()
A.
3
2 B.
2
2 C.
3
3 D.
1
3
[解析]因为过点A的平面α与平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，
则BD与A1B所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为
3 2，
选A.
[答案] A
6．(2017·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是()
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；
②平面SBC内存在直线与SA平行；
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析]由题图，得SA⊥SE，若存在点E使得直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SB，SA⊥SC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA与平面SBC相交，所以在平面SBC 内不存在直线与SA平行，故②错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故③正确．选B.
[答案] B
二、填空题
7．(2017·定州二模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.
[解析]根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2.
[答案] 2
8．(2017·云南省11校高三调研)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；
②若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.
其中所有正确命题的序号是________．
[解析]对于①，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此①不正确．对于②，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补”可知②正确．对于③，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此③不正确．对
于④，由n ∥β得，在平面β内必存在直线n 1平行于直线n ；由m ⊥α，α∥β得m ⊥β，m ⊥n 1；又n 1∥n ，因此有m ⊥n ，④正确．综上所述，所有正确命题的序号是②④.
[答案] ②④
9．(2017·运城一模)在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，M 为AB 的中点，将△BCM 沿CM 折起，使点A ，B 间的距离为2，则点M 到平面ABC 的距离为________．
[解析] 在平面图形中，由已知得AB ＝2，AM ＝BM ＝MC ＝1，BC ＝3，∴△AMC 为等边三角形，取CM 的中点D ，连接AD ，则AD
⊥CM ，设AD 的延长线交BC 于E ，则AD ＝32，DE ＝36，CE ＝33.
根据题意知，折起后的图形如图所示，由BC 2＝AC 2＋AB 2，知∠BAC
＝90°，又cos ∠ECA ＝33，连接AE ，则AE 2＝CA 2＋CE 2－2CA ·CE cos
∠ECA ＝23，于是AC 2＝AE 2＋CE 2，∴∠AEC ＝90°，∴AE ⊥BC .∵AD 2＝AE 2＋ED 2，∴AE ⊥DE ，又BC ，DE ⊂平面BCM ，BC ∩DE ＝E ，∴AE ⊥平面BCM ，即AE 是三棱锥A －BCM 的高，设点M 到平面ABC 的距离为
h ，∵S △BCM ＝34，AE ＝63，所以由V A －BCM ＝V M －ABC ，可得13×34×63＝13×12×2×1×h ，∴h ＝12.
[答案] 12
三、解答题
10．(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .
求证：(1)EF ∥平面ABC ；
(2)AD ⊥AC .
[证明] (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，所以EF ∥AB . 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .
(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面ABD .。