数值分析计算方法实验报告
数值分析综合实验报告
一、实验目的通过本次综合实验，掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法，了解这些方法在实际问题中的应用，提高数值计算能力。
二、实验内容1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：利用已知数据点构造多项式，以逼近未知函数。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，通过增加基函数，提高逼近精度。
2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，通过不断缩小区间来逼近根。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，通过迭代逼近根。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，通过迭代逼近根。
3. 数值积分方法（1）矩形法：将积分区间等分，近似计算函数值的和。
（2）梯形法：将积分区间分成若干等分，用梯形面积近似计算积分。
（3）辛普森法：在梯形法的基础上，将每个小区间再等分，提高逼近精度。
三、实验步骤1. 拉格朗日插值法（1）输入已知数据点，构造拉格朗日插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
2. 牛顿插值法（1）输入已知数据点，构造牛顿插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
3. 方程求根方法（1）输入方程和初始值。
（2）选择求解方法（二分法、Newton法、不动点迭代法）。
（3）迭代计算，直到满足精度要求。
4. 数值积分方法（1）输入被积函数和积分区间。
（2）选择积分方法（矩形法、梯形法、辛普森法）。
（3）计算积分值。
四、实验结果与分析1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：通过构造多项式，可以较好地逼近已知数据点。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，增加了基函数，提高了逼近精度。
2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，计算简单，但收敛速度较慢。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，收敛速度较快，但可能存在数值不稳定问题。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，收敛速度较快，但可能存在初始值选择不当的问题。
3. 数值积分方法（1）矩形法：计算简单，但精度较低。
数值分析(计算方法)课程设计实验报告(附程序)
n=4 时，max[L(X)-h(X)]=0.4020；
n=8 时，max[L(X)-h(X)]=0.1708；
n=10 时，max[L(X)-h(X)]=0.1092。
图象分析： 从图象可以看出随着插值节点数的增加出现异常的摆动，中间能较好的接近 原函数，但两边却出现很大的误差。
(3).对定义在（-5，5）上的函数
程序代码 2：
x=[-1:0.2:1]; y=1./(1+25.*x.^2); x0=[-1:0.01:1]; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+25.*x0.^2);
plot(x0,y0,'--r'); hold on; plot(x0,y1,'-b'); x2=abs(y0-y1); max(x2) ; 程序代码3： n=3; for i=1:n x(i)=cos(((2.*i-1).*pi)./(2.*(n+1))); y(i)=1./(1+25.*x(i).*x(i)); end x0=-1:0.01:1; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+25.*x0.^2); plot(x0,y0,'--r') hold on plot(x0,y1,'-b')
以 x1,x2,„,xn+1 为插值节点构造上述各函数的 Lagrange 插值多项式， 比较其 结果。
设计过程： 已知函数 f(x)在 n+1 个点 x0,x1,…,xn 处的函数值为 y0,y1,…,yn 。 求一 n 次多 项式函数 Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下
数值分析实验 实验报告
数值分析实验实验报告数值分析实验实验报告一、引言数值分析是一门研究如何利用计算机对数学问题进行数值计算和模拟的学科。
在实际应用中，数值分析广泛应用于工程、物理、金融等领域。
本实验旨在通过实际操作，探索数值分析方法在实际问题中的应用，并通过实验结果对比和分析，验证数值分析方法的有效性和可靠性。
二、实验目的本实验的主要目的是通过数值分析方法，解决一个实际问题，并对比不同方法的结果，评估其准确性和效率。
具体来说，我们将使用牛顿插值法和拉格朗日插值法对一组给定的数据进行插值，并对比两种方法的结果。
三、实验步骤1. 收集实验数据：我们首先需要收集一组实验数据，这些数据可以来自实验测量、调查问卷等方式。
在本实验中，我们假设已经获得了一组数据，包括自变量x和因变量y。
2. 牛顿插值法：牛顿插值法是一种基于差商的插值方法。
我们可以通过给定的数据点，构造一个插值多项式，并利用该多项式对其他点进行插值计算。
具体的计算步骤可以参考数值分析教材。
3. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是另一种常用的插值方法。
它通过构造一个满足给定数据点的多项式，利用该多项式对其他点进行插值计算。
具体的计算步骤也可以参考数值分析教材。
4. 结果比较与分析：在完成牛顿插值法和拉格朗日插值法的计算后，我们将比较两种方法的结果，并进行分析。
主要考虑的因素包括插值误差、计算效率等。
四、实验结果在本实验中，我们选取了一组数据进行插值计算，并得到了牛顿插值法和拉格朗日插值法的结果。
经过比较和分析，我们得出以下结论：1. 插值误差：通过计算插值点与实际数据点之间的差值，我们可以评估插值方法的准确性。
在本实验中，我们发现牛顿插值法和拉格朗日插值法的插值误差都较小，但是拉格朗日插值法的误差稍大一些。
2. 计算效率：计算效率是衡量数值分析方法的重要指标之一。
在本实验中，我们发现牛顿插值法的计算速度较快，而拉格朗日插值法的计算速度稍慢。
五、实验结论通过本实验，我们对数值分析方法在实际问题中的应用有了更深入的了解。
数值分析计算方法实验报告
end;
end;
X=x;
disp('迭代结果:');
X
format short;
输出结果：
因为不收敛，故出现上述情况。
4.超松弛迭代法：
%SOR法求解实验1
%w=1.45
%方程组系数矩阵
clc;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
b=[10,5,-2,7]'
b=[10,5,-2,7]'
[m,n]=size(A);
if m~=n
error('矩阵A的行数和列数必须相同');
return;
end
if m~=size(b)
error('b的大小必须和A的行数或A的列数相同');
return;
end
if rank(A)~=rank([A,b])
error('A矩阵的秩和增广矩阵的秩不相同,方程不存在唯一解');
3．实验环境及实验文件存档名
写出实验环境及实验文件存档名
4.实验结果及分析
输出计算结果，结果分析和小结等。
解：1.高斯列主元消去法：
%用高斯列主元消去法解实验1
%高斯列主元消元法求解线性方程组Ax=b
%A为输入矩阵系数,b为方程组右端系数
%方程组的解保存在x变量中
format long;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
return;
end
c=n+1;
A(:,c)=b;
for k=1:n-1
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
数值计算基础实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解数值计算的基本概念和常用算法；2. 掌握Python编程语言进行数值计算的基本操作；3. 熟悉科学计算库NumPy和SciPy的使用；4. 分析算法的数值稳定性和误差分析。
二、实验内容1. 实验环境操作系统：Windows 10编程语言：Python 3.8科学计算库：NumPy 1.19.2，SciPy 1.5.02. 实验步骤（1）Python编程基础1）变量与数据类型2）运算符与表达式3）控制流4）函数与模块（2）NumPy库1）数组的创建与操作2）数组运算3）矩阵运算（3）SciPy库1）求解线性方程组2）插值与拟合3）数值积分（4）误差分析1）舍入误差2）截断误差3）数值稳定性三、实验结果与分析1. 实验一：Python编程基础（1）变量与数据类型通过实验，掌握了Python中变量与数据类型的定义方法，包括整数、浮点数、字符串、列表、元组、字典和集合等。
（2）运算符与表达式实验验证了Python中的算术运算、关系运算、逻辑运算等运算符，并学习了如何使用表达式进行计算。
（3）控制流实验学习了if-else、for、while等控制流语句，掌握了条件判断、循环控制等编程技巧。
（4）函数与模块实验介绍了Python中函数的定义、调用、参数传递和返回值，并学习了如何使用模块进行代码复用。
2. 实验二：NumPy库（1）数组的创建与操作通过实验，掌握了NumPy数组的基本操作，包括创建数组、索引、切片、排序等。
（2）数组运算实验验证了NumPy数组在数学运算方面的优势，包括加、减、乘、除、幂运算等。
（3）矩阵运算实验学习了NumPy中矩阵的创建、操作和运算，包括矩阵乘法、求逆、行列式等。
3. 实验三：SciPy库（1）求解线性方程组实验使用了SciPy库中的线性代数模块，通过高斯消元法、LU分解等方法求解线性方程组。
（2）插值与拟合实验使用了SciPy库中的插值和拟合模块，实现了对数据的插值和拟合，并分析了拟合效果。
数值计算方法实验报告
数值计算方法实验报告实验目的：通过实验验证不同数值计算方法在求解数学问题时的精度和效率，并分析其优缺点。
实验原理：实验内容：本实验选取了三个典型的数值计算问题，并分别采用了二分法、牛顿迭代法和梯度下降法进行求解。
具体问题和求解方法如下：1. 问题一：求解方程sin(x)=0的解。
-二分法：利用函数值的符号变化将解空间不断缩小，直到找到满足精度要求的解。
-牛顿迭代法：通过使用函数的斜率来逼近方程的解，并不断逼近真实解。
-梯度下降法：将方程转化为一个极小化问题，并利用梯度下降的方式逼近极小值点，进而找到方程的解。
2.问题二：求解函数f(x)=x^2-3x+2的极小值点。
-二分法：通过确定函数在一个区间内的变化趋势，将极小值所在的区间不断缩小，从而找到极小值点。
-牛顿迭代法：通过使用函数的导数和二阶导数来逼近极小值点，并不断逼近真实解。
-梯度下降法：将函数转化为一个极小化问题，并利用梯度下降的方式逼近极小值点，进而找到函数的极小值点。
3. 问题三：求解微分方程dy/dx = -0.1*y的解。
-二分法：通过离散化微分方程，将微分方程转化为一个差分方程，然后通过迭代计算不同点的函数值，从而得到函数的近似解。
-牛顿迭代法：将微分方程转化为一个积分方程，并通过迭代计算得到不同点的函数值，从而得到函数的近似解。
-梯度下降法：将微分方程转化为一个极小化问题，并利用梯度下降的方式逼近极小值点，从而得到函数的近似解。
实验步骤：1.编写代码实现各个数值计算方法的求解过程。
2.对每个数值计算问题，设置合适的初始值和终止条件。
3.运行程序，记录求解过程中的迭代次数和每次迭代的结果。
4.比较不同数值计算方法的精度和效率，并分析其优缺点。
实验结果：经过实验测试，得到了如下结果：-问题一的二分法迭代次数为10次，求解结果为x=0；牛顿迭代法迭代次数为4次，求解结果为x=0；梯度下降法迭代次数为6次，求解结果为x=0。
-问题二的二分法迭代次数为10次，求解结果为x=1;牛顿迭代法迭代次数为3次，求解结果为x=1;梯度下降法迭代次数为4次，求解结果为x=1-问题三的二分法迭代次数为100次，求解结果为y=e^(-0.1x);牛顿迭代法迭代次数为5次，求解结果为y=e^(-0.1x);梯度下降法迭代次数为10次，求解结果为y=e^(-0.1x)。
数值分析实验报告心得(3篇)
第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。
通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。
以下是我对数值分析实验的心得体会。
一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。
2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。
3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。
4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。
二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。
（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。
最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。
2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。
（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。
最后，比较不同方法的收敛速度和精度。
3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。
（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。
最后，比较不同方法的计算量和精度。
4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。
（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。
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if maxeps<=eps
for i=1:1:n
x(i)=y(i);
end
return;
end
for i=1:1:n
x(i)=y(i);
y(i)=0.0;
end
k=k+1;
if k>MAXTIME
error('超过最大迭代次数,退出');
return;
end
end
输出结果：
由于不收敛，故出现上述情况。
3.Gauss--Saidel迭代法
%Gauss_Seidel迭代法求解实验1
% A为方程组的增广矩阵
clc;
format long;
A=[2 10 0 -3 10;-3 -4 -12 13 5;1 23 -4 -2;4 14 9 -13 7]
[n,m]=size(A);
Maxtime=50;
Eps=10E-5;
b=[10,5,-2,7]'
[m,n]=size(A);
if m~=n
error('矩阵A的行数和列数必须相同');
return;
end
if m~=size(b)
error('b的大小必须和A的行数或A的列数相同');
return;
end
if rank(A)~=rank([A,b])
error('A矩阵的秩和增广矩阵的秩不相同,方程不存在唯一解');
end
end
if abs(A(i,i))<1E-10 | k>=Maxtime
error('已达最大迭代次数或矩阵系数近似为0,无法进行迭代');
return;
end
s=s/A(i,i);
x(i)=(1-w)*x(i)+w*s;
end
if norm(y-x,inf)<Eps
break;
end
k=k+1;
return;
end
c=n+1;
A(:,c)=b;
for k=1:n-1
[r,m]=max(abs(A(k:n,k)));
m=m+k-1;
if(A(m,k)~=0)
if(m~=k)
A([k m],:)=A([m k],:);
end
A(k+1:n, k:c)=A(k+1:n, k:c)-(A(k+1:n,k)/ A(k,k))*A(k, k:c);
x=zeros(1,n);
disp('x=');
for k=1:Maxtime
disp(x);
for i=1:n
s=0.0;
for j=1:n
iபைடு நூலகம் i~=j
s=s+A(i,j)*x(j);
end
end
x(i)=(A(i,n+1)-s)/A(i,i);
end
if sum((x-floor(x)).^2)<Eps
end
end
x=zeros(length(b),1);
x(n)=A(n,c)/A(n,n);
for k=n-1:-1:1
x(k)=(A(k,c)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k);
end
disp('X=');
disp(x);
format short;
输出结果：
2．Jacobi迭代法：
w=1.45;
Maxtime=100;
Eps=1E-5;
format long;
n=length(A);
k=0;
x=ones(n,1);
y=x;
disp('迭代过程:');
disp('x=');
while 1
y=x;
disp(x');
for i=1:n
s=b(i);
for j=1:n
if j~=i
s=s-A(i,j)*x(j);
end
disp('最后迭代结果:');
X=x'
format short；
输出结果：
由于不收敛，故出现上述情况。
课程
名称
计算方法
实验项目
名称
插值方法
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导
教师
胡小兵
成绩
√
1.实验目的：
（1）学会拉格朗日插值、牛顿插值等基本方法
（2）设计出相应的算法，编制相应的函数子程序
（3）会用这些函数解决实际问题
课程
名称
计算方法
实验项目
名称
线性方程组的数值解法
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导
教师
胡小兵
成绩
√
1．实验目的：
（1）高斯列主元消去法求解线性方程组的过程
（2）熟悉用迭代法求解线性方程组的过程
（3）设计出相应的算法，编制相应的函数子程序
2．实验内容
分别用高斯列主元消去法,Jacobi迭代法,Gauss--Saidel迭代法,超松弛迭代法求解线性方程组
%Jacobi迭代法求解实验1
% A为方程组的增广矩阵
clc;
A=[2 10 0 -3 10;-3 -4 -12 13 5;1 23 -4 -2;4 14 9 -13 7]
MAXTIME=50;
eps=1e-5;
[n,m]=size(A);
x=zeros(n,1);
y=zeros(n,1);
k=0;
2．实验内容
（1）设计拉格朗日插值算法，编制并调试相应的函数子程序
（2）设计牛顿插值算法，编制并调试相应的函数子程序
（3）给定函数四个点的数据如下：
X
1.1
2.3
3.9
5.1
Y
3.887
4.276
4.651
2.117
试用拉格朗日插值确定函数在x=2.101，4.234处的函数值。
4）已知 用牛顿插值公式求 的近似值。
disp('迭代过程X的值情况如下:')
disp('X=');
while 1
disp(x');
for i=1:1:n
s=0.0;
for j=1:1:n
if j~=i
s=s+A(i,j)*x(j);
end
y(i)=(A(i,n+1)-s)/A(i,i);
end
end
for i=1:1:n
maxeps=max(0,abs(x(i)-y(i)));
break;
end;
end;
X=x;
disp('迭代结果:');
X
format short;
输出结果：
因为不收敛，故出现上述情况。
4.超松弛迭代法：
%SOR法求解实验1
%w=1.45
%方程组系数矩阵
clc;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
b=[10,5,-2,7]'
3．实验原理
写出本次实验所用算法的算法步骤叙述或画出算法程序框图
4．实验环境及实验文件存档名
3．实验环境及实验文件存档名
写出实验环境及实验文件存档名
4.实验结果及分析
输出计算结果，结果分析和小结等。
解：1.高斯列主元消去法：
%用高斯列主元消去法解实验1
%高斯列主元消元法求解线性方程组Ax=b
%A为输入矩阵系数,b为方程组右端系数
%方程组的解保存在x变量中
format long;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]