[配套K12]2018版高中数学 第一章 集合 1.2 第1课时 子集、真子集学业分层测评 苏教版必修1

1.2 第1课时子集、真子集
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列命题中，正确的有________．(填序号)
①空集是任何集合的真子集；
②若A B，B C，则A C；
③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；
④∅＝{0}．
【解析】空集是任意非空集合的真子集，空集只有一个子集即它本身．空集不含任何元素，{0}中有一个元素0.
【答案】②
2．集合U，S，T，F的关系如图1­2­1所示，下列关系错误的有________．(填序号)
图1­2­1
①S U；②F T；③S T；④S F；⑤S F；⑥F U.
【解析】①③⑥是正确的，②④⑤错误．
【答案】②④⑤
3．已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<a}，若A B，则实数a满足________．
【解析】因为A B，故a≥4.
【答案】a≥4
4．已知集合A⊆{0,1,4}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．
【解析】只含一个偶数的子集为{0}，{0,1}，{4}，{4,1}，含2个偶数的子集为{0,4}，{0,1,4}．
【答案】6个
5．若A＝{x∈N|x＝－m2＋6，m∈N}，则集合A的真子集的个数是________.
【解析】∵m，x∈N，∴m＝0时，x＝6；m＝1时，x＝5；m＝2时，x＝2.故集合A＝{2,5,6}，故A的真子集有23－1＝7个．
【答案】7
6．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
【解析】∵∅{x|x2－x＋a＝0}，
∴{x|x2－x＋a＝0}≠∅，
∴x 2－x ＋a ＝0至少有一个根，则Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14
. 【答案】 a ≤14
7．集合M ＝{x |2a －1<x <4a ，a ∈R }，N ＝{x |1<x <2}，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 ∵N ⊆M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1<4a ，2a －1≤1，
4a ≥2
⇒12≤a ≤1. 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 12
≤a ≤1 8．已知M ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，N ＝{x |－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是
________．
【解析】 y ＝(x －1)2－2≥－2，∴N ⊆M .
【答案】 N ⊆M
二、解答题
9．设集合A ＝{x |a －2<x <a ＋2}，B ＝{x |－2<x <3}，
(1)若A B ，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在实数a 使B ⊆A?
【解】 (1)A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －2≥－2，a ＋2≤3⇒0≤a ≤1.
(2)要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2≥3，a －2≤－2⇒a ∈∅.
∴不存在a ∈R ，使B ⊆A .
10．已知集合A ＝{x |x 2
－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的集合.
【解】 由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3.
∴集合A ＝{1,3}．
(1)当B ＝∅时，此时m ＝0，满足B ⊆A .
(2)当B ≠∅时，则m ≠0，B ＝{x |mx －3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m . ∵B ⊆A ，∴3m ＝1或3m
＝3， 解之得m ＝3或m ＝1.
综上可知，所求实数m 的集合为{0,1,3}．
[能力提升]
1．已知A ＝{0,1}，且B ＝{x |x ⊆A }，则B ＝________.
【解析】 A 的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}，故B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}．
【答案】 {∅，{0}，{1}，{0,1}}
2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝n 2，n ∈Z ，N ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝12＋n ，n ∈Z ， 则集合M ，N 之间的关系为________．
【解析】 对于集合M ，其组成元素是n 2
，分子部分表示所有的整数；而对于集合N ，其组成元素是12＋n ＝2n ＋12
，分子部分表示所有的奇数． 由真子集的概念知，N M .
【答案】 N M
3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}恰有两个子集，则a ＝________.
【解析】 A 只有两个子集，表示A 中只含有一个元素．若a ＝0，A ＝∅，不合题意，若a ≠0，则Δ＝a 2－4a ＝0，∴a ＝4或a ＝0(舍)．
【答案】 4
4．集合M ＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n ＋1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m ＋1，m ∈Z }之间的关系是________．
【解析】 M 中的x ＝3k －2＝3(k －1)＋1∈P ，∴M ⊆P ，
同理P 中的y ＝3n ＋1＝3(n ＋1)－2∈M ，∴P ⊆M ，
∴M ＝P .
S 中的z ＝3(2m )＋1，∵2m ∈偶数，∴S ⊆P ＝M .
【答案】 M ＝P ⊇S
5．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |x 2
＋ax ＋6＝0}，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围．
【解】 A ＝{2,3}，B ＝{x |x 2＋ax ＋6＝0}，B 为方程x 2＋ax ＋6＝0的解集，所以分类讨论得：
①若B ≠∅，由B ⊆A ，∴B ＝{2}或B ＝{3}或B ＝{2,3},
当B ＝{2}时，方程x 2＋ax ＋6＝0有两个相等实根，
即x 1＝x 2＝2，x 1x 2＝4≠6，∴不合题意.
同理B ≠{3}.
当B ＝{2,3}时，a ＝－5，符合题意.
②若B ＝∅，则Δ＝a 2－4×6<0，∴－26<a <2 6.
综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ＝－5或－26＜a ＜26}.。