2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标1卷,含答案)
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三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 12 分)
Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0， (Ⅰ)求{an}的通项公式：
(Ⅱ)设
，求数列 }的前 n 项和
(18)如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC＝120°， E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面 ABCD， DF⊥平面 ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值
(D) AD 4 AB 1 AC 33
(8)函数 f(x)＝
(A)(
)，k
的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为
(b)(
)，k
(C)(
)，k
(D)(
)，k
(9)执行右面的程序框图，如果输入的 t＝0.01，则输出的 n＝ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
（10） (x2 x y)5 的展开式中， x5 y2 的系数为
绝密★启封并使用完毕前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
试题类型：A
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
（II）由 an 2n 1
bn
1 an a1
1 (2n 1)(2n 3)
1 2
(1 2n 1
1 ). 2n 3
设数列bn 的前 n 项和为Tn ，则
Tn b1 b2 bn
1 2
(13
1) 5
(1 5
1 7
)
(
1) 2n 1
(1 2n
3)
n. 3(2n 3)
（18）解：
（I）连结 BD，设 BD AC=G，连结 EG，FG，EF.
(A) 3 2
(B) 3 2
(C) 1 2
(D) 1 2
(3)设命题 P： n N， n2 > 2n ，则 P 为
(A) n N， n2 > 2n
(B) n N， n2 ≤ 2n
(C) n N， n2 ≤ 2n (D) n N， n2 ＝ 2n
(4)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为
（19）解：
（I）由散点图可以判断， y c d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类
型。
……2 分
（II）令 w x ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于
n
dˆ
(wi w)( yi y )
i 1
n
(wi w)2
108.8 1.6
68
i 1
cˆ y dˆw 563 68 6.8 100.6 。
A 卷选择题答案 一、 选择题
（1）A （2）D （7）A （8）D A、B 卷非选择题答案 二、填空题
（3）C （9）C
（4）A （5）A （10）C （11）B
（13）1
（14） (x 3)2 y2 25
2
4
（15）3
（6）B （12）D
（16）
二、 解答题
（17）解：
（I）由 an2
2an
0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
(A)0.648
(B)0.432
(C)0.36
(D)0.312
(5)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x2 y2 1 2
上的一点，F1、F2 是 C 上的两个焦点，若 MF1 MF2
＜0，则 y0 的取值范围是
(A)(－ 3 ， 3 ) 33
所 以 y 关 于 w 的 线 性 回 归 方 程 为 yˆ 100.6 68w ， 因 此 y 关 于 x 的 回 归 方 程 为
yˆ 100.6 68 x 。
（III）（i）由（II）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值
……6 分
yˆ 100.6 68 49 576.6
年利润 z 的预报值
/t
年宣传费(千元)
xy w
46.6 56.3 6.8
1
(x1－ x )2
x 1
289.8
1
(w1－ w )2
x 1
1.6
1
(x1－ x )(y
x 1
－y)
1469
1ห้องสมุดไป่ตู้
(w1－
x 1
w )(y－ y )
108.8
表中 w1 ＝
x 1， ， w ＝ 1
1
w1
8 x1
(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx 与 y＝c＋d
4Sn
3
，可知
a2 n1
2an1
4Sn1
3.
可得
a2 n1
an2
2(an1
a)
4an1
即
2(an1
an )
a2 n1
an2
(an1
a)(an1
a)
由于 an 0 可得 an1 an 2.
又 a12 2a1 4a1 3 ，解得 a1 1(舍去)，a1 3
所以an 是首相为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an 2n 1.
2
2
在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE= 2 ，DF= 2 ， 2
可得 FE= 3 2 .从而 EG2 FG2 EF 2 ,所以EG FG 2
又 AC FG G,可得EG 平面AFC.因为 EG 平面AEC
所以平面 AEC 平面AFC
（III） 如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 的方向为 x 轴，y 轴正方向，
在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由 ABC=120°，
可得 AG=GC= 3 .由
BE 平面 ABCD, AB=BC 可知 AE=EC.
又 AE EC，所以 EG= 3 ，且 EG AC.在 Rt EBG 中，
可得 BE= 2 故 DF= 2 .在 Rt FDG 中，可得 FG= 6 .
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的.
（1） 设复数 z 满足 1+z ＝i，则|z|＝ 1 z
(A)1
(B) 2
(C) 3
(D)2
(2)sin20°cos10°－con160°sin10°＝
A
B
O
在直角坐标系 xOy 中.直线 C1 :x＝－2，圆 C2 ：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系.
（I） 求 C1 ， C2 的极坐标方程；
（II）
若直线 C3
的极坐标方程为
4
R ，设 C2 与 C3 的交点为 M
，
N
，求△C2MN 的面积
(Ⅱ)用 min m, n 表示 m，n 中的最小值，设函数 h(x) min f (x), g(x) (x 0) ，讨论 h(x)
零点的个数
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第
一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
（i） 年宣传费 x＝49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？
E
A B
F D
C
(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单 位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响，对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i＝1，2，···，8)数据 作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
年 销 售 量
(13)若函数 f(x)＝xln(x＋ a x2 )为偶函数，则 a＝
(14)一个圆经过椭圆
的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为 .
x 1 0
(15)若
x，y
满足约束条件
x
x
y y
0 4
0
，则
y x
的最大值为
.
(16)在平面四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则 AB 的取值范围是
(Ⅰ)当 k＝0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.
(21)(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝ x3 ax 1 , g(x) ln x 4
(Ⅰ)当 a 为何值时，x 轴为曲线 y f (x) 的切线；
(22)(本题满分 10 分)选修 4－1：几何证明选讲
如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉O 的切线，BC 交☉O 于点 E
C
（I） 若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是☉O 的切线； （II） 若 OA＝ 3 CE，求∠ACB 的大小.
E D
(23)(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
(A)10
2020年高考数学(理)试卷(新课标1)(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】由复数的乘方和加减运算，化简z2﹣2z，再由复数的模的定义，计算可得所求值．【解答】解：若z＝1+i，则z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，则|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，故选：D．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的模的求法，主要考查化简运算能力，是一道基础题．2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a 的方程，解方程可得a．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤﹣a}，由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得﹣a＝1，则a＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．3．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A．B．C．D．【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．【解答】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h′，则依题意有：，因此有h′2﹣（）2＝ah′⇒4（）2﹣2（）﹣1＝0⇒＝（负值舍去）；故选：C．【点评】本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．4．（5分）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）A．2B．3C．6D．9【分析】直接利用抛物线的性质解题即可．【解答】解：A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9+＝12⇒p＝6；故选：C．【点评】本题主要考查抛物线性质的应用，属于基础题．5．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx【分析】直接由散点图结合给出的选项得答案．【解答】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，y）在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y＝a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：D．【点评】本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题．6．（5分）函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+1【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式求解．【解答】解：由f（x）＝x4﹣2x3，得f′（x）＝4x3﹣6x2，∴f′（1）＝4﹣6＝﹣2，又f（1）＝1﹣2＝﹣1，∴函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+1．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．7．（5分）设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．【分析】由图象观察可得最小正周期小于，大于，排除A，D；再由f（﹣）＝0，求得ω，对照选项B，C，代入计算，即可得到结论．【解答】解：由图象可得最小正周期小于π﹣（﹣）＝，大于2×（）＝，排除A，D；由图象可得f（﹣）＝cos（﹣ω+）＝0，即为﹣ω+＝kπ+，k∈Z，（*）若选B，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k不为整数，排除B；若选C，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k＝﹣1，成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题．8．（5分）（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．20【分析】先把条件整理转化为求（x2+y2）（x+y）5展开式中x4y3的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解．【解答】解：因为（x+）（x+y）5＝；要求展开式中x3y3的系数即为求（x2+y2）（x+y）5展开式中x4y3的系数；展开式含x4y3的项为：x2•x2•y3+y2•x4•y＝15x4y3；故（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为15；故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．9．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．【分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于cosα的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得sinα的值．【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，即3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos．∵α∈（0，π），∴α∈（，π），则sinα＝＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基础题．10．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π【分析】画出图形，利用已知条件求出OO1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．【解答】解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则AO1＝AB sin60°，，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半径为：R＝＝4，球O的表面积：4×π×42＝64π．故选：A．【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键．11．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P 作⊙M的切线P A，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM|•|AB|＝，说明要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程．【解答】解：化圆M为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，圆心M（1，1），半径r＝2．∵＝2S△P AM＝|P A|•|AM|＝2|P A|＝．∴要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．直线PM的方程为y﹣1＝（x﹣1），即y＝，联立，解得P（﹣1，0）．则以PM为直径的圆的方程为．联立，可得直线AB的方程为2x+y+1＝0．故选：D．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求法，是中档题．12．（5分）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2【分析】先根据指数函数以及对数函数的性质得到2a+log2a＜22b+log22b；再借助于函数的单调性即可求解结论．【解答】解：因为2a+log2a＝4b+2log4b＝22b+log2b；因为22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1即2a+log2a＜22b+log22b；令f（x）＝2x+log2x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；且f（a）＜f（2b）⇒a＜2b；故选：B．【点评】本题主要考查指数函数以及对数函数性质的应用，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国卷Ⅰ理科数学(含答案)-2020 数学 理科
2020年全国卷Ⅰ理科数学(含答案)-2020数学理科2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：1.若 $z=1+i$，则 $|z^2-2z|=$A。
$1$。
B。
$2$。
C。
$2\sqrt{2}$。
D。
$4$2.设集合 $A=\{x|x^2-4\leq 0\}$，$B=\{x|2x+a\leq 0\}$，且$A\cap B=\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则 $a=$A。
$-4$。
B。
$-2$。
C。
$2$。
D。
$4$3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A。
$\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}$。
B。
$\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}$。
C。
$\dfrac{5+\sqrt{5}}{4}$。
D。
$\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}$4.已知 $A$ 为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上一点，点$A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $12$，到 $y$ 轴的距离为 $9$，则 $p=$A。
$2$。
B。
$3$。
C。
$6$。
D。
$9$5.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：$^\circ$C）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据$(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots,20)$ 得到下面的散点图：在 $10^\circ\text{C}$ 至 $40^\circ\text{C}$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程由此散点图，在 $10^\circ\text{C}$ 时发芽率最高的类型的是A。
$y=a+bx$。
B。
$y=a+bx^2$。
C。
$y=a+be^x$。
D。
$y=a+blnx$6.函数 $f(x)=x^4-2x^3$ 的图像在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为A。
2020年高考理科数学全国卷1及答案
() A. 2x y 1 0 C. 2x y 1 0
B. 2x y 1 0 D. 2x y 1 0
12.若 2a log2 a 4b 2log4 b 则
()
A. a＞2b
B. a＜2b
C. a＞b2
D. a＜b2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
2x y 2≤0，
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
------------- ------------------ ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- ---------------------------------
无
A. 4
B. 2
C.2
D.4
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视
效
数学试卷第 1页（共 22页）数学试卷第 2页（共 22页）
为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形
的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. 5 1 4
2
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
卷
（3）求丙最终获胜的概率.
20.（12分）
上
已知
A，
B
分别为椭圆
E
：
x2 a2
y2
1a＞1
2020年全国普通高等学校招生统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学+答案+全解全析纯word版(2020.6.15)
2020年全国普通高等学校招生统一考试（新课标Ⅰ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|||2}P x x =>，2{|230}Q x x x =--≤，则P Q =I A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(2,3]D ．[1,2)-2．已知i 为虚数单位，(2i)67i z -=+，则复平面内与z 对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若26cos 2cos21αα+=-，则tan α= A ．2±B ．3±C ．2D ．3-4．已知实数,,a b c 满足lg 222,log ,sin a b a c b ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>5．已知函数()sin 3cos f x x x ωω=-（0ω>）的图象与x 轴的交点中，两个相邻交点的距离为π，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移3π个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列命题中正确的是 A ．()g x 是奇函数B ．()g x 的图象关于直线6x π=对称 C ．()g x 在[,]312π-π上是增函数D ．当[,]66x π-π∈时，()g x 的值域是[0,2]6．函数2()cos sin(1)31x f x x =⋅-+的图象大致为7．在ABC △中，已知1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，13AE AD =u u u r u u u r ，若以,AD BE u u u r u u u r 为基底，则DC u u u r可表示为A ．2133AD BE +u u ur u u u rB ．23AD BE +u u ur u u u rC ．13AD BE +u u u r u u u rD ．1233AD BE +u u ur u u u r8．记不等式组21312y x x y y y kx ≤-⎧⎪+≤⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩表示的平面区域为D ，若平面区域D 为四边形，则实数k 的取值范围是A ．11144k << B ．11144k <≤ C ．11133k <<D ．11133k ≤≤9．1872年，戴德金出版了著作《连续性与无理数》，在这部著作中以有理数为基础，用崭新的方法定义了无理数，建立起了完整的实数理论．我们借助划分数轴的思想划分有理数，可以把数轴上的点划分为两类，使得一类的点在另一类点的左边．同样的道理把有理数集划分为两个没有共同元素的集合A 和B ，使得集合A 中的任意元素都小于集合B 中的任意元素，称这样的划分为分割，记为A /B ．以下对有理数集的分割不会出现的类型为 A ．A 中有最大值，B 中无最小值 B ．A 中无最大值，B 中有最小值 C ．A 中无最大值，B 中无最小值D ．A 中有最大值，B 中有最小值10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，A 为OM 的中点，若C 的渐近线与以AM 为直径的圆相切，则双曲线C 的离心率等于 A 32 B 23C 3D 211．已知函数()|2|2f x x =-+，()ln g x ax x =-，若0(0,e)x ∀∈，12,(0,e)x x ∃∈满足0()f x = 12()()g x g x =，其中12x x ≠，则实数a 的取值范围是 A ．5[,e)eB ．1(,e)eC ．1[1,e)e+D ．15[1,]e e+12．如图，已知平面四边形P'CAB 中，AC BC ⊥，且6AC =，27BC =，214P'C P'B ==BC 将P'BC △折起到PBC △的位置，构成一个四面体，当四面体PABC 的体积最大时，四面体PABC 的外接球的体积等于 A ．5003πB ．2563πC ．50πD ．96π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国卷Ⅰ理科数学含答案2020 数学 理科
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．若z=1+i，则|z2–2z|=A．0 B．1 C．2D．22．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=A．–4 B．–2 C．2 D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 51-B51-C51+D51+4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i ix y i=得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+ 7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3 D ．3π28．25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 9．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=AB ．23C ．13D10．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log a ba b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-全国卷1
2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学试题及答案-全国卷12020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学（必修+选修Ⅰ）如果事件A B ，互斥，那么球的表⾯积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独⽴，那么其中R 表⽰球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在⼀次试验中发⽣的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独⽴重复试验中恰好发⽣k 次的概率其中R 表⽰球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，⼀、选择题 1．函数y =）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速⾏驶、匀速⾏驶、减速⾏驶之后停车，若把这⼀过程中汽车的⾏驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满⾜2BD DC =，则AD =（） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满⾜244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =A ．B ．C ．D ．（）A ．e 2x-1B ．e 2xC ．e 2x+1D ． e 2x+27．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ??=+的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()() 0f x f x x--<的解集为（）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底⾯边长都相等，1A 在底⾯ABC 内的射影为ABC △的中⼼，则1AB 与底⾯ABC 所成⾓的正弦值等于（）A ．13B．3C．3D ．2312．如图，⼀环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块⾥种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学（必修+选修Ⅰ）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．） 13．13．若x y ，满⾜约束条件03003x y x y x ?+?-+，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最⼤值为．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三⾓形⾯积为．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离⼼率e = ．16．等边三⾓形ABC 与正⽅形ABDE 有⼀公共边AB ，⼆⾯⾓C AB D --的余弦值为3，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成⾓的余弦值等于．三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本⼩题满分10分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）设ABC △的内⾓A B C ，，所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最⼤值． 18．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）四棱锥A BCDE -中，底⾯BCDE 为矩形，侧⾯ABC ⊥底⾯BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平⾯ABE 所成的⾓为45，求⼆⾯⾓C AD E --的⼤⼩．CDE AB19．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??--，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验⾎液来确定患病的动物．⾎液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下⾯是两种化验⽅法：⽅案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为⽌．⽅案⼄：先任取3只，将它们的⾎液混在⼀起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为⽌；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依⽅案甲所需化验次数不少于依⽅案⼄所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表⽰依⽅案⼄所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）双曲线的中⼼为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离⼼率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的⽅程． 22．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满⾜101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．参考答案⼀、选择题 1、C 2、A 3、A 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A 9.D 10.D ． 11.B ． 12.B. ⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13.答案：9．14. 答案：2.15.答案：38. 16.答案：16. 三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得a=CBc b C A c sin sin ,sin sin =acosB-bcosA=(A CB C A cos sin sin cos sin sin ?-?)c=c B A AB B A ?+-)sin(cos sin cos sin=c B A B A BA B A ?+-sin cos cos sin sin cos cos sin=1cot tan )1cot (tan +-B A cB A依题设得c B A c B A 531cot tan )1cot (tan =+-解得tanAcotB=4(II)由（I ）得tanA=4tanB ，故A 、B 都是锐⾓，于是tanB>0 tan(A-B)=B A BA tan tan 1tan tan +-=B B 2tan 41tan 3+ ≤43，且当tanB=21时，上式取等号，因此tan(A-B)的最⼤值为4318．解：(I)作AO ⊥BC ，垂⾜为O ，连接OD ，由题设知，AO ⊥底⾯BCDE ，且O 为BC 中点，由21==DE CD CD OC 知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ，从⽽∠ODC=∠CED ，于是CE ⊥OD ，由三垂线定理知，AD ⊥CE（II ）由题意，BE ⊥BC ，所以BE ⊥侧⾯ABC ，⼜BE ?侧⾯ABE ，所以侧⾯ABE ⊥侧⾯ABC 。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标1卷,含解析)
试题类型：A 2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z满足1+z1z-=i，则|z|=（A）1 （B（C（D）2 【答案】A（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）-（B（C）12-（D）12【答案】D【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.（3）设命题P：∃n∈N，2n>2n，则⌝P为（A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF u u u u r •2MF u u u u r ＜0，则y 0的取值范围是（A ）（-3，3（B ）（-6，6（C ）（） （D ）（）【答案】A（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ)数学理及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ)数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设121-=++iz i i ，则|z|=( )A.0B.12C.1解析：利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的摸.()()()211222111--=+=+=-+=++-i i z i i i i i i i i ，则|z|=1. 答案：C2.已知集合A={x|x 2-x-2＞0}，则C R A=( ) A.{x|-1＜x ＜2} B.{x|-1≤x ≤2}C.{x|x ＜-1}∪{x|x ＞2}D.{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}解析：通过求解不等式，得到集合A ，然后求解补集即可.集合A={x|x 2-x-2＞0}， 可得A={x|x ＜-1或x ＞2}， 则：C R A={x|-1≤x ≤2}. 答案：B3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( )A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果.设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.A项，种植收入37×2a-60%a=14%a＞0，故建设后，种植收入增加，故A项错误.B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，建设前，其他收入为4%a，故10%a÷4%a=2.5＞2，故B项正确.C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，建设前，养殖收入为30%a，故60%a÷30%a=2，故C项正确.D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为(30%+28%)×2a=58%×2a，经济收入为2a，故(58%×2a)÷2a=58%＞50%，故D项正确.因为是选择不正确的一项.答案：A4.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=( )A.-12B.-10C.10D.12解析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值.∵S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4，a1=2，∴3×(3a1+322⨯d)=a1+a1+d+4a1+432⨯d，把a 1=2，代入得d=-3 ∴a 5=2+4×(-3)=-10. 答案：B5.设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x解析：利用函数的奇偶性求出a ，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程.函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax ，若f(x)为奇函数，可得a=1，所以函数f(x)=x 3+x ，可得f ′(x)=3x 2+1， 曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线的斜率为：1， 则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为：y=x. 答案：D6.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A.3144-AB ACB.1344-AB ACC.3144+AB ACD.1344+AB AC解析：运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()1113122244=-=-=-⨯+=-EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC .答案：A7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A.217B.25C.3D.2解析：判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可.由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短222425+=答案：B8.设抛物线C ：y2=4x的焦点为F，过点(-2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则=FM FN( )A.5B.6C.7D.8解析：求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可.抛物线C：y2=4x的焦点为F(1，0)，过点(-2，0)且斜率为23的直线为：3y=2x+4，联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x可得：y2-6y+8=0，解得y1=2，y2=4，不妨M(1，2)，N(4，4)，∴FM=(0，2)，FN=(3，4).则FM FN=(0，2)·(3，4)=0×3+2×4=8. 答案：D9.已知函数f(x)=ln0⎧≤⎨⎩，，＞xe xx x，g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )A.[-1，0)B.[0，+∞)C.[-1，+∞)D.[1，+∞)解析：由g(x)=0得f(x)=-x-a，作出函数f(x)和y=-x-a的图象如图：当直线y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[-1，+∞).答案：C10.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )A.p1=p2B.p1=p3D.p 1=p 2+p 3解析：如图：设BC=2r 1，AB=2r 2，AC=2r 3，∴r 12=r 22+r 32，∴S Ⅰ=12×4r 2r 3=2r 2r 3，S Ⅲ=12×πr 12-2r 2r 3，S Ⅱ=12×πr 32+12×πr 22-S Ⅲ=12×πr 32+12×πr 22-12×πr 12+2r 2r 3=2r 2r 3，∴S Ⅰ=S Ⅱ， ∴P 1=P 2. 答案：A11.已知双曲线C ：2213-=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|=( )A.32B.3D.4解析：求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN 的坐标，然后求解|MN|.双曲线C ：2213-=x y 的渐近线方程为：y=±3x ，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F(2，0)的直线为：(x-2)，则：)2⎧=⎪⎨⎪=-⎩y x y x，解得322⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y ，即M(32，2-)，)23⎧=⎪⎨⎪=-⎩y x y x，解得3=⎧⎪⎨=⎪⎩x y N(3)，则3==MN .12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.33 4B.233C.324D.3解析：利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值.正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图所示：正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长2，α截此正方体所得截面最大值为：2323362⎛=⎝⎭.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足约束条件22010--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩x yx yy，则z=3x+2y的最大值为 .解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得3122=-+y x z，平移直线3122=-+y x z，由图象知当直线3122=-+y x z经过点A(2，0)时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z=3×2=6.答案：614.记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1，则S6= .解析：先根据数列的递推公式可得{a n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可.S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=-1，当n≥2时，S n-1=2a n-1+1，②，由①-②可得a n=2a n-2a n-1，∴a n=2a n-1，∴{a n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，∴()661126312-⨯-==--S.答案：-6315.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.(用数字填写答案)解析：方法一：直接法，分类即可求出.1女2男，有122412=C C，2女1男，有21244=C C，根据分类计数原理可得，共有12+4=16种.方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数.336420416=-=C C 种.答案：1616.已知函数f(x)=2sinx+sin2x ，则f(x)的最小值是 . 解析：由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x 的一个周期， 故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x 在[0，2π)上的值域， 先来求该函数在[0，2π)上的极值点，求导数可得f ′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos 2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)，令f ′(x)=0可解得cosx=12或cosx=-1，可得此时x=3π，π或53π；∴y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点x=3π，π或53π和边界点x=0中取到，计算可得f(3π)=，f(π)=0，f(53π)=，f(0)=0，∴函数的最小值为.答案：2-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：每题12分，共60分.17.在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.(1)求cos ∠ADB.解析：(1)由正弦定理得25sin sin 45=∠︒ADB ，求出sin ∠ADB=5，由此能求出cos ∠ADB.答案：(1)如图所示：∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5，∴由正弦定理得：25sin sin45=∠︒ADB，即25sin sin45=∠︒ADB，∴2sin45si52n5︒∠==ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴2223 cos15⎛⎫⎪⎪∠⎭-⎝==ADB.(2)若2BC.解析：(2)由∠ADC=90°，得cos∠BDC=sin∠ADB=25，再由2，利用余弦定理能求出BC.答案：(2)∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=2 5，∵2，∴222cos2582222555 =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯= BC BD DC BD DC BDC.18.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD.解析：(1)利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可.答案：(1)证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则AE=12AD，BF=12BC，由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC.由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF.又因为BF 平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD.(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.解析：(2)利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角. 答案：(2)在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，联结DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH.在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求PH，因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因为△PDF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，故V F-PDE=13PF·S△PDE，因为BF∥DA且BF⊥面PEF，所以DA ⊥面PEF ， 所以DE ⊥EP.设正方形边长为2a ，则PD=2a ，DE=a 在△PDE 中，a ，所以S △PDE=a 2， 故V F-PDE=a 3，又因为S △DEF =12a ·2a=a 2，所以223-==F PDE V PH a a ，所以在△PHD中，sin 4∠==PH PDH PD ，即∠PDH 为DP 与平面ABFD所成角的正弦值为：.19.设椭圆C ：2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程.解析：(1)先得到F 的坐标，再求出点A 的方程，根据两点式可得直线方程. 答案：， ∴F(1，0)，∵l 与x 轴垂直， ∴x=1，由22112=⎧⎪⎨+=⎪⎩x x y，解得21=⎧⎪⎨=⎪⎩x y或21=⎧⎪⎨=-⎪⎩x y ， ∴A(1，2)或(1，2-)，∴直线AM的方程为2+=-y x2=y x .(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.解析：(2)分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明. 答案：(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB ， 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y=k(x-1)，k ≠0， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ，k MB 之和为121222+=+--MA MB y y k k x x ，由y 1=kx 1-k ，y 2=kx 2-k 得()()12121223422-++=--MA MB kx x kx x k k k x x ，将y=k(x-1)代入2212+=x y 可得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2k 2-2=0， ∴2122421+=+k x x k ，21222221-=+k x x k ， ∴2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k=2121+k (4k 2-4k-12k 2+8k 2+4k)=0从而k MA +k MB =0，故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA=∠OMB ， 综上∠OMA=∠OMB.20.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p 0. 解析：(1)求出()()1822201=-f p C p p ，则()()()()()18171722220202118121110⎡'=---⎤⎣=-⎦-f p C p p p p C p p p ，利用导数性质能求出f(p)的最大值点p 0=0.1.答案：(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，则()()1822201=-f p C p p，∴()()()()()18171722220202118121110⎡'=---⎤⎣=-⎦-f p C p p p p C p p p，令f′(p)=0，得p=0.1，当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0，当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0，∴f(p)的最大值点p0=0.1.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX. (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解析：(2)(i)由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180，0.1)，再由X=20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出EX.(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，EX=490＞400，从而应该对余下的产品进行检验.答案：(2)(i)由(1)知p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180，0.1)，X=20×2+25Y，即X=40+25Y，∴EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵EX=490＞400，∴应该对余下的产品进行检验.21.已知函数()1ln=-+f x x a xx.(1)讨论f(x)的单调性.解析：(1)求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可. 答案：(1)函数的定义域为(0，+∞)，函数的导数()222111-+'=--+=-a x axf xx x x，设g(x)=x2-ax+1，当a≤0时，g(x)＞0恒成立，即f′(x)＜0恒成立，此时函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，当a＞0时，判别式△=a2-4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g(x)＞0，即f′(x)＜0恒成立，此时函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，②当a＞2时，x，f′(x)，f(x)的变化如下表：综上当a ≤2时，f(x)在(0，+∞)上是减函数，当a ＞2时，在(0，24--a a )，和(24+-a a ，+∞)上是减函数， 则(24--a a ，24+-a a )上是增函数.(2)若f(x)存在两个极值点x 1，x 2，证明：()()12122---＜f x f x a x x .解析：(2)将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论.答案：(2)由(1)知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2=1，则()()()()()()12211221121211ln ln 2ln ln ⎛⎫-=-++-=-+- ⎪⎝⎭f x f x x x a x x x x a x x x x ， 则()()()12121122ln ln 22---=-+--＜f x f x a x x a x x x x ，则问题转为证明2211ln ln --x x x x ＜1即可，即证明lnx 1-lnx 2＞x 1-x 2，即证2lnx 1＞x 1-11x 在(0，1)上恒成立，设h(x)=2lnx-x+1x ，(0＜x ＜1)，其中h(1)=0，求导得()()222221212110--+'=--=-=-＜x x x h x x x x x ，则h(x)在(0，1)上单调递减，∴h(x)＞h(1)，即2lnx-x+1x ＞0，故2lnx＞x-1 x，则()()12122---＜f x f xax x成立.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程.解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.答案：(1)曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x-3=0，转换为标准式为：(x+1)2+y2=4.(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.解析：(2)利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果.答案：(2)由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点(0，2). 由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点.所以：必有一直线相切，一直线相交.则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2.2=，解得：k=43-或0，(0舍去)故C1的方程为：y=43-|x|+2.[选修4-5：不等式选讲](10分)23.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时，求不等式f(x)＞1的解集.解析：(1)去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集.答案：(1)当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|=21211 21⎧⎪-≤≤⎨⎪--⎩，＞，，＜xx xx，由f(x)＞1，∴2111⎧⎨-≤≤⎩＞xx或211⎧⎨⎩＞＞x，解得x＞1 2，故不等式f(x)＞1的解集为(12，+∞).(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围.解析：(2)当x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，转化为即|ax-1|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜2x，且a＞0，即可求出a的范围.答案：(2)当x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，∴|x+1|-|ax-1|-x＞0，即x+1-|ax-1|-x＞0，即|ax-1|＜1，∴-1＜ax-1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈(0，1)，∴a＞0，∴0＜x＜2 a，∴a＜2 x，∵2x＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为(0，2].。
高考理科数学(1卷)：答案详细解析(最新)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.14- B.12 C.14+ D.12+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A 10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国 I 卷)word版试题及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若1z i =+,则22z z -= A.0 B.1 C.2 D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a = A.-4 B.-2 C.2 D.43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A.51- B.51- C.51+ D.51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3 C ．6 D ．95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ο）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)x y (1,2,...,20)i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+ C ．x y a be =+ D ．ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7.设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB. 76πC. 43πD. 32π8. 25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A. 5B. 10C. 15D. 209. 已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A.5 B. 23C. 13D. 510. 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14,AB BC AC OO π===,则球O 的表面积为 A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π11. 已知22:2220M x y x y +---=，直线:20,l x y p +=为l 上的动点.过点p作M 的切线PA ，PB ,切点为,A B ,当PM AB 最小时，直线AB 的方程为 A. 210x y --= B. 210x y +-= C. 210x y -+= D. 210x y ++=12.若a 242log 42log b a b +=+则 A.a>2b B.a<2b C.a>2b D.a<2b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。