考研数学重要公式
2024考研数学常必背公式汇总
2024考研数学常必背公式汇总在准备2024考研数学的过程中，掌握一些常用的公式是非常重要的。
这些公式不仅可以帮助我们更快地解题，还能提高我们的答题准确性。
下面是2024考研数学一、数学二、数学三需要背诵的常用公式的汇总：一、基本数学公式：1.平方差公式：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab+ b^22.二次方程的求根公式：若ax^2+bx+c=0（a≠0），则x = (-b ± √(b^2-4ac))/2a3.数列的通项公式：递推公式：a(n+1)=a(n)+d通项公式：a(n)=a(1)+(n-1)d二、高等数学公式：1.常用三角函数公式：sin²θ + cos²θ = 1tanθ = sinθ / cosθcotθ = cosθ / sinθ2.常用反三角函数公式：sin²θ + cos²θ = 1tanθ = sinθ / cosθcotθ = cosθ / sinθ3.常用指数函数公式：a^m*a^n=a^(m+n)(a^m)^n = a^(mn)a^(-m)=1/a^m4.常用对数函数公式：log_a(m * n) = log_a(m) + log_a(n)log_a(m^n) = n * log_a(m)log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)log_a(1) = 05.常用复数公式：i²=-1复数的共轭：若z = a + bi，则z的共轭为a - bi三、线性代数公式：1.行列式的加减法：A±B，=，A，±，B2.行列式的乘法：A*B，=，A，*，B3.矩阵的逆：若，A，≠0，则A存在逆矩阵A^(-1)，且AA^(-1)=A^(-1)A=I4.特征值与特征向量：设A是n阶矩阵，若存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx，则λ称为矩阵A的特征值，x称为λ对应的特征向量5.向量的内积：a ·b = ，a，，b，cosθ其中，a、b分别为向量，θ为a、b之间的夹角四、概率与统计公式：1.事件的概率公式：对于一个随机事件A，其概率满足0≤P(A)≤12.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)3.乘法公式：P(A∩B)=P(A)P(B，A)=P(B)P(A，B)4.全概率公式：P(A)=P(An)P(A，An)+P(A2)P(A，A2)+...+P(Am)P(A，Am)其中，A1,A2,...,Am为一组互斥且全体之并为样本空间Ω的事件5.贝叶斯公式：P(A，B)=P(AnB)/P(B)=P(An)P(B，An)/[P(A1)P(B，A1)+P(A2)P(B，A2)+...+P(An)P(B，An)]其中，A1,A2,...,An与前述全概率公式的条件相同。
考研数学公式大全(考研必备)
高等数学公式篇·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式：·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-c osβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算[编辑本段]公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝c osαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－t anαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)部分高等内容[编辑本段]·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n ！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
考研数学公式大全(考研必备)
高等数学公式篇导数公式： 基本积分表：C kx dx k +=⎰)1a (,C x 1a 1dx x 1a a-≠++=+⎰C x ln dx x 1+=⎰ C e dx e xx +=⎰C a ln a dx a xx+=⎰(1a ,0a ≠>) C x cos xdx sin +-=⎰C x sin dx x cos +=⎰ C x arctan dx x 112+=+⎰C axarcsin x a dx C x a xa ln a 21x a dx C a x ax ln a 21a x dx C a xarctan a 1x a dx Cx cot x csc ln xdx csc C x tan x sec ln xdx sec Cx sin ln xdx cot C x cos ln xdx tan 22222222+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C)a x x ln(a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca ln a dx a Cx csc xdx cot x csc C x sec dx x tan x sec Cx cot xdx csc x sin dx C x tan xdx sec x cos dx 2222x x2222aln x 1)x (log a ln a )a (x cot x csc )x (csc x tan x sec )x (sec x csc )x (cot x sec )x (tan x cos )x (sin aX )X (0)C (a x x 221a a ='='⋅-='⋅='-='='='='='-2222xx x 11)x cot arc (x 11)x (arctan x 11)x (arccos x 11)x (arcsin x 1)x (ln e )e (x sin )x (cos +-='+='--='-='='='-='C x sin d x cos c ln B Ax dx x sin d x cos c xsin b x cos a +++=++⎰其中，)x sin d x cos c (B )x sin d x cos c (A x sin b x cos a +++=+ a Bd Ac =+B ,A b Bc Ad ⇒=-三角函数的有理式积分：2222u1du2dx 2x tan u u 1u 1x cos u 1u 2x sin +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：α-α=αα+=α-α+±=αα+α=αα-=α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cot cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan2cos 12cos 2cos 12sin ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：x cot arc 2x arctan x arccos 2x arcsin -π=-π= 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+α±ββ⋅α=β±αβ⋅αβ±α=β±αβαβα=β±αβα±βα=β±αcot cot 1cot cot )cot(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( α-α-α=αα-α=αα-α=α2333tan 31tan tan 33tan cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin α-α=αα-α=αα-α=α-=-α=ααα=α222222tan 1tan 22tan cot 21cot 2cot sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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高等数学公式篇·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]导数公式：基本积分ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx xtgx a xxln 1)(logln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin xarcctgx xarctgx xx xx +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x ax dx Cshx chxdx C chx shxdx Caadx aC x ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx xdxC tgx xdx x dxxx)ln(ln csc csc sec sec cscsinsec cos 22222222Cax xa dxCx a x a ax a dx C a x a x a a x dx C ax arctg a x a dxCctgx x xdx Ctgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰+-+--=-+++++=+-===-Ca x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n nnn ln 22)ln(221cos sin222222222222222220ππ·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctgtg·正弦定理：R CcBb Aa 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k nn uvvuk k n n n v un n v nuv uvuCuv +++--++''-+'+==---=-∑定积分的近似计算：⎰⎰⎰----+++++++++-≈++++-≈+++-≈ban n n ban n ba n y y y y y y y y na b x f y y y y n a b x f y y y na b x f )](4)(2)[(3)(])(21[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==⎰⎰--==⋅=⋅=babadtt f ab dxx f ab y k rm m kF A p F s F W )(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。
考研常用数学公式
考研常用数学公式2.积分公式：$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。
3. 泰勒级数公式：$f(x)=sumlimits_{n=0}^inftyfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$，其中$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$a$处的$n$阶导数。
4. 极限公式：$limlimits_{x to a}f(x)=L$表示$f(x)$当$x$接近$a$时趋近于$L$。
5. 矩阵公式：$AcdotB=begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}a_{21}&a_{22}&cdo ts&a_{2n}vdots&vdots&ddots&vdotsa_{m1}&a_{m2}&cdots&a_{mn}e nd{bmatrix}cdotbegin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&cdots&b_{1k}b_{2 1}&b_{22}&cdots&b_{2k}vdots&vdots&ddots&vdotsb_{n1}&b_{n2}& cdots&b_{nk}end{bmatrix}$。
6. 微积分基本定理：$int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a)$。
7. 高斯-约旦消元法则：通过矩阵变形把线性方程组化为阶梯形式，进一步求解方程组。
8. 傅里叶级数公式：$f(x)=frac{a_0}{2}+sumlimits_{n=1}^infty(a_ncos nx+b_nsin nx)$。
9. 三角函数公式：$sin^2x+cos^2x=1$，$sin(xpm y)=sin xcos ypmcos xsin y$，$cos(xpm y)=cos xcos ympsin xsin y$。
考研数学常用公式总结
考研数学常用公式总结考研数学是考研中的一门重要科目，它的题目种类繁多，考察内容广泛。
在备考过程中，熟练掌握和灵活运用常用公式是非常关键的。
本文将就考研数学中常用的公式进行总结与归纳，以帮助考生更好地备考。
1、微积分公式微积分是考研数学中的重点内容，以下是一些常用的微积分公式：（1）导数公式：- 基本导数公式：a. 常数函数：$[k]'=0$；b. 幂函数：$[x^n]'=nx^{n-1}$；c. 指数函数：$[a^x]'=a^x\ln a$；d. 对数函数：$[\log_a x]'=\frac{1}{x\ln a}$；e. 三角函数：$[\sin x]'=\cos x$，$[\cos x]'=-\sin x$，$[\tan x]'=\sec^2 x$。
- 运算法则：a. 基本运算：$[u \pm v]'=u' \pm v'$；b. 乘法法则：$[uv]'=u'v+uv'$；c. 除法法则：$\left[\frac{u}{v}\right]'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$；d. 复合函数：$[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$。
（2）积分公式：- 基本积分公式：a. 幂函数：$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$；b. 指数函数：$\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$；c. 对数函数：$\int \frac{1}{x\ln a}\mathrm{d}x=\log_a(\ln a)+C$；d. 三角函数：$\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$，$\int \cosx\mathrm{d}x=\sin x+C$。
考研数学常用公式整理
考研数学常用公式整理数学公式在考研数学中起着至关重要的作用，熟练掌握常用公式不仅可以提高解题效率，还能够避免因记忆错误而导致的失分。
本文将整理一些考研数学中常用的公式，帮助考生们更加系统地学习和理解数学知识。
一、初等数学常用公式1. 二项式定理当整数n为任意一个非负整数时，对任意实数a、b有：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + ... +C(n,n)*a^0*b^n2. 勾股定理在直角三角形中，设直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，则有：c^2 = a^2 + b^23. 对数公式(1) 对任意大于0且不等于1的实数a和b，有以下对数运算公式：log(a*b) = loga + logblog(a/b) = loga - logb(2) 换底公式：loga(x) = logb(x) / logb(a)4. 排列组合(1) 排列公式：P(n,m) = n! / (n-m)!(2) 组合公式：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)5. 三角函数(1) 正弦函数和余弦函数间的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 1(2) 余弦函数的和差公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)(3) 正切函数的和差公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ∓ tan(a)tan(b))二、高等数学常用公式1. 极限公式(1) 基本极限：lim(x→0) sin(x) / x = 1lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e(2) 自然对数e的定义：e = lim(n→∞) (1 + 1/n)^n2. 导数公式(1) 基本导数：(a^n)' = n*a^(n-1)(sin(x))' = cos(x)(cos(x))' = -sin(x)(2) 导数运算法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^23. 积分公式(1) 基本积分：∫(x^n)dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (C为常数)∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C(2) 积分运算法则：∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx∫(af(x))dx = a∫f(x)dx (a为常数)4. 微分方程常用公式(1) 一阶线性微分方程的通解：y(x) = ∫[u(x)*v(x)dx + C (C为常数)(2) 微分方程dy/dx = f(x)的通解：y(x) = ∫f(x)dx + C (C为常数)以上是一些考研数学中常用的公式整理，希望能够对考生们的备考有所帮助。
考研数学公式大全--高数--线代--必背公式
数学知识点背诵高数部分1. 导数公式22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot x xx xx x x x x x'='=-'=⋅'=-⋅22(arcsin )(arccos )1(arctan )11(cot )1x x x x arc x x '='='=+'=-+2. 积分公式2222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc xdx x C xdx x Cxdx x x C xdx x x Cdx xdx x C x dx xdx x Cx x xdx x Cx xdx x C=-+=+=++=-+==+==-+⋅=+⋅=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222221arctan 1ln 21ln 2ln(arcsin dx xC a x a a dx x aC x a a x a dx a xC a x a a x x CxC a=++-=+-++=+--=+=+⎰⎰⎰222ln(2ln 2arcsin 2a x Ca x C a x Ca=+=-++=++22201sin cos nn n n n I xdx xdx I nππ--===⎰⎰3. 和差化积sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=-4. 积化和差[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=-+-- 5. 万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+ 221t a n2c o s 1t a n 2ααα-=+ 22t a n2t a n 1t a n2ααα=- 6. 半角公式221cos sin 221cos cos 22αααα-=+= 21c o s t a n 21c o s s i n 1c o s t a n 21c o s s i nαααααααα-=+-==+7. 三倍角公式3332sin 33sin 4sin cos34cos 3cos 3tan tan tan 313tan αααααααααα=-=--=- 8. 三角函数关系图sin costan 1cot sec csc↔↔↔⊗↔↔↔↔↔↔⊗⊗↔↔↔..1.a b c ⊗说明：六边形每个顶点等于两相邻顶点乘积三条对角线上，两端点相乘等于标记的三角形，上面的平方和等于下面的平方9. 等价无穷小33333333222201sin ()61arcsin ()61tan ()31arctan ()31ln(1)()21cos 1()2x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x o x →=-+=++=++=-++=-+=-+时2011ln 11cos 2(1)1x x x e x a x a x xx x αα→---+-时10. 华里士公式等华里士公式：2200131,222sin cos 132,123n nn n n n n xdx xdx n n n n n πππ--⎧⋅⋅⎪⎪-==⎨--⎪⋅⎪-⎩⎰⎰为正的偶数为大于的奇数20sin 2sin nn xdx xdx ππ=⎰⎰2002c o s ,c o s 0,n nxdx n xdx n ππ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为偶数为奇数2220004sin ,sin =cos 0,n n nxdx n xdx xdx n πππ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰为偶数为奇数()()220sin cos f x dx f x dx ππ=⎰⎰ ()()00sin cos f x dx f x dx ππ≠⎰⎰()()()20sin sin sin 2xf x dx f x dx f x dx πππππ==⎰⎰⎰11. 函数展开为幂级数20201+()!2!1(1)1(1)(11)1n nxn n n n nn x x x e x x n n x x x x x x ∞=∞===++++-∞<<+∞=-=-+-+-+-<<+∑∑！20234111213572122011(11)1ln(1)(1)(1)(11)234sin (1)(1)()(21)!3!5!7!(21)!cos (1)1(2)!2!n n n n nn n n n n nnn n nn x x x x x x x x x x x x x x n nx x x x x x x x n n x x x n ∞=∞--=++∞=∞===+++++-<<-+=-=-+-++-+-<≤=-=-+-++-+-∞<<+∞++=-=-+∑∑∑∑()(][]4622(1)()4!6!(2)!(1)(1)(1)(1)12!!(1-1,1;10-1,1;0-1,1)nn nx x x x n n x x x x n αααααααααα-++-+-∞<<+∞---++=+++++≤--<<>时，收敛域为时，收敛域为时，收敛域为12. 幂级数的和函数1211121121212112220(1)11(1)1(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1k nn k n n n n n n n n n n n n n n n n n n cx cx x x x nx x x x x x nx x nx x x x nx x nx x x n n x x x x ∞=∞∞-==∞∞-==∞∞+-==∞∞∞-====<-''⎛⎫⎛⎫===< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==<-==<-''''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑3110001112(1)(1)1ln(1)(11)1n x x x n n n n n x x x t dt t dt dt x x n t ∞∞∞--====<-⎛⎫====---≤< ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰13. 狄利克雷收敛定理设()f x 是以2l 为周期的可积函数，如果在[],l l -上()f x 满足： 1)连续或只有有限个第一类间断点； 2)只有有限个极值点；则()f x 的傅里叶级数处处收敛，记其和函数为()S x ，则()01cos sin 2n n n a n x n x S x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑，且()()()()()(),00,200,2f x x f x f x S x x f l f l x ⎧⎪⎪-++⎪=⎨⎪⎪-++-⎪⎩为连续点为第一类间断点为端点 14. 周期为2l 的周期函数的傅里叶级数设周期为2l 的周期函数()f x 满足狄利克雷收敛定理的条件，则它的傅里叶级数为()()01cos sin 2n n n a n x n x f x S x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑其中系数n a 和n b 分别为：()()1cos (0,1,2,)1sin (1,2,3,)l n l l n l n x a f x dx n l l n x b f x dx n l l ππ--⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎰⎰ （1）将普通周期函数()f x 在[],l l -上展开为傅里叶级数： 展开系数为()()()01,1cos ,(1,2,3,)1sin ,(1,2,3,)l l l n l l n la f x dx l n x a f x dx n l l n xb f x dx n l l ππ---⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩⎰⎰⎰ （2）将奇偶周期函数()f x 在[],l l -上展开为傅里叶级数：当()f x 为奇函数时，展开为正弦级数()000,0,(1,2,3,)2sin ,(1,2,3,)n l n a a n n x b f x dx n l l π⎧⎪=⎪==⎨⎪⎪==⎩⎰当()f x 为偶函数时，展开为余弦级数()()0002,2cos ,(1,2,3,)0,(1,2,3,)l l nn a f x dx l n x a f x dx n l l b n π⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩⎰⎰ （3）将非对称区间[]0,l 上的函数()f x 展开为正弦级数或余弦级数：将[]0,l 上的函数()f x ，根据要求作奇延拓（若要求展开为正弦级数）或偶延拓（若要求展开为余弦函数），得到[],l l -上的奇函数或偶函数，再根据（2）中的方式展开。
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考研数学重要公式文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]高等数学重要定理及公式作者：电子科技大学 通信学院 张宗卫说明：本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间，总结得出的数学（一）重要公式及一些推论，并使用word 及MathType 输入成文，覆盖了微积分、线性代数、概率论这些课程。
因为时间有限，难免存在一些输入错误，请读者仔细对照所学知识，认真查阅。
线性代数重要公式1.矩阵与其转置矩阵关系：E A AA =*2.矩阵行列式：*11A A A =- 1*-=n A A *1*)(A k kA n -= ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-=-<=n A r n n A r n A r A r )(,1)(,11)(,0)(* 3.矩阵与其秩：{}()min (),()()()()(,)()()(,)max(()())r AB r A r B r A B r A r B r A B r A r B r A B r A r B ≤+≤+≤+≥+4.齐次方程组0=Ax ：非0解⇔线性相关⇔n A R =)(5.非齐次方程组b Ax =：有解⇔⇔=)()(A R A R 线性表出6.相似与合同：相似—n 阶可逆矩阵A,B 如果存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1则A 与B 相似，记作：B A ~；合同—A,B 为n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵C 使得AC C B T =则称A 与B 合同。
（等价，A 与B 等价—A 与B 能相互线性表出。
）7，特征值与特征向量：λαα=A ，求解过程：求行列式0=-A E λ 中参数λ即为特征值，再求解0)(=-x A E i λ即可求出对应的特征向量。
矩阵A 的特征值与A 的主对角元及行列式之间有以下关系：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑A a n nii n i λλλλ...2111。
上式中∑==n i iia A 1)(tra 称为矩阵的迹。
8.特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论：实对称矩阵A 的互异特征值对应的特征向量线性无关；若n 阶矩阵的特征值都是单特征根，则A 能与对角矩阵相似；n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A 的每一个i k 重特征根，齐次方程组0)(=-x A E i λ的基础解析由i k 个解向量组成即对应每一个i k 重特征根i λi i k n A E R -=-)(λ。
9.实对称矩阵的特征值都是实数，如果A 为一个实对称矩阵，那么对应于A 的不同特征值的特征向量彼此正交。
任意n 阶实对称矩阵A 都存在一个n 阶正交矩阵C ，使得AC C AC C T 1-=为对称矩阵。
10.施密特正交矩阵化方法：一般地，把线性无关向量组s ααα...,21化为与之等价的标准正交向量组的施密特正交过程如下：再令：i ii ββγ1=则s γγγ...,21是一组与s ααα...,21等价的标准正交向量组。
11.正交矩阵的定义：如果实矩阵A 满足：E AA A A T T ==则称A 为正交矩阵。
12.设A ，B 为n 阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使得AC C B T =，则称A 与B 合同。
13.用正交变换化二次型为标准型步骤： a) 写出二次型对应的对称矩阵A ；b) 求A 的特征值i λ和特征向量，（0=-A E λ）i α；c) 将特征向量i α正交化（实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交，多重特征根在取特征向量时尽量取正交向量，方便计算）、单位化得i βd) 令⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=n x x x X ...21 ， []n C βββ,...,21=，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y Y ...21则CY X =，是正交变换，且222221121...),...,,(n n n y y y x x x f λλλ+++=。
14.如果任一非零向量X 都使得二次型0>AX X T ，则称之为正定二次型，对应的矩阵A 为正定矩阵。
二次型为正定矩阵的充要条件是矩阵A 的特征值全部为正实数、正惯性指数是n 、矩阵A 与E 合同、矩阵A 的顺序主子式全大于零，且以上条件等价。
概率论与数理统计重要知识点及公式： 1.条件概率：)()()|(B P AB P B A P =如果(|)()()P A B P A P B =,则A 与B 独立。
2.常用概率公式：()()()()()()()()()(|)()P A B P A P B P A B P A B P AB P A P AB p AB P A B P B ⋃=+-⋂⎧⎪-==-⎨⎪=⎩（对于给定如：A B ⊂这样的条件，常常通过画图（如下图）来解决，直观明了）()()()()()()p AB p B p AB p AB p A p AB ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩3.全概率公式：1()()(|)ni i i P A P A P A B ==∑4.贝叶斯公式：1()()()(|)()()(|)i i i i ni jjj p AB p B p B A p B A p B p B p A B ===∑（结合条件概率公式和全概率公式推导而出） 5.几个重要分布：a) 二项分布（n 次重复，伯努利类型）：()(1)n nm n m p A C p p -=-b) 泊松分布：二项分布当m,很大，p 很小且np λ=时，{}~(),,0,1,2...!kX p p x k e k k λλλ-===c) 均匀分布：1,~(,),()0,a x b X U a b f x b a otherelse ⎧⎫<<⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭d) 指数分布：,0()0,0x e x f x x λλ-⎧⎫>=⎨⎬≤⎩⎭e)正态分布：22()22~(,),(;,)x X N u f x u μδδδ--=6.随机变量的数字特征：A ）数学期望：存在前提1ni i i x p =∑，()x f x dx +∞-∞⎰要绝对可积，那么1()ni i i E x x p ==∑， ()()E x x f x dx +∞-∞=⎰；B ）方差：{}222()(())()()()D XE x E x D X E x E x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩C ）期望性质：()()()()()()E C CE cX cE X E X Y E X E Y =⎧⎪=⎨⎪+=+⎩，X ，Y 独立则()()()E XY E X E Y =D ）方差性质：2()0()()()()()2cov(,)D C D cX c D x D X Y D X D Y X Y =⎧⎪=⎨⎪±=+±⎩,若X ，Y 相互独立则()()()D X Y D X D Y ±=+.。
7. 常用分布数字特征：a) (0,1)分布();()(1)E z p D z p p ==-b) b （n ，p ）二项分布();()(1)E z np D z np p ==- c) 泊松分布,(),();!ke E z D z k λλλλ-==d) 均匀分布：[]2(),,(),();212a b b a U a b E z D z +-== e) 指数分布：2,011,(),();0,x e x E z D z otherelse λλλλ-⎧⎫>==⎨⎬⎩⎭f) 正态分布：22(,),(),();N E z D z μδμδ== 8.协方差： 定义式[][]{}cov(,)()()X Y E x E x y E y =-- 计算式cov(,)()()()X Y E xy E x E y =-性 质 ： 1212cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)()X Y Y X Y X Y aX bY ab X Y Z Z D Z +=+⎧⎪=⎨⎪=⎩9.相关系数：1;xy ρρ=≤10.几种特殊函数的分布问题：a) 极值分布12max(,),min(,)Z X Y Z X Y == b ）和的分布：Z=X+Y 分分布函数是一般的X 与Y 相互独立，且221122~(,),~(,)X N Y N μδμδ，则221212~(,)Z X Y N μμδδ=+++，其概率密度公式为：2122211(())2()221211(;,)xf zμμσδμμσδ-+-+++=。
c）商的分布XZ Y=分布函数是：11.参数估计：a)矩估计方法：构造关于参数组成的k阶原地矩与样本k阶原点矩之间的等式关系：1211(,,...)nkk n iixnγθθθ==∑，解此方程组解为12(,,...)k k nx x xθθ=就作为kθ的矩估计。
b）极大似然估计方法：基本思想是按照最大可能性的准则进行推断，把已经发生的事件，看成最可能出现的事件，即认为它具有最大的可能性。
求法，写出最大似然函数,并求最大似然函数的最大值点，一般取最大似然函数的对数方便运算，即求解如下的似然方程组ln0,1,2,3...,kLk mθ∂==∂，似然方程组的解可能不唯一，这时需要微积分知识进一步的判定哪一个是最大值点，若似然函数关于参数的导数不存在时，就无法得到似然方程组，因此必须回到极大似然股及的定义式直接求解。
13.矩估计的优良性：若()Eθθ=则称θ是θ的无偏估计量，若12,θθ是θ的无偏估计量，且12()()D Dθθ≤则称1θ为θ的最小无偏估计量。
14.数理统计概念：11niiX Xn==∑（样本均值）2211()1niiS X Xn==--∑（样本方差）11n kk i i A X n ==∑（样本k 阶原点矩）11()nk k i i M X X n ==-∑（样本k 阶中心矩）15.三个重要分布：a) 设n 个相互独立并且都服从正态分布(0,1)N 的随机变量12,,...,n X X X 记则称随机变量2χ服从自由度为n 的2χ分布。
对于给定的正数a(0<a<1),称满足关 系式2222()(())()a n P n f x dx a χχχχ+∞>==⎰的数2()an χ为2()n χ的上侧临界值或上 侧分位数。
性质：22(),()2E n D n χχ==设12,Y Y 相互独立，且221122~(),~()Y n Y n χχ则有21212~()Y Y n n χ++b ） 设随机变量X 与Y 相互独立，2~(0,1),~()X N Y n χ，记T =则随机变量T 服从自由度为n 的t 分布。
c ） 设随机变量X,Y 相互独立，2212~(),~()X n Y n χχ记12X n F Y n =则随机变量F 服 从第一自由度为1n 第二自由度为2n 的F 分布。