导数与解析几何
导数的基本定义与解析几何的关系
导数的基本定义与解析几何的关系导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的基本定义是通过极限来描述函数的变化率。
在本文中，我们将探讨导数的基本定义，并研究导数与解析几何之间的关系。
一、导数的基本定义导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在x点处的导数可以通过以下极限定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h为一个无限接近于0的数。
这个定义可以理解为当x的增量趋近于0时，函数在x点处的平均变化率。
而导数则描述了函数在x点处的瞬时变化率。
二、导数与函数的图像导数与函数的图像之间有着密切的联系。
在函数的图像中，导数可以表示为函数曲线上某点处的切线斜率。
具体来说，如果函数在某一点的导数为正，那么函数图像在该点上升；如果导数为负，函数图像在该点下降；如果导数为零，函数图像在该点处达到极值。
三、导数与解析几何导数与解析几何之间的关系非常紧密。
通过导数，我们可以研究函数图像的性质，进而对解析几何中的曲线进行分析。
1. 切线与法线导数可以帮助我们确定曲线上某点处的切线方程。
对于函数f(x)，在点(x0,f(x0))处的切线方程可以表示为：y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)其中f'(x0)为函数在该点处的导数。
而法线方程可以通过切线方程的斜率倒数得到。
2. 曲线的凹凸性导数还可以帮助我们研究曲线的凹凸性。
在函数的图像中，如果导数在某个区间上恒大于零，那么函数在该区间上是凹的；如果导数在某个区间上恒小于零，那么函数在该区间上是凸的。
3. 极值点通过导数，我们可以找到函数的极值点。
对于函数f(x)，极值点可以通过导数的零点来确定。
当导数从正数变为负数时，函数图像上的极大值点出现；当导数从负数变为正数时，函数图像上的极小值点出现。
四、导数的应用导数在数学和科学中有着广泛的应用。
以下是一些导数的应用领域：1. 最优化问题导数可以帮助我们解决最优化问题，例如求函数的最大值和最小值。
高中数学第六章导数及其应用6.1.导数及其几何意义学案含解析B版选择性第三册 (1)
6。
1.2 导数及其几何意义必备知识·素养奠基1。
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义，自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时，若平均变化率=无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x）在x=x0处的瞬时变化率,此时,也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x）在x=x0处的导数,记作f′(x0）=k.“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”还可以怎样表示?提示:还可以表示为,当Δx→0时，→k，或者写成=k，即f′(x0）=。
（2）瞬时变化率f′(x0)的实际意义:当自变量在x=x0处改变量Δx 很小时,因变量对应的改变量的近似值为f′（x0)Δx。
（1)函数y=f在x=x0处的导数一定存在吗?提示：当Δx→0时，平均变化率的极限存在，则函数y=f在x=x0处可导,否则在x=x0处不可导或无导数。
(2）函数y=f在x=x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗?提示:还可以表示为f′==等。
2.导数的几何意义（1)割线：一般地,设S是平面上的一条曲线,P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点,则称直线PP0为曲线S的割线.(2）切线:如果P无限接近于P0时,割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l,则称直线l为曲线S在点P0处的切线.f′（x0）就是曲线y=f（x）在点（x0,f(x0）)处(也称在x=x0处）的切线的斜率.切线方程为y-f（x0）=f′（x0)（x-x0）。
（1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？提示：曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个。
（2）曲线的切线与导数有什么关系？提示：①函数f(x)在x=x0处有导数，则函数f（x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率.②函数f(x）表示的曲线在点(x0，f（x0）)处有切线，但函数f(x）在该点处不一定可导,例如f（x)=在x=0处有切线，但不可导.1.思维辨析（对的打“√”,错的打“×")(1）函数y=f（x)在x=x0处的导数f′（x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的函数值. （)(2)函数y=f(x）在x=x0处的导数f′(x0）的几何意义是函数y=f（x)在点（x0，f（x0)）处的切线与x轴所夹锐角的正切值。
5.1 导数的几何意义(解析版)
5.1.1导数的几何意义导学案【学习目标】1.理解曲线的切线的含义2.理解导数的几何意义3.会求曲线在某点处的切线方程4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.【自主学习】知识点1曲线的切线如图所示，当点P n 沿着曲线y ＝f (x )无限趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线.(1)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与该点的位置有关；(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个. 知识点2导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率. 知识点3 导数的概念对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，这样，当x 变化时，f ′(x )便是关于x 的一个函数，称它为函数y ＝f (x )的导函数，简称导数，也可记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx. 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数y ′|0x x =就是函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )(x ∈(a ，b ))上的导数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，即y ′|0x x =＝f ′(x 0)，所以函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数也记作f ′(x 0).【合作探究】探究一 求曲线的切线方程考向1 求曲线在某点的切线方程例1求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程.解 因为点(1,3)在曲线上，过点(1,3)的切线的斜率为f ′(1)＝lim Δx →0 (1＋Δx )3－(1＋Δx )＋3－(1－1＋3)Δx＝lim Δx →0 (Δx )3＋3(Δx )2＋2Δx Δx＝lim Δx →0[(Δx )2＋3Δx ＋2] ＝2，故所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.归纳总结：若求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程，其切线只有一条，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，且是切点，其切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).练习1(1)曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处切线的倾斜角为 . (2)曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线斜率为3，则点P 的坐标为 .答案 (1)34π (2)(－1，－1)或(1,1) 解析 (1)设切线的倾斜角为α，则tan α＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 13(1＋Δx )3－(1＋Δx )2＋5－(13－1＋5)Δx＝lim Δx →0 13(Δx )3－Δx Δx＝lim Δx →0[13(Δx )2－1]＝－1. ∵α∈[0，π)，∴α＝34π. ∴切线的倾斜角为34π. (2)设点P 的坐标为(x 0，x 30)，则有lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20. ∴3x 20＝3，解得x 0＝±1.∴点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1).探究二 求导函数例2求函数f (x )＝x 2＋1的导函数.解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1＝2x Δx ＋(Δx )2(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx (x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1，∴f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2x ＋Δx(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝x x 2＋1. 归纳总结：求解f ′(x )时，结合导数的定义，首先计算Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ).然后，再求解Δy Δx，最后得到f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx. 练习2 已知函数f (x )＝x 2－1，求f ′(x )及f ′(－1).解 因Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－1－(x 2－1)＝2Δx ·x ＋(Δx )2，故lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2Δx ·x ＋(Δx )2Δx＝2x ， 得f ′(x )＝2x ，f ′(－1)＝－2.探究三 求曲线过点的切线方程例3求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程.解 y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 2(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2. 设切点的坐标为(x 0,2x 0－x 30)，∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0).又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32. ∴切点的坐标为(0,0)或(－32，38). 当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ；当切点为(－32，38)时，切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0. 综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0.归纳总结：若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.练习3求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程.解 由题意知y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0).∵点A 在曲线y ＝x 2上，∴y 0＝x 20.又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率y ′|0x x =＝2x 0.∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即2x －y －1＝0和10x －y －25＝0.探究四 导数几何意义的综合应用例4设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值.解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )3＋a (x ＋Δx )2－9(x ＋Δx )－1－(x 3＋ax 2－9x －1)＝(3x 2＋2ax －9)Δx ＋(3x ＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 2＋2ax －9＋(3x ＋a )Δx ＋(Δx )2， ∴f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a 3)2－9－a 23≥－9－a 23. 由题意知f ′(x )最小值是－12，∴－9－a 23＝－12，a 2＝9， ∵a ＜0，∴a ＝－3.归纳总结：与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.练习4(1)已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为 .(请用“＞”连接)(2)曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 . 答案 (1)k 1＞k 3＞k 2 (2)34解析 (1)结合导数的几何意义知，k 1就是曲线在点A 处切线的斜率，k 2则为在点B 处切线的斜率，而k 3则为割线AB 的斜率，由图易知它们的大小关系.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故交点坐标为(1,1).曲线y ＝1x 在点(1,1)处切线方程为l 1：x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 2在点(1,1)处切线方程为l 2：2x －y －1＝0.从而得S ＝12×|21-2|×1＝34.课后作业A 组 基础题一、选择题1.下列说法正确的是( )A.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A.f ′(x A )>f ′(x B )B.f ′(x A )<f ′(x B )C.f ′(x A )＝f ′(x B )D.不能确定答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B ).3.在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A.(0,0)B.(2,4)C.(14，116) D.(12，14) 答案 D 解析 ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝⎝⎛⎭⎫122＝14，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. 4.已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，则该曲线在P 点处切线的斜率为( ) A.4 B.2 C.－4 D.8答案 A解析 因y ＝13x 3，得y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 13(x ＋Δx )3－13x 3Δx ＝13lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝x 2， 故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在P 点处切线的斜率为4.5.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A.1B.12C.－12D.－1答案 A解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1. 6.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( )A.2B.3C.4D.5答案 A 解析 易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.二、填空题7.已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝ . 答案 3解析 由在点M 处的切线方程是y ＝12x ＋2， 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 8.过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是 . 答案 2x －y ＋4＝0解析 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.∴所求直线方程为2x －y ＋4＝0.9.若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝ .答案 3解析 设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1).∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.10.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为 . 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，－12 解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－12. 三、解答题11.求曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 解 由导数定义可得y ′|x ＝1＝2，∴曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，设它与两坐标轴的交点分别为A (0，－1)，B (12，0)，∴S △AOB ＝12|OA ||OB |＝14.12.已知抛物线y ＝x 2和直线x －y －2＝0，求抛物线上一点到该直线的最短距离.解 方法一 设P (x ，x 2)为抛物线上任意一点，则点P 到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|x －x 2－2|2＝22⎪⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎫x －122－74＝22⎝⎛⎭⎫x －122＋728，所以当x ＝12时，d 最小，最小值为728. 方法二 由题意设直线x －y ＋b ＝0与抛物线y ＝x 2相切，则x 2－x －b ＝0，由Δ＝0得b ＝－14，所以直线x －y －14＝0与x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－14＋22＝742＝728，所以抛物线y＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.方法三 根据题意可知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.13.已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积. 解 (1)∵y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx＝2x ＋1， ∴y ′|x ＝1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0).∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，x 0＝－23，∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.又直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)，∴所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪－52×⎝⎛⎭⎫1＋223＝12512.B组能力提升一、选择题二、填空题三、解答题C组挑战压轴题一、选择题二、填空题三、解答题。
1.1.3导数的几何意义课件共35张PPT
(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1， 当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53， 当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某 点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包 括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图 所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方 程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可 以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线 的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．
解析几何中的极坐标方程与导数
解析几何中的极坐标方程与导数极坐标方程是解析几何中一种描述平面上点的坐标系统。
其与直角坐标系有一定的联系和转换关系。
而导数则是微积分中的重要概念，用来描述函数变化率和曲线的切线斜率。
本文将对极坐标方程与导数进行解析。
一、极坐标方程的定义与转换极坐标系是由极径和极角两个参数来描述平面上点的坐标系统。
在极坐标系中，点P的位置可以用(r,θ)表示，其中r为点P到极点O的距离，θ为OP与固定方向线段的夹角。
极径r为非负数，极角θ通常用弧度制表示。
极坐标方程可以用来描述平面上的曲线。
对于给定的函数f(θ)，可以得到极坐标方程r = f(θ)。
这样，将θ代入极坐标方程中就可以得到曲线上对应的点的极坐标。
而对于直角坐标系中的点(x,y)，则可以通过一下公式与极坐标系进行转换：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)二、极坐标方程的图形与性质极坐标方程所描述的曲线可以是直线、圆、椭圆、双曲线、螺旋线等。
其中，极坐标方程为r = a是直线；r = a * sec(θ)是圆；r = a * e^(bθ)是指数螺旋线等。
对于极坐标方程，我们可以通过绘制极坐标图形来观察曲线的特征。
通过改变参数a和b的取值，我们可以得到不同类型的曲线图形。
这些图形的旋转对称性、渐近线、极点处的性质等都可以通过观察极坐标图形进行分析和研究。
三、导数与极坐标方程在解析几何中，导数用来描述函数变化率和曲线的切线斜率。
对于极坐标方程r = f(θ)，我们可以通过导数求解极坐标曲线上某点处的切线斜率。
求解极坐标曲线上某点处的切线斜率可以使用导数的定义。
首先，将极坐标方程转换为直角坐标系方程。
然后，对直角坐标系方程中的x 和y分别求导。
最后，通过求导后的x和y值求得切线的斜率。
四、极坐标方程与导数的应用极坐标方程与导数在物理、工程、计算机图形学等领域具有广泛的应用。
在物理学中，极坐标方程常用于描述天体运动、电场分布等。
在工程学中，极坐标方程可以用于描述机械零件的转动。
导数的概念,计算,几何意义
导数的概念，计算，几何意义（一）知识点 1.平均变化率：函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为 ，若21x x x ∆=-21y y y ∆=-则，平均变化率可表示为 。
2．导数的概念：函数()y f x =的导数'()f x ，就是当0x ∆→时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比yx∆∆（平均变化率） 的 ， 即'()f x ＝ ＝ ． 3．导函数：函数()y f x =在区间(,)a b 内 的导数都存在，就说()f x 在区间(,)a b 内 .其导数也是(,)a b 内的函数，叫做()f x 的 ，记作'()f x 或'x y ， 函数()f x 的导函数'()f x 在0x x =时的导函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.4．导数的几何意义：设函数()y f x =在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 。
相应的切线方程为 （点斜式） 。
5．求导数的方法： (1) 八个基本求导公式()c 为常数'c ＝ ； ()'n x ＝ ； (sin )'x ＝ ， (cos )'x ＝ ()'x a ＝ ， ()'x e ＝(log )'a x ＝ ， (ln )'x ＝(2) 导数的四则运算(()())f x g x '±＝ [()]Cf x '＝ (()())f x g x '＝ ， ()()()f xg x '＝ 推论：()c 为常数[()]'cf x = ；21'()[]'()()f x f x f x =-； ()''''fgh f gh fgh fgh =++(3) 复合函数的导数设()u x θ=在点x 处可导，()y f u =在点()u x θ=处可导，则复合函数[()]f x θ在点x 处可导， 且'()f x ＝ ，即'''x u x y y u =. 典型例题：例1．（变化率）求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(2202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1.1.设函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-=∆（ ）A ．0'()f x B.0'()f x - C.0()f x D.0()f x -2.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，则000()()limh f x h f x h h→+--=A.0'()f xB. 02'()f xC. 02'()f x -D.0例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 5x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521x x x xx x x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x xx x x y -=+--++=++-=12)1)(1(111111， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：（1）求y=tanx 的导数.解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=（2）求下列各函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+利用导数求切线方程 例3：如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程． 分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线()y f x =在给定点00(,())P x f x 处的切线的斜率0()k f x '=，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。
全国卷高考数学导数、解析几何大题专项训练含答案(二)
全国卷高考数学导数、解析几何解答题专项训练（二）一、解答题1.设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。
（I ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。
2.(本小题满分12分） 已知函数22()ln axf x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。
3.若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（Ⅰ）函数()22x x f x+=是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n Λ()*∈N n ． 4.已知x=1是()2ln bf x x x x =-+的一个极值点（1）求b 的值； （2）求函数()f x 的单调增区间；（3）设x x f x g 3)()(-=，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由。
5.已知函数2()x f x e x ax =--，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <.（Ⅰ）证明：1ln 2x <；（Ⅱ）求1()f x 的最小值，并指出此时a 的值.6.设函数2()ln 4f x a x x =-，2()(0,0,,)g x bx a b a b R =≠≠∈.（Ⅰ）当32b =时，函数()()()h x f x g x =+在1x =处有极小值，求函数()h x 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数()f x 和()g x 有相同的极大值，且函数()()()g x p x f x x =+在区间2[1,]e 上的最大值为8e -，求实数b 的值（其中e 是自然对数的底数） 7.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x +=-∈（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； （Ⅲ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ,使得0()f x <0()g x 成立,求a 的取值范围.8.已知函数2()(0)f x ax kbx x =+>与函数()ln ,、、g x ax b x a b k =+为常数，它们的导函数分别为()y f x '=与()y g x '=（1）若()g x 图象上一点(2,(2))p g 处的切线方程为：22ln 220x y -+-=，求、a b 的值；（2）对于任意的实数k，且、a b 均不为0，证明：当0ab >时，()y f x '=与()y g x '=的图象有公共点；（3）在（1）的条件下，设112212(,),(,),()A x yB x y x x <是函数()y g x =的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-，证明：102x x x <<9.（本小题满分13分）已知函数21()ln (,0).2f x x ax a R a =-∈≠（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）已知点1111(1,),(,)(1):()2A a x y x C y f x ->=设B 是曲线图角上的点，曲线C上是否存在点00(,)M x y 满足：①1012x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ？请说明理由。
【高中数学】第5章 5.1.2 导数的概念及其几何意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义素养目标学科素养1.理解导数的概念，会求函数在某一点处的导数．(重点)2．利用导数的几何意义，求曲线上某点处的切线的斜率和切线的方程．(重点、难点)1.数学抽象； 2．逻辑推理； 3．数学运算情境导学2019年国际田联钻石联赛伦敦站男子200米比赛，中国选手谢震业以19秒88夺冠，这不仅刷新了全国纪录，还创造了新的亚洲纪录．赛后各国教练都在研究他的弯道技术，通过回放录像分析其弯道时的运动方向．这需要求运动曲线在任一点的切线．怎样求曲线的切线？1．平均变化率与瞬时变化率(1)对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，相应地，函数值y 就从f (x 0)变化到f (x 0＋Δx )．这时，x 的变化量为Δx ，y 的变量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．我们把比值Δy Δx ，即ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．(2)如果当Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．导数的几何意义(1)在曲线y ＝f (x )上任取一点P (x ，f (x ))，如果当点P (x ，f (x ))沿着曲线y ＝f (x )无限趋近于点P 0(x 0，f (x 0))时，割线P 0P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为曲线y ＝f (x )在点P 0处的切线．(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是切线P 0T 的斜率k 0， 即k 0＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)．3．导数的概念当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线．()×提示：f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，当切线垂直于x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．(2)一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是：物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒．()×提示：由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度．(3)若函数f(x)＝c(c为常数)，则在任何x＝x0处的导数f′(x0)为0.(√)1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则() A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝bC解析：因为f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝lim Δx→0aΔx＋b(Δx)2Δx＝limΔx→0(a＋bΔx)＝a，所以f′(x0)＝a.2．已知函数y＝f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，则f′(1)＝() A．1 B．－1C．0 D．不存在B解析：由切线方程y＝－x＋1知切线斜率k＝f′(1)＝－1.3．如图所示是函数y＝f(x)的图象，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．f′(x A)与f′(x B)的大小不能确定B解析：分别过A，B两点作曲线的切线，可知切线的斜率k B>k A，∴f′(x B)>f′(x A)．4．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，则f′(2)的几何意义是函数f(x)＝lg(x＋1)的图象在点(2，lg3)处切线的斜率．5．曲线y＝3x2－4x在点(1，－1)处的切线方程为________．y＝2x－3解析：k＝f′(1)＝limΔx→03(1＋Δx)2－4(1＋Δx)－(3×12－4×1)Δx＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x－1)，即y＝2x－3.【例1】求函数f (x )＝－x 2＋3x 的导数，并求f ′(1)．解：因为Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝[－(x ＋Δx )2＋3(x ＋Δx )]－(－x 2＋3x )＝－(Δx )2－2x ·Δx ＋3Δx ，所以ΔyΔx ＝－Δx －2x ＋3.故函数的导数f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(－Δx －2x ＋3)＝－2x ＋3. 所以f ′(1)＝－2×1＋3＝1.求函数在某一点处的导数的方法：(1)定义法：①求函数值的变化量，Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；②求平均变化率，ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③取极限，f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx.(2)导函数的函数值法：先求出导函数f ′(x )，再把x ＝x 0代入f ′(x )得f ′(x 0)．1．设函数f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx等于( )A ．f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．－f ′(x 0)D ．－f ′(－x 0)C 解析：lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝－lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)．2．求函数y ＝x －4x 在x ＝2处的导数．解：方法一(导数定义法)： Δy ＝(2＋Δx )－42＋Δx －⎝⎛⎭⎫2－42 ＝Δx ＋2Δx2＋Δx，Δy Δx ＝Δx ＋2Δx 2＋Δx Δx ＝1＋22＋Δx ， ∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1＋22＋Δx ＝2， 从而y ′|x ＝2＝2.方法二(导函数的函数值法)：Δy ＝(x ＋Δx )－4x ＋Δx －x ＋4x ＝Δx ＋4Δxx (x ＋Δx )，Δy Δx ＝Δx ＋4Δxx (x ＋Δx )Δx ＝1＋4x (x ＋Δx )， ∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤1＋4x (x ＋Δx )＝1＋4x 2， ∴y ′|x ＝2＝2.【例2】求函数f (x )＝x 2－7x 图象上点(3，－12)处切线的斜率． 解：f ′(3)＝lim Δx →0f (3＋Δx )－f (3)Δx＝lim Δx →0(3＋Δx )2－7(3＋Δx )－(－12)Δx＝lim Δx →0(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →0(Δx －1)＝－1.所以切线的斜率为－1.【例3】求曲线y ＝x 3＋2在点M (－1,1)处的切线方程．解：因为点M (－1,1)恰好在曲线上，所以曲线在点M 处的切线的斜率就等于函数y ＝x 3＋2在x ＝－1处的导数．又y ′|x ＝－1＝lim Δx →0[(－1＋Δx )3＋2]－[(－1)3＋2]Δx ＝lim Δx →0(Δx )3－3(Δx )2＋3ΔxΔx＝lim Δx →0[(Δx )2－3Δx ＋3]＝3， 所以切线的斜率为3.由点斜式可得切线方程为y －1＝3(x ＋1)，即3x －y ＋4＝0. 【例4】求经过点(2,0)，且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解：经验证点(2,0)不在曲线y ＝1x上，设切点为P (x 0，y 0)．由y ′|x ＝x 0＝lim Δx →01x 0＋Δx －1x 0Δx ＝lim Δx →0－Δx Δx ·(x 0＋Δx )·x 0＝lim Δx →0－1x 0(x 0＋Δx )＝－1x 20，得所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．因为点(2,0)在切线上， 所以x 20y 0＝2－x 0.又点P (x 0，y 0)在曲线y ＝1x 上，所以x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1， 故所求直线方程为x ＋y －2＝0.1．利用导数的几何意义求曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程的步骤如下： (1)求函数f (x )在x 0处的导数，即切线的斜率；(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．运用导数的几何意义解决切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上．若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的切线的斜率；若点不在曲线上，应另设切点，再利用导数的几何意义求解．1．曲线y ＝x 2－2x ＋3在点A(－1,6)处的切线方程是________________． 4x ＋y －2＝0 解析：由导数的定义知y ′|x ＝－1＝lim Δx →0(－1＋Δx )2－2(－1＋Δx )＋3－(－1)2＋2×(－1)－3Δx＝－4，∴所求切线方程为y －6＝－4(x ＋1)， 即4x ＋y －2＝0.2．求抛物线y ＝14x 2过点⎝⎛⎭⎫4，74的切线方程． 解：点⎝⎛⎭⎫4，74不在抛物线上，故设切点为⎝⎛⎭⎫x 0，14x 20，切线方程的斜率为k . ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →014(x 0＋Δx )2－14x 20Δx ＝12x 0，切线方程的斜率k ＝74－14x 204－x 0，∴x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，故k ＝12x 0＝72或12.∴所求切线方程为14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0. 导数几何意义的综合应用探究题1 已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x .过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为________________．x －2y ＋1＝0 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝1x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)． 由f (x )＝x ， 得f ′(1)＝lim Δx →01＋Δx －1Δx＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，∴f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)．即x －2y ＋1＝0.探究题2 抛物线y ＝x 2在点P 处的切线与直线4x －y ＋2＝0平行，求点P 的坐标及切线方程．解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)， y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ，∴y ′|x ＝x 0＝2x 0.又由切线与直线4x －y ＋2＝0平行， ∴2x 0＝4，∴x 0＝2.∵P (2，y 0)在抛物线y ＝x 2上， ∴y 0＝4，∴点P 的坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.1．解决与导数的几何意义有关的综合题，其关键是设出切点的横坐标，然后根据导数的几何意义，求出切线的斜率．2．利用斜率与已知条件间的关系，构造关于切点的方程，根据方程思想求切点坐标，进而求切线方程．解题的同时要注意解析几何知识的应用．如直线的倾斜角与斜率的关系，如平行、垂直等．已知曲线y ＝x 2在某点P 处的切线满足下列条件，请分别求出点P 的坐标． (1)平行于直线y ＝6x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴正方向成135°的倾斜角．解：f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝6x －5平行，∴2x 0＝6，x 0＝3，y 0＝9，即P (3,9)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， ∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点． (3)∵切线与x 轴正方向成135°的倾斜角，∴其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14是满足条件的点．1．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)－Δx等于( )A ．f ′(1)B ．不存在C ．13f ′(1)D ．以上都不对A 解析：因为Δx →0，所以(－Δx )→0，所以 lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)－Δx ＝lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)－Δx＝f ′(1)．故选A ．2．函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)<f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)B 解析：由f (x )的图象可知，f (x )在x ＝2处的切线斜率大于在x ＝3处的切线斜率，且斜率为正，∴0<f ′(3)<f ′(2)．∵f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，∴f (3)－f (2)可看作(2，f (2))和(3，f (3))的割线的斜率，由图象可知f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)， ∴0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．3．已知函数f (x )在x ＝x 0处的导数为2，则lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)2Δx＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1C 解析：根据题意，lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)2Δx ＝12lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝12f ′(x 0)，又由函数f (x )在x ＝x 0处的导数为2， 即f ′(x 0)＝2， 故lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)2Δx＝1.故选C ．4．函数y ＝f (x )＝(x －1)2的导数是( ) A ．－2 B ．(x －1)2 C ．2(x －1) D ．2(1－x )C 解析：y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx －1)2－(x －1)2Δx＝lim Δx →0(Δx )2＋2x ·Δx －2ΔxΔx＝2x －2＝2(x －1)． 故选C ．5．函数y ＝f (x )的图象在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( ) A ．10 B ．8 C ．3D ．2D 解析：因为函数y ＝f (x )的图象在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，所以f ′(5)＝－1，f (5)＝3，所以f (5)＋f ′(5)＝2，故选D ．6．在函数y ＝f (x )＝x 2＋3的图象上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )． 求：(1)ΔyΔx；(2)f ′(1)．解：(1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2＋3－(12＋3)Δx ＝2＋Δx .(2)f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.1．求函数f (x )在点x ＝x 0处导数的步骤： (1)求函数的变化量：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，求得f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx. 2．导数的几何意义是曲线的切线斜率；反过来，在曲线上取定一点作曲线的切线时，能根据切线判断斜率的符号，即导数的符号，进而根据符号确定在该点附近曲线的升降情况(或函数的增减情况)．同时可以根据切线倾斜程度的大小，判断此曲线升降的快慢情况．3．函数y＝f(x)在点x＝x0处导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，据此可求曲线的切线方程．课时分层作业(十三) 导数的概念及其几何意义(60分钟 110分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 导数的概念1．(5分)已知f (x )＝1x ，则f ′(2)＝( )A ．－14B ．2C ．14D ．－2A 解析：f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →0 12＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14.2．(5分)若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2B 解析：∵f (x )的图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0f (0＋Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0f (Δx )Δx＝－1. 3．(5分)设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1)D ．f ′(3)A 解析：lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1).4.(5分)设函数f (x )＝ax ＋3.若f ′(1)＝3，则a ＝________.3 解析：∵f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0a (x ＋Δx )＋3－(ax ＋3)Δx ＝a .∴f ′(1)＝a ＝3.知识点2 导数几何意义的直接应用5．(5分)设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线(B) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交6．(5分)(多选)下列说法正确的是( ) A ．曲线的切线和曲线可能有两个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，f ′(x 0)不一定存在AD 解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他公共点，故A 正确，B 不正确；f ′(x 0)不存在，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为x ＝x 0，故C 不正确；D 选项正确．知识点3 利用导数的几何意义求曲线的切线问题7．(5分)如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在B 解析：由x ＋2y －3＝0知斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12<0.8．(5分)曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°D ．60°B 解析：∵lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 13(－1＋Δx )3－2＋73Δx ＝1，∴切线的斜率为1，倾斜角为45°.9．(5分)曲线y ＝x 在点P (4,2)处的切线方程为( ) A ．x ＋4y ＋4＝0 B ．x －4y ＋4＝0 C ．x ＋4y ＋12＝0 D ．x －4y ＋12＝0 B 解析：∵lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →04＋Δx －2Δx ＝lim Δx →0 Δx (4＋Δx ＋2)Δx ＝14， ∴曲线在点P 处的切线方程为y －2＝14(x －4)，即x －4y ＋4＝0.10.(5分)过点(3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为________________．2x －y －1＝0和10x －y －25＝0 解析：y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x .设所求切线的切点为A(x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上，∴y 0＝x 20. 又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率k ＝2x 0.∵所求的切线过点(3,5)和A(x 0，y 0)两点， ∴其斜率又为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3，∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0和10x －y －25＝0. 知识点4 导数几何意义的综合应用11．(5分)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )A ．12B ．1C ．2D ．0C 解析：由图象知f (5)＝－5＋8＝3. 由导数几何意义知f ′(5)＝－1. ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.12．(5分)(多选)曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处的切线斜率k ＝3，则点P 的坐标是( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(－2，－8) D ．(2,8)AB 解析：f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx ＝lim Δx →0 3(Δx )2x 0＋3Δxx 20＋(Δx )3Δx ＝lim Δx →0[3Δx ·x 0＋3x 20＋(Δx )2]＝3x 20.令3x 20＝3，则x 0＝±1，∴y 0＝±1. 13.(5分)过点P (－1,2)，且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为________．2x －y ＋4＝0 解析：f ′(1)＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－(3×12－4×1＋2)Δx ＝2.∴所求直线方程为y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.能力提升练能力考点 适度提升14.(5分)设f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝1，则f ′(x 0)＝( )A ．1B ．0C ．3D ．13D 解析：∵lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝1，∴lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝13，∴lim 3Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝13，∴f ′(x 0)＝lim 3Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝13.15．(5分)抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( ) A ．24B ．22C ．322D ． 2C 解析：抛物线过点(1,2)，∴b ＋c ＝1. 又∵f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ， ∴b ＝－1，c ＝2.∴所求的切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0，∴两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0间的距离d ＝|1＋2|2＝322.16.(5分)若曲线y ＝2x 2－4x ＋p 与直线y ＝1相切，则p ＝________.3 解析：设切点为(x 0,1)．由y ′＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0(4x 0－4＋2Δx )＝4x 0－4，根据导数的几何意义有4x 0－4＝0，∴x 0＝1，即切点为(1,1)，∴1＝2－4＋p ，∴p ＝3.17.(5分)函数y ＝x 2在x ＝________处的导数值等于其函数值．0或2 解析：y ＝f (x )＝x 2在x ＝x 0处的导数值为f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x 0)＝2x 0.由2x 0＝x 20， 解得x 0＝0或x 0＝2.18.(12分)已知直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，求a 的值和切点的坐标．解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx＝3x 2－2x .由题意知，直线l 的斜率k ＝1，即3x 20－2x 0＝1， 解得x 0＝－13或x 0＝1.于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1)． 当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，∴a ＝3227. 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)． 所以a 的值为3227，切点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327. 19.(13分)如图，它表示物体运动的路程随时间变化的函数f (t )＝4t －2t 2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f (t )分别在t 0，t 1，t 2附近的变化情况，并求出t ＝2时的切线方程．解：用曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的切线，刻画曲线f(t)在上述三个时刻附近的变化情况．①当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于t轴，所以在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；②当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；③当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近单调递减．由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．当t＝2时，f(2)＝0.当t＝2时，切线的斜率k＝f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δt)－f(2)Δt＝limΔx→04(2＋Δt)－2(2＋Δt)2－8＋8Δt＝limΔx→04Δt－2(Δt)2－8ΔtΔt＝limΔx→0(－2Δt－4)＝－4.所以切线方程为y＝－4(t－2)，即4t＋y－8＝0.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
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函数与导数
由切线不等式得到的放缩不等 式有效的将指数函数、对数函 数等超越函数放缩为低一级的 幂函数类型，从而使得问题的 解决得到了简化。
函数与导数
函数与导数
利用和、差、积、商的求导法 则，构造函数是解决选填题中 求参数取值范围的重要方法。
函数与导数
方法2的例1比较典型，第一问 是切线不等式，第三问实际上 是割线斜率与中点切线斜率 的 大小关系，利用齐次式消元构 造函数一种重要的解决问题的 方法。
方法3的例2的第二问的解决有 多种方法：①同时除以e 的a次 幂外，②换元，③利用几何意 义；
函数与导数
函数与导数
方法二的问题往往有如下特点： ①区间端点的函数值往往是不 等式恒成立时的临界值；②往 往需要分离参数与变量，以方 便求参数范围；
下以08年试题为例，说明此方 法是应用
函数与导数
圆锥曲线问题的突破策略 解析几何 学生存在问题,难点分析
函数与导数
全国卷近几年在选择题压轴题 部分强化了导数函数问题的研 究，强调导数研究函数的性态 这一特征(强调对特征值、特征 线的认识)综合性较强; 这6个函数是指数函数、对数 函数与幂函数的积、商构成的 函数，其函数性质，图象走势 构成解决问题的基础，应该要 求学生掌握。
函数与导数
2014年湖北卷第三问的研究
1.学生在解题方法的积累上存在问题,在解决问题中较少关注参数 的引入方法,如直线方程的令法究竟是令成斜截式还是令成 的形式, 还是引入点的坐标,往往比较随意,造成算法复杂； 2.学生心态上存在畏惧心理,当试题的解题思路不够清晰以及运算 算法复杂时,往往选择放弃； 3.对于直线的各种方程形式的局限性认识不够,特殊情况易被忽略, 解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时,容易忽略判别式与零的关 系； 4.常见的结论（椭圆的焦点三角形,抛物线的焦点弦）记忆不熟, 5.运算能力的欠缺,计算过程中的变形,通分,去括号,移项等基本运算 容易出现马虎,看错抄错的情况；
圆锥曲线问题的突破策略
圆锥曲线问题的突破策略 解析几何
圆锥曲线问题的突破策略 解析几何
2014年北京 卷考了类似 的问题,此题 虽然把一个 点放到了直 线上,依然也 可以用此法 解决问题,甚 至这两个点 均来自于两 个不同的椭 圆也行.
圆锥曲线问题的突破策略 解析几何
圆锥曲线问题的突破策略 解析几何