九年级数学上学期期中考试测试卷
上宝中学2017学年第一学期期中考试初三数学试卷
一、选择题
1. 如果C 是线段AB 的黄金分割点C ，并且,1AC CB AB >=，那么BC 的长度为（ ）
A.
23
B.
12
C.
D.
2. 在Rt ABC 中，90,C CD AB ∠=︒⊥，垂足为点D ，下列四个三角比正确的是（ ）
A. sin AC
A AB
=
B. cos AD
A CD
=
C. tan BD
A CD
=
D. cot CD
A AD
=
3. 在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ） A. 相等弦所对的弧相等 B. 相等弦所对的圆心角相等 C. 相等圆心角所对的弧相等 D. 相等圆心角所对的弦相等
4. 矩形ABCD 中，8,AB BC ==P 在边AB 上，且3BP AP =，如果圆P 是以点P 为圆心，
PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ） A. 点B 、C 均在圆P 外 B. 点B 在圆P 内，点C 在圆P 外
C. 点B 在圆P 内、点C 在圆P 上
D. 点,B C 均在圆P 内
5. 在ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，
下列四个选项中，能判定//DE BC 的是（ ）
A.
BD CE AB AC = B. AB AE AD AC = C. AB BC AD DE = D. AB AE
AC AD
=
6. 如图，已知ABC 和DEF ，点E 在BC 边上，点A 在DE 边上，边EF 和边AC 交于点G ，如果
,AE EC AEG B =∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判
定DEF 与ABC 一定相似的是（ ） A.
AB DE
BC EF =
B.
AD GF
AE GE =
C. AG EG AC EF
=
D. ED EG EF EA
=
二、填空题
7. 已知线段a =3cm ，b =6cm ，那么线段,a b 的比例中项等于____________cm 8.
ABC 中，90,C G ∠=︒为其重心，若2CG =，那么AB =____________.
9. 如果地图上A 、B 两处的图距是4cm ，表示这两地实际的距离是20km ，那么实际距离是700km 的两地在地图上的距离是____________cm
10. 将抛物线2
21y x x =--向上平移2个单位后，所得新抛物线的原点坐标是____________.
11. 已知抛物线233y x x =-+，如果点(0,5)P 与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，那么点Q 的坐标是
____________.
12. 已知两个相似三角形的面积之比是1:16，那么这两个三角形的周长之比是____________. 13. 已知在Rt ABC 中，2
90,6,sin 3
C BC A ∠=︒==
，那么AB =____________. 14. 已知一斜坡的坡度1:2.4i =，高度为4米，那么这一斜坡的坡长为____________米
15. 如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠交边BC 于点D ，,3,2BD AD AB AC ===，那么AD 的长是____________.
（第15题图） （第16题图） （第18题图）
16. 如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 与中位线EF 交于点G ，如果4,10AD EF ==，设
AD a =，那么FG =____________.（用a 表示）
17. 如果等腰三角形的腰与底边的比是5:6，那么顶角的余切值等于____________.
18. 如图，ABC 中，6,8,AB AC BC BD AC ===⊥于点D ，将BCD 绕点B 逆时针旋转，旋转角的大小与CBA ∠相等，如果点C 、D 旋转后分别落在点E 、F 的位置，那么EFD ∠的正切值是____________.
三、解答题
19. 计算：2cos60cos 45tan 30tan 601
︒
︒+︒︒-
20. 如图，已知ABC 中，点F 在边AB 上，且2
5
AF AB =
，过A 作//AG BC 交CF 的延长线于点G （1）设AB a =，AC b =，试用向量a 和b 表示向量AG ；
（2）在图中求作向量AG 在AB 和AC 上的分向量（不要求写做法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21. 如图所示，上宝中学某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°，若坡角30FAE ∠=︒，求大树的高度（结果保留整数，参考数据
：
sin 480.77,cos 480.64,cot 48 1.7︒≈︒≈︒≈≈）
22. 在Rt ABC 中，90,C AD ∠=︒平分BAC ∠交边BC 于点D ，DE AD ⊥交边AB 于点E ，且线段
AE 比BE 大1
，BD =（1）求AB 的长；
（2）求tan ADC ∠的值
B
23. 已知：如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，ACD ABE ∠=∠，AD 与BE 相交于点F
（1）求证：BC AE BE AB ⋅=⋅； （2）若
AE AB
EF BD
=
，求证：2BD EF CD =⋅
24. 已知抛物线2
4y ax x c =-+的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴交于C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），与y 轴交于点B ，且该抛物线经过点(4,3)E ，联结BD
（1）求点E 关于直线BD 的对称点'E 的坐标；
（2）联结BC ，若点P 在直线2x =左侧的抛物线上，且PDB OBC ∠=∠，求点P 的坐标； （3）点M 在x 轴负半轴上，如果45AMB ∠=︒，求点M 的坐标
25. 在
ABC 中，90,3ACB AC ∠=︒=，点D 在边AB 上，点E 在边BC 上，且DC DE =，
tan 2,,DCE CE x BE y ∠===
（1）求y 与x 之间的函数关系式及定义域； （2）若ACD 为等腰三角形，求tan B ∠的值； （3）当CDE BDE ∠=∠时，求CE 的长
A
C
B
B
C
D
参考答案
1-6 DCABAC
7.
8. 6
9. 140
10. (1,0)
11. (3,5)
12. 1:4
13.
14.
525 15.
16. 2a -
17.
724
18.
19.
20. （1）2233
AG a b =-； （2）略 21. 11米
22. （1）4AB =； （223. （1）证明略；（2）证明略
24. （1）'(0,1)E -； （2）15,24P ⎛⎫
⎪⎝⎭
； （3）(1M -
25. （1）2233(3)622x x y x x -=≤<-；（2）22；（3）11
4。
福建省泉州市晋江市2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试卷[含答案]
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2024年秋九年级期中质量监测数学试题满分： 150分 考试时间： 120分钟一、选择题：本题共10小题，每小题4边，共40分．1 ）A ．3x >-B ．3x ³C ．3x <D ．3x £2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）A ．1234a b c d ====，，， B ．2345a b c d ====，，， C ．2346a b c d ====，，，D ．2468a b c d ====，，，3．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2120x x-+=B ．20ax bx c ++=C ．()()23 1x x -+=D ．22220x xy y -+=4．在Rt ABC V 中，90512C AC BC Ð=°==，，，则cos A 的值为（ ）A ．513B ．512C ．1213D ．1355．方程2440x x +-=经过配方后的结果是（ ）A ．()228x -=B ．()228x +=C ．()224x +=D ．()224x -=6．如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ）A ．CE ADCB DF=B ．DF BCAD CE=C ．AD BEAF BC=D ．AD BCDF CE=7．如图，已知，AD 是ABC V 的中线， 点G 是ABC V 的重心， 过G 作GE AB P 交BC 于点E ，GF AC ∥交BC 于点F ． 若ABC V 面积为36， 则EFG V 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．98．如图，已知12Ð=Ð，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADE △△∽的是（）A ．B ADE Ð=ÐB ．AC BCAE DE=C ．AB ACAD AE=D ．C EÐ=Ð9．若α、β是一元二次方程2350x x +-=的两个根，则22a a b +-的值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．810．（2016湖南省娄底市）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D 沿BC 自B 向C 运动（点D 与点B 、C 不重合），作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，则BE +CF 的值（ ）A ．不变B ．增大C ．减小D ．先变大再变小二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．已知32a b =，则a ba b +-= ．12．如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB= ．13．如图，CD 是平面镜，光线从点A 出发经CD 上点O 反射后照射到点 B ，若入射角为α，反射角为β (反射角等于入射角)，AC CD ^于点C ，BD CD ^于点D ， 且3OC =，6OD =，2AC =，则BD =14．已知12,x x 是方程22310x x --=的两根，则1211x x += ．15．如图， 在ABC V 中， 点D 、E 为边AB 的三等分点， 点F 、G 在边BC 上，AC DG EF ∥∥，点H 为AF 与DG 的交点．若24AC =，则DH 的长为16．如图，B Ð的平分线BE 与BC 边上的中线AD 互相垂直，并且4BE AD ==，则BC 为三、解答题(共86分)17．计算：32cos45-+°18．解方程：228=0x x --19．如图， 在ABC V 中， 点D 、E 分别在边AC 、AB 上，2AB AD =，2AC AE =．(1)求证：ADE ABC △△∽；(2)若ADE V 的周长是8， 求△ABC 的周长．20．如图，O 为原点，B ，C 两点坐标分别为()()3121-，，，．(1)以O 为位似中心在y 轴左侧将OBC △放大两倍，并画出图形；(2)已知()M a b ，为OBC △内部一点，写出M 的对应点M ¢的坐标．21． 某水果店经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．(1)则每次降价的百分率为 ；(2)经市场调查发现，若水果每千克盈利10元，每天可售出500千克．在进货价不变的情况下，商店决定采取适当的降价措施，若每千克降价1元，日销售量将增加20千克，现商店要保证该水果每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应降价多少元?22． 如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，(1)已知AE 平分BAC Ð，求作菱形ADEF ， 使得D F 、分别在边AB AC 、上；(要求：尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹)(2)在（1）的条件下， 若2CF =，23AD DB =：：，求CE 的长23．课题：《杠杠原理与相似三角形》杠杆原理：也称为“杠杆平衡条件”：杠杆原理是几何学在物理学的体现．相关概念：支点：杠杆绕着转动的固定点；动力：使杠杆转动的力；阻力：阻碍杠杆转动的力；动力臂：从支点到动力作用线的距离；阻力臂：从支点到阻力作用线的距离．基本模型：当一个力通过一个支点施加在杠杆上时，通过作图，可以观察到两个相似的三角形如图，因为90CAO DBO Ð=Ð=°，COA DOB Ð=Ð，所以AOC BOD V V ∽， 则有OAOB= ①又因为12AC F BD F ×=×（消耗的功W F S =×一致)，可得 21F AC BD F =，所以21F OA OB F =可得②2F OB ×=______（1F 为阻力的反作用力）．即，动力´动力臂=阻力´阻力臂．得出结论：要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等(1)补全①、②所缺的内容，课题证明杠杆原理过程中运用到的几何知识是(2)如图，小明用实心钢管制作了一个自带支点杠杆A -O -B ，O 为支点，90AOB Ð=°，30cm AO =，90cm BO =，30OBC Ð=°，AD 方向上因撑起一物体产生450牛顿（国际单位制中，力的单位）的阻力1F ，BC 方向上施加一个力2F 使杠杆平衡，AD BC ∥．请利用“动力臂”，“阻力臂”与“支点”概念构造相似三角形 ，并运用“杠杆原理”相关知识，求出2F 的大小．24．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如20x x +=是“差1方程”．(1)判断下列方程是不是“差1方程”：①2104x -=；②2560x x --=；(2)已知关于x 的方程()210x m x m +--=（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值：(3)若关于x 的方程210ax bx ++=（a ，b 是常数，0a >）是“差1方程”，设 210t a b =-，求t 的最大值．25． AB 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，4AO =，cos BAO Ð=(1)求点B 的坐标；(2) D 为第一象限上的一点，射线AD 与线段OB 交于点 C ．BD AC ^于点 D ，连接OD ．①求证：BAD BOD Ð=Ð；②设DCn CA=，试问：是否存在实数n ，使得满足条件的点C 有且只有一个? 若存在，求实数n 的值； 若不存在，请说明理由．1．D【分析】根据二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数，可得3-x≥0，再解不等式即可．【详解】解：∵∴3-x≥0，∴x≤3.故选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.2．C【分析】此题考查了成比例线段，若ad bc =，则a ，b ，c ，d 成比例，据此进行计算判断即可．【详解】解：A 、1423´¹´，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；B 、2534´¹´，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；C 、2634´=´，故此选项中四条线段成比例，符合题意；D 、2846´¹´，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意，故选：C ．3．C【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A 、是分式方程，故A 错误；B 、0a =时不是一元二次方程，故B 错误；C 、()()23 1x x -+=整理后为270x x +-=，是一元二次方程，故C 正确；D 、是二元二次方程，故D 错误；故选：C ．4．A【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角A 的邻边与斜边的比叫做A Ð的余弦是解题的关键．根据勾股定理求出AB ，根据余弦的定义计算即可．【详解】如图所示，∵在Rt ABC V 中，90,5,12C AC BC Ð=°==，∴由勾股定理得，13AB ===，则5cos 13AC A AB ==，故选：A ．5．B【分析】先移项，然后利用完全平方公式配方即可．【详解】解：移项，得：244x x +=，两边同时加4，得：24444x x ++=+，配方，得：()228x +=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方的方法和步骤．6．D【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，∵BC 和AD 对应，CE 和DF 对应，BE 和AF 对应，∴CE DF CB AD=，AD BCAF BE =，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键．7．A【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形的中线的性质，相似三角形的判定和性质．理解和掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据重心的性质可得13GD GD AD AG GD ==+，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得18ABD ACD S S ==△△，接着证明DEG DBA △∽△，DFG DCA △∽△，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得219DEG DBA S DG S DA æö==ç÷èø△△，219DFG DCAS DG S DA æö==ç÷èø△△，从而求出129DEG DBA S S ==△△，129DFG DCA S S ==△△，进而可求解．【详解】解：∵点G 是ABC V 的重心，∴2AG GD =，∴13GD GD AD AG GD ==+，∵AD 是ABC V 的中线，∴11361822ABD ACD ABC S S S ===´=V V V ，∵GE AB P ，GF AC ∥，∴DEG DBA △∽△，DFG DCA △∽△，∴219DEG DBA S DG S DA æö==ç÷èø△△，219DFG DCA S DG S DA æö==ç÷èø△△，∴129DEG DBA S S ==△△，129DFG DCA S S ==△△，∴4EFG DEG DFG S S S =+=△△△，故选：A ．8．B【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可．【详解】解：12Ð=ÐQ ，12CAD CAD\Ð+Ð=Ð+ÐBAC DAE\Ð=ÐA 、由两个三角形的两个对应角相等可得ABC ADE △△∽，故不符合题意；B 、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定ABC ADE △△∽，故符合题意；C 、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得ABC ADE △△∽，故不符合题意；D 、由两个三角形的两个对应角相等可得ABC ADE △△∽，故不符合题意；故选：B ．9．D【分析】本题主要考查一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意得出2350a a +-=，3a b +=-，然后变形代入计算即可．【详解】解：∵α、β是一元二次方程2350x x +-=的两个根，∴2350a a +-=，3a b +=-，即225a a a +=-，∴()2258a a b a b +-=-+=，故选：D ．10．C【详解】试题分析：已知BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，可得CF ∥BE ，根据平行线的性质得∠DCF=∠DBE ，设CD=a ，DB=b ，∠DCF=∠DBE=α，所以CF=DC•cosα，BE=DB•cosα，即可得BE+CF=（DB+DC ）cosα=BC•cosα，因∠ABC=90°，所以O ＜α＜90°，当点D 从B→D 运动时，α是逐渐增大的，cos α的值是逐渐减小的，所以BE+CF=BC•cos α的值是逐渐减小的．故答案选C ．考点：锐角三角函数的增减性．11．5【分析】根据比例设a =3k ，b =2k ，然后代入比例式进行计算即可得解．【详解】解：∵32a b =，∴设a =3k ，b =2k ，则32532a b k ka b k k++==--，故答案为：5．【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k 法”求解更简便．12．12．【详解】试题分析：过点A 作AD ⊥OB 垂足为D ，如图，在直角△ABD 中，AD=1，OD=2，则tan ∠AOB=AD OD =12．故答案为12．考点：1．锐角三角函数的定义；2．网格型．13．4【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据a b =，得AOC BOD ÐÐ=，进而证明ACO BDO △∽△，再利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：由题意得，a b =，如图，∵PO CD ^，∴90POC POD Ð=Ð=°，∴POC POD a b Ð-=Ð-，∴AOC BOD ÐÐ=，∵AC CD ^，BD CD ^，∴90ACO BDO Ð=Ð=°，∴ACO BDO △∽△，∴AC CO BD DO=，即236BD =，∴4BD =，故答案为：4．14．-3【分析】根据一元二次方程的根与系数关系得到1232x x +=，1212x x =-，代入12121211x x x x x x ++=即可得到答案．【详解】解：∵12,x x 是方程22310x x --=的两根，∴1232x x +=，1212x x =-，∴1212123112312x x x x x x ++===--，故答案为：﹣3【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数关系的内容是解题的关键．15．4【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．由三等分点的定义与平行线的性质得出3AB BE =，DH 是AEF △的中位线，证BEF BAC ∽△△，得8EF =，再根据中位线的性质即可求解．【详解】解：∵点D 、E 为边AB 的三等分点，AC DG EF ∥∥，∴BE DE AD ==，BF GF CG ==，AH HF =，∴3AB BE =，DH 是AEF △的中位线，∴12DH EF =，∵AC EF P ，∴BEF BAC ∽△△，∴EF BE AC BA =，∴243EF BE BE=，解得：8EF =，∴142DH EF ==．故答案为：4．16．【分析】先证明()ASA ABG DBG V V ≌，得到122AG DG AD ===，取CE 的中点F ，连接DF ，由三角形中位线定理得到1,22DF BE DF BE ==∥，则ADF AGE △∽△，得12GE AG DF AD ==，求出112GE DF ==，则3BG BE GE =-=，由勾股定理得到BD =，即可得到答案．【详解】解：∵ABC Ð的平分线BE 与BC 边上的中线AD 互相垂直，∴ABG DBG Ð=Ð，90AGB DGB Ð=Ð=°，BD DC =，又∵BG BG =，∴()ASA ABG DBG V V ≌，∴122AG DG AD ===，取CE 的中点F ，连接DF ，∵点D 是BC 的中点，∴1,22DF BE DF BE ==∥，∴ADF AGE △∽△，∴12GE AG DF AD ==，∴112GE DF ==，∴3BG BE GE =-=，∴BD ===，∴2BC BD ==，故答案为：【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，构造中位线是解题的关键．17．3【分析】此题主要考查了实数的混合运算，涉及二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握运算顺序是解题的关键．首先化简二次根式、计算绝对值，特殊角的三角函数值，然后进行合并计算即可．【详解】解：原式32=++3=+-+3=18．1224x x =-=，【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用十字相乘法把方程左边分解因式，然后解方程即可．【详解】解：∵228=0x x --，∴()()420x x -+=，∴20x +=或40x -=，解得1224x x =-=，．19．(1)证明见解析(2)16【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．（1）首先得到12AD AE AB AC ==，然后结合A A Ð=Ð得到ADE ABC △△∽；（2）根据相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：∵2AB AD =，2AC AE =，∴12AD AE AB AC ==，又∵A A Ð=Ð，∴ADE ABC △△∽．（2）解：∵ADE ABC △△∽，∴12ADEABC l AD l AB ==△△，∴216ABC ADE l l ==△△．20．(1)见解析(2)()22a b --，【分析】本题主要考查作图-位似变换、坐标规律等知识点，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．（1）先根据位似的性质作出B ，C 两点的对应点B C ¢¢、，然后顺次连接即可；（2）观察点的变化规律，并运用规律即可解答．【详解】（1）解：如图，OB C ¢¢△即为所求．（2）解：由图可得，点()()6242B C ¢¢---，，，，即对应点的是原点横、纵坐标的2-倍．所以点()M a b ，的对应点M ¢的坐标为()22a b --，．21．(1)20％(2)5元【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．（1）设每次下降的百分率为a ，再根据题意列一元二次方程求解即可；（2）设每千克应降价x 元，根据题意列出一元二次方程求解即可．【详解】（1）解：设每次下降的百分率为a ，根据题意可得：()250132x -=，解得：1 1.8180x ==％（舍）或20.220x ==％，答：每次下降的百分率为20％．（2）解：设每千克应降价x 元，由题意，得()()10500203000x x -+=，整理，得2151000x x +-=，解得：15x =，120x =-（舍），答：该商场要保证每天盈利3000元，那么每千克应降价5元．22．(1)图见详解(2)CE =【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分可作AE 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点F ，则以A D E F 、、、四点为顶点的四边形就是所求的菱形；（2）设CE x =，则EF AF AD DF EF ====，再根据比例的性质和平行线分线段定理可得32BD AD ==32BE x =，然后再说明90BED Ð=°，最后运用勾股定理即可解答．【详解】（1）解：作AE 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点F ，则以A D E F 、、、四点为顶点的四边形就是所求的菱形，如图所示：（2）解：设CE x =，∵90ACB Ð=°，2CF =，∴EF ==∵四边形ADEF 是菱形，∴AF AD DF EF ====，∵∥D E A C ，23AD DB =：：，∴32BD AD ==23CE AD BE BD ==，∴32BE x =，∵∥D E A C ，90ACB Ð=°，∴90BED Ð=°，∴222DE BE BD +=，即：22232x æö+=ç÷èø，解得：x =∴CE =【点睛】本题主要考查尺规作图、菱形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．23．(1)AC BD；1F OA ×；相似三角形的对应边成比例(2)150牛顿【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．（1）依据相似三角形的对应边成比例进行推导即可；（2）过点O 作OE AD ^，交DA 延长线于点E ，延长BC 交EO 的延长线于点F ，先证得AOE BOF V V ∽，推出301903OE OF ==，再利用“动力´动力臂=阻力´阻力臂”代入进行求解即可．【详解】（1）解：∵AOC BOD V V ∽，∴OA AC OB BD=，∵21P OA OB F =，∴21F OB F OA ×=×，运用到的几何知识是相似三角形对应边成比例，故答案为：AC BD；1F OA ×；相似三角形对应边成比例．（2）解：如图，过点O 作OE AD ^，交DA 延长线于点E ，延长BC 交EO 的延长线于点F ，∵AD BC ∥，∴18090F E Ð=°-Ð=°，∴90F E Ð=Ð=°，∵90AOB Ð=°，∴90AOE BOF Ð+Ð=°，又∵90B BOF Ð+Ð=°，∴AOE B Ð=Ð，∴AOE BOF V V ∽，∴OA OE OB OF=，即301903OE OF ==，∴12F OE F OF ×=×，即245014501503OE F OF ×==´=（牛顿），答：2F 的大小为150牛顿．24．(1)①是“差1方程”，理由见解析；②不是“差1方程”，理由见解析(2)2m =-或0；(3)3a =时，t 的最大值为9【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义．（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”；（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m 的方程，注意有两种情况；（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a 与b 的关系式，再由210t a b =-，得t 与a 的关系，从而得出最后结果．【详解】（1）解：①2104x -=214x =∴112x =，212x =-，∵11122æö--=ç÷èø，∴2104x -=是“差1方程”；②解：∵2560x x --=∴()()610x x -+=∴60x -=或10x +=∴16x =，21x =-∵()617--=∴2560x x --=不是“差1方程”；（2）解：()210x m x m +--=∴()()10x x m -+=，x m \=-或1x =，Q 关于x 的方程()210x m x m +--=（m 是常数）是“差1方程”，∴11m --=或()11m --=，2m \=-或0；（3）解：∵210ax bx ++=由题可得：2240a D -³∴解方程得x =Q 2a ，b 是常数，0a >）是“差1方程”，\1=，224b a a \=+，210t a b =-Q ，()22639t a a a \=-=--+，∵()230a -³∴()230a --£∴()2399a --+£∴当()230a -=时，即3a =时，t 的最大值为9．25．(1)()0,8B (2)①证明见解析；②存在，n【分析】（1）先根据余弦的定义可得AB 的长，再利用勾股定理可得8OB =，即可求解；（2）①先根据相似三角形的判定证出AOC BDC ∽△△，根据相似三角形的性质可得AC OC BC DC=，再根据相似三角形的判定证出ABC ODC V V ∽，然后根据相似三角形的性质即可得证；②设OC x =，则8BC x =-，先根据AC OC BC DC =，得()28x x AC n-=，再利用勾股定理可得()218160n x x n +-+=，然后利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】（1）解：∵4AO =，cos OA BAO AB Ð==∴AB 在Rt AOB V 中，由勾股定理得，222AB A OB O =-，∴8OB =，∴()0,8B ．（2）①证明：∵BD AC ^，∴=90BDC а，∵ACO BCD Ð=Ð，90AOB Ð=°∴AOC BDC ∽△△，∴AC OC BC DC =，∴AC BC OC DC=，∵ACB OCD Ð=Ð，∴ABC ODC V V ∽，∴BAD BOD Ð=Ð②解：存在，n =，理由如下：设OC x =，则8BC x =-，∵DC n CA=，答案第15页，共15页∴DC nCA =，由①知，AC OC BC DC =，∴8AC x x nAC=-，∴()28x x AC n-=，在Rt AOC V 中，由勾股定理得，222AC AO OC =+，∴()2816x x x n-=+，整理，得()218160n x x n +-+=，∵要使满足条件的点C 有且只有一个，∴该方程有两个相等的实数根，∴()Δ646410n n =-+=，解得1n =2n =，∴n 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根与判别式的关系，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的性质与判定和一元二次方程根与判别式的关系是解题关键．。
湖北省荆州市监利市2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)
2023～2024学年度上学期期中考试九年级数学试题注意事项：1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟．2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．解答题中添加的辅助线、字母和符号等务必标在答题卡对应的图形上．3．在答题卡上答题，选择题要用2B 铅笔填涂，非选择题要用0.5毫米黑色中性笔作答．★祝考试顺利★一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，将紫荆花图案绕中心旋转n 度后能与原来的图案互相重合，则n 的最小值为（）A ．45B ．72C ．30D ．603．关于x 的方程230x x c -+=的一个根是2，则c 的值是（）A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数()243y x =---，若y随x 的增大而减小，则x 的取值范围是（）A ．4x <-B ．4x <C ．4x >-D ．4x >5．用配方法解一元二次方程2430x x --=时，方程变形正确的是（）A ．()221x -=B ．()224x -=C ．()227x -=D ．()225x -=6．关于x 的一元二次方程2210ax x --=有实数根，则a 的取值范围是（）A ．1a >-B ．1a ≥-且0a ≠C ．1a ≥-D ．1a >-且0a ≠7．已知拋物线()21y a x k =+-与x 轴交于点()()4,0,,0A B m ，则,A B 两点之间的距离是（）A ．4B ．6C ．8D ．108．已知O 的弦16AB =，点C 是弦AB 的中点，作射线OC 交O 于点D ，若4CD =，则O 的半径长是（）A ．12B ．10C ．8D ．169．若二次函数22y x x c =+-的自变量和函数值如下表所示，那么方程220x x c +-=的一个近似根是（）x2-1-01y1-2-1-2A ．1.4-B ．0.5-C ．0.4D ．1.310．如图，一段抛物线()()404y xx x =--≤≤，记为1C ，它与x 轴交于点1,O A ；将1C 绕点1A 旋转180︒得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180︒得3C ，交x 轴于点3;A ⋅⋅⋅，如此进行下去，若()2023,P m 是其中某段抛物线上一点，则m 的值为（）A ．3-B ．3C ．6-D ．6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中，点()3,2-关于原点对称的点的坐标为______．12．已知O 的直径10cm,CD AB =是O 的弦，且AB CD ⊥，垂足为M ，若8cm AB =，则OM 的长为______cm ．13．把抛物线23y x =-先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______．14．已知12,x x 是关于x 的方程220x bx c +-=的两个实数根，且12123,2x x x x +=-⋅=，则b c 的值是______．15．如图是一座抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面的宽度为4米；那么当水位下降1米时，水面的宽度为______米．（第15题图）16．某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为2120m 的矩形车棚，其中一面靠墙（墙的可用长度为15m ），另外三面用29m 长的木板材料新建板墙．根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个3m 宽的门，为了方便学生取车，施工方决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图），使得停放自行车的面积为264m ，那么小路的宽度为______米．（第16题图）三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（本题满分8分）解方程：（1）2410x x --=（2）()()23430x x -+-=18．（本题满分8分）如图，CD 是O 的直径，弦AB 与CD 相交于点,E C 为劣弧AB 的中点，若2,8CE AB ==，（1）求O 的半径；（2）求弦AD 的长．19．（本题满分8分）如图，在方格网中已知格点ABC △，用无刻度直尺按要求画图．（1）在方格网中画出ABC △关于点A 对称的图形ADE △；（2）在方格网中画出ABC △以B 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90︒后的图形MBN △．20．（本题满分8分）已知关于x 的一元二次方程2430x x c -++=有两个不相等的实数根．（1）若该方程的一个实数根为1-，求另一个实数根；（2）若该方程的两个不相等的实数根为α和β，且11c αβ+=，求c 的值．21．（本题满分8分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量约为25万辆，2022年出口量约为64万辆．（1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？（2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量约为多少万辆？22．（本题满分10分）在ABC △中，90,BAC AB AC ∠=︒=．图1图2（1）如图1，D 为BC 边上一点（不与点,B C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AE ，连接EC ．求证：90BCE ∠=︒；（2）如图2，D 为ABC △外一点，且45ADC ∠=︒，仍将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AE ，连接,,EC ED BD ．若9,3BD CD ==，求AD 的长．23．（本题满分10分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x （元/件）的一次函数．其售价、月销售量、月销售利润w （元）的三组对应值如下表：售价x （元/件）150160180月销售量y件14012080月销售利润w 元420048004800注：月销售利润月销售量（售价进价）（1）根据上述信息求：①y关于x 的函数解析式；②当x 是多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？（2）由于某种原因，该商品的进价提高了m 元/件()0m >，物价部门规定该商品的售价不得超过165元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数解析式．若月销售利润最大是4620元，求m 值．24．（本题满分12分）如图1，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()5,0A -和B 两点，与y轴交于点()0,5C ．图1图2（1）求该抛物线的函数表达式；（2）P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点P 作//P D y 轴交AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线,y y ''与原抛物线相交于点M ，点N 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H ，使以点,A M ，,N H 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．2023～2024学年度上学期期中考试九年级数学试题参考答案（请各位教师在阅卷前先做题审答案）一、选择题1．C 2．B 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D8．B9．C10．A二、填空题11．()3,2-12．313．()2321y x =-+-（一般式231213y xx =---）14．1-15．16．2三、解答题17．解：（1）1,4,1a b c ==-=- ()()2Δ441120∴=--⨯⨯-=422x ∴==1222x x ∴==（2）()()23430x x -+-= ()()310x x ∴-+=30,10x x ∴-=+=123,1x x ∴==-18．解：（1）连AOCD 是O 的直径，C 为劣弧AB 的中点1,42CD AB AE AB ∴⊥==设O 的半径为，则,2AO r OE r ==-在Rt AOE △中，222AO AE OE =+，即()22242r r =+-解得5r =即O 的半径为5（2）8,4,DE CD CE AE CD AB=-==⊥AD ∴==19．解：（1）如图，ADE △即为所求；（2）如图，MBN △即为所求；20．解：（1）设另一个实数根为m ，根据题意得14m -+=5m ∴=即另一个实数根为5（2）根据题意得，4,3c αβαβ+==+1143c c αβαβαβ+∴+===+解得4c =-或1当4c =-时，Δ2050=>当1c =时，Δ0=（舍）综上可得，c 的值为4-．21．解：（1）设2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是x ，根据题意得()225164x +=解得120.6, 2.6x x ==-（舍）答：2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是60%．（2）()6410.6102.4+=答：预计2023年我国新能源汽车出口量约为102.4万辆．22．（1）证明：由旋转的性质得，90,BAC DAE AE AD∠=∠==︒BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE∠=∠AB AC = ()BAD CAE SAS ∴≌△△ABD ACE ∴∠=∠90,BAC AB AC ∠=︒= 45ABD ACB ACE ∴∠=∠=∠=︒90BCE ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒（2）解：由旋转的性质得，90,BAC DAE AE AD∠=∠==︒BAC DAC DAE DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAD CAE∠=∠AB AC = ()BAD CAE SAS ∴≌△△9BD CE ∴==90,DAE AE AD ∠=︒= 45ADE AED ∴∠=∠=︒45ADC ∠=︒ 90EDC ADE ADC ∴∠=∠+∠=︒2262DE CE CD ∴-=6AD ∴=23．解：（1）①设y kx b =+，把150,140x y ==和160,120x y ==代入解析式得150140160120k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2440k b =-⎧⎨=⎩y ∴关于x 的函数解析式为2440y x =-+②由题意可得，每件商品的进件为1504200140120-÷=元()()21202440268052800w x x x x ∴=--+=-+-∴当1702bx a=-=时，w 有最大值，最大值是5000当x 是170时，月销售利润最大，最大利润是5000元（2）由题意可得，()()()212024402680252800440w x m x x m x m=---+=-++--∴当17022b mx a =-=+时，w 有最大值0m > 1701702m ∴+>20a =-< ∴当165x ≤时，w 随x 的增大而增大∴当165x =时，w 取最大值4620即()()1651203304404620m ---+=解得3m =24．解：（1）解：将()5,0A-和()0,5C 代入2y x bx c =-++得25505b c c --+=⎧⎨=⎩解得4,5b c =-=∴抛物线的函数表达式为245y xx =--+（2）设AC 的解析式为y kx b =+，将()5,0A -和()0,5C 代入y kx b =+解得1,5k b AC ==∴的解析式为5y x =+ 点P 在抛物线上，//P D y 轴交AC 于点D ∴设()2,45P m m m --+，则()2,5,5Dm m PD m m +=--，其中50m -<<由二次函数的性质可得，当52m =-时，PD 的最大值为254此时点P 的坐标是535,24⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）点H 的坐标为()3,0.3--或()1,4.4-或()7,2-或()7,3-．其他解法，正确即可．平移后函数解析式为()222491227y x x x =-+++=---，与原函数交点()4,5M -；①以A M 为边，当90AMN ∠=︒时，设()13,Hy -，在Rt AMH △中由勾股定理可求得10.3y =-②以A M 为边，当90MAN ∠=︒时，设()21,H y -，在Rt AMH △中由勾股定理可求得24.4y =③以A M 为对角线，当90AHM ∠=︒时，设()37,H y -，在Rt AMH △中由勾股定理可求得32y =或3。
江苏省徐州市邳州市2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷(含答案)
2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学试题注意事项1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟。
2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置。
3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．方程的解是（ ）A ．，B ．C ．，D ．，2．的半径长为4，若点P 到圆心的距离为3，则点P 与的位置关系是（ ）A ．点P 在内B ．点P 在上C ．点P 在外D ．无法确定3．方程的两根为、，则（ ）A ．6B ．－6C ．3D ．－34．下列函数的图象与的图象形状相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10（第5题）6．如图，在半径为5的中，弦，点C 是弦AB 上的一动点，若OC 长为整数，则满足条件的点C 有（）240x x -=12x =-22x =4x =10x =24x =14x =-24x =O e O e O e O e O e 2261x x -=1x 2x 25y x =22y x=252y x =-+251y x x =++51y x =-20ADB ∠=︒O e 8AB =（第6题）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，已知某市一共有285个社区，第一季度已有60个社区实现垃圾分类，第二、三季度实现垃圾分类的小区个数较前一季度平均增长率为x ，要在第三季度将所有社医都进行垃圾分类，下列方程正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．当时，函数的最小值为1，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．0或3二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．一元二次方程的根是______．10．请在横线上写一个常数，使得关于x 的方程有两个相等的实数根．11．若是一元二次方程的一个根，则______．12．如图，是的内切圆，若，，则______°．（第12题）13．已知二次函数的图像经过点、，则______（填“>”“<”或“＝”）．14．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108°，半径为12cm 的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为______cm．()2601285x +=()2601285x -=()()2601601285x x +++=()()260601601285x x ++++=1a x a -≤≤221y x x =-+213x -=26______0x x -+=1x =20x mx n --=2024m n ++=O e ABC △60ABC ∠=︒50ACB ∠=︒BOC ∠=()()210y a x c a =-+<()11,y -()24,y 1y 2y（第14题）15．平面直角坐标系中，若平移二次函数的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为______．16．已知如图，二次函数的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，连接BC ，点M 是BC 上一点，射线MN 与以A 为圆心，1为半径的相切于点N ，则线段MN 的最小值是______．（第16题）三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）解下列方程：（1）；（2）．18．（本题8分）已知关于x 的一元二次方程．求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）如图，AB 是的直径，弦AD 平分，，垂足为E ．试判断DE 与的位置关系，并说明理由．（第19题）()()202420254y x x =--+2y =+A e 2420x x --=()()323x x x +=+210x mx m ++-=O e BAC ∠DE AC ⊥O e20．（本题8分）某小区有一块矩形绿地，长为20m ，宽为8m ．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少a m ，宽增加a m ，改造后的面积比原来增加，求a 的值．21．（本题10分）已知y 是x 的函数，下表中给出了几组x 、y 的对应值：x …－2－1.5－101 4.55…y…3m－2－31.3753…（1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图像可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m 的值；（2）结合图像回答问题：当x 的取值范围是____________时，．（第21题）22．（本题10分）如图，在中，，以AB 为直径作，分别交AC 、BC 于点D 、E ．（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）过点E 作的切线，交AB 的延长线于点F ，当时，求图中阴影部分面积．（第22题）23．（本题10分）商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元．（1）该商场平均每月可售出______件商品（用含x 的代数式表示）；（2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？227m 0y ≥ABC △AB AC =O e BE CE =40BAC ∠=︒ADE ∠O e 2AO BE ==()50100x x <<（3）该商场决定每销售一件商品就捐赠a 元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小，求a 的取值范围．24．（本题10分）（1）如图①，点A 、B 、C 、D 在上，，则______°：（2）如图②，A 、B 两点分别在x 轴和y 轴上，是的外接圆，利用直尺和圆规在第一象限内作出一点P ，使，且；（保留作图痕迹）（3）如图③，已知线段AB 和直线l ，利用直尺和圆规在l 上作出点P ，使；（保留作图痕迹）（4）如图④，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为，过点B 作轴，轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），使得的位置有两个，则m 的取值范围为______．（第24题）25．（本题10分）如图，二次函数的图像与x 轴交于点、，与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ．（1）填空：______，______；（2）如图①，若点D 是此二次函数图像的第一象限上一点，设D 点横坐标为m ，当四边形OCDB 的面积最大时，求m 的值；（3）如图②，若点P 在第四象限，点Q 在PA 的延长线上，当时，求点P 的坐标．（第25题）()1a ≥O e 35BAC ∠=︒BOC ∠=C e AOB △OPA OBA ∠=∠OP AP =30APB ∠=︒()2,m AB y ⊥BC x ⊥45OPC ∠=︒212y x bx c =-++()1,0A -()4,0B b =c =45CAQ CBA ∠=∠+︒2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）题号12345678答案CACBCCDD二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）9．，10．911．202512．12513．>14．3.615．向下平移4个单位长度16三、解答题（本大题共9小题，共84分）17．（本题10分）解：（1）移项，得配方，得即直接开平方，得∴（2）移项，得因式分解，得∴或∴，18．（本题8分）解：∵，，∴∵不论m 为何值∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）解：DE 与相切理由是：连接OD∵∴∵AD 平分∴∴∴∵∴∴DE 与相切．12x =22x =-242x x -=24424x x -+=+()226x -=2x -=12x =+22x =()()3230x x x +-+=()()230x x -+=20x -=30x +=12x =23x =-1a =b m =1c m =-()2²4411b ac m m -=-⨯⨯-²44m m =-+()22m =-()220m -≥O e OD OA =ODA OAD∠=∠BAC ∠OAD CAD ∠=∠ODA CAD ∠=∠AC OD ∥DE AC ⊥OD DE ⊥O e（第19题）20．（本题8分）解：根据题意得：即：解得：，答：a 的值为3或9．21．（本题10分）（1）描点、连线如图是二次函数，设函数的表达式为：把点，，代入得解得：∴函数得表达式为（2）或．22．（本题10分）（1）证明：连接AE∵AB 是直径∴∴∵∴()()20820827a a -+-⨯=212270a a -+=13a =29a =()20y ax bx c a =++≠()1,0-()0,2-()1,3-023a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩213222y x x =--1.375m =1x ≤-4x ≥O e 90AEB ∠=︒AE BC ⊥AB AC =BE CE=（第22题）（2）解：∵，∴∵四边形ABED 是的内接四边形∴∴．（3）解：连接OE 则∵∴∴是等边三角形∴∵EF 是切线∴∴∴∴∴阴影部分的面积．23．（本题10分）（1）（2）设每月销售利润为y 元则∵，∴当时，y 有最大值16000答：商品售价定为80元时，每月销售利润最大；（3）设每月销售利润为y 元则∴对称轴为直线∵∴当时，y 随x 得增大而减小∵每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小∴解得：∵∴a 的取值范围是．24．（本题10分）（1）35，702分AB AC =40BAC ∠=︒180180407022BAC ABC ︒-∠︒-︒∠===︒O e 180ADE ABC ∠+∠=︒180********ADE ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒OE OA OB==2OA BE ==OA OB BE ==OBE △60BOE ∠=︒O e OE EF ⊥30F ∠=︒24OF OE ==EF ===2160π222π23603OEF BOE S S ⨯=-=⨯⨯=-扇形△101200x -+()()()224010120010160048000108016000y x x x x x =--+=-+-=--+100-<50100x <<80x =()()()24010120010160010480001200y x a x x a x a=---+=-++--()160010802102a a x +=-=+⨯-100-<802ax >+80852a+≤10a ≤1a ≥110a ≤≤（2）如图（3）如图（4）25．（本题10分）（1），2（2）∵点D 横坐标为m ，且点D 在二次函数的图像上∴点D 坐标为对于二次函数，当时，∴设BC ：则解得：∴BC ：21m ≤<32213222y x x =-++213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213222y x x =-++0x =2y =()0,2C y kx b =+402k b b +=⎧⎨=⎩122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩122y x =-+过点D 作轴，交BC 于点E 则∴∴到DE 的距离到DE 的距离（C 到DE 的距离到DE 的距离）∵，∴当时，有最大值8∴．（3）∵，，∴，，∴∴设，则∵∴∴DE y ∥1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2213112222222DE m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭OBC BCD OCDB S S S =+四边形△△OBC CDE BDES S S =++△△△1122OC OB DE C =⨯⨯+⨯⨯12DE B +⨯⨯112422DE =⨯⨯+⨯⨯B +1442DE =+⨯⨯214222m m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭244m m =-++()()22804m m =--+<<10a =-<04m <<2m =OCDB S 四边形2m =()1,0A -()4,0B ()0,2C 25AC =220BC =225AB =222AC BC AB +=90ACB ∠=︒ABC x ∠=90CAB x∠=︒-45CAQ CBA ∠=∠+︒45CAQ x ∠=+︒()()180459045PAB x x ∠=︒-+︒-︒-=︒设直线AP 交y 轴于F则∴设AP ：则解得：∴AP ：设∵点P 在二次函数的图象上∴解得：，（舍去）当时，∴点P 的坐标为．1OF OA ==()0,1F -y kx b =+01k b b -+=⎧⎨=-⎩11k b =-⎧⎨=-⎩1y x =--()(),10P n n n -->213222y x x =-++2132122n n n -++=--16n =21n =-6n =17n --=-()6,7-。
2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷(陕西专用,北师大版九上全部)(考试版A4)
2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（陕西专用）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版九年级（九上全册）。
5．难度系数：0.69。
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．下列函数不是反比例函数的是（ ）A．y＝3x﹣1B．y=―x3C．xy＝5D．y=12x2．如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（ ）A．圆锥B．长方体C．三棱柱D．圆柱3．若双曲线y=k―1x的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（ ）A．k＞1B．k＜1C．k＝1D．不存在4．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.7左右，则布袋中白球可能有（ ）A．15个B．20个C．30个D．35个5．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，AC＝5，EF＝4，则DE的长度是（ ）A ．6B ．23C ．53D ．836．在长为30m ，宽为20m 的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m 2，求道路的宽度设道路的宽度为x （m ），则可列方程（ ）A ．（30﹣2x ）（20﹣x ）＝468B ．（20﹣2x ）（30﹣x ）＝468C ．30×20﹣2×30x ﹣20x ＝468D ．（30﹣x ）（20﹣x ）＝4687．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y =3x和y =n x 的图象的四个分支上，则实数n 的值为（ ）A ．﹣3B ．―13C ．13D ．38．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE AE =34，BE ＝1，F 是BC 的中点．现有下列四个结论：①DE ＝3；②四边形DEBC 的面积等于9；③（AC +BD ）（AC ﹣BD ）＝80；④DF ＝DE ．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．广场上，一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则该投影属于__________.（填“平行投影”或“中心投影”）10．反比例函数y =k x的图象经过点（1，6）和（m ，﹣3），则m ＝__________．11．已知等腰三角形的两边长是方程x 2﹣9x +18＝0的两个根，则该等腰三角形的周长为__________．12．如图，在菱形ABCD 中，AC ＝24，BD ＝10．E 是CD 边上一动点，过点E 分别作EF ⊥OC 于点F ，EG⊥OD 于点G ，连接FG ，则FG 的最小值为__________．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝8cm ．点P 从点C 出发，以2cm /s 的速度沿着CA向点A 匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿BC 向点C 匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过__________秒后，△PCQ 与△ABC 相似．三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）14．（5分）解方程：x 2﹣4x +1＝0．15．（5分）已知：a 2=b 3=c 4≠0，且2a ﹣b +c ＝10．求a 、b 、c 的值．16．（5分）一个几何体由一些大小相同的小正方块儿搭建，如图是从上面看到的这个几何体的形状如图，小正方形的数字表示在该位置的小正方块儿的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．．17．（5分）如图所示，BE，CF是△ABC的高，D是BC边的中点，求证：DE＝DF．18．（5分）已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC中取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，求AD的长．19．（5分）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF：DE＝2：3，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得AM＝21m，边DF离地面的距离为1.6m，求树高AB．20．（5分）如图所示某地铁站有三个闸口．（1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为 ．（2）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．21．（6分）如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB的高度．（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出旗杆AB在阳光下的投影．（2）已知小亮的身高为1.72m，在同一时刻测得小亮和旗杆AB的投影长分别为0.86m和6m，求旗杆AB的高．22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．（1）以原点O 为位似中心，在第三象限内画出将△ABC 放大为原来的2倍后的位似图形△A 1B 1C 1；（2）已知△ABC 的面积为72，则△A 1B 1C 1的面积是__________．23．（7分）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y （毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段OA 与部分双曲线AB 组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．（1）求部分双曲线AB的函数表达式；（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上6：30能否驾车去上班？请说明理由．24．（8分）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C 同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P，Q P和点Q的距离第一次是10cm？25．（8分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E 作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG 是正方形；（2）探究：CE +CG 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．26．（10分）如图，12y kx =+的图象与反比例函数2y mx =图象相交于A 、B 两点，已知点B 坐标为（3，﹣1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求得另一个交点A（﹣1，3），观察图象，请直接写出不等式kx+2≤mx的解集；（3）P为y轴上的点，Q为反比例函数图象上的点，若以ABPQ为顶点的四边形是平行四边形，求出满足条件的点P的坐标．。
福建省福州市长乐区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024—2025学年第一学期期中适应性练习九年级数学（全卷满分：150分，考试时间：120分钟）友情提示：请将答案写在答题卡规定位置上，不得错位、越界答题．一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．将抛物线向右平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，是的直径，点在上．若，．则的半径长为（ ）第3题A ．1B ．2CD4．下列一元二次方程中，根是的方程是（）A ．B．C ．D ．5．已知一个圆心角为120°，半径为3的扇形，则这个扇形的弧长是（ ）A ．B ．C ．D ．6．对于二次函数，下列判断正确的是（ ）A ．当时，取得最大值B ．当时，取得最小值2y x =()223y x =--()223y x =+-()223y x =-+()223y x =++AB O e C O e 2AC =BC =O e x =23210x x +-=23210x x --=23410x x +-=2230x x --+=π2π3π4π()226y x =--+2x =y 2x =yC ．当时，取得最大值D ．当时，取得最小值7．一根排水管的截面如图所示，截面水深是4dm ，水面宽是16dm ，则排水管的截面圆的半径是（）第7题A ．6dmB ．10dmC ．D ．20dm8．将点绕原点逆时针旋转90°得到点，则点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，，分别切于，两点，点在优弧上，，则的度数为（）第9题A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°10．已知二次函数的图象上有两点和（其中），则下列判断正确的是（）A ．若时，B ．若时，C ．若，时，D ．若，时，二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．若一元二次方程的一个根为，则的值为______．12．一元二次方程根的判别式的值是______．13．已知的半径是5cm ，若圆心到直线的距离是4cm ，则直线与的位置关系是______．（填“相交”、“相切”或“相离”）14．如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为______．2x =-y 2x =-y CD ABOB ()2,3A O B B ()2,3-()2,3-()3,2-()3,2-PA PB O e A B C ACB 80P ∠=︒C ∠()220y ax ax c a =-+≠()11,A x y ()22,B x y 12x x <122x x +<120y y ->122x x +>120y y ->0a >122x x +>120y y ->0a <122x x +<120y y -<210x ax +-=1x =a 2310x x --=O e O AB AB O e ABC O BC 2AB =BPQ △BAO △B CP CP第14题15．某品牌汽车刹车后行驶的距离（单位：m ）与滑行时间（单位：s ）的函数关系式是．汽车刹车后到停下来前进了______m ．16．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，如用的内接正十二边形面积来近似估计圆的面积，则可得的近似值为3．若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得的近似值为______．（参考数据：，结果精确到0.1）第16题三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解方程．18．（8分）已知二次函数．（1）完成下表：…0123……__________________…（2）根据（1）的结果在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的图象；（3）结合函数图象，当时，的取值范围是______19．（8分）已知二次函数．求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点．s t 2156s t t =-O e O e ππ1.414≈ 1.732≈2410x x --=223y x x =--x 1-223y x x =--0y <x ()2221y x m x m =-++-m x20．（8分）如图，，是的直径，点在上，，求证：．21．（8分）如图，在中，，，，以点为圆心，2.4为半径作．求证：是的切线．22．（10分）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．（1）求二次函数的解析式；（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标．23．（10分）如图，在矩形中，，．将绕点顺时针旋转一个角度得到，点，的对应点分别为点，．图1图2（1）如图1，若点落在边上，求旋转角的度数；（2）如图2，若点落在线段上，与交于点，求的长．24．（12分）长乐栽培龙眼历史悠久，据文献记载宋光宗皇帝曾赐匾青山龙眼为“黄龙”．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．信息及素材AB CD O e E »BC»»BD BE =CE AB ∥Rt OAB △90AOB ∠=︒3OA =4OB =O O e AB O e 2y x bx c =++x A B y C ()1,0A -()3,0B P P PC x D PAD CAD S S =△△PABCD AB =2BC =ABC △C αFEC △A B F E E AD αE AF CE AD G AG素材一在专业种植技术人员的正确指导下，果农对龙眼种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2021年龙眼平均年产量是2.8万吨，2023年达到了3.2万吨，每年的增长率基本相同．素材二龙眼一般用长方体包装盒包装后进行售卖．素材三果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买用美观漂亮的其它造型的纸盒包装的龙眼．任务1：设龙眼产量的年平均增长率为，根据素材一列方程得______；任务2：现有长80cm ，宽75cm 的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的龙眼，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高；图1 图2任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求纸盒的底面边长．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．板厚度及剪切接缝处损耗忽略，结果取整数）图3 图425．（14分）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于的一元二次方程开展探究．（1）当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”；（2）若实数，满足，，且，求的值；（3）若两个不相等的实数，满足，，求的值．x 21400cm 1.732≈x 210x mx +-=1m =a b 21a ma -=224b mb +=2b a ≠-ab p q 21p mp q +-=21q mq p +-=pq m -2024—2025学年第一学期期中阶段反馈练习九年级数学参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．1-5 ACDAB6-10 ABDBD二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分11．0 12．13 13．相交 14．15．9.375 16．2.8三、解答题：本题共9小题，共86分．17．（8分）解：∴另解：∵，，∴∴∴18．（8分）（1）完成下表：…0123………解：（2）描点、连线，如图所示；（3）．19．（8分）证明：令，则241x x -=24414x x -+=+()225x -=2x -=12x =22x =1a =4b =-1c =-()()2244411b ac ∆=-=--⨯⨯-200=>x =2=±12x =22x =x 1-223y x x =--3-4-3-13x -<<0y =()22210x m x m -++-=()()224121m m ⎡⎤∆=-+-⨯⨯-⎣⎦()2240m =-+>∴方程总有两个不相等的实数根∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点．20．（8分）证明：连接∵ ∴ ∴∵ ∴ ∴．21．（8分）证明：过点作，垂足为∵，， ∴∵ ∴∵的半径为2.4 ∴ ∴是的切线．22．（10分）解：（1）∵二次函数的图象过点，∴ 解得∴二次函数的解析式为；（2）设（，）在中，当时，∴m x OE»»BDBE =BOD BOE ∠=∠12BOD DOE ∠=∠12C DOE ∠=∠BOD C ∠=∠CE AB ∥O OC AB ⊥C90AOB ∠=︒3OA =4OB=5AB ===1122OAB S OA OB AB OC =⋅=⋅△342.45OA OB OC AB ⋅⨯===O e r OC r =AB O e 2y x bx c =++()1,0A -()3,0B 10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩23b c =-⎧⎨=-⎩223y x x =--(),P m n 0m >0n >223y x x =--0x =3y =-3OC =∵∴∴∵点在二次函数图象上 ∴解得（舍去）∴点的坐标为． 23．（10分）解：（1）∵四边形是矩形图1∴， ∴由旋转，得，在中，∴ ∴∴旋转角的度数为45°；（2）由旋转，得，图2∴ ∵∴ ∴∵四边形是矩形∴，，∴ ∴ ∴设，则，在中， ∴解得 ∴的长为．PAD CAD S S =△△1122AD n AD OC ⋅=⋅3n =(),P m n 2233m m --=11m =21m =P ()1ABCD CD AB ==90D ∠=︒AD BC ∥DEC BCE∠=∠2CE BC ==BCE α∠=Rt CDE △DE ===CD DE =45DEC ∠=︒α90FEC B ∠=∠=︒CE BC=90AEC B ∠=∠=︒AC AC=()Rt Rt HL AEC ABC ≌△△ACE ACB ∠=∠ABCD AD BC ∥2AD BC ==CD AB ==90D ∠=︒GAC ACB ∠=∠GAC ACE ∠=∠AG CG =AG m =CG m =2DG AD AG m =-=-Rt CDG △222CG CD DG =+()2222m m =+-32m =AG 3224．（12分）解：任务1：；任务2：设裁掉正方形的边长为，根据题意，得解得，（不合题意，舍去）答：此时纸盒的高为20cm ；任务3：设底面正六边形为，连接，，，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点，设底面正六边形的边长为，纸盒的高为∵正六边形的每条边相等，每个内角都为120°∴为等腰三角形， ∴由正六边形的性质可得平分 ∴ ∴∴， 同理可得∵ ∴①∵左侧小三角形顶点的角度∴左侧小三角形是边长为的等边三角形根据图形的轴对称可得与长方形纸板的左右两边垂直∴为等边三角形的高 ∴ 同理可得∵四边形是矩形 ∴∵ ∴②联立①②式可得答：纸盒的底面边长约为30cm ．25．（14分）解：（1）将代入，得解得．()22.813.2x +=cm m ()()7528021400m m --=120m =21152m =ABCDEF AC FD BE AC BE G FD BE H BE M Ncm acmb ABC △120ABC ∠=︒30BAC BCA∠=∠=︒BE ABC ∠60ABE ∠=︒90AGB ∠=︒1122BG AB a ==AG CG==12HE BG a ==75b AG CG b +++=275b +=B 360120909060︒︒︒︒︒=---=b MN BM BM =EN BM ==AGHF GH AF a==80BM BG GH HE EN ++++=280a +=16030a =-≈1m =210x mx +-=210x x +-=x ==；（2）∵ ∴ ∴∵ ∴∵ ∴，是一元二次方程的两个根∴ ∴；（3）①，②①－②，得∴∵ ∴ ∴∴③，④将④代入①，得 ∴将③代入②，得 ∴∴，是一元二次方程的两个根∴ ∴．224b mb +=2240b mb +-=21022b b m ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭21a ma -=()()210a m a -+⋅--=2b a ≠-a -2b210x mx +-=12ba -⋅=-2ab =21p mp q +-=21q mq p +-=()22p q m p q q p-+-=-()()()()p q p q m p q p q -++-=--p q ≠()1p q m ++=-1p q m +=--1p m q =---1q m p =---211p mp m p +-=---()210p m p m +++=211q mq m q +-=---()210q m q m +++=p q ()210x m x m +++=pq m =0pq m -=。
2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷(江苏通用,测试范围：苏科版九上第1章-第2章)解析
2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（江苏通用）（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏科版九年级上册第1章-第2章。
5．难度系数：0.75。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若关于x 的一元二次方程23510x x a +++= 有一个根为0，则a 的值为（ ）A ．1±B ．1C ．1-D ．02．直线 l 与半径为 r 的 O e 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 6，则 r 的取值范围是（ ）A ．6r <B ．6r =C ．6r >D ．6r ³【答案】C【详解】解：∵直线 l 与半径为 r 的 O e 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 6，∴6r >．故选：C ．3．关于x 的一元二次方程22310x kx +-=根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．只有一个实数根【答案】A【详解】解：在关于x 的一元二次方程22310x kx +-=中，2a =，3b k =，1c =-，22Δ498b ac k =-=+，因为20k ＞，所以22Δ4980b ac k =-=+＞，所以关于x 的一元二次方程22310x kx +-=根的情况是有两个不相等的实数根．故选A ．4．如图，在 O e 中，A ，B ，D 为 O e 上的点，52AOB Ð=°，则ADB Ð的度数是 （ ）A ．104°B ．52°C ．38°D ．26°5．若12x x ，是一元二次方程20x x +-=的两个实数根，则12124x x x x +-的值为（ ）A ．4B ．3-C ．0D ．7【答案】D【详解】解：∵12x x ，是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，∴121x x +=-，122x x =-，∴()121241427x x x x +-=--´-=，故选：D ．6．如图，等边三角形ABC 和正方形DEFG 均内接于O e ，若2EF =，则BC 的长为（ ）A．B．C D7．把一根长50cm的铁丝围成一个等腰三角形，使其中一边的长比另一边的2倍少5cm，则该三角形的边长不可能为（）A ．12cmB ．19cmC ．22.5cmD ．13cm8．如图，AB 是O e 的直径，4AB =，点C 是上半圆AB 的中点，点D 是下半圆AB 上一点，点E 是BD的中点，连接AE CD 、交于点F ．当点D 从点A 运动到点B 的过程中，点F 运动的路径长是（ ）A 2BC ．πD ．【答案】B【详解】解：连接,,,AC BC BD OE ，∵AB 是O e 的直径，点C 是上半圆 AB 的中点，∴ AC BC=，90ACB Ð=°，∴点F 的轨迹为 AB 的长90=故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
山西省大同市平城区三校联考2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
山西省大同市平城区2023－2024（1）初三阶段性测试（数学）试题一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1.如图图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2.将方程x 2－8x ＝10化为一元次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（）A .－8、－10B .－8、10C .8、－10D .8、103.等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形和圆这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形种数是（）A .2B .3C .4D .54.已知关于x 的一元二次方程（a －5）x 2－4x －1＝0有实数根，则a 的取值范围是（）A .a ≥1B .a ＞1且a ≠5C .a ≥1且a ≠5D .a ≠55.将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（）A .y ＝－2（x ＋1）2－1B .y ＝－2（x ＋1）2＋3C .y ＝－2（x －1）2＋1D .y ＝－2（x －1）2＋36、4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（）图（1）图（2）A .第一张、第二张B .第二张、第三张C .第三张、第四张D .第四张、第一张7、如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A ＝22.5°，OC ＝4，CD 的长为（）A.B.4C.D.88.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧 BC的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE 的度数为（）A.22°B.32°C.34°D.44°9、如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2，若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A.（32－2x）（20－x）＝570B.32x＋2×20x＝32×20－570C.（32－x）（20－x）＝32×20－570D.32x＋2×20x－2x2＝57010.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①ac＜0；②b2－4ac＞0；③2a－b＝0；④a－b＋c＝0，其中，正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11、若x＝2是方程x2－mx＋2＝0的根，则m＝．12、某村种的水稻前年平均每公顷产7200kg，今年平均每公顷产8450kg．设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为．'''的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若13、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB C D∠1＝110°，则α＝．14、如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2＋bx＋c＞x ＋m解集为．15、如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA6，PB2，PC＝2，则这个等边三角形ABC 的边长为．三、解答题（本题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（每小题4分，共8分）解下列方程：（1）x2－2x－1＝0（2）（x－2）2＝2x－417、（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（－1，0），B（－4，1），C（－2，2）．（1）直接写出点B关于点C对称的点B'的坐标：；A B C；（2）请画出△ABC关于点O成中心对称的△111A B C．（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△22218、（6分）如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y＝－0.5x2＋3x＋1的一部分．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝5米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．=，∠OPB＝45°．19、（8分）如图，已知⊙O中，弦AB＝8，点P是弦AB上一点，OP32（1）求OB的长；（2）过点P作弦CD与弦AB垂直，求证：AB＝CD．20、（10分）如图，AB 为⊙O 的切线，B 为切点，过点B 作BC ⊥OA ，垂足为点E ．交于点C ，延长CO 与AB 的延长线交于点D ．（1）求证：AC 为⊙O 的切线；（2）若OC ＝2，OD ＝5，求线段AD 和AC 的长．21、（10）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？22.（12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，如图①所示，已知直角三角形ABC 中，BC ＝AC ，点E ，D 为AC 、BC 边的中点．操作探究将△ECD 以点C 为旋转中心逆时针旋转，得到△E CD ''，连接,AE BD ''．图①图②图③图④（1）如图②，判断线段AE '与BD '的数量关系与位置关系，并说明理由；（2）如图③，当B ，D '，E '三点在同一直线上时，∠E 'AC ＝20°，求旋转角的度数；（3）如图④，当旋转到某一时刻，CD BD ''⊥，延长BD '与AE '交于点F ，请判断四边形D CE F ''的形状，并说明理由；23、（13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于原点O 和点B （4，0），点A （3，m ）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）若点P为线段OA上方抛物线上的点，过点P作x轴的垂线，交OA于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△BAN为以AB为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点N的坐标．2023－2024学年第一学期九年级数学期中考试答案一、选择题12345678910D A B C D AC C A C 二、填空题11.312.7200（1＋x ）2＝845013.20°14.x ＜11或x ＞3三、解答题16.（8分）（1）x 2－2x －1＝0x 2－2x －1＋2＝2x 2－2x ＋1＝2（x －1）2＝2x －1∴x －1或x －11211x x ==+（2）（x －2）2＝2x －4（x －2）2－2x ＋4＝0X 2－4x ＋4－2x ＋4＝0X 2－6x ＋8＝0（x －2）（x －4）＝01224x x ==17.（8分）（1）（4，－1）（2）如图所示，△111A B C 为所求作的图形；（3）如图所示，△222A B C 为所求作的图形．18.（6分）（1）y ＝－0.5x 2＋3x ＋1a ＝－12b ＝3c ＝1h ＝331222b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭221413429112 5.5142242ac b k a ⎛⎫⨯-⨯- ⎪----⎝⎭=====--⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴顶点（3，5.5）答：演员弹跳离地面的最大高度为5.5米．（2）当x ＝4，代入21312y x x =-++2143412y =-⨯+⨯+1161212=-⨯++＝－8＋12＋1＝5∵5＝5∴这次表演成功了．19.（8分）（1）过O 作OH ⊥AB 90OHB OHA ∠∠∴==142AH BH AB ===45OPB ∠=∴△OHP 为等腰直角三角形设OH ＝PH ＝x在Rt △PHO 中OH 2＋PH 2＝OP 2222x x +=2x 2＝18x 2＝93x =±1233x x ==-（舍）∴OH ＝PH ＝3在Rt △DHB 中OB =5∴OB ＝5（2）过O 作OE ⊥CD ∴90OEP ∠= 190,2OEP BPC OHP CE DE CD ∠∠∠===== ∴四边形OEPH 为矩形又∵OH ＝PH∴四边形OEPH 为正方形∴OE ＝OH ＝3连接OC∴OC ＝OB ＝５在Rt △CEO 中CE =＝4∴CD ＝2CE ＝8∴AB ＝CD ＝820.（10分）（1）连接OB∵OB ，OC 为⊙O 半径∴OB ＝OC∵CB ⊥OA∴∠OED ＝∠BEO ＝90°在Rt △CED 和Rt △BED 中CO BOOE OE=⎧⎨=⎩∴Rt △CED ≌Rt △BED （HL ）COE BOE ∠∠∴=在△AOC 和△AOB 中OC OBCOE BOE AO AO∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△AOB （SAS ）90ACO ABO ∠∠∴== AC OC∴⊥∵OC 为⊙O 半径∴AC 为⊙O 的切线．（2）∵△AOC ≌△AOB∴AB ＝AC OB ＝OC ＝2∵AB 为⊙O 的切线90OBD ∠∴=在Rt △BOD 中BD ===设AB ＝AC ＝x ，则AD x+∵AC 为⊙O 的切线90ACD ∠∴=CD ＝OC ＋OD ＝2＋5＝7在Rt △ACD 中AC 2＋CD 2＝AD 22227)x x +=+224921x x +=++28=14=x =142121=2213=∴AC ＝AB 2213=∴AD ＝AB ＋BD 22152133==21.（10分）（1）解：设水果涨价了x 元，则少售出10x 千克（500－10x ）（50＋x －40）＝8750（500－10x ）（10＋x ）＝87505000＋500x －100x －10x 2＝8750－10x 2＋400x ＝3750－x 2＋40x －375＝0x 2－40x ＋275＝0（x －25）（x －15）＝0122515x x ==当x ＝25时，50＋x ＝75当x ＝15时，50＋x ＝65答：当月利润为8750元时，水果售价为75元或65元．（2）设月利润为WW ＝（500－10x ）（50＋x －40）＝（500－10x ）（10＋x ）＝5000＋500x －100x －10x 2＝－10x 2＋400x ＋5000a ＝－10b ＝400c ＝50004002022(10)b h a =-=-=⨯-∵a ＝－10开口向下∴当x ＝20时，月利润最大售价＝50＋20＝70（元）答：当售价为70元时，获得的月利润最大．22.（12分）（1）AE BD AE BD ''=⊥''∵AB ＝AC ，E 、D 为AC 、BC 中点E C CD '∴='又∵△ABC 为Rt △∠C ＝90°90E CD ACB ∠∠'∴=='即1290ACD ACD ∠∠∠∠''+=+=12∠∠∴=在△ACE '与△BCD '中12AC BC E C D C ∠∠⎪'=⎧⎪=⎨'=⎩∴△ACE '≌△BCD '（SAS ）AE BD EAC DBC∠∠'∴''∴==∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°反向延长BD '，交AE '于F45CBD ABF ∠∠'+= 45EAC ABF ∠∴∠+= ∴180()AFB EAC ABF CAB ∠∠∠∠'=-+- =180455049=--∴BF ⊥AF（2）由（1）知BD AE '⊥'，设BD '交AC 于F 90AE B ∠∴='20E AC ∠'=180902070AFE ∠'∴=--=70CFD ACE ∠∠∴'=='CD CE ''= 90E CD ∠=''45CD E ∠'∴'=180704655ACD ∠'∴=--=90=906525D CB ACD ∠∠''∴=--= ∴旋转角为25°．（3）BD CD ''⊥ 90BD C ∠'∴'= 又90D CE ∠'='90BD C D CE ∠∠∴''=='' //CE BD ''∴由（1）知BD AE '⊥'90BFE ∠'∴=∵//CE BD ''180AE C BFE ∠∠''∴+= 90AE C BFE ∠∠'∴=='又90D CE ∠''=90AE C BFE D CE ∠∠∠''''∴=== 即四边形D CE F ''为矩形又CE CD ''= ∴四边形D CE F ''为正方形．23.（13分）（1）y ＝－x 2＋bx ＋ca ＝－1设()()12y a x x x x =--设120,4x x ==代入y ＝－x （x －4）＝－x 2＋4x4222(1)24b h a =-=-=-=⨯--∴抛物线表达式：y ＝－x 2＋4x 抛物线对称轴为直线x ＝2（2）将x ＝3代入y ＝－x 2＋4x 2343y =-+⨯＝－9＋12＝3∴A 的坐标为（3，3）设OA 的解析式为y ＝kx将点A （3，3）代入3＝3kk ＝1∴OA 的解析式为y ＝x设P 的坐标为（x ，－x 2＋4x ）则Q 的坐标（x ，x ）p y QP> P PQ y QP ∴=-＝－x 2＋4x －x 23PQ y x x=-+a ＝－1b ＝33322(1)2h b a =-=-=⨯-2243944(1)4ac b k a --===⨯-∴PQ 长度的最大值为94．（3）存在，N 的坐标为(2,，（2，0），．。
上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷(含答案)
2024学年第一学期九年级数学学科期中考试试卷2024.10（时间：100分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列函数中，一定为二次函数的是（）A. B. C. D.2.已知点P是线段AB的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（）A. B.C.D.3.如图，在中，点D、E和F分别在边AB、AC和BC上，，，如果，那么下列结论中正确的是（）A. B. C. D.4.下列关于向量的说法中，正确的是（）A.如果，那么B.如果，，那么C.已知是单位向量，如果，那么D.如果，，其中是非零向量，那么5.在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（）A. B.21yx=()()11y x x=+-2y ax=()21y x x x=-+BP AP>2BP AP AB=⋅2AP BP AB=⋅APAB=BPAP=ABC△DE BC∥DF AC∥34ADBD=34DEBC=34BFCF=37CFBC=37DFAC=k=0ka=2a=1b=2a b=e4a=4ea=23a b c+=2b c=ca b∥y ax b=+2y ax b=+C. D.6.已知在中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，联结CD 、BE 交于点F ，下列条件中，不一定能得到和相似的是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7.已知，且，那么_______.8.抛物线与y 轴的交点坐标为_______.9.已知二次函数的图像经过点、，那么该二次函数图像的对称轴为直线_______.10.已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m 的取值范围是_______.11.如图，已知在中，，CD 是边AB 上的高，如果，，那么_______.12.如图，在中，，点D 和点E 在边BC 上，，，那么_______.13.如图，已知，且，那么_______.ABC △ADE △ABC △DF EF BF CF =DF EF CF BF=BDE BFC ∠=∠BDF CEFS S =△△234a b c k ===0k ≠c a c b-=+223y x x =+-()20y x bx c a =++≠()1,1A --()5,1B -()21y m x =+ABC △90ACB ∠=︒3AD =2BD =CD =ABC △3AB AC ==4BE =BAE ADC ∠=∠CD =AD EF BC ∥∥::2:5:7AD EF BC =:AE AB =14.如图，在中，点D 在边BC 上，线段AD 经过重心G ，向量，向量，那么向量______.（用向量、表示）15.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为_______米.16.如图，在中，点D 在边AB 上，，点E 和F 分别在边BA 和CA 的延长线上，且，如果，那么_______.17.定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点A 的横、纵坐ABC △BA a = BC b = AG =a b ABC △ACD B ∠=∠CD EF ∥::3:4:2EA AD DB =AEF ABCS S =△△()20y ax bx c a =++≠(),A x y标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点A 的“简朴点”，已知抛物线上一点B 的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为_______.18.如图，在矩形ABCD 中，，在边CD 上取一点E ，将沿直线BE 翻折，使点C 恰好落在边AD 上的F 处，的平分线与边AD 交于点M ，如果，那么_______.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量.）20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知点在二次函数的图像上.（1）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标；（2）将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t 个单位后图像经过点，求的值.21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为.（1）求二次函数的解析式；（2）如果二次函数的图像与x 轴交于点A （不与原点重合），联结OP 、AP ，试判断的形状并说明理由.22.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）如图，已知在中，点D 在边AC 上，过点A 作，交BD 的延长线于点E ，点F 是BE 延长线上一点，联结CF ，如果.（1）求证：；（2）如果，，求的值.()1,A x x y +1A 241y ax x =-+()12,3B ()1,C m 1C 1AB =BCE △ABF ∠2AD MF =BC =a bx x ()2a x b x -=- ()3,1-2y x bx b =-++()1,5-t ()2,2P -AOP △ABC △AE BC ∥2BD DE DF =⋅AB CF ∥2DE =6EF =AB CF23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在中，CD 是AB 边上的高，点E 是边AC 的中点，联结ED 并延长交CB 的延长线于点F ，且.（1）求证：；（2）如果，求证：.24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图像与x 轴交于点，与y 轴交于点.（1）求该二次函数的解析式；（2）如果点是二次函数图像对称轴上的一点，联结AD 、BD ，求的面积；（3）如果点P 是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P 的横坐标.ABC △BD BF =ADE FDB ∽△△2DF AC CF AD=2BC BD AB =⋅22y x bx c =-++()2,0A -()0,4B (),1D m -ABD △PB AB ⊥25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在矩形ABCD 中，，，点E 是射线D A 上的一点，点F 是边AB 延长线上的一点，且.联结CE 、EF ，分别交射线DB 于点O 、点P ，联结CF 、CP .（1）当点E 在边AD 上时，①求证：；②设，，求y 关于x 的函数解析式；（2）过点E 作射线DB 的垂线，垂足为点Q ，当时，请直接写出DE 的长.2AB =1BC =2DE BF =DCE BCF ∽△△DE x =CP y =14OQ PQ =2024学年第一学期九年级数学学科期中考试卷2024.10参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B ；2.A ；3.C ；4.D ；5.D ；6.C.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.；8.；9.；10.；；12.；13.；14.；15.；16.；17.；18.三、解答题：（本大题共7题，其中第19—22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19.解： ，20.解：（1）∵点在二次函数的图像上，∴把，代入，得.解得.∴二次函数的解析式为.∴对称轴为直线.顶点的坐标为.（2）二次函数的解析式化为.∵将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t 个单位，∴平移后新二次函数的解析式为.∵平移后图像经过点，∴把，代入，得.解得.21.解：（1）∵二次函数图像的顶点坐标为，∴设二次函数的解析式为.∵二次函数的图像经过原点，∴把，代入得..27()0,3-2x =1m <-94352133a b -+ 45238()1,05322a x b x -=- 2x a b =- ()3,1-2y x bx b =-++3x =1y =-2y x bx b =-++193b b -=-++2b =222y x x =-++1x =()1,3()213y x =--+()233y x t =-+++()1,5-1x =5y =-()233y x t =-+++5163t -=-++8t =()2,2P -()222y a x =--0x =0y =()222y a x =--()20022a =--解得.∴这个二次函数的解析式为.（2）∵二次函数的图像与x 轴交于点A ，∴把，代入得，（舍去）.得点A 的坐标为.∴.∵，∴.∵，∴是等腰直角三角形.22.解：（1）∵，∴.∵，∴.∴∴.（2）∵，，∴.∵，∴.∵，∴，∴.23.证明：（1）∵，∴.∵CD 是AB 边上的高，点E 是边AC 的中点，∴在中.又∵，∴.∴.∵，∴.∴.（2）∵，∴.∴.∵，∴∴∴.∵，∴.∴.∴.24.解：（1）∵二次函数的图像与x 轴交于点，与y 轴交于点，12a =()21222y x =--0y =()21222y x =--14x =20x =()4,04OA =OP ==AP ==OP AP =222OP AP OA +=AOP △AE BC ∥AD DE CD BD=2BD DE DF =⋅DE BD BD DF=AD BD CD DF=AB CF ∥2DE =6EF =8DF DE EF =+=216BD DE DF =⋅=4BD =AB CF ∥AB BD CF DF =12AB CF =BD BF =F BD ∠=∠Rt ACD △12DE AC =12AE AC =AE DE =A ADE ∠=∠ADE BDF ∠=∠A F ∠=∠ADE FDB ∽△△2DF AC CF AD =DF AE CF AD =DF CF AE AD=A F ∠=∠ADE FCD ∽△△ADE FCD ∠=∠A FCD ∠=∠ABC CBD ∠=∠ABC CBD ∽△△BD BC BC AB=2BC BD AB =⋅22y x bx c =-++()2,0A -()0,4B得解得.∴二次函数的解析式为.（2）∵点是二次函数图像对称轴上的一点，又∵二次函数图像的对称轴为直线.∴，点D 坐标为.设直线AB 的表达式为.∵直线AB 经过，，得，解得，∴直线AB 的表达式为.设抛物线的对称轴与直线AB 交于点E ，得点E 坐标为.∴.∴.（3）过点P 作轴，垂足为H .设点.∴，.∵，又∵，∴.∵，∴.∴.∴.∴（舍去），.即点P 的横坐标是.25.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴，，∵，∴.()202224b c c⎧=-⨯--+⎪⎨=⎪⎩2b =-2224y x x =--+(),1D m -12x =-12m =-1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭()0y px q p =+≠()2,0A -()0,4B 024p q q =-+⎧⎨=⎩24p q =⎧⎨=⎩24y x =+1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭4DE =1142422ABD ADE BDE S S S DE AO =+=⋅=⨯⨯=△△△PH y ⊥()2,224P t t t --+PH t =-222BH t t =--ABO ABP P PHB ∠+∠=∠+∠90ABP PHB ∠=∠=︒ABO BPH ∠=∠90AOP PHB ∠=∠=︒ABO BPH ∽△△PH BH BO AO =22242t t t ---=10t =234t =-34-2AB CD ==90CDE ABC ∠=∠=︒90CBF ∠=︒CDE CBF ∠=∠∵，∴.∵，∴.∴.∴.（2）∵，∴.即.∵，∴.∴.∴.∵，∴.∴.又∵且，∴.∴.∵，∴.∴.∴.∵在中，，，∴.同理可得∴∴（3）1BC =12BC CD =2DE BF =12BF DE =BF BC DE CD=DCE BCF ∽△△DCE BCF ∠=∠DCE BCE BCF BCE ∠+∠=∠+∠BCD ECF ∠=∠,CD CE CB CF =CD CB CE CF=DCB ECF ∽△△PEC BDC ∠=∠EOP DOC ∠=∠EOP DOC ∽△△OE OP OD OC=OE OD OP OC=DOE COP ∠=∠DOE COP ∽△△EDO PCO ∠=∠EDO DBC ∠=∠PCE DBC ∠=∠ECP DBC ∽△△PC EC BC BD=Rt CDE △DE x =2CD =CE =BD =1y =y =1DE =2DE =3DE =。
广东省深圳市深圳高级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
高级中学2024-2025学年第一学期期中测试初三数学注意事项：1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B 铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3、考试结束，监考人员将答题卡收回。
第一部分选择题一.选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分）1.如图所示，该几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.2.若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）A. B. C. D.3.下列说法错误的是（ ）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B.四条边都相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.四个角都相等的四边形是矩形4.在一幅长为、宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示.如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）A. B. C. D.5.如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点.若，，则（）1:41:21:41:81:1650cm 30cm 22400cm cm x x 2402250x x +-=2802250x x +-=2402250x x --=2802250x x --=E ABCD AC EF AB ⊥F DE BC M AB G 4AF =2FB =MG =A. B. C. D.6.如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边上有一动点沿A →B →C →D →A 运动一周，则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A. B. C. D.7.如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接.以下结论不正确的是（ ）A. B. C.D.8.若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为21，则该菱形的边长为（ ）A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共计15分）9.方程的根是_____.2+ABCD P P y P s ABC AB AC =36BAC ︒∠=C BC AC D B D 12BD P CP AB E DE 36BCE ︒∠=BC AE =BE AC =AEC BEC S S =△△x 2140x x m -+=22x x =10.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点.测得，，，则树高___.11.如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同.现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是_____.火柴燃烧水结成冰玻璃杯破碎铁锅生锈12.边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_____.13.如图，在四边形中，，对角线，相交于点.若，，，则的长为_____.三、解答题（共计61分）14.（6分）用适当的方法解下列方程：（1）；（2）.15.（7分）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘.商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是此次活动中的一组统计数据：ABC B Q ABC ∠AQP ∠AP BC D 40cm AB =20cm BD =10m AQ =PQ =m ABCD 90BCD ︒∠=AC BD O 5AB AC ==6BC =2ADB CBD ∠=∠AD 2290x x +-=()()251315x x -=-转动转盘的次数n1002004005008001000落在“可乐”区域的次数m60122240295a 604落在“可乐”区域的频率0.60.610.6b 0.590.604（1）完成上述表格，其中_____，_____；（2）请估计当很大时，频率将会接近_____，假如你去动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是_____；（本小问结果全部精确到0.1）（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是_____°；（4）在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用、、表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付.请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率.16.（8分）如图，在正方形格纸中.（1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使，，并写出点坐标_____；（2）以坐标原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形并写出点的对应点的坐标_____；（3）若线段绕原点旋转后点的对应点为，写出点的坐标_____.17.（8分）如图，四边形是矩形，点在边上，点在延长线上，.（1）下列条件：①点是的中点；②平分；③点A 与点关于直线对称.请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出完整证明过程.m na =b =n A B C ABC △()2,3A ()6,2C B O ABC △111A B C △A 1A AB O 90︒B 2B 2B ABCD E CD F DC AE BF E CD BE ABF ∠F BE ABFE选择条件：_____（填序号），理由如下.（2）若，，，求四边形的面积是多少.18.（8分）2024年奥运会在巴黎顺利召开，奥运会吉祥物“弗里热”爆红.（1）据统计某“弗里热”玩偶在某电商平台7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是7.2万件，问月平均增长率是多少?（2）市场调查发现，某实体店“弗里热”玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售“弗里热”玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元?19.（12分）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究.下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：BEF DAE ∠=∠6AE =8BE =ABFE20.（12分）阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角.根据上述定义，判断下列结论，正确的打“√”，错误的打“×”.（1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形.（_____）（2）两个等腰三角形是共角三角形.（_____）问题提出：小明在研究图1的时发现，因为点，分别在和上，所以和是共角三角形，并且还发现.以下是小明的证明思路，请帮小明完善证明过程.证明：分别过点，作于点，于点，得到图2，，又，（_____），.，，即.延伸探究：如图3，已知，请你参照小明的证明方法，求证：.D E AB AC ADE △ABC △ADE ABC S AD AE S AB AC⋅=⋅△△E C EG AB ⊥G CF AB ⊥F AGE AFC ∠=∠ A A ∠=∠ GAE ∴△∽()_____EG AE CF ∴=②1212ADE ABCAD EG S S AB CF ⋅=⋅ △△ADE ABC S AD EG AD AE S AB CF AB AC⋅∴==⋅⋅△△ADE ABC S AD AE S AB AC⋅=⋅△△180BAC DAE ︒∠+∠=ADE ABC S AD AE S AB AC ⋅=⋅△△结论应用：（1）如图4，在平行四边形中，是边上的点且满足，延长到，连接交的延长线于，若，，，的面积为60，则的面积是_____.（2）如图5，的面积为2，延长的各边，使，，，，则四边形的面积为_____.ABCD G BC 2BG GC =GA E DE BA F 6AB =5AG = 2.5AE =ABCD AEF △ABCD ABCD BE AB =2CF BC =3DG CD =4AH AD =EFGH。
河北省邯郸市鸡泽县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 (含答案)
河北省邯郸市鸡泽县2024~2025学年九年级上学期期中考试数学试题（冀教版）一、选择题(共16题；共42分)1．（3分）一组数据：1，3，3，3，5，若去掉一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（ ）A．众数B．中位数C．平均数D．方差2．（3分）方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2=4C．（x﹣1）2＝16D．（x+1）2＝163．（3分）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）A．16（1﹣x）2＝9B．16（1﹣x2）＝9C．9（1﹣x）2＝16D．9（1+x2）＝164．（3分）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠05．（3分）在平行四边形ABCD中AN=13NB，则S△ADM:S四边形CMNB为（ ）A．5:9B．5:19C．4:19D．4:96．（3分）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（ ）A．∠C=∠E B．∠B=∠ADE C．ABAD =ACAED．ABAD=BCDE7．（3分）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB 的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（ ）A ．45B ．25C ．49D ．598．（3分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，E 为BC 边上的一点，BE :CE =1:2，D 为AE 的中点，连接BD 并延长交AC 于F ，则CF :AF 的值为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．3:2D ．3:19．（3分）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为（ ）A ．30tan α米B ．30sin α米C ．30tan α米D ．30cos α米10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是（ ）A ．34B ．43C ．35D ．4511．（2分）如图，过x 轴正半轴任意一点P 作x 轴的垂线，分别与反比例函数y 1=2x和 y 2=4x 的图象交于点A 和点B ．若点C 是y 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为（ ）A．1B．2C．3D．412．（2分）如图，已知点A，B，C在⊙O上，ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C13．（2分）如图，ΔABC内接于⊙O，若∠A=45°，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（ ）A．4π―8B．2πC．4πD．8π―814．（2分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作△ABO放大2倍后的位似图形△CDO，若点B的坐标为(―1，―2)，则点B的对应点D的坐标为（ ）A．(2，4)B．(3，4)C．(3，5)D．(4，3)15．（2分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为（ ）米．A．5B．4C．3D．216．（2分）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400xC．水温从20℃加热到100℃，需要7minD．水温不低于30℃的时间为77min3二、填空题(共3题；共8分)17．（2分）一元二次方程x2=2x的根是 ．18．（2分）如图是一边长为6的菱形纸片ABCD，将纸片沿EF折叠，使点D落在边BC上，点A，D的对应点分别为点G，H，GH交AB于点J．若AE=1.4，CF=2，则EJ的长是 19．（4分）如图1 是一款重型订书机，其结构示意图如图2 所示.其主体部分为矩形EFGH，由支撑杆CD 垂直固定于底座AB 上，且可以绕点 D 旋转.压杆MN 与伸缩片PG 连接，点M 在HG 上，MN 可绕点M 旋转，PG⊥HG ，DF＝8 cm，GF=2cm，不使用时，EF∥AB，G 是PF 中点，且点 D 在NM 的延长线上，则MG= cm，使用时如图3，按压MN 使得MN∥AB，此时点F 落在AB 上，若CD＝2 cm，则压杆MN 到底座AB 的距离为 cm三、解答题(共7题；共70分)20．（9分）4月，某校初2021级800名学生进行了一次政治测试（满分：50分）．测试完成后，在甲乙两班各抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息：甲班20名同学的测试成绩统计如下：41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50，50，49，47．乙班20名同学的测试成绩统计如下：组别40<x≤4242<x≤4444<x≤4646<x≤4848<x≤50频数11a69其中，乙班20名同学的测试成绩高于46，但不超过48分的成绩如下：47，48，48，47，48，48．甲乙两班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：班级平均数中位数众数甲班47.548.5c乙班47.5b49（1）（3分）根据以上信息可以求出：a=_____，b=_____，c=_____；（2）（3分）你认为甲乙两个班哪个班的学生政治测试成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；（3）（3分）若规定49分及以上为优秀，请估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有多少人？21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB且CD=AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF与⊙O相切．（1）（5分）求证：EF =EC ；（2）（4分）若D 是OA 的中点，AB =4，求BF 的长．22．（9分）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D ，B ，O 在同一直线上，DO 可绕着点O 旋转，AB 为云梯的液压杆，点O ，A ，C 在同一水平线上，其中BD 可伸缩，套管OB 的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB =3m ，∠BAC =53°，∠DOC =37°．（1）（5分）求BO 的长．（2）（4分）消防人员在云梯末端点D 高空作业时，将BD 伸长到最大长度6m ，云梯DO 绕着点O 顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m ，求云梯OD 旋转了多少度．（参考数据：sin 37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45，tan53°≈43，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）23．（9分）某水渠的横断面是以AC 为直径的半圆O ，图1表示水渠正好盛满了水，点D 是水面上只能上下移动的浮漂，AB 是垂直水面线的发光物体且从点B 发出光线，测得∠BDA 、∠BCA 分别为60°，30°，已知AD =1m ．（1）（5分）求AC 的长；πm，求DN （2）（4分）如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为MN，若AM的长为940)；的长(tan27°=1224．（10分）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：（1）（4分）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；（2）（3分）求出图中a的值；（3）（3分）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？25．（11分）如图1，已知∠ABC=60°，点O在射线BC上，且OB=4．以点O为圆心，r(r>0)为半径作⊙O，交直线BC于点D，E．（1）（2分）当⊙O与∠ABC只有两个交点时，r的取值范围是________．（2）（9分）当r=22时，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转α(0°<α<180°)．①若BA与⊙O相切，求α的度数为多少；②如图2，射线BA与⊙O交于M，N两点，若MN=OB，求阴影部分的面积．26．（13分）如图1，将Rt△ABC的顶点C放在⊙O上，边BC与⊙O相切于点C，边AC与⊙O交于点D．已知∠BCA=60°，∠B=90°，BC=6，⊙O的直径为8．（1）（4分）如图1，过点O作OM⊥CD于点M，求CM的长度；（2）（9分）从图1的位置开始，将△ABC绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°）．①如图2，当α=20°时，边BC与⊙O的另一交点为E，求CE的长度；②如图3，当AC经过圆心O时，试判断AB与⊙O之间的位置关系，并说明理由；③在旋转过程中，直接写出点O到边AB的距离h的取值范围．答案1．D2．A3．A4．C5．C6．D7．A8．D9．C10．D11．A12．A13．A14．A15．C16．D17．x1=0，x2=218．2.819．4；15+2220．（1）3，48，50（2）甲班的成绩较好，理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数、众数都比乙班的大（3）估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有380人21．（1）证明：连接OF，则OF=OB，∵EF与⊙O相切于点F，∴EF⊥OF，∴∠OFE =90°，∴∠EFC +∠OFB =180°―∠OFE =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB =90°，∴∠C +∠B =90°，∵∠OFB =∠B ，∴∠EFC =∠C ，∴EF =EC ．（2）解：连接AF ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB =∠CDB =90°，∴∠B =∠B ，∴△AFB ∽△CDB ，∴BF BD =AB CB，∵D 是OA 的中点，AB =4，∴OA =OB =12AB =2，OD =AD =12OA =1，∴BD =OB +OD =2+1=3，∵CD =AB =4，∴CB =BD 2+CD 2=32+42=5，∴BF =AB ⋅BD CB =4×35=125，∴BF 的长是125．22．（1）解：如图，过点B 作BE ⊥OC 于点E ，在Rt △ABE 中，∠BAC =53°，AB =3m ，∴BE =AB ⋅sin∠BAE =3×sin 53°≈3×45=125，在Rt △BOE 中，∠BOE =37°，BE =125，∵sin∠BOE =BE OB ，∴OB =BE sin ∠BOE=12535=4．答：OB =4m ．（2）解：如图，过点D 作DF ⊥OC 于点F ，旋转后点D 的对应点为D ′，过点D ′作D ′G ⊥OC 于点G ，过点D 作DH ⊥D ′G 于点H ，在Rt △FOD 中，OD =OB +BD =4+6=10，∠DOF =37°，∴DF =OD ⋅sin 37°≈10×35=6m ，∴D ′G =D ′H +HG =3+6=9m ，在Rt △D ′OG 中，O D ′=10m ，D ′G =9m ，∴sin ∠D ′OG =D ′G D ′O =910，∴∠D ′OG ≈64°，∴∠D ′OD =64°―37°=27°，即云梯OD 大约旋转了27°．23．（1）解：∵∠BAD=90°，AD=1，∠BDA=60°，∴∴AB=AD•tan60°=1×3=3， ∴AC =AB tan30°=3（2）解：连接OM ，设∠AOM=n°∵AM =n ×π×32180=940π∴∠AOM=n°=27°∵AC ∥MN ，∴∠AOM=∠OMN=27°过点O 作OE ⊥MN 于E 点，∴ME=EN ，∵tan∠OMN =OE ME =12，∴ME=2OE ∵O M 2=O E 2+M E 2， ∴OE =3105，ME =355过D 作DD '⊥AC 于点D '，∴DD '∥OE ，∵AC ∥MN ，∴四边形DD 'OE 是平行四边形， ∴DE =D ′O =12， ∴DN =355+1224．（1）当0≤x≤8时，y ＝10x+20；当8＜x≤a 时，y ＝800x；（2）a ＝40；（3）李老师要在7：38到7：50之间接水25．（1）0<r ≤23或r >4（2）①15°或105°；②2π―426．（1）解：连接OC ，∵边BC 与⊙O 相切于点C ，∴∠OCB =90°，又∵∠BCA =60°，∴∠OCM =30°，∴OM =12OC =12×4=2，∴CM =OC 2―OM 2=42―22=23，（2）解：①如图，连接OC 、OE ，α=20°时，∠OCB =70°，∵OE =OC ，∴∠OEC =∠OCB =70°，∴∠EOC =180°―∠OEC ―∠OCB =40°，∴CE 的长度为40π×4180=8π9；②AB 与⊙O 相切，理由为：过点O 作OF ⊥AB 于点F ，∵∠BCA =60°，∠B =90°，∴∠A =30°，∴AC =2BC =2×6=12，∴AO =8，∴OF =12AO =12×8=4=OC ，∴AB 与⊙O 相切；③h 的取值范围为2≤ℎ≤10。